instruksi
Mungkin hal yang paling jelas di sini adalah, tentu saja. Pecahan numerik tidak menimbulkan bahaya (persamaan pecahan yang semua penyebutnya hanya berisi angka, umumnya linier), tetapi jika penyebutnya ada variabel, maka harus diperhitungkan dan ditulis. Pertama, x yang mengubah penyebutnya menjadi 0 tidak mungkin ada, dan secara umum perlu dinyatakan secara terpisah fakta bahwa x tidak bisa sama dengan bilangan ini. Kalaupun berhasil, ketika disubstitusikan ke pembilangnya, semuanya konvergen sempurna dan memenuhi syarat. Kedua, kita tidak bisa mengalikan kedua ruas persamaan dengan , yang sama dengan nol.
Setelah itu, persamaan tersebut direduksi menjadi memindahkan seluruh sukunya ke ruas kiri sehingga 0 tetap berada di ruas kanan.
Semua suku harus dibawa ke penyebut yang sama, mengalikan, jika perlu, pembilangnya dengan ekspresi yang hilang.
Selanjutnya, kita selesaikan persamaan biasa yang tertulis di pembilangnya. Kita dapat mengeluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung, menggunakan perkalian yang disingkat, membawa faktor serupa, menghitung akar-akar persamaan kuadrat melalui diskriminan, dll.
Hasilnya harus berupa faktorisasi dalam bentuk hasil kali tanda kurung (x-(akar ke-i)). Ini juga dapat mencakup polinomial yang tidak mempunyai akar, misalnya, trinomial kuadrat dengan diskriminan kurang dari nol (jika, tentu saja, masalahnya hanya berisi akar real, seperti yang paling sering terjadi).
Sangat penting untuk memfaktorkan penyebutnya dan mencari tanda kurung yang sudah ada di pembilangnya. Jika penyebutnya mengandung ekspresi seperti (x-(angka)), maka lebih baik tidak mengalikan tanda kurung di dalamnya secara langsung saat mereduksi menjadi penyebut yang sama, tetapi membiarkannya sebagai produk dari ekspresi sederhana aslinya.
Tanda kurung yang sama pada pembilang dan penyebutnya dapat dipersingkat dengan terlebih dahulu menuliskan syarat pada x seperti disebutkan di atas.
Jawabannya ditulis dalam tanda kurung kurawal, berupa himpunan nilai x, atau sekadar pencacahan: x1=..., x2=..., dst.
Sumber:
- Persamaan rasional pecahan
Sesuatu yang tidak dapat Anda lakukan tanpanya dalam fisika, matematika, kimia. Paling sedikit. Mari pelajari dasar-dasar penyelesaiannya.
instruksi
Klasifikasi yang paling umum dan sederhana dapat dibagi menurut jumlah variabel yang dikandungnya dan derajat di mana variabel-variabel tersebut berdiri.
Selesaikan persamaan dengan semua akarnya atau buktikan bahwa tidak ada satupun.
Persamaan apa pun tidak boleh mempunyai lebih dari P akar, dengan P adalah maksimum persamaan tertentu.
Namun beberapa akarnya mungkin sama. Jadi, misalnya, persamaan x^2+2*x+1=0, dengan ^ adalah ikon eksponensial, dikuadratkan dari ekspresi (x+1), yaitu, menjadi hasil kali dua persamaan identik tanda kurung, masing-masing memberikan x=- 1 sebagai solusi.
Jika hanya ada satu persamaan yang tidak diketahui, ini berarti Anda akan dapat menemukan akar-akarnya secara eksplisit (nyata atau kompleks).
Untuk melakukan ini, kemungkinan besar Anda memerlukan berbagai transformasi: perkalian yang disingkat, perhitungan diskriminan dan akar persamaan kuadrat, pemindahan suku dari satu bagian ke bagian lain, pengurangan ke penyebut yang sama, perkalian kedua bagian persamaan dengan yang sama ekspresi, dengan persegi, dll.
