Estimasi parameter apa yang dianggap konsisten, tidak bias, dan efektif?

1) Penilaian yang konsisten

Kaya perkiraan dalam statistik matematika adalah perkiraan titik yang probabilitasnya menyatu dengan parameter yang diestimasi.

Definisi

· Membiarkan-- pengambilan sampel dari distribusi bergantung pada parameternya. Maka estimasi tersebut disebut konsisten jika

menurut probabilitas di.

Jika tidak maka penilaian tersebut disebut tidak valid.

· Suatu perkiraan dikatakan sangat konsisten jika

hampir mungkin di.

Properti

· Dari sifat-sifat konvergensi variabel acak yang kita miliki bahwa perkiraan yang sangat konsisten selalu konsisten. Secara umum, hal sebaliknya tidak benar.

• · Rata-rata sampel adalah estimasi yang konsisten dari ekspektasi matematis X i .
• · Periodogram adalah estimasi kepadatan spektral yang tidak bias namun tidak konsisten.
• 2) Estimasi yang tidak bias

Estimasi tak bias dalam statistik matematika adalah estimasi titik yang ekspektasi matematisnya sama dengan parameter estimasi.

Definisi

Misalkan menjadi sampel dari suatu distribusi tergantung pada parameternya. Maka estimasi tersebut disebut tidak bias jika

Jika tidak, estimasi tersebut disebut bias, dan variabel acak disebut biasnya.

Rata-rata sampel

adalah perkiraan ekspektasi matematis X i yang tidak bias, karena jika

· Misalkan variabel acak X i mempunyai varian berhingga DX i = ? 2. Mari kita membuat perkiraan

Varians sampel,

Varians sampel yang dikoreksi.

Lalu apakah estimasi parameternya bias dan S2 tidak bias? 2.

3) Penilaian yang efektif

Versi saat ini (belum diuji)

Definisi

Estimasi suatu parameter disebut estimasi efisien dalam suatu kelas jika pertidaksamaan untuk suatu parameter berlaku untuk estimasi lainnya.

Estimasi yang tidak bias memainkan peran khusus dalam statistik matematika. Jika penduga yang tidak bias merupakan penduga yang efektif dalam kelas penduga yang tidak bias, maka statistik seperti itu biasanya disebut cukup efektif.

Estimasi efektif pada kelas di mana fungsi tertentu ada dan unik hingga nilai pada himpunan, kemungkinan berada di dalamnya adalah nol ().

Suatu pendugaan suatu parameter disebut efektif jika pertidaksamaan Cramer-Rao menjadi persamaan. Dengan demikian, pertidaksamaan tersebut dapat digunakan untuk membuktikan bahwa variansi suatu estimasi tertentu adalah yang terkecil, yaitu bahwa estimasi tersebut dalam beberapa hal lebih baik daripada estimasi lainnya.

Dalam statistik matematika, pertidaksamaan Cramer-Ramo (untuk menghormati Harald Cramer dan K.R. Rao) adalah pertidaksamaan yang, dalam kondisi tertentu pada model statistik, memberikan batas bawah untuk varians estimasi parameter yang tidak diketahui, yang dinyatakan dalam ketentuan informasi Fisher.

Salah satu persyaratan utama dalam membuat estimasi adalah memperoleh estimasi dengan varians minimum atau dispersi minimum (jika ada). Dalam hal ini, konsep estimasi efektif diperkenalkan dalam statistik matematika,

Sehubungan dengan estimasi bias suatu parameter sinyal, estimasi tersebut disebut efektif jika nilai rata-rata deviasi kuadrat estimasi dari nilai sebenarnya dari parameter estimasi I tidak melebihi nilai rata-rata deviasi kuadrat estimasi lainnya y , yaitu, ketimpangan terpenuhi

Untuk penduga tak bias, dispersi penduganya sama dengan variansnya, sehingga penduga tak bias efektif didefinisikan sebagai penduga yang variansinya minimum.

S. Rao dan Cramer secara independen memperoleh ekspresi untuk batas bawah varians bersyarat dan dispersi estimasi, yang merupakan dispersi dan dispersi estimasi efektif, asalkan ada untuk parameter yang diberikan.

Mari kita sajikan turunan dari ungkapan ini, dengan asumsi asumsi yang diperlukan adalah valid.

