Bidang singgung dan normal terhadap permukaan halus. Bidang singgung

Mari kita mempunyai permukaan yang ditentukan oleh persamaan bentuk

Mari kita perkenalkan definisi berikut.

Definisi 1. Garis lurus disebut bersinggungan dengan permukaan di suatu titik, jika garis tersebut bersinggungan dengan permukaan

bersinggungan dengan setiap kurva yang terletak pada permukaan dan melalui suatu titik.

Karena banyak sekali kurva berbeda yang terletak di permukaan yang melewati titik P, maka, secara umum, akan ada banyak sekali garis singgung permukaan yang melalui titik ini.

Mari kita perkenalkan konsep titik tunggal dan titik biasa pada suatu permukaan

Jika pada suatu titik ketiga turunannya sama dengan nol atau paling sedikit salah satu turunannya tidak ada, maka titik M disebut titik tunggal permukaan. Jika pada suatu titik ketiga turunannya ada dan kontinu, dan paling sedikit salah satu diantaranya berbeda dari nol, maka titik M disebut titik biasa pada permukaan.

Sekarang kita dapat merumuskan teorema berikut.

Dalil. Semua garis singgung permukaan tertentu (1) pada titik biasa P terletak pada bidang yang sama.

Bukti. Mari kita perhatikan garis L tertentu pada permukaan (Gbr. 206) yang melalui suatu titik P pada permukaan. Biarkan kurva yang dipertimbangkan diberikan oleh persamaan parametrik

Garis singgung kurva akan menjadi garis singgung permukaan. Persamaan garis singgung ini berbentuk

Jika ekspresi (2) disubstitusikan ke persamaan (1), maka persamaan tersebut akan menjadi identitas terhadap t, karena kurva (2) terletak pada permukaan (1). Membedakannya dengan yang kita dapatkan

Proyeksi vektor ini bergantung pada - koordinat titik P; perhatikan bahwa karena titik P biasa saja, proyeksi di titik P ini tidak hilang secara bersamaan dan oleh karena itu

bersinggungan dengan kurva yang melalui titik P dan terletak di permukaan. Proyeksi vektor ini dihitung berdasarkan persamaan (2) pada nilai parameter t yang sesuai dengan titik P.

Mari kita hitung produk skalar vektor N dan yang sama dengan jumlah produk proyeksi dengan nama yang sama:

Berdasarkan persamaan (3), ekspresi di ruas kanan sama dengan nol, oleh karena itu,

Dari persamaan terakhir maka vektor LG dan vektor singgung kurva (2) di titik P tegak lurus. Alasan di atas berlaku untuk setiap kurva (2) yang melalui titik P dan terletak di permukaan. Akibatnya, setiap garis singgung permukaan di titik P tegak lurus terhadap vektor N yang sama dan oleh karena itu semua garis singgung ini terletak pada bidang yang sama yang tegak lurus terhadap vektor LG. Teorema tersebut telah terbukti.

Definisi 2. Bidang di mana semua garis singgung garis pada permukaan yang melalui titik P terletak disebut bidang singgung permukaan di titik P (Gbr. 207).

Perhatikan bahwa pada titik tunggal permukaan mungkin tidak terdapat bidang singgung. Pada titik-titik tersebut, garis singgung permukaan mungkin tidak terletak pada bidang yang sama. Misalnya, titik puncak permukaan kerucut adalah titik tunggal.

Garis singgung permukaan kerucut pada titik ini tidak terletak pada bidang yang sama (garis singgung itu sendiri membentuk permukaan kerucut).

Mari kita tuliskan persamaan bidang singgung permukaan (1) pada titik biasa. Karena bidang ini tegak lurus terhadap vektor (4), maka persamaannya berbentuk

Jika persamaan permukaan diberikan dalam bentuk atau persamaan bidang singgung dalam hal ini berbentuk

Komentar. Jika kita masukkan ke dalam rumus (6), maka rumus ini akan berbentuk

dia bagian kanan mewakili diferensial lengkap dari fungsi tersebut. Karena itu, . Jadi, diferensial total suatu fungsi dua variabel pada suatu titik yang bersesuaian dengan pertambahan variabel bebas x dan y sama dengan pertambahan penerapan bidang singgung ke permukaan, yang merupakan grafik fungsi ini.

Definisi 3. Garis lurus yang melalui suatu titik pada permukaan (1) tegak lurus bidang singgung disebut garis normal permukaan (Gbr. 207).

Bidang singgung memainkan peran besar dalam geometri. Konstruksi bidang singgung di dalam istilah praktis Memiliki penting, karena kehadirannya memungkinkan kita menentukan arah garis normal ke permukaan pada titik kontak. Masalah ini banyak digunakan dalam praktik teknik. Bidang singgung juga digunakan untuk membuat sketsa. bentuk geometris, dibatasi oleh permukaan tertutup. Secara teoritis, bidang yang bersinggungan dengan suatu permukaan digunakan dalam geometri diferensial untuk mempelajari sifat-sifat suatu permukaan di daerah titik kontak.

Konsep dasar dan definisi

Bidang yang bersinggungan dengan permukaan harus dianggap sebagai posisi pembatas bidang potong (dengan analogi dengan garis singgung kurva, yang juga didefinisikan sebagai posisi pembatas bidang potong).

Bidang yang bersinggungan dengan suatu permukaan pada suatu titik tertentu di permukaan adalah himpunan semua garis lurus – garis singgung yang ditarik ke permukaan melalui suatu titik tertentu.

Dalam geometri diferensial terbukti bahwa semua garis singgung suatu permukaan yang digambar pada suatu titik biasa adalah koplanar (memiliki bidang yang sama).

Mari kita cari tahu cara menggambar garis lurus yang bersinggungan dengan permukaan. Garis singgung t ke permukaan β di titik M yang ditentukan pada permukaan (Gbr. 203) mewakili posisi batas garis potong l j yang memotong permukaan di dua titik (MM 1, MM 2, ..., MM n) ketika titik potongnya bertepatan (M ≡ M n , l n ≡ l M). Jelas sekali (M 1, M 2, ..., M n) ∈ g, karena g ⊂ β. Dari penjelasan di atas, berikut definisinya: garis singgung suatu permukaan adalah garis lurus yang menyinggung setiap kurva pada permukaan tersebut.

