Dalam semua paragraf sebelumnya dalam bab ini, diasumsikan bahwa pengaruh kendali dan pengganggu adalah fungsi waktu tertentu. Namun, untuk sistem kontrol otomatis, jika diterapkan dalam kondisi nyata, merupakan ciri khas bahwa dampak-dampak ini bersifat acak dan pada dasarnya tidak dapat diprediksi.
Misalnya saja pengoperasian sistem pelacakan yang mengendalikan antena radar. Untuk sistem ini, tindakan kontrolnya adalah posisi target, dan pengaruh yang mengganggu dapat berupa beban angin pada antena, penyimpangan berkas dari arah menuju target akibat pembiasan di atmosfer, kebisingan intrinsik pada jalur amplifikasi. sistem, gangguan dari pasokan listrik, dll. Semua proses ini disebabkan oleh banyak penyebab yang saling berinteraksi dan sangat kompleks sehingga tidak dapat diwakili oleh fungsi waktu tertentu. Hal yang sama dapat dikatakan mengenai tindakan pengendalian. Dalam praktiknya, ini tidak dapat dianggap sebagai sinyal tipikal, misalnya sinyal bertahap, meningkat linier, sinusoidal, atau sinyal reguler lainnya. Kenyataannya, target sedang bermanuver, sehingga posisinya pada saat berikutnya tidak dapat diprediksi secara akurat. Manuver ini disertai dengan pengembaraan konstan titik pantul di sepanjang tubuh target.
Dengan demikian, sinyal kendali dan gangguan pada kondisi nyata merupakan proses acak. Proses acak atau stokastik
adalah fungsi waktu yang merupakan variabel acak untuk setiap nilai argumen. Jika variabel independen lain digunakan sebagai pengganti waktu, maka digunakan istilah fungsi acak. Ketika kondisi proses acak direproduksi berulang kali, proses acak tersebut setiap kali mengambil nilai spesifik yang berbeda. Nilai-nilai ini sebagai fungsi waktu disebut realisasi dari proses acak. Pandangan khas dari beberapa implementasi proses stokastik kesalahan dalam koordinat sudut target yang dilacak oleh stasiun radar disajikan pada Gambar. XIII. 14.
Deskripsi matematis dari proses acak. Untuk nilai argumen yang tetap, proses acak adalah variabel acak, yang penjelasan lengkapnya diberikan oleh fungsi distribusi
yaitu probabilitas bahwa pada saat tertentu variabel acak akan mengambil nilai lebih kecil dari As diketahui dari teori probabilitas, daripada fungsi distribusi seringkali lebih mudah menggunakan kepadatan probabilitas, yang merupakan turunannya (dalam pengertian umum ):
Jika kita memperbaiki dua momen dalam waktu, maka nilai proses acak tersebut membentuk sistem dua variabel acak atau vektor acak dua dimensi. Untuknya deskripsi lengkap Anda perlu mengetahui fungsi distribusi dua dimensi
Beras. XIII.14. Proses stokastik kesalahan dalam mengukur koordinat sudut suatu target yang dilacak oleh stasiun radar
atau kepadatan dua dimensi
yang bergantung pada kedua parameter tersebut.
Untuk lebih Detil Deskripsi dari proses acak pada waktu yang berubah-ubah, fungsi distribusi dan kepadatan orde yang lebih tinggi juga diperkenalkan. Demikian gambaran statistik selengkapnya fungsi acak(proses) memberikan urutan terbatas dari fungsi distribusinya:
atau barisan turunannya
Masing-masing anggota barisan ini memiliki sifat fungsi distribusi yang biasa atau, karenanya, kepadatan. Selain itu, setiap anggota barisan berikutnya menentukan semua anggota sebelumnya. Misalnya, jika kita menaruhnya
Kami memiliki rumus serupa untuk momen waktu lainnya.
Kondisi ini disebut kondisi konsistensi suatu keluarga fungsi distribusi. Kondisi simetri juga berlaku:
Secara umum, kepadatan atau fungsi distribusi tingkat tinggi tidak ditentukan oleh kepadatan atau fungsi tingkat rendah.
