§ 1 Pemilihan akar persamaan dalam situasi nyata
Mari kita pertimbangkan situasi nyata ini:
Master dan magang bersama-sama membuat 400 suku cadang khusus. Apalagi master bekerja selama 3 hari, dan siswa selama 2 hari. Berapa banyak bagian yang dibuat setiap orang?
Mari kita buat model aljabar dari situasi ini. Biarkan master memproduksi suku cadang dalam 1 hari. Dan siswa mengetahui detailnya. Kemudian master membuat 3 bagian dalam 3 hari, dan siswa membuat 2 bagian dalam 2 hari. Bersama-sama mereka akan menghasilkan 3 + 2 bagian. Karena menurut kondisi tersebut, total 400 suku cadang yang diproduksi, maka diperoleh persamaan:
Persamaan yang dihasilkan disebut persamaan linier dua variabel. Di sini kita perlu mencari pasangan bilangan x dan y yang persamaannya akan berbentuk persamaan numerik yang sebenarnya. Perhatikan bahwa jika x = 90, y = 65, maka kita memperoleh persamaan:
3 ∙ 90 + 65 ∙ 2 = 400
Karena persamaan numerik yang benar telah diperoleh, pasangan angka 90 dan 65 akan menjadi solusi persamaan ini. Namun solusi yang ditemukan bukanlah satu-satunya. Jika x = 96 dan y = 56, maka diperoleh persamaan:
96 ∙ 3 + 56 ∙ 2 = 400
Ini juga merupakan persamaan numerik sejati, artinya pasangan angka 96 dan 56 juga merupakan solusi persamaan ini. Namun pasangan bilangan x = 73 dan y = 23 tidak akan menjadi solusi persamaan ini. Faktanya, 3 ∙ 73 + 2 ∙ 23 = 400 akan menghasilkan persamaan numerik yang salah 265 = 400. Perlu dicatat bahwa jika kita mempertimbangkan persamaan tersebut dalam kaitannya dengan situasi nyata ini, maka akan ada pasangan bilangan yang, menjadi solusi persamaan ini, tidak akan menjadi solusi masalah. Misalnya, beberapa angka:
x = 200 dan y = -100
merupakan penyelesaian persamaan tersebut, tetapi siswa tidak dapat membuat -100 bagian, oleh karena itu pasangan bilangan tersebut tidak dapat menjadi jawaban dari soal soal tersebut. Oleh karena itu, dalam setiap situasi nyata tertentu, perlu dilakukan pendekatan yang masuk akal dalam memilih akar persamaan.
Mari kita rangkum hasil pertama:
Persamaan yang berbentuk ax + bу + c = 0, dimana a, b, c adalah bilangan sembarang, disebut persamaan linier dua variabel.
Penyelesaian persamaan linier dua variabel adalah sepasang bilangan yang bersesuaian dengan x dan y, yang persamaannya berubah menjadi persamaan numerik yang sebenarnya.
§ 2 Grafik persamaan linier
Pencatatan pasangan (x;y) membuat kita berpikir tentang kemungkinan menggambarkannya sebagai sebuah titik dengan koordinat xy y pada sebuah bidang. Artinya kita dapat memperoleh model geometris dari situasi tertentu. Misalnya, perhatikan persamaan:
2x + y - 4 = 0
Mari kita pilih beberapa pasang bilangan yang akan menjadi solusi persamaan ini dan buat titik-titik dengan koordinat yang ditemukan. Biarkan ini menjadi poin:
A(0; 4), B(2; 0), C(1; 2), D(-2; 8), E(- 1; 6).
Perhatikan bahwa semua titik terletak pada garis yang sama. Garis ini disebut grafik persamaan linier dua variabel. Ini adalah model grafis (atau geometris) dari persamaan tertentu.
Jika pasangan bilangan (x;y) merupakan solusi persamaan tersebut
ax + vy + c = 0, maka titik M(x;y) termasuk dalam grafik persamaan tersebut. Kita dapat mengatakan sebaliknya: jika titik M(x;y) termasuk dalam grafik persamaan ax + y + c = 0, maka pasangan bilangan (x;y) merupakan solusi dari persamaan tersebut.
Dari mata kuliah geometri kita mengetahui:
Untuk membuat garis lurus diperlukan 2 titik, sehingga untuk membuat grafik persamaan linier dua variabel cukup mengetahui 2 pasang penyelesaian saja. Namun menebak akar permasalahan tidak selalu merupakan prosedur yang mudah dan rasional. Anda dapat bertindak sesuai aturan lain. Karena absis suatu titik (variabel x) adalah variabel bebas, Anda dapat memberinya nilai apa pun yang sesuai. Mengganti angka ini ke dalam persamaan, kita menemukan nilai variabel y.
Misalnya, persamaannya diberikan:
Misalkan x = 0, maka didapat 0 - y + 1 = 0 atau y = 1. Artinya jika x = 0, maka y = 1. Sepasang bilangan (0;1) merupakan penyelesaian persamaan tersebut. Mari kita tentukan nilai lain untuk variabel x: x = 2. Maka kita mendapatkan 2 - y + 1 = 0 atau y = 3. Pasangan bilangan (2;3) juga merupakan solusi dari persamaan ini. Dengan menggunakan dua titik yang ditemukan, kita sudah dapat membuat grafik persamaan x - y + 1 = 0.
Anda dapat melakukan ini: pertama-tama berikan nilai tertentu ke variabel y, dan baru kemudian hitung nilai x.
§ 3 Sistem persamaan
Temukan dua bilangan asli, yang jumlahnya 11 dan selisihnya 1.
Untuk mengatasi masalah ini, pertama-tama kita membuat model matematika (yaitu model aljabar). Misalkan bilangan pertama x dan bilangan kedua y. Maka jumlah bilangan x + y = 11 dan selisih bilangan x - y = 1. Karena kedua persamaan memuat bilangan yang sama, maka syarat-syarat tersebut harus dipenuhi secara bersamaan. Biasanya dalam kasus seperti itu catatan khusus digunakan. Persamaannya ditulis satu di bawah yang lain dan digabungkan dengan tanda kurung kurawal.
