Cara menyelesaikan persamaan diferensial orde 3. Orde persamaan diferensial dan penyelesaiannya, masalah Cauchy

Untuk pemahaman lebih dalam tentang apa yang terjadi di artikel ini, Anda dapat membaca.

Pertimbangkan sistem persamaan diferensial orde ketiga yang homogen

Di sini x(t), y(t), z(t) adalah fungsi yang diperlukan pada interval (a, b), dan ij (i, j =1, 2, 3) adalah bilangan real.

Mari kita tulis sistem aslinya dalam bentuk matriks
,
Di mana

Kami akan mencari solusi sistem asli dalam bentuk
,
Di mana , C 1 , C 2 , C 3 adalah konstanta sembarang.

Untuk menemukan sistem solusi dasar, Anda perlu menyelesaikan apa yang disebut persamaan karakteristik

Persamaan ini merupakan persamaan aljabar orde ketiga sehingga mempunyai 3 akar. Kasus-kasus berikut mungkin terjadi:

1. Akar (nilai eigen) adalah nyata dan berbeda.

2. Di antara akar-akar (nilai eigen) terdapat konjugasi kompleks, misalkan
- akar asli
=

3. Akar (nilai eigen) adalah nyata. Salah satu akarnya adalah kelipatan.

Untuk mengetahui cara bertindak dalam setiap kasus ini, kita memerlukan:
Teorema 1.
Misalkan adalah nilai eigen berbeda berpasangan dari matriks A, dan misalkan vektor eigen yang bersesuaian. Kemudian

membentuk sistem fundamental solusi terhadap sistem aslinya.

Komentar .
Misalkan adalah nilai eigen sebenarnya dari matriks A (akar real dari persamaan karakteristik), dan menjadi vektor eigen yang bersesuaian.
= - nilai eigen kompleks matriks A, - sesuai - vektor eigen. Kemudian

(Re - bagian nyata, Im - bagian imajiner)
membentuk sistem fundamental solusi terhadap sistem aslinya. (yaitu dan = dianggap bersama-sama)

Teorema 3.
Misalkan menjadi akar persamaan karakteristik multiplisitas 2. Maka sistem asal mempunyai 2 solusi bebas linier berbentuk
,
dimana , adalah konstanta vektor. Jika multiplisitasnya 3, maka terdapat 3 solusi bebas linier berbentuk tersebut
.
Vektor ditemukan dengan mensubstitusikan solusi (*) dan (**) ke dalam sistem aslinya.
Untuk lebih memahami metode mencari solusi bentuk (*) dan (**), lihat contoh umum di bawah.

Sekarang mari kita lihat masing-masing kasus di atas secara lebih rinci.

1. Algoritma untuk menyelesaikan sistem persamaan diferensial orde ketiga yang homogen dalam kasus akar real yang berbeda dari persamaan karakteristik.
Mengingat sistemnya

1) Kami membuat persamaan karakteristik

- nilai eigen nyata dan berbeda dari 9 akar persamaan ini).
2) Kami membangun di mana

3) Kami membangun di mana
- vektor eigen dari matriks A, sesuai dengan , mis. - solusi sistem apa pun

4) Kami membangun di mana
- vektor eigen dari matriks A, sesuai dengan , mis. - solusi sistem apa pun

5)

merupakan sistem solusi yang mendasar. Selanjutnya kita tuliskan solusi umum sistem aslinya dalam bentuk
,
di sini C 1, C 2, C 3 adalah konstanta sembarang,
,
atau dalam bentuk koordinat

Mari kita lihat beberapa contoh:
Contoh 1.

2) Temukan

3) Kami menemukan

4) Fungsi vektor

atau dalam notasi koordinat

Contoh 2.

1) Kami menyusun dan menyelesaikan persamaan karakteristik:

2) Temukan

3) Kami menemukan

4) Temukan

5) Fungsi vektor

membentuk suatu sistem yang mendasar. Solusi umum mempunyai bentuk

atau dalam notasi koordinat

2. Algoritma untuk menyelesaikan sistem homogen persamaan diferensial orde ketiga dalam kasus akar konjugat kompleks dari persamaan karakteristik.

- akar asli,

2) Kami membangun di mana

3) Kami membangun

- vektor eigen dari matriks A, sesuai dengan , mis. memuaskan sistem

Di sini Re adalah bagian sebenarnya
Saya - bagian imajiner
4) merupakan sistem solusi yang mendasar. Selanjutnya kita tuliskan solusi umum dari sistem asli:
, Di mana
C 1, C 2, C 3 adalah konstanta sembarang.