Estimasi parameter y kami sajikan dalam bentuk singkatan dimana X adalah sampel multidimensi dari implementasi dalam selang waktu tertentu

Mari kita rata-ratakan ekspresinya

untuk semua nilai yang mungkin dari sampel multidimensi X, yang dijelaskan oleh kepadatan probabilitas bersyarat.Dengan mempertimbangkan hubungan yang diketahui untuk turunan logaritma natural setelah rata-rata, kita memperoleh

Karena sifat normalisasi kepadatan probabilitas, suku terakhir pada (1.3.3) sama dengan nol. Integral suku pertama mewakili nilai rata-rata estimasi

Dengan mempertimbangkan hal terakhir, nilai rata-rata dapat ditulis dalam bentuk

Sisi kiri ekspresi ini adalah rata-rata hasil kali dua variabel acak dengan nilai berhingga dari dua momen pertama. Dengan kondisi tersebut, pertidaksamaan Bunyakovsky-Schwartz yang diketahui dari statistik matematika berlaku untuk variabel acak

yang berubah menjadi persamaan jika variabel acak dihubungkan oleh ketergantungan deterministik. Dengan mempertimbangkan (1.3.6), dari ekspresi (1.3.5) kita dapat memperoleh

Untuk penduga tak bias dan bias konstan, varians penduga memenuhi pertidaksamaan Rao-Kramer

Perlu dicatat bahwa dalam semua hubungan, rata-rata dilakukan pada sampel multidimensi dari data observasi X (dengan pemrosesan berkelanjutan - pada semua kemungkinan implementasi a

turunan diambil pada titik nilai sebenarnya dari parameter yang diestimasi.

Tanda sama dengan dalam ekspresi (1.3.7) dan (1-3.8) dicapai hanya untuk estimasi yang efektif.

Sehubungan dengan ekspresi (1.3.7), kami mempertimbangkan kondisi di mana ketimpangan berubah menjadi kesetaraan, yaitu estimasi parameter merupakan estimasi bias yang efektif.Menurut (1.3.6), hal ini memerlukan koefisien korelasi silang antara sama dengan satu, yaitu sehingga fungsi-fungsi acak ini dihubungkan oleh hubungan linier deterministik.

Memang, mari kita nyatakan turunan logaritma fungsi kemungkinan dalam bentuk

di mana adalah fungsi yang tidak bergantung pada estimasi y dan sampel data observasi, tetapi mungkin bergantung pada parameter estimasi. Saat mensubstitusikan (1.3.5) dan (1.3.9) ke dalam pertidaksamaan (1.3.7), maka berubah menjadi kesetaraan. Namun, representasi turunan logaritma fungsi kemungkinan dalam bentuk (1.3.9) dimungkinkan jika kondisi kecukupan (1.2.9) terpenuhi untuk memperkirakan y, yang berarti bahwa

dan oleh karena itu, jika turunan dari logaritma rasio kemungkinan bergantung secara linier pada estimasi yang cukup, maka koefisien proporsionalitas tidak bergantung pada sampel

Jadi, agar estimasi efektif yang bias dapat terjadi, dua kondisi harus dipenuhi: estimasi harus mencukupi (1.2.9) dan hubungan (1.3.9) harus dipenuhi. Pembatasan serupa juga diberlakukan pada keberadaan estimasi efektif yang tidak bias, yang dalam ekspresi (1.3.8) tanda pertidaksamaan berubah menjadi persamaan.

Persamaan yang diperoleh di atas untuk batas bawah dispersi estimasi yang bias juga berlaku untuk batas bawah dispersi estimasi yang bias, karena yaitu.

Pertidaksamaan terakhir berubah menjadi persamaan jika, selain syarat kecukupan estimasi, hubungan berikut ini benar:

dimana memiliki arti yang sama seperti pada ekspresi (1.3.9).

Rumus (1.3.10) diturunkan mirip dengan (1.3.7), jika dalam ekspresi aslinya (1.3.2) alih-alih mempertimbangkan

Dari sifat kondisi (1.2.9) dan (1.3.9) jelas bahwa estimasi yang efektif hanya ada pada kasus yang sangat spesifik. Perlu diketahui juga bahwa estimasi yang efektif harus termasuk dalam kelas estimasi yang cukup, sedangkan estimasi yang cukup belum tentu efektif.