Karena bidang dibatasi oleh dua garis lurus yang berpotongan, untuk menentukan bidang yang bersinggungan dengan permukaan pada suatu titik tertentu, cukup menggambar dua garis sembarang milik permukaan (lebih disukai yang bentuknya sederhana) melalui titik ini, dan membuat garis singgung ke masing-masing pada titik potong garis tersebut. Garis singgung yang dibangun secara unik menentukan bidang singgung. Representasi visual menggambar bidang α yang bersinggungan dengan permukaan β pada suatu titik M diberikan pada Gambar. 204. Gambar ini juga menunjukkan n normal pada permukaan β.

Garis normal permukaan pada suatu titik tertentu adalah garis lurus yang tegak lurus bidang singgung dan melalui titik singgung tersebut.

Garis perpotongan permukaan dengan bidang yang melalui garis normal disebut penampang normal permukaan. Tergantung pada jenis permukaannya, bidang singgung dapat memiliki satu atau banyak titik (garis) dengan permukaan. Garis singgung sekaligus dapat menjadi garis perpotongan permukaan dengan bidang.

Ada juga kasus ketika ada titik di permukaan yang tidak mungkin membuat garis singgung ke permukaan; titik-titik seperti itu disebut tunggal. Sebagai contoh titik tunggal, kita dapat menyebutkan titik-titik yang termasuk dalam tepi balik permukaan batang tubuh, atau titik perpotongan meridian permukaan revolusi dengan sumbunya, jika meridian dan sumbunya tidak berpotongan di sebelah kanan. sudut.

Jenis sentuhan bergantung pada sifat kelengkungan permukaan.

Kelengkungan permukaan

Masalah kelengkungan permukaan dipelajari oleh ahli matematika Perancis F. Dupin (1784-1873), yang mengusulkan cara visual gambar perubahan kelengkungan bagian permukaan normal.

Untuk melakukan ini, pada bidang yang bersinggungan dengan permukaan yang ditinjau di titik M (Gbr. 205, 206), segmen yang sama dengan akar kuadrat dari nilai jari-jari kelengkungan yang sesuai dari bagian-bagian ini diletakkan pada garis singgung ke bagian normal di kedua sisi titik ini. Himpunan titik - ujung segmen menentukan kurva yang disebut indikator Dupin. Algoritma untuk membuat indicatrix Dupin (Gbr. 205) dapat ditulis:

1. M ∈ α, M ∈ β ∧ α β;

2. = √(R l 1), = √(R l 2),..., = √(R l n)

di mana R adalah jari-jari kelengkungan.

(A 1 ∪ A 2 ∪ ... ∪ A n) adalah indikator Dupin.

Jika indikator Dupin suatu permukaan berbentuk elips, maka titik M disebut elips, dan permukaan tersebut disebut permukaan dengan titik-titik elips.(Gbr. 206). Dalam hal ini, bidang singgung hanya mempunyai satu titik persekutuan dengan permukaan, dan semua garis yang termasuk dalam permukaan dan berpotongan pada titik yang ditinjau terletak pada salah satu sisi bidang singgung tersebut. Contoh permukaan yang mempunyai titik elips adalah: paraboloid revolusi, ellipsoid revolusi, bola (dalam hal ini indikator Dupin adalah lingkaran, dll).

Saat menggambar bidang singgung ke permukaan batang tubuh, bidang tersebut akan menyentuh permukaan tersebut sepanjang generatrix lurus. Titik-titik pada garis ini disebut parabola, dan permukaannya adalah permukaan dengan titik-titik parabola. Indikator Dupin dalam hal ini adalah dua garis sejajar (Gbr. 207*).

Pada Gambar. 208 menunjukkan permukaan yang terdiri dari titik-titik di mana

* Kurva orde kedua - parabola - di kondisi tertentu dapat terbelah menjadi dua garis sejajar nyata, dua garis sejajar imajiner, dua garis berimpit. Pada Gambar. 207 kita berhadapan dengan dua garis sejajar nyata.

Setiap bidang singgung memotong permukaan. Permukaan seperti ini disebut hiperbolis, dan poin miliknya adalah poin hiperbolik. Indikator Dupin pada kasus ini- hiperbola.

Suatu permukaan, yang semua titiknya hiperbolik, berbentuk pelana (bidang miring, hiperboloid lembaran tunggal, permukaan revolusi cekung, dll.).

Satu permukaan mungkin memiliki titik jenis yang berbeda, misalnya, di dekat permukaan batang tubuh (Gbr. 209) titik M berbentuk elips; titik N berbentuk parabola; titik K bersifat hiperbolik.

Dalam pembelajaran geometri diferensial terbukti bahwa bagian normal yang nilai kelengkungannya K j = 1/ R j (di mana R j adalah jari-jari kelengkungan bagian yang ditinjau) mempunyai nilai ekstrem terletak di dua bidang yang saling tegak lurus.

Kelengkungan seperti itu K 1 = 1/R maks. K 2 = 1/R min disebut nilai utama, dan nilai H = (K 1 + K 2)/2 dan K = K 1 K 2 berturut-turut adalah kelengkungan rata-rata permukaan dan total ( Gaussian) kelengkungan permukaan pada titik yang ditinjau. Untuk titik elips K > 0, titik hiperbolik K

Menentukan bidang singgung suatu permukaan pada diagram Monge

Di bawah ini, dengan menggunakan contoh spesifik, kami akan menunjukkan konstruksi bidang yang bersinggungan dengan permukaan dengan titik elips (contoh 1), parabola (contoh 2) dan hiperbolik (contoh 3).

CONTOH 1. Bangunlah bidang α yang bersinggungan dengan permukaan revolusi β dengan titik-titik elips. Mari kita pertimbangkan dua opsi untuk menyelesaikan masalah ini: a) titik M ∈ β dan b) titik M ∉ β

Opsi a (Gbr. 210).

