Larutan temukan menggunakan kalkulator. Algoritma penyelesaiannya sama dengan sistem tidak linier persamaan homogen.
Hanya beroperasi dengan baris, kita mencari pangkat matriks, basis minor; Kami mendeklarasikan ketidaktahuan dependen dan bebas dan menemukan solusi umum.
Baris pertama dan kedua proporsional, mari kita coret salah satunya:
.
Variabel terikat – x 2, x 3, x 5, bebas – x 1, x 4. Dari persamaan pertama 10x 5 = 0 kita cari x 5 = 0, lalu
; .
Solusi umumnya adalah:
Kami menemukan sistem solusi fundamental, yang terdiri dari (n-r) solusi. Dalam kasus kita, n=5, r=3, oleh karena itu, sistem solusi fundamental terdiri dari dua solusi, dan solusi ini harus bebas linier. Agar baris-baris tersebut bebas linier, pangkat matriks yang tersusun dari elemen-elemen baris tersebut harus sama dengan jumlah barisnya, yaitu 2. Cukup dengan memberikan bilangan-bilangan bebas yang tidak diketahui x 1 dan nilai x 4 dari baris determinan orde kedua, bukan nol, dan hitung x 2 , x 3 , x 5 . Penentu bukan nol yang paling sederhana adalah .
Jadi solusi pertama adalah:
, Kedua - 
.
Kedua keputusan ini merupakan sistem keputusan mendasar. Perhatikan bahwa sistem fundamentalnya tidak unik (Anda dapat membuat determinan bukan nol sebanyak yang Anda suka).
Contoh 2. Temukan solusi umum dan sistem dasar solusi sistem 
Larutan.
,
maka pangkat matriksnya adalah 3 dan sama dengan banyaknya yang tidak diketahui. Ini berarti bahwa sistem tidak memiliki hal-hal yang tidak diketahui secara bebas, dan oleh karena itu mempunyai solusi yang unik - solusi yang sepele.
Latihan . Jelajahi dan pecahkan sistem persamaan linear.
Contoh 4
Latihan . Temukan solusi umum dan khusus dari setiap sistem.
Larutan. Mari kita tuliskan matriks utama sistem:
| 5 | -2 | 9 | -4 | -1 |
| 1 | 4 | 2 | 2 | -5 |
| 6 | 2 | 11 | -2 | -6 |
| x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
Mari kita reduksi matriks menjadi bentuk segitiga. Kita hanya akan mengerjakan baris, karena mengalikan baris matriks dengan bilangan selain nol dan menjumlahkannya ke baris lain untuk sistem berarti mengalikan persamaan dengan bilangan yang sama dan menjumlahkannya dengan persamaan lain, yang tidak mengubah penyelesaian persamaan. sistem.
Kalikan baris ke-2 dengan (-5). Mari tambahkan baris ke-2 ke baris ke-1:
| 0 | -22 | -1 | -14 | 24 |
| 1 | 4 | 2 | 2 | -5 |
| 6 | 2 | 11 | -2 | -6 |
Kalikan baris ke-2 dengan (6). Kalikan baris ke-3 dengan (-1). Mari tambahkan baris ke-3 ke baris ke-2:
Mari kita cari pangkat matriksnya.
| 0 | 22 | 1 | 14 | -24 |
| 6 | 2 | 11 | -2 | -6 |
| x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
Minor yang dipilih mempunyai orde tertinggi (dari kemungkinan minor) dan bukan nol (sama dengan hasil kali elemen-elemen pada diagonal terbalik), oleh karena itu rang(A) = 2.
Anak di bawah umur ini adalah dasar. Ini mencakup koefisien untuk yang tidak diketahui x 1 , x 2 , yang berarti bahwa yang tidak diketahui x 1 , x 2 bergantung (dasar), dan x 3 , x 4 , x 5 bebas.
Mari kita transformasikan matriksnya, hanya menyisakan basis minor di sebelah kiri.
| 0 | 22 | 14 | -1 | -24 |
| 6 | 2 | -2 | -11 | -6 |
| x 1 | x 2 | x 4 | x 3 | x 5 |
Sistem dengan koefisien matriks ini ekuivalen dengan sistem aslinya dan berbentuk:
22x 2 = 14x 4 - x 3 - 24x 5
6x 1 + 2x 2 = - 2x 4 - 11x 3 - 6x 5
Dengan menggunakan metode menghilangkan hal yang tidak diketahui, kami menemukannya solusi yang tidak sepele:
Kami memperoleh hubungan yang menyatakan variabel terikat x 1 , x 2 melalui variabel bebas x 3 , x 4 , x 5 , yaitu, kami menemukan keputusan bersama:
x 2 = 0,64x 4 - 0,0455x 3 - 1,09x 5
x 1 = - 0,55x 4 - 1,82x 3 - 0,64x 5
Kami menemukan sistem solusi fundamental, yang terdiri dari (n-r) solusi.
