Rumus ekspresi yang disingkat sangat sering digunakan dalam praktik, jadi disarankan untuk menghafal semuanya. Sampai saat ini, ini akan melayani kami dengan setia, yang kami sarankan untuk dicetak dan disimpan di depan mata Anda setiap saat:
Empat rumus pertama dari tabel kompilasi rumus perkalian yang disingkat memungkinkan Anda mengkuadratkan dan pangkat tiga jumlah atau selisih dua ekspresi. Yang kelima dimaksudkan untuk mengalikan selisih dan jumlah dua ekspresi secara singkat. Dan rumus keenam dan ketujuh digunakan untuk mengalikan jumlah dua ekspresi a dan b dengan kuadrat selisihnya yang tidak lengkap (inilah yang disebut ekspresi bentuk a 2 −a b+b 2) dan selisih dua ekspresi a dan b dengan kuadrat tidak lengkap dari jumlah keduanya (a 2 + a·b+b 2 ) masing-masing.
Perlu dicatat secara terpisah bahwa setiap persamaan dalam tabel adalah sebuah identitas. Hal ini menjelaskan mengapa rumus perkalian yang disingkat disebut juga identitas perkalian yang disingkat.
Saat menyelesaikan contoh, terutama yang polinomialnya difaktorkan, FSU sering digunakan dalam bentuk dengan ruas kiri dan kanan ditukar:
Tiga identitas terakhir dalam tabel memiliki namanya sendiri. Rumus a 2 −b 2 =(a−b)·(a+b) disebut rumus selisih kuadrat, a 3 +b 3 =(a+b)·(a 2 −a·b+b 2) - rumus jumlah kubus, A a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+b 2) - perbedaan rumus kubus. Harap dicatat bahwa kami tidak memberi nama rumus yang sesuai dengan bagian yang disusun ulang dari tabel sebelumnya.
Rumus tambahan
Tidak ada salahnya untuk menambahkan beberapa identitas lagi ke dalam tabel rumus perkalian yang disingkat.
Bidang penerapan rumus perkalian yang disingkat (FSU) dan contohnya
Tujuan utama dari rumus perkalian yang disingkat (fsu) dijelaskan oleh namanya, yaitu terdiri dari perkalian singkat. Namun cakupan penerapan FSU jauh lebih luas dan tidak terbatas pada perkalian pendek saja. Mari kita daftar petunjuk utamanya.
Tidak diragukan lagi, penerapan utama rumus perkalian yang disingkat ditemukan dalam melakukan transformasi ekspresi yang identik. Paling sering rumus ini digunakan dalam prosesnya menyederhanakan ekspresi.
Contoh.
Sederhanakan persamaan 9·y−(1+3·y) 2 .
Larutan.
Dalam ungkapan ini, pengkuadratan dapat dilakukan dengan cara yang disingkat, kita punya 9 y−(1+3 y) 2 =9 y−(1 2 +2 1 3 y+(3 y) 2). Yang tersisa hanyalah membuka tanda kurung dan memberikan istilah serupa: 9 y−(1 2 +2 1 3 y+(3 y) 2)= 9·y−1−6·y−9·y 2 =3·y−1−9·y 2.
Rumus perkalian yang disingkat.
Mempelajari rumus perkalian yang disingkat: kuadrat jumlah dan kuadrat selisih dua ekspresi; perbedaan kuadrat dua ekspresi; pangkat tiga jumlah dan pangkat tiga selisih dua ekspresi; jumlah dan selisih pangkat tiga dari dua ekspresi.
Penerapan rumus perkalian yang disingkat saat menyelesaikan contoh.
Untuk menyederhanakan ekspresi, memfaktorkan polinomial, dan mereduksi polinomial ke bentuk standar, digunakan rumus perkalian yang disingkat. Rumus perkalian yang disingkat perlu dihafal.
Misalkan a, b R. Kemudian:
1. Kuadrat jumlah dua ekspresi sama dengan kuadrat ekspresi pertama ditambah dua kali hasil kali ekspresi pertama dan ekspresi kedua ditambah kuadrat ekspresi kedua.