Contoh 1.

1) Menyusun dan menyelesaikan persamaan karakteristik

2) Kami sedang membangun

3) Kami membangun
, Di mana

Mari kita kurangi persamaan pertama dengan 2. Kemudian tambahkan persamaan pertama dikalikan 2i ke persamaan kedua, dan kurangi persamaan pertama dikalikan 2 dari persamaan ketiga.

Lebih jauh

Karena itu,

4) - sistem solusi mendasar. Mari kita tuliskan solusi umum dari sistem aslinya:

Contoh 2.

1) Kami menyusun dan menyelesaikan persamaan karakteristik

2) Kami sedang membangun

(yaitu, dan dipertimbangkan bersama), dimana

Kalikan persamaan kedua dengan (1-i) dan kurangi dengan 2.

Karena itu,

3)
Solusi umum dari sistem asli

atau

2. Algoritma untuk menyelesaikan sistem homogen persamaan diferensial orde ketiga dalam kasus akar ganda dari persamaan karakteristik.
Kami menyusun dan menyelesaikan persamaan karakteristik

Ada dua kemungkinan kasus:

Perhatikan kasus a) 1), dimana

- vektor eigen dari matriks A, sesuai dengan , yaitu memenuhi sistem

2) Mari kita lihat Teorema 3, yang menyatakan bahwa ada dua solusi bebas linier berbentuk
,
dimana , adalah vektor konstan. Mari kita ambil untuk itu.
3) - sistem solusi mendasar. Selanjutnya kita tuliskan solusi umum dari sistem asli:

Pertimbangkan kasus b):
1) Mari kita lihat Teorema 3, yang menyatakan bahwa ada tiga solusi bebas linier berbentuk
,
dimana , , adalah vektor konstan. Mari kita ambil untuk itu.
2) - sistem solusi mendasar. Selanjutnya kita tuliskan solusi umum dari sistem aslinya.

Untuk lebih memahami cara mencari solusi bentuk (*), perhatikan beberapa contoh umum.

Contoh 1.

Kami menyusun dan menyelesaikan persamaan karakteristik:

Kami punya kasus a)
1) Kami membangun
, Di mana

Dari persamaan kedua kita kurangi persamaan pertama:

? Baris ketiga mirip dengan baris kedua, kita coret. Kurangi persamaan kedua dari persamaan pertama:

2) = 1 (kelipatan 2)
Menurut T.3, akar ini harus bersesuaian dengan dua solusi bebas linier dalam bentuk .
Mari kita coba mencari semua solusi bebas linier yang mana, mis. solusi formulir
.
Vektor tersebut akan menjadi solusi jika dan hanya jika vektor eigennya bersesuaian dengan =1, yaitu.
, atau
, baris kedua dan ketiga mirip dengan baris pertama, buang saja.

Sistem telah direduksi menjadi satu persamaan. Akibatnya, ada dua hal yang tidak diketahui, misalnya, dan . Pertama-tama mari kita beri mereka nilai 1, 0; maka nilainya 0, 1. Kita mendapatkan solusi sebagai berikut:
.
Karena itu, .
3) - sistem solusi mendasar. Tetap menuliskan solusi umum dari sistem asli:
. .. Jadi, hanya ada satu solusi bentuk Mari kita substitusikan X 3 ke dalam sistem ini: Coret baris ketiga (mirip dengan baris kedua). Sistem konsisten (memiliki solusi) untuk setiap c. Misalkan c=1.
atau

Jenis utama persamaan diferensial biasa (DE) orde tinggi yang dapat diselesaikan telah dicantumkan. Metode penyelesaiannya diuraikan secara singkat. Tautan ke halaman dengan penjelasan rinci tentang metode solusi dan contoh disediakan.

Isi

Lihat juga: Persamaan diferensial orde pertama
Persamaan diferensial parsial linier orde pertama

Persamaan diferensial orde tinggi, memungkinkan pengurangan orde

Persamaan diselesaikan dengan integrasi langsung

Perhatikan persamaan diferensial berikut:
.
Kami mengintegrasikan n kali.
;
;
dan seterusnya. Anda juga bisa menggunakan rumus:
.
Lihat Persamaan diferensial yang dapat diselesaikan secara langsung integrasi >> >

Persamaan yang tidak secara eksplisit memuat variabel terikat y

Substitusi menurunkan orde persamaan sebanyak satu. Ini adalah fungsi dari .
Lihat Persamaan diferensial orde tinggi yang tidak memuat fungsi secara eksplisit > > >

Persamaan yang tidak secara eksplisit memasukkan variabel bebas x

.
Kami menganggap itu adalah fungsi dari . Kemudian
.
Demikian pula untuk turunan lainnya. Akibatnya, orde persamaan tersebut berkurang satu.
Lihat Persamaan diferensial orde tinggi yang tidak mengandung variabel eksplisit >> >

Persamaan homogen terhadap y, y′, y′′, ...