Namun, sering kali berguna untuk mempertimbangkan apa yang disebut proses yang benar-benar acak, yang nilainya tidak bergantung pada agregat untuk proses apa pun. Untuk proses seperti itu, kepadatan distribusi tatanan apa pun ditentukan melalui satu dimensi:
Proses seperti itu merupakan penyederhanaan matematis, karena untuk nilai yang cukup dekat, nilai dari setiap proses nyata adalah dekat dan, oleh karena itu, bergantung. Kasus ekstrim lainnya adalah proses yang merosot atau tunggal, ditentukan oleh satu atau lebih variabel acak; Misalnya,
dimana adalah variabel acak; - konstanta yang diketahui. Proses seperti itu akan diketahui sepenuhnya jika dapat diukur kapan saja. Dalam kasus yang lebih umum, proses acak tunggal dicirikan oleh sekumpulan variabel acak, misalnya,
dimana biasa (fungsi deterministik waktu).
Beras. XIII.15. Kemungkinan implementasi dua fungsi acak: a - dengan komponen frekuensi tinggi; b - dengan komponen frekuensi rendah
Fungsi momen. Dalam masalah praktis, mereka biasanya menggunakan karakteristik proses acak yang lebih sederhana - fungsi momen. Momen orde pertama atau ekspektasi matematis dari proses tersebut disebut ekspresi
Jika fungsi ini dianggap bergantung pada maka, semua implementasi proses acak akan dikelompokkan di sekitar nilai rata-rata fungsi tersebut (Gbr. XIII.15).
Ekspektasi matematis pada derajat yang lebih tinggi disebut momen keteraturan awal
Fungsi acak mempunyai mean nol dan disebut terpusat. Momen sentral dari urutan suatu proses adalah ekspektasi matematis dari derajat proses terpusat
Ukuran dispersi nilai-nilai suatu proses acak relatif terhadap ekspektasi matematisnya ditentukan oleh momen orde kedua, lebih sering disebut dispersi:
Namun, karakteristik proses acak berdasarkan kepadatan pertama tidak mencerminkan perubahan implementasi seiring berjalannya waktu. Misalnya, dua proses dengan kepadatan pertama yang sama (Gbr. XIII.15, a dan b) berbeda dalam laju perubahan implementasi, yaitu dalam derajat hubungan antara dua nilai yang diterima dalam satu implementasi di titik waktu yang berbeda. Untuk menggambarkan struktur internal sementara dari proses acak, fungsi korelasi digunakan
Fungsi ini sering disebut autokorelasi atau kovarians; fungsi ini memainkan peran utama dalam teori proses acak.
Sangat mudah untuk menunjukkan bahwa fungsi korelasi adalah simetris terhadap argumennya dan ketika nilainya sama dengan varians dari proses acak. Memang,
Untuk mengkarakterisasi keakuratan sistem regulasi otomatis Lebih mudah menggunakan fungsi korelasi tidak terpusat:
disebut juga momen awal kedua dari proses tersebut.
Hubungan antara dibangun melalui transformasi berikut:
Kapan kuadrat rata-rata dari proses tersebut
Dalam sistem kendali otomatis, beberapa sinyal pengganggu atau kendali acak, independen atau saling berhubungan, sering kali beroperasi. Ukuran hubungan antara dua proses acak adalah fungsi korelasi timbal balik
di mana kepadatan probabilitas gabungan untuk proses independen
Fungsi korelasi silang memenuhi persamaan
Teori proses acak yang hanya menggunakan momen orde pertama dan kedua disebut teori korelasi. Itu diciptakan oleh karya-karya mendasar A. N. Kolmogorov, D. Ya. Khinchin, N. Viier. Ilmuwan Soviet V.S. Pugachev, V.V. Solodovnikov dan lainnya memberikan kontribusi besar terhadap perkembangannya.