Catatan seperti itu disebut sistem persamaan.
Sekarang mari kita buat himpunan solusi untuk setiap persamaan, yaitu. grafik dari masing-masing persamaan. Mari kita ambil persamaan pertama:
Jika x = 4 maka y = 7. Jika x = 9 maka y = 2.
Mari kita menggambar garis lurus melalui titik (4;7) dan (9;2).
Mari kita ambil persamaan kedua x - y = 1. Jika x = 5, maka y = 4. Jika x = 7, maka y = 6. Kita juga menggambar garis lurus melalui titik (5;4) dan (7;6 ). Kami memperoleh model geometris dari masalahnya. Pasangan bilangan yang kita minati (x;y) harus merupakan solusi kedua persamaan. Pada gambar kita melihat sebuah titik yang terletak pada kedua garis; ini adalah titik potong garis tersebut.
Koordinatnya adalah (6;5). Oleh karena itu, penyelesaian soal adalah: bilangan pertama yang diperlukan adalah 6, bilangan kedua adalah 5.
Daftar literatur bekas:
- Mordkovich A.G., Aljabar kelas 7 dalam 2 bagian, Bagian 1, Buku teks untuk lembaga pendidikan umum / A.G. Mordkovich. – Edisi ke-10, direvisi – Moskow, “Mnemosyne”, 2007
- Mordkovich A.G., Aljabar kelas 7 dalam 2 bagian, Bagian 2, Buku Soal untuk lembaga pendidikan / [A.G. Mordkovich dan lainnya]; diedit oleh A.G. Mordkovich - edisi ke-10, direvisi - Moskow, "Mnemosyne", 2007
- DIA. Tulchinskaya, Aljabar kelas 7. Survei kilat: manual untuk siswa lembaga pendidikan umum, edisi ke-4, direvisi dan diperluas, Moskow, “Mnemosyne”, 2008
- Alexandrova L.A., Aljabar kelas 7. Tematik pekerjaan pengujian V bentuk baru untuk mahasiswa lembaga pendidikan umum, diedit oleh A.G. Mordkovich, Moskow, “Mnemosyne”, 2011
- Alexandrova L.A. Aljabar kelas 7. Karya mandiri untuk mahasiswa lembaga pendidikan umum, diedit oleh A.G. Mordkovich - Edisi ke-6, stereotip, Moskow, “Mnemosyne”, 2010
Subjek:Fungsi linear
Pelajaran:Persamaan linier dengan dua variabel dan grafiknya
Kita menjadi akrab dengan konsep sumbu koordinat dan bidang koordinat. Kita tahu bahwa setiap titik pada bidang secara unik mendefinisikan sepasang bilangan (x; y), dengan bilangan pertama adalah absis titik tersebut, dan bilangan kedua adalah ordinatnya.
Kita akan sering menjumpai persamaan linier dua variabel yang penyelesaiannya berupa pasangan bilangan yang dapat direpresentasikan pada bidang koordinat.
Persamaan bentuk:
Dimana a, b, c adalah bilangan, dan 
Disebut persamaan linier dengan dua variabel x dan y. Solusi untuk persamaan tersebut adalah pasangan angka x dan y, dengan mensubstitusikannya ke dalam persamaan tersebut kita akan memperoleh persamaan numerik yang benar.
Sepasang bilangan akan digambarkan pada bidang koordinat sebagai sebuah titik.
Untuk persamaan seperti itu kita akan melihat banyak penyelesaian, yaitu banyak pasangan bilangan, dan semua titik yang bersesuaian akan terletak pada garis lurus yang sama.
Mari kita lihat sebuah contoh:
Untuk menemukan solusi persamaan ini, Anda perlu memilih pasangan bilangan x dan y yang sesuai:
Misalkan , maka persamaan awal berubah menjadi persamaan dengan satu persamaan yang tidak diketahui:
,
Artinya, pasangan bilangan pertama yang merupakan solusi persamaan tertentu (0; 3). Kami mendapat poin A(0; 3)
Membiarkan . Kami mendapatkan persamaan asli dengan satu variabel: 
, dari sini kita mendapat poin B(3; 0)
Mari kita masukkan pasangan angka ke dalam tabel:
Mari kita gambarkan titik-titik pada grafik dan menggambar garis lurus: 
Perhatikan bahwa setiap titik pada garis tertentu akan menjadi solusi persamaan yang diberikan. Mari kita periksa - ambil suatu titik dengan koordinat dan gunakan grafik untuk menemukan koordinat keduanya. Jelas sekali pada saat ini. Mari kita substitusikan pasangan angka ini ke dalam persamaan. Kita mendapatkan 0=0 - persamaan numerik yang benar, yang berarti sebuah titik yang terletak pada sebuah garis adalah solusinya.
Untuk saat ini, kami tidak dapat membuktikan bahwa titik mana pun yang terletak pada garis yang dibangun merupakan solusi persamaan tersebut, jadi kami menerima kebenarannya dan akan membuktikannya nanti.
Contoh 2 - buat grafik persamaannya:
Mari kita buat tabel; kita hanya memerlukan dua titik untuk membuat garis lurus, namun kita akan mengambil titik ketiga sebagai kontrol:
Di kolom pertama kami mengambil yang nyaman, kami akan menemukannya dari:
, ,
Di kolom kedua kami mengambil yang nyaman, cari x:
, , ,
Mari kita periksa dan temukan:
, ,
Mari kita buat grafiknya:
Mari kita perbanyak persamaan yang diberikan oleh dua:
Dari transformasi tersebut himpunan solusi tidak akan berubah dan grafiknya akan tetap sama.