Untuk menyelesaikan persamaan ini, kita melakukan substitusi
,
dimana merupakan fungsi dari . Kemudian
.
Kami juga mengubah turunan, dll. Akibatnya, orde persamaan tersebut berkurang satu.
Lihat Persamaan diferensial tingkat tinggi yang homogen terhadap suatu fungsi dan turunannya > > >

Persamaan diferensial linier orde tinggi

Mari kita pertimbangkan persamaan diferensial homogen linier orde ke-n:
(1) ,
dimana adalah fungsi dari variabel bebas. Misalkan terdapat n solusi bebas linier terhadap persamaan ini. Maka solusi umum persamaan (1) berbentuk:
(2) ,
di mana adalah konstanta sembarang. Fungsi-fungsi itu sendiri membentuk sistem solusi yang mendasar.
Sistem solusi mendasar persamaan linear homogen orde ke-n terdapat n solusi bebas linier terhadap persamaan tersebut.

Mari kita pertimbangkan persamaan diferensial tak homogen linier orde ke-n:
.
Biarkan ada solusi tertentu (apapun) untuk persamaan ini. Maka solusi umumnya berbentuk:
,
dimana adalah solusi umum persamaan homogen (1).

Persamaan diferensial linier dengan koefisien konstan dan dapat direduksi menjadi persamaan tersebut

Persamaan homogen linier dengan koefisien konstan

Ini adalah persamaan bentuknya:
(3) .
Berikut adalah bilangan real. Untuk mencari solusi umum persamaan ini, kita perlu mencari n solusi bebas linier yang membentuk sistem solusi fundamental. Maka solusi umum ditentukan dengan rumus (2):
(2) .

Kami mencari solusi dalam bentuk . Kita mendapatkan persamaan karakteristik:
(4) .

Jika persamaan ini punya berbagai akar, maka sistem dasar penyelesaiannya berbentuk:
.

Jika tersedia akar yang kompleks
,
maka terdapat juga akar konjugat yang kompleks. Kedua akar ini berhubungan dengan solusi dan , yang kami sertakan dalam sistem fundamental, bukan solusi kompleks dan .

Kelipatan akar multiplisitas sesuai dengan solusi bebas linier: .

Kelipatan dari akar kompleks multiplisitas dan nilai konjugasi kompleksnya sesuai dengan solusi bebas linier:
.

Persamaan tak homogen linier dengan bagian tak homogen khusus

Pertimbangkan persamaan bentuk
,
di mana polinomial derajat s 1 dan S 2 ; - permanen.

Pertama kita mencari solusi umum persamaan homogen (3). Jika persamaan karakteristik (4) tidak mengandung akar, lalu kita mencari solusi tertentu berupa:
,
Di mana
;
;
s - yang terbesar dari s 1 dan S 2 .

Jika persamaan karakteristik (4) memiliki akar multiplisitas, maka kita mencari solusi tertentu dalam bentuk:
.

Setelah ini kita mendapatkan solusi umum:
.

Persamaan linier tak homogen dengan koefisien konstan

Ada tiga solusi yang mungkin di sini.

1) metode Bernoulli.
Pertama, kita cari solusi bukan nol dari persamaan homogen tersebut
.
Lalu kita melakukan substitusi
,
dimana merupakan fungsi dari variabel x. Kita memperoleh persamaan diferensial untuk u, yang hanya memuat turunan u terhadap x. Dengan melakukan substitusi, kita memperoleh persamaan n - 1 - pesanan ke-th.

2) Metode substitusi linier.
Mari kita melakukan substitusi
,
dimana adalah salah satu akar persamaan karakteristik (4). Hasilnya, kita memperoleh persamaan linier tak homogen dengan koefisien orde konstan. Dengan menerapkan substitusi ini secara konsisten, kami mereduksi persamaan awal menjadi persamaan orde pertama.

