Pecahan campuran, sama seperti pecahan sederhana, dapat dikurangkan. Untuk mengurangkan pecahan campuran, Anda perlu mengetahui beberapa aturan pengurangan. Mari kita pelajari aturan-aturan ini dengan contoh.
Pengurangan pecahan campuran yang penyebutnya sama.
Mari kita perhatikan sebuah contoh dengan syarat bilangan bulat yang dikurangi dan bagian pecahannya masing-masing lebih besar daripada bagian bilangan bulat dan pecahannya yang dikurangi. Dalam kondisi seperti itu, pengurangan terjadi secara terpisah. Kita kurangi bagian bilangan bulat dari bagian bilangan bulat, dan bagian pecahan dari bagian pecahan.
Mari kita lihat sebuah contoh:
Kurangi pecahan campuran \(5\frac(3)(7)\) dan \(1\frac(1)(7)\).
\(5\frac(3)(7)-1\frac(1)(7) = (5-1) + (\frac(3)(7)-\frac(1)(7)) = 4\ frak(2)(7)\)
Kebenaran pengurangan diperiksa dengan penjumlahan. Mari kita periksa pengurangannya:
\(4\frac(2)(7)+1\frac(1)(7) = (4 + 1) + (\frac(2)(7) + \frac(1)(7)) = 5\ frak(3)(7)\)
Mari kita perhatikan contoh dengan kondisi ketika bagian pecahan dari minuend lebih kecil dari bagian pecahan yang sesuai dari pengurangnya. Dalam hal ini, kita meminjam satu dari keseluruhan di minuend.
Mari kita lihat sebuah contoh:
Kurangi pecahan campuran \(6\frac(1)(4)\) dan \(3\frac(3)(4)\).
Minuend \(6\frac(1)(4)\) mempunyai bagian pecahan yang lebih kecil daripada bagian pecahan dari pengurang \(3\frac(3)(4)\). Artinya, \(\frac(1)(4)< \frac{1}{3}\), поэтому сразу отнять мы не сможем. Займем у целой части у 6 единицу, а потом выполним вычитание. Единицу мы запишем как \(\frac{4}{4} = 1\)
\(\begin(sejajarkan)&6\frac(1)(4)-3\frac(3)(4) = (6 + \frac(1)(4))-3\frac(3)(4) = (5 + \warna(merah) (1) + \frac(1)(4))-3\frac(3)(4) = (5 + \warna(merah) (\frac(4)(4)) + \frac(1)(4))-3\frac(3)(4) = (5 + \frac(5)(4))-3\frac(3)(4) = \\\\ &= 5\frac(5)(4)-3\frac(3)(4) = 2\frac(2)(4) = 2\frac(1)(4)\\\\ \end(sejajarkan)\)
Contoh selanjutnya:
\(7\frac(8)(19)-3 = 4\frac(8)(19)\)
Mengurangi pecahan campuran dari bilangan bulat.
Contoh: \(3-1\frac(2)(5)\)
Minuend 3 tidak mempunyai bagian pecahan, jadi kita tidak bisa langsung mengurangkannya. Mari kita pinjam satu dari seluruh bagian 3, lalu lakukan pengurangan. Kita akan menuliskan satuannya sebagai \(3 = 2 + 1 = 2 + \frac(5)(5) = 2\frac(5)(5)\)
\(3-1\frac(2)(5)= (2 + \warna(merah) (1))-1\frac(2)(5) = (2 + \warna(merah) (\frac(5 )(5)))-1\frac(2)(5) = 2\frac(5)(5)-1\frac(2)(5) = 1\frac(3)(5)\)
Pengurangan pecahan campuran yang penyebutnya berbeda.
Mari kita perhatikan sebuah contoh dengan syarat bagian pecahan dari minuend dan pengurang memiliki penyebut yang berbeda. Anda perlu membawanya ke penyebut yang sama, dan kemudian melakukan pengurangan.
Kurangi dua pecahan campuran yang penyebutnya berbeda \(2\frac(2)(3)\) dan \(1\frac(1)(4)\).
Penyebut yang umum adalah angka 12.
\(2\frac(2)(3)-1\frac(1)(4) = 2\frac(2 \kali \warna(merah) (4))(3 \kali \warna(merah) (4) )-1\frac(1 \kali \warna(merah) (3))(4 \kali \warna(merah) (3)) = 2\frac(8)(12)-1\frac(3)(12 ) = 1\frac(5)(12)\)
Pertanyaan-pertanyaan Terkait:
Bagaimana cara mengurangkan pecahan campuran? Bagaimana cara menyelesaikan pecahan campuran?
Jawaban: Anda perlu memutuskan jenis ekspresi yang dimiliki dan menerapkan algoritma solusi berdasarkan jenis ekspresi. Dari bagian bilangan bulat kita kurangi bilangan bulatnya, dari bagian pecahan kita kurangi bagian pecahannya.
Bagaimana cara mengurangkan pecahan dari bilangan bulat? Bagaimana cara mengurangkan pecahan dari bilangan bulat?
Jawaban: Anda perlu mengambil satuan dari bilangan bulat dan menuliskan satuan ini sebagai pecahan
\(4 = 3 + 1 = 3 + \frac(7)(7) = 3\frac(7)(7)\),
lalu kurangi keseluruhan dari keseluruhan, kurangi bagian pecahan dari bagian pecahan. Contoh:
\(4-2\frac(3)(7) = (3 + \warna(merah) (1))-2\frac(3)(7) = (3 + \warna(merah) (\frac(7 )(7)))-2\frac(3)(7) = 3\frac(7)(7)-2\frac(3)(7) = 1\frac(4)(7)\)
Contoh 1:
Kurangi pecahan biasa dari satu: a) \(1-\frac(8)(33)\) b) \(1-\frac(6)(7)\)
Larutan:
a) Bayangkan satu sebagai pecahan dengan penyebut 33. Kita peroleh \(1 = \frac(33)(33)\)
\(1-\frac(8)(33) = \frac(33)(33)-\frac(8)(33) = \frac(25)(33)\)
b) Bayangkan satu sebagai pecahan dengan penyebut 7. Kita peroleh \(1 = \frac(7)(7)\)
\(1-\frac(6)(7) = \frac(7)(7)-\frac(6)(7) = \frac(7-6)(7) = \frac(1)(7) \)
Contoh #2:
Kurangi pecahan campuran dari bilangan bulat: a) \(21-10\frac(4)(5)\) b) \(2-1\frac(1)(3)\)
Larutan:
a) Mari kita pinjam 21 satuan dari bilangan bulat tersebut dan tuliskan seperti ini \(21 = 20 + 1 = 20 + \frac(5)(5) = 20\frac(5)(5)\)
\(21-10\frac(4)(5) = (20 + 1)-10\frac(4)(5) = (20 + \frac(5)(5))-10\frac(4)( 5) = 20\frac(5)(5)-10\frac(4)(5) = 10\frac(1)(5)\\\\\)
b) Ambil satu dari bilangan bulat 2 dan tuliskan seperti ini \(2 = 1 + 1 = 1 + \frac(3)(3) = 1\frac(3)(3)\)
\(2-1\frac(1)(3) = (1 + 1)-1\frac(1)(3) = (1 + \frac(3)(3))-1\frac(1)( 3) = 1\frac(3)(3)-1\frac(1)(3) = \frac(2)(3)\\\\\)
Contoh #3:
Kurangi bilangan bulat dari pecahan campuran: a) \(15\frac(6)(17)-4\) b) \(23\frac(1)(2)-12\)
a) \(15\frac(6)(17)-4 = 11\frac(6)(17)\)
b) \(23\frac(1)(2)-12 = 11\frac(1)(2)\)
Contoh #4:
Kurangi pecahan biasa dari pecahan campuran: a) \(1\frac(4)(5)-\frac(4)(5)\)
\(1\frac(4)(5)-\frac(4)(5) = 1\\\\\)
Contoh #5:
Hitung \(5\frac(5)(16)-3\frac(3)(8)\)
\(\begin(sejajarkan)&5\frac(5)(16)-3\frac(3)(8) = 5\frac(5)(16)-3\frac(3 \kali \warna(merah) ( 2))(8 \kali \warna(merah) (2)) = 5\frac(5)(16)-3\frac(6)(16) = (5 + \frac(5)(16))- 3\frac(6)(16) = (4 + \warna(merah) (1) + \frac(5)(16))-3\frac(6)(16) = \\\\ &= (4 + \color(merah) (\frac(16)(16)) + \frac(5)(16))-3\frac(6)(16) = (4 + \color(merah) (\frac(21 )(16)))-3\frac(3)(8) = 4\frac(21)(16)-3\frac(6)(16) = 1\frac(15)(16)\\\\ \end(sejajarkan)\)
Isi pelajaranMenjumlahkan pecahan yang penyebutnya sama
Ada dua jenis penjumlahan pecahan:
- Menjumlahkan pecahan yang penyebutnya sama
- Menjumlahkan pecahan yang penyebutnya berbeda
Pertama, mari kita pelajari penjumlahan pecahan yang penyebutnya sama. Semuanya sederhana di sini. Untuk menjumlahkan pecahan yang penyebutnya sama, Anda perlu menjumlahkan pembilangnya dan membiarkan penyebutnya tidak berubah. Misalnya kita menjumlahkan pecahan dan . Tambahkan pembilangnya dan biarkan penyebutnya tidak berubah:
Contoh ini dapat dengan mudah dipahami jika kita mengingat pizza yang dibagi menjadi empat bagian. Jika Anda menambahkan pizza ke pizza, Anda mendapatkan pizza:
Contoh 2. Tambahkan pecahan dan .