Bidang singgung ditentukan oleh dua garis singgung t 1 dan t 2 yang ditarik di titik M terhadap garis sejajar dan meridian permukaan .

Proyeksi garis singgung t 1 terhadap garis sejajar h permukaan β adalah t" 1 ⊥ (S"M") dan t" 1 || sumbu x Proyeksi horizontal garis singgung t" 2 terhadap meridian d permukaan β yang melalui titik M akan bertepatan dengan proyeksi horizontal meridian. Untuk mencari proyeksi frontal garis singgung t" 2, bidang meridional γ(γ ∋ M) dipindahkan ke posisi γ dengan memutar mengelilingi sumbu permukaan β 1 , sejajar dengan pesawatπ 2. Dalam hal ini, titik M → M 1 (M" 1, M" 1). Proyeksi garis singgung t" 2 rarr; t" 2 1 ditentukan oleh (M" 1 S"). Jika sekarang kita mengembalikan bidang γ 1 ke posisi semula, maka titik S" akan tetap di tempatnya (sebagai milik sumbu rotasi), dan M" 1 → M" dan proyeksi frontal garis singgung t" 2 akan ditentukan (M" S")

Dua garis singgung t 1 dan t 2 berpotongan di suatu titik M ∈ β mendefinisikan bidang α yang bersinggungan dengan permukaan β.

Opsi b (Gbr. 211)

Untuk membuat bidang yang bersinggungan dengan suatu permukaan yang melalui suatu titik yang bukan milik permukaan tersebut, harus dilakukan pertimbangan sebagai berikut: melalui suatu titik di luar permukaan yang terdiri dari titik-titik elips, dapat ditarik banyak bidang yang bersinggungan dengan permukaan. Selubung permukaan ini akan berupa permukaan berbentuk kerucut. Oleh karena itu, jika tidak ada instruksi tambahan, maka masalahnya memiliki banyak solusi dan dalam hal ini direduksi menjadi menggambar permukaan kerucut γ yang bersinggungan dengan permukaan tertentu β.

Pada Gambar. 211 menunjukkan konstruksi permukaan kerucut γ yang bersinggungan dengan bola β. Setiap bidang α yang bersinggungan dengan permukaan kerucut γ akan bersinggungan dengan permukaan β.

Untuk membuat proyeksi permukaan γ dari titik M" dan M" kita menggambar garis singgung lingkaran h" dan f" - proyeksi bola. Tandai titik sentuh 1 (1" dan 1"), 2 (2" dan 2"), 3 (3" dan 3") dan 4 (4" dan 4"). Proyeksi horizontal sebuah lingkaran - garis singgung permukaan kerucut dan bola diproyeksikan menjadi [ 1"2"] Untuk mencari titik-titik elips di mana lingkaran ini akan diproyeksikan ke bidang proyeksi frontal, kita akan menggunakan persamaan bola.

Pada Gambar. 211 didefinisikan dengan cara ini proyeksi depan titik E dan F (E" dan F"). Memiliki permukaan berbentuk kerucut γ, kita membuat bidang singgung α padanya. Sifat dan urutan grafis

Konstruksi yang perlu dilakukan untuk ini diberikan dalam contoh berikut.

CONTOH 2 Buatlah bidang α yang bersinggungan dengan permukaan β dengan titik-titik parabola

Seperti pada Contoh 1, kita pertimbangkan dua solusi: a) titik N ∈ β; b) titik N ∉ β

Opsi a (Gbr. 212).

Permukaan kerucut mengacu pada permukaan dengan titik-titik parabola (lihat Gambar 207.) Sebuah bidang yang bersinggungan dengan permukaan kerucut menyentuhnya sepanjang generatrix bujursangkar.Untuk membangunnya, perlu:

1) melalui suatu titik N tariklah generator SN (S"N" dan S"N");

2) tandai titik potong generatrix (SN) dengan panduan d: (SN) ∩ d = A;

3) juga akan berhembus garis singgung t ke d di titik A.

Generatrix (SA) dan garis singgung t yang memotongnya menentukan bidang α yang bersinggungan dengan permukaan kerucut β pada titik tertentu N*.

Menggambar bidang α yang bersinggungan dengan permukaan kerucut β dan melalui titik N tidak termasuk dalam bidang tersebut

* Karena permukaan β terdiri dari titik-titik parabola (kecuali titik sudut S), bidang singgung α terhadap permukaan tersebut akan mempunyai kesamaan bukan hanya satu titik N, melainkan sebuah garis lurus (SN).

menekan permukaan tertentu, perlu:

1) melalui suatu titik N dan titik sudut S pada permukaan kerucut β tariklah garis lurus a (a" dan a") ;

2) tentukan jejak mendatar garis lurus H a ini;

3) melalui H a gambarkan garis singgung t" 1 dan t" 2 dari kurva h 0β - jejak horizontal permukaan kerucut;

4) hubungkan titik singgung A (A" dan A") dan B (B" dan B") ke titik puncak permukaan kerucut S (S" dan S").

Garis berpotongan t 1, (AS) dan t 2, (BS) menentukan bidang singgung yang diinginkan α 1 dan α 2

CONTOH 3. Bangunlah bidang α yang bersinggungan dengan permukaan β dengan titik-titik hiperbolik.

Titik K (Gbr. 214) terletak pada permukaan globoid (permukaan bagian dalam cincin).

Untuk menentukan posisi bidang singgung α perlu:

1) menggambar garis sejajar dengan permukaan h(h", h") melalui titik K;

2) melalui titik K" tarik garis singgung t" 1 (t" 1 ≡ h");

3) untuk menentukan arah proyeksi garis singgung bagian meridional, perlu ditarik bidang melalui titik K dan sumbu permukaan, proyeksi horizontal t" 2 akan bertepatan dengan h 0γ; untuk membangun proyeksi frontal garis singgung t" 2, kita terjemahkan terlebih dahulu bidang γ dengan cara memutarnya mengelilingi sumbu permukaan rotasi ke posisi γ 1 || π 2. Dalam hal ini, bagian meridional pada bidang γ akan sejajar dengan busur garis kiri proyeksi frontal - setengah lingkaran g".