Analisis ekspresi varians dari penduga campuran efektif (1.3.7) menunjukkan bahwa mungkin ada penduga yang bias yang memberikan varian penduga yang lebih sedikit dibandingkan penduga yang tidak bias. Untuk melakukan ini, turunan offset harus memiliki nilai negatif dan mendekati kesatuan nilai absolut pada titik nilai sebenarnya dari parameter tersebut.

Karena dalam kebanyakan kasus, kuadrat rata-rata dari kesalahan estimasi yang dihasilkan (dispersi) adalah yang menarik, masuk akal untuk membicarakan tentang kuadrat rata-rata dari kesalahan estimasi, yang untuk setiap estimasi dibatasi dari bawah:

Dalam hal ini, untuk estimasi yang efektif terdapat tanda sama dengan.

Mudah untuk menunjukkan bahwa relasi (1.3.10) dan (1.3.12) bertepatan jika kondisi (1.3.11) dan (1.3.9) masing-masing terpenuhi. Memang, dengan mensubstitusi nilai yang dinyatakan melalui fungsi ke dalam pembilang dan penyebut (1.3.10), kita memperoleh (1.3.12).

Dengan menggunakan sifat-sifat estimasi efektif yang dibahas di atas, kami akan memperjelas definisinya. Kita akan menyebut estimasi y efektif jika kondisi (1.2.9) dan (1.3.11) terpenuhi, atau jika estimasi tersebut mempunyai dispersi untuk bias tertentu.

atau hamburan

atau dengan bias nol, perkiraan ini mempunyai varians

Perhatikan bahwa karakteristik estimasi efektif (1.3.13) - (1.3.15) juga dapat dihitung untuk parameter yang tidak memiliki estimasi efektif. Dalam hal ini, nilai (1.3.13) - (1.3.15) menentukan batas bawah (tidak dapat dicapai) untuk karakteristik penilaian yang bersangkutan.

Untuk membandingkan estimasi nyata dengan estimasi efektif dalam statistik matematika, konsep efisiensi relatif dari estimasi telah diperkenalkan, yang mewakili rasio deviasi kuadrat rata-rata dari estimasi efektif relatif terhadap nilai sebenarnya dari parameter terhadap deviasi kuadrat rata-rata dari estimasi efektif. perkiraan relatif terhadap nilai sebenarnya dari parameter:

Di sini y adalah estimasi riil, yang efektivitasnya sama dengan estimasi efektif.

Dari definisi varians estimasi efektif (1.3.1) jelas bahwa efisiensi relatif dari estimasi bervariasi dalam kisaran

Selain konsep estimasi efektif, terdapat konsep estimasi efektif asimtotik. Diasumsikan bahwa untuk waktu observasi yang cukup lama atau peningkatan rasio signal-to-noise yang tidak terbatas, nilai batas efisiensi relatif dari estimasi sebenarnya sama dengan satu. Ini berarti bahwa dengan estimasi efisien asimtotik, varians estimasi untuk bias tertentu ditentukan oleh ekspresi (1.3.13), dan jika tidak ada bias, oleh ekspresi (1.3.15).

probabilitas, yang memiliki sifat bahwa dengan bertambahnya jumlah pengamatan, kemungkinan penyimpangan estimasi dari parameter estimasi dengan jumlah yang melebihi angka tertentu cenderung nol. Lebih tepatnya: biarkan X 1 , X 2,......, X n - hasil pengamatan independen, yang distribusinya bergantung pada parameter yang tidak diketahui θ, dan untuk masing-masing N fungsi Tn = Tn(X 1,..., X n) adalah perkiraan θ yang dibangun dari yang pertama N pengamatan, kemudian urutan perkiraan ( Tn) disebut konsisten jika N→ ∞ untuk setiap bilangan sembarang ε > 0 dan nilai θ yang diperbolehkan

(yaitu. Tn konvergen ke θ dalam probabilitas). Misalnya, estimasi yang tidak bias (Lihat Estimasi yang tidak bias) Tn parameter θ (atau estimasi dengan ETn→ 0), yang dispersinya cenderung nol seiring bertambahnya N, adalah S.o. parameter θ karena ketidaksetaraan Chebyshev

Jadi, mean sampelnya

Konsistensi, yang merupakan karakteristik yang diinginkan dari setiap estimasi statistik, hanya berkaitan dengan sifat asimtotik dari estimasi tersebut dan secara lemah mencirikan kualitas estimasi untuk ukuran sampel yang terbatas dalam permasalahan praktis. Ada kriteria yang memungkinkan Anda memilih di antara semua kemungkinan S.o. beberapa parameter adalah parameter yang memiliki kualitas yang diperlukan. Lihat Perkiraan Statistik.