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
2. Kuadrat selisih dua ekspresi sama dengan kuadrat ekspresi pertama dikurangi dua kali hasil kali ekspresi pertama dan ekspresi kedua ditambah kuadrat ekspresi kedua.
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
3. Perbedaan kuadrat dua ekspresi sama dengan hasil kali selisih ekspresi tersebut dan jumlah keduanya.
a 2 - b 2 = (a -b) (a+b)
4. Kubus jumlah dua ekspresi sama dengan pangkat tiga ekspresi pertama ditambah tiga kali lipat hasil kali kuadrat ekspresi pertama dan ekspresi kedua ditambah tiga kali lipat hasil kali ekspresi pertama dan kuadrat ekspresi kedua ditambah pangkat tiga ekspresi kedua.
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
5. Perbedaan kubus dua ekspresi sama dengan pangkat tiga ekspresi pertama dikurangi tiga kali lipat hasil kali kuadrat ekspresi pertama dan ekspresi kedua ditambah tiga kali lipat hasil kali ekspresi pertama dan kuadrat ekspresi kedua dikurangi pangkat tiga ekspresi kedua.
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
6. Jumlah kubus dua ekspresi sama dengan hasil kali jumlah ekspresi pertama dan kedua dan kuadrat tak lengkap dari selisih ekspresi tersebut.
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
7. Perbedaan kubus dua ekspresi sama dengan hasil kali selisih ekspresi pertama dan kedua dengan kuadrat tidak lengkap dari jumlah ekspresi tersebut.
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Penerapan rumus perkalian yang disingkat saat menyelesaikan contoh.
Contoh 1.
Menghitung
a) Dengan menggunakan rumus kuadrat jumlah dua ekspresi, kita peroleh
(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681
b) Dengan menggunakan rumus kuadrat selisih dua ekspresi, kita peroleh
98 2 = (100 – 2) 2 = 100 2 - 2 100 2 + 2 2 = 10.000 – 400 + 4 = 9604
Contoh 2.
Menghitung
Dengan menggunakan rumus selisih kuadrat dua ekspresi, kita peroleh
Contoh 3.
Sederhanakan sebuah ekspresi
(x - kamu) 2 + (x + kamu) 2
Mari kita gunakan rumus kuadrat jumlah dan kuadrat selisih dua ekspresi
(x - y) 2 + (x + y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 = 2x 2 + 2y 2
Rumus perkalian yang disingkat dalam satu tabel:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Eksponensial merupakan operasi yang erat kaitannya dengan perkalian, operasi ini merupakan hasil perkalian suatu bilangan dengan bilangan itu sendiri secara berulang-ulang. Mari kita nyatakan dengan rumus: a1 * a2 * … * an = an.
Misalnya, a=2, n=3: 2 * 2 * 2=2^3 = 8 .
Secara umum eksponensial sering digunakan dalam berbagai rumus dalam matematika dan fisika. Fungsi ini memiliki tujuan yang lebih ilmiah dibandingkan empat fungsi utama: Penjumlahan, Pengurangan, Perkalian, Pembagian.
Menaikkan angka menjadi pangkat
Menaikkan angka menjadi pangkat bukanlah operasi yang rumit. Hal ini terkait dengan perkalian dengan cara yang mirip dengan hubungan antara perkalian dan penjumlahan. Notasi an merupakan notasi singkat bilangan ke-n “a” yang dikalikan satu sama lain.
Pertimbangkan eksponensial menggunakan contoh paling sederhana, beralih ke contoh kompleks.
Misalnya 42. 42 = 4 * 4 = 16. Empat kuadrat (pangkat kedua) sama dengan enam belas. Jika Anda belum memahami perkalian 4 * 4, bacalah artikel kami tentang perkalian.
Mari kita lihat contoh lainnya: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . Lima pangkat tiga (pangkat ketiga) sama dengan seratus dua puluh lima.
Contoh lain: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Sembilan pangkat tiga sama dengan tujuh ratus dua puluh sembilan.
