Persamaan linier: rumus dan contoh. Ketimpangan dan solusinya

Catatan penting!
1. Jika Anda melihat gobbledygook dan bukan rumus, kosongkan cache Anda. Cara melakukan ini di browser Anda tertulis di sini:
2. Sebelum Anda mulai membaca artikel, perhatikan navigator kami untuk mendapatkan sumber daya yang paling berguna

Apa itu "persamaan linier"

atau secara lisan - masing-masing tiga orang teman diberi apel dengan dasar bahwa Vasya memiliki semua apel yang dimilikinya.

Dan sekarang Anda sudah memutuskan persamaan linier
Sekarang mari kita berikan definisi matematis pada istilah ini.

Persamaan linier - adalah persamaan aljabar yang derajat total polinomial penyusunnya sama dengan. Ini terlihat seperti ini:

Di mana dan nomor apa saja dan

Untuk kasus kami dengan Vasya dan apel, kami akan menulis:

- “jika Vasya memberikan jumlah apel yang sama kepada ketiga temannya, dia tidak akan punya apel lagi”

Persamaan linier "tersembunyi", atau pentingnya transformasi identitas

Terlepas dari kenyataan bahwa pada pandangan pertama semuanya sangat sederhana, ketika menyelesaikan persamaan Anda harus berhati-hati, karena persamaan linier tidak hanya disebut persamaan jenis ini, tetapi juga persamaan apa pun yang dapat direduksi menjadi jenis ini melalui transformasi dan penyederhanaan. Misalnya:

Kita lihat apa yang ada di sebelah kanan, yang secara teori sudah menunjukkan bahwa persamaan tersebut tidak linier. Selain itu, jika kita membuka tanda kurung, kita akan mendapatkan dua suku lagi, tapi jangan terburu-buru mengambil kesimpulan! Sebelum menilai apakah suatu persamaan linier, perlu dilakukan semua transformasi dan menyederhanakan contoh aslinya. Dalam hal ini, transformasi bisa berubah penampilan, tapi bukan inti persamaannya.

Dengan kata lain, data transformasi harus identik atau setara. Hanya ada dua transformasi seperti itu, tetapi mereka bermain sangat, SANGAT peran penting ketika memecahkan masalah. Mari kita lihat kedua transformasi tersebut menggunakan contoh spesifik.

Pindahkan ke kiri - ke kanan.

Katakanlah kita perlu menyelesaikan persamaan berikut:

Juga di sekolah dasar kami diberitahu: "dengan X - ke kiri, tanpa X - ke kanan." Ekspresi apa yang diberi tanda X di sebelah kanan? Itu benar, tapi tidak bagaimana tidak. Dan ini penting, karena jika ini disalahpahami, sepertinya pertanyaan sederhana, jawaban yang salah keluar. Ekspresi apa yang diberi tanda X di sebelah kiri? Benar, .

Sekarang setelah kita mengetahuinya, kita pindahkan semua suku yang tidak diketahui ke sisi kiri, dan semua suku yang diketahui ke kanan, mengingat jika tidak ada tanda di depan suatu bilangan, misalnya, maka bilangan tersebut positif. , yaitu di depannya ada tanda “ "

Ditransfer? Apa yang kamu dapatkan?

Yang masih harus dilakukan hanyalah menghadirkan persyaratan serupa. Kami mempersembahkan:

Jadi, kami telah berhasil menganalisis transformasi identik pertama, meskipun saya yakin Anda mengetahuinya dan secara aktif menggunakannya tanpa saya. Hal utama adalah jangan melupakan tanda angka dan mengubahnya menjadi kebalikannya saat mentransfer melalui tanda sama dengan!

Perkalian-pembagian.

Mari kita mulai dengan sebuah contoh

Mari kita lihat dan pikirkan: apa yang tidak kita sukai dari contoh ini? Yang tidak diketahui semuanya ada di satu bagian, yang diketahui ada di bagian lain, tapi ada sesuatu yang menghentikan kita... Dan sesuatu ini adalah empat, karena jika tidak ada, semuanya akan sempurna - x sama dengan angka - persis sesuai kebutuhan kita!

Bagaimana cara menghilangkannya? Kita tidak bisa memindahkannya ke kanan, karena kita perlu memindahkan seluruh pengganda (kita tidak bisa mengambil dan merobeknya), dan memindahkan seluruh pengganda juga tidak masuk akal...

Saatnya mengingat pembagian, jadi mari kita bagi semuanya! Semuanya berarti sisi kiri dan kanan. Lewat sini dan hanya lewat sini! Apa yang kita lakukan?

Inilah jawabannya.

Sekarang mari kita lihat contoh lainnya:

Bisakah Anda menebak apa yang perlu dilakukan dalam kasus ini? Benar, kalikan ruas kiri dan kanan dengan! Jawaban apa yang Anda terima? Benar. .

Pasti Anda sudah mengetahui segalanya tentang transformasi identitas. Pertimbangkan bahwa kami baru saja menyegarkan pengetahuan ini dalam ingatan Anda dan sekarang saatnya untuk sesuatu yang lebih - Misalnya, untuk menyelesaikan contoh besar kami:

Seperti yang kami katakan sebelumnya, jika dilihat, Anda tidak bisa mengatakan bahwa persamaan ini linier, tetapi kita perlu membuka tanda kurung dan melakukan transformasi yang identik. Jadi mari kita mulai!

Pertama, kita mengingat kembali rumus perkalian yang disingkat, khususnya kuadrat jumlah dan kuadrat selisihnya. Jika Anda tidak ingat apa itu dan bagaimana tanda kurung dibuka, saya sangat menyarankan Anda membaca topik tersebut, karena keterampilan ini akan berguna bagi Anda saat menyelesaikan hampir semua contoh yang ditemui dalam ujian.
Terungkap? Mari kita bandingkan:

Sekarang saatnya menghadirkan istilah serupa. Apakah Anda ingat bagaimana di kelas dasar yang sama mereka mengatakan kepada kami “jangan satukan lalat dan irisan daging”? Di sini saya mengingatkan Anda tentang hal ini. Kami menambahkan semuanya secara terpisah - faktor yang memiliki, faktor yang memiliki, dan faktor lainnya yang tidak memiliki hal yang tidak diketahui. Saat Anda membawa suku serupa, pindahkan semua yang tidak diketahui ke kiri, dan semua yang diketahui ke kanan. Apa yang kamu dapatkan?

Seperti yang Anda lihat, tanda X di kotak telah menghilang dan kami melihat sesuatu yang sepenuhnya normal. persamaan linier. Yang tersisa hanyalah menemukannya!

Dan terakhir, saya akan mengatakan satu hal lagi yang sangat penting tentang transformasi identitas - transformasi identitas tidak hanya berlaku untuk persamaan linear, tetapi juga untuk kuadrat, rasional pecahan dan lain-lain. Perlu diingat saja bahwa ketika kita memindahkan faktor melalui tanda sama dengan, kita mengubah tandanya menjadi kebalikannya, dan ketika membagi atau mengalikan dengan suatu bilangan, kita mengalikan/membagi kedua ruas persamaan dengan bilangan yang SAMA.