Transformasi yang tidak mempengaruhi akar persamaan adalah identik. Mereka digunakan untuk menyederhanakan proses penyelesaian persamaan.
Anda juga dapat menggunakan analitis tradisional metode grafis dan tuliskan persamaan tersebut dalam bentuk, kemudian lakukan kajiannya.
Jika terdapat lebih dari satu persamaan yang tidak diketahui, maka Anda hanya dapat menyatakan salah satu persamaan tersebut dalam bentuk persamaan lainnya, sehingga menunjukkan himpunan penyelesaiannya. Ini adalah, misalnya, persamaan dengan parameter yang di dalamnya terdapat x yang tidak diketahui dan parameter a. Menyelesaikan persamaan parametrik berarti semua a menyatakan x dalam bentuk a, yaitu mempertimbangkan semua kemungkinan kasus.
Jika persamaan tersebut mengandung turunan atau selisih yang tidak diketahui (lihat gambar), selamat persamaan diferensial, dan di sini Anda tidak dapat melakukannya tanpanya matematika yang lebih tinggi).
Sumber:
- Transformasi identitas
Untuk mengatasi masalah dengan dalam pecahan, Anda perlu belajar cara menghadapinya operasi aritmatika. Bisa berupa desimal, tetapi paling sering digunakan pecahan alami dengan pembilang dan penyebut. Baru setelah ini Anda dapat melanjutkan ke penyelesaian masalah matematika dengan besaran pecahan.
Anda akan perlu
- - Kalkulator;
- - pengetahuan tentang sifat-sifat pecahan;
- - kemampuan melakukan operasi dengan pecahan.
instruksi
Pecahan merupakan notasi pembagian suatu bilangan dengan bilangan lainnya. Seringkali hal ini tidak dapat dilakukan sepenuhnya, itulah sebabnya tindakan ini dibiarkan belum selesai. Bilangan yang habis dibagi (di atas atau di depan tanda pecahan) disebut pembilang, dan bilangan kedua (di bawah atau di belakang tanda pecahan) disebut penyebut. Jika pembilangnya lebih besar dari penyebutnya, maka pecahan tersebut disebut pecahan biasa, dan dapat dipisahkan seluruh bagiannya. Jika pembilangnya lebih kecil dari penyebutnya, maka pecahan tersebut disebut pecahan biasa, dan bagian bilangan bulatnya sama dengan 0.
Tugas terbagi menjadi beberapa jenis. Tentukan tugas mana yang termasuk di antara mereka. Pilihan paling sederhana– menemukan pecahan suatu bilangan yang dinyatakan sebagai pecahan. Untuk menyelesaikan soal ini, kalikan saja angka ini dengan pecahan. Misalnya, 8 ton kentang dikirim. Di minggu pertama, 3/4 dari totalnya terjual. Berapa banyak kentang yang tersisa? Untuk menyelesaikan soal ini, kalikan angka 8 dengan 3/4. Ternyata 8∙3/4=6 ton.
Jika Anda perlu mencari suatu bilangan berdasarkan bagiannya, kalikan bagian bilangan tersebut yang diketahui dengan pecahan kebalikan dari pecahan yang menunjukkan berapa bagian bilangan tersebut dalam bilangan tersebut. Misalnya, 8 orang di antaranya merupakan 1/3 dari jumlah seluruh siswa. Berapa banyak yang masuk? Karena 8 orang merupakan bagian yang mewakili 1/3 dari jumlah seluruhnya, maka carilah pecahan kebalikannya yaitu 3/1 atau 3 saja. Maka untuk mendapatkan banyaknya siswa di kelas tersebut 8∙3=24 siswa.
Saat Anda perlu mencari bagian mana dari suatu bilangan dengan bilangan lainnya, bagilah bilangan yang mewakili bagian tersebut dengan bilangan keseluruhannya. Misalnya, jika jaraknya 300 km, dan mobil telah menempuh jarak 200 km, berapakah jarak totalnya? Bagilah bagian jalan 200 kali jalur penuh 300, setelah mengurangi pecahan Anda akan mendapatkan hasilnya. 200/300=2/3.