Rumus eksponensial
Untuk menaikkan pangkat dengan benar, Anda perlu mengingat dan mengetahui rumus yang diberikan di bawah ini. Tidak ada yang lebih alami dalam hal ini, yang utama adalah memahami esensinya dan kemudian tidak hanya diingat, tetapi juga tampak mudah.
Meningkatkan monomial menjadi kekuatan
Apa itu monomial? Ini adalah produk angka dan variabel dalam jumlah berapa pun. Misalnya, dua adalah monomial. Dan artikel ini justru membahas tentang mengangkat monomial tersebut ke kekuasaan.
Dengan menggunakan rumus eksponensial, tidak akan sulit menghitung eksponensial suatu monomial.
Misalnya, (3x^2y^3)^2= 3^2 * x^2 * 2 * y^(3 * 2) = 9x^4y^6; Jika monomial dipangkatkan, maka setiap komponen monomial dipangkatkan.
Dengan menaikkan suatu variabel yang sudah mempunyai pangkat menjadi suatu pangkat, maka pangkatnya akan dikalikan. Misalnya, (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6 ;
Menaikkan ke kekuatan negatif
Pangkat negatif adalah kebalikan suatu bilangan. Berapakah bilangan timbal baliknya? Kebalikan dari sembarang bilangan X adalah 1/X. Artinya, X-1=1/X. Inilah inti dari derajat negatif.
Perhatikan contoh (3Y)^-3:
(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).
Mengapa demikian? Karena ada minus pada derajatnya, kita cukup memindahkan ekspresi ini ke penyebutnya, lalu menaikkannya ke pangkat ketiga. Sederhana bukan?
Menaikkan ke pangkat pecahan
Mari kita mulai dengan melihat masalah ini dengan contoh spesifik. 43/2. Apa yang dimaksud dengan derajat 3/2? 3 – pembilang, artinya menaikkan suatu bilangan (dalam hal ini 4) menjadi kubus. Angka 2 adalah penyebutnya; ini adalah ekstraksi akar kedua dari suatu angka (dalam hal ini, 4).
Kemudian kita mendapatkan akar kuadrat dari 43 = 2^3 = 8. Jawaban: 8.
Jadi, penyebut suatu pangkat pecahan dapat berupa 3 atau 4 atau bilangan berapa pun hingga tak terhingga, dan bilangan ini menentukan derajat akar kuadrat yang diambil dari suatu bilangan tertentu. Tentu saja penyebutnya tidak boleh nol.
Meningkatkan akar menuju suatu kekuatan
Jika akarnya dipangkatkan ke derajat yang sama dengan derajat akar itu sendiri, maka jawabannya adalah ekspresi radikal. Misalnya, (√x)2 = x. Jadi, bagaimanapun juga, derajat akar dan derajat meninggikan akar adalah sama.
Jika (√x)^4. Maka (√x)^4=x^2. Untuk memeriksa solusinya, kami mengubah ekspresi menjadi ekspresi dengan pangkat pecahan. Karena akarnya kuadrat, maka penyebutnya adalah 2. Dan jika akar tersebut dipangkatkan keempat, maka pembilangnya adalah 4. Kita mendapatkan 4/2=2. Jawaban: x = 2.
Bagaimanapun, pilihan terbaik adalah dengan mengubah ekspresi menjadi ekspresi dengan pangkat pecahan. Jika pecahan tidak hilang, maka inilah jawabannya, asalkan akar bilangan tersebut tidak terisolasi.
Menaikkan bilangan kompleks menjadi pangkat
Apa itu bilangan kompleks? Bilangan kompleks adalah suatu ekspresi yang memiliki rumus a + b * i; a, b adalah bilangan real. i adalah bilangan yang jika dikuadratkan menghasilkan bilangan -1.
Mari kita lihat sebuah contoh. (2 + 3i)^2.
(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.