Apa lagi yang Anda ambil dari contoh ini? Bahwa dengan melihat suatu persamaan tidak selalu dapat ditentukan secara langsung dan akurat apakah persamaan tersebut linier atau tidak. Pertama-tama kita perlu menyederhanakan ekspresi sepenuhnya, dan baru kemudian menilai apa itu ekspresi.

Persamaan linear. Contoh.

Berikut beberapa contoh lagi yang dapat Anda praktikkan sendiri - tentukan apakah persamaan tersebut linier dan jika ya, temukan akar-akarnya:

Jawaban:

1. Adalah.

2. Tidak.

Mari kita buka tanda kurung dan sajikan istilah serupa:

Mari kita lakukan transformasi yang sama - bagi ruas kiri dan kanan menjadi:

Kita melihat persamaan tersebut tidak linier, sehingga tidak perlu mencari akar-akarnya.

3. Adalah.

Mari kita lakukan transformasi yang identik - kalikan ruas kiri dan kanan dengan untuk menghilangkan penyebutnya.

Pikirkan mengapa hal itu begitu penting? Jika Anda mengetahui jawaban atas pertanyaan ini, lanjutkan ke penyelesaian persamaan lebih lanjut; jika tidak, pastikan untuk mempelajari topiknya agar tidak membuat kesalahan lebih lanjut. contoh yang kompleks. Ngomong-ngomong, seperti yang Anda lihat, situasinya tidak mungkin. Mengapa?
Jadi, mari kita susun ulang persamaannya:

Jika Anda bisa mengatur semuanya tanpa kesulitan, mari kita bicara tentang persamaan linear dua variabel.

Persamaan linier dalam dua variabel

Sekarang mari kita beralih ke persamaan linier dua variabel yang lebih kompleks.

Persamaan linear dengan dua variabel berbentuk:

Dimana, dan - nomor apa saja dan.

Seperti yang Anda lihat, satu-satunya perbedaan adalah variabel lain ditambahkan ke persamaan. Jadi semuanya sama - tidak ada x kuadrat, tidak ada pembagian dengan variabel, dll. dan seterusnya.

Contoh hidup seperti apa yang bisa saya berikan kepada Anda... Mari kita ambil contoh yang sama Vasya. Katakanlah dia memutuskan bahwa dia akan memberikan masing-masing dari 3 temannya jumlah apel yang sama, dan menyimpan apel itu untuk dirinya sendiri. Berapa banyak apel yang perlu dibeli Vasya jika dia memberi setiap temannya sebuah apel? Bagaimana dengan? Bagaimana jika lewat?

Hubungan antara jumlah apel yang diterima setiap orang dengan jumlah apel yang perlu dibeli dinyatakan dengan persamaan:

- jumlah apel yang akan diterima seseorang (, atau, atau);
- jumlah apel yang akan diambil Vasya untuk dirinya sendiri;
- berapa banyak apel yang perlu dibeli Vasya, dengan memperhitungkan jumlah apel per orang?

Memecahkan masalah ini, kita mendapatkan bahwa jika Vasya memberi seorang teman sebuah apel, maka dia perlu membeli potongan, jika dia memberi apel, dll.

Dan secara umum. Kami memiliki dua variabel. Mengapa tidak menggambarkan hubungan ini dalam grafik? Kami membangun dan menandai nilai kami, yaitu titik, dengan koordinat, dan!

Seperti yang Anda lihat, mereka bergantung satu sama lain linier, maka nama persamaannya - “ linier».

Mari kita abstrak dari apel dan melihat berbagai persamaan secara grafis. Perhatikan baik-baik dua grafik yang dibuat - garis lurus dan parabola, yang ditentukan oleh fungsi arbitrer:

Temukan dan tandai titik-titik yang sesuai pada kedua gambar.
Apa yang kamu dapatkan?

Anda melihatnya pada grafik fungsi pertama sendiri sesuai satu, artinya, keduanya juga bergantung secara linier satu sama lain, yang tidak dapat dikatakan tentang fungsi kedua. Tentu saja, Anda dapat berargumen bahwa pada grafik kedua x - juga bersesuaian, tetapi ini hanya satu poin saja kasus spesial, karena Anda masih dapat menemukan satu yang cocok dengan lebih dari satu. Dan grafik yang dibangun sama sekali tidak menyerupai garis, melainkan parabola.

Saya ulangi sekali lagi: grafik persamaan linier harus berupa garis LURUS.

Fakta bahwa persamaan tersebut tidak akan linier jika kita naik ke derajat apa pun - hal ini dapat dilihat dengan menggunakan contoh parabola, meskipun Anda dapat membuat sendiri beberapa grafik sederhana, misalnya atau. Tapi saya jamin - tidak satupun dari mereka akan menjadi GARIS LURUS.

Tidak percaya? Bangun dan bandingkan dengan apa yang saya dapatkan:

Apa yang terjadi jika kita membagi sesuatu dengan, misalnya, suatu bilangan? Akankah ada hubungan linier dan? Jangan berdebat, tapi mari kita membangun! Misalnya, mari kita buat grafik suatu fungsi.

Entah bagaimana, persamaan ini tidak terlihat seperti garis lurus... oleh karena itu, persamaannya tidak linier.
Mari kita rangkum:

Persamaan linier - adalah persamaan aljabar yang derajat total polinomial penyusunnya sama.
Persamaan linier dengan satu variabel berbentuk:
, di mana dan nomor apa saja;
Persamaan linier dengan dua variabel:
, di mana, dan berapapun angkanya.
Tidak selalu mungkin untuk segera menentukan apakah suatu persamaan linier atau tidak. Terkadang, untuk memahami hal ini, perlu dilakukan transformasi yang sama: bergerak ke kiri/kanan anggota serupa, tidak lupa mengganti tanda, atau mengalikan/membagi kedua ruas persamaan dengan angka yang sama.

PERSAMAAN LINEAR. SECARA SINGKAT TENTANG HAL-HAL UTAMA

1. Persamaan linier

Ini adalah persamaan aljabar yang derajat total polinomial penyusunnya sama.

2. Persamaan linier dengan satu variabel memiliki bentuk:

Di mana dan di mana saja nomornya;

3. Persamaan linier dengan dua variabel memiliki bentuk:

Dimana, dan - nomor apa saja.

4. Transformasi identitas

Untuk menentukan apakah suatu persamaan linier atau tidak, perlu dilakukan transformasi yang identik:

gerakkan suku sejenis ke kiri/kanan, jangan lupa ganti tandanya;
kalikan/bagi kedua ruas persamaan dengan angka yang sama.

Nah, topiknya sudah selesai. Jika Anda membaca baris-baris ini, itu berarti Anda sangat keren.

Karena hanya 5% orang yang mampu menguasai sesuatu sendiri. Dan jika Anda membaca sampai akhir, Anda termasuk dalam 5% ini!

Sekarang hal yang paling penting.

Anda telah memahami teori tentang topik ini. Dan, saya ulangi, ini... ini luar biasa! Anda sudah lebih baik dari sebagian besar rekan Anda.

Masalahnya adalah ini mungkin tidak cukup...

Untuk apa?

Untuk sukses lulus Ujian Negara Bersatu, untuk masuk perguruan tinggi dengan anggaran terbatas dan, YANG PALING PENTING, seumur hidup.

Saya tidak akan meyakinkan Anda tentang apa pun, saya hanya akan mengatakan satu hal...

