Persamaan linier: rumus dan contoh. Ketimpangan dan solusinya

Sistem persamaan linier adalah gabungan dari n persamaan linier yang masing-masing berisi k variabel. Ada tertulis seperti ini:

Banyak orang, ketika pertama kali menemukan aljabar yang lebih tinggi, secara keliru percaya bahwa jumlah persamaan harus sama dengan jumlah variabel. Dalam aljabar sekolah hal ini biasanya terjadi, tetapi untuk aljabar yang lebih tinggi hal ini umumnya tidak benar.

Penyelesaian suatu sistem persamaan adalah barisan bilangan (k 1, k 2, ..., k n) yang merupakan penyelesaian setiap persamaan sistem tersebut, yaitu. ketika mensubstitusikan ke persamaan ini sebagai ganti variabel x 1, x 2, ..., x n memberikan persamaan numerik yang benar.

Oleh karena itu, menyelesaikan sistem persamaan berarti menemukan himpunan semua solusinya atau membuktikan bahwa himpunan tersebut kosong. Karena jumlah persamaan dan jumlah persamaan yang tidak diketahui mungkin tidak sama, ada tiga kasus yang mungkin terjadi:

Sistemnya tidak konsisten, mis. himpunan semua solusi kosong. Kasus yang agak jarang terjadi yang mudah dideteksi tidak peduli metode apa yang digunakan untuk menyelesaikan sistem.
Sistemnya konsisten dan ditentukan, yaitu. memiliki tepat satu solusi. Versi klasik, terkenal sejak masa sekolah.
Sistem ini konsisten dan tidak terdefinisi, mis. memiliki banyak solusi yang tak terhingga. Ini adalah pilihan tersulit. Tidaklah cukup untuk menunjukkan bahwa “sistem memiliki himpunan solusi yang tak terbatas” - kita perlu menjelaskan bagaimana himpunan ini disusun.

Suatu variabel x i disebut diperbolehkan jika hanya termasuk dalam satu persamaan sistem, dan memiliki koefisien 1. Dengan kata lain, pada persamaan lain koefisien variabel x i harus sama dengan nol.

Jika kita memilih satu variabel yang diperbolehkan dalam setiap persamaan, kita memperoleh sekumpulan variabel yang diperbolehkan untuk keseluruhan sistem persamaan. Sistem itu sendiri, yang ditulis dalam bentuk ini, juga akan disebut terselesaikan. Secara umum, satu sistem asli yang sama dapat direduksi menjadi sistem berbeda yang diizinkan, tetapi untuk saat ini kami tidak mempermasalahkan hal ini. Berikut adalah contoh sistem yang diizinkan:

Kedua sistem diselesaikan terhadap variabel x 1 , x 3 dan x 4 . Namun, dengan keberhasilan yang sama dapat dikatakan bahwa sistem kedua diselesaikan terhadap x 1, x 3 dan x 5. Cukup dengan menulis ulang persamaan terakhir dalam bentuk x 5 = x 4.

Sekarang mari kita pertimbangkan kasus yang lebih umum. Misalkan kita mempunyai total k variabel, yang mana r diperbolehkan. Maka ada dua kasus yang mungkin terjadi:

Banyaknya variabel yang diperbolehkan r sama dengan jumlah total variabel k: r = k. Kami memperoleh sistem persamaan k di mana r = k variabel yang diperbolehkan. Sistem seperti itu bersifat bersama dan pasti, karena x 1 = b 1, x 2 = b 2, ..., xk = bk;
Jumlah variabel yang diperbolehkan r lebih sedikit jumlah total variabel k : r< k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.

Jadi, pada sistem di atas, variabel x 2, x 5, x 6 (untuk sistem pertama) dan x 2, x 5 (untuk sistem kedua) adalah bebas. Kasus ketika ada variabel bebas lebih baik dirumuskan sebagai teorema:

Harap dicatat: ini sangat poin penting! Bergantung pada cara Anda menulis sistem yang dihasilkan, variabel yang sama dapat diizinkan atau bebas. Kebanyakan tutor matematika yang lebih tinggi Disarankan untuk menuliskan variabel dalam urutan leksikografis, mis. indeks menaik. Namun, Anda tidak berkewajiban untuk mengikuti saran ini.