Kesimpulan: kita belajar menyelesaikan persamaan dengan dua variabel dan membuat grafiknya, kita belajar bahwa grafik persamaan tersebut adalah garis lurus dan setiap titik pada garis ini adalah solusi persamaan tersebut
1. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. dan lain-lain Aljabar 7. Edisi ke-6. M.: Pencerahan. 2010
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Aljabar 7.M.: VENTANA-GRAF
3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. dan lain-lain Aljabar 7.M.: Pencerahan. 2006
2. Portal untuk melihat keluarga ().
Tugas 1: Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Aljabar 7, No.960, Pasal 210;
Tugas 2: Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Aljabar 7, No.961, Pasal 210;
Tugas 3: Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Aljabar 7, No.962, Pasal 210;
Definisi: ax + by + c = 0, dimana a, b dan c adalah bilangan (disebut juga koefisien), dan a dan b tidak sama dengan nol, x dan y adalah variabel, disebut persamaan linier dengan persamaan bentuk dua variabel. Contoh 1: 5 x – 2 y + 10 = 0 – persamaan linier dengan dua variabel: a = 5, b = -2, c = 10, x dan y adalah variabel. Contoh 2: – 4 x = 6 y – 14 – juga merupakan persamaan linier dua variabel. Jika kita memindahkan semua suku persamaan ke ruas kiri, kita mendapatkan persamaan yang sama yang ditulis dalam bentuk umum: – 4 x – 6 y + 14 = 0, dimana a = – 4, b = – 6, c = 14, x dan y – variabel. Pandangan umum persamaan linier dengan dua variabel disebut entri: ax + by + c = 0, jika semua suku persamaan ditulis di sisi kiri tanda =, dan nol ditulis di sisi kanan. Contoh 3: 3 z – 5 w + 15 = 0 – juga merupakan persamaan linier dua variabel. DI DALAM pada kasus ini variabelnya adalah z dan w. Variabel selain x dan y dapat berupa huruf apa saja dalam alfabet Latin.
Jadi, persamaan linier dengan dua variabel dapat disebut persamaan apa pun yang mengandung dua variabel, kecuali dua kasus: 1. Ketika variabel-variabel dalam persamaan tersebut dipangkatkan selain yang pertama! Contoh 1: -5 x 2 + 3 y + 9 = 0 – bukan persamaan linier, karena variabel x pangkat dua. Contoh 2: 6 x – y 5 + 12 = 0 – bukan persamaan linier, karena variabel y pangkat kelima. 2. Jika suatu persamaan mengandung variabel penyebutnya! Contoh 3: 2 x + 3/y + 18 = 0 bukan persamaan linier karena variabel y terdapat pada penyebutnya. Contoh 4: 1/x – 2/y + 3 = 0 – bukan persamaan linier, karena variabel x dan y terdapat pada penyebutnya.
Definisi: Penyelesaian persamaan linear dengan dua variabel ax + by + c = 0 adalah setiap pasangan bilangan (x; y), yang jika disubstitusikan ke persamaan ini, akan mengubahnya menjadi persamaan sejati. Contoh 1: Untuk persamaan linear 5 x – 2 y + 10 = 0, penyelesaiannya adalah pasangan bilangan (-4; -5). Hal ini mudah untuk diverifikasi jika Anda mengganti x = -4 dan y = -5 ke dalam persamaan: 5·(-4) – 2·(-5) + 10 = 0 -20 + 20 = 0 – persamaan yang benar. Contoh 2: Untuk persamaan yang sama 5 x – 2 y + 10 = 0, pasangan bilangan (1; 4) bukan penyelesaian: 5 1 – 2 4 + 10 = 0 5 – 8 + 10 = 0 7 = 0 – bukan kesetaraan yang sebenarnya.
Untuk persamaan linier apa pun dengan dua variabel, Anda dapat memilih pasangan bilangan (x; y) yang jumlahnya tak terhingga yang akan menjadi solusinya. Memang untuk persamaan linier dari contoh sebelumnya 5 x – 2 y + 10 = 0, selain pasangan bilangan (-4; -5), solusinya adalah pasangan bilangan: (0; 5), ( -2; 0), (2 ; 10), (-3; -2, 5), (-1; 2, 5), dst. Pasangan angka tersebut dapat dipilih tanpa henti. Catatan: Penyelesaian persamaan linear dua variabel ditulis dalam tanda kurung, nilai variabel x selalu ditulis di urutan pertama, dan nilai variabel y selalu ditulis di urutan kedua!
Grafik persamaan linear dua variabel ax + by + c = 0 adalah garis lurus. Contoh: grafik persamaan 2 x + y – 2 = 0 seperti terlihat pada gambar. Semua titik pada garis lurus pada grafik merupakan solusi persamaan linier tertentu. Grafik persamaan linier dua variabel adalah model geometri persamaan ini: jadi, dengan menggunakan grafik, seseorang dapat menggambarkan solusi persamaan linier dua variabel yang jumlahnya tak terhingga.
Bagaimana cara membuat grafik persamaan linear ax + by + c = 0? Mari kita tuliskan rencana tindakan: 1. Bertanya sistem persegi panjang koordinat untuk menggambarkan semua solusi persamaan linier (x; y), kita akan menggunakan sistem koordinat persegi panjang, dimana kita akan memplot nilai variabel x sepanjang sumbu Ox, dan nilai variabel y variabel sepanjang sumbu Oy. 2. Pilih dua pasang bilangan: (x1; y1) dan (x2; y2) yang merupakan solusi persamaan linear tersebut, sebenarnya kita bisa memilih solusi sebanyak yang kita inginkan (x; y), semuanya akan berbaring pada garis lurus yang sama. Tetapi untuk menggambar garis lurus - grafik persamaan linier, kita hanya memerlukan dua penyelesaian, karena kita tahu bahwa hanya satu garis lurus yang dapat ditarik melalui dua titik. Solusi yang dipilih biasanya ditulis dalam bentuk tabel: x x1 x2 y y1 y2 3. Gambarlah titik (x1; y1) dan (x2; y2) dalam sistem koordinat persegi panjang. Gambarlah garis lurus melalui dua titik ini - ini akan menjadi grafik persamaan ax + by + c = 0.