Orang yang mengenyam pendidikan baik memperoleh penghasilan lebih banyak dibandingkan mereka yang tidak mengenyam pendidikan. Ini adalah statistik.

Tapi ini bukanlah hal yang utama.

Yang penting mereka LEBIH BAHAGIA (ada penelitian seperti itu). Mungkin karena lebih banyak peluang terbuka di hadapan mereka dan kehidupan menjadi lebih cerah? Tidak tahu...

Tapi pikirkan sendiri...

Apa yang diperlukan untuk memastikan menjadi lebih baik dari orang lain dalam Ujian Negara Bersatu dan pada akhirnya menjadi... lebih bahagia?

DAPATKAN TANGAN ANDA DENGAN MEMECAHKAN MASALAH PADA TOPIK INI.

Anda tidak akan dimintai teori selama ujian.

Anda akan perlu memecahkan masalah melawan waktu.

Dan, jika Anda belum menyelesaikannya (BANYAK!), Anda pasti akan membuat kesalahan bodoh di suatu tempat atau tidak punya waktu.

Ini seperti dalam olahraga - Anda harus mengulanginya berkali-kali agar bisa menang.

Temukan koleksinya di mana pun Anda mau, tentu dengan solusi, analisis terperinci dan putuskan, putuskan, putuskan!

Anda dapat menggunakan tugas kami (opsional) dan tentu saja kami merekomendasikannya.

Untuk menjadi lebih baik dalam menggunakan tugas kami, Anda perlu membantu memperpanjang umur buku teks YouClever yang sedang Anda baca.

Bagaimana? Ada dua pilihan:

Buka kunci semua tugas tersembunyi di artikel ini -
Buka kunci akses ke semua tugas tersembunyi di 99 artikel buku teks - Beli buku teks - 499 RUR

Ya, kami memiliki 99 artikel seperti itu di buku teks kami dan akses ke semua tugas dan semua teks tersembunyi di dalamnya dapat segera dibuka.

Akses ke semua tugas tersembunyi disediakan selama SELURUH umur situs.

Kesimpulannya...

Jika Anda tidak menyukai tugas kami, cari yang lain. Hanya saja, jangan berhenti pada teori.

“Dipahami” dan “Saya bisa menyelesaikannya” adalah keterampilan yang sangat berbeda. Anda membutuhkan keduanya.

Temukan masalah dan selesaikan!

Belajar menyelesaikan persamaan adalah salah satu tugas utama aljabar bagi siswa. Dimulai dari yang paling sederhana, yang terdiri dari satu hal yang tidak diketahui, dan berlanjut ke hal yang lebih kompleks. Jika Anda belum menguasai tindakan yang perlu dilakukan dengan persamaan dari kelompok pertama, akan sulit untuk memahami persamaan lainnya.

Untuk melanjutkan percakapan, Anda harus menyepakati notasi.

Bentuk umum persamaan linier dengan satu hal yang tidak diketahui dan prinsip penyelesaiannya

Persamaan apa pun yang dapat ditulis seperti ini:

a * x = b,

ditelepon linier. Ini rumus umum. Namun seringkali dalam tugas persamaan linear ditulis dalam bentuk implisit. Maka perlu dilakukan transformasi yang identik untuk mendapatkan notasi yang diterima secara umum. Tindakan ini meliputi:

membuka tanda kurung;
memindahkan semua suku dengan nilai variabel ke ruas kiri persamaan, dan sisanya ke kanan;
membawa istilah serupa.

Dalam kasus di mana besaran yang tidak diketahui ada dalam penyebut suatu pecahan, perlu untuk menentukan nilainya yang ungkapannya tidak masuk akal. Dengan kata lain, Anda perlu mengetahui domain definisi persamaan tersebut.

Prinsip penyelesaian semua persamaan linier adalah dengan membagi nilai di ruas kanan persamaan dengan koefisien di depan variabel. Artinya, “x” akan sama dengan b/a.

Kasus khusus persamaan linear dan penyelesaiannya

Selama penalaran, momen mungkin muncul ketika persamaan linear mengambil salah satu bentuk khusus. Masing-masing mempunyai solusi spesifik.

Dalam situasi pertama:

a * x = 0, dan a ≠ 0.

Penyelesaian persamaan tersebut selalu x = 0.

Dalam kasus kedua, “a” mengambil nilai sama dengan nol:

0 * x = 0.

Jawaban persamaan seperti itu adalah bilangan berapa pun. Artinya, ia mempunyai jumlah akar yang tak terhingga.

Situasi ketiga terlihat seperti ini:

0 * x = masuk, di mana di ≠ 0.

Persamaan ini tidak masuk akal. Karena tidak ada akar yang memuaskannya.

Gambaran umum persamaan linear dengan dua variabel

Dari namanya terlihat jelas bahwa di dalamnya sudah ada dua besaran yang tidak diketahui. Persamaan linier dalam dua variabel terlihat seperti ini:

a*x+b*y=c.

Karena ada dua hal yang tidak diketahui dalam catatan, jawabannya akan terlihat seperti sepasang angka. Artinya, tidak cukup hanya menentukan satu nilai saja. Ini akan menjadi jawaban yang tidak lengkap. Sepasang besaran yang persamaannya menjadi identitas merupakan penyelesaian persamaan tersebut. Apalagi dalam jawabannya, variabel yang menempati urutan pertama dalam abjad selalu dituliskan terlebih dahulu. Terkadang mereka mengatakan bahwa angka-angka ini memuaskannya. Selain itu, jumlah pasangan seperti itu bisa jadi tidak terbatas.

Bagaimana cara menyelesaikan persamaan linear dengan dua hal yang tidak diketahui?

Untuk melakukan ini, Anda hanya perlu memilih pasangan angka mana saja yang ternyata benar. Untuk mempermudah, Anda dapat mengambil salah satu bilangan tak diketahui yang sama dengan suatu bilangan prima, lalu mencari bilangan kedua.

Saat menyelesaikannya, Anda sering kali harus melakukan langkah-langkah untuk menyederhanakan persamaan. Itu disebut transformasi identitas. Selain itu, sifat-sifat berikut ini selalu berlaku untuk persamaan:

setiap suku dapat dipindahkan ke bagian yang berlawanan dari persamaan dengan mengganti tandanya dengan tanda yang berlawanan;
Ruas kiri dan kanan suatu persamaan boleh dibagi dengan bilangan yang sama, asalkan tidak sama dengan nol.

Contoh tugas dengan persamaan linear

Tugas pertama. Selesaikan persamaan linier: 4x = 20, 8(x - 1) + 2x = 2(4 - 2x); (5x + 15) / (x + 4) = 4; (5x + 15) / (x + 3) = 4.

Pada persamaan pertama dalam daftar ini, cukup bagi 20 dengan 4. Hasilnya adalah 5. Inilah jawabannya: x = 5.