3) Metode variasi konstanta Lagrange.
Dalam metode ini, pertama-tama kita selesaikan persamaan homogen (3). Solusinya terlihat seperti:
(2) .
Selanjutnya kita asumsikan bahwa konstanta adalah fungsi dari variabel x. Maka solusi persamaan aslinya berbentuk:
,
di mana fungsi yang tidak diketahui. Mengganti persamaan asli dan menerapkan beberapa batasan, kita memperoleh persamaan yang darinya kita dapat menemukan jenis fungsinya.

persamaan Euler

Ini direduksi menjadi persamaan linier dengan koefisien konstan dengan substitusi:
.
Namun untuk menyelesaikan persamaan Euler tidak perlu dilakukan substitusi seperti itu. Anda dapat segera mencari solusi persamaan homogen dalam bentuk
.
Hasilnya, kita memperoleh aturan yang sama seperti persamaan dengan koefisien konstan, yang mana alih-alih variabel, kita perlu menggantinya .

Referensi:
V.V. Stepanov, Mata kuliah persamaan diferensial, "LKI", 2015.
N.M. Gunther, RO. Kuzmin, Kumpulan Masalah Matematika Tinggi, “Lan”, 2003.

Lihat juga:

Persamaan diferensial orde tinggi

Terminologi dasar persamaan diferensial orde tinggi (DEHE).

Persamaan bentuk , dimana N >1 (2)

disebut persamaan diferensial orde tinggi, yaitu. N urutan -th.

Daerah definisi DU, N pesanan ada wilayah.

Dalam kursus ini, jenis sistem kendali berikut akan dipertimbangkan:

Masalah Cauchy DU VP:

Biarkan remote control diberikan,
dan kondisi awal n/a: angka .

Anda perlu mencari fungsi kontinu dan fungsi terdiferensiasi sebanyak n kali
:

1)
adalah solusi untuk DE yang diberikan pada , yaitu.
;

2) memenuhi kondisi awal yang diberikan: .

Untuk DE orde kedua, interpretasi geometri penyelesaian masalah adalah sebagai berikut: dicari kurva integral yang melalui titik tersebut (X 0 , kamu 0 ) dan bersinggungan dengan garis lurus dengan koefisien sudut k = kamu 0 ́ .

Teorema keberadaan dan keunikan(solusi masalah Cauchy untuk DE (2)):

Jika 1)
terus menerus (secara total (N+1) argumen) di daerah tersebut
; 2)
kontinu (atas totalitas argumen
) di , lalu ! solusi masalah Cauchy untuk DE, memenuhi kondisi awal yang diberikan n/a: .

Wilayah tersebut disebut wilayah keunikan DE.

Solusi umum kendali jarak jauh VP (2) – N -parametrik fungsi,
, Di mana
– konstanta sembarang, yang memenuhi persyaratan berikut:

1)

– penyelesaian DE (2) pada ;

2) n/a dari bidang keunikan!
:
memenuhi kondisi awal yang diberikan.

Komentar.

Lihat hubungan
, yang secara implisit menentukan solusi umum DE (2) disebut integral umum DU.

Solusi pribadi DE (2) diperoleh dari solusi umumnya untuk nilai tertentu .

Integrasi kendali jarak jauh VP.

Persamaan diferensial orde tinggi, pada umumnya, tidak dapat diselesaikan dengan metode analisis eksak.

Mari kita identifikasi jenis DUVP tertentu yang memungkinkan pengurangan secara berurutan dan dapat direduksi menjadi kuadratur. Mari kita tabulasikan jenis persamaan ini dan metode untuk mengurangi urutannya.

VP DU yang memungkinkan pengurangan pesanan

		Metode pengurangan pesanan
	Sistem kendalinya tidak lengkap, tidak memuatnya . Misalnya,	Dll. Setelah N Integrasi berganda menghasilkan solusi umum untuk DE.
	Persamaannya tidak lengkap; itu jelas tidak mengandung fungsi yang diperlukan dan dia turunan pertama. Misalnya,	Pengganti menurunkan orde persamaan sebesar k unit.
	Persamaan tidak lengkap; itu jelas tidak mengandung argumen fungsi yang diinginkan. Misalnya,	Pengganti orde persamaannya dikurangi satu.
	Persamaannya merupakan turunan eksak, bisa lengkap atau tidak lengkap. Persamaan tersebut dapat diubah menjadi bentuk () ́= ()́, dimana ruas kanan dan kiri persamaan merupakan turunan eksak beberapa fungsi.	Mengintegrasikan ruas kanan dan kiri persamaan pada argumen akan menurunkan orde persamaan sebanyak satu.
		Pengganti menurunkan orde persamaan sebanyak satu.