Ternyata jawabannya adalah pecahan biasa. Ketika tugas selesai, merupakan kebiasaan untuk membuang pecahan biasa. Untuk menghilangkan pecahan biasa, Anda harus memilih seluruh bagiannya. Dalam kasus kami, seluruh bagian mudah diisolasi - dua dibagi dua sama dengan satu:
Contoh ini dapat dengan mudah dipahami jika kita mengingat tentang pizza yang dibagi menjadi dua bagian. Jika Anda menambahkan lebih banyak pizza ke dalam pizza, Anda mendapatkan satu pizza utuh:
Contoh 3. Tambahkan pecahan dan .
Sekali lagi, kita menjumlahkan pembilangnya dan membiarkan penyebutnya tidak berubah:
Contoh ini dapat dengan mudah dipahami jika kita mengingat pizza yang dibagi menjadi tiga bagian. Jika Anda menambahkan lebih banyak pizza ke dalam pizza, Anda mendapatkan pizza:
Contoh 4. Temukan nilai sebuah ekspresi 
Contoh ini diselesaikan dengan cara yang persis sama seperti contoh sebelumnya. Pembilangnya harus dijumlahkan dan penyebutnya tidak diubah:
Mari kita coba menggambarkan solusi kita menggunakan gambar. Jika Anda menambahkan pizza ke dalam pizza dan menambahkan lebih banyak pizza, Anda mendapatkan 1 pizza utuh dan lebih banyak pizza.
Seperti yang Anda lihat, tidak ada yang rumit dalam menjumlahkan pecahan dengan penyebut yang sama. Cukup memahami aturan berikut:
- Untuk menjumlahkan pecahan dengan penyebut yang sama, Anda perlu menjumlahkan pembilangnya dan membiarkan penyebutnya tidak berubah;
Menjumlahkan pecahan yang penyebutnya berbeda
Sekarang mari kita belajar cara menjumlahkan pecahan yang penyebutnya berbeda. Saat menjumlahkan pecahan, penyebut pecahan harus sama. Namun keduanya tidak selalu sama.
Misalnya pecahan bisa dijumlahkan karena punya penyebut yang sama.
Tetapi pecahan tidak dapat langsung dijumlahkan, karena pecahan tersebut penyebut yang berbeda. Dalam kasus seperti itu, pecahan harus direduksi menjadi penyebut (yang sama).
Ada beberapa cara untuk mereduksi pecahan menjadi penyebut yang sama. Hari ini kita hanya akan melihat salah satunya, karena metode lainnya mungkin tampak rumit bagi pemula.
Inti dari metode ini adalah mencari KPK dari kedua pecahan terlebih dahulu. KPK kemudian dibagi dengan penyebut pecahan pertama untuk mendapatkan faktor tambahan pertama. Mereka melakukan hal yang sama dengan pecahan kedua - KPK dibagi dengan penyebut pecahan kedua dan diperoleh faktor tambahan kedua.
Pembilang dan penyebut pecahan kemudian dikalikan dengan faktor tambahannya. Akibat tindakan tersebut, pecahan yang penyebutnya berbeda berubah menjadi pecahan yang penyebutnya sama. Dan kita sudah tahu cara menjumlahkan pecahan tersebut.
Contoh 1. Mari kita jumlahkan pecahan dan
Pertama-tama, kita mencari kelipatan persekutuan terkecil dari penyebut kedua pecahan. Penyebut pecahan pertama adalah angka 3, dan penyebut pecahan kedua adalah angka 2. Kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan-bilangan tersebut adalah 6
KPK (2 dan 3) = 6
Sekarang mari kita kembali ke pecahan dan . Pertama, bagi KPK dengan penyebut pecahan pertama dan dapatkan faktor tambahan pertama. KPK adalah angka 6, dan penyebut pecahan pertama adalah angka 3. Bagi 6 dengan 3, kita mendapat 2.
Angka 2 yang dihasilkan adalah pengali tambahan pertama. Kami menuliskannya ke pecahan pertama. Untuk melakukannya, buatlah garis miring kecil di atas pecahan dan tuliskan faktor tambahan yang terdapat di atasnya:
Kami melakukan hal yang sama dengan pecahan kedua. Kita bagi KPK dengan penyebut pecahan kedua dan mendapatkan faktor tambahan kedua. KPK adalah angka 6, dan penyebut pecahan kedua adalah angka 2. Bagi 6 dengan 2, kita mendapat 3.
Angka 3 yang dihasilkan adalah pengali tambahan kedua. Kami menuliskannya ke pecahan kedua. Sekali lagi, kita membuat garis miring kecil di atas pecahan kedua dan menuliskan faktor tambahan yang terdapat di atasnya:
Sekarang kami telah menyiapkan segalanya untuk penambahan. Tetap mengalikan pembilang dan penyebut pecahan dengan faktor tambahannya:
Perhatikan baik-baik apa yang telah kita capai. Kami sampai pada kesimpulan bahwa pecahan yang penyebutnya berbeda berubah menjadi pecahan yang penyebutnya sama. Dan kita sudah tahu cara menjumlahkan pecahan tersebut. Mari kita ambil contoh ini sampai akhir:
Ini melengkapi contohnya. Ternyata menambah.
Mari kita coba menggambarkan solusi kita menggunakan gambar. Jika Anda menambahkan pizza ke dalam pizza, Anda mendapatkan satu pizza utuh dan seperenam pizza lagi:
Pengurangan pecahan menjadi penyebut yang sama juga dapat digambarkan dengan menggunakan gambar. Mengurangi pecahan dan menjadi penyebut yang sama, kita mendapatkan pecahan dan . Kedua pecahan ini akan diwakili oleh potongan pizza yang sama. Satu-satunya perbedaan adalah kali ini mereka akan dibagi menjadi bagian yang sama (dikurangi menjadi penyebut yang sama).
Gambar pertama mewakili pecahan (empat bagian dari enam), dan gambar kedua mewakili pecahan (tiga bagian dari enam). Dengan menambahkan potongan-potongan ini, kita mendapatkan (tujuh dari enam bagian). Pecahan ini tidak wajar, jadi kami menyorot seluruh bagiannya. Hasilnya, kami mendapat (satu pizza utuh dan satu lagi pizza keenam).
Harap dicatat bahwa kami telah menjelaskan contoh ini terlalu detail. DI DALAM lembaga pendidikan Bukan kebiasaan menulis sedetail itu. Anda harus dapat dengan cepat mencari KPK dari kedua penyebut dan faktor tambahannya, serta dengan cepat mengalikan faktor tambahan yang ditemukan dengan pembilang dan penyebutnya. Jika kita di sekolah, kita harus menulis contoh ini sebagai berikut:
Tapi ada juga sisi belakang medali. Jika Anda tidak membuat catatan rinci pada tahap pertama belajar matematika, maka pertanyaan-pertanyaan semacam itu mulai bermunculan. “Dari mana asalnya angka itu?”, “Mengapa pecahan tiba-tiba berubah menjadi pecahan yang sama sekali berbeda? «.