Dalil. Jika dalam sistem n persamaan variabel x 1, x 2, ..., x r diperbolehkan, dan x r + 1, x r + 2, ..., x k bebas, maka:

Jika kita menetapkan nilai variabel bebas (x r + 1 = t r + 1, x r + 2 = t r + 2, ..., x k = t k), lalu mencari nilai x 1, x 2, ..., x r, kita mendapatkan salah satu keputusan.

Jika dalam dua penyelesaian nilai variabel bebasnya sama, maka nilai variabel yang diperbolehkan juga sama, yaitu. penyelesaiannya sama.

Apa arti dari teorema ini? Untuk mendapatkan semua solusi sistem persamaan terselesaikan, cukup dengan mengisolasi variabel bebas. Kemudian, menugaskan ke variabel bebas arti yang berbeda, kami akan menerima solusi siap pakai. Itu saja - dengan cara ini Anda bisa mendapatkan semua solusi sistem. Tidak ada solusi lain.

Kesimpulan: sistem persamaan yang diselesaikan selalu konsisten. Jika jumlah persamaan dalam suatu sistem yang terselesaikan sama dengan jumlah variabelnya, maka sistem tersebut pasti; jika lebih kecil, maka sistem tersebut tidak tentu.

Dan semuanya akan baik-baik saja, tetapi muncul pertanyaan: bagaimana cara mendapatkan penyelesaian dari sistem persamaan asli? Untuk ini ada

Sistem persamaan telah banyak digunakan dalam industri ekonomi dengan pemodelan matematika berbagai proses. Misalnya dalam memecahkan masalah manajemen dan perencanaan produksi, jalur logistik (masalah transportasi) atau penempatan peralatan.

Sistem persamaan digunakan tidak hanya dalam matematika, tetapi juga dalam fisika, kimia dan biologi, ketika memecahkan masalah untuk menemukan ukuran populasi.

Sistem persamaan linier adalah dua atau lebih persamaan dengan beberapa variabel yang memerlukan penyelesaian bersama. Suatu barisan bilangan yang semua persamaannya menjadi persamaan yang benar atau membuktikan bahwa barisan tersebut tidak ada.

Persamaan linier

Persamaan bentuk ax+by=c disebut linier. Sebutan x, y adalah yang belum diketahui yang harus dicari nilainya, b, a adalah koefisien variabel, c adalah suku bebas persamaan tersebut.
Menyelesaikan persamaan dengan memplotnya akan terlihat seperti garis lurus, yang semua titiknya merupakan solusi polinomial.

Jenis sistem persamaan linear

Contoh paling sederhana adalah sistem persamaan linier dengan dua variabel X dan Y.

F1(x, y) = 0 dan F2(x, y) = 0, dimana F1,2 adalah fungsi dan (x, y) adalah variabel fungsi.

Selesaikan sistem persamaan - ini berarti menemukan nilai (x, y) di mana sistem berubah menjadi persamaan yang sebenarnya atau menetapkannya nilai-nilai yang sesuai x dan y tidak ada.

Sepasang nilai (x, y) yang ditulis sebagai koordinat suatu titik disebut penyelesaian sistem persamaan linier.

Jika sistem mempunyai satu solusi yang sama atau tidak ada solusi, maka sistem tersebut disebut ekuivalen.

Sistem persamaan linier homogen adalah sistem yang ruas kanannya sama dengan nol. Jika ruas kanan setelah tanda sama dengan mempunyai nilai atau dinyatakan dengan fungsi, maka sistem tersebut heterogen.

Jumlah variabelnya bisa lebih dari dua, maka kita harus membicarakan contoh sistem persamaan linear dengan tiga variabel atau lebih.

Ketika dihadapkan pada sistem, anak-anak sekolah berasumsi bahwa jumlah persamaan harus sama dengan jumlah persamaan yang tidak diketahui, namun kenyataannya tidak demikian. Banyaknya persamaan dalam sistem tidak bergantung pada variabelnya, bisa sebanyak yang diinginkan.