Persamaan ketiga mengharuskan dilakukannya transformasi identitas. Ini akan terdiri dari membuka tanda kurung dan membawa istilah serupa. Setelah langkah pertama, persamaannya akan berbentuk: 8x - 8 + 2x = 8 - 4x. Maka Anda perlu memindahkan semua yang tidak diketahui ke sisi kiri persamaan, dan sisanya ke kanan. Persamaannya akan terlihat seperti ini: 8x + 2x + 4x = 8 + 8. Setelah dijumlahkan suku-suku serupa: 14x = 16. Sekarang terlihat sama seperti persamaan pertama, dan penyelesaiannya mudah ditemukan. Jawabannya adalah x=8/7. Namun dalam matematika Anda diharapkan mengisolasi seluruh bagian dari pecahan biasa. Kemudian hasilnya akan diubah, dan “x” akan sama dengan satu bilangan bulat dan sepertujuh.

Pada contoh selanjutnya, variabel berada pada penyebut. Ini berarti Anda harus terlebih dahulu mencari tahu pada nilai apa persamaan tersebut didefinisikan. Untuk melakukan ini, Anda perlu mengecualikan angka-angka yang penyebutnya menjadi nol. Pada contoh pertama adalah “-4”, pada contoh kedua adalah “-3”. Artinya, nilai-nilai tersebut perlu dikeluarkan dari jawabannya. Setelah ini, Anda perlu mengalikan kedua ruas persamaan dengan ekspresi penyebutnya.

Membuka tanda kurung dan membawa suku-suku serupa, pada persamaan pertama kita mendapatkan: 5x + 15 = 4x + 16, dan pada persamaan kedua 5x + 15 = 4x + 12. Setelah transformasi, penyelesaian persamaan pertama adalah x = -1. Yang kedua ternyata sama dengan “-3”, yang berarti yang terakhir tidak memiliki solusi.

Tugas kedua. Selesaikan persamaan: -7x + 2y = 5.

Misalkan x = 1 yang tidak diketahui pertama, maka persamaannya berbentuk -7 * 1 + 2y = 5. Memindahkan faktor “-7” ke ruas kanan persamaan dan mengubah tandanya menjadi plus, ternyata 2y = 12. Artinya y =6. Jawaban: salah satu penyelesaian persamaan x = 1, y = 6.

Bentuk umum pertidaksamaan dengan satu variabel

Semua situasi yang mungkin terjadi untuk kesenjangan disajikan di sini:

a * x > b;
sebuah * x< в;
a * x ≥b;
a * x ≤в.

Secara umum terlihat seperti persamaan linier sederhana, hanya tanda sama dengan yang diganti dengan pertidaksamaan.

Aturan untuk transformasi identitas dari ketidaksetaraan

Sama seperti persamaan linier, pertidaksamaan dapat diubah menurut hukum tertentu. Intinya adalah sebagai berikut:

ekspresi alfabet atau numerik apa pun dapat ditambahkan ke sisi kiri dan kanan pertidaksamaan, dan tanda pertidaksamaan tetap sama;
Anda juga bisa mengalikan atau membagi dengan hal yang sama nomor positif, ini sekali lagi tidak mengubah tanda;
ketika mengalikan atau membagi dengan hal yang sama angka negatif kesetaraan akan tetap benar asalkan tanda pertidaksamaan dibalik.

Pandangan umum tentang ketidaksetaraan ganda

Ketimpangan berikut dapat dihadirkan dalam permasalahan:

V< а * х < с;
c ≤ a * x< с;
V< а * х ≤ с;
c ≤ a * x ≤ c.

Disebut ganda karena dibatasi oleh tanda pertidaksamaan pada kedua sisinya. Hal ini diselesaikan dengan menggunakan aturan yang sama seperti pertidaksamaan biasa. Dan menemukan jawabannya membutuhkan serangkaian transformasi yang identik. Sampai diperoleh hal yang paling sederhana.

Fitur penyelesaian pertidaksamaan ganda

Yang pertama adalah bayangannya pada sumbu koordinat. Tidak perlu menggunakan metode ini untuk kesenjangan sederhana. Namun dalam kasus-kasus sulit, hal ini mungkin diperlukan.

Untuk menggambarkan pertidaksamaan, Anda perlu menandai pada sumbu semua titik yang diperoleh selama penalaran. Ini adalah nilai yang tidak valid, yang ditunjukkan dengan titik tertusuk, dan nilai dari pertidaksamaan yang diperoleh setelah transformasi. Di sini juga penting untuk menggambar titik-titik dengan benar. Jika ketimpangannya sangat ketat, itu benar< или >, lalu nilai-nilai ini dicoret. Dalam ketidaksetaraan yang tidak ketat, titik-titiknya harus diarsir.

Maka perlu untuk menunjukkan arti dari ketidaksetaraan tersebut. Hal ini dapat dilakukan dengan menggunakan shading atau busur. Persimpangan mereka akan menunjukkan jawabannya.

Fitur kedua terkait dengan perekamannya. Ada dua opsi yang ditawarkan di sini. Yang pertama adalah ketimpangan tertinggi. Yang kedua berupa interval. Kebetulan kesulitan muncul bersamanya. Jawaban dalam spasi selalu terlihat seperti variabel dengan tanda keanggotaan dan tanda kurung dengan angka. Terkadang ada beberapa spasi, maka Anda perlu menulis simbol “dan” di antara tanda kurung. Tanda-tandanya terlihat seperti ini: ∈ dan ∩. Tanda kurung spasi juga berperan. Yang bulat ditempatkan ketika suatu titik dikecualikan dari jawaban, dan yang persegi panjang menyertakan nilai ini. Tanda tak terhingga selalu ada dalam tanda kurung.

Contoh penyelesaian kesenjangan

1. Selesaikan pertidaksamaan 7 - 5x ≥ 37.

Setelah transformasi sederhana, kita mendapatkan: -5x ≥ 30. Membaginya dengan “-5” kita mendapatkan persamaan berikut: x ≤ -6. Ini sudah jawabannya, tapi bisa ditulis dengan cara lain: x ∈ (-∞; -6].

2. Selesaikan pertidaksamaan ganda -4< 2x + 6 ≤ 8.

Pertama, Anda perlu mengurangi di mana-mana dengan 6. Anda mendapatkan: -10< 2x ≤ 2. Теперь нужно разделить на 2. Неравенство примет вид: -5 < x ≤ 1. Изобразив ответ на числовой оси, сразу можно понять, что результатом будет промежуток от -5 до 1. Причем первая точка исключена, а вторая включена. То есть ответ у неравенства такой: х ∈ (-5; 1].

Saat menyelesaikan persamaan linier, kita berusaha mencari akarnya, yaitu nilai variabel yang akan mengubah persamaan tersebut menjadi persamaan yang benar.

Untuk menemukan akar persamaan yang Anda butuhkan transformasi ekuivalen membawa persamaan yang diberikan kepada kita ke dalam bentuk

\(x=[angka]\)

Angka ini akan menjadi akarnya.

Artinya, kita mengubah persamaan tersebut, membuatnya lebih sederhana di setiap langkah, hingga kita mereduksinya menjadi persamaan yang sepenuhnya primitif “x = bilangan”, yang akarnya jelas. Transformasi yang paling sering digunakan ketika menyelesaikan persamaan linear adalah sebagai berikut:

Misalnya: tambahkan \(5\) ke kedua ruas persamaan \(6x-5=1\)

\(6x-5=1\) \(|+5\)
\(6x-5+5=1+5\)
\(6x=6\)

Perlu diingat bahwa kita bisa mendapatkan hasil yang sama lebih cepat hanya dengan menuliskan angka lima di sisi lain persamaan dan mengubah tandanya. Sebenarnya, begitulah cara sekolah “memindahkan persamaan dengan perubahan tanda ke kebalikannya”.