Definisi fungsi homogen:

Fungsi
disebut homogen dalam variabel
, Jika

di titik mana pun dalam domain definisi fungsi
;

– urutan homogenitas.

Misalnya, adalah fungsi homogen orde ke-2 terhadap
, yaitu. .

Contoh 1:

Temukan solusi umum dari remote control
.

DE orde 3, tidak lengkap, tidak memuat secara eksplisit
. Kami mengintegrasikan persamaan secara berurutan tiga kali.

– solusi umum kendali jarak jauh.

Contoh 2:

Selesaikan masalah Cauchy untuk kendali jarak jauh
pada

.

DE orde kedua, tidak lengkap, tidak memuat secara eksplisit .

Pengganti
dan turunannya
akan menurunkan urutan remote control satu per satu.

. Kami memperoleh DE orde pertama – persamaan Bernoulli. Untuk menyelesaikan persamaan ini kita menggunakan substitusi Bernoulli:

dan masukkan ke dalam persamaan.

Pada tahap ini, kita menyelesaikan masalah Cauchy untuk persamaan tersebut
:
.

– persamaan orde pertama dengan variabel yang dapat dipisahkan.

Kami mengganti kondisi awal ke persamaan terakhir:

Menjawab:
adalah solusi masalah Cauchy yang memenuhi kondisi awal.

Contoh 3:

Selesaikan DE.

– DE orde ke-2, tidak lengkap, tidak memuat variabel secara eksplisit, sehingga memungkinkan ordo tersebut dikurangi satu menggunakan substitusi atau
.

Kami mendapatkan persamaannya
(membiarkan
).

– DE orde 1 dengan variabel pemisah. Mari kita pisahkan.

– integral umum DE.

Contoh 4:

Selesaikan DE.

Persamaannya
ada persamaan dalam turunan eksak. Benar-benar,
.

Mari kita integrasikan ruas kiri dan kanan terhadap , mis.
atau . Kami memperoleh DE orde pertama dengan variabel yang dapat dipisahkan, yaitu.
– integral umum DE.

Contoh5:

Selesaikan masalah Cauchy untuk
pada .

DE orde 4, tidak lengkap, tidak memuat secara eksplisit
. Memperhatikan bahwa persamaan ini merupakan turunan eksak, kita peroleh
atau
,
. Mari kita substitusikan kondisi awal ke dalam persamaan ini:
. Ayo ambil kendali jarak jauh
Urutan ke-3 dari tipe pertama (lihat tabel). Mari kita integrasikan tiga kali, dan setelah setiap integrasi kita akan memasukkan kondisi awal ke dalam persamaan:

Menjawab:
- solusi masalah Cauchy dari DE asli.

Contoh 6:

Selesaikan persamaannya.

– DE orde 2, lengkap, mengandung homogenitas terhadap
. Pengganti
akan menurunkan orde persamaan. Untuk melakukan ini, mari kita turunkan persamaan tersebut ke dalam bentuk
, membagi kedua ruas persamaan awal dengan . Dan bedakan fungsinya P:

Mari kita gantikan
Dan
dalam kendali jarak jauh:
. Ini adalah persamaan orde 1 dengan variabel yang dapat dipisahkan.

Mengingat bahwa
, kami mendapatkan kendali jarak jauh atau
– solusi umum dari DE asli.

Teori persamaan diferensial linier orde tinggi.

Terminologi dasar.

– NLDU orde ke-6, dimana merupakan fungsi kontinu pada interval tertentu.

Ini disebut interval kontinuitas kendali jarak jauh (3).

Mari kita perkenalkan operator diferensial (bersyarat) orde ke-th

Ketika ia bertindak berdasarkan fungsinya, kita dapatkan

Artinya, ruas kiri persamaan diferensial linier orde ke-th.

Hasilnya, LDE dapat ditulis

Sifat linier dari operator
:

1) – sifat aditif

2)
– nomor – properti homogenitas

Sifat-sifatnya mudah diverifikasi, karena turunan dari fungsi-fungsi ini memiliki sifat yang serupa (jumlah turunan yang berhingga sama dengan jumlah sejumlah turunan yang berhingga; faktor konstanta dapat dikeluarkan dari tanda turunannya).

Itu.
– operator linier.