Dalam kasus kita, n=5, r=2, oleh karena itu, sistem solusi fundamental terdiri dari 3 solusi, dan solusi ini harus bebas linier.
Agar baris-baris tersebut bebas linier, pangkat matriks yang tersusun dari elemen-elemen baris harus sama dengan jumlah baris, yaitu 3.
Cukup dengan memberikan nilai x 3 , x 4 , x 5 yang tidak diketahui gratis dari garis determinan orde ke-3, bukan nol, dan menghitung x 1 , x 2 .
Penentu bukan nol yang paling sederhana adalah matriks identitas.
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
Tugas . Temukan himpunan solusi mendasar untuk sistem persamaan linear homogen.
Sistem persamaan linear homogen pada suatu bidang
DEFINISI. Sistem dasar penyelesaian sistem persamaan (1) adalah sistem penyelesaiannya yang bebas linier tak kosong, yang rentang liniernya bertepatan dengan himpunan semua solusi sistem (1).
Perhatikan bahwa sistem persamaan linier homogen yang hanya memiliki solusi nol tidak memiliki sistem mendasar keputusan.
USULAN 3.11. Dua sistem dasar penyelesaian sistem persamaan linier homogen terdiri dari nomor yang sama keputusan.
Bukti. Faktanya, dua sistem dasar penyelesaian sistem persamaan homogen (1) adalah ekuivalen dan bebas linier. Oleh karena itu, berdasarkan Proposisi 1.12, peringkat mereka setara. Akibatnya, jumlah solusi yang termasuk dalam satu sistem fundamental sama dengan jumlah solusi yang termasuk dalam sistem solusi fundamental lainnya.
Jika matriks utama A dari sistem persamaan homogen (1) adalah nol, maka sembarang vektor dari merupakan solusi sistem (1); dalam hal ini, himpunan vektor bebas linier dari adalah sistem solusi fundamental. Jika pangkat kolom matriks A sama dengan , maka sistem (1) hanya mempunyai satu solusi - nol; oleh karena itu, dalam hal ini sistem persamaan (1) tidak mempunyai sistem penyelesaian fundamental.
TEOREMA 3.12. Jika pangkat matriks utama suatu sistem persamaan linier homogen (1) lebih kecil dari jumlah variabelnya , maka sistem (1) mempunyai sistem penyelesaian fundamental yang terdiri dari penyelesaian-penyelesaian.
Bukti. Jika pangkat matriks utama A sistem homogen (1) sama dengan nol atau , maka di atas ditunjukkan bahwa teorema tersebut benar. Oleh karena itu, di bawah ini diasumsikan bahwa Dengan asumsi , kita asumsikan bahwa kolom pertama matriks A bebas linier. Dalam hal ini, matriks A ekuivalen secara baris dengan matriks bertahap tereduksi, dan sistem (1) ekuivalen dengan sistem persamaan bertahap tereduksi berikut:
Sangat mudah untuk memeriksa bahwa sistem nilai variabel bebas sistem (2) sesuai dengan satu dan hanya satu solusi untuk sistem (2) dan, oleh karena itu, ke sistem (1). Secara khusus, hanya solusi nol dari sistem (2) dan sistem (1) yang bersesuaian dengan sistem nilai nol.
Dalam sistem (2) kita akan menetapkan salah satu variabel bebas dengan nilai sama dengan 1, dan variabel lainnya - nilai nol. Hasilnya, kita memperoleh solusi sistem persamaan (2), yang kita tulis dalam bentuk baris-baris matriks C berikut:
Sistem baris matriks ini bebas linier. Memang untuk skalar apa pun dari persamaan
kesetaraan mengikuti
dan, oleh karena itu, kesetaraan
Mari kita buktikan bahwa rentang linier sistem baris-baris matriks C berimpit dengan himpunan semua solusi sistem (1).