Proses acak stasioner. Ketika mempertimbangkan berbagai proses acak, sekelompok proses diidentifikasi yang sifat statistiknya tidak berubah seiring pergeseran waktu. Proses seperti ini disebut stasioner. Mengingat banyaknya implementasi dari proses acak yang ditunjukkan pada Gambar. XIII. 14, dapat diasumsikan bahwa di pada kasus ini awal penghitungan waktu dapat dipilih secara sewenang-wenang, yaitu ada proses yang stasioner. Sebaliknya, pada Gambar. XIII. 15, tentu saja, kita memiliki contoh proses non-stasioner.
Mempelajari sistem yang proses acaknya stasioner jauh lebih sederhana daripada mempelajari sistem dengan proses yang tidak stasioner. Namun, proses di banyak sistem kendali dapat dianggap stasioner. Ini sangat penting secara praktis dalam teori proses acak stasioner.
Menurut definisi proses acak stasioner, ekspektasi matematisnya harus konstan ketika argumen digeser oleh interval T apa pun:
dan fungsi korelasi memenuhi relasi tersebut
Dengan asumsi kita menemukan bahwa fungsi korelasi dari proses stasioner hanya bergantung pada perbedaan pembacaan
Sifat ergodik dari proses acak. Jika kita memiliki himpunan, atau, seperti yang mereka katakan, ansambel realisasi, maka ekspektasi matematis dan fungsi korelasi diperoleh dengan merata-ratakan ansambel realisasi dari suatu proses acak, yaitu, “melintasi” proses dalam satu atau , masing-masing, dua bagiannya. Menarik juga untuk mempertimbangkan hasil rata-rata implementasi proses stasioner dari waktu ke waktu sepanjang sumbu pada interval, dengan mendefinisikan operasi ini secara alami:
Nilai ini berbeda untuk implementasi proses acak yang berbeda dan nilai itu sendiri acak. Dapat ditunjukkan bahwa ekspektasi matematisnya untuk proses stasioner adalah sama dengan . Pada saat yang sama, penyebaran besaran ini, seperti yang ditunjukkan oleh perhitungan langsung,
Beras. XIII.16. Skema struktural korelator
Kondisi agar suatu proses menjadi ergodik terhadap , dirumuskan oleh V.S. Pugachev, mengandung momen proses acak yang lebih tinggi dan tidak diberikan di sini.
Sifat ergodisitas dari proses acak memungkinkan untuk menggantikan rata-rata pada beberapa implementasi, yang jarang dapat dilakukan dalam praktiknya, dengan rata-rata waktu diambil alih satu implementasi ketika T besar.
Tidak semua proses stasioner mempunyai sifat ergodik. Misalnya, suatu proses, yang semua realisasinya merupakan variabel acak yang tidak berubah terhadap waktu, mudah dilihat, bersifat non-ergodik. Oleh karena itu arti fisik ergodisitas terdiri dari “pencampuran yang baik” dari realisasi proses acak. Karena hal ini terjadi di hampir semua aplikasi, berikut ini kita akan mengasumsikan proses yang dipertimbangkan adalah ergodik.
Untuk proses seperti itu, dimungkinkan untuk secara eksperimental menentukan nilai rata-rata dan fungsi korelasi dari proses menggunakan perangkat khusus - korelator. Prinsip pengoperasian korelator jelas dari Gambar. XIII.16.
Dengan memasukkan satu sinyal ke masukan korelator, pada keluarannya dengan waktu integrasi yang cukup besar T kita akan mendapatkan nilai rata-rata dari proses x, kira-kira sesuai dengan ekspektasi matematisnya. Jika, maka sebagai hasilnya kita akan mendapatkan a momen awal kedua yang memudahkan untuk menentukan fungsi korelasi.
1. KONSEP FUNGSI ACAK
Sampai saat tertentu, teori probabilitas hanya terbatas pada konsep variabel acak. Penggunaannya memungkinkan untuk melakukan perhitungan statis yang memperhitungkan faktor acak. Namun, sistem mekanis juga tunduk pada berbagai dinamika, yaitu pengaruh yang berubah-ubah terhadap waktu dan bersifat acak. Ini termasuk, khususnya, efek getaran dan guncangan selama pergerakan kendaraan, gaya aerodinamis yang disebabkan oleh turbulensi atmosfer, gaya seismik, beban yang disebabkan oleh penyimpangan acak dari kondisi pengoperasian nominal mesin.