Titik K (K", K"), yang termasuk dalam kurva bagian meridional, akan berpindah ke posisi K 1 (K" 1, K" 1). Melalui K" 1 kita menggambar proyeksi frontal garis singgung t" 2 1, digabungkan dengan bidang γ 1 || posisi π 2 dan tandai titik perpotongannya dengan proyeksi frontal sumbu rotasi S" 1. Kita kembalikan bidang γ 1 ke posisi semula, titik K" 1 → K" (titik S" 1 ≡ S") .Proyeksi frontal garis singgung t" 2 ditentukan oleh titik K" dan S".

Garis singgung t 1 dan t 2 menentukan bidang singgung yang diinginkan α, yang memotong permukaan β sepanjang kurva l.

CONTOH 4. Bangunlah bidang α yang bersinggungan dengan permukaan β di titik K. Titik K terletak pada permukaan hiperboloid revolusi satu lembar (Gbr. 215).

Masalah ini dapat diselesaikan dengan mengikuti algoritma yang digunakan pada contoh sebelumnya, namun dengan mempertimbangkan bahwa permukaan hiperboloid revolusi satu lembar adalah permukaan bergaris yang memiliki dua keluarga generator bujursangkar, dan masing-masing generator dari satu keluarga memotong semua generator keluarga lainnya (lihat § 32, gbr. 138). Melalui setiap titik permukaan ini, dua garis lurus berpotongan dapat ditarik - generator, yang secara bersamaan akan bersinggungan dengan permukaan hiperboloid revolusi satu lembar.

Garis singgung ini menentukan bidang singgung, yaitu bidang singgung permukaan hiperboloid revolusi satu lembar yang memotong permukaan ini sepanjang dua garis lurus g 1 dan g 2. Untuk membuat proyeksi garis-garis ini saja sudah cukup proyeksi horisontal titik K, tarik garis singgung t" 1 dan t" 2 ke horizontal

proyeksi total lingkaran d" 2 - leher permukaan hiperboloid revolusi satu lembar; tentukan titik 1" dan 2 di mana t" 1 dan t" 2 berpotongan satu dan permukaan pengarah d 1. Dari 1" dan 2" kita menemukan 1" dan 2", yang bersama-sama dengan K" menentukan proyeksi frontal dari garis yang diperlukan.

Permukaan didefinisikan sebagai sekumpulan titik yang koordinatnya terpenuhi tipe tertentu persamaan:

F (x , y , z) = 0 (1) (\displaystyle F(x,\,y,\,z)=0\qquad (1))

Jika fungsinya F (x , y , z) (\displaystyle F(x,\,y,\,z)) kontinu di suatu titik dan mempunyai turunan parsial kontinu di titik tersebut, paling sedikit salah satu diantaranya tidak hilang, maka di sekitar titik tersebut permukaannya diberikan oleh persamaan(1), akan permukaan yang tepat.

Selain hal di atas cara implisit untuk menentukan, permukaannya dapat ditentukan jelas sekali, jika salah satu variabel, misalnya z, dapat dinyatakan dalam variabel lain:

z = f (x , y) (1 ′) (\displaystyle z=f(x,y)\qquad (1"))

Lebih ketat lagi permukaan sederhana disebut gambaran pemetaan homeomorfik (yaitu pemetaan satu-ke-satu dan saling kontinu) bagian dalam suatu satuan persegi. Definisi ini dapat diberikan ekspresi analitis.

Biarkan di pesawat dengan sistem persegi panjang koordinat u dan v, diberikan persegi, koordinat titik-titik internalnya memenuhi pertidaksamaan 0< u < 1, 0 < v < 1. Гомеоморфный образ квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат х, у, z задаётся при помощи формул х = x(u, v), у = y(u, v), z = z(u, v) (параметрическое задание поверхности). При этом от функций x(u, v), y(u, v) и z(u, v) требуется, чтобы они были непрерывными и чтобы для различных точек (u, v) и (u", v") были различными соответствующие точки (x, у, z) и (x", у", z").

Contoh permukaan sederhana adalah belahan bumi. Seluruh bidang tidak permukaan sederhana. Hal ini memerlukan generalisasi lebih lanjut dari konsep permukaan.

Suatu himpunan bagian ruang, yang masing-masing titiknya mempunyai lingkungan yang sama permukaan sederhana, ditelepon permukaan yang tepat .

Permukaan dalam geometri diferensial

Helikoid

Catenoid

Metrik tidak secara unik menentukan bentuk permukaan. Misalnya, metrik helikoid dan katenoid, yang diparameterisasi sesuai, bertepatan, yaitu, terdapat korespondensi antara daerahnya yang mempertahankan semua panjang (isometri). Sifat-sifat yang dipertahankan pada transformasi isometrik disebut geometri dalaman permukaan. Geometri bagian dalam tidak bergantung pada posisi permukaan dalam ruang dan tidak berubah bila dibengkokkan tanpa tegangan atau kompresi (misalnya, bila silinder dibengkokkan menjadi kerucut).

Koefisien metrik E , F , G (\gaya tampilan E,\ F,\ G) menentukan tidak hanya panjang semua kurva, tetapi juga secara umum hasil semua pengukuran di dalam permukaan (sudut, luas, kelengkungan, dll). Oleh karena itu, segala sesuatu yang hanya bergantung pada metrik mengacu pada geometri internal.

Bagian normal dan normal

Vektor normal pada titik permukaan

Salah satu ciri utama suatu permukaan adalah permukaannya normal- vektor satuan yang tegak lurus bidang singgung pada suatu titik tertentu:

m = [ ru ′ , r v ′ ] | [ r kamu ′ , r v ′ ] | (\displaystyle \mathbf (m) =(\frac ([\mathbf (r"_(u)) ,\mathbf (r"_(v)) ])(|[\mathbf (r"_(u)) ,\mathbf (r"_(v)) ]|))).