Contoh: mari kita buat grafik persamaan linier 5 x – 2 y + 10 = 0:1. Mari kita himpunan sistem koordinat persegi panjang x. Оу: 2. Mari kita pilih dua penyelesaian persamaan kita dan tuliskan -4 -2 x pada tabel: y -5 0 Untuk persamaan 5 x – 2 y + 10 = 0, penyelesaiannya misalnya pasangan bilangan : (-4; - 5) dan (-2; 0) (lihat slide 5). Mari kita tuliskan dalam sebuah tabel. Catatan: sepasang bilangan (2; 10) juga merupakan solusi persamaan kita (lihat slide 5), tetapi tidak mudah untuk membuat koordinat y = 10 dalam sistem koordinat kita, karena kita hanya memiliki 7 sel di sepanjang y- sumbu ke atas, dan lanjutkan sumbu tidak ada tempat. Oleh karena itu: untuk membuat grafik persamaan linier, dari seluruh himpunan solusi tak terhingga, kita memilih pasangan bilangan (x; y) yang lebih mudah untuk dibuat dalam sistem koordinat persegi panjang!
Contoh: mari kita buat grafik persamaan linear 5 x – 2 y + 10 = 0: x -4 -2 y -5 0 3. Mari kita buat grafiknya: Mari kita buat sebuah titik (-4; -5) pada koordinat sistem: Kita plot koordinat -4 sepanjang sumbu x Sepanjang sumbu y kita plot koordinat -5.Pada perpotongan koordinat tersebut kita mendapatkan titik pertama. Demikian pula, kita membuat sebuah titik dengan koordinat (-2; 0): Sepanjang sumbu x kita memplot koordinat -2. Sepanjang sumbu y kita memplot koordinat 0. Pada perpotongan koordinat kita mendapatkan titik kedua. -4 -2 0 -5 Gambarlah garis lurus melalui dua titik - grafik persamaan linear 5 x – 2 y + 10 = 0
Fungsi linear. Jika kita menyatakan variabel y dari persamaan linier ax + by + c = 0, yaitu menulis ulang persamaan tersebut dalam bentuk di mana y berada di ruas kiri persamaan, dan yang lainnya ada di sebelah kanan: ax + by + c = 0 - pindahkan kapak dan c ke sisi kanan dengan = – ax – с – nyatakan y y = (– ax – с) : b, dimana b ≠ 0 у = – a/b · х – с/b, menyatakan – a/b = k dan – с/b = m y = kx + m – menerima lebih banyak entri sederhana persamaan linier dengan dua variabel. Jadi, persamaan linier dengan dua variabel, ditulis sebagai: y = kx + m, dengan variabel k dan m adalah koefisien, disebut fungsi linier. xy – Variabel x disebut variabel atau argumen bebas. Variabel y disebut variabel terikat atau nilai fungsi.
Jadwal fungsi linear. Karena fungsi linier adalah pandangan pribadi persamaan linier dua variabel, dan grafik persamaan linier tersebut berupa garis lurus, maka dapat diambil kesimpulan sebagai berikut: grafik fungsi linier y = kx + m adalah garis lurus. Bagaimana cara membuat grafik fungsi linier? Kami menetapkan sistem koordinat persegi panjang. Kita cari pasangan bilangan: (x1; y1) dan (x2; y2), x x1 x2, yang merupakan solusi fungsi linier yy1 y2 dan tuliskan dalam tabel. Untuk menemukan solusi fungsi linier, Anda tidak perlu memikirkannya secara langsung, seperti yang kita lakukan pada persamaan linier. Variabel x perlu diberi nilai spesifik x1 dan x2, dan, dengan mensubstitusikannya satu per satu ke dalam fungsi, hitung nilai y1 = kx 1 + m dan y2 = kx 2 + m. Catatan: variabel x dapat diberikan nilai apa pun secara mutlak, tetapi disarankan untuk mengambil bilangan yang sesuai untuk kita buat dalam sistem koordinat persegi panjang, misalnya bilangan 0, 1, -1. 3. Kita buat titik (x1; y1) dan (x2; y2), dan tarik garis lurus melalui titik tersebut - ini akan menjadi grafik fungsi linier.
Contoh 1: mari kita buat grafik fungsi linier y = 0,5 x + 4: 1. Mari kita himpunan sistem koordinat persegi panjang. 2. Isi tabelnya: x 0 -2 y 4 3 Mari kita beri variabel x nilai tertentu x1 dan x2: lebih mudah untuk mengambil x1 = 0, karena lebih mudah menghitung dengan nol, kita mendapatkan: y1 = 0, 5 0 + 4 = 4 x2 dapat dianggap sama dengan 1, tetapi y2 akan menjadi bilangan pecahan: 0,5 1 + 4 = 4,5 - tidak nyaman untuk membangunnya pada bidang koordinat; lebih mudah untuk mengambil x2 sama dengan 2 atau -2. Misal x2 = -2, kita peroleh: y2 = 0,5·(-2) + 4 = -1 + 4 = 3 4 3 -2 0 3. Mari kita buat titik (0; 4) dan (-2; 3) pada bidang koordinat ) tarik garis lurus melalui titik-titik ini - kita mendapatkan grafik fungsi linier y = 0,5 x + 4