Untuk menemukan pecahan yang tidak diketahui dari suatu bilangan padahal ada pecahan yang diketahui, ambillah bilangan bulat tersebut sebagai satuan konvensional dan kurangi pecahan yang diketahui tersebut. Misalnya, jika 4/7 pelajaran sudah berlalu, apakah masih ada waktu tersisa? Ambil seluruh pelajaran sebagai satu unit dan kurangi 4/7 darinya. Dapatkan 1-4/7=7/7-4/7=3/7.
Menyelesaikan persamaan dengan pecahan Mari kita lihat contohnya. Contohnya sederhana dan ilustratif. Dengan bantuan mereka, Anda akan dapat memahami dengan cara yang paling mudah dipahami.
Misalnya, Anda perlu menyelesaikan persamaan sederhana x/b + c = d.
Persamaan jenis ini disebut linier karena Penyebutnya hanya berisi angka.
Penyelesaiannya dilakukan dengan mengalikan kedua ruas persamaan dengan b, maka persamaan tersebut berbentuk x = b*(d – c), yaitu. penyebut pecahan di ruas kiri dibatalkan.
Misalnya saja bagaimana cara mengatasinya persamaan pecahan:
x/5+4=9
Kita mengalikan kedua ruas dengan 5. Kita mendapatkan:
x+20=45
x=45-20=25
Contoh lain ketika yang tidak diketahui ada di penyebutnya:
Persamaan jenis ini disebut pecahan-rasional atau pecahan saja.
Kita akan menyelesaikan persamaan pecahan dengan menghilangkan pecahan, setelah itu persamaan ini, paling sering, berubah menjadi persamaan linier atau kuadrat, yang dapat diselesaikan dengan cara biasa. Anda hanya perlu memperhatikan beberapa hal berikut ini:
- nilai variabel yang mengubah penyebutnya menjadi 0 tidak boleh menjadi akar;
- Anda tidak dapat membagi atau mengalikan persamaan dengan ekspresi =0.
Di sinilah konsep wilayah nilai yang diizinkan (ADV) mulai berlaku - ini adalah nilai-nilai akar persamaan yang membuat persamaan tersebut masuk akal.
Jadi, ketika menyelesaikan persamaan, perlu untuk menemukan akar-akarnya, dan kemudian memeriksa kesesuaiannya dengan ODZ. Akar-akar yang tidak sesuai dengan ODZ kami dikecualikan dari jawabannya.
Misalnya, Anda perlu menyelesaikan persamaan pecahan:
Berdasarkan aturan di atas, x tidak boleh = 0, yaitu ODZ masuk pada kasus ini: x – nilai apa pun selain nol.
Kita menghilangkan penyebutnya dengan mengalikan semua suku persamaan dengan x
Dan kami menyelesaikan persamaan biasa
5x – 2x = 1
3x = 1
x = 1/3
Jawaban: x = 1/3
Mari selesaikan persamaan yang lebih rumit:
ODZ juga hadir di sini: x -2.
Saat menyelesaikan persamaan ini, kita tidak akan memindahkan semuanya ke satu sisi dan membawa pecahan ke penyebut yang sama. Kita akan segera mengalikan kedua ruas persamaan dengan ekspresi yang akan menghilangkan semua penyebutnya sekaligus.
Untuk mengurangi penyebutnya, Anda perlu mengalikan ruas kiri dengan x+2, dan ruas kanan dengan 2. Artinya, kedua ruas persamaan harus dikalikan dengan 2(x+2):
Ini adalah perkalian pecahan yang paling umum, yang telah kita bahas di atas.
Mari kita tuliskan persamaan yang sama, tetapi sedikit berbeda
Ruas kiri dikurangi (x+2), dan ruas kanan dikurangi 2. Setelah direduksi, diperoleh persamaan linier biasa:
x = 4 – 2 = 2, yang sesuai dengan ODZ kita
Jawaban: x = 2.