Mendaftarlah untuk kursus "Mempercepat aritmatika mental, BUKAN aritmatika mental" untuk mempelajari cara menjumlahkan, mengurangi, mengalikan, membagi, mengkuadratkan bilangan, dan bahkan mengekstrak akar dengan cepat dan benar. Dalam 30 hari, Anda akan belajar cara menggunakan trik mudah untuk menyederhanakan operasi aritmatika. Setiap pelajaran berisi teknik-teknik baru, contoh-contoh yang jelas dan tugas-tugas yang bermanfaat.
Eksponensial online
Dengan menggunakan kalkulator kami, Anda dapat menghitung pangkat suatu bilangan:
Eksponensial kelas 7
Anak-anak sekolah mulai naik pangkat hanya di kelas tujuh.
Eksponensial merupakan operasi yang erat kaitannya dengan perkalian, operasi ini merupakan hasil perkalian suatu bilangan dengan bilangan itu sendiri secara berulang-ulang. Mari kita nyatakan dengan rumus: a1 * a2 * … * an=an.
Misalnya, a=2, n=3: 2*2*2 = 2^3 = 8.
Contoh penyelesaian:
Presentasi eksponensial
Presentasi tentang peningkatan kekuasaan, dirancang untuk siswa kelas tujuh. Presentasi ini mungkin memperjelas beberapa poin yang tidak jelas, tetapi poin-poin ini mungkin tidak akan terjelaskan berkat artikel kami.
Intinya
Kami hanya melihat puncak gunung es, untuk memahami matematika dengan lebih baik - daftarlah pada kursus kami: Mempercepat aritmatika mental - BUKAN aritmatika mental.
Dari kursus ini Anda tidak hanya akan mempelajari lusinan teknik perkalian, penjumlahan, perkalian, pembagian, dan penghitungan persentase yang disederhanakan dan cepat, tetapi Anda juga akan mempraktikkannya dalam tugas-tugas khusus dan permainan edukatif! Aritmatika mental juga memerlukan banyak perhatian dan konsentrasi, yang dilatih secara aktif ketika memecahkan masalah yang menarik.
Rumus atau aturan perkalian yang disingkat digunakan dalam aritmatika, lebih khusus lagi aljabar, untuk mempercepat proses evaluasi ekspresi aljabar besar. Rumusnya sendiri berasal dari aturan yang ada pada aljabar untuk mengalikan beberapa polinomial.
Penggunaan rumus-rumus ini memberikan solusi yang cukup cepat untuk berbagai masalah matematika, dan juga membantu menyederhanakan ekspresi. Aturan transformasi aljabar memungkinkan Anda melakukan beberapa manipulasi dengan ekspresi, setelah itu Anda dapat memperoleh ekspresi di sisi kanan di sisi kiri persamaan, atau mengubah sisi kanan persamaan (untuk mendapatkan ekspresi di sisi kiri setelah tanda sama dengan).
Lebih mudah untuk mengetahui rumus-rumus yang digunakan untuk perkalian yang disingkat dari ingatan, karena rumus-rumus tersebut sering digunakan dalam menyelesaikan masalah dan persamaan. Di bawah ini adalah rumus utama yang termasuk dalam daftar ini dan namanya.
Kuadrat dari jumlah tersebut
Untuk menghitung kuadrat suatu jumlah, Anda perlu mencari jumlah yang terdiri dari kuadrat suku pertama, dua kali hasil kali suku pertama dan suku kedua, dan kuadrat suku kedua. Dalam bentuk ekspresi, aturan ini ditulis sebagai berikut: (a + c)² = a² + 2ac + c².
Perbedaan kuadrat
Untuk menghitung kuadrat selisihnya, Anda perlu menghitung jumlah yang terdiri dari kuadrat bilangan pertama, dua kali hasil kali bilangan pertama dan bilangan kedua (diambil dengan tanda berlawanan) dan kuadrat bilangan kedua. Dalam bentuk ekspresi, aturan ini terlihat seperti ini: (a - c)² = a² - 2ac + c².
Perbedaan kuadrat
Rumus selisih dua bilangan kuadrat sama dengan hasil kali jumlah bilangan-bilangan tersebut dan selisihnya. Dalam bentuk ekspresi, aturan ini terlihat seperti ini: a² - с² = (a + с)·(a - с).