Untuk mempermudah menjumlahkan pecahan yang penyebutnya berbeda, Anda dapat menggunakan petunjuk langkah demi langkah berikut:
- Temukan KPK dari penyebut pecahan;
- Bagilah KPK dengan penyebut setiap pecahan dan dapatkan faktor tambahan untuk setiap pecahan;
- Kalikan pembilang dan penyebut pecahan dengan faktor tambahannya;
- Menjumlahkan pecahan yang penyebutnya sama;
- Jika jawabannya ternyata pecahan biasa, pilih seluruh bagiannya;
Contoh 2. Temukan nilai sebuah ekspresi 
.
Mari gunakan instruksi yang diberikan di atas.
Langkah 1. Temukan KPK dari penyebut pecahan tersebut
Tentukan KPK dari penyebut kedua pecahan tersebut. Penyebut pecahan adalah angka 2, 3 dan 4
Langkah 2. Bagilah KPK dengan penyebut setiap pecahan dan dapatkan faktor tambahan untuk setiap pecahan
Bagilah KPK dengan penyebut pecahan pertama. KPK adalah angka 12, dan penyebut pecahan pertama adalah angka 2. Bagi 12 dengan 2, kita mendapat 6. Kita mendapat faktor tambahan pertama 6. Kita tuliskan di atas pecahan pertama:
Sekarang kita bagi KPK dengan penyebut pecahan kedua. KPK adalah bilangan 12, dan penyebut pecahan kedua adalah bilangan 3. Bagi 12 dengan 3, kita mendapat 4. Kita mendapat faktor tambahan kedua 4. Kita tuliskan di atas pecahan kedua:
Sekarang kita bagi KPK dengan penyebut pecahan ketiga. KPK adalah angka 12, dan penyebut pecahan ketiga adalah angka 4. Bagi 12 dengan 4, kita mendapat 3. Kita mendapat faktor tambahan ketiga 3. Kita tuliskan di atas pecahan ketiga:
Langkah 3. Kalikan pembilang dan penyebut pecahan dengan faktor tambahannya
Kalikan pembilang dan penyebutnya dengan faktor tambahannya:
Langkah 4. Jumlahkan pecahan yang penyebutnya sama
Kami sampai pada kesimpulan bahwa pecahan yang penyebutnya berbeda berubah menjadi pecahan yang penyebutnya sama (bersama). Yang tersisa hanyalah menjumlahkan pecahan-pecahan ini. Tambahkan:
Penambahannya tidak muat pada satu baris, jadi kami memindahkan ekspresi yang tersisa ke baris berikutnya. Ini diperbolehkan dalam matematika. Jika suatu ekspresi tidak muat pada satu baris, maka ekspresi tersebut dipindahkan ke baris berikutnya, dan perlu memberi tanda sama dengan (=) di akhir baris pertama dan di awal baris baru. Tanda sama dengan pada baris kedua menunjukkan bahwa ini merupakan kelanjutan dari ekspresi pada baris pertama.
Langkah 5. Jika jawabannya ternyata pecahan biasa, pilih seluruh bagiannya
Jawaban kami ternyata merupakan pecahan biasa. Kita harus menyoroti keseluruhan bagiannya. Kami menyoroti:
Kami menerima jawaban
Pengurangan pecahan yang penyebutnya sama
Ada dua jenis pengurangan pecahan:
- Pengurangan pecahan yang penyebutnya sama
- Pengurangan pecahan yang penyebutnya berbeda
Pertama, mari kita pelajari cara mengurangkan pecahan yang penyebutnya sama. Semuanya sederhana di sini. Untuk mengurangkan pecahan lain dari satu pecahan, Anda perlu mengurangi pembilang pecahan kedua dari pembilang pecahan pertama, tetapi biarkan penyebutnya tetap sama.
Misalnya, mari kita cari nilai ekspresi . Untuk menyelesaikan contoh ini, Anda perlu mengurangkan pembilang pecahan kedua dari pembilang pecahan pertama, dan membiarkan penyebutnya tidak berubah. Mari kita lakukan:
Contoh ini dapat dengan mudah dipahami jika kita mengingat pizza yang dibagi menjadi empat bagian. Jika Anda memotong pizza dari pizza, Anda mendapatkan pizza:
Contoh 2. Temukan nilai ekspresi.
Sekali lagi, kurangi pembilang pecahan kedua dari pembilang pecahan pertama, dan biarkan penyebutnya tidak berubah:
Contoh ini dapat dengan mudah dipahami jika kita mengingat pizza yang dibagi menjadi tiga bagian. Jika Anda memotong pizza dari pizza, Anda mendapatkan pizza:
Contoh 3. Temukan nilai sebuah ekspresi 
Contoh ini diselesaikan dengan cara yang persis sama seperti contoh sebelumnya. Dari pembilang pecahan pertama, kurangi pembilang pecahan yang tersisa:
Seperti yang Anda lihat, tidak ada yang rumit dalam mengurangkan pecahan yang penyebutnya sama. Cukup memahami aturan berikut:
- Untuk mengurangkan pecahan lain dari satu pecahan, Anda perlu mengurangkan pembilang pecahan kedua dari pembilang pecahan pertama, dan membiarkan penyebutnya tidak berubah;
- Jika jawabannya ternyata pecahan biasa, maka Anda perlu menyorot seluruh bagiannya.
Pengurangan pecahan yang penyebutnya berbeda
Misalnya, Anda dapat mengurangkan pecahan dari suatu pecahan karena pecahan tersebut mempunyai penyebut yang sama. Namun Anda tidak dapat mengurangkan pecahan dari pecahan, karena pecahan tersebut memiliki penyebut yang berbeda. Dalam kasus seperti itu, pecahan harus direduksi menjadi penyebut (yang sama).
Penyebut yang sama ditemukan menggunakan prinsip yang sama yang kita gunakan saat menjumlahkan pecahan dengan penyebut berbeda. Pertama-tama, cari KPK dari penyebut kedua pecahan tersebut. Kemudian KPK dibagi dengan penyebut pecahan pertama dan diperoleh faktor tambahan pertama yang ditulis di atas pecahan pertama. Demikian pula KPK dibagi dengan penyebut pecahan kedua dan diperoleh faktor tambahan kedua, yang ditulis di atas pecahan kedua.
Pecahan tersebut kemudian dikalikan dengan faktor tambahannya. Dari hasil operasi tersebut, pecahan yang penyebutnya berbeda diubah menjadi pecahan yang penyebutnya sama. Dan kita sudah tahu cara mengurangkan pecahan tersebut.
Contoh 1. Temukan arti dari ungkapan:
Pecahan-pecahan ini mempunyai penyebut yang berbeda-beda, sehingga perlu direduksi menjadi penyebut yang sama.
Pertama kita cari KPK dari penyebut kedua pecahan tersebut. Penyebut pecahan pertama adalah angka 3, dan penyebut pecahan kedua adalah angka 4. Kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan-bilangan tersebut adalah 12
KPK (3 dan 4) = 12
Sekarang mari kita kembali ke pecahan dan
Mari kita cari faktor tambahan untuk pecahan pertama. Caranya, bagilah KPK dengan penyebut pecahan pertama. KPK adalah angka 12, dan penyebut pecahan pertama adalah angka 3. Bagi 12 dengan 3, kita mendapat 4. Tulislah empat di atas pecahan pertama:
Kami melakukan hal yang sama dengan pecahan kedua. Bagilah KPK dengan penyebut pecahan kedua. KPK adalah angka 12, dan penyebut pecahan kedua adalah angka 4. Bagi 12 dengan 4, kita mendapat 3. Tuliskan tiga pada pecahan kedua:
Sekarang kita siap untuk pengurangan. Tetap mengalikan pecahan dengan faktor tambahannya:
Kami sampai pada kesimpulan bahwa pecahan yang penyebutnya berbeda berubah menjadi pecahan yang penyebutnya sama. Dan kita sudah tahu cara mengurangkan pecahan tersebut. Mari kita ambil contoh ini sampai akhir:
Kami menerima jawaban
Mari kita coba menggambarkan solusi kita menggunakan gambar. Jika Anda memotong pizza dari pizza, Anda mendapatkan pizza
Ini versi rinci solusi. Jika kita di sekolah, kita harus menyelesaikan contoh ini dengan lebih singkat. Solusinya akan terlihat seperti ini:
Pengurangan pecahan menjadi penyebut yang sama juga dapat digambarkan dengan menggunakan gambar. Mengurangi pecahan-pecahan ini menjadi penyebut yang sama, kita mendapatkan pecahan dan . Pecahan berikut akan diwakili oleh potongan pizza yang sama, namun kali ini akan dibagi menjadi bagian yang sama (dikurangi menjadi penyebut yang sama):
Gambar pertama menunjukkan pecahan (delapan dari dua belas), dan gambar kedua menunjukkan pecahan (tiga dari dua belas). Dengan memotong tiga bagian dari delapan bagian, kita mendapatkan lima bagian dari dua belas. Pecahan menggambarkan lima bagian ini.