Metode sederhana dan kompleks untuk menyelesaikan sistem persamaan

Tidak ada metode analitik umum untuk menyelesaikan sistem seperti itu; semua metode didasarkan pada solusi numerik. Mata kuliah matematika sekolah menjelaskan secara rinci metode-metode seperti permutasi, penjumlahan aljabar, substitusi, serta metode grafik dan matriks, penyelesaian dengan metode Gaussian.

Tugas utama ketika mengajarkan metode solusi adalah mengajarkan cara menganalisis sistem dengan benar dan menemukan algoritma solusi optimal untuk setiap contoh. Hal utama bukanlah menghafal sistem aturan dan tindakan untuk setiap metode, tetapi memahami prinsip-prinsip penggunaan metode tertentu

Contoh penyelesaian sistem persamaan linear program kelas 7 sekolah Menengah cukup sederhana dan dijelaskan dengan sangat detail. Dalam buku teks matematika mana pun, bagian ini mendapat perhatian yang cukup. Contoh penyelesaian sistem persamaan linear dengan metode Gauss dan Cramer dipelajari lebih detail pada tahun-tahun pertama pendidikan tinggi.

Sistem penyelesaiannya menggunakan metode substitusi

Tindakan metode substitusi bertujuan untuk menyatakan nilai suatu variabel dalam variabel kedua. Ekspresi tersebut disubstitusikan ke dalam persamaan yang tersisa, kemudian direduksi menjadi bentuk dengan satu variabel. Tindakan ini diulang tergantung pada jumlah yang tidak diketahui dalam sistem

Mari kita berikan penyelesaian contoh sistem persamaan linear kelas 7 dengan menggunakan metode substitusi:

Seperti dapat dilihat dari contoh, variabel x dinyatakan melalui F(X) = 7 + Y. Ekspresi yang dihasilkan, disubstitusikan ke persamaan ke-2 sistem sebagai pengganti X, membantu memperoleh satu variabel Y di persamaan ke-2 . Larutan contoh ini tidak menimbulkan kesulitan dan memungkinkan Anda memperoleh nilai Y. Langkah terakhir Ini adalah pemeriksaan nilai yang diterima.

Tidak selalu mungkin untuk menyelesaikan contoh sistem persamaan linear dengan substitusi. Persamaannya bisa jadi rumit dan menyatakan variabel dalam bentuk variabel kedua yang tidak diketahui akan terlalu rumit untuk perhitungan lebih lanjut. Jika terdapat lebih dari 3 hal yang tidak diketahui dalam sistem, penyelesaian dengan substitusi juga tidak tepat.

Penyelesaian contoh sistem persamaan linear tak homogen:

Penyelesaiannya menggunakan penjumlahan aljabar

Saat mencari solusi sistem menggunakan metode penjumlahan, mereka melakukan penjumlahan suku demi suku dan mengalikan persamaan dengan nomor yang berbeda. Tujuan akhir dari operasi matematika adalah persamaan dalam satu variabel.

Penerapan metode ini memerlukan latihan dan observasi. Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan metode penjumlahan jika terdapat 3 variabel atau lebih tidaklah mudah. Penjumlahan aljabar mudah digunakan jika persamaan mengandung pecahan dan desimal.

Algoritma solusi:

Kalikan kedua ruas persamaan dengan angka tertentu. Sebagai akibat tindakan aritmatika salah satu koefisien variabel harus sama dengan 1.
Tambahkan ekspresi yang dihasilkan suku demi suku dan temukan salah satu yang tidak diketahui.
Substitusikan nilai yang dihasilkan ke dalam persamaan ke-2 sistem untuk mencari variabel yang tersisa.

Metode penyelesaian dengan memperkenalkan variabel baru

Variabel baru dapat diperkenalkan jika sistem memerlukan penyelesaian tidak lebih dari dua persamaan; jumlah persamaan yang tidak diketahui juga tidak boleh lebih dari dua.

Metode tersebut digunakan untuk menyederhanakan salah satu persamaan dengan memasukkan variabel baru. Persamaan baru diselesaikan untuk variabel yang tidak diketahui, dan nilai yang dihasilkan digunakan untuk menentukan variabel asli.