Solusi sewenang-wenang dari sistem (1). Kemudian vektornya
juga merupakan solusi untuk sistem (1), dan
Persamaan linier disebut homogen, jika suku bebasnya sama dengan nol, dan sebaliknya tidak homogen. Suatu sistem yang terdiri dari persamaan-persamaan homogen disebut homogen dan memiliki bentuk umum:
Jelas bahwa setiap sistem homogen adalah konsisten dan mempunyai solusi nol (trivial). Oleh karena itu, ketika diterapkan pada sistem persamaan linier homogen, sering kali kita harus mencari jawaban atas pertanyaan tentang keberadaan solusi bukan nol. Jawaban atas pertanyaan tersebut dapat dirumuskan sebagai teorema berikut.
Dalil . Suatu sistem persamaan linier homogen mempunyai penyelesaian bukan nol jika dan hanya jika pangkatnya lebih kecil dari jumlah yang tidak diketahui .
Bukti: Mari kita asumsikan bahwa sistem yang peringkatnya sama mempunyai solusi bukan nol. Yang jelas jumlahnya tidak melebihi. Jika sistem memiliki solusi unik. Karena sistem persamaan linier homogen selalu mempunyai solusi nol, maka solusi unik tersebut adalah solusi nol. Oleh karena itu, solusi bukan nol hanya mungkin untuk .
Akibat wajar 1 : Sistem persamaan homogen, yang jumlah persamaannya lebih kecil dari jumlah persamaan yang tidak diketahui, selalu mempunyai penyelesaian yang bukan nol.
Bukti: Jika suatu sistem persamaan mempunyai , maka pangkat sistem tersebut tidak melebihi banyaknya persamaan, yaitu . Dengan demikian, kondisinya terpenuhi dan oleh karena itu, sistem mempunyai solusi yang tidak nol.
Akibat wajar 2 : Sistem persamaan homogen yang tidak diketahui mempunyai solusi bukan nol jika dan hanya jika determinannya nol.
Bukti: Mari kita asumsikan bahwa sistem persamaan linier homogen, yang matriksnya memiliki determinan , mempunyai solusi bukan nol. Kemudian menurut teorema yang terbukti, berarti matriksnya tunggal, yaitu. .
Teorema Kronecker-Capelli: SLU konsisten jika dan hanya jika rank matriks sistem sama dengan rank matriks yang diperluas dari sistem ini. Suatu sistem disebut konsisten jika mempunyai paling sedikit satu solusi.Sistem persamaan aljabar linier homogen.
Suatu sistem persamaan linier dengan n variabel disebut sistem persamaan linier homogen jika semua suku bebasnya sama dengan 0. Suatu sistem persamaan linier homogen selalu konsisten, karena ia selalu memiliki setidaknya solusi nol. Suatu sistem persamaan linier homogen mempunyai penyelesaian bukan nol jika dan hanya jika pangkat matriks koefisien variabelnya lebih kecil dari jumlah variabelnya, yaitu untuk peringkat A (n. Kombinasi linier apa pun
Solusi sistem Lin. homogen. ur-ii juga merupakan solusi untuk sistem ini.
Suatu sistem yang mempunyai solusi-solusi bebas linier e1, e2,...,еk disebut fundamental jika setiap solusi sistem tersebut merupakan kombinasi solusi-solusi linier. Teorema: jika pangkat r matriks koefisien variabel-variabel suatu sistem persamaan linier homogen lebih kecil dari jumlah variabel n, maka setiap sistem fundamental penyelesaian sistem tersebut terdiri dari solusi n-r. Oleh karena itu, solusi umum sistem linier. Satu hari ur-th memiliki bentuk: c1e1+c2e2+...+skek, dengan e1, e2,..., ek adalah sistem solusi fundamental apa pun, c1, c2,...,ck adalah bilangan sembarang dan k=n-r. Solusi umum sistem persamaan linear m dengan n variabel sama dengan jumlah
solusi umum sistem yang bersesuaian dengannya adalah homogen. persamaan linear dan solusi partikular arbitrer dari sistem ini.