Konsep S.o. pertama kali dikemukakan oleh ahli matematika Inggris R. Fisher (1922).

menyala.: Kramer G., Metode matematika statistik, trans. dari bahasa Inggris M., 1975; Rao S.R., Metode statistik linier dan aplikasinya, trans. dari bahasa Inggris.M., 1968.

A.V.Prokhorov.

Ensiklopedia Besar Soviet. - M.: Ensiklopedia Soviet. 1969-1978 .

Lihat apa itu “Penilaian Substansial” di kamus lain:

Dalam statistik matematika, ini adalah estimasi titik yang probabilitasnya menyatu dengan parameter yang diestimasi. Isi 1 Definisi 2 Properti 3 ... Wikipedia

Versi singkat dari istilah “urutan evaluasi yang konsisten ... Ensiklopedia Matematika

- ...Wikipedia

Fungsi variabel acak yang digunakan untuk memperkirakan parameter teoritis yang tidak diketahui. distribusi probabilitas. Metode teori O. s. menjadi dasar bagi teori kesalahan modern; biasanya parameter yang tidak diketahui diukur secara fisik... ... Ensiklopedia Matematika

PENILAIAN KONSISTEN- PENILAIAN STATISTIK… Sosiologi: Ensiklopedia

Sebuah konsep yang memperluas gagasan estimasi efisien untuk sampel besar. Definisi yang jelas dari A. e. HAI. tidak memiliki. Misalnya dalam klasik pilihan yang kita bicarakan asimtotik. efektivitas penilaian dalam kelas penilaian yang dipilih secara sesuai. Tepat,… ​​… Ensiklopedia Matematika

Estimasi superefektif, singkatan yang diterima secara umum dari istilah rangkaian estimasi superefektif (superefektif), digunakan dalam kaitannya dengan rangkaian estimasi normal asimtotik yang konsisten dari parameter yang tidak diketahui, hingga surga ... Ensiklopedia Matematika

- (model probit, bahasa Inggris probit) digunakan dalam berbagai bidang (ekonometrika, toksikologi, dll.) model statistik (nonlinier) dan metode analisis ketergantungan variabel kualitatif (terutama biner) pada himpunan ... ... Wikipedia

Rata-rata sampel (empiris) adalah perkiraan rata-rata teoritis dari distribusi berdasarkan sampel darinya. Definisi Misalkan sampel dari distribusi probabilitas ditentukan pada ruang probabilitas tertentu... ... Wikipedia

Estimasi statistik adalah statistik yang digunakan untuk memperkirakan parameter distribusi variabel acak yang tidak diketahui. Misalnya, jika ini adalah variabel acak independen dengan distribusi normal tertentu, maka akan ada... ... Wikipedia

Buku

• Penduga semidefinit positif sederhana dari matriks kovarians asimtotik, konsisten dengan adanya heteroskedastisitas dan autokorelasi, Whitney Newey. Karya Whitney K. Newey dan Kenneth D. West adalah salah satu makalah ekonomi yang paling banyak dikutip dan dikenal luas karena cakupannya yang luas.…

• Membiarkan teksvc tidak ditemukan; Lihat matematika/README - bantuan pengaturan.): X_1,\ldots, X_n,\ldots- sampel untuk didistribusikan tergantung pada parameter Tidak dapat mengurai ekspresi (File yang dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat math/README untuk bantuan pengaturan.): \theta \in \Theta. Lalu perkiraannya Tidak dapat mengurai ekspresi (File yang dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat matematika/README untuk bantuan pengaturan.): \hat(\theta) \equiv \hat(\theta)(X_1,\ldots,X_n) disebut kaya jika

Tidak dapat mengurai ekspresi (File yang dapat dieksekusi teksvc dengan probabilitas di Tidak dapat mengurai ekspresi (File yang dapat dieksekusi teksvc .