Contoh menunjukkan bahwa dengan memasukkan variabel baru t, persamaan pertama sistem dapat direduksi menjadi persamaan standar trinomial kuadrat. Anda dapat menyelesaikan polinomial dengan mencari diskriminannya.

Kita perlu mencari nilai diskriminan menggunakan rumus terkenal: D = b2 - 4*a*c, di mana D adalah diskriminan yang diinginkan, b, a, c adalah faktor polinomial. Pada contoh yang diberikan, a=1, b=16, c=39, maka D=100. Jika diskriminan Diatas nol, maka ada dua solusi: t = -b±√D / 2*a, jika diskriminan kurang dari nol, maka hanya ada satu solusi: x= -b / 2*a.

Solusi untuk sistem yang dihasilkan ditemukan dengan metode penjumlahan.

Metode visual untuk memecahkan sistem

Cocok untuk 3 sistem persamaan. Metodenya terdiri dari membuat grafik setiap persamaan yang termasuk dalam sistem pada sumbu koordinat. Koordinat titik potong kurva dan adalah keputusan umum sistem.

Metode grafis memiliki sejumlah nuansa. Mari kita lihat beberapa contoh penyelesaian sistem persamaan linear secara visual.

Terlihat dari contoh, untuk setiap garis dibangun dua titik, nilai variabel x dipilih secara sembarang: 0 dan 3. Berdasarkan nilai x, ditemukan nilai y: 3 dan 0. Titik-titik yang koordinatnya (0, 3) dan (3, 0) ditandai pada grafik dan dihubungkan dengan sebuah garis.

Langkah-langkah tersebut harus diulangi untuk persamaan kedua. Titik potong garis tersebut merupakan penyelesaian sistem.

Contoh berikut memerlukan pencarian solusi grafis untuk sistem persamaan linier: 0,5x-y+2=0 dan 0,5x-y-1=0.

Seperti dapat dilihat dari contoh, sistem tidak mempunyai solusi karena grafik-grafiknya sejajar dan tidak berpotongan sepanjang keseluruhannya.

Sistem dari contoh 2 dan 3 serupa, tetapi ketika dibangun menjadi jelas bahwa solusinya berbeda. Harus diingat bahwa tidak selalu mungkin untuk mengatakan apakah suatu sistem mempunyai solusi atau tidak; selalu perlu untuk membuat grafik.

Matriks dan ragamnya

Matriks digunakan untuk catatan pendek sistem persamaan linear. Matriks adalah tabel tipe khusus diisi dengan angka. n*m memiliki n - baris dan m - kolom.

Suatu matriks berbentuk persegi jika jumlah kolom dan barisnya sama. Matriks-vektor adalah matriks yang mempunyai satu kolom dengan jumlah baris yang mungkin tak terhingga. Matriks yang mempunyai elemen nol pada salah satu diagonalnya dan elemen nol lainnya disebut identitas.

Matriks invers adalah matriks yang jika dikalikan matriks aslinya berubah menjadi matriks satuan; matriks seperti itu hanya ada untuk matriks persegi aslinya.

Aturan untuk mengubah sistem persamaan menjadi matriks

Sehubungan dengan sistem persamaan, koefisien dan suku bebas persamaan ditulis sebagai bilangan matriks; satu persamaan adalah satu baris matriks.

Suatu baris matriks dikatakan bukan nol jika paling sedikit salah satu elemen baris tersebut tidak nol. Oleh karena itu, jika dalam salah satu persamaan jumlah variabelnya berbeda, maka nol harus dimasukkan sebagai pengganti variabel yang tidak diketahui.

Kolom matriks harus benar-benar sesuai dengan variabel. Artinya koefisien variabel x hanya dapat ditulis pada satu kolom, misalnya kolom pertama, koefisien y yang tidak diketahui - hanya pada kolom kedua.

Saat mengalikan suatu matriks, semua elemen matriks dikalikan secara berurutan dengan suatu bilangan.

