Nilai eigen (angka) dan vektor eigen.
Contoh solusi

Jadilah diri sendiri

Dari kedua persamaan berikut ini.

Mari kita jelaskan: .

Sebagai akibat: – vektor eigen kedua.

Mari kita ulangi poin penting solusi:

– sistem yang dihasilkan pasti mempunyai solusi umum (persamaannya bergantung linier);

– kita memilih “y” sedemikian rupa sehingga bilangan bulat dan koordinat “x” pertama adalah bilangan bulat, positif dan sekecil mungkin.

– kita memeriksa bahwa solusi tertentu memenuhi setiap persamaan sistem.

Menjawab .

Terdapat cukup banyak “pos pemeriksaan” perantara, jadi pada prinsipnya pemeriksaan kesetaraan tidak diperlukan.

DI DALAM berbagai sumber informasi, koordinat vektor eigen seringkali ditulis bukan dalam kolom, melainkan dalam baris, misalnya: (dan sejujurnya saya sendiri sudah terbiasa menuliskannya dalam baris-baris). Opsi ini dapat diterima, namun sesuai dengan topiknya transformasi linier secara teknis lebih nyaman digunakan vektor kolom.

Mungkin solusinya terasa sangat panjang bagi Anda, tetapi ini hanya karena saya mengomentari contoh pertama dengan sangat rinci.

Contoh 2

Matriks

Ayo berlatih sendiri! Contoh perkiraan tugas akhir di akhir pembelajaran.

Terkadang Anda perlu menyelesaikan tugas tambahan, yaitu:

tulis dekomposisi matriks kanonik

Apa itu?

Jika vektor eigen dari matriks terbentuk dasar, maka dapat direpresentasikan sebagai:

Dimana matriks terdiri dari koordinat vektor eigen, – diagonal matriks dengan nilai eigen yang sesuai.

Dekomposisi matriks ini disebut resmi atau diagonal.

Mari kita lihat matriks pada contoh pertama. Vektor eigennya independen linier(non-collinear) dan membentuk basis. Mari kita buat matriks koordinatnya:

Pada diagonal utama matriks dalam urutan yang sesuai nilai eigen berada, dan elemen lainnya sama dengan nol:
– Saya sekali lagi menekankan pentingnya keteraturan: “dua” berhubungan dengan vektor pertama dan oleh karena itu terletak di kolom pertama, “tiga” – dengan vektor ke-2.

Menggunakan algoritma biasa untuk mencari matriks terbalik atau Metode Gauss-Jordan kami menemukan . Tidak, itu bukan salah ketik! - sebelum kamu jarang, seperti gerhana matahari suatu kejadian ketika inversnya berimpit dengan matriks aslinya.

Tetap menuliskan dekomposisi kanonik matriks:

Sistem dapat diselesaikan dengan menggunakan transformasi dasar, dan dalam contoh berikut kita akan menggunakan metode ini. Namun di sini metode “sekolah” bekerja lebih cepat. Dari persamaan ke-3 kita nyatakan: – substitusikan ke persamaan kedua:

Karena koordinat pertama adalah nol, kita memperoleh suatu sistem, dari setiap persamaan berikut ini.

Dan lagi perhatikan adanya wajib hubungan linier. Jika hanya solusi sepele yang diperoleh , maka nilai eigen yang ditemukan salah, atau sistem dikompilasi/diselesaikan dengan kesalahan.

Koordinat kompak memberi nilai

vektor eigen:

Dan sekali lagi, kami memeriksa apakah solusinya ditemukan memenuhi setiap persamaan sistem. Dalam paragraf berikutnya dan tugas selanjutnya, saya merekomendasikan untuk menganggap keinginan ini sebagai aturan wajib.

2) Untuk nilai eigen, dengan menggunakan prinsip yang sama, kita memperoleh sistem berikut:

Dari persamaan ke-2 sistem kita nyatakan: – substitusikan ke persamaan ketiga:

Karena koordinat “zeta” sama dengan nol, kita memperoleh suatu sistem dari setiap persamaan yang mengikuti ketergantungan linier.

Membiarkan

Memeriksa itu solusinya memenuhi setiap persamaan sistem.