Kubus jumlah
Untuk menghitung pangkat tiga dari jumlah dua suku, Anda perlu menghitung jumlah yang terdiri dari pangkat tiga suku pertama, tiga kali lipat hasil kali kuadrat suku pertama dan suku kedua, tiga kali lipat hasil kali suku pertama dan suku kedua. kuadrat, dan pangkat tiga suku kedua. Dalam bentuk ekspresi, aturan ini terlihat seperti ini: (a + c)³ = a³ + 3a²c + 3ac² + c³.
Jumlah kubus
Menurut rumusnya, itu sama dengan hasil kali jumlah suku-suku ini dan selisih kuadrat tak lengkapnya. Dalam bentuk ekspresi, aturan ini terlihat seperti ini: a³ + c³ = (a + c)·(a² - ac + c²).
Contoh. Penting untuk menghitung volume bangun yang dibentuk dengan menjumlahkan dua kubus. Hanya ukuran sisinya yang diketahui.
Jika nilai sisinya kecil, maka perhitungannya sederhana.
Jika panjang sisinya dinyatakan dalam angka-angka yang rumit, maka dalam hal ini lebih mudah menggunakan rumus “Jumlah Kubus”, yang akan sangat menyederhanakan perhitungan.
Perbedaan kubus
Ekspresi selisih kubik berbunyi seperti ini: sebagai jumlah pangkat ketiga suku pertama, tiga kali lipat hasil kali negatif kuadrat suku pertama dengan suku kedua, tiga kali lipat hasil kali suku pertama dengan kuadrat suku kedua dan pangkat tiga negatif suku kedua. Dalam bentuk ekspresi matematika, pangkat tiga selisihnya terlihat seperti ini: (a - c)³ = a³ - 3a²c + 3ac² - c³.
Perbedaan kubus
Selisih rumus kubus berbeda dengan jumlah kubus hanya dengan satu tanda. Jadi, selisih kubus adalah rumus yang sama dengan hasil kali selisih angka-angka ini dan kuadrat jumlah yang tidak lengkap. Bentuk selisih kubus seperti ini: a 3 - c 3 = (a - c)(a 2 + ac + c 2).
Contoh. Kita perlu menghitung volume bangun yang tersisa setelah mengurangkan bangun volumetrik kuning, yang juga merupakan kubus, dari volume kubus biru. Hanya diketahui ukuran sisi kubus kecil dan besar.
Jika nilai sisinya kecil, maka perhitungannya cukup sederhana. Dan jika panjang sisi-sisinya dinyatakan dalam angka yang signifikan, maka ada baiknya menerapkan rumus yang berjudul “Selisih Kubus” (atau “Selisih Kubus”), yang akan sangat menyederhanakan perhitungan.
Tiga faktor yang masing-masing sama X. (\gaya tampilan x.) Operasi aritmatika ini disebut "kubus" dan hasilnya ditunjukkan x 3 (\gaya tampilan x^(3)):
x 3 = x ⋅ x ⋅ x (\displaystyle x^(3)=x\cdot x\cdot x)Untuk pangkat tiga, operasi kebalikannya adalah mengambil akar pangkat tiga. Nama geometris derajat ketiga " kubus"disebabkan oleh fakta bahwa matematikawan kuno menganggap nilai kubus sebagai angka kubik, jenis bilangan keriting khusus (lihat di bawah), karena pangkat tiga dari bilangan tersebut x (\gaya tampilan x) sama dengan volume kubus yang panjang rusuknya sama dengan x (\gaya tampilan x).