Fenomena dinamis acak dipelajari dengan menganalisis tren perekonomian (misalnya, perubahan harga saham atau mata uang). Pengoperasian dalam kondisi gangguan acak merupakan tipikal sistem kendali berbagai objek dinamis.
Untuk menganalisis fenomena tersebut digunakan konsep fungsi acak. Fungsi acak X(T) fungsi argumen seperti itu disebut T, yang nilainya untuk apa pun T adalah variabel acak. Jika argumen mengambil nilai diskrit T 1 , T 2 , …, tk kemudian mereka berbicara tentang urutan acak X 1 , X 2 ,…, Xk, Di mana X saya = X(itu saya).
Dalam banyak masalah praktis, argumennya tidak acak T memiliki arti waktu, dan fungsi acak disebut proses acak , dan urutan acaknya adalah rangkaian waktu. Pada saat yang sama, argumen fungsi acak dapat memiliki arti yang berbeda. Misalnya, kita bisa membicarakan tentang medan Z(X, kamu), yang argumennya adalah koordinat lokasi X Dan kamu, dan peran fungsi acak dimainkan oleh ketinggian di atas permukaan laut z. Berikut ini, untuk lebih jelasnya, dengan mengingat penerapan fungsi acak pada studi sistem dinamik, kita akan membahas proses acak.
Mari kita asumsikan bahwa ketika mempelajari proses acak X(T) diproduksi N percobaan independen, dan implementasi diperoleh
mewakili N fungsi deterministik. Kelompok kurva yang sesuai sampai batas tertentu mencirikan sifat-sifat proses acak. Jadi, Gambar 1.1a menunjukkan implementasi proses acak dengan tingkat rata-rata konstan dan penyebaran nilai di sekitar rata-rata; pada Gambar. 1.1b – implementasi proses acak dengan rata-rata konstan dan spread yang berubah-ubah, pada Gambar. 1.1c – implementasi proses acak dengan mean dan spread yang bervariasi terhadap waktu.
Gambar.1.1. Implementasi khas dari proses acak
Pada Gambar. Gambar 1.2 menunjukkan implementasi dua proses acak yang memiliki tingkat rata-rata dan penyebaran yang sama, namun berbeda dalam kelancarannya. Realisasi proses acak pada Gambar. 1.2a bersifat frekuensi tinggi, dan pada Gambar. 1.2b – frekuensi rendah.
Beras. 1.2. Proses acak frekuensi tinggi dan frekuensi rendah
Dengan demikian, X(T) juga dapat dianggap sebagai serangkaian semua kemungkinan implementasi, yang tunduk pada hukum probabilistik tertentu. Seperti halnya variabel acak, fungsi distribusi atau kepadatan memberikan gambaran komprehensif tentang pola-pola ini. Proses acak dianggap diberikan jika semua hukum multidimensi distribusi variabel acak diberikan X(itu saya), X(T 2
), …, X(tn) untuk nilai apa pun T 1
, T 2
, …, tn
dari area perubahan argumen T. Kita berbicara, khususnya, tentang kepadatan distribusi satu dimensi, kepadatan distribusi dua dimensi 
dll. .
Untuk menyederhanakan analisis, dalam banyak kasus kita dibatasi pada karakteristik momen, dan paling sering kita menggunakan momen orde pertama dan kedua. Untuk mengkarakterisasi tingkat rata-rata dari suatu proses acak, ekspektasi matematis digunakan
. (1.1)
Untuk mengkarakterisasi amplitudo deviasi proses acak dari tingkat rata-rata, digunakan dispersi
Untuk mengkarakterisasi variabilitas (kelancaran) suatu proses acak digunakan fungsi korelasi (autokorelasi)
(1.3)
Sebagai berikut dari (1.3), fungsi korelasi adalah kovarians variabel acak X(T 1) dan X(T 2). Kovarian, seperti yang diketahui dari mata kuliah teori probabilitas, mencirikan saling ketergantungan antar X(T 1) dan X(T 2).