Contoh 2. Temukan nilai sebuah ekspresi 
Pecahan-pecahan ini memiliki penyebut yang berbeda, jadi pertama-tama Anda harus mereduksinya menjadi penyebut (yang sama).
Mari kita cari KPK dari penyebut pecahan tersebut.
Penyebut pecahan adalah angka 10, 3 dan 5. Kelipatan persekutuan terkecil dari angka-angka tersebut adalah 30
KPK(10, 3, 5) = 30
Sekarang kita mencari faktor tambahan untuk setiap pecahan. Caranya, bagilah KPK dengan penyebut setiap pecahan.
Mari kita cari faktor tambahan untuk pecahan pertama. KPK adalah angka 30, dan penyebut pecahan pertama adalah angka 10. Bagi 30 dengan 10, kita mendapat faktor tambahan pertama 3. Kita tuliskan di atas pecahan pertama:
Sekarang kita cari faktor tambahan untuk pecahan kedua. Bagilah KPK dengan penyebut pecahan kedua. KPK adalah angka 30, dan penyebut pecahan kedua adalah angka 3. Bagi 30 dengan 3, kita mendapat faktor tambahan kedua 10. Kita tuliskan di atas pecahan kedua:
Sekarang kita cari faktor tambahan untuk pecahan ketiga. Bagilah KPK dengan penyebut pecahan ketiga. KPK adalah angka 30, dan penyebut pecahan ketiga adalah angka 5. Bagi 30 dengan 5, kita mendapat faktor tambahan ketiga 6. Kita tuliskan di atas pecahan ketiga:
Sekarang semuanya siap untuk pengurangan. Tetap mengalikan pecahan dengan faktor tambahannya:
Kami sampai pada kesimpulan bahwa pecahan yang penyebutnya berbeda berubah menjadi pecahan yang penyebutnya sama (bersama). Dan kita sudah tahu cara mengurangkan pecahan tersebut. Mari selesaikan contoh ini.
Kelanjutan contoh tidak akan muat pada satu baris, jadi kelanjutannya kita pindahkan ke baris berikutnya. Jangan lupa tentang tanda sama dengan (=) pada baris baru:
Jawabannya ternyata pecahan biasa, dan semuanya tampak cocok untuk kita, tetapi terlalu rumit dan jelek. Kita harus membuatnya lebih sederhana. Apa yang bisa dilakukan? Anda dapat mempersingkat pecahan ini.
Untuk mengurangi pecahan, Anda perlu membagi pembilang dan penyebutnya dengan (PBT) angka 20 dan 30.
Jadi, kita cari KPK dari angka 20 dan 30:
Sekarang kita kembali ke contoh kita dan membagi pembilang dan penyebut pecahan dengan gcd yang ditemukan, yaitu dengan 10
Kami menerima jawaban
Mengalikan pecahan dengan angka
Untuk mengalikan pecahan dengan suatu angka, Anda perlu mengalikan pembilang pecahan tertentu dengan angka tersebut dan membiarkan penyebutnya tetap sama.
Contoh 1. Kalikan pecahan dengan angka 1.
Kalikan pembilang pecahan dengan angka 1
Pencatatannya dapat dipahami sebagai pengambilan setengah 1 kali. Misalnya, jika Anda makan pizza sekali, Anda mendapatkan pizza
Dari hukum perkalian kita mengetahui bahwa jika perkalian dan faktornya ditukar, hasil perkaliannya tidak akan berubah. Jika ekspresi ditulis sebagai , maka hasil kali tetap sama dengan . Sekali lagi, aturan mengalikan bilangan bulat dan pecahan berlaku:
Notasi ini dapat dipahami sebagai mengambil setengah dari satu. Misalnya, jika ada 1 pizza utuh dan kita ambil setengahnya, maka kita akan mendapatkan pizza:
Contoh 2. Temukan nilai sebuah ekspresi
Kalikan pembilang pecahan dengan 4
Jawabannya adalah pecahan biasa. Mari kita soroti keseluruhan bagiannya:
Ungkapan tersebut dapat dipahami sebagai mengambil dua perempat sebanyak 4 kali. Misalnya, jika Anda mengambil 4 pizza, Anda akan mendapatkan dua pizza utuh
Dan jika kita menukar pengganda dan pengganda, kita mendapatkan ekspresi . Ini juga akan sama dengan 2. Ungkapan ini dapat dipahami sebagai mengambil dua pizza dari empat pizza utuh:
Mengalikan pecahan
Untuk mengalikan pecahan, Anda perlu mengalikan pembilang dan penyebutnya. Jika jawabannya ternyata pecahan biasa, Anda perlu menyorot seluruh bagiannya.
Contoh 1. Temukan nilai ekspresi.
Kami menerima jawaban. Disarankan untuk mengurangi pecahan ini. Pecahan tersebut dapat dikurangi 2. Maka penyelesaian akhirnya akan berbentuk sebagai berikut:
Ungkapan tersebut dapat dipahami sebagai mengambil pizza dari setengah pizza. Katakanlah kita mempunyai setengah pizza:
Bagaimana cara mengambil dua pertiga dari separuh ini? Pertama, Anda perlu membagi setengahnya menjadi tiga bagian yang sama:
Dan ambil dua dari tiga bagian ini:
Kami akan membuat pizza. Ingat seperti apa pizza jika dibagi menjadi tiga bagian:
Satu potong pizza ini dan dua potong yang kami ambil akan memiliki dimensi yang sama:
Dengan kata lain, kita berbicara tentang pizza dengan ukuran yang sama. Oleh karena itu, nilai dari ekspresi tersebut adalah
Contoh 2. Temukan nilai sebuah ekspresi
Kalikan pembilang pecahan pertama dengan pembilang pecahan kedua, dan penyebut pecahan pertama dengan penyebut pecahan kedua:
Jawabannya adalah pecahan biasa. Mari kita soroti keseluruhan bagiannya:
Contoh 3. Temukan nilai sebuah ekspresi
Kalikan pembilang pecahan pertama dengan pembilang pecahan kedua, dan penyebut pecahan pertama dengan penyebut pecahan kedua:
Jawabannya ternyata pecahan biasa, tapi alangkah baiknya jika dipersingkat. Untuk mengurangi pecahan ini, Anda perlu membagi pembilang dan penyebut pecahan tersebut dengan yang terbesar pembagi persekutuan(GCD) nomor 105 dan 450.
Jadi, mari kita cari KPK dari angka 105 dan 450:
Sekarang kita bagi pembilang dan penyebut jawaban kita dengan gcd yang sudah kita temukan sekarang, yaitu dengan 15
Mewakili bilangan bulat sebagai pecahan
Bilangan bulat apa pun dapat direpresentasikan sebagai pecahan. Misalnya, angka 5 dapat direpresentasikan sebagai . Ini tidak akan mengubah arti dari lima, karena ungkapan tersebut berarti “angka lima dibagi satu”, dan ini, seperti kita ketahui, sama dengan lima:
Nomor timbal balik
Sekarang kita akan berkenalan dengan sangat topik yang menarik dalam matematika. Ini disebut "bilangan terbalik".
Definisi. Balik ke angkaA adalah bilangan yang jika dikalikan denganA memberikan satu.