Contoh 2: mari kita buat grafik fungsi linier y = -2 x + 1:1. Mari kita tentukan sistem koordinat persegi panjang. 2. Isilah tabel: x 0 1 y 1 -1 Mari kita beri nilai tertentu pada variabel x x1 dan x2: misalnya x1 = 0, kita peroleh: y1 = -2 0 + 1 = 1 1 1 -1 0 misalkan x2 = 1, kita peroleh: y2 = -2 1 + 1 = -2 + 1 = -1 3. Mari kita buat titik (0; 1) dan (1; -1) pada bidang koordinat dan tarik garis lurus melalui titik-titik ini - kita mendapatkan grafik fungsi linier y = -2 x + 1
Contoh 3: buat grafik fungsi linier y = -2 x + 1, dan carilah yang terbesar dan nilai terkecil fungsi pada interval [-2; 3] 1. Mari kita buat grafik fungsinya (lihat slide sebelumnya). Nilai fungsinya adalah nilai variabel y. Jadi, Anda perlu mencari y yang terbesar dan y yang terkecil jika variabel x yang terkecil hanya dapat mengambil nilai dari interval [-2; 3]. 2. Tandai segmen [-2; 3] 3. Melalui ujung-ujung ruas tersebut kita tarik garis lurus yang sejajar dengan sumbu Oy, Oy dan tandai titik potong garis-garis tersebut dengan grafik. Karena sesuai syarat kita diberi ruas, kita gambar titik-titik yang diarsir! 5 - terbesar 1 1 -2 0 3 terkecil - -5 4. Tentukan ordinat titik yang diperoleh: y = 5 dan y = -5. -5 Terlihat jelas bahwa nilai y terbesar berada pada interval [-5; 5] adalah y = 5, dan 5 adalah yang terkecil - y = -5. -5
Pilihan 3. Tugas No. 1: membuat grafik fungsi linier y = 1/2 x – 2. 1. Menetapkan sistem koordinat persegi panjang. 2. Isi tabelnya: x 0 2 y -2 -1 Berikan nilai tertentu pada variabel x x1 dan x2: misal x1 = 0, kita peroleh: y1 = 1/2 0 – 2 = -2 misalkan x2 = 2, kita peroleh: y2 = 1/2 · 2 – 2 = 1 – 2 = -1 0 2 -1 -2 3. Mari kita buat titik (0; -2) dan (2; -1) pada bidang koordinat dan tarik garis lurus melalui titik-titik ini - kita akan mendapatkan grafik fungsi linier y = 1/2 x – 2
Tugas No. 1: Dengan menggunakan grafik, temukan: a) yang terkecil dan nilai tertinggi fungsi pada interval [-2; 4] Nilai fungsi adalah nilai variabel y. Jadi, Anda perlu mencari y yang terbesar dan y yang terkecil jika variabel x yang terkecil hanya dapat mengambil nilai dari interval [-2; 4]. 1. Tandai segmen [-2; 4] 2. Melalui ujung-ujung ruas hingga berpotongan dengan grafik, tariklah garis lurus yang sejajar dengan sumbu Oy. Оу Kami menandai titik potong garis-garis ini dengan grafik. Karena sesuai syarat kita diberi ruas, kita gambar titik-titik yang diarsir! terbesar - 0 -2 -1 -2 2 4 -3 - terkecil 3. Tentukan ordinat titik-titik yang diperoleh: y = 0 dan y = -3. -3 Terlihat jelas bahwa nilai y terbesar terdapat pada interval [-3; 0] adalah y = 0, dan yang terkecil adalah y = -3. -3
Tugas No. 1: Dengan menggunakan grafik, temukan: a) nilai fungsi terkecil dan terbesar pada segmen [-2; 4] Catatan: dari grafik tidak selalu mungkin untuk menentukan secara akurat koordinat suatu titik tertentu, hal ini disebabkan oleh fakta bahwa ukuran sel di buku catatan mungkin tidak rata sempurna, atau kita dapat menggambar garis lurus melalui dua titik sedikit bengkok. Dan akibat dari kesalahan seperti itu mungkin nilai terbesar dan terkecil dari fungsi tersebut salah ditemukan. Oleh karena itu: jika kita mencari koordinat titik-titik tertentu pada grafik, pastikan untuk memeriksanya nanti dengan mensubstitusikan koordinat yang ditemukan ke dalam persamaan fungsi! Periksa: mari kita substitusikan koordinat hnaimnya. = -2 dan tidak bertujuan. = -3 ke dalam fungsi y = 1/2 x – 2: -3 = 1/2 · (-2) – 2 -3 = -1 – 2 -3 = -3 – benar. Mari kita substitusikan koordinat hnaib. = 4 dan unaib. = 0 ke dalam fungsi y = 1/2 x – 2: 0 = 1/2 · 4 – 2 0=2– 2 0 = 0 – benar. Jawab: unaib = 0, unaim = -3
Tugas No. 1: Dengan menggunakan grafik, carilah: b) nilai variabel x yang y ≤ 0. Pada bidang koordinat, semua nilai variabel y - kurang dari nol - terletak di bawah Sapi sumbu. Sapi Jadi, untuk menyelesaikan pertidaksamaan y ≤ 0, Anda perlu memperhatikan bagian grafik 2 yang terletak di bawah sumbu Sapi dan, dengan menggunakan celah 4 -∞ 0, tuliskan nilai apa yang diambil oleh -1 variabel x . -2 1. Tandai bagian grafik yang terletak di bawah sumbu Ox 2. Tandai titik potong grafik dengan sumbu Ox, Ox adalah titik dengan koordinat x = 4. Karena kita tidak mempunyai pertidaksamaan tegas “≤ ”, intinya harus diarsir! 3. Tandai bagian sumbu Ox yang sesuai dengan bagian grafik yang dipilih; ini dan Ox akan menjadi area yang diinginkan. Jawabannya kita tuliskan: x termasuk dalam interval (-∞; 4] – tanda kurung siku, karena pada kondisi tersebut pertidaksamaannya tidak tegas “≤” !