Pilihan untuk mencari matriks invers

Rumus mencari matriks invers cukup sederhana: K -1 = 1 / |K|, dimana K -1 - matriks terbalik, dan |K| adalah determinan matriks. |K| tidak boleh sama dengan nol, maka sistem mempunyai solusi.

Penentunya mudah dihitung untuk matriks dua-dua; Anda hanya perlu mengalikan elemen diagonalnya dengan satu sama lain. Untuk pilihan “tiga kali tiga” terdapat rumus |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Anda dapat menggunakan rumus, atau Anda dapat mengingat bahwa Anda perlu mengambil satu elemen dari setiap baris dan setiap kolom agar jumlah kolom dan baris elemen tidak terulang dalam pekerjaan.

Penyelesaian contoh sistem persamaan linear dengan menggunakan metode matriks

Metode matriks untuk menemukan solusi memungkinkan Anda mengurangi entri yang rumit saat menyelesaikan sistem dengan sejumlah besar variabel dan persamaan.

Pada contoh, a nm adalah koefisien persamaan, matriksnya adalah vektor x n adalah variabel, dan b n adalah suku bebas.

Penyelesaian sistem menggunakan metode Gaussian

Dalam matematika tingkat tinggi, metode Gaussian dipelajari bersama dengan metode Cramer, dan proses pencarian solusi sistem disebut metode solusi Gauss-Cramer. Metode ini digunakan untuk mencari variabel sistem dengan jumlah persamaan linier yang banyak.

Metode Gauss sangat mirip dengan penyelesaian dengan substitusi dan penjumlahan aljabar, namun lebih sistematis. Dalam pembelajaran sekolah, penyelesaian dengan metode Gaussian digunakan untuk sistem persamaan 3 dan 4. Tujuan dari metode ini adalah untuk mereduksi sistem menjadi bentuk trapesium terbalik. Melalui transformasi aljabar dan substitusi, nilai satu variabel ditemukan dalam salah satu persamaan sistem. Persamaan kedua adalah ekspresi dengan 2 variabel yang tidak diketahui, sedangkan 3 dan 4 masing-masing memiliki 3 dan 4 variabel.

Setelah membawa sistem ke bentuk yang dijelaskan, solusi selanjutnya direduksi menjadi substitusi berurutan dari variabel-variabel yang diketahui ke dalam persamaan sistem.

Dalam buku pelajaran sekolah kelas 7, contoh penyelesaian dengan metode Gauss dijelaskan sebagai berikut:

Seperti terlihat dari contoh, pada langkah (3) diperoleh dua persamaan: 3x 3 -2x 4 =11 dan 3x 3 +2x 4 =7. Menyelesaikan salah satu persamaan akan memungkinkan Anda menemukan salah satu variabel x n.

Teorema 5 yang disebutkan dalam teks menyatakan bahwa jika salah satu persamaan sistem diganti dengan persamaan ekuivalen, maka sistem yang dihasilkan juga ekuivalen dengan persamaan aslinya.

Metode Gauss sulit dipahami siswa sekolah menengah atas, tapi merupakan salah satu yang paling banyak cara yang menarik untuk mengembangkan kecerdikan anak-anak yang belajar di bawah program ini studi mendalam di kelas matematika dan fisika.

Untuk memudahkan pencatatan, perhitungan biasanya dilakukan sebagai berikut:

Koefisien persamaan dan suku bebas ditulis dalam bentuk matriks, dimana setiap baris matriks tersebut sesuai dengan salah satu persamaan sistem. memisahkan ruas kiri persamaan dari ruas kanan. Angka romawi menunjukkan banyaknya persamaan dalam sistem.

Pertama, tuliskan matriks yang akan dikerjakan, kemudian semua tindakan dilakukan dengan salah satu baris. Matriks yang dihasilkan ditulis setelah tanda "panah" dan operasi aljabar yang diperlukan dilanjutkan hingga hasilnya tercapai.

Hasilnya harus berupa matriks yang salah satu diagonalnya sama dengan 1, dan semua koefisien lainnya sama dengan nol, yaitu matriks direduksi menjadi bentuk satuan. Kita tidak boleh lupa melakukan perhitungan dengan angka di kedua sisi persamaan.