7. Ruang linier. Subruang. Dasar, dimensi. Cangkang linier. Ruang linier disebut n-dimensi, jika terdapat sistem vektor-vektor bebas linier di dalamnya, dan sistem apa pun dengan jumlah vektor yang lebih besar adalah sistem bergantung linier. Nomor tersebut dipanggil dimensi (jumlah dimensi) ruang linier dan dilambangkan dengan . Dengan kata lain, dimensi ruang adalah jumlah maksimal vektor bebas linier dari ruang ini. Jika bilangan tersebut ada, maka ruang tersebut disebut berdimensi hingga. Jika untuk siapa pun bilangan asli n dalam ruang terdapat sistem yang terdiri dari vektor-vektor bebas linier, maka ruang tersebut disebut berdimensi tak hingga (ditulis: ). Berikut ini, kecuali dinyatakan lain, ruang berdimensi hingga akan dipertimbangkan.
Basis ruang linier berdimensi n adalah kumpulan vektor bebas linier yang terurut ( vektor dasar).
Teorema 8.1 tentang perluasan suatu vektor dalam suatu basis. Jika merupakan basis dari ruang linier berdimensi n, maka vektor apa pun dapat direpresentasikan sebagai kombinasi linier dari vektor basis:
V=v1*e1+v2*e2+…+vn+en
dan, terlebih lagi, dengan satu-satunya cara, yaitu. koefisien ditentukan secara unik. Dengan kata lain, setiap vektor ruang dapat diperluas menjadi basis dan, terlebih lagi, dengan cara yang unik.
Memang benar dimensi ruang adalah . Sistem vektor bebas linier (ini adalah basis). Dengan menambahkan vektor apa pun ke basis, kita memperolehnya secara linier sistem ketergantungan(karena sistem ini terdiri dari vektor-vektor ruang berdimensi n). Dengan menggunakan sifat 7 vektor bergantung linier dan bebas linier, kita memperoleh kesimpulan dari teorema tersebut.
Membiarkan M 0 – himpunan solusi sistem persamaan linear homogen (4).
Definisi 6.12. vektor Dengan 1 ,Dengan 2 , …, dengan hal, yang merupakan solusi dari sistem persamaan linear homogen disebut serangkaian solusi mendasar(disingkat FNR), jika
1) vektor Dengan 1 ,Dengan 2 , …, dengan hal independen linier (yaitu, tidak ada satupun yang dapat dinyatakan dalam bentuk yang lain);
2) solusi lain apa pun terhadap sistem persamaan linear homogen dapat dinyatakan dalam bentuk solusi Dengan 1 ,Dengan 2 , …, dengan hal.
Perhatikan bahwa jika Dengan 1 ,Dengan 2 , …, dengan hal– f.n.r. mana saja, lalu ekspresi k 1× Dengan 1 + k 2× Dengan 2 + … + k hal× dengan hal Anda dapat menggambarkan keseluruhan rangkaian M 0 solusi untuk sistem (4), demikian disebut pandangan umum dari solusi sistem (4).
Teorema 6.6. Setiap sistem persamaan linier homogen tak tentu mempunyai serangkaian solusi mendasar.
Cara mencari himpunan solusi mendasar adalah sebagai berikut:
Temukan solusi umum sistem persamaan linear homogen;
Membangun ( N – R) solusi parsial dari sistem ini, sedangkan nilai-nilai yang tidak diketahui bebas harus terbentuk matriks identitas;
Tuliskan bentuk umum penyelesaian yang terdapat di dalamnya M 0 .
Contoh 6.5. Temukan serangkaian solusi mendasar untuk sistem berikut:
Larutan. Mari kita cari solusi umum untuk sistem ini.
~ 
~ 
~ ~ 
Þ 
Þ Þ 
Ada lima hal yang tidak diketahui dalam sistem ini ( N= 5), yang mana ada dua hal utama yang tidak diketahui ( R= 2), ada tiga hal yang tidak diketahui ( N – R), yaitu himpunan solusi fundamental berisi tiga vektor solusi. Mari kita membangunnya. Kita punya X 1 dan X 3 – hal utama yang tidak diketahui, X 2 , X 4 , X 5 – hal yang tidak diketahui secara gratis
Nilai-nilai yang tidak diketahui secara gratis X 2 , X 4 , X 5 membentuk matriks identitas E urutan ketiga. Dapatkan vektor itu Dengan 1 ,Dengan 2 , Dengan 3 formulir f.n.r. dari sistem ini. Maka himpunan solusi dari sistem homogen tersebut adalah M 0 = {k 1× Dengan 1 + k 2× Dengan 2 + k 3× Dengan 3 , k 1 , k 2 , k 3 tentang R).
Sekarang mari kita cari tahu syarat-syarat adanya solusi tak nol dari sistem persamaan linear homogen, dengan kata lain, syarat-syarat adanya himpunan solusi fundamental.