Dalam kerangka teori korelasi fungsi acak, yang hanya beroperasi pada momen orde pertama dan kedua, banyak masalah teknis yang dapat diselesaikan. Secara khusus, probabilitas apriori dan kondisional untuk proses acak melampaui batas yang ditentukan dapat ditentukan. Pada saat yang sama, beberapa masalah praktis yang penting tidak dapat diselesaikan dengan teori korelasi dan memerlukan penggunaan kepadatan distribusi multidimensi. Tugas-tugas tersebut mencakup, misalnya, menghitung waktu rata-rata yang dihabiskan suatu proses acak di atas atau di bawah batas tertentu.
2. JENIS PROSES ACAK
2.1. Proses acak kuasi-deterministik
100 RUB bonus untuk pesanan pertama
Pilih jenis pekerjaan Pekerjaan pascasarjana Kursus Abstrak Laporan Tesis Master tentang Praktek Review Laporan Artikel Tes Monograf Pemecahan Masalah Rencana Bisnis Jawaban atas Pertanyaan Karya kreatif Karya Menggambar Esai Terjemahan Presentasi Mengetik Lainnya Meningkatkan keunikan teks tesis Master Pekerjaan laboratorium Bantuan daring
Cari tahu harganya
Fungsi acak - suatu fungsi yang, sebagai hasil pengalaman, dapat mengambil bentuk tertentu yang tidak diketahui sebelumnya. Biasanya argumen fungsi acak (r.f.) adalah waktu, maka r.f. ditelepon proses acak(s.p.).
Sf. argumentasi yang terus berubah T rv seperti itu disebut, yang distribusinya tidak hanya bergantung pada argumen t=t1, tetapi juga pada nilai tertentu yang diambil besaran ini untuk nilai lain dari argumen ini t=t 2. R.v. berkorelasi satu sama lain dan semakin dekat nilai argumennya, semakin dekat satu sama lain. Pada batasnya, ketika interval antara dua nilai argumen cenderung nol, koefisien korelasinya sama dengan satu:
itu. T 1 dan t1+Dt1 pada Dt1®0 dihubungkan dengan hubungan linear.
Sf. mengambil, sebagai hasil dari satu percobaan, sekumpulan nilai yang tak terhitung banyaknya (secara umum, tak terhitung) - satu untuk setiap nilai argumen atau untuk setiap kumpulan nilai argumen. Fungsi ini memiliki satu sepenuhnya nilai tertentu untuk setiap saat dalam waktu. Hasil pengukuran besaran yang terus berubah adalah suatu r.v., yang dalam setiap percobaan tertentu mewakili fungsi waktu tertentu.
Sf. juga dapat dianggap sebagai himpunan r.v. yang tak terhingga, bergantung pada satu atau beberapa parameter yang terus berubah T. Untuk masing-masing nilai yang diberikan parameter T sesuai dengan satu s di Xt. Bersama-sama semua s.v. X tidak menentukan s.f. X(t). r.v. berkorelasi satu sama lain dan semakin kuat semakin dekat mereka satu sama lain.
Dasar s.f. – ini adalah produk r.v. X ke beberapa fungsi non-acak j(t): X(t)=X×j(t), yaitu. s.f. yang bukan bentuknya yang acak, melainkan hanya skalanya.
Sf. 
- punya m.o. sama dengan nol. P– kepadatan distribusi rv X(nilai sf X(t)), diambil dengan nilai sewenang-wenang T 1 argumen T.
Implementasi s.f. X(t)– dijelaskan oleh persamaan x=f1(t) pada t=t1 dan persamaannya x=f2(t) pada t=t2.
Umumnya berfungsi x=f1(t) Dan x=f2(t)– berbagai fungsi. Tetapi fungsi-fungsi ini identik dan linier, semakin banyak ( t1®t2) T 1 lebih dekat ke T 2.