2. Mengalikan atau membagi kedua ruas persamaan dengan bilangan atau persamaan yang sama.

Misalnya: membagi persamaan \(-2x=8\) dengan dikurangi dua

\(-2x=8\) \(|:(-2)\)
\(x=-4\)

Biasanya langkah ini dilakukan di akhir, saat persamaan telah direduksi menjadi bentuk \(ax=b\), dan kita bagi dengan \(a\) untuk menghilangkannya dari kiri.

3. Menggunakan sifat-sifat dan hukum matematika: membuka tanda kurung, membawa suku-suku sejenis, mereduksi pecahan, dan lain-lain.

Tambahkan \(2x\) kiri dan kanan

Kurangi \(24\) dari kedua ruas persamaan

Kami menghadirkan istilah serupa lagi

Sekarang kita bagi persamaannya dengan \(-3\), sehingga menghilangkan bagian depan X di ruas kiri.

Menjawab : \(7\)

Jawabannya telah ditemukan. Namun, mari kita periksa. Jika tujuh benar-benar sebuah akar, maka menggantinya dengan X ke dalam persamaan awal akan menghasilkan persamaan yang benar - nomor yang sama kiri dan kanan. Mari mencoba.

Penyelidikan:
\(6(4-7)+7=3-2\cdot7\)
\(6\cdot(-3)+7=3-14\)
\(-18+7=-11\)
\(-11=-11\)

Itu berhasil. Artinya tujuh memang merupakan akar persamaan linier aslinya.

Jangan malas untuk memeriksa jawaban yang Anda temukan secara substitusi, terutama jika Anda sedang menyelesaikan suatu persamaan pada suatu ulangan atau ujian.

Pertanyaannya tetap - bagaimana menentukan apa yang harus dilakukan dengan persamaan tersebut pada langkah selanjutnya? Bagaimana tepatnya cara mengubahnya? Bagilah dengan sesuatu? Atau kurangi? Dan apa sebenarnya yang harus saya kurangi? Bagilah dengan apa?

Jawabannya sederhana:

Tujuan Anda adalah membuat persamaan tersebut menjadi \(x=[bilangan]\), yaitu di sebelah kiri adalah x tanpa koefisien dan bilangan, dan di sebelah kanan hanya berupa bilangan tanpa variabel. Oleh karena itu, lihatlah apa yang menghentikan Anda dan lakukan kebalikan dari apa yang dilakukan komponen pengganggu.

Untuk lebih memahaminya, mari kita lihat penyelesaian persamaan linier \(x+3=13-4x\) langkah demi langkah.

Mari kita pikirkan: apa perbedaan persamaan ini dengan \(x=[angka]\)? Apa yang menghentikan kita? Apa yang salah?

Pertama, ketiganya mengganggu, karena di sebelah kiri seharusnya hanya ada satu X, tanpa angka. Apa yang “dilakukan” troika? Ditambahkan ke X. Jadi, untuk menghapusnya - mengurangi tiga yang sama. Tetapi jika kita mengurangi tiga dari kiri, kita harus menguranginya dari kanan agar persamaannya tidak dilanggar.

\(x+3=13-4x\) \(|-3\)
\(x+3-3=13-4x-3\)
\(x=10-4x\)

Bagus. Sekarang apa yang menghentikanmu? \(4x\) di sebelah kanan, karena seharusnya hanya ada angka di sana. \(4x\) dikurangi- kami menghapus dengan menambahkan.

\(x=10-4x\) \(|+4x\)
\(x+4x=10-4x+4x\)

Sekarang kami menyajikan istilah serupa di kiri dan kanan.

Ini hampir siap. Yang tersisa hanyalah menghapus lima di sebelah kiri. Apa yang dia lakukan"? Berkembang biak pada x. Jadi mari kita hapus divisi.

\(5x=10\) \(|:5\)
\(\frac(5x)(5)\) \(=\)\(\frac(10)(5)\)
\(x=2\)

Penyelesaiannya selesai, akar persamaannya adalah dua. Anda dapat memeriksanya dengan substitusi.

perhatikan itu paling sering hanya ada satu akar dalam persamaan linear. Namun, ada dua kasus khusus yang mungkin terjadi.

Kasus khusus 1 – tidak ada akar dalam persamaan linier.

Contoh . Selesaikan persamaan \(3x-1=2(x+3)+x\)

Larutan :

Menjawab : tidak ada akar.

Faktanya, fakta bahwa kita akan mencapai hasil seperti itu sudah terlihat sebelumnya, bahkan ketika kita menerima \(3x-1=3x+6\). Coba pikirkan: bagaimana mungkin \(3x\) yang kita kurangi \(1\), dan \(3x\) yang kita tambahkan \(6\) bisa sama? Jelas tidak mungkin, karena mereka melakukan hal yang sama tindakan yang berbeda! Yang jelas, hasilnya akan berbeda-beda.

Kasus khusus 2 – persamaan linier memiliki jumlah akar yang tak terhingga.

Contoh . Selesaikan persamaan linear \(8(x+2)-4=12x-4(x-3)\)

Larutan :

Menjawab : nomor berapa pun.

Omong-omong, hal ini sudah terlihat lebih awal, pada tahap: \(8x+12=8x+12\). Memang kiri dan kanan adalah ekspresi yang sama. Berapa pun X yang Anda substitusikan, angkanya akan sama di sana dan di sana.

Persamaan linier yang lebih kompleks.

Persamaan asli tidak selalu terlihat seperti persamaan linier; terkadang persamaan tersebut “disamarkan” sebagai persamaan lain yang lebih kompleks. Namun, dalam proses transformasi, penyamaran tersebut menghilang.

Contoh . Temukan akar persamaan \(2x^(2)-(x-4)^(2)=(3+x)^(2)-15\)

Larutan :

\(2x^(2)-(x-4)^(2)=(3+x)^(2)-15\)		Tampaknya ada x kuadrat di sini - ini bukan persamaan linier! Tapi jangan terburu-buru. Ayo melamar
\(2x^(2)-(x^(2)-8x+16)=9+6x+x^(2)-15\)		Mengapa hasil perluasan \((x-4)^(2)\) ada di dalam tanda kurung, tetapi hasil \((3+x)^(2)\) tidak? Karena ada tanda minus di depan kotak pertama, yang akan mengubah semua tandanya. Dan agar tidak melupakan hal ini, kita ambil hasilnya dalam tanda kurung, yang sekarang kita buka.
\(2x^(2)-x^(2)+8x-16=9+6x+x^(2)-15\)		Kami menyajikan istilah serupa
\(x^(2)+8x-16=x^(2)+6x-6\)
\(x^(2)-x^(2)+8x-6x=-6+16\)		Kami hadirkan lagi yang serupa.
		Seperti ini. Ternyata persamaan aslinya cukup linier, dan X kuadrat tidak lebih dari sebuah layar yang membingungkan kita. :) Kita selesaikan penyelesaiannya dengan membagi persamaannya dengan \(2\), dan kita mendapatkan jawabannya.