Jadi, vektor eigennya adalah: .

3) Dan terakhir, sistem sesuai dengan nilai eigen:

Persamaan kedua terlihat paling sederhana, jadi mari kita nyatakan dan substitusikan ke persamaan ke-1 dan ke-3:

Semuanya baik-baik saja - hubungan linier telah muncul, yang kami substitusikan ke dalam ekspresi:

Hasilnya, “x” dan “y” dinyatakan melalui “z”: . Dalam prakteknya, tidak perlu untuk mencapai hubungan seperti itu; dalam beberapa kasus lebih mudah untuk mengekspresikan keduanya melalui atau dan melalui . Atau bahkan "melatih" - misalnya, "X" hingga "I", dan "I" hingga "Z"

Mari kita jelaskan:

Kami memeriksa apakah solusinya ditemukan memenuhi setiap persamaan sistem dan menulis vektor eigen ketiga

Menjawab: vektor eigen:

Secara geometris, vektor-vektor ini menentukan tiga arah spasial yang berbeda ("Disana dan kembali lagi"), yg mana transformasi linier mengubah vektor bukan nol (vektor eigen) menjadi vektor kolinear.

Jika kondisi tersebut memerlukan penemuan dekomposisi kanonik, maka hal ini dimungkinkan di sini, karena nilai eigen yang berbeda sesuai dengan vektor eigen independen linier yang berbeda. Membuat matriks dari koordinatnya, matriks diagonal dari relevan nilai eigen dan temukan matriks terbalik .

Jika, dengan syarat, Anda perlu menulis matriks transformasi linier berdasarkan vektor eigen, lalu kita berikan jawabannya dalam bentuk . Ada perbedaan, dan perbedaannya signifikan! Karena matriks ini merupakan matriks “de”.

Masalah dengan lebih banyak perhitungan sederhana Untuk keputusan independen:

Contoh 5

Temukan vektor eigen dari transformasi linier yang diberikan oleh matriks

Saat mencari bilangan Anda sendiri, usahakan untuk tidak sampai ke polinomial derajat 3. Selain itu, solusi sistem Anda mungkin berbeda dengan solusi saya - tidak ada kepastian di sini; dan vektor yang Anda temukan mungkin berbeda dari vektor sampel hingga proporsionalitas koordinatnya masing-masing. Misalnya, dan. Memang lebih estetis menyajikan jawaban dalam bentuk, tapi tidak apa-apa jika Anda berhenti pada pilihan kedua. Namun, ada batasan wajar untuk semuanya; versinya tidak lagi terlihat bagus.

Perkiraan contoh tugas akhir di akhir pelajaran.

Bagaimana cara mengatasi masalah jika ada banyak nilai eigen?

Algoritme umumnya tetap sama, tetapi memiliki karakteristiknya sendiri, dan disarankan untuk mempertahankan beberapa bagian solusi dalam gaya akademis yang lebih ketat:

Contoh 6

Temukan nilai eigen dan vektor eigen

Larutan

Tentu saja, mari kita gunakan huruf besar pada kolom pertama yang menakjubkan:

Dan, setelah penguraian trinomial kuadrat dengan pengganda:

Hasilnya, diperoleh nilai eigen yang dua di antaranya merupakan kelipatan.

Mari kita cari vektor eigennya:

1) Mari kita berurusan dengan seorang prajurit menurut skema yang “disederhanakan”:

Dari dua persamaan terakhir terlihat jelas persamaan yang tentunya harus disubstitusikan ke persamaan pertama sistem:

Anda tidak akan menemukan kombinasi yang lebih baik:
vektor eigen:

2-3) Sekarang kita singkirkan beberapa penjaga. DI DALAM pada kasus ini itu mungkin berhasil baik dua atau satu vektor eigen. Terlepas dari banyaknya akar, kita substitusikan nilainya ke dalam determinan yang membawa kita selanjutnya sistem persamaan linear yang homogen:

Vektor eigen sebenarnya adalah vektor
sistem dasar solusi

Sebenarnya, sepanjang pelajaran kita tidak melakukan apa pun selain menemukan vektor-vektor sistem fundamental. Hanya saja untuk saat ini istilah tersebut tidak terlalu dibutuhkan. Ngomong-ngomong, para siswa pintar yang melewatkan topik dalam pakaian kamuflase persamaan homogen, akan terpaksa merokok sekarang.