Mari kita pertimbangkan pertanyaan tentang keberadaan dan keunikan solusi terhadap masalah Cauchy untuk LDE
.

Mari kita selesaikan LDE sehubungan dengan
: ,
, – interval kontinuitas.

Fungsi kontinu dalam domain, turunan
berkelanjutan di wilayah tersebut

Akibatnya, wilayah keunikan di mana masalah Cauchy LDE (3) memiliki solusi unik dan hanya bergantung pada pilihan titik
, semua nilai argumen lainnya
fungsi
dapat diambil secara sewenang-wenang.

Teori umum OLDE.

– interval kontinuitas.

Properti utama dari solusi OLDE:

1. Sifat aditif

(
– solusi OLDE (4) pada )
(
– solusi OLDE (4) pada ).

Bukti:

– solusi OLDE (4) aktif

Kemudian

2. Sifat homogenitas

( – solusi OLDE (4) pada ) (
(– bidang numerik))

– solusi untuk OLDE (4) pada .

Buktinya serupa.

Sifat-sifat aditif dan homogenitas disebut sifat linier OLDE (4).

Konsekuensi:

(
– solusi untuk OLDE (4) pada )(

– solusi OLDE (4) pada ).

3. ( – solusi bernilai kompleks dari OLDE (4) pada )(
adalah solusi bernilai nyata dari OLDE (4) pada ).

Bukti:

Jika merupakan penyelesaian OLDE (4) pada , maka jika disubstitusikan ke dalam persamaan maka akan berubah menjadi suatu identitas, yaitu.
.

Karena linearitas operator, ruas kiri persamaan terakhir dapat ditulis sebagai berikut:
.

Artinya , yaitu, adalah solusi bernilai riil dari OLDE (4) pada .

Sifat-sifat solusi OLDE selanjutnya terkait dengan konsep “ ketergantungan linier”.

Penentuan ketergantungan linier dari sistem fungsi yang terbatas

Suatu sistem fungsi dikatakan bergantung linier jika ada tidak sepele kumpulan angka
sedemikian rupa sehingga kombinasi linear
fungsi
dengan angka-angka ini identik dengan nol pada , yaitu.
.n mana yang salah. Teorema diferensial terbukti persamaanlebih tinggiurutan besarnya(4 jam...

Untuk persamaan ini kita mempunyai:

; (5.22)

. (5.23)

Penentu terakhir memberikan kondisi a 3 > 0. Kondisi Δ 2 > 0, untuk a 0 > 0, a 1 > 0 dan a 3 > 0, hanya dapat dipenuhi untuk a 2 > 0.

Akibatnya, untuk persamaan orde ketiga, kepositifan semua koefisien persamaan karakteristik tidak lagi mencukupi. Hubungan tertentu antara koefisien a 1 a 2 > a 0 a 3 juga harus dipenuhi.

4. Persamaan orde keempat

Mirip dengan apa yang dilakukan di atas, kita dapat memperoleh bahwa untuk persamaan orde keempat, selain positif semua koefisien, kondisi berikut harus dipenuhi:

Kelemahan signifikan dari kriteria aljabar, termasuk kriteria Hurwitz, adalah bahwa untuk persamaan orde tinggi, paling banter, seseorang dapat memperoleh jawaban apakah sistem kendali otomatis stabil atau tidak stabil. Selain itu, dalam kasus sistem yang tidak stabil, kriteria tersebut tidak menjawab bagaimana parameter sistem harus diubah agar stabil. Keadaan ini menyebabkan pencarian kriteria lain yang lebih nyaman dalam praktik teknik.

5.3. Kriteria stabilitas Mikhailov

Mari kita perhatikan secara terpisah ruas kiri persamaan karakteristik (5.7), yang merupakan polinomial karakteristik

Mari kita substitusikan ke dalam polinomial ini nilai imajiner murni p = j, di mana  menyatakan frekuensi sudut osilasi yang sesuai dengan akar imajiner murni dari solusi karakteristik. Dalam hal ini kita memperoleh kompleks karakteristik

dimana bagian riilnya akan memuat pangkat frekuensi genap

dan imajiner – pangkat frekuensi ganjil

Beras. 5.4. hodografi Mikhailov

Jika semua koefisien dan nilai frekuensi tertentu diberikan, maka nilai D(j) akan digambarkan pada bidang kompleks sebagai titik dengan koordinat U dan V atau sebagai vektor yang menghubungkan titik tersebut ke titik asal. Jika nilai frekuensi diubah terus menerus dari nol sampai tak terhingga, maka vektor tersebut akan berubah besar dan arahnya, sehingga pada ujungnya digambarkan suatu kurva tertentu (hodograf), yang disebut Kurva Mikhailov (Gbr. 5.4).