Menjawab : \(x=5\)

Contoh . Menyelesaikan persamaan linier \(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6 )\)

Larutan :

\(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6)\)		Persamaannya tidak terlihat linier, itu semacam pecahan... Namun, mari kita hilangkan penyebutnya dengan mengalikan kedua ruas persamaan dengan penyebut yang sama - enam
\(6\cdot\)\((\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3))\) \(=\) \(\frac( 9+7x)(6)\) \(\cdot 6\)		Perluas braket di sebelah kiri
\(6\cdot\)\(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(6\cdot\)\(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6)\) \(\cdot 6\)		Sekarang mari kita kurangi penyebutnya
\(3(x+2)-2=9+7x\)		Sekarang terlihat seperti linier biasa! Ayo selesaikan.
		Dengan menerjemahkan persamaan, kita mengumpulkan X di sebelah kanan dan angka di sebelah kiri

		Nah, membagi ruas kanan dan kiri dengan \(-4\), kita mendapatkan jawabannya

Menjawab : \(x=-1,25\)

Persamaan dengan suatu variabel disebut persamaan.
Memecahkan persamaan berarti menemukan banyak akarnya. Suatu persamaan mungkin mempunyai satu, dua, beberapa, banyak akar, atau tidak ada akar sama sekali.
Setiap nilai variabel yang mengubah persamaan tertentu menjadi persamaan sejati disebut akar persamaan.
Persamaan yang mempunyai akar-akar yang sama disebut persamaan ekuivalen.
Suku apa pun dalam persamaan dapat dipindahkan dari satu bagian persamaan ke bagian persamaan lainnya, sambil mengubah tanda suku tersebut menjadi kebalikannya.
Jika kedua ruas persamaan dikalikan atau dibagi dengan bilangan bukan nol yang sama, maka diperoleh persamaan yang ekuivalen dengan persamaan yang diberikan.

Contoh. Selesaikan persamaannya.

1. 1,5x+4 = 0,3x-2.

1,5x-0,3x = -2-4. Kami mengumpulkan suku-suku yang mengandung variabel di sisi kiri persamaan, dan suku-suku bebas di sisi kanan persamaan. Dalam hal ini, properti berikut digunakan:

1,2x = -6. Istilah serupa diberikan menurut aturan:

x = -6 : 1.2. Kedua sisi persamaan dibagi dengan koefisien variabel, karena

x = -5. Dibagi menurut aturan pembagian pecahan desimal dengan desimal:

Untuk membagi suatu bilangan dengan pecahan desimal, Anda perlu memindahkan koma pada pembagi dan pembagi sebanyak digit ke kanan setelah koma desimal pada pembagi, lalu membaginya dengan bilangan asli:

6 : 1,2 = 60 : 12 = 5.

Menjawab: 5.

2. 3∙ (2x-9) = 4 ∙ (x-4).

6x-27 = 4x-16. Kami membuka tanda kurung menggunakan hukum distributif perkalian relatif terhadap pengurangan: (a-b) ∙ c = sebuah ∙ c-b ∙ C.

6x-4x = -16+27. Kami mengumpulkan suku-suku yang mengandung variabel di sisi kiri persamaan, dan suku-suku bebas di sisi kanan persamaan. Dalam hal ini, properti berikut digunakan: suku apa pun dalam persamaan dapat dipindahkan dari satu bagian persamaan ke bagian persamaan lainnya, sehingga mengubah tanda suku tersebut menjadi kebalikannya.

2x = 11. Suku serupa diberikan menurut aturan: untuk membawa suku-suku serupa, Anda perlu menjumlahkan koefisiennya dan mengalikan hasil yang dihasilkan dengan bagian huruf umumnya (yaitu, menambahkan bagian huruf umumnya ke hasil yang diperoleh).

x = 11 : 2. Kedua ruas persamaan dibagi dengan koefisien variabel, karena Jika kedua ruas persamaan dikalikan atau dibagi dengan bilangan bukan nol yang sama, maka diperoleh persamaan yang ekuivalen dengan persamaan yang diberikan.

Menjawab: 5,5.

3. 7x- (3+2x)=x-9.

7x-3-2x = x-9. Kami membuka tanda kurung sesuai dengan aturan pembukaan tanda kurung yang diawali dengan tanda “-”: jika ada tanda “-” di depan tanda kurung, maka hilangkan tanda kurung tersebut, tanda “-” dan tuliskan suku-suku di dalam tanda kurung yang berlawanan tanda.

7x-2x-x = -9+3. Kami mengumpulkan suku-suku yang mengandung variabel di sisi kiri persamaan, dan suku-suku bebas di sisi kanan persamaan. Dalam hal ini, properti berikut digunakan: suku apa pun dalam persamaan dapat dipindahkan dari satu bagian persamaan ke bagian persamaan lainnya, sehingga mengubah tanda suku tersebut menjadi kebalikannya.

4x = -6. Istilah serupa diberikan menurut aturan: untuk membawa suku-suku serupa, Anda perlu menjumlahkan koefisiennya dan mengalikan hasil yang dihasilkan dengan bagian huruf umumnya (yaitu, menambahkan bagian huruf umumnya ke hasil yang diperoleh).

x = -6 : 4. Kedua ruas persamaan dibagi dengan koefisien variabelnya, karena Jika kedua ruas persamaan dikalikan atau dibagi dengan bilangan bukan nol yang sama, maka diperoleh persamaan yang ekuivalen dengan persamaan yang diberikan.

Menjawab: -1,5.

3 ∙ (x-5) = 7 ∙ 12 — 4 ∙ (2x-11). Kami mengalikan kedua ruas persamaan dengan 12 - penyebut terkecil yang sama untuk penyebut pecahan ini.

3x-15 = 84-8x+44. Kami membuka tanda kurung menggunakan hukum distributif perkalian relatif terhadap pengurangan: Untuk mengalikan selisih dua bilangan dengan bilangan ketiga, Anda dapat mengalikan minuend secara terpisah dan mengurangkan secara terpisah dengan bilangan ketiga, lalu mengurangkan hasil kedua dari hasil pertama, yaitu.(a-b) ∙ c = sebuah ∙ c-b ∙ C.

3x+8x = 84+44+15. Kami mengumpulkan suku-suku yang mengandung variabel di sisi kiri persamaan, dan suku-suku bebas di sisi kanan persamaan. Dalam hal ini, properti berikut digunakan: suku apa pun dalam persamaan dapat dipindahkan dari satu bagian persamaan ke bagian persamaan lainnya, sehingga mengubah tanda suku tersebut menjadi kebalikannya.

Sistem persamaan telah banyak digunakan dalam industri ekonomi dengan pemodelan matematika berbagai proses. Misalnya dalam memecahkan masalah manajemen dan perencanaan produksi, jalur logistik (masalah transportasi) atau penempatan peralatan.

Sistem persamaan digunakan tidak hanya dalam matematika, tetapi juga dalam fisika, kimia dan biologi, ketika memecahkan masalah untuk menemukan ukuran populasi.

Sistem persamaan linier adalah dua atau lebih persamaan dengan beberapa variabel yang memerlukan penyelesaian bersama. Suatu barisan bilangan yang semua persamaannya menjadi persamaan yang benar atau membuktikan bahwa barisan tersebut tidak ada.