Tanda normal bergantung pada pilihan koordinat.

Bagian suatu permukaan oleh suatu bidang yang memuat permukaan normal pada suatu titik tertentu membentuk kurva tertentu yang disebut bagian biasa permukaan. Normal utama untuk suatu bagian normal bertepatan dengan normal permukaan (sampai tanda).

Jika kurva pada permukaan bukan merupakan bagian normal, maka normal utamanya membentuk sudut tertentu dengan normal permukaan θ (\displaystyle \theta ). Lalu kelengkungannya k (\gaya tampilan k) kurva yang berkaitan dengan kelengkungan k n (\gaya tampilan k_(n)) bagian normal (dengan garis singgung yang sama) menurut rumus Meunier:

k n = ± k cos θ (\displaystyle k_(n)=\pm k\,\cos \,\theta )

Koordinat vektor satuan normal untuk cara yang berbeda tugas permukaan diberikan dalam tabel:

	Koordinat normal pada suatu titik permukaan
penugasan implisit	(∂ F ∂ x ; ∂ F ∂ y ; ∂ F ∂ z) (∂ F ∂ x) 2 + (∂ F ∂ y) 2 + (∂ F ∂ z) 2 (\displaystyle (\frac (\left(( \frac (\partial F)(\partial x));\,(\frac (\partial F)(\partial y));\,(\frac (\partial F)(\partial z))\kanan) )(\sqrt (\left((\frac (\partial F)(\partial x))\right)^(2)+\left((\frac (\partial F)(\partial y))\right) ^(2)+\kiri((\frac (\partial F)(\partial z))\kanan)^(2)))))
penugasan eksplisit	(− ∂ f ∂ x ; − ∂ f ∂ y ; 1) (∂ f ∂ x) 2 + (∂ f ∂ y) 2 + 1 (\displaystyle (\frac (\left(-(\frac (\partial f )(\partial x));\,-(\frac (\partial f)(\partial y));\,1\kanan))(\sqrt (\left((\frac (\partial f)(\ sebagian x))\kanan)^(2)+\kiri((\frac (\partial f)(\partial y))\kanan)^(2)+1))))
spesifikasi parametrik	(D (y, z) D (u, v) ; D (z, x) D (u, v) ; D (x, y) D (u, v)) (D (y, z) D (u , v)) 2 + (D (z , x) D (u , v)) 2 + (D (x , y) D (u , v)) 2 (\displaystyle (\frac (\left((\frac (D(y,z))(D(u,v)));\,(\frac (D(z,x))(D(u,v)));\,(\frac (D(x) ,y))(D(u,v)))\kanan))(\sqrt (\kiri((\frac (D(y,z))(D(u,v)))\kanan)^(2 )+\kiri((\frac (D(z,x))(D(u,v)))\kanan)^(2)+\kiri((\frac (D(x,y))(D( kamu,v)))\kanan)^(2)))))

Di Sini D (kamu, z) D (kamu, v) = | kamu ′ y v ′ z u ′ z v ′ | , D (z , x) D (u , v) = | z kamu ′ z v ′ x kamu ′ x v ′ | , D (x, y) D (u, v) = | xu′ x v ′ kamu ′ y v ′ | (\displaystyle (\frac (D(y,z))(D(u,v)))=(\begin(vmatrix)y"_(u)&y"_(v)\\z"_(u) &z"_(v)\end(vmatrix)),\quad (\frac (D(z,x))(D(u,v)))=(\begin(vmatrix)z"_(u)&z" _(v)\\x"_(u)&x"_(v)\end(vmatrix)),\quad (\frac (D(x,y))(D(u,v)))=(\ mulai(vmatrix)x"_(u)&x"_(v)\\y"_(u)&y"_(v)\end(vmatrix))).

Semua turunan diambil pada titik tersebut (x 0 , y 0 , z 0) (\displaystyle (x_(0),y_(0),z_(0))).

Lengkungan

Untuk arah yang berbeda pada suatu titik tertentu di permukaan, diperoleh kelengkungan yang berbeda-beda pada bagian normal, yang disebut kelengkungan biasa; diberi tanda plus jika garis normal utama kurva searah dengan garis normal permukaan, atau tanda minus jika arah garis normalnya berlawanan.

Secara umum, pada setiap titik pada suatu permukaan terdapat dua arah yang tegak lurus e 1 (\gaya tampilan e_(1)) Dan e 2 (\gaya tampilan e_(2)), di mana kelengkungan normal mengambil nilai minimum dan maksimum; arah ini disebut utama. Pengecualiannya adalah ketika kelengkungan normal ke segala arah adalah sama (misalnya, dekat bola atau di ujung ellipsoid revolusi), maka semua arah pada suatu titik adalah utama.

Permukaan dengan kelengkungan negatif (kiri), nol (tengah) dan positif (kanan).

Kelengkungan normal pada arah utama disebut kelengkungan utama; mari kita tentukan mereka κ 1 (\displaystyle \kappa _(1)) Dan κ 2 (\displaystyle \kappa _(2)). Ukuran:

K = κ 1 κ 2 (\displaystyle K=\kappa _(1)\kappa _(2))

disebut kelengkungan Gaussian, kelengkungan total, atau kelengkungan permukaan saja. Ada juga istilahnya skalar kelengkungan, yang menyiratkan hasil konvolusi tensor kelengkungan; dalam hal ini, skalar kelengkungan dua kali lebih besar dari kelengkungan Gaussian.

Kelengkungan Gaussian dapat dihitung melalui metrik, dan oleh karena itu merupakan objek geometri intrinsik permukaan (perhatikan bahwa kelengkungan utama tidak termasuk dalam geometri intrinsik). Anda dapat mengklasifikasikan titik-titik permukaan berdasarkan tanda kelengkungannya (lihat gambar). Kelengkungan bidang adalah nol. Kelengkungan bola berjari-jari R sama di semua tempat 1 R 2 (\displaystyle (\frac (1)(R^(2)))). Ada juga permukaan dengan kelengkungan negatif konstan -

Yaitu tentang apa yang Anda lihat di judul. Pada dasarnya, ini adalah “analog spasial” masalah penemuan garis singgung Dan normal ke grafik fungsi satu variabel, dan oleh karena itu tidak ada kesulitan yang timbul.