Sistem persamaan linier homogen mempunyai penyelesaian yang tidak nol, yaitu tidak pasti
1) pangkat matriks utama sistem lebih kecil dari jumlah yang tidak diketahui;
2) dalam sistem persamaan linier homogen, jumlah persamaan lebih sedikit daripada jumlah persamaan yang tidak diketahui;
3) jika dalam sistem persamaan linier homogen jumlah persamaan sama dengan jumlah persamaan yang tidak diketahui, dan determinan matriks utama sama dengan nol (yaitu | A| = 0).
Contoh 6.6. Pada nilai parameter berapa A sistem persamaan linear yang homogen 
mempunyai solusi bukan nol?
Larutan. Mari kita buat matriks utama sistem ini dan cari determinannya: = = 1×(–1) 1+1 × = – A– 4. Penentu matriks ini sama dengan nol di A = –4.
Menjawab: –4.
7. Aritmatika N ruang vektor -dimensi
Konsep dasar
Pada bagian sebelumnya kita telah menjumpai konsep himpunan bilangan real yang terletak di dalam urutan tertentu. Ini adalah matriks baris (atau matriks kolom) dan solusi sistem persamaan linier dengan N tidak dikenal. Informasi ini dapat diringkas.
Definisi 7.1. N-vektor aritmatika dimensi disebut himpunan terurut N bilangan real.
Cara A= (sebuah 1 , sebuah 2 , …, sebuah N), dimana Saya tentang R, Saya = 1, 2, …, N– pandangan umum vektor. Nomor N ditelepon dimensi vektor, dan bilangan a Saya disebut miliknya koordinat.
Misalnya: A= (1, –8, 7, 4, ) – vektor lima dimensi.
Siap N vektor -dimensi biasanya dilambangkan sebagai Rn.
Definisi 7.2. Dua vektor A= (sebuah 1 , sebuah 2 , …, sebuah N) Dan B= (b 1 , b 2 , …, b N) dengan dimensi yang sama setara jika dan hanya jika koordinat-koordinat yang bersesuaian sama, yaitu a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , …, a N= b N.
Definisi 7.3.Jumlah dua N vektor -dimensi A= (sebuah 1 , sebuah 2 , …, sebuah N) Dan B= (b 1 , b 2 , …, b N) disebut vektor A + B= (a 1 + b 1, a 2 + b 2, …, a N+ b N).
Definisi 7.4. Pekerjaan bilangan real k ke vektor A= (sebuah 1 , sebuah 2 , …, sebuah N) disebut vektor k× A = (k×a 1, k×a 2 , …, k×a N)
Definisi 7.5. Vektor HAI= (0, 0, …, 0) dipanggil nol(atau vektor nol).
Sangat mudah untuk memverifikasi bahwa tindakan (operasi) penjumlahan vektor dan mengalikannya dengan bilangan real memiliki sifat-sifat berikut: " A, B, C Î Rn, " k, aku tentang R:
1) A + B = B + A;
2) A + (B+ C) = (A + B) + C;
3) A + HAI = A;
4) A+ (–A) = HAI;
5) 1× A = A, 1 tentang R;
6) k×( aku× A) = aku×( k× A) = (aku× k)× A;
7) (k + aku)× A = k× A + aku× A;
8) k×( A + B) = k× A + k× B.
Definisi 7.6. Sekelompok Rn operasi penjumlahan vektor dan mengalikannya dengan bilangan real yang diberikan padanya disebut ruang vektor berdimensi n aritmatika.
Sistem persamaan linear yang semua suku bebasnya sama dengan nol disebut homogen :
Setiap sistem homogen selalu konsisten, karena selalu demikian nol (remeh ) solusi. Timbul pertanyaan dalam kondisi apa sistem homogen akan mempunyai solusi nontrivial.
Teorema 5.2.Sistem homogen memiliki solusi nontrivial jika dan hanya jika pangkat matriks yang mendasarinya lebih kecil dari jumlah matriks yang tidak diketahui.
Konsekuensi. Sistem homogen persegi mempunyai solusi nontrivial jika dan hanya jika determinan matriks utama sistem tidak sama dengan nol.