Satu-satunya tindakan adalah menghapus garis tambahan. Hasilnya adalah matriks satu per tiga dengan “langkah” formal di tengahnya.
– variabel dasar, – variabel bebas. Oleh karena itu, ada dua variabel bebas ada juga dua vektor sistem fundamental.

Mari kita nyatakan variabel dasar dalam bentuk variabel bebas: . Pengganda nol di depan “X” memungkinkannya mengambil nilai apa pun (yang terlihat jelas dari sistem persamaan).

Dalam konteks masalah ini, akan lebih mudah untuk menulis solusi umum bukan dalam satu baris, tetapi dalam kolom:

Pasangan ini sesuai dengan vektor eigen:
Pasangan ini sesuai dengan vektor eigen:

Catatan : pembaca yang mahir dapat memilih vektor-vektor ini secara lisan - cukup dengan menganalisis sistem , tetapi diperlukan beberapa pengetahuan di sini: ada tiga variabel, peringkat matriks sistem- satu, yang artinya sistem keputusan mendasar terdiri dari 3 – 1 = 2 vektor. Namun, vektor yang ditemukan terlihat jelas bahkan tanpa sepengetahuan ini, murni pada tingkat intuitif. Dalam hal ini, vektor ketiga akan ditulis lebih “indah”: . Namun, saya memperingatkan Anda bahwa dalam contoh lain, pemilihan sederhana mungkin tidak dapat dilakukan, itulah sebabnya klausa tersebut ditujukan untuk orang yang berpengalaman. Selain itu, mengapa tidak mengambil, katakanlah, sebagai vektor ketiga? Bagaimanapun, koordinatnya juga memenuhi setiap persamaan sistem, dan vektor-vektornya independen linier. Opsi ini, pada prinsipnya, cocok, tetapi “bengkok”, karena vektor “lainnya” adalah kombinasi linier dari vektor-vektor sistem fundamental.

Menjawab: nilai eigen: , vektor eigen:

Contoh serupa untuk solusi independen:

Contoh 7

Temukan nilai eigen dan vektor eigen

Contoh perkiraan desain akhir di akhir pelajaran.

Perlu dicatat bahwa dalam contoh ke-6 dan ke-7 diperoleh rangkap tiga vektor eigen bebas linier, dan oleh karena itu matriks asli dapat direpresentasikan dalam dekomposisi kanonik. Tetapi raspberry seperti itu tidak terjadi di semua kasus:

Contoh 8

Larutan: Mari kita buat dan selesaikan persamaan karakteristiknya:

Mari kita perluas determinan di kolom pertama:

Kami melakukan penyederhanaan lebih lanjut sesuai dengan metode yang dipertimbangkan, menghindari polinomial derajat ketiga:

– nilai eigen.

Mari kita cari vektor eigennya:

1) Tidak ada kesulitan dengan root:

Jangan kaget, selain kit, ada juga variabel yang digunakan - tidak ada perbedaan di sini.

Dari persamaan ke-3 kita nyatakan dan substitusikan ke persamaan ke-1 dan ke-2:

Dari kedua persamaan berikut:

Biarkan kemudian:

2-3) Untuk beberapa nilai kita mendapatkan sistemnya .

Mari kita tuliskan matriks sistem dan, dengan menggunakan transformasi dasar, bawa ke bentuk bertahap:

Pada gambar tersebut kita melihat transformasi pergeseran yang terjadi pada Gioconda. Vektor biru berubah arah, tetapi vektor merah tidak. Oleh karena itu, merah merupakan vektor eigen dari transformasi tersebut, tetapi biru bukan. Karena vektor merah tidak diregangkan atau dikompresi, nilai eigennya adalah satu. Semua vektor adalah kolinear dan merah juga merupakan vektor eigen. vektor eigen) matriks persegi (C nilai eigen(Bahasa inggris) nilai eigen)) – Ini adalah vektor bukan nol yang relasinya berlaku