Persamaan linier

Persamaan bentuk ax+by=c disebut linier. Sebutan x, y adalah yang belum diketahui yang harus dicari nilainya, b, a adalah koefisien variabel, c adalah suku bebas persamaan tersebut.
Menyelesaikan persamaan dengan memplotnya akan terlihat seperti garis lurus, yang semua titiknya merupakan solusi polinomial.

Jenis sistem persamaan linear

Contoh paling sederhana adalah sistem persamaan linier dengan dua variabel X dan Y.

F1(x, y) = 0 dan F2(x, y) = 0, dimana F1,2 adalah fungsi dan (x, y) adalah variabel fungsi.

Selesaikan sistem persamaan - ini berarti menemukan nilai (x, y) di mana sistem berubah menjadi persamaan yang sebenarnya atau menetapkannya nilai-nilai yang sesuai x dan y tidak ada.

Sepasang nilai (x, y) yang ditulis sebagai koordinat suatu titik disebut penyelesaian sistem persamaan linier.

Jika sistem mempunyai satu solusi yang sama atau tidak ada solusi, maka sistem tersebut disebut ekuivalen.

Sistem persamaan linear homogen adalah sistem bagian kanan yang sama dengan nol. Jika ruas kanan setelah tanda sama dengan mempunyai nilai atau dinyatakan dengan fungsi, maka sistem tersebut heterogen.

Jumlah variabelnya bisa lebih dari dua, maka kita harus membicarakan contoh sistem persamaan linear dengan tiga variabel atau lebih.

Ketika dihadapkan pada sistem, anak-anak sekolah berasumsi bahwa jumlah persamaan harus sama dengan jumlah persamaan yang tidak diketahui, namun kenyataannya tidak demikian. Banyaknya persamaan dalam sistem tidak bergantung pada variabelnya, bisa sebanyak yang diinginkan.

Metode sederhana dan kompleks untuk menyelesaikan sistem persamaan

Tidak ada metode analitik umum untuk menyelesaikan sistem seperti itu; semua metode didasarkan pada solusi numerik. Mata kuliah matematika sekolah menjelaskan secara rinci metode-metode seperti permutasi, penjumlahan aljabar, substitusi, serta metode grafik dan matriks, penyelesaian dengan metode Gaussian.

Tugas utama ketika mengajarkan metode solusi adalah mengajarkan cara menganalisis sistem dengan benar dan menemukan algoritma solusi optimal untuk setiap contoh. Hal utama bukanlah menghafal sistem aturan dan tindakan untuk setiap metode, tetapi memahami prinsip-prinsip penggunaan metode tertentu

Contoh penyelesaian sistem persamaan linear program kelas 7 sekolah Menengah cukup sederhana dan dijelaskan dengan sangat detail. Dalam buku teks matematika mana pun, bagian ini mendapat perhatian yang cukup. Contoh penyelesaian sistem persamaan linear dengan metode Gauss dan Cramer dipelajari lebih detail pada tahun-tahun pertama pendidikan tinggi.

Sistem penyelesaiannya menggunakan metode substitusi

Tindakan metode substitusi bertujuan untuk menyatakan nilai suatu variabel dalam variabel kedua. Ekspresi tersebut disubstitusikan ke dalam persamaan yang tersisa, kemudian direduksi menjadi bentuk dengan satu variabel. Tindakan ini diulang tergantung pada jumlah yang tidak diketahui dalam sistem

Mari kita berikan penyelesaian contoh sistem persamaan linear kelas 7 dengan menggunakan metode substitusi:

Seperti dapat dilihat dari contoh, variabel x dinyatakan melalui F(X) = 7 + Y. Ekspresi yang dihasilkan, disubstitusikan ke persamaan ke-2 sistem sebagai pengganti X, membantu memperoleh satu variabel Y di persamaan ke-2 . Larutan contoh ini tidak menimbulkan kesulitan dan memungkinkan Anda memperoleh nilai Y. Langkah terakhir Ini adalah pemeriksaan nilai yang diterima.

Tidak selalu mungkin untuk menyelesaikan contoh sistem persamaan linear dengan substitusi. Persamaannya bisa jadi rumit dan menyatakan variabel dalam bentuk variabel kedua yang tidak diketahui akan terlalu rumit untuk perhitungan lebih lanjut. Jika terdapat lebih dari 3 hal yang tidak diketahui dalam sistem, penyelesaian dengan substitusi juga tidak tepat.

Penyelesaian contoh sistem persamaan linear tak homogen:

Penyelesaiannya menggunakan penjumlahan aljabar

Saat mencari solusi sistem menggunakan metode penjumlahan, mereka melakukan penjumlahan suku demi suku dan mengalikan persamaan dengan nomor yang berbeda. Tujuan akhir dari operasi matematika adalah persamaan dalam satu variabel.

Penerapan metode ini memerlukan latihan dan observasi. Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan metode penjumlahan jika terdapat 3 variabel atau lebih tidaklah mudah. Penjumlahan aljabar mudah digunakan jika persamaan mengandung pecahan dan desimal.

Algoritma solusi:

Kalikan kedua ruas persamaan dengan angka tertentu. Sebagai akibat tindakan aritmatika salah satu koefisien variabel harus sama dengan 1.
Tambahkan ekspresi yang dihasilkan suku demi suku dan temukan salah satu yang tidak diketahui.
Substitusikan nilai yang dihasilkan ke dalam persamaan ke-2 sistem untuk mencari variabel yang tersisa.

Metode penyelesaian dengan memperkenalkan variabel baru

Variabel baru dapat diperkenalkan jika sistem memerlukan penyelesaian tidak lebih dari dua persamaan; jumlah persamaan yang tidak diketahui juga tidak boleh lebih dari dua.

Metode tersebut digunakan untuk menyederhanakan salah satu persamaan dengan memasukkan variabel baru. Persamaan baru diselesaikan untuk variabel yang tidak diketahui, dan nilai yang dihasilkan digunakan untuk menentukan variabel asli.

Contoh menunjukkan bahwa dengan memasukkan variabel baru t, persamaan pertama sistem dapat direduksi menjadi persamaan standar trinomial kuadrat. Anda dapat menyelesaikan polinomial dengan mencari diskriminannya.

Kita perlu mencari nilai diskriminan menggunakan rumus terkenal: D = b2 - 4*a*c, di mana D adalah diskriminan yang diinginkan, b, a, c adalah faktor polinomial. Pada contoh yang diberikan, a=1, b=16, c=39, maka D=100. Jika diskriminan Diatas nol, maka ada dua solusi: t = -b±√D / 2*a, jika diskriminan kurang dari nol, maka hanya ada satu solusi: x= -b / 2*a.

Solusi untuk sistem yang dihasilkan ditemukan dengan metode penjumlahan.

Metode visual untuk memecahkan sistem

Cocok untuk 3 sistem persamaan. Metodenya terdiri dari membuat grafik setiap persamaan yang termasuk dalam sistem pada sumbu koordinat. Koordinat titik potong kurva dan adalah keputusan umum sistem.

Metode grafis memiliki sejumlah nuansa. Mari kita lihat beberapa contoh penyelesaian sistem persamaan linear secara visual.