Tugas No. 2: Mencari koordinat titik potong garis y = 3 x dan y = -2 x - 5 Tugas ini dapat diselesaikan dengan dua cara. Metode 1 - grafis: Mari kita buat grafik fungsi linier ini dalam satu bidang koordinat: 1. Tetapkan sistem koordinat persegi panjang. 2. Isikan tabel 0 x untuk fungsi 0 y y = 3 x ambil x1 = 0, kita dapatkan: y1 = 3 0 = 0 3 1 3 ambil x2 = 1, kita dapatkan: y2 = 3 1 = 3 3. Konstruk pada bidang koordinat titik (0; 0) dan (1; 3) gambarlah grafik yang melalui titik-titik tersebut – garis lurus. 0 1
Tugas No. 2: Carilah koordinat titik potong garis y = 3 x dan y = -2 x - 5 4. Isikan tabel 0 -1 x untuk fungsi -5 -3 y = -2 x - 5 y ambil x1 = 0, kita peroleh: y1 = -2 · 0 – 5 = -5 ambil x2 = -1, kita peroleh: y2 = -2 · (-1) – 5 = 2 – 5 = -3 5. Bangun titik (0; -5) pada bidang koordinat dan (-1; -3) 3 -1 0 1 -3 melalui titik-titik tersebut buatlah grafik -5 6. Tentukan absis dan ordinat titik potong grafik yang dihasilkan: x = -1 dan y = -3. -3 Catatan: jika kita menyelesaikannya secara grafis, maka segera setelah kita menemukan absis dan ordinat titik potong grafiknya, kita harus memeriksanya dengan mensubstitusikan koordinat yang ditemukan ke kedua persamaan! Periksa: untuk y = 3 x: -3 = 3 · (-1) untuk y = -2 x – 5: -3 = -2 · (-1) – 5 -3 = -3 - benar Jawaban: (-1 ; -3)
Tugas No. 2: Cari koordinat titik potong garis y = 3 x dan y = -2 x - 5 Cara 2 – analitik: Misalkan garis-garis ini berpotongan di titik A(x; y), koordinat x dan y yang harus kita temukan. Anggaplah fungsi y = 3 x dan y = -2 x – 5 sebagai persamaan linier dengan dua variabel. Karena kedua garis melalui titik A, maka koordinat titik ini: sepasang bilangan (x; y) - merupakan penyelesaian kedua persamaan tersebut, yaitu kita perlu memilih sepasang bilangan (x; y) sehingga ketika dengan mensubstitusi persamaan pertama dan persamaan kedua, hasilnya adalah persamaan yang benar. Dan kita akan mencari pasangan bilangan tersebut sebagai berikut: karena ruas kiri persamaan tersebut sama dengan y = y, maka kita dapat menyamakan ruas kanan persamaan tersebut: 3 x = -2 x – 5. Penulisan 3 x = -2 x – 5 – Ini persamaan linear satu variabel, selesaikan dan cari variabel x: Penyelesaian: 3 x = -2 x – 5 3 x + 2 x = -5 5 x = -5: 5 x = -1 Kita peroleh x = -1. Sekarang yang tersisa hanyalah mensubstitusikan x = -1 ke dalam salah satu persamaan dan mencari variabel y. Lebih mudah untuk mensubstitusikan y = 3 x ke dalam persamaan pertama, kita mendapatkan: y = 3 · (-1) = -3 Kita mendapatkan titik A dengan koordinat (-1; -3). Jawaban: (-1; -3)
Tugas No.3: a) Carilah koordinat titik potong grafik persamaan linier 3 x + 5 y + 15 = 0 dengan sumbu koordinat.Grafik persamaan linier seperti yang telah anda ketahui adalah a garis lurus, dan dapat memotong sumbu koordinat Ox dan Oy di satu titik, jika melewati titik asal dan titik ini (0; 0); atau di dua titik: 1. (x; 0) – titik potong grafik dengan sumbu Ox 2. (0; y) – titik potong grafik dengan sumbu Oy. Mari kita cari titik-titik ini: 1. Substitusikan nilai y = 0 ke dalam persamaan, kita peroleh: 3 x + 5 0 + 15 = 0 - selesaikan persamaan ini dan temukan x. 3 x + 15 = 0 3 x = -15 Diperoleh sebuah titik dengan koordinat: (-5; 0) - ini adalah titik potong x = -15: 3 grafik dengan sumbu Ox x = -5 2. Substitusikan nilai x = 0 ke dalam persamaan, kita mendapatkan: 3·0 + 5 y + 15 = 0 – selesaikan persamaan ini dan temukan y. 5 y + 15 = 0 5 y = -15 Didapatkan sebuah titik dengan koordinat: (0; -3) - ini adalah titik potong grafik y = -15:5 dengan sumbu Oy y = -3 Jawaban: ( -5; 0) dan (0; -3)
Tugas No.3: b) Tentukan apakah titik C(1/3; -3, 2) termasuk dalam grafik persamaan 3 x + 5 y + 15 = 0. Jika titik C(1/3; -3, 2 ) termasuk dalam grafik persamaan ini , maka persamaan tersebut merupakan penyelesaian, yaitu jika nilai x = 1/3 dan y = -3, 2 disubstitusikan ke dalam persamaan tersebut, persamaan yang benar harus diperoleh! Sebaliknya, jika persamaan yang benar tidak diperoleh, titik tersebut tidak termasuk dalam grafik persamaan tersebut. Mari kita substitusikan x = 1/3 dan y = -3, 2 ke dalam persamaan tersebut dan periksa: 3 1/3 + 5 (-3, 2) + 15 = 0 1 – 16 + 15 = 0 – 15 + 15 = 0 0 = 0 – persamaan sejati. Jadi titik C termasuk dalam grafik persamaan 3 x + 5 y + 15 = 0 Jawaban: titik C(1/3; -3, 2) termasuk dalam grafik persamaan 3 x + 5 y + 15 = 0
Tugas No. 4: a) Mendefinisikan fungsi linier y = kx dengan rumus jika diketahui grafiknya sejajar dengan garis lurus 6 x - y - 5 = 0. b) Tentukan apakah fungsi linier yang Anda tentukan bertambah atau berkurang. Teorema tentang posisi relatif grafik fungsi linier: Diberikan dua fungsi linier y = k 1 x + m 1 dan y = k 2 x + m 2: Jika k 1 = k 2, sedangkan m 1 ≠ m 2, maka grafik fungsi-fungsi tersebut sejajar. Jika k 1 ≠ k 2 , dan m 1 ≠ m 2 , maka grafik fungsi-fungsi tersebut berpotongan. Jika k 1 = k 2 , dan m 1 = m 2 , maka grafik fungsi-fungsi tersebut berimpit. a) Menurut teorema kedudukan relatif grafik fungsi linier: jika garis lurus y = kx dan 6 x – y – 5 = 0 sejajar, maka koefisien k dari fungsi y = kx, kx sama dengan koefisien k dari fungsi 6 x – y – 5 = 0. 0 Mari kita turunkan persamaan 6 x – y – 5 = 0 ke bentuk fungsi linier dan tuliskan koefisiennya: 6 x – y – 5 = 0 – pindahkan -y ke kanan, didapat: 6 x – 5 = y atau y = 6 x – 5, k = 6, m = – 5. 6 5 Jadi, fungsi y = kx berbentuk: y = 6 x . 6 x b) Fungsinya bertambah jika k > 0 dan berkurang jika k 0! 0 Jawaban: y = 6 x, fungsinya meningkat. 6x
Tugas No. 5: Berapa nilai p penyelesaian persamaan 2 px + 3 y + 5 p = 0 sepasang bilangan (1, 5, -4)? Karena pasangan bilangan (1, 5; -4) merupakan penyelesaian persamaan tersebut, maka kita substitusikan nilai x = 1, 5 dan y = -4 ke dalam persamaan 2 px + 3 y + 5 p = 0, kita peroleh: 2 p 1 , 5 + 3 · (-4) + 5 p = 0 – lakukan perkalian 3 p – 12 + 5 p = 0 – selesaikan persamaan ini dan temukan p 3 p + 5 p = 12 8 p = 12: 8 p = 1, 5 Jadi, untuk p = 1,5, penyelesaian persamaan 2 px + 3 y + 5 p = 0 adalah pasangan bilangan (1, 5; -4) Periksa: untuk p = 1,5 kita peroleh persamaan: 2 1.5 x + 3 y + 5 1, 5 = 0 3 x + 3 y + 7, 5 = 0 – substitusikan x = 1, 5 dan y = -4 ke dalam persamaan ini, kita peroleh: 3 1, 5 + 3 (-4 ) + 7, 5 = 0 4, 5 – 12 + 7, 5 = 0 0 = 0 – benar. Jawaban : p = 1,5
"Persamaan linier dua variabel dan grafiknya."