Mari kita gantikan definisi ini dengan variabel A nomor 5 dan coba baca definisinya:
Balik ke angka 5 adalah bilangan yang jika dikalikan dengan 5 memberikan satu.
Mungkinkah menemukan bilangan yang jika dikalikan 5 akan menghasilkan satu? Ternyata itu mungkin. Mari kita bayangkan lima sebagai pecahan:
Kemudian kalikan pecahan ini dengan pecahan itu sendiri, cukup tukar pembilang dan penyebutnya. Dengan kata lain, mari kalikan pecahan dengan pecahan itu sendiri, hanya terbalik:
Apa yang akan terjadi akibat hal ini? Jika kita terus menyelesaikan contoh ini, kita mendapatkan satu:
Artinya kebalikan dari bilangan 5 adalah bilangan , karena jika dikalikan 5 maka didapat satu.
Kebalikan suatu bilangan juga dapat ditemukan untuk bilangan bulat lainnya.
Anda juga dapat mencari kebalikan dari pecahan lainnya. Untuk melakukan ini, balikkan saja.
Membagi pecahan dengan angka
Katakanlah kita mempunyai setengah pizza:
Mari kita bagi rata menjadi dua. Berapa banyak pizza yang didapat setiap orang?
Terlihat bahwa setelah membagi separuh pizza, diperoleh dua bagian yang sama besar, yang masing-masing merupakan pizza. Jadi semua orang mendapat pizza.
Pembagian pecahan dilakukan dengan menggunakan timbal balik. Nomor timbal balik memungkinkan Anda mengganti pembagian dengan perkalian.
Untuk membagi pecahan dengan suatu bilangan, Anda perlu mengalikan pecahan tersebut dengan kebalikan dari pembaginya.
Dengan menggunakan aturan ini, kita akan menuliskan pembagian separuh pizza kita menjadi dua bagian.
Jadi, Anda perlu membagi pecahan dengan angka 2. Di sini yang membagi adalah pecahan dan pembaginya adalah angka 2.
Untuk membagi pecahan dengan angka 2, Anda perlu mengalikan pecahan tersebut dengan kebalikan dari pembagi 2. Kebalikan dari pembagi 2 adalah pecahan. Jadi, Anda perlu mengalikannya
Pada abad kelima SM, filsuf Yunani kuno Zeno dari Elea merumuskan aporianya yang terkenal, yang paling terkenal adalah aporia “Achilles dan Kura-kura”. Berikut bunyinya:Katakanlah Achilles berlari sepuluh kali lebih cepat dari kura-kura dan berada seribu langkah di belakangnya. Selama waktu yang dibutuhkan Achilles untuk berlari sejauh ini, kura-kura akan merangkak seratus langkah ke arah yang sama. Ketika Achilles berlari seratus langkah, kura-kura merangkak sepuluh langkah lagi, dan seterusnya. Prosesnya akan terus berlanjut tanpa batas, Achilles tidak akan pernah bisa mengejar kura-kura.
Alasan ini menjadi kejutan logis bagi semua generasi berikutnya. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... Mereka semua menganggap aporia Zeno dalam satu atau lain cara. Guncangannya begitu kuat sehingga " ...diskusi berlanjut hingga hari ini; komunitas ilmiah belum dapat mencapai konsensus mengenai esensi paradoks...terlibat dalam studi masalah ini analisis matematis, teori himpunan, pendekatan fisik dan filosofis baru; tidak satupun dari mereka menjadi solusi yang diterima secara umum untuk masalah ini..."[Wikipedia," Zeno's Aporia ". Semua orang mengerti bahwa mereka sedang dibodohi, tapi tidak ada yang mengerti apa isi penipuan itu.
Dari sudut pandang matematika, Zeno dalam aporianya dengan jelas menunjukkan transisi dari kuantitas ke kuantitas. Transisi ini menyiratkan penerapan, bukan penerapan permanen. Sejauh yang saya pahami, peralatan matematika untuk menggunakan satuan pengukuran variabel belum dikembangkan, atau belum diterapkan pada aporia Zeno. Menerapkan logika biasa membawa kita ke dalam jebakan. Karena kelembaman berpikir, kita menerapkan satuan waktu yang konstan pada nilai timbal balik. Dari sudut pandang fisik, ini tampak seperti waktu yang melambat hingga berhenti sepenuhnya pada saat Achilles menyusul penyu tersebut. Jika waktu berhenti, Achilles tidak bisa lagi berlari lebih cepat dari kura-kura.
Jika kita membalikkan logika kita yang biasa, semuanya akan beres. Achilles berlari dengan kecepatan konstan. Setiap segmen jalur berikutnya sepuluh kali lebih pendek dari segmen sebelumnya. Oleh karena itu, waktu yang dibutuhkan untuk mengatasinya sepuluh kali lebih sedikit dibandingkan waktu sebelumnya. Jika kita menerapkan konsep “tak terhingga” dalam situasi ini, maka benar jika dikatakan “Achilles akan menyusul penyu dengan sangat cepat.”
Bagaimana cara menghindari jebakan logis ini? Tetap dalam satuan waktu yang konstan dan jangan beralih ke satuan timbal balik. Dalam bahasa Zeno tampilannya seperti ini:
Dalam waktu yang dibutuhkan Achilles untuk berlari seribu langkah, kura-kura akan merangkak seratus langkah ke arah yang sama. Selama selang waktu berikutnya yang sama dengan waktu pertama, Achilles akan berlari seribu langkah lagi, dan kura-kura akan merangkak seratus langkah. Sekarang Achilles berada delapan ratus langkah di depan kura-kura.
Pendekatan ini cukup menggambarkan realitas tanpa adanya paradoks logis. Tapi ini bukanlah solusi lengkap untuk masalah ini. Pernyataan Einstein tentang kecepatan cahaya yang tak tertahankan sangat mirip dengan aporia Zeno “Achilles and the Tortoise”. Kita masih harus mempelajari, memikirkan kembali dan memecahkan masalah ini. Dan solusinya harus dicari bukan dalam jumlah yang sangat besar, namun dalam satuan pengukuran.
Aporia menarik lainnya dari Zeno menceritakan tentang panah terbang:
Anak panah yang terbang tidak bergerak, karena ia diam pada setiap saat, dan karena ia diam pada setiap saat, maka ia selalu diam.
Dalam aporia ini, paradoks logis diatasi dengan sangat sederhana - cukup untuk memperjelas bahwa pada setiap momen waktu sebuah panah terbang diam di berbagai titik di ruang angkasa, yang sebenarnya adalah gerakan. Hal lain yang perlu diperhatikan di sini. Dari satu foto sebuah mobil di jalan raya, tidak mungkin untuk menentukan fakta pergerakannya atau jaraknya. Untuk menentukan apakah sebuah mobil sedang bergerak, Anda memerlukan dua foto yang diambil dari titik yang sama pada titik waktu yang berbeda, tetapi Anda tidak dapat menentukan jarak dari keduanya. Untuk menentukan jarak ke sebuah mobil, Anda memerlukan dua buah foto yang diambil dari titik ruang yang berbeda pada satu titik waktu, namun dari foto tersebut Anda tidak dapat menentukan fakta pergerakannya (tentunya Anda masih memerlukan data tambahan untuk perhitungannya, trigonometri akan membantu Anda ). Apa yang ingin saya tunjukkan Perhatian khusus, apakah dua titik dalam waktu dan dua titik dalam ruang merupakan hal yang berbeda sehingga tidak boleh tertukar, karena memberikan peluang penelitian yang berbeda.
Rabu, 4 Juli 2018
Perbedaan antara himpunan dan multiset dijelaskan dengan sangat baik di Wikipedia. Mari kita lihat.
Seperti yang Anda lihat, “tidak mungkin ada dua elemen yang identik dalam satu himpunan”, tetapi jika ada elemen yang identik dalam suatu himpunan, himpunan tersebut disebut “multiset”. Makhluk berakal tidak akan pernah memahami logika absurd seperti itu. Ini adalah level burung beo yang bisa berbicara dan monyet terlatih, yang tidak memiliki kecerdasan dari kata “sepenuhnya”. Matematikawan bertindak sebagai pelatih biasa, mengajarkan kepada kita ide-ide absurd mereka.