Terlihat dari contoh, untuk setiap garis dibangun dua titik, nilai variabel x dipilih secara sembarang: 0 dan 3. Berdasarkan nilai x, ditemukan nilai y: 3 dan 0. Titik-titik yang koordinatnya (0, 3) dan (3, 0) ditandai pada grafik dan dihubungkan dengan sebuah garis.

Langkah-langkah tersebut harus diulangi untuk persamaan kedua. Titik potong garis tersebut merupakan penyelesaian sistem.

Contoh berikut memerlukan pencarian solusi grafis untuk sistem persamaan linier: 0,5x-y+2=0 dan 0,5x-y-1=0.

Seperti dapat dilihat dari contoh, sistem tidak mempunyai solusi karena grafik-grafiknya sejajar dan tidak berpotongan sepanjang keseluruhannya.

Sistem dari contoh 2 dan 3 serupa, tetapi ketika dibangun menjadi jelas bahwa solusinya berbeda. Harus diingat bahwa tidak selalu mungkin untuk mengatakan apakah suatu sistem mempunyai solusi atau tidak; selalu perlu untuk membuat grafik.

Matriks dan ragamnya

Matriks digunakan untuk catatan pendek sistem persamaan linear. Matriks adalah tabel tipe khusus diisi dengan angka. n*m memiliki n - baris dan m - kolom.

Suatu matriks berbentuk persegi jika jumlah kolom dan barisnya sama. Matriks-vektor adalah matriks yang mempunyai satu kolom dengan jumlah baris yang mungkin tak terhingga. Matriks yang mempunyai elemen nol pada salah satu diagonalnya dan elemen nol lainnya disebut identitas.

Matriks invers adalah matriks yang jika dikalikan matriks aslinya berubah menjadi matriks satuan; matriks seperti itu hanya ada untuk matriks persegi aslinya.

Aturan untuk mengubah sistem persamaan menjadi matriks

Sehubungan dengan sistem persamaan, koefisien dan suku bebas persamaan ditulis sebagai bilangan matriks; satu persamaan adalah satu baris matriks.

Suatu baris matriks dikatakan bukan nol jika paling sedikit salah satu elemen baris tersebut tidak nol. Oleh karena itu, jika dalam salah satu persamaan jumlah variabelnya berbeda, maka nol harus dimasukkan sebagai pengganti variabel yang tidak diketahui.

Kolom matriks harus benar-benar sesuai dengan variabel. Artinya koefisien variabel x hanya dapat ditulis pada satu kolom, misalnya kolom pertama, koefisien y yang tidak diketahui - hanya pada kolom kedua.

Saat mengalikan suatu matriks, semua elemen matriks dikalikan secara berurutan dengan suatu bilangan.

Pilihan untuk mencari matriks invers

Rumus mencari matriks invers cukup sederhana: K -1 = 1 / |K|, dimana K -1 - matriks terbalik, dan |K| adalah determinan matriks. |K| tidak boleh sama dengan nol, maka sistem mempunyai solusi.

Penentunya mudah dihitung untuk matriks dua-dua; Anda hanya perlu mengalikan elemen diagonalnya dengan satu sama lain. Untuk pilihan “tiga kali tiga” terdapat rumus |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Anda dapat menggunakan rumus, atau Anda dapat mengingat bahwa Anda perlu mengambil satu elemen dari setiap baris dan setiap kolom agar jumlah kolom dan baris elemen tidak terulang dalam pekerjaan.

Penyelesaian contoh sistem persamaan linear dengan menggunakan metode matriks

Metode matriks untuk menemukan solusi memungkinkan Anda mengurangi entri yang rumit saat menyelesaikan sistem dengan sejumlah besar variabel dan persamaan.

Pada contoh, a nm adalah koefisien persamaan, matriksnya adalah vektor x n adalah variabel, dan b n adalah suku bebas.

Penyelesaian sistem menggunakan metode Gaussian

DI DALAM matematika yang lebih tinggi Metode Gaussian dipelajari bersama dengan metode Cramer, dan proses pencarian solusi sistem disebut metode solusi Gauss-Cramer. Metode ini digunakan untuk mencari variabel sistem dengan jumlah persamaan linier yang banyak.

Metode Gauss sangat mirip dengan penyelesaian dengan substitusi dan penjumlahan aljabar, namun lebih sistematis. Dalam pembelajaran sekolah, penyelesaian dengan metode Gaussian digunakan untuk sistem persamaan 3 dan 4. Tujuan dari metode ini adalah untuk mereduksi sistem menjadi bentuk trapesium terbalik. Melalui transformasi aljabar dan substitusi, nilai satu variabel ditemukan dalam salah satu persamaan sistem. Persamaan kedua adalah ekspresi dengan 2 variabel yang tidak diketahui, sedangkan 3 dan 4 masing-masing memiliki 3 dan 4 variabel.

Setelah membawa sistem ke bentuk yang dijelaskan, solusi selanjutnya direduksi menjadi substitusi berurutan dari variabel-variabel yang diketahui ke dalam persamaan sistem.

Dalam buku pelajaran sekolah kelas 7, contoh penyelesaian dengan metode Gauss dijelaskan sebagai berikut:

Seperti terlihat dari contoh, pada langkah (3) diperoleh dua persamaan: 3x 3 -2x 4 =11 dan 3x 3 +2x 4 =7. Menyelesaikan salah satu persamaan akan memungkinkan Anda menemukan salah satu variabel x n.

Teorema 5 yang disebutkan dalam teks menyatakan bahwa jika salah satu persamaan sistem diganti dengan persamaan ekuivalen, maka sistem yang dihasilkan juga ekuivalen dengan persamaan aslinya.

Metode Gauss sulit dipahami siswa sekolah menengah atas, tapi merupakan salah satu yang paling banyak cara yang menarik untuk mengembangkan kecerdikan anak-anak yang belajar di bawah program ini studi mendalam di kelas matematika dan fisika.

Untuk memudahkan pencatatan, perhitungan biasanya dilakukan sebagai berikut:

Koefisien persamaan dan suku bebas ditulis dalam bentuk matriks, dimana setiap baris matriks tersebut sesuai dengan salah satu persamaan sistem. memisahkan ruas kiri persamaan dari ruas kanan. Angka romawi menunjukkan banyaknya persamaan dalam sistem.

Pertama, tuliskan matriks yang akan dikerjakan, kemudian semua tindakan dilakukan dengan salah satu baris. Matriks yang dihasilkan ditulis setelah tanda "panah" dan operasi aljabar yang diperlukan dilanjutkan hingga hasilnya tercapai.

Hasilnya harus berupa matriks yang salah satu diagonalnya sama dengan 1, dan semua koefisien lainnya sama dengan nol, yaitu matriks direduksi menjadi bentuk satuan. Kita tidak boleh lupa melakukan perhitungan dengan angka di kedua sisi persamaan.

Metode pencatatan ini tidak terlalu rumit dan memungkinkan Anda untuk tidak terganggu dengan membuat daftar banyak hal yang tidak diketahui.

Penggunaan metode solusi apa pun secara gratis akan memerlukan kehati-hatian dan pengalaman. Tidak semua metode bersifat terapan. Beberapa metode untuk menemukan solusi lebih disukai dalam bidang aktivitas manusia tertentu, sementara yang lain ada untuk tujuan pendidikan.