Tujuan Pelajaran:
untuk mengembangkan pada siswa kemampuan membuat grafik persamaan linier dengan dua variabel, untuk menyelesaikan masalah dengan menggunakan model matematika dua variabel;
mengembangkan keterampilan kognitif, berpikir kritis dan kreatif siswa; memupuk minat kognitif dalam matematika, ketekunan, dan tekad dalam belajar.
Tugas:
memperkenalkan konsep persamaan linier sebagai model matematika dari situasi nyata;
mengajarkan cara menentukan persamaan linier dan koefisiennya berdasarkan jenisnya;
mengajar menggunakan nilai tertentu x untuk mencari nilai y yang sesuai, dan sebaliknya;
memperkenalkan algoritma untuk membuat grafik persamaan linier dan mengajarkan cara menerapkannya dalam praktik;
mengajarkan cara menyusun persamaan linier sebagai model matematika suatu masalah.
Selain teknologi TIK, pembelajaran juga menggunakan pembelajaran berbasis masalah, unsur pelatihan perkembangan, teknologi interaksi kelompok.
Jenis pelajaran: pelajaran pengembangan keterampilan dan kemampuan.
SAYA. Tahap organisasi. Geser 1.
Memeriksa kesiapan siswa terhadap pelajaran, mengkomunikasikan topik pelajaran, maksud dan tujuan.
II. Pekerjaan lisan.
1. Geser 2. Dari persamaan yang diajukan, pilih persamaan linier dengan dua variabel:
A) 3x – y = 14
B) 5y + x² = 16
B) 7xy – 5y = 12
D) 5x + 2y = 16
Jawaban: a, d.
Pertanyaan tambahan: Persamaan dua variabel manakah yang disebut linier? Geser 3.
Jawaban: ah + wu + c = 0.
Geser 4. Mengerjakan konsep persamaan linear dengan menggunakan contoh (oral work).
Geser 5-6. Sebutkan koefisien persamaan linier.
2. Geser 7. Pilih titik yang termasuk dalam grafik persamaan 2x + 5y = 12
A(-1; -2), B(2; 1), C(4; -4), D (11; -2).
Menjawab: D (11; -2).
Pertanyaan Bonus: Berapakah grafik persamaan dua variabel? Geser 8.
Jawaban: langsung.
3. Geser 9. Tentukan absis titik M(x; -2) yang termasuk dalam grafik persamaan 12x – 9y = 30.
Jawaban: x = 1.
Pertanyaan tambahan: Apa yang disebut penyelesaian persamaan dua variabel? Geser 10.
Jawaban: Penyelesaian persamaan dua variabel adalah pasangan nilai variabel yang mengubah persamaan tersebut menjadi persamaan sejati.
4.Geser 11.
1. Pada gambar manakah grafik fungsi linier mempunyai kemiringan positif?
2. Pada gambar manakah grafik fungsi linier mempunyai kemiringan negatif?
3. Grafik fungsi manakah yang belum kita pelajari?
5. Geser 12. Sebutkan interval numerik yang sesuai dengan model geometri:
A). (-6; 8)B). (-6; 8] V).[- 6; 8)G).[-6;8]
X
-6 8
AKU AKU AKU. Menetapkan tujuan pelajaran.
Hari ini dalam pelajaran kita akan mengkonsolidasikan kemampuan membuat grafik persamaan linier dengan dua variabel, menyelesaikan masalah menggunakan dua variabel saat menyusun model matematika (kebutuhan membuat persamaan linier untuk menyelesaikan masalah dengan dua variabel yang tidak diketahui).
Cobalah untuk gigih dan memiliki tujuan saat menyelesaikan tugas.
IV. Konsolidasi. Geser 13.
Tugas. Dari kota A dan B yang jaraknya 500 km, berangkatlah dua buah kereta api yang saling menuju, masing-masing dengan kecepatan tetap. Diketahui, kereta pertama berangkat 2 jam lebih awal dibandingkan kereta kedua. 3 jam setelah kereta kedua berangkat, mereka bertemu. Berapa kecepatan keretanya?Buat model matematika untuk masalah tersebut dan temukan dua solusi.
Geser 14. (Menyusun model matematika untuk masalah tersebut). Demonstrasi penyusunan model matematika .
Apa solusi persamaan linear dua variabel?
Guru mengajukan pertanyaan: berapa banyak penyelesaian yang dimiliki persamaan linear dua variabel? Jawaban: sangat banyak.
Guru: bagaimana cara mencari solusi persamaan linear dua variabel? Jawaban: pilih.
Guru: apa cara termudah untuk menemukan solusi persamaan tersebut?
Jawaban: pilih satu variabel, misalnya x, dan cari variabel lain dari persamaan - y.
Geser 15.
- Periksa apakah pasangan nilai berikut menyelesaikan persamaan.
Tugas.
Geser 16.