Mari kita mulai dengan pertanyaan dasar: APA ITU bidang singgung dan APA ITU bidang normal? Banyak orang memahami konsep-konsep ini pada tingkat intuisi. Yang paling model sederhana Yang terlintas dalam pikiran adalah sebuah bola yang di atasnya terdapat selembar karton tipis dan datar. Karton tersebut terletak sedekat mungkin dengan bola dan menyentuhnya pada satu titik. Selain itu, pada titik kontaknya diamankan dengan jarum yang mencuat lurus ke atas.

Secara teori, ada definisi yang cukup cerdik tentang bidang singgung. Bayangkan yang gratis permukaan dan titik miliknya. Tentu saja, banyak hal yang terlewati garis spasial, yang termasuk dalam permukaan ini. Siapa yang mempunyai asosiasi apa? =) ...secara pribadi, saya membayangkan seekor gurita. Mari kita asumsikan bahwa setiap baris tersebut memiliki garis singgung spasial pada titik.

Definisi 1: bidang singgung ke permukaan pada suatu titik - ini adalah pesawat, berisi garis singgung semua kurva yang dimiliki suatu permukaan tertentu dan melalui suatu titik.

Definisi 2: normal ke permukaan pada suatu titik - ini adalah lurus, melewati suatu titik tertentu yang tegak lurus terhadap bidang singgung.

Sederhana dan elegan. Ngomong-ngomong, agar kamu tidak mati kebosanan karena kesederhanaan materinya, nanti saya akan berbagi dengan kamu satu rahasia elegan yang membuatmu bisa melupakan menjejalkan berbagai definisi SEKALI DAN UNTUK SELAMANYA.

Kita akan berkenalan langsung dengan rumus kerja dan algoritma penyelesaiannya di contoh spesifik. Dalam sebagian besar soal, persamaan bidang singgung dan persamaan normal perlu dibuat:

Contoh 1

Larutan:jika permukaan diberikan oleh persamaan (yaitu secara implisit), maka persamaan bidang singgung suatu permukaan tertentu di suatu titik dapat dicari dengan menggunakan rumus berikut:

Perhatian khusus Saya menarik perhatian pada turunan parsial yang tidak biasa - mereka tidak boleh bingung Dengan turunan parsial dari fungsi yang ditentukan secara implisit (walaupun permukaannya ditentukan secara implisit). Saat menemukan turunan ini, seseorang harus berpedoman pada aturan untuk membedakan fungsi tiga variabel, yaitu, ketika melakukan diferensiasi terhadap variabel apa pun, dua huruf lainnya dianggap konstan:

Tanpa meninggalkan mesin kasir, kita mencari turunan parsial di titik:

Juga:

Ini adalah momen pengambilan keputusan yang paling tidak menyenangkan, di mana kesalahan, jika tidak dibiarkan, maka terus-menerus muncul. Namun, ada teknik yang efektif periksa apa yang saya bicarakan di kelas Turunan arah dan gradien.

Semua “bahan” telah ditemukan dan sekarang tinggal menggantinya secara hati-hati dengan penyederhanaan lebih lanjut:

– persamaan umum bidang singgung yang diinginkan.

Saya sangat menyarankan untuk memeriksa tahap solusi ini juga. Pertama, Anda perlu memastikan bahwa koordinat titik singgung benar-benar memenuhi persamaan yang ditemukan:

- kesetaraan sejati.

Sekarang kita “menghapus” koefisiennya persamaan umum bidang dan periksa kebetulan atau proporsionalitasnya dengan nilai yang sesuai. Dalam hal ini mereka proporsional. Seperti yang Anda ingat dari mata kuliah geometri analitik, - Ini vektor biasa bidang singgung, dan dia juga vektor panduan garis lurus biasa. Ayo menulis persamaan kanonik normal berdasarkan titik dan vektor arah:

Pada prinsipnya, penyebutnya dapat dikurangi dua, tetapi hal ini tidak terlalu diperlukan

Menjawab:

Tidak dilarang untuk menunjuk persamaan dengan beberapa huruf, tapi sekali lagi, mengapa? Di sini sudah sangat jelas apa itu.

Dua contoh berikut ditujukan untuk keputusan independen. Sedikit “twister lidah matematis”:

Contoh 2

Tentukan persamaan bidang singgung dan garis normal permukaan di titik tersebut.

Dan tugas yang menarik dari sudut pandang teknis:

Contoh 3

Tuliskan persamaan bidang singgung dan garis normal permukaan di suatu titik

Pada intinya.

Ada kemungkinan tidak hanya menjadi bingung, tetapi juga mengalami kesulitan saat merekam persamaan garis kanonik. Dan persamaan normal, seperti yang mungkin Anda pahami, biasanya ditulis dalam bentuk ini. Meskipun karena kelupaan atau ketidaktahuan akan beberapa nuansa, bentuk parametrik lebih dari dapat diterima.

Contoh contoh pelaksanaan akhir keputusan di akhir pelajaran.

Apakah ada bidang singgung di suatu titik di permukaan? Secara umum tentu saja tidak. Contoh klasiknya adalah permukaan kerucut dan titik - garis singgung pada titik ini langsung membentuk permukaan kerucut, dan tentu saja tidak terletak pada bidang yang sama. Sangat mudah untuk memverifikasi bahwa ada sesuatu yang salah secara analitis: .

Sumber masalah lainnya adalah fakta ketidakberadaan turunan parsial apa pun pada suatu titik. Akan tetapi, hal ini tidak berarti bahwa pada suatu titik tertentu tidak terdapat satu bidang singgung pun.