Metode pencatatan ini tidak terlalu rumit dan memungkinkan Anda untuk tidak terganggu dengan membuat daftar banyak hal yang tidak diketahui.

Penggunaan metode solusi apa pun secara gratis akan memerlukan kehati-hatian dan pengalaman. Tidak semua metode bersifat terapan. Beberapa metode untuk menemukan solusi lebih disukai dalam bidang aktivitas manusia tertentu, sementara yang lain ada untuk tujuan pendidikan.

Saat menyelesaikan persamaan linier, kita berusaha mencari akarnya, yaitu nilai variabel yang akan mengubah persamaan tersebut menjadi persamaan yang benar.

Untuk menemukan akar persamaan yang Anda butuhkan transformasi ekuivalen membawa persamaan yang diberikan kepada kita ke dalam bentuk

\(x=[angka]\)

Angka ini akan menjadi akarnya.

Artinya, kita mengubah persamaan tersebut, membuatnya lebih sederhana di setiap langkah, hingga kita mereduksinya menjadi persamaan yang sepenuhnya primitif “x = bilangan”, yang akarnya jelas. Transformasi yang paling sering digunakan ketika menyelesaikan persamaan linear adalah sebagai berikut:

Misalnya: tambahkan \(5\) ke kedua ruas persamaan \(6x-5=1\)

\(6x-5=1\) \(|+5\)
\(6x-5+5=1+5\)
\(6x=6\)

Perlu diingat bahwa kita bisa mendapatkan hasil yang sama lebih cepat hanya dengan menuliskan angka lima di sisi lain persamaan dan mengubah tandanya. Sebenarnya, begitulah cara sekolah “memindahkan persamaan dengan perubahan tanda ke kebalikannya”.

2. Mengalikan atau membagi kedua ruas persamaan dengan bilangan atau persamaan yang sama.

Misalnya: membagi persamaan \(-2x=8\) dengan dikurangi dua

\(-2x=8\) \(|:(-2)\)
\(x=-4\)

Biasanya langkah ini dilakukan di akhir, saat persamaan telah direduksi menjadi bentuk \(ax=b\), dan kita bagi dengan \(a\) untuk menghilangkannya dari kiri.

3. Menggunakan sifat-sifat dan hukum matematika: membuka tanda kurung, membawa suku-suku sejenis, mereduksi pecahan, dan lain-lain.

Tambahkan \(2x\) kiri dan kanan

Kurangi \(24\) dari kedua ruas persamaan

Kami menghadirkan istilah serupa lagi

Sekarang kita bagi persamaannya dengan \(-3\), sehingga menghilangkan bagian depan X di ruas kiri.

Menjawab : \(7\)

Jawabannya telah ditemukan. Namun, mari kita periksa. Jika tujuh benar-benar sebuah akar, maka menggantinya dengan X ke dalam persamaan awal akan menghasilkan persamaan yang benar - nomor yang sama kiri dan kanan. Mari mencoba.

Penyelidikan:
\(6(4-7)+7=3-2\cdot7\)
\(6\cdot(-3)+7=3-14\)
\(-18+7=-11\)
\(-11=-11\)

Itu berhasil. Artinya tujuh memang merupakan akar persamaan linier aslinya.

Jangan malas untuk memeriksa jawaban yang Anda temukan secara substitusi, terutama jika Anda sedang menyelesaikan suatu persamaan pada suatu ulangan atau ujian.

Pertanyaannya tetap - bagaimana menentukan apa yang harus dilakukan dengan persamaan tersebut pada langkah selanjutnya? Bagaimana tepatnya cara mengubahnya? Bagilah dengan sesuatu? Atau kurangi? Dan apa sebenarnya yang harus saya kurangi? Bagilah dengan apa?

Jawabannya sederhana:

Tujuan Anda adalah membuat persamaan tersebut menjadi \(x=[bilangan]\), yaitu di sebelah kiri adalah x tanpa koefisien dan bilangan, dan di sebelah kanan hanya berupa bilangan tanpa variabel. Oleh karena itu, lihatlah apa yang menghentikan Anda dan lakukan kebalikan dari apa yang dilakukan komponen pengganggu.