Dalam praktiknya, kurva Mikhailov dibangun titik demi titik, dan nilai frekuensi yang berbeda ditentukan dan U() dan V() dihitung menggunakan rumus (5.28), (5.29). Hasil perhitungan dirangkum dalam tabel. 5.1.

Tabel 5.1

Konstruksi kurva Mikhailov

Dengan menggunakan tabel ini, kurva itu sendiri dibuat (Gbr. 5.4).

Mari kita tentukan berapa sudut rotasi dari vektor D(j) ketika frekuensi  berubah dari nol hingga tak terhingga. Untuk melakukan ini, kami menulis polinomial karakteristik sebagai produk dari faktor-faktor

dimana  1 –  n adalah akar-akar persamaan karakteristik.

Vektor karakteristik kemudian dapat direpresentasikan sebagai berikut:

Setiap tanda kurung mewakili bilangan kompleks. Oleh karena itu, D(j) merupakan hasil kali n bilangan kompleks. Saat mengalikan, argumen bilangan kompleks ditambahkan. Oleh karena itu, sudut rotasi yang dihasilkan dari vektor D(j) akan sama dengan jumlah sudut rotasi masing-masing faktor (5.31) ketika frekuensi berubah dari nol hingga tak terhingga

Mari kita definisikan setiap suku pada (5.31) secara terpisah. Untuk menggeneralisasi masalahnya, pertimbangkan berbagai jenis akar.

1. Misalkan suatu akar, misalnya  1, menjadi nyata dan negatif , yaitu 1 = – 1 . Faktor dalam ekspresi (5.31), yang ditentukan oleh akar ini, akan berbentuk ( 1 + j). Mari kita buat hodograf vektor ini pada bidang kompleks dengan perubahan frekuensi dari nol hingga tak terhingga (Gbr. 5.5, A). Ketika= 0, bagian realnya adalah U= 1, dan bagian imajinernya adalah V= 0. Hal ini berhubungan dengan titik A yang terletak pada sumbu real. Pada0, vektor akan berubah sedemikian rupa sehingga bagian realnya tetap sama dengan, dan bagian imajiner V = (titik B pada grafik). Ketika frekuensi bertambah hingga tak terhingga, vektor menuju tak terhingga, dan ujung vektor selalu berada pada garis lurus vertikal yang melalui titik A, dan vektor berputar berlawanan arah jarum jam.

Beras. 5.5. Akar nyata

Sudut rotasi yang dihasilkan dari vektor  1 = +( / 2).

2. Sekarang biarkan akar  1 menjadi nyata dan positif , yaitu 1 = + 1.Maka faktor dalam (5.31) yang ditentukan oleh akar ini akan berbentuk (– 1 + j). Konstruksi serupa (Gbr. 5.5, B) tunjukkan bahwa sudut rotasi yang dihasilkan adalah 1 = –( / 2). Tanda minus menunjukkan bahwa vektor berputar searah jarum jam.

3. Misalkan dua akar konjugasi, misalnya  2 dan  3, menjadi kompleks dengan bagian nyata negatif , yaitu 2;3 = –±j. Demikian pula, faktor-faktor dalam ekspresi (5.31), yang ditentukan oleh akar-akar ini, akan berbentuk (–j + j)( + j + j).

Kapan = 0, posisi awal dua vektor ditentukan oleh titik A 1 dan A 2 (Gbr. 5.6, A). Vektor pertama diputar searah jarum jam relatif terhadap sumbu real dengan sudut sebesar arctg( / ), dan vektor kedua diputar dengan sudut yang sama berlawanan arah jarum jam. Dengan peningkatan bertahap  dari nol hingga tak terhingga, ujung kedua vektor naik hingga tak terhingga dan kedua vektor akhirnya menyatu dengan sumbu imajiner.

Sudut rotasi yang dihasilkan dari vektor pertama adalah  2 = ( / 2) + . Sudut rotasi yang dihasilkan dari vektor kedua 3 = ( / 2) –. Vektor yang bersesuaian dengan hasil kali (–j + j)( + j + j) akan berputar melalui sudut 2 +  3 = 2 / 2 =.