Namun informasi tersebut lebih bersifat sains populer dibandingkan informasi penting secara praktis, dan kita kembali ke masalah mendesak:

Cara menuliskan persamaan bidang singgung dan normal di suatu titik,
jika permukaan ditentukan oleh fungsi eksplisit?

Mari kita tulis ulang secara implisit:

Dan dengan menggunakan prinsip yang sama kita menemukan turunan parsial:

Dengan demikian, rumus bidang singgung diubah menjadi persamaan berikut:

Dan karenanya, persamaan normal kanonik:

Seperti yang Anda duga, - ini sudah “nyata” turunan parsial dari fungsi dua variabel pada titik yang biasa kami tandai dengan huruf “z” dan ditemukan 100500 kali.

Harap dicatat bahwa dalam artikel ini cukup mengingat rumus pertama, yang darinya, jika perlu, mudah untuk memperoleh semua rumus lainnya. (tentu saja, memiliki pelatihan tingkat dasar). Pendekatan inilah yang sebaiknya digunakan ketika mempelajari ilmu-ilmu eksakta, yaitu. dari informasi yang minimal kita harus berusaha untuk “menarik” kesimpulan dan konsekuensi yang maksimal. “Pertimbangan” dan pengetahuan yang ada akan membantu! Prinsip ini juga berguna karena kemungkinan besar akan menyelamatkan Anda situasi kritis ketika Anda hanya tahu sedikit.

Mari kita kerjakan rumus yang “dimodifikasi” dengan beberapa contoh:

Contoh 4

Tuliskan persamaan bidang singgung dan normal permukaan pada titik.

Ada sedikit overlay di sini dengan notasi - sekarang surat itu menunjukkan sebuah titik di pesawat, tapi apa yang bisa Anda lakukan - surat yang begitu populer...

Larutan: mari kita buat persamaan bidang singgung yang diinginkan dengan menggunakan rumus:

Mari kita hitung nilai fungsi di titik:

Mari kita hitung Turunan parsial orde pertama pada saat ini:

Dengan demikian:

hati-hati, jangan terburu-buru:

Mari kita tuliskan persamaan kanonik normal pada titik:

Menjawab:

Dan contoh terakhir untuk solusi Anda sendiri:

Contoh 5

Tuliskan persamaan bidang singgung dan garis normal permukaan di titik tersebut.

Yang terakhir adalah karena hampir semuanya poin teknis Saya jelaskan dan tidak ada yang istimewa untuk ditambahkan. Bahkan fungsi yang diusulkan dalam tugas ini membosankan dan monoton - dalam praktiknya Anda hampir dijamin akan menemukan "polinomial", dan dalam pengertian ini, Contoh No. 2 dengan eksponen terlihat seperti "kambing hitam". Ngomong-ngomong, kemungkinan besar kita akan menemukan permukaan yang ditentukan oleh persamaan, dan ini adalah alasan lain mengapa fungsi tersebut dimasukkan dalam artikel sebagai nomor dua.

Dan terakhir, rahasia yang dijanjikan: jadi bagaimana cara menghindari definisi yang menjejali? (Tentu saja yang saya maksud bukan situasi ketika seorang siswa terburu-buru menjejalkan sesuatu sebelum ujian)

Definisi konsep/fenomena/objek apa pun, pertama-tama, memberikan jawabannya pertanyaan selanjutnya: APA ITU? (siapa/itu/itu/adalah). Secara sadar Saat menjawab pertanyaan ini, sebaiknya Anda mencoba merenung penting tanda-tanda, tentu saja mengidentifikasi suatu konsep/fenomena/objek tertentu. Ya, pada awalnya ternyata agak kaku, tidak akurat dan berlebihan (guru akan mengoreksi Anda =)), tetapi seiring berjalannya waktu, pidato ilmiah berkembang cukup baik.

Berlatihlah pada objek yang paling abstrak, misalnya menjawab pertanyaan: siapa Cheburashka? Tidak sesederhana itu ;-) Apakah ini “karakter dongeng dengan telinga besar, mata, dan bulu coklat”? Jauh dan sangat jauh dari definisi - Anda tidak pernah tahu ada karakter dengan karakteristik seperti itu... Tapi ini lebih dekat dengan definisi: “Cheburashka adalah karakter yang ditemukan oleh penulis Eduard Uspensky pada tahun 1966, yang ... (daftar utama fitur khas)» . Perhatikan seberapa baik hal itu dimulai

Pada suatu titik dan mempunyai turunan parsial kontinu, paling sedikit salah satu diantaranya tidak hilang, maka di sekitar titik tersebut permukaan yang ditentukan oleh persamaan (1) adalah permukaan yang tepat.

Selain hal di atas cara implisit untuk menentukan permukaan dapat ditentukan jelas sekali, jika salah satu variabel, misalnya z, dapat dinyatakan dalam variabel lain:

Ada juga parametrik cara penugasan. Dalam hal ini, permukaan ditentukan oleh sistem persamaan:

Konsep permukaan sederhana

Lebih akurat, permukaan sederhana disebut gambaran pemetaan homeomorfik (yaitu pemetaan satu-ke-satu dan saling kontinu) bagian dalam suatu satuan persegi. Definisi ini dapat diberikan ekspresi analitis.

Misalkan sebuah persegi diberikan pada bidang dengan sistem koordinat persegi panjang u dan v, yang koordinat titik-titik dalamnya memenuhi pertidaksamaan 0< u < 1, 0 < v < 1. Гомеоморфный образ квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат х, у, z задаётся при помощи формул х = x(u, v), у = y(u, v), z = z(u, v) (параметрическое задание поверхности). При этом от функций x(u, v), y(u, v) и z(u, v) требуется, чтобы они были непрерывными и чтобы для различных точек (u, v) и (u", v") были различными соответствующие точки (x, у, z) и (x", у", z").

Contoh permukaan sederhana adalah belahan bumi. Seluruh bidang tidak permukaan sederhana. Hal ini memerlukan generalisasi lebih lanjut dari konsep permukaan.