Kepadatan probabilitas satu dimensi s.f. p(x,t)- tergantung pada X dan dari parameternya T. Kepadatan probabilitas dua dimensi p(x1,x2;t1,t2)– hukum bersama tentang distribusi nilai X(t1) dan X(t2) Dengan. F. X(t) untuk dua nilai arbitrer T Dan T¢ argumen T.
. (66.5)
Secara umum fungsinya X(t) ditandai dengan jumlah yang besar N hukum distribusi -dimensional 
.
MO. s.f. X(t)- fungsi non-acak, yang untuk setiap nilai argumen T sama dengan m.o. ordinat s.f. dengan argumen ini t.
- Fungsi tergantung pada X Dan T.
Demikian pula, dispersi adalah fungsi non-acak.
Tingkat ketergantungan r.v. Untuk arti yang berbeda argumen dicirikan oleh fungsi autokorelasi.
Fungsi autokorelasi s.f. X(t) Kx(ti,tj), yang untuk setiap pasangan nilai ti, tj sama dengan momen korelasi dari ordinat-ordinat yang bersesuaian dari s.f. (pada saya=j fungsi korelasi (c.f.) berubah menjadi dispersi c.f.);
di mana kepadatan distribusi gabungan dua r.v. (nilai s.f.) diambil pada dua nilai arbitrer T 1 dan T 2 argumen T. Pada t1=t2=t kita mendapatkan variansnya D(t).
Fungsi autokorelasi - satu set m.o. hasil kali simpangan dua ordinat s.f. , diambil dengan argumen t1 Dan T 2, dari ordinat fungsi non-acak m.o. , diambil dengan argumen yang sama.
Fungsi autokorelasi mencirikan derajat variabilitas s.f. ketika argumennya berubah. Pada Gambar. jelas bahwa ketergantungan antara nilai sf yang sesuai dengan dua nilai argumen yang diberikan T- lebih lemah dalam kasus pertama.
Beras. Fungsi acak terkait korelasi
Jika dua s.f. X(t) Dan kamu(t), pembentuk sistem tidak berdiri sendiri, maka fungsi korelasi timbal baliknya identik bukan nol:
di mana kepadatan distribusi gabungan dua r.v. (nilai dua s.f. X(t) Dan kamu(t)), diambil dengan dua argumen arbitrer ( T 1 - argumen fungsi X(t), T 2 - argumen fungsi kamu(t)).
Jika X(t) dan Y(t) saling bebas, maka K XY( t1,t2)=0. Sistem n s.f. X 1(t), X2(t),...,Xn(t) dicirikan N m.o. 
, N fungsi autokorelasi dan banyak lagi N(N-1)/2 fungsi korelasi.
Fungsi korelasi timbal balik (mencirikan hubungan antara dua s.f., yaitu ketergantungan stokastik) dari dua s.f. X(t) Dan kamu(t)- fungsi non-acak dari dua argumen T saya dan T j, yang untuk setiap pasangan nilai T Saya, T j sama dengan momen korelasi bagian-bagian yang bersesuaian dari s.f. Ini membuat hubungan antara dua nilai dari dua fungsi (nilai - r.v.), dengan dua argumen T 1 dan T 2.
Yang paling penting adalah tidak bergerak fungsi acak , yang karakteristik probabilistiknya tidak berubah seiring dengan adanya pergeseran argumen. MO. stasioner s.f. adalah konstan (yaitu bukan fungsi), dan fungsi korelasi hanya bergantung pada perbedaan nilai argumen T saya dan T J.
Ini bahkan berfungsi(secara simetris oh).
Pada sangat penting jarak waktu t=t2-t1 deviasi ordinat s.f. dari dia m.o. pada suatu saat T 2 secara praktis menjadi tidak bergantung pada nilai deviasi ini pada saat itu T 1. Dalam hal ini fungsinya KX(t), memberikan nilai momen korelasi antar X(t1) Dan X(t2), di ½ T½®¥ cenderung nol.