Urutan kubus
, , , , , 125, 216, 343, 512, 729, , 1331, , 2197, 2744, 3375, 4096, 4913, 5832, 6859, 8000, 9261, 10648, 12167, 13824, 15625, 17576, 19683, 21952, 24389, 27000, 29791, 32768, 35937, 39304, 42875, 46656, 50653, 54872, 59319, 64000, 68921, 74088, 79507, 85184, 91125, 97736, 103823, 110592, 117649, 125000, 132651, 140608, 148877, 157464, 166375, 175616, 185193, 195112, 205379, 216000, 226981, 238328…Jumlah kubus pertama n (\gaya tampilan n) bilangan asli positif dihitung dengan rumus:
∑ i = 1 n i 3 = 1 3 + 2 3 + 3 3 + … + n 3 = (n (n + 1) 2) 2 (\displaystyle \sum _(i=1)^(n)i^(3 )=1^(3)+2^(3)+3^(3)+\ltitik +n^(3)=\kiri((\frac (n(n+1))(2))\kanan) ^(2))Penurunan rumus
Rumus jumlah pangkat tiga dapat diturunkan dengan menggunakan tabel perkalian dan rumus jumlah barisan aritmatika. Mengingat dua tabel perkalian 5x5 sebagai ilustrasi metode, kita akan melakukan penalaran untuk tabel berukuran n×n.
|
|
Jumlah angka pada area terpilih ke-k (k=1,2,...) pada tabel pertama:
k 2 + 2 k ∑ l = 1 k − 1 l = k 2 + 2 k k (k − 1) 2 = k 3 (\displaystyle k^(2)+2k\jumlah _(l=1)^(k- 1)l=k^(2)+2k(\frac (k(k-1))(2))=k^(3))Dan jumlah angka pada area yang dipilih ke-k (k=1,2,...) pada tabel kedua, mewakili perkembangan aritmatika:
k ∑ l = 1 n l = k n (n + 1) 2 (\displaystyle k\sum _(l=1)^(n)l=k(\frac (n(n+1))(2)))Menjumlahkan semua area yang dipilih pada tabel pertama, kita mendapatkan angka yang sama dengan menjumlahkan semua area yang dipilih pada tabel kedua:
∑ k = 1 n k 3 = ∑ k = 1 n k n (n + 1) 2 = n (n + 1) 2 ∑ k = 1 n k = (n (n + 1) 2) 2 (\displaystyle \sum _(k =1)^(n)k^(3)=\jumlah _(k=1)^(n)k(\frac (n(n+1))(2))=(\frac (n(n+ 1 ))(2))\jumlah _(k=1)^(n)k=\kiri((\frac (n(n+1))(2))\kanan)^(2))Beberapa properti
- Dalam notasi desimal, kubus dapat diakhiri dengan angka apa pun (tidak seperti persegi)
- Dalam notasi desimal, dua angka terakhir kubus dapat berupa 00, 01, 03, 04, 07, 08, 09, 11, 12, 13, 16, 17, 19, 21, 23, 24, 25, 27, 28 , 29, 31 , 32, 33, 36, 37, 39, 41, 43, 44, 47, 48, 49, 51, 52, 53, 56, 57, 59, 61, 63, 64, 67, 68, 69 , 71, 72 , 73, 75, 76, 77, 79, 81, 83, 84, 87, 88, 89, 91, 92, 93, 96, 97, 99. Ketergantungan digit kedua dari belakang kubus pada terakhir dapat disajikan pada tabel berikut:
Kubus sebagai angka berpola
"Nomor kubik" Q n = n 3 (\displaystyle Q_(n)=n^(3)) secara historis dilihat sebagai jenis angka berpola spasial. Hal ini dapat direpresentasikan sebagai selisih kuadrat bilangan segitiga yang berurutan T n (\gaya tampilan T_(n)):
Q n = (T n) 2 − (T n − 1) 2 , n ⩾ 2 (\displaystyle Q_(n)=(T_(n))^(2)-(T_(n-1))^(2 ),n\geqslant 2) Q 1 + Q 2 + Q 3 + ⋯ + Q n = (T n) 2 (\displaystyle Q_(1)+Q_(2)+Q_(3)+\titik +Q_(n)=(T_(n) )^(2))Selisih antara dua bilangan kubik yang berdekatan adalah bilangan heksagonal terpusat.
Menyatakan bilangan kubik dalam bentuk tetrahedral Π n (3) (\displaystyle \Pi _(n)^((3))).