Suatu ketika, para insinyur yang membangun jembatan berada di perahu di bawah jembatan saat menguji jembatan tersebut. Jika jembatan itu runtuh, insinyur biasa-biasa saja itu mati di bawah reruntuhan ciptaannya. Jika jembatan itu mampu menahan beban, insinyur berbakat itu membangun jembatan lain.
Tidak peduli bagaimana ahli matematika bersembunyi di balik ungkapan "ingatlah, saya ada di rumah", atau lebih tepatnya, "matematika mempelajari konsep-konsep abstrak", ada satu tali pusar yang menghubungkan konsep-konsep tersebut dengan kenyataan. Tali pusar ini adalah uang. Mari kita terapkan teori himpunan matematika pada ahli matematika itu sendiri.
Kami belajar matematika dengan sangat baik dan sekarang kami duduk di depan kasir, membagikan gaji. Jadi seorang ahli matematika datang kepada kita untuk mendapatkan uangnya. Kami menghitung seluruh jumlah kepadanya dan menaruhnya di meja kami dalam tumpukan yang berbeda, di mana kami menaruh uang kertas dengan denominasi yang sama. Kemudian kita mengambil satu lembar uang dari setiap tumpukan dan memberikan “gaji matematis” kepada ahli matematika tersebut. Mari kita jelaskan kepada ahli matematika bahwa dia akan menerima sisa uang hanya jika dia membuktikan bahwa himpunan tanpa elemen identik tidak sama dengan himpunan dengan elemen identik. Di sinilah kesenangan dimulai.
Pertama-tama, logika para deputi akan berhasil: “Ini bisa diterapkan pada orang lain, tapi tidak pada saya!” Kemudian mereka akan mulai meyakinkan kita bahwa uang kertas pecahan yang sama mempunyai nomor uang kertas yang berbeda, yang berarti tidak dapat dianggap sebagai unsur yang sama. Oke, mari kita hitung gaji dalam koin - tidak ada angka pada koin tersebut. Di sini ahli matematika akan mulai mengingat fisika dengan panik: ada koin yang berbeda jumlah yang berbeda kotoran, struktur kristal dan susunan atom setiap koin unik...
Dan sekarang saya punya yang paling banyak minat Tanya: di manakah garis yang diluarnya unsur-unsur suatu himpunan banyak berubah menjadi unsur-unsur suatu himpunan dan sebaliknya? Garis seperti itu tidak ada - semuanya diputuskan oleh dukun, sains bahkan tidak bisa berbohong di sini.
Lihat disini. Kami memilih stadion sepak bola dengan luas lapangan yang sama. Luas bidangnya sama - artinya kita memiliki multiset. Tapi kalau kita lihat nama-nama stadion yang sama ini, kita mendapat banyak, karena namanya berbeda. Seperti yang Anda lihat, himpunan elemen yang sama merupakan himpunan dan multiset. Yang mana yang benar? Dan di sini ahli matematika-dukun-tajam mengeluarkan kartu as dari lengan bajunya dan mulai memberi tahu kita tentang himpunan atau multiset. Bagaimanapun, dia akan meyakinkan kita bahwa dia benar.
Untuk memahami bagaimana dukun modern beroperasi dengan teori himpunan, menghubungkannya dengan kenyataan, cukup menjawab satu pertanyaan: apa perbedaan unsur-unsur suatu himpunan dengan unsur-unsur himpunan lainnya? Saya akan menunjukkan kepada Anda, tanpa "yang dapat dibayangkan sebagai bukan satu kesatuan" atau "tidak dapat dibayangkan sebagai satu kesatuan".
Minggu, 18 Maret 2018
Penjumlahan angka-angka suatu bilangan merupakan tarian dukun dengan rebana, yang tidak ada hubungannya dengan matematika. Ya, dalam pelajaran matematika kita diajarkan untuk mencari jumlah digit suatu bilangan dan menggunakannya, tapi itulah mengapa mereka menjadi dukun, untuk mengajari keturunannya keterampilan dan kebijaksanaannya, jika tidak, dukun akan mati begitu saja.
Apakah Anda memerlukan bukti? Buka Wikipedia dan coba temukan halaman "Jumlah digit suatu bilangan". Dia tidak ada. Tidak ada rumus dalam matematika yang dapat digunakan untuk mencari jumlah digit suatu bilangan. Bagaimanapun, angka memang demikian simbol grafis, yang dengannya kita menulis angka-angka, dan dalam bahasa matematika, tugasnya adalah sebagai berikut: "Temukan jumlah simbol grafik yang mewakili angka apa pun." Matematikawan tidak bisa memecahkan masalah ini, tapi dukun bisa menyelesaikannya dengan mudah.
Mari kita cari tahu apa dan bagaimana yang kita lakukan untuk menemukan jumlah digit suatu bilangan. Jadi, mari kita punya bilangan 12345. Apa yang perlu dilakukan untuk mencari jumlah angka-angka dari bilangan tersebut? Mari kita pertimbangkan semua langkah secara berurutan.
1. Tuliskan nomor tersebut pada selembar kertas. Apa yang telah kita lakukan? Kami telah mengubah angka tersebut menjadi simbol angka grafis. Ini bukan operasi matematika.
2. Kami memotong satu gambar yang dihasilkan menjadi beberapa gambar yang berisi nomor individual. Memotong gambar bukanlah operasi matematika.
3. Ubah simbol grafik individual menjadi angka. Ini bukan operasi matematika.
4. Jumlahkan angka yang dihasilkan. Sekarang ini adalah matematika.
Jumlah digit angka 12345 adalah 15. Inilah “kursus memotong dan menjahit” yang diajarkan oleh dukun yang digunakan para ahli matematika. Tapi itu belum semuanya.
Dari sudut pandang matematika, tidak masalah dalam sistem bilangan mana kita menulis suatu bilangan. Jadi, di sistem yang berbeda Dalam kalkulus, jumlah angka-angka suatu bilangan yang sama akan berbeda. Dalam matematika, sistem bilangan ditunjukkan sebagai subskrip di sebelah kanan bilangan. Dengan banyaknya angka 12345, saya tidak mau membodohi kepala saya, mari kita simak angka 26 dari artikel tentang. Mari kita tuliskan bilangan ini dalam sistem bilangan biner, oktal, desimal, dan heksadesimal. Kami tidak akan melihat setiap langkah di bawah mikroskop; kami sudah melakukannya. Mari kita lihat hasilnya.
Seperti yang Anda lihat, dalam sistem bilangan yang berbeda, jumlah angka-angka dari bilangan yang sama berbeda. Hasil ini tidak ada hubungannya dengan matematika. Sama halnya jika Anda menentukan luas persegi panjang dalam meter dan sentimeter, Anda akan mendapatkan hasil yang sangat berbeda.
Nol terlihat sama di semua sistem bilangan dan tidak memiliki jumlah digit. Ini adalah argumen lain yang mendukung fakta itu. Pertanyaan untuk ahli matematika: bagaimana sesuatu yang bukan bilangan dinyatakan dalam matematika? Apa, bagi ahli matematika, tidak ada yang ada kecuali angka? Saya mengizinkan hal ini terjadi pada dukun, tetapi tidak pada ilmuwan. Realitas bukan hanya soal angka.
Hasil yang diperoleh harus dianggap sebagai bukti bahwa sistem bilangan adalah satuan ukuran bilangan. Lagi pula, kita tidak bisa membandingkan angka-angka dengan satuan pengukuran yang berbeda. Jika tindakan yang sama dengan satuan pengukuran yang berbeda dari besaran yang sama menghasilkan hasil yang berbeda setelah membandingkannya, maka ini tidak ada hubungannya dengan matematika.
Apa itu matematika sebenarnya? Ini terjadi ketika hasil operasi matematika tidak bergantung pada besar kecilnya bilangan, satuan pengukuran yang digunakan, dan siapa yang melakukan tindakan tersebut.
Oh! Bukankah ini toilet wanita?
- Wanita muda! Ini adalah laboratorium untuk mempelajari kekudusan jiwa-jiwa selama kenaikan mereka ke surga! Halo di atas dan panah ke atas. Toilet apa lagi?
Perempuan... Lingkaran cahaya di atas dan panah di bawah adalah laki-laki.