Jika tidak maka penilaian tersebut disebut tidak valid.

• Nilai Tidak dapat mengurai ekspresi (File yang dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat matematika/README untuk bantuan pengaturan.): \hat(\theta) ditelepon sangat kaya, Jika

Tidak dapat mengurai ekspresi (File yang dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat matematika/README untuk bantuan pengaturan.): \hat(\theta) \to \theta,\quad \forall \theta\in \Theta hampir pasti di Tidak dapat mengurai ekspresi (File yang dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat math/README - bantuan pengaturan.): n \to \infty .

Dalam praktiknya, tidak mungkin untuk “melihat” konvergensi “hampir pasti”, karena sampelnya terbatas. Oleh karena itu, untuk statistik terapan cukup memerlukan konsistensi penilaian. Terlebih lagi, penilaian yang masuk akal, namun tidak terlalu kaya, “dalam kehidupan” sangatlah jarang. Hukum bilangan besar untuk besaran-besaran yang terdistribusi secara identik dan independen dengan momen pertama yang terbatas juga dipenuhi dalam versi yang diperkuat; semua statistik orde ekstrim juga bertemu karena monotonisitas, tidak hanya dalam probabilitas, tetapi hampir pasti.

Tanda

• Jika pendugaan konvergen dengan nilai sebenarnya dari parameter "dalam kuadrat rata-rata" atau jika pendugaan tidak bias asimtotik dan variansnya cenderung nol, maka pendugaan tersebut akan konsisten.

Properti

• Dari sifat konvergensi variabel acak kita mendapatkan bahwa estimasi yang sangat konsisten selalu konsisten. Secara umum, hal sebaliknya tidak benar.
• Karena sebaran estimasi yang konsisten cenderung nol, sering kali pada tingkat 1/n, estimasi yang konsisten dibandingkan satu sama lain melalui dispersi asimtotik dari variabel acak. Tidak dapat mengurai ekspresi (File yang dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat matematika/README untuk bantuan pengaturan.): \sqrt (n) (\hat(\theta)-\theta)(ekspektasi matematis asimtotik dari nilai ini adalah nol).

Konsep terkait

• Skornya disebut sangat kaya, jika varians dari variabel acak Tidak dapat mengurai ekspresi (File yang dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat matematika/README untuk bantuan pengaturan.): n (\hat(\theta)-\theta) cenderung pada nilai yang terbatas. Artinya, tingkat konvergensi estimasi terhadap nilai sebenarnya jauh lebih tinggi dibandingkan dengan estimasi yang konsisten. Misalnya, estimasi parameter regresi deret waktu terkointegrasi ternyata sangat konsisten.

Contoh

• Rata-rata sampel Tidak dapat mengurai ekspresi (File yang dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat math/README untuk bantuan pengaturan.): \bar(X) = \frac(1)(n) \sum\limits_(i=1)^n X_i adalah perkiraan ekspektasi matematis yang sangat konsisten Tidak dapat mengurai ekspresi (File yang dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat matematika/README - bantuan pengaturan.): X_i .
• Periodogram adalah perkiraan kerapatan spektral yang tidak bias namun tidak konsisten.

Lihat juga

Tulis ulasan tentang artikel "Penilaian Suara"