Di mana? adalah skalar pasti, yaitu nyata atau bilangan kompleks.
Artinya, vektor eigen dari matriks A adalah vektor bukan nol yang, di bawah aksi transformasi linier, ditentukan oleh matriks A tidak berubah arah, tetapi dapatkah panjang berubah dengan faktor tertentu?.
Matriks memiliki dimensi tidak lebih dari N vektor eigen dan nilai eigen yang sesuai dengannya.
Relasi (*) juga masuk akal untuk operator linier dalam ruang vektor V. Jika ruang ini berdimensi terbatas, maka operatornya dapat ditulis sebagai matriks terhadap basis tertentu V.
Karena vektor eigen dan nilai eigen dilambangkan tanpa menggunakan koordinat, tidak bergantung pada pilihan basis. Oleh karena itu, matriks yang serupa mempunyai nilai eigen yang sama.
Peran utama dalam memahami nilai eigen matriks dimainkan oleh teorema Hamilton-Cayley. Oleh karena itu nilai eigen dari matriks tersebut A dan hanya mereka yang merupakan akar dari polinomial karakteristik matriks A:

P (?) adalah polinomial derajat N, oleh karena itu, menurut teorema dasar aljabar, pasti ada N nilai eigen yang kompleks, dengan mempertimbangkan keberagamannya.
Jadi matriksnya A tidak punya lagi N nilai eigen (tetapi banyak vektor eigen untuk masing-masingnya).
Mari kita tuliskan polinomial karakteristik melalui akar-akarnya:

Multiplisitas akar polinomial karakteristik suatu matriks disebut multiplisitas aljabar nilai eigen
Himpunan semua nilai eigen suatu matriks atau operator linier dalam ruang vektor berdimensi berhingga disebut spektrum matriks atau operator linier. (Terminologi ini dimodifikasi untuk ruang vektor tak berkulit: dalam kasus umum, ? yang bukan merupakan nilai eigen dapat menjadi bagian dari spektrum operator.)
Karena hubungan antara polinomial karakteristik suatu matriks dan nilai eigennya, nilai eigennya disebut juga nomor karakteristik matriks.
Untuk setiap nilai eigen, kami memperoleh sistem persamaan kami sendiri:

Apa yang akan terjadi solusi bebas linier.
Himpunan semua solusi sistem membentuk subruang berdimensi linier dan disebut ruang sendiri(Bahasa inggris) ruang eigen) matriks dengan nilai eigen.
Dimensi ruang yang tepat disebut multiplisitas geometris nilai eigen yang sesuai?.
Semua ruang eigen adalah subruang invarian untuk .
Jika terdapat paling sedikit dua vektor eigen yang bebas linier dengan nilai eigen yang sama?, maka nilai eigen tersebut disebut merosot. Terminologi ini digunakan terutama ketika multiplisitas geometrik dan aljabar dari nilai eigen bertepatan, misalnya, untuk matriks Hermitian.

Di mana - Matriks persegi ukuran nxn,-Kolom kedua adalah vektor, A – Ini adalah matriks diagonal dengan nilai-nilai yang bersesuaian.

Masalah nilai eigen adalah masalah mencari vektor eigen dan bilangan suatu matriks.
Menurut definisi (menggunakan persamaan karakteristik), Anda hanya dapat mencari nilai eigen matriks yang berdimensi kurang dari lima. Persamaan karakteristik mempunyai derajat yang sama dengan derajat matriks. Untuk derajat yang besar, mencari solusi persamaan menjadi sangat bermasalah, sehingga berbagai metode numerik digunakan
Tugas yang berbeda memerlukan perolehan jumlah yang berbeda nilai eigen. Oleh karena itu, terdapat beberapa permasalahan dalam pencarian nilai eigen yang masing-masing menggunakan metode tersendiri.
Tampaknya masalah parsial nilai eigen adalah masalah parsial dari masalah lengkap, dan diselesaikan dengan metode yang sama seperti masalah lengkap. Namun, metode yang diterapkan pada masalah tertentu jauh lebih efektif, dan oleh karena itu dapat diterapkan pada matriks berdimensi besar (misalnya, dalam fisika nuklir, muncul masalah dalam mencari nilai eigen untuk matriks berdimensi 10 3 – 10 6).
metode Jacobi

Salah satu yang tertua dan terbanyak pendekatan umum untuk suatu keputusan masalah lengkap nilai eigen adalah metode Jacobi, pertama kali diterbitkan pada tahun 1846.
Metode ini diterapkan pada matriks simetris A
Ini adalah algoritma iteratif sederhana di mana matriks vektor eigen dihitung dengan serangkaian perkalian.