Banyak s.f. memiliki ergodik properti, yaitu dengan interval pengamatan yang bertambah tak terbatas, nilai rata-rata pengamatan stasioner s.f. dengan probabilitas sama dengan 1, akan mendekati m.o tanpa batas waktu. Pengamatan stasioner s.f. pada arti yang berbeda t pada interval yang cukup besar dalam satu percobaan setara dengan mengamati nilainya pada nilai yang sama T dalam sejumlah percobaan.
Terkadang perlu untuk menentukan karakteristik s.f. sesuai dengan karakteristik s.f. Jadi jika
(70.5),
Itu 
itu. m.o. integral (turunan) dari s.f. sama dengan integral (turunan) dari m.o. ( kamu(t)- tingkat perubahan s.f. X(t), - laju perubahan m.o.).
Saat mengintegrasikan atau membedakan s.f. kami juga mendapatkan s.f. Jika X(t) berdistribusi normal, maka Z(t) Dan kamu(t) juga berdistribusi normal. Jika X(t)– s.f. stasioner, lalu Z(t) tidak lagi stasioner s.f., karena 
tergantung pada T.
Contoh fungsi korelasi.
1) 
(dari (2) pada b®0); 2) 
;
3) 
; 4) 
;
5)
(dari (3) dengan B®0); 6) 
(dari (4) dengan B®0).
Di tangga lagu A= 1, B= 5, S= 1.
A- mencirikan laju penurunan korelasi antara ordinat s.f. dengan meningkatnya perbedaan antara argumen dari ordinat ini T.
a/b- mencirikan “tingkat ketidakteraturan proses”. Rendah a/b ordinat proses ternyata sangat berkorelasi dan pelaksanaan prosesnya mirip dengan sinusoidal; pada umumnya a/b 
(71.5).
Rumus (71) untuk fungsi stasioner berbentuk:
Fungsi korelasi s.f. dan turunannya 
. Untuk proses stasioner terdiferensiasi, ordinat s.f. dan turunannya yang diambil pada saat yang sama tidak berkorelasi r.v. (dan untuk proses normal, independen).
Saat mengalikan s.f. ke deterministik kita memperoleh s.f. Z(t)=a(t)X(t), yang fungsi korelasinya sama dengan
KZ(t1,t2)=a(t1)a(t2) KX(t1,t2) (72.5),
Di mana pada)- fungsi deterministik.
Jumlah dua s.f. juga s.f. Z(t)=X(t)+Y(t) dan fungsi korelasinya dengan adanya korelasi antara X(t) dan Y(t):
KZ(t1,t2)=KX(t1,t2)+ KY(t1,t2)+ 2KXY(t1,t2),(73.5)
Di mana KXY(t1,t2)- lihat (68.5) - fungsi korelasi timbal balik dari dua s.f. X(t) Dan kamu(t).
Jika X(t) Dan kamu(t) kalau begitu, mereka mandiri KXY(t1,t2)=0. MO. s.f. Z(t): 
.
Tujuan utama
Kita dapat membedakan dua jenis masalah utama, yang penyelesaiannya memerlukan penggunaan teori fungsi acak.
Tugas langsung (analisis): parameter perangkat tertentu dan karakteristik probabilistiknya diberikan ( ekspektasi matematis, fungsi korelasi, hukum distribusi) dari fungsi (sinyal, proses) yang sampai pada “input”-nya; penting untuk menentukan karakteristik pada "output" perangkat (digunakan untuk menilai "kualitas" pengoperasian perangkat).
Masalah terbalik (perpaduan): karakteristik probabilistik dari fungsi “input” dan “output” ditentukan; diperlukan perancangan perangkat optimal (menemukan parameternya) yang mengubah fungsi masukan tertentu menjadi fungsi keluaran yang memiliki karakteristik tertentu. Pemecahan masalah ini memerlukan, selain peralatan fungsi tarik-menarik acak, disiplin ilmu lain dan tidak dibahas dalam buku ini.