Menyelesaikan persamaan dengan pecahan tidak sesulit kelihatannya. Pada artikel ini kami telah menunjukkannya dengan contoh. Jika Anda mengalami kesulitan dengan cara menyelesaikan persamaan dengan pecahan, lalu berhenti berlangganan di komentar.
Penyebut persekutuan terendah digunakan untuk menyederhanakan persamaan ini. Metode ini digunakan ketika Anda tidak dapat menulis persamaan tertentu dengan satu ekspresi rasional di setiap sisi persamaan (dan menggunakan metode perkalian silang). Cara ini digunakan jika diberikan persamaan rasional dengan 3 pecahan atau lebih (untuk dua pecahan, lebih baik menggunakan perkalian silang).
Temukan penyebut terkecil dari pecahan tersebut (atau kelipatan persekutuan terkecil). NOZ adalah bilangan terkecil yang habis dibagi setiap penyebutnya.
- Terkadang NPD adalah angka yang jelas. Misalnya diberikan persamaan: x/3 + 1/2 = (3x +1)/6, maka jelas kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan 3, 2 dan 6 adalah 6.
- Jika NCD tidak jelas, tuliskan kelipatan penyebut terbesarnya dan temukan di antara kelipatan penyebut lainnya yang merupakan kelipatan dari penyebut lainnya. Seringkali NOD dapat ditemukan hanya dengan mengalikan dua penyebut. Misalnya, jika diberikan persamaan x/8 + 2/6 = (x - 3)/9, maka NOS = 8*9 = 72.
- Jika satu atau lebih penyebut mengandung variabel, prosesnya menjadi lebih rumit (tetapi bukan tidak mungkin). Dalam hal ini, NOC adalah ekspresi (berisi variabel) yang dibagi dengan masing-masing penyebutnya. Misalnya, pada persamaan 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1), karena persamaan ini dibagi dengan masing-masing penyebut: 3x(x-1)/(x -1 ) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1).
Kalikan pembilang dan penyebut masing-masing pecahan dengan angka yang sama dengan hasil pembagian NOC dengan penyebut masing-masing pecahan. Karena Anda mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan angka yang sama, Anda sebenarnya mengalikan pecahan tersebut dengan 1 (misalnya, 2/2 = 1 atau 3/3 = 1).
- Jadi dalam contoh kita, kalikan x/3 dengan 2/2 untuk mendapatkan 2x/6, dan 1/2 kalikan dengan 3/3 untuk mendapatkan 3/6 (pecahan 3x +1/6 tidak perlu dikalikan karena merupakan penyebutnya adalah 6).
- Lanjutkan hal yang sama ketika variabel berada di penyebut. Pada contoh kedua, NOZ = 3x(x-1), jadi kalikan 5/(x-1) dengan (3x)/(3x) untuk mendapatkan 5(3x)/(3x)(x-1); 1/x dikalikan dengan 3(x-1)/3(x-1) dan Anda mendapatkan 3(x-1)/3x(x-1); 2/(3x) dikalikan dengan (x-1)/(x-1) dan diperoleh 2(x-1)/3x(x-1).
Temukan x. Sekarang setelah Anda mengurangi pecahan menjadi penyebut yang sama, Anda dapat menghilangkan penyebutnya. Caranya, kalikan setiap ruas persamaan dengan penyebut yang sama. Kemudian selesaikan persamaan yang dihasilkan, yaitu mencari “x”. Untuk melakukan ini, isolasi variabel pada satu sisi persamaan.
- Dalam contoh kita: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. Anda dapat menjumlahkan 2 pecahan dengan penyebut yang sama, jadi tulis persamaannya sebagai: (2x+3)/6=(3x+1)/6. Kalikan kedua ruas persamaan dengan 6 dan hilangkan penyebutnya: 2x+3 = 3x +1. Selesaikan dan dapatkan x = 2.