Vektor X ≠ 0 disebut vektor eigen operator linier dengan matriks A, jika terdapat bilangan sehingga AX =X.

Dalam hal ini, nomor  dipanggil nilai eigen operator (matriks A) yang bersesuaian dengan vektor x.

Dengan kata lain, vektor eigen adalah vektor yang, di bawah aksi operator linier, berubah menjadi vektor kolinear, yaitu. kalikan saja dengan angka tertentu. Sebaliknya, vektor tak wajar lebih rumit untuk diubah.

Mari kita tuliskan definisi vektor eigen dalam bentuk sistem persamaan:

Mari kita pindahkan semua suku ke sisi kiri:

Sistem yang terakhir dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut:

(A - E)X = O

Sistem yang dihasilkan selalu mempunyai solusi nol X = O. Sistem yang semua suku bebasnya sama dengan nol disebut homogen. Jika matriks sistem tersebut berbentuk persegi dan determinannya tidak sama dengan nol, maka dengan menggunakan rumus Cramer kita akan selalu mendapatkan solusi unik – nol. Dapat dibuktikan bahwa suatu sistem mempunyai solusi bukan nol jika dan hanya jika determinan matriks tersebut sama dengan nol, yaitu.

|A - E| = = 0

Persamaan dengan yang tidak diketahui ini disebut persamaan karakteristik(polinomial karakteristik) matriks A (operator linier).

Dapat dibuktikan bahwa polinomial karakteristik suatu operator linier tidak bergantung pada pilihan basis.

Misalnya, cari nilai eigen dan vektor eigen dari operator linier yang ditentukan oleh matriks A = .

Untuk melakukannya, mari kita buat persamaan karakteristik |A - E| = = (1 -) 2 – 36 = 1 – 2+ 2 - 36 = 2 – 2- 35; D = 4 + 140 = 144; nilai eigen 1 = (2 - 12)/2 = -5; 2 = (2 + 12)/2 = 7.

Untuk mencari vektor eigen, kita menyelesaikan dua sistem persamaan

(A + 5E)X = O

(A - 7E)X = O

Untuk yang pertama, matriks yang diperluas mengambil bentuk

maka x 2 = c, x 1 + (2/3)c = 0; x 1 = -(2/3)s, mis. X (1) = (-(2/3)s; s).

Untuk yang kedua, matriks yang diperluas mengambil bentuk

dari mana x 2 = c 1, x 1 - (2/3)c 1 = 0; x 1 = (2/3)s 1, yaitu X (2) = ((2/3) s 1; s 1).

Jadi, vektor eigen dari operator linier ini adalah semua vektor berbentuk (-(2/3)с; с) dengan nilai eigen (-5) dan semua vektor berbentuk ((2/3)с 1 ; с 1) dengan nilai eigen 7 .

Dapat dibuktikan bahwa matriks operator A pada basis yang terdiri dari vektor-vektor eigennya berbentuk diagonal dan berbentuk:

dimana  i adalah nilai eigen matriks ini.

Kebalikannya juga benar: jika matriks A pada suatu basis berbentuk diagonal, maka semua vektor pada basis tersebut akan menjadi vektor eigen dari matriks tersebut.

Dapat juga dibuktikan bahwa jika suatu operator linier mempunyai n nilai eigen berbeda berpasangan, maka vektor eigen yang bersesuaian adalah bebas linier, dan matriks operator ini pada basis yang bersesuaian berbentuk diagonal.

Definisi: Biarkan L diberikan N- ruang linier berdimensi. Vektor bukan nol L disebut vektor eigen transformasi linier A, jika terdapat bilangan sehingga persamaannya berlaku:

A
(7.1)

Dalam hal ini, bilangan  dipanggil nilai eigen (angka karakteristik) transformasi linier A sesuai dengan vektor .