Contoh 5.6. Tentukan nilai parameter l yang sistemnya mempunyai solusi nontrivial, dan temukan solusi berikut:
Larutan. Sistem ini akan mempunyai solusi non-trivial jika determinan matriks utamanya sama dengan nol:
Jadi, sistem tersebut non-trivial jika l=3 atau l=2. Untuk l=3, rank matriks utama sistem adalah 1. Maka, hanya menyisakan satu persamaan dan asumsikan bahwa kamu=A Dan z=B, kita mendapatkan x=b-a, yaitu.
Untuk l=2, rank matriks utama sistem adalah 2. Kemudian, pilih minor sebagai basis:
kami mendapatkan sistem yang disederhanakan
Dari sini kita menemukan hal itu x=z/4, kamu=z/2. Percaya z=4A, kita mendapatkan
Himpunan semua solusi sistem homogen mempunyai arti yang sangat penting properti linier : jika kolom X 1 dan X 2 - solusi sistem homogen AX = 0, maka setiap kombinasi linear dari keduanya A X 1 + b X 2 juga akan menjadi solusi untuk sistem ini. Memang sejak itu KAPAK 1 = 0 Dan KAPAK 2 = 0 , Itu A(A X 1 + b X 2) = sebuah KAPAK 1 + b KAPAK 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Karena sifat inilah jika suatu sistem linier mempunyai lebih dari satu solusi, maka solusi-solusi tersebut jumlahnya tak terhingga.
Kolom bebas linier E 1 , E 2 , ek, yang merupakan solusi dari sistem homogen, disebut sistem dasar solusi sistem persamaan linier homogen jika solusi umum sistem ini dapat ditulis sebagai kombinasi linier dari kolom-kolom berikut:
Jika sistem homogen memiliki N variabel, dan pangkat matriks utama sistem adalah sama dengan R, Itu k = n-r.
Contoh 5.7. Temukan sistem dasar solusi dari sistem persamaan linear berikut:
Larutan. Mari kita cari pangkat matriks utama sistem:
Jadi, himpunan solusi sistem persamaan ini membentuk subruang dimensi linier n-r= 5 - 2 = 3. Mari kita pilih minor sebagai basisnya
.
Kemudian, hanya menyisakan persamaan dasar (sisanya akan menjadi kombinasi linier dari persamaan ini) dan variabel dasar (kita memindahkan sisanya, yang disebut variabel bebas ke kanan), kita memperoleh sistem persamaan yang disederhanakan:
Percaya X 3 = A, X 4 = B, X 5 = C, kami menemukan
, 
.
Percaya A= 1, b = c= 0, kita memperoleh solusi basa pertama; percaya B= 1, a = c= 0, kita memperoleh solusi basa kedua; percaya C= 1, a = b= 0, kita memperoleh solusi basa ketiga. Akibatnya, sistem penyelesaian fundamental yang normal akan terbentuk
Dengan menggunakan sistem fundamental, solusi umum sistem homogen dapat ditulis sebagai
X = aE 1 + menjadi 2 + ce 3. A
Mari kita perhatikan beberapa sifat solusi sistem persamaan linear tak homogen KAPAK=B dan hubungannya dengan sistem persamaan homogen yang sesuai kapak = 0.
Solusi umum dari sistem tidak homogensama dengan jumlah solusi umum sistem homogen yang bersesuaian AX = 0 dan solusi partikular sembarang dari sistem tak homogen. Memang benar, biarlah Y 0 adalah solusi partikular sembarang dari sistem tak homogen, mis. AY 0 = B, Dan Y- solusi umum dari sistem heterogen, mis. AYO=B. Dengan mengurangkan satu persamaan dari persamaan lainnya, kita peroleh
A(Y Y 0) = 0, yaitu Y Y 0 adalah solusi umum dari sistem homogen yang bersesuaian KAPAK=0. Karena itu, Y Y 0 = X, atau Y=Y 0 + X. Q.E.D.
Misalkan sistem tak homogen berbentuk AX = B 1 + B 2 . Maka solusi umum sistem tersebut dapat ditulis sebagai X = X 1 + X 2 , dimana AX 1 = B 1 dan kapak 2 = B 2. Properti ini mengungkapkan properti universal apa pun sistem linier(aljabar, diferensial, fungsional, dll). Dalam fisika sifat ini disebut prinsip superposisi, di bidang teknik listrik dan radio - prinsip superposisi. Misalnya, dalam teori rangkaian listrik linier, arus pada suatu rangkaian dapat diperoleh sebagai jumlah aljabar arus yang ditimbulkan oleh masing-masing sumber energi secara terpisah.