Jika karya seni desain seperti itu muncul di depan mata Anda beberapa kali sehari,
Maka tidak heran jika Anda tiba-tiba menemukan ikon aneh di mobil Anda:
Saya pribadi berusaha melihat minus empat derajat pada orang buang air besar (satu gambar) (komposisi beberapa gambar: tanda minus, angka empat, sebutan derajat). Dan menurutku gadis ini bukanlah orang bodoh yang tidak tahu fisika. Dia hanya memiliki stereotip yang kuat dalam melihat gambar grafis. Dan para ahli matematika selalu mengajari kita hal ini. Berikut ini contohnya.
1A bukan “minus empat derajat” atau “satu a”. Ini adalah "pooping man" atau angka "dua puluh enam" dalam notasi heksadesimal. Orang-orang yang terus-menerus bekerja dalam sistem bilangan ini secara otomatis menganggap angka dan huruf sebagai satu simbol grafis.
Pecahan adalah bilangan biasa yang juga dapat dijumlahkan dan dikurangkan. Namun karena mengandung penyebut yang lebih besar aturan yang rumit daripada bilangan bulat.
Mari kita perhatikan kasus paling sederhana, ketika ada dua pecahan yang penyebutnya sama. Kemudian:
Untuk menjumlahkan pecahan yang penyebutnya sama, Anda perlu menjumlahkan pembilangnya dan membiarkan penyebutnya tidak berubah.
Untuk mengurangkan pecahan yang penyebutnya sama, Anda perlu mengurangkan pembilang pecahan kedua dari pembilang pecahan pertama, dan membiarkan penyebutnya tidak berubah.
Dalam setiap ekspresi, penyebut pecahannya sama. Berdasarkan definisi penjumlahan dan pengurangan pecahan kita peroleh:
Seperti yang Anda lihat, tidak ada yang rumit: kita cukup menambah atau mengurangi pembilangnya dan selesai.
Namun bahkan dalam tindakan sederhana seperti itu, orang masih bisa melakukan kesalahan. Yang paling sering dilupakan adalah penyebutnya tidak berubah. Misalnya, ketika mereka dijumlahkan, mereka juga mulai bertambah, dan ini pada dasarnya salah.
Menghilangkan kebiasaan buruk menjumlahkan penyebut cukup sederhana. Cobalah hal yang sama saat mengurangi. Akibatnya, penyebutnya menjadi nol, dan pecahan tersebut (tiba-tiba!) kehilangan maknanya.
Oleh karena itu, ingatlah sekali dan untuk selamanya: saat menjumlahkan dan mengurangi, penyebutnya tidak berubah!
Banyak orang juga melakukan kesalahan saat menjumlahkan beberapa pecahan negatif. Ada kebingungan dengan tanda-tandanya: di mana harus memberi tanda minus dan di mana harus memberi tanda plus.
Masalah ini juga sangat mudah untuk diatasi. Perlu diingat bahwa minus sebelum tanda pecahan selalu dapat dipindahkan ke pembilangnya - dan sebaliknya. Dan tentu saja, jangan lupakan dua aturan sederhana:
- Ditambah dengan minus menghasilkan minus;
- Dua hal negatif menjadi afirmatif.
Mari kita lihat semua ini dengan contoh spesifik:
Tugas. Temukan arti dari ungkapan:
Dalam kasus pertama, semuanya sederhana, tetapi dalam kasus kedua, mari tambahkan minus pada pembilang pecahan:
Apa yang harus dilakukan jika penyebutnya berbeda
Anda tidak dapat menjumlahkan pecahan yang penyebutnya berbeda secara langsung. Setidaknya, metode ini tidak saya ketahui. Namun pecahan asal selalu dapat ditulis ulang sehingga penyebutnya menjadi sama.
Ada banyak cara untuk mengkonversi pecahan. Tiga di antaranya dibahas dalam pelajaran “Mengurangi pecahan menjadi penyebut yang sama”, jadi kami tidak akan membahasnya di sini. Mari kita lihat beberapa contoh:
Tugas. Temukan arti dari ungkapan:
Dalam kasus pertama, kita mengurangi pecahan menjadi penyebut yang sama menggunakan metode “saling silang”. Yang kedua kita akan mencari NOC. Perhatikan bahwa 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3. Faktor terakhir pada pemuaian ini adalah sama, dan faktor pertama relatif prima. Jadi KPK(6, 9) = 2 3 3 = 18.
Apa yang harus dilakukan jika pecahan mempunyai bagian bilangan bulat
Saya dapat menyenangkan Anda: penyebut pecahan yang berbeda bukanlah kejahatan terbesar. Lebih banyak kesalahan terjadi ketika seluruh bagian disorot dalam pecahan penjumlahan.
Tentu saja, untuk pecahan seperti itu ada algoritma kepemilikan penjumlahan dan pengurangan, namun cukup rumit dan memerlukan banyak pembelajaran. Penggunaan yang lebih baik diagram sederhana, diberikan di bawah:
- Ubah semua pecahan yang mengandung bagian bilangan bulat menjadi pecahan biasa. Kami memperoleh suku-suku normal (meskipun dengan penyebut berbeda), yang dihitung menurut aturan yang dibahas di atas;
- Sebenarnya menghitung jumlah atau selisih pecahan yang dihasilkan. Hasilnya, secara praktis kita akan menemukan jawabannya;
- Jika hanya ini yang diperlukan dalam tugas, kami melaksanakannya konversi terbalik, yaitu. Kita menghilangkan pecahan biasa dengan menyorot seluruh bagiannya.
Aturan untuk berpindah ke pecahan biasa dan menyorot seluruh bagian dijelaskan secara rinci dalam pelajaran “Apa itu pecahan numerik”. Jika Anda tidak ingat, pastikan untuk mengulanginya. Contoh:
Tugas. Temukan arti dari ungkapan:
Semuanya sederhana di sini. Penyebut dalam setiap ekspresi adalah sama, jadi yang tersisa hanyalah mengubah semua pecahan menjadi pecahan biasa dan menghitungnya. Kita punya:
Untuk menyederhanakan perhitungan, saya telah melewatkan beberapa langkah yang jelas pada contoh terakhir.
Catatan kecil tentang dua contoh terbaru, di mana pecahan dengan bagian bilangan bulat yang disorot akan dikurangi. Tanda minus sebelum pecahan kedua berarti seluruh pecahan yang dikurangi, dan bukan hanya sebagian saja.
Baca kembali kalimat ini, lihat contohnya - dan pikirkanlah. Di sinilah para pemula membuat banyak kesalahan. Mereka senang memberikan tugas seperti itu tes. Anda juga akan menemukannya beberapa kali dalam tes untuk pelajaran ini, yang akan segera diterbitkan.
Ringkasan: skema perhitungan umum
Sebagai kesimpulan, saya akan memberikan algoritma umum yang akan membantu Anda menemukan jumlah atau selisih dua pecahan atau lebih:
- Jika satu atau lebih pecahan mempunyai bagian bilangan bulat, ubahlah pecahan tersebut menjadi pecahan biasa;
- Bawa semua pecahan ke penyebut yang sama dengan cara apa pun yang nyaman bagi Anda (kecuali, tentu saja, penulis soal melakukan ini);
- Menambah atau mengurangi bilangan yang dihasilkan sesuai dengan aturan penjumlahan dan pengurangan pecahan yang penyebutnya sama;
- Jika memungkinkan, persingkat hasilnya. Jika pecahannya salah, pilih seluruh bagiannya.
Ingatlah bahwa lebih baik menyorot seluruh bagian di akhir tugas, tepat sebelum menuliskan jawabannya.
Anda dapat melakukan berbagai operasi dengan pecahan, misalnya menjumlahkan pecahan. Penjumlahan pecahan dibedakan menjadi beberapa jenis. Setiap jenis penjumlahan pecahan memiliki aturan dan algoritma tindakannya sendiri. Mari kita lihat setiap jenis penambahan secara detail.
Menjumlahkan pecahan yang penyebutnya sama.
Mari kita lihat contoh cara menjumlahkan pecahan dengan penyebut yang sama.
Para wisatawan melakukan pendakian dari titik A ke titik E. Pada hari pertama mereka berjalan kaki dari titik A ke B atau \(\frac(1)(5)\) dari keseluruhan jalur. Pada hari kedua mereka berjalan dari titik B ke D atau \(\frac(2)(5)\) sepanjang perjalanan. Berapa jarak yang mereka tempuh dari awal perjalanan menuju titik D?