Suatu himpunan bagian ruang, yang masing-masing titiknya mempunyai lingkungan yang sama permukaan sederhana, ditelepon permukaan yang tepat .

Permukaan dalam geometri diferensial

Helikoid

Catenoid

Metrik tidak secara unik menentukan bentuk permukaan. Misalnya, metrik helikoid dan katenoid, yang diparameterisasi sesuai, bertepatan, yaitu, terdapat korespondensi antara daerahnya yang mempertahankan semua panjangnya (isometri). Sifat-sifat yang dipertahankan pada transformasi isometrik disebut geometri dalaman permukaan. Geometri bagian dalam tidak bergantung pada posisi permukaan dalam ruang dan tidak berubah bila dibengkokkan tanpa tegangan atau kompresi (misalnya, bila silinder dibengkokkan menjadi kerucut).

Koefisien metrik tidak hanya menentukan panjang semua kurva, tetapi juga secara umum hasil semua pengukuran di dalam permukaan (sudut, luas, kelengkungan, dll.). Oleh karena itu, segala sesuatu yang hanya bergantung pada metrik mengacu pada geometri internal.

Bagian normal dan normal

Vektor normal pada titik permukaan

Salah satu ciri utama suatu permukaan adalah permukaannya normal- vektor satuan yang tegak lurus bidang singgung pada suatu titik tertentu:

.

Tanda normal bergantung pada pilihan koordinat.

Bagian permukaan oleh bidang yang memuat garis normal (pada suatu titik tertentu) membentuk kurva tertentu pada permukaan, yang disebut bagian biasa permukaan. Normal utama untuk suatu bagian normal bertepatan dengan normal permukaan (sampai tanda).

Jika kurva pada permukaan bukan merupakan bagian normal, maka normal utamanya membentuk sudut tertentu dengan normal permukaan. Lalu kelengkungannya k kurva yang berkaitan dengan kelengkungan k N bagian normal (dengan garis singgung yang sama) menurut rumus Meunier:

Koordinat vektor satuan normal untuk berbagai metode penentuan permukaan diberikan dalam tabel:

	Koordinat normal pada suatu titik permukaan
penugasan implisit
penugasan eksplisit
spesifikasi parametrik

Lengkungan

Untuk arah yang berbeda pada suatu titik tertentu di permukaan, diperoleh kelengkungan penampang normal yang berbeda, yang disebut kelengkungan biasa; diberi tanda plus jika garis normal utama kurva searah dengan garis normal permukaan, atau tanda minus jika arah garis normalnya berlawanan.

Secara umum, pada setiap titik pada suatu permukaan terdapat dua arah yang tegak lurus e 1 dan e 2, di mana kelengkungan normal mengambil nilai minimum dan maksimum; arah ini disebut utama. Pengecualiannya adalah ketika kelengkungan normal ke segala arah adalah sama (misalnya, dekat bola atau di ujung ellipsoid revolusi), maka semua arah pada suatu titik adalah utama.

Permukaan dengan kelengkungan negatif (kiri), nol (tengah) dan positif (kanan).

Kelengkungan normal pada arah utama disebut kelengkungan utama; mari kita nyatakan mereka κ 1 dan κ 2. Ukuran:

K= κ 1 κ 2

ditelepon Kelengkungan Gaussian, kelengkungan penuh atau sederhananya lengkungan permukaan. Ada juga istilahnya skalar kelengkungan, yang menyiratkan hasil konvolusi tensor kelengkungan; dalam hal ini, skalar kelengkungan dua kali lebih besar dari kelengkungan Gaussian.

Kelengkungan Gaussian dapat dihitung melalui metrik, dan oleh karena itu merupakan objek geometri intrinsik permukaan (perhatikan bahwa kelengkungan utama tidak termasuk dalam geometri intrinsik). Anda dapat mengklasifikasikan titik-titik permukaan berdasarkan tanda kelengkungannya (lihat gambar). Kelengkungan bidang adalah nol. Kelengkungan bola berjari-jari R sama di semua tempat. Ada juga permukaan dengan kelengkungan negatif konstan - pseudosfer.

Garis geodesik, kelengkungan geodesik

Lengkungan pada permukaannya disebut garis geodetik, atau sederhananya geodetik, jika di semua titiknya garis normal utama kurva berimpit dengan garis normal permukaan. Contoh: pada bidang geodesi adalah garis lurus dan ruas garis lurus, pada bola - lingkaran besar dan ruas-ruasnya.

Definisi yang setara: untuk garis geodesik, proyeksi garis normal utamanya ke bidang osilasi adalah vektor nol. Jika kurvanya bukan geodesik, maka proyeksi yang ditentukan adalah bukan nol; panjangnya disebut kelengkungan geodesik k G kurva di permukaan. Ada hubungan:

,

Di mana k- kelengkungan kurva ini, k N- kelengkungan bagian normalnya dengan garis singgung yang sama.

Garis geodesik mengacu pada geometri internal. Mari kita daftar properti utamanya.

• Melalui suatu titik permukaan tertentu dalam arah tertentu hanya ada satu geodesik yang lewat.
• Pada area permukaan yang cukup kecil, dua titik selalu dapat dihubungkan dengan geodesi, dan terlebih lagi, hanya dengan satu titik. Penjelasan: pada sebuah bola, kutub-kutub yang berhadapan dihubungkan oleh meridian yang jumlahnya tak terhingga, dan dua titik yang berdekatan dapat dihubungkan tidak hanya dengan satu ruas lingkaran besar, tetapi juga dengan penambahannya pada satu lingkaran penuh, sehingga keunikannya tetap terjaga. di kecil.
• Geodesi adalah jalur terpendek. Lebih tepatnya: pada sepotong kecil permukaan, jalur terpendek antara titik-titik tertentu terletak di sepanjang geodesik.

Persegi

Atribut penting lainnya dari permukaan adalah permukaannya persegi, yang dihitung dengan rumus:

Dalam koordinat kita mendapatkan:

	penugasan eksplisit	spesifikasi parametrik
ekspresi daerah

Kembali