- Dalam contoh kedua (dengan variabel dalam penyebut), persamaannya terlihat seperti (setelah direduksi menjadi penyebut yang sama): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x -1) + 2 (x-1)/3x(x-1). Dengan mengalikan kedua ruas persamaan dengan N3, Anda menghilangkan penyebutnya dan mendapatkan: 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1), atau 15x = 3x - 3 + 2x -2, atau 15x = x - 5 Selesaikan dan dapatkan: x = -5/14.
Menyelesaikan persamaan dengan pecahan Mari kita lihat contohnya. Contohnya sederhana dan ilustratif. Dengan bantuan mereka, Anda akan dapat memahami dengan cara yang paling mudah dipahami.
Misalnya, Anda perlu menyelesaikan persamaan sederhana x/b + c = d.
Persamaan jenis ini disebut linier karena Penyebutnya hanya berisi angka.
Penyelesaiannya dilakukan dengan mengalikan kedua ruas persamaan dengan b, maka persamaan tersebut berbentuk x = b*(d – c), yaitu. penyebut pecahan di ruas kiri dibatalkan.
Misalnya cara menyelesaikan persamaan pecahan:
x/5+4=9
Kita mengalikan kedua ruas dengan 5. Kita mendapatkan:
x+20=45
x=45-20=25
Contoh lain ketika yang tidak diketahui ada di penyebutnya:
Persamaan jenis ini disebut pecahan-rasional atau pecahan saja.
Kita akan menyelesaikan persamaan pecahan dengan menghilangkan pecahan, setelah itu persamaan ini, paling sering, berubah menjadi persamaan linier atau kuadrat, yang diselesaikan dengan cara biasa. Anda hanya perlu memperhatikan beberapa hal berikut ini:
- nilai variabel yang mengubah penyebutnya menjadi 0 tidak boleh menjadi akar;
- Anda tidak dapat membagi atau mengalikan persamaan dengan ekspresi =0.
Di sinilah konsep wilayah nilai yang diizinkan (ADV) mulai berlaku - ini adalah nilai-nilai akar persamaan yang membuat persamaan tersebut masuk akal.
Jadi, ketika menyelesaikan persamaan, perlu untuk menemukan akar-akarnya, dan kemudian memeriksa kesesuaiannya dengan ODZ. Akar-akar yang tidak sesuai dengan ODZ kami dikecualikan dari jawabannya.
Misalnya, Anda perlu menyelesaikan persamaan pecahan:
Berdasarkan aturan di atas, x tidak boleh = 0, yaitu ODZ dalam hal ini: x – nilai apa pun selain nol.
Kita menghilangkan penyebutnya dengan mengalikan semua suku persamaan dengan x
Dan kami menyelesaikan persamaan biasa
5x – 2x = 1
3x = 1
x = 1/3
Jawaban: x = 1/3
Mari selesaikan persamaan yang lebih rumit:
ODZ juga hadir di sini: x -2.
Saat menyelesaikan persamaan ini, kita tidak akan memindahkan semuanya ke satu sisi dan membawa pecahan ke penyebut yang sama. Kita akan segera mengalikan kedua ruas persamaan dengan ekspresi yang akan menghilangkan semua penyebutnya sekaligus.
Untuk mengurangi penyebutnya, Anda perlu mengalikan ruas kiri dengan x+2, dan ruas kanan dengan 2. Artinya, kedua ruas persamaan harus dikalikan dengan 2(x+2):
Ini adalah perkalian pecahan yang paling umum, yang telah kita bahas di atas.
Mari kita tuliskan persamaan yang sama, tetapi sedikit berbeda
Ruas kiri dikurangi (x+2), dan ruas kanan dikurangi 2. Setelah direduksi, diperoleh persamaan linier biasa:
x = 4 – 2 = 2, yang sesuai dengan ODZ kita
Jawaban: x = 2.
Menyelesaikan persamaan dengan pecahan tidak sesulit kelihatannya. Pada artikel ini kami telah menunjukkannya dengan contoh. Jika Anda mengalami kesulitan dengan cara menyelesaikan persamaan dengan pecahan, lalu berhenti berlangganan di komentar.