Kutipan yang mencirikan penilaian bermakna

Kisah Isidora yang tulus dan sangat menyedihkan mematikan hati anak-anak kami dengan rasa sakit, bahkan tanpa memberi waktu untuk bangun... Tampaknya tidak ada batasan untuk siksaan tidak manusiawi yang ditimbulkan oleh jiwa-jiwa tak berperasaan dari para algojo jelek terhadap wanita luar biasa dan pemberani ini! .. Saya benar-benar takut dan cemas, hanya memikirkan apa yang menanti kita di akhir kisahnya yang menakjubkan!..
Saya melihat ke arah Stella - teman saya yang suka berperang dengan ketakutan meringkuk di dekat Anna, tidak mengalihkan pandangannya yang terkejut dan melebar dari Isidora... Rupanya, bahkan dia - yang begitu berani dan pantang menyerah - terpana oleh kekejaman manusia.
Ya, Stella dan saya mungkin bertemu lebih banyak daripada anak-anak lain pada usia 5-10 tahun. Kita sudah tahu apa itu kehilangan, kita tahu apa arti rasa sakit... Tapi kita masih harus melalui banyak hal untuk memahami bahkan sebagian kecil dari apa yang Isidora rasakan sekarang!.. Dan aku hanya berharap aku tidak akan pernah mengalaminya. untuk benar-benar mengalami...
Aku terpesona melihat wanita cantik, pemberani, berbakat luar biasa ini, tidak mampu menyembunyikan air mata kesedihan yang mengalir di mataku... Bagaimana bisa “orang” berani menyebut diri mereka ORANG, melakukan ini padanya?! Bagaimana Bumi bisa menoleransi kekejian kriminal seperti itu, membiarkan dirinya diinjak-injak tanpa membuka kedalamannya?!
Isidora masih jauh dari kami, dalam ingatannya yang sangat menyakitkan, dan sejujurnya aku tidak ingin dia terus menceritakan kisahnya lebih jauh... Kisahnya menyiksa jiwa masa kecilku, memaksaku mati ratusan kali karena kemarahan dan kesakitan. . Saya belum siap untuk ini. Saya tidak tahu bagaimana melindungi diri saya dari kekejaman seperti itu... Dan sepertinya jika seluruh cerita yang menyayat hati ini tidak segera berhenti, saya akan mati begitu saja tanpa menunggu akhir. Itu terlalu kejam dan di luar pemahaman normal masa kanak-kanak saya...
Tapi Isidora, seolah-olah tidak terjadi apa-apa, terus berbicara lebih jauh, dan kami tidak punya pilihan selain terjun bersamanya lagi ke dalam KEHIDUPAN duniawinya yang terdistorsi, namun begitu tinggi dan murni, tak dijalani...
Saya bangun sangat terlambat keesokan paginya. Rupanya kedamaian yang diberikan Utara padaku dengan sentuhannya menghangatkan hatiku yang tersiksa, membuatku sedikit rileks, sehingga aku bisa menyongsong hari baru dengan kepala tegak, tidak peduli apa yang dibawa hari ini kepadaku... Anna masih melakukannya tidak menjawab - rupanya Karaffa dengan tegas memutuskan untuk tidak mengizinkan kami berkomunikasi sampai saya putus asa, atau sampai dia sangat membutuhkannya.
Terisolasi dari gadis manis saya, tetapi mengetahui bahwa dia ada di dekatnya, saya mencoba menemukan cara yang berbeda dan indah untuk berkomunikasi dengannya, meskipun dalam hati saya tahu betul bahwa saya tidak akan dapat menemukan apa pun. Caraffa memiliki rencana yang dapat diandalkan, yang tidak akan dia ubah, sesuai dengan keinginan saya. Sebaliknya, yang terjadi adalah sebaliknya - semakin aku ingin bertemu Anna, semakin lama dia akan mengurungnya, tidak mengizinkan pertemuan itu. Anna berubah, menjadi sangat percaya diri dan kuat, yang sedikit membuatku takut, karena, mengetahui karakter kebapakannya yang keras kepala, aku hanya bisa membayangkan seberapa jauh dia bisa bertindak dalam kekeraskepalaannya... Aku sangat ingin dia hidup!.. Sehingga Caraffa algojo tidak mengganggu kehidupannya yang rapuh, yang bahkan belum sempat mekar sempurna!.. Sehingga gadisku hanya memiliki masa depan...

Karakteristik yang dipilih. Kaya,

Pada awal kursus, konsep-konsep seperti probabilitas klasik dan statistik dipertimbangkan.

Jika probabilitas klasik merupakan suatu sifat teoretis yang dapat ditentukan tanpa menggunakan pengalaman, maka probabilitas statistik hanya dapat ditentukan dari hasil suatu eksperimen. Dengan jumlah percobaan yang lebih besar, nilainya W(A) dapat berfungsi sebagai perkiraan probabilitas P(A). Cukuplah mengingat eksperimen klasik Buffon dan Pearson. Analogi serupa dapat dilanjutkan lebih lanjut. Misalnya untuk karakteristik teoritis M(x) analogi seperti itu akan terjadi - rata-rata:

= saya f saya / n ,

untuk varians D(x) analog empirisnya adalah varian statistik:

S 2 (X) = (xi - ) 2 f saya/n .