Setelah ditransfer sisi kanan(7.1) ke kiri dan memperhatikan relasinya
, kita menulis ulang (7.1) dalam bentuk

(7.2)

Persamaan (7.2) ekuivalen dengan sistem linier persamaan homogen:

(7.3)

Agar adanya solusi bukan nol pada sistem persamaan linier homogen (7.3), determinan koefisien sistem ini perlu dan cukup sama dengan nol, yaitu.

|A-λE|=
(7.4)

Penentu ini adalah polinomial derajat ke-n terhadap λ dan disebut polinomial karakteristik transformasi linier A, dan persamaan (7.4) - persamaan karakteristik matriks A.

Definisi: Jika transformasi linier A dalam beberapa basis ,,…,memiliki matriks A =
, maka nilai eigen transformasi linier A dapat dicari sebagai akar-akar  1 ,  2 , … ,  n dari persamaan karakteristik:

Mari kita pertimbangkan kasus spesial . Misalkan A adalah suatu transformasi linier pada bidang yang matriksnya sama
. Maka transformasi A dapat diberikan dengan rumus:

;

atas dasar tertentu
.

Jika suatu transformasi A mempunyai vektor eigen dengan nilai eigen , maka A
.

atau

Karena vektor eigen bukan nol, maka x 1 dan x 2 tidak sama dengan nol secara bersamaan. Karena Jika sistem ini homogen, maka agar mempunyai solusi nontrivial, determinan sistem harus sama dengan nol. Jika tidak, menurut aturan Cramer, sistem mempunyai solusi unik – nol, yang mana tidak mungkin.

Persamaan yang dihasilkan adalah persamaan karakteristik transformasi linier A.

Dengan demikian, vektor eigen dapat ditemukan (x 1, x 2) transformasi linier A dengan nilai eigen, di mana adalah akar persamaan karakteristik, dan x 1 dan x 2 adalah akar-akar sistem persamaan jika nilai disubstitusikan ke dalamnya.

Jelas bahwa jika persamaan karakteristik tidak mempunyai akar real, maka transformasi linier A tidak mempunyai vektor eigen.

Perlu dicatat bahwa jika adalah vektor eigen dari transformasi A, maka setiap vektor yang kolinear dengannya juga merupakan vektor eigen dengan nilai eigen yang sama.

Benar-benar,. Jika kita memperhitungkan bahwa vektor-vektor tersebut mempunyai asal yang sama, maka vektor-vektor tersebut membentuk apa yang disebut arah sendiri atau garis sendiri.

Karena persamaan karakteristik mungkin memiliki dua akar real yang berbeda  1 dan  2, maka dalam hal ini, ketika mensubstitusikannya ke dalam sistem persamaan, kita memperoleh solusi yang jumlahnya tak terhingga. (Karena persamaannya bergantung linier). Rangkaian solusi ini menentukan dua garis sendiri.

Jika persamaan karakteristik mempunyai dua akar yang sama 1 = 2 =, maka hanya ada satu garis lurus yang tepat, atau jika disubstitusikan ke dalam sistem, garis tersebut berubah menjadi sistem dengan bentuk:
. Sistem ini memenuhi semua nilai x 1 dan x 2. Maka semua vektor akan menjadi vektor eigen, dan transformasi seperti itu disebut transformasi kesamaan.

Contoh.
.

Contoh. Temukan bilangan karakteristik dan vektor eigen dari transformasi linier dengan matriks A =
.

Mari kita tulis transformasi liniernya dalam bentuk:

Mari kita buat persamaan karakteristik:

 2 - 4+ 4 = 0;

Akar persamaan karakteristik:  1 = 2 = 2;

Kita mendapatkan:

Sistem menghasilkan ketergantungan: X 1 – X 2 = 0. Vektor eigen akar pertama persamaan karakteristik mempunyai koordinat: ( T ; T ) Di mana T- parameter.

Vektor eigen dapat ditulis:
.

Mari kita pertimbangkan yang lain kasus spesial. Jika adalah vektor eigen dari transformasi linier A yang ditentukan dalam ruang linier tiga dimensi, dan x 1, x 2, x 3 adalah komponen vektor ini dalam basis tertentu
, Itu