Dua orang pengemudi traktor membajak 678 hektar bersama-sama. Pengemudi traktor pertama bekerja selama 8 hari, dan pengemudi kedua selama 11 hari. Berapa hektar yang dibajak setiap pengemudi traktor setiap hari? Tulis persamaan linier dengan dua variabel untuk soal tersebut dan temukan 2 solusi.
Geser 17-18.
Apa yang disebut grafik persamaan dua variabel? Pertimbangkan kasus yang berbeda.
papan 19. Algoritma untuk memplot fungsi linier.
Geser 20. (lisan) Perhatikan contoh memplot persamaan linier dengan dua variabel.
V. Bekerja sesuai dengan buku teks.
Geser 21. Grafik persamaannya:
halaman 269
Opsi I No. 1206 (b)
opsi II No.1206 (c)
VI. Pekerjaan mandiri. Geser 22.
Pilihan 1.
1. Pasangan bilangan (1;1), (6;5), (9;11) manakah yang merupakan penyelesaian persamaan 5x – 4y - 1 =0?
2. Gambarkan fungsi 2x + y = 4.
Pilihan 2.
Pasangan bilangan (1;1), (1;2), (3;7) manakah yang merupakan penyelesaian persamaan 7x – 3y - 1 =0?
Gambarkan fungsi 5x + y – 4 = 0.
(Diikuti dengan cek, cek Slide 23-25)
VII. Konsolidasi. Geser 26.
Bangun dengan benar.(Tugas untuk semua siswa di kelas). Buatlah bunga yang dimaksud menggunakan garis:
Sekitar 120 spesies bunga ini diketahui, tersebar terutama di Asia Tengah, Timur dan Selatan serta Eropa Selatan.
Ahli botani percaya bahwa budaya ini berasal dari Turki pada abad ke-12. Ketenaran dunia tanaman yang ditemukan jauh dari tanah airnya, di Belanda, pantas disebut Negeri Bunga ini.
Motif warna-warna tersebut banyak dijumpai pada berbagai produk (dan perhiasan) yang didesain secara artistik.
Inilah legenda tentang bunga ini.
Dalam kuncup emas bunga kuning kebahagiaan terkandung. Tidak ada yang bisa mencapai kebahagiaan ini, karena tidak ada kekuatan yang bisa membuka kuncupnya.
Namun suatu hari seorang wanita dengan seorang anak sedang berjalan melewati padang rumput. Anak laki-laki itu melepaskan diri dari pelukan ibunya, berlari ke arah bunga sambil tertawa keras, dan kuncup emasnya terbuka. Tawa anak-anak yang riang mencapai apa yang tidak dapat dilakukan oleh kekuatan apa pun. Sejak saat itu, sudah menjadi kebiasaan untuk memberikan bunga ini hanya kepada mereka yang merasakan kebahagiaan.
Penting untuk membuat grafik fungsi dan memilih bagiannya untuk titik-titik yang memiliki pertidaksamaan yang sesuai:
kamu = x + 6,
4 < X < 6;
kamu = -x + 6,
6 < X < -4;
kamu = - 1/3 x + 10,
6 < X < -3;
kamu = 1/3 x +10,
3 < X < 6;
kamu = -x + 14,
0 < X < 3;
kamu = x + 14,
3 < X < 0;
kamu = 5x – 10,
2 < X < 4;
kamu = - 5x – 10,
4 < X < -2;
kamu = 0,
2 < X < 2.
Kami mendapat gambar - TULIP. Geser 27.
VIII. Cerminan. Geser 28.
IX. Pekerjaan rumah. Geser 29.
Hlm.43, No. 1206 (gf), 1208 (gf), 1214
Persamaan linier dua variabel adalah persamaan apa saja yang mempunyai tampilan berikutnya: a*x + b*y =с. Di sini x dan y adalah dua variabel, a,b,c adalah beberapa bilangan.
Penyelesaian persamaan linier a*x + b*y = c adalah setiap pasangan bilangan (x,y) yang memenuhi persamaan tersebut, yaitu mengubah persamaan dengan variabel x dan y menjadi persamaan numerik yang benar. Persamaan linear mempunyai solusi yang jumlahnya tak terhingga.
Jika setiap pasangan bilangan yang merupakan penyelesaian persamaan linier dua variabel digambarkan pada bidang koordinat sebagai titik, maka semua titik tersebut membentuk grafik persamaan linier dua variabel. Koordinat titik-titiknya akan menjadi nilai x dan y kita. Dalam hal ini, nilai x adalah absis, dan nilai y adalah ordinatnya.
Grafik Persamaan Linier Dua Variabel
Grafik persamaan linier dua variabel adalah himpunan semua titik yang mungkin pada bidang koordinat, yang koordinatnya akan menjadi penyelesaian persamaan linier tersebut. Mudah ditebak bahwa grafiknya berupa garis lurus. Itu sebabnya persamaan seperti itu disebut linier.
Algoritma konstruksi
Algoritma untuk memplot persamaan linier dua variabel.
1. Gambarlah sumbu koordinat, beri label dan tandai skala satuannya.
2. Dalam persamaan linier, masukkan x = 0, dan selesaikan persamaan yang dihasilkan untuk y. Tandai titik yang dihasilkan pada grafik.
3. Dalam persamaan linier, ambil angka 0 sebagai y, dan selesaikan persamaan yang dihasilkan untuk x. Tandai titik yang dihasilkan pada grafik
4. Jika perlu, ambil nilai sembarang x dan selesaikan persamaan yang dihasilkan untuk y. Tandai titik yang dihasilkan pada grafik.
5. Hubungkan titik-titik yang dihasilkan dan lanjutkan grafik melampaui titik-titik tersebut. Tanda tangani garis lurus yang dihasilkan.
Contoh: Gambarkan persamaan 3*x - 2*y =6;
Misalkan x=0, lalu - 2*y =6; kamu= -3;
Misalkan y=0, maka 3*x = 6; x=2;
Kami menandai titik-titik yang diperoleh pada grafik, menggambar garis lurus melaluinya dan memberi label. Perhatikan gambar di bawah ini, grafiknya akan terlihat persis seperti ini.