Ciri-ciri empiris, S 2 (X) ,W(A) adalah perkiraan parameter M(x) ,D(x) ,P(A) . Dalam kasus di mana karakteristik empiris ditentukan berdasarkan sejumlah besar eksperimen, penggunaannya sebagai parameter teoretis tidak akan menyebabkan kesalahan yang signifikan dalam penelitian, tetapi dalam kasus di mana jumlah eksperimen terbatas, kesalahan penggantian akan menjadi signifikan. . Oleh karena itu, tiga persyaratan dikenakan pada karakteristik empiris yang merupakan perkiraan parameter teoritis:

Estimasi harus konsisten, tidak bias, dan efisien.

Suatu estimasi disebut konsisten jika probabilitas penyimpangannya dari parameter estimasi dengan jumlah yang kurang dari bilangan positif kecil yang sewenang-wenang cenderung menjadi satu dengan peningkatan jumlah pengamatan yang tidak terbatas. N, itu.

P(| - | < ) = 1

Di mana - beberapa parameter populasi umum,

/ - evaluasi parameter ini. Sebagian besar estimasi berbagai parameter numerik memenuhi persyaratan ini. Namun, persyaratan ini saja tidak cukup. Penting agar mereka juga tidak berpindah tempat.

Suatu estimasi disebut tidak bias jika ekspektasi matematis dari estimasi tersebut sama dengan parameter estimasi:

M ( / ) = .

Contoh estimasi ekspektasi sistematis yang konsisten dan tidak bias adalah mean aritmatika:

M() = .

Contoh estimasi yang konsisten dan bias adalah

penyebaran:

M ( S 2 (X)) = [ (n – 1)/ n ] D(x) .

Oleh karena itu, untuk memperoleh estimasi varian teoritis yang tidak bias D(x) memerlukan varian empiris S 2 (X) kalikan dengan tidak/(n – 1) , yaitu.

S 2 (X) = (xi - ) 2 f saya/n tidak/(n – 1) = (xi - ) 2 f saya /(n – 1) .

Dalam praktiknya, koreksi ini dilakukan saat menghitung estimasi varians jika N< 30 .

Terdapat beberapa estimasi yang valid dan tidak bias. Misalnya, untuk memperkirakan pusat penyebaran suatu distribusi normal, beserta mean aritmatikanya, dapat diambil mediannya . Median juga merupakan perkiraan konsisten yang tidak memihak dari pusat pengelompokan. Dari dua pendugaan tak bias yang konsisten untuk parameter yang sama, wajar jika memberikan preferensi pada pendugaan yang variansinya lebih kecil.

Seperti pendugaan yang variansnya paling kecil terhadap parameter yang diestimasi disebut efektif. Misalnya dari dua perkiraan pusat sebaran yang berdistribusi normal M(x) penilaian yang efektif adalah, tidak , karena variansnya lebih kecil dari variansnya . Efektivitas komparatif dari perkiraan ini dengan sampel yang besar kira-kira sama dengan: D() / D= 2/ = 0,6366.

Dalam prakteknya, ini berarti pusat sebaran penduduk (sebut saja 0) ditentukan oleh dengan akurasi yang sama untuk n observasi sebesar 0,6366 N pengamatan menggunakan mean aritmatika.

4.4. Sifat mean sampel dan varians.

1. Jika ukuran sampel cukup besar, maka berdasarkan hukum bilangan besar dengan probabilitas mendekati kesatuan, dapat dikatakan bahwa mean aritmatika dan varians S 2 akan berbeda sesedikit mungkin dari M(x) Dan D(x ), yaitu

M(x) ,S 2 (x) D(x ), dan varians D() , berapa pun ukuran sampelnya N, asalkan jumlah sampelnya cukup besar.

4. Kapan varians D(x ), populasinya tidak diketahui, maka untuk nilai yang besar N Dengan kemungkinan kesalahan kecil yang lebih besar, dispersi mean sampel dapat dihitung kira-kira dengan persamaan:

D() = S 2 (x)/n,

Di mana S 2 (X) = (xi - ) 2 f saya/n - varians sampel besar.

Kembali