Untuk mencari jarak dari titik A ke titik D, Anda perlu menjumlahkan pecahan \(\frac(1)(5) + \frac(2)(5)\).
Menjumlahkan pecahan yang penyebutnya sama berarti Anda harus menjumlahkan pembilang pecahan tersebut, tetapi penyebutnya tetap sama.
\(\frac(1)(5) + \frac(2)(5) = \frac(1 + 2)(5) = \frac(3)(5)\)
Dalam bentuk literal, jumlah pecahan yang penyebutnya sama akan terlihat seperti ini:
\(\bf \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a + b)(c)\)
Jawaban: para wisatawan berjalan \(\frac(3)(5)\) sepanjang perjalanan.
Menjumlahkan pecahan yang penyebutnya berbeda.
Mari kita lihat sebuah contoh:
Anda perlu menjumlahkan dua pecahan \(\frac(3)(4)\) dan \(\frac(2)(7)\).
Untuk menjumlahkan pecahan yang penyebutnya berbeda, Anda harus mencarinya terlebih dahulu, lalu gunakan aturan penjumlahan pecahan yang penyebutnya sama.
Untuk penyebut 4 dan 7, penyebutnya adalah 28. Pecahan pertama \(\frac(3)(4)\) harus dikalikan 7. Pecahan kedua \(\frac(2)(7)\ ) harus dikalikan 4.
\(\frac(3)(4) + \frac(2)(7) = \frac(3 \kali \warna(merah) (7) + 2 \kali \warna(merah) (4))(4 \ kali \warna(merah) (7)) = \frac(21 + 8)(28) = \frac(29)(28) = 1\frac(1)(28)\)
Dalam bentuk literal kita mendapatkan rumus berikut:
\(\bf \frac(a)(b) + \frac(c)(d) = \frac(a \kali d + c \kali b)(b \kali d)\)
Penjumlahan bilangan campuran atau pecahan campuran.
Penjumlahan terjadi menurut hukum penjumlahan.
Untuk pecahan campuran, kita menjumlahkan bagian bilangan bulat dengan bagian bilangan bulat, dan bagian pecahan dengan pecahan.
Jika bagian pecahan nomor campuran mempunyai penyebut yang sama, lalu kita jumlahkan pembilangnya, tetapi penyebutnya tetap sama.
Mari kita jumlahkan bilangan campuran \(3\frac(6)(11)\) dan \(1\frac(3)(11)\).
\(3\frac(6)(11) + 1\frac(3)(11) = (\warna(merah) (3) + \warna(biru) (\frac(6)(11))) + ( \warna(merah) (1) + \warna(biru) (\frac(3)(11))) = (\warna(merah) (3) + \warna(merah) (1)) + (\warna( biru) (\frac(6)(11)) + \color(biru) (\frac(3)(11))) = \color(merah)(4) + (\color(biru) (\frac(6 + 3)(11))) = \warna(merah)(4) + \warna(biru) (\frac(9)(11)) = \warna(merah)(4) \warna(biru) (\frac (9)(11))\)
Jika bagian pecahan dari bilangan campuran memiliki penyebut yang berbeda, maka kita mencari penyebut yang sama.
Mari kita lakukan penjumlahan bilangan campuran \(7\frac(1)(8)\) dan \(2\frac(1)(6)\).
Penyebutnya berbeda, jadi kita perlu mencari penyebut yang sama, yaitu sama dengan 24. Kalikan pecahan pertama \(7\frac(1)(8)\) dengan faktor tambahan sebesar 3, dan pecahan kedua \( 2\frac(1)(6)\) kali 4.
\(7\frac(1)(8) + 2\frac(1)(6) = 7\frac(1 \kali \warna(merah) (3))(8 \kali \warna(merah) (3) ) = 2\frac(1\kali \warna(merah) (4))(6\kali \warna(merah) (4)) =7\frac(3)(24) + 2\frac(4)(24 ) = 9\frac(7)(24)\)
Pertanyaan-pertanyaan Terkait:
Bagaimana cara menjumlahkan pecahan?
Jawaban: pertama-tama Anda perlu memutuskan jenis ekspresinya: pecahan memiliki penyebut yang sama, penyebut berbeda, atau pecahan campuran. Bergantung pada jenis ekspresi, kami melanjutkan ke algoritma solusi.
Bagaimana cara menyelesaikan pecahan yang penyebutnya berbeda?
Jawaban: Anda perlu mencari penyebut yang sama, lalu ikuti aturan penjumlahan pecahan yang penyebutnya sama.
Bagaimana cara menyelesaikan pecahan campuran?
Jawaban: kita menjumlahkan bagian bilangan bulat dengan bilangan bulat dan bagian pecahan dengan pecahan.
Contoh 1:
Bisakah penjumlahan dua menghasilkan pecahan biasa? Fraksi yang tidak tepat? Berikan contoh.
\(\frac(2)(7) + \frac(3)(7) = \frac(2 + 3)(7) = \frac(5)(7)\)
Pecahan \(\frac(5)(7)\) adalah pecahan biasa yang merupakan hasil penjumlahan dua pecahan biasa \(\frac(2)(7)\) dan \(\frac(3) (7)\).
\(\frac(2)(5) + \frac(8)(9) = \frac(2 \kali 9 + 8 \kali 5)(5 \kali 9) =\frac(18 + 40)(45) = \frac(58)(45)\)
Pecahan \(\frac(58)(45)\) adalah pecahan biasa, merupakan hasil penjumlahan pecahan biasa \(\frac(2)(5)\) dan \(\frac(8) (9)\).
Jawaban: Jawaban untuk kedua pertanyaan tersebut adalah ya.
Contoh #2:
Tambahkan pecahan: a) \(\frac(3)(11) + \frac(5)(11)\) b) \(\frac(1)(3) + \frac(2)(9)\) .
a) \(\frac(3)(11) + \frac(5)(11) = \frac(3 + 5)(11) = \frac(8)(11)\)
b) \(\frac(1)(3) + \frac(2)(9) = \frac(1 \kali \warna(merah) (3))(3 \kali \warna(merah) (3)) + \frac(2)(9) = \frac(3)(9) + \frac(2)(9) = \frac(5)(9)\)
Contoh #3:
Tuliskan pecahan campuran sebagai jumlah bilangan asli dan pecahan biasa: a) \(1\frac(9)(47)\) b) \(5\frac(1)(3)\)
a) \(1\frac(9)(47) = 1 + \frac(9)(47)\)
b) \(5\frac(1)(3) = 5 + \frac(1)(3)\)
Contoh #4:
Hitung jumlahnya: a) \(8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7)\) b) \(2\frac(9)(13) + \frac(2)(13 ) \) c) \(7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15)\)
a) \(8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7) = (8 + 2) + (\frac(5)(7) + \frac(1)(7)) = 10 + \frac(6)(7) = 10\frac(6)(7)\)
b) \(2\frac(9)(13) + \frac(2)(13) = 2 + (\frac(9)(13) + \frac(2)(13)) = 2\frac(11 )(13) \)
c) \(7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15) = 7\frac(2\kali 3)(5\kali 3) + 3\frac(4)(15) = 7\frac(6)(15) + 3\frac(4)(15) = (7 + 3)+(\frac(6)(15) + \frac(4)(15)) = 10 + \frac (10)(15) = 10\frac(10)(15) = 10\frac(2)(3)\)
Tugas 1:
Saat makan siang kami makan \(\frac(8)(11)\) dari kue, dan pada malam hari saat makan malam kami makan \(\frac(3)(11)\). Kira-kira kuenya sudah habis dimakan atau belum?
Larutan:
Penyebut pecahannya adalah 11, yang menunjukkan berapa bagian kue yang dibagi. Saat makan siang kita makan 8 potong kue dari 11. Saat makan malam kita makan 3 potong kue dari 11. Mari kita tambahkan 8 + 3 = 11, kita makan potongan kue dari 11, yaitu seluruh kue.
\(\frac(8)(11) + \frac(3)(11) = \frac(11)(11) = 1\)
Menjawab: seluruh kuenya dimakan.