Definisi fungsi acak
Fungsi acak disebut fungsi dari argumen non-acak T, yang untuk setiap nilai tetap argumen adalah variabel acak. Fungsi Argumen Acak T ditunjukkan dengan huruf kapital X(t), Y(t) dll.
Misalnya jika kamu- variabel acak, lalu fungsinya X(!)=CU - acak. Memang, untuk setiap nilai argumen yang tetap, fungsi ini adalah variabel acak: for t ( = 2
kita mendapatkan variabel acak Xx = AU pada t 2= 1,5 - variabel acak X 2 = 2,25 kamu dll.
Untuk mempersingkat pemaparan lebih lanjut, kami memperkenalkan konsep bagian.
Bagian Fungsi acak adalah variabel acak yang sesuai dengan nilai tetap dari argumen fungsi acak. Misalnya untuk fungsi acak X(t) = t 2 kamu, diberikan di atas, dengan nilai argumen 7, = 2 dan t 2= 1,5 variabel acak diperoleh sesuai X ( = AUn X 2 = 2.2577, yang merupakan bagian dari fungsi acak yang diberikan.
Jadi, fungsi acak dapat dianggap sebagai sekumpulan variabel acak (X(?)), bergantung pada parameternya T. Interpretasi lain dari fungsi acak dimungkinkan jika kita memperkenalkan konsep implementasinya.
Penerapan (lintasan, fungsi selektif) fungsi acak X(t) memanggil fungsi argumen non-acak T, sama dengan hasil pengujian yang mungkin menghasilkan fungsi acak.
Jadi, jika suatu fungsi acak diamati dalam suatu percobaan, maka pada kenyataannya salah satu kemungkinan implementasinya diamati; Tentu saja, ketika percobaan diulangi, implementasi yang berbeda akan terlihat.
Implementasi fungsi X(t) dilambangkan dengan huruf kecil x t (t) t x 2 (t) dll., di mana indeks menunjukkan nomor tes. Misalnya jika X(t)= (/dosa T, Di mana kamu- variabel acak kontinu yang mengambil nilai yang mungkin pada pengujian pertama dan (= 3, dan pada tes kedua dan 2 = 4.6, lalu implementasi X(t) masing-masing adalah fungsi non-acak X ( (T) = 3dosa T Dan x 2 (t) = 4.6dosa T.
Jadi, fungsi acak dapat dianggap sebagai himpunan kemungkinan implementasinya.
Acak (stokastik) proses panggil fungsi argumen acak T, yang diartikan sebagai waktu. Misalnya, jika sebuah pesawat terbang harus terbang dengan kecepatan konstan tertentu, maka pada kenyataannya, karena pengaruh faktor-faktor acak (fluktuasi suhu, perubahan kekuatan angin, dll), yang pengaruhnya tidak dapat diperhitungkan sebelumnya, kecepatannya berubah. Dalam contoh ini, kecepatan pesawat merupakan fungsi acak dari argumen (waktu) yang terus berubah, yaitu. kecepatan adalah proses acak.
Perhatikan bahwa jika argumen fungsi acak berubah secara terpisah, maka nilai fungsi acak (variabel acak) yang sesuai akan terbentuk urutan acak.
Argumen fungsi acak bukan hanya waktu. Misalnya, jika diameter benang tenun diukur sepanjang panjangnya, maka karena pengaruh faktor acak maka diameter benang tersebut berubah. Dalam contoh ini, diameter adalah fungsi acak dari argumen yang terus berubah (panjang benang).
Jelasnya, secara umum tidak mungkin mendefinisikan fungsi acak secara analitis (dengan rumus). Dalam kasus khusus, jika bentuk fungsi acak diketahui, dan parameter penentunya adalah variabel acak, maka dapat ditentukan secara analitis. Misalnya, fungsi acak adalah:
X(t)= sin Qf, dimana Q adalah variabel acak,
X(t)= G/dosa T, Di mana kamu- nilai acak,
X(t) = G/sin Qt, dimana TENTANG. Dan )