Beras. 5.6. Akar yang kompleks

4. Biarkan keduanya sama akar kompleks mempunyai bagian real positif , yaitu 2;3 = +±j.

Melakukan konstruksi serupa dengan kasus yang dipertimbangkan sebelumnya (Gbr. 5.6, B), kita memperoleh sudut rotasi yang dihasilkan 2 +  3 = –2 / 2 = –.

Jadi, jika persamaan karakteristik memiliki f akar-akar dengan bagian real positif, maka berapa pun akar-akar tersebut (nyata atau kompleks), akar-akar tersebut akan bersesuaian dengan jumlah sudut rotasi yang sama dengan –f ( / 2). Semua akar (n – f) persamaan karakteristik lainnya yang memiliki bagian nyata negatif akan sesuai dengan jumlah sudut rotasi yang sama dengan +(n – f)( / 2). Akibatnya, sudut rotasi total vektor D(j) ketika frekuensi berubah dari nol hingga tak terhingga menurut rumus (5.32) akan berbentuk

 = (n – f)( / 2) –f( / 2) = n ( / 2) –f . (5.33)

Ekspresi ini menentukan hubungan yang diinginkan antara bentuk kurva Mikhailov dan tanda-tanda bagian nyata dari akar persamaan karakteristik. Pada tahun 1936 A.V. Mikhailov merumuskan kriteria stabilitas berikut untuk sistem linier dengan tatanan apa pun.

Untuk kestabilan sistem orde ke-n, vektor D(j  ), menggambarkan kurva Mikhailov, saat berubah  mempunyai sudut rotasi dari nol sampai tak terhingga  = N (  / 2).

Rumusan ini mengikuti langsung dari (5.33). Agar sistem menjadi stabil, semua akar harus terletak pada setengah bidang kiri. Dari sini sudut rotasi vektor yang diperlukan ditentukan.

Kriteria stabilitas Mikhailov dirumuskan sebagai berikut: untuk kestabilan ACS linier, hodograf Mikhailov perlu dan cukup, ketika frekuensi berubah dari nol hingga tak terhingga, dimulai dari setengah bidang positif dan tanpa melintasi titik asal koordinat, secara berurutan memotong sebanyak kuadran kompleks. bidang sebagai orde polinomial persamaan karakteristik sistem.

TENTANG

Beras. 5.7. Tahan ATS

Tampaknya kurva Mikhailov untuk sistem stabil selalu berbentuk spiral mulus, dan ujungnya menuju tak terhingga di kuadran bidang kompleks tersebut, yang jumlahnya sama dengan derajat persamaan karakteristik (Gbr. 5.7). Kurva Mikhailov tidak dapat melewati lebih dari n kuadran. Oleh karena itu, ketidakstabilan sistem selalu dikaitkan dengan fakta bahwa pada kurva Mikhailov urutan lintasan kuadran terganggu, akibatnya sudut rotasi vektor D(j) menjadi lebih kecil. dari n ( / 2) (Gbr. 5.8).

Untuk sistem yang stabil, kurva Mikhailov melewati n kuadran bidang kompleks secara berurutan.

Adanya batas stabilitas ketiga jenis tersebut dapat ditentukan dari kurva Mikhailov sebagai berikut.

Di hadapan batas stabilitas tipe pertama (akar nol) tidak ada suku bebas dari polinomial karakteristik n = 0, dan kurva Mikhailov meninggalkan titik asal (Gbr. 5.9, kurva 1)

Beras. 5.8. ATS tidak stabil

Beras. 5.9. Batas stabilitas

Pada batas stabilitas tipe kedua (batas stabilitas osilasi) ruas kiri persamaan karakteristik, yaitu polinomial karakteristik, hilang jika disubstitusikan p = j 0

D(j 0) = X( 0) + Y( 0) = 0. (5.34)

Ini menyiratkan dua persamaan: X( 0) = 0; Y( 0) = 0. Artinya titik  =  0 pada kurva Mikhailov berada pada titik asal koordinat (Gbr. 5.9, kurva 2). Dalam hal ini, nilai  0 adalah frekuensi osilasi sistem yang tidak teredam.

Untuk batas stabilitas tipe ketiga (akar tak terhingga) ujung kurva Mikhailov terlempar (Gbr. 5.9, kurva 3) dari satu kuadran ke kuadran lainnya hingga tak terhingga. Dalam hal ini, koefisien a 0 dari polinomial karakteristik (5,7) akan melewati nilai nol, berubah tanda dari plus ke minus.