Untuk lebih memahaminya, mari kita lihat penyelesaian persamaan linier \(x+3=13-4x\) langkah demi langkah.

Mari kita pikirkan: apa perbedaan persamaan ini dengan \(x=[angka]\)? Apa yang menghentikan kita? Apa yang salah?

Pertama, ketiganya mengganggu, karena di sebelah kiri seharusnya hanya ada satu X, tanpa angka. Apa yang “dilakukan” troika? Ditambahkan ke X. Jadi, untuk menghapusnya - mengurangi tiga yang sama. Tetapi jika kita mengurangi tiga dari kiri, kita harus menguranginya dari kanan agar persamaannya tidak dilanggar.

\(x+3=13-4x\) \(|-3\)
\(x+3-3=13-4x-3\)
\(x=10-4x\)

Bagus. Sekarang apa yang menghentikanmu? \(4x\) di sebelah kanan, karena seharusnya hanya ada angka di sana. \(4x\) dikurangi- kami menghapus dengan menambahkan.

\(x=10-4x\) \(|+4x\)
\(x+4x=10-4x+4x\)

Sekarang kami menyajikan istilah serupa di kiri dan kanan.

Ini hampir siap. Yang tersisa hanyalah menghapus lima di sebelah kiri. Apa yang dia lakukan"? Berkembang biak pada x. Jadi mari kita hapus divisi.

\(5x=10\) \(|:5\)
\(\frac(5x)(5)\) \(=\)\(\frac(10)(5)\)
\(x=2\)

Penyelesaiannya selesai, akar persamaannya adalah dua. Anda dapat memeriksanya dengan substitusi.

perhatikan itu paling sering hanya ada satu akar dalam persamaan linear. Namun, ada dua kasus khusus yang mungkin terjadi.

Kasus khusus 1 – tidak ada akar dalam persamaan linier.

Contoh . Selesaikan persamaan \(3x-1=2(x+3)+x\)

Larutan :

Menjawab : tidak ada akar.

Faktanya, fakta bahwa kita akan mencapai hasil seperti itu sudah terlihat sebelumnya, bahkan ketika kita menerima \(3x-1=3x+6\). Coba pikirkan: bagaimana mungkin \(3x\) yang kita kurangi \(1\), dan \(3x\) yang kita tambahkan \(6\) bisa sama? Jelas tidak mungkin, karena mereka melakukan hal yang sama tindakan yang berbeda! Yang jelas, hasilnya akan berbeda-beda.

Kasus khusus 2 – persamaan linier memiliki jumlah akar yang tak terhingga.

Contoh . Selesaikan persamaan linear \(8(x+2)-4=12x-4(x-3)\)

Larutan :

Menjawab : nomor berapa pun.

Omong-omong, hal ini sudah terlihat lebih awal, pada tahap: \(8x+12=8x+12\). Memang kiri dan kanan adalah ekspresi yang sama. Berapa pun X yang Anda substitusikan, angkanya akan sama di sana dan di sana.

Persamaan linier yang lebih kompleks.

Persamaan awal tidak selalu langsung tampak linier; kadang-kadang “disamarkan” dengan persamaan lain yang lebih besar persamaan kompleks. Namun, dalam proses transformasi, penyamaran tersebut menghilang.

Contoh . Temukan akar persamaan \(2x^(2)-(x-4)^(2)=(3+x)^(2)-15\)

Larutan :

\(2x^(2)-(x-4)^(2)=(3+x)^(2)-15\)		Tampaknya ada x kuadrat di sini - ini bukan persamaan linier! Tapi jangan terburu-buru. Ayo melamar
\(2x^(2)-(x^(2)-8x+16)=9+6x+x^(2)-15\)		Mengapa hasil perluasan \((x-4)^(2)\) ada di dalam tanda kurung, tetapi hasil \((3+x)^(2)\) tidak? Karena ada tanda minus di depan kotak pertama, yang akan mengubah semua tandanya. Dan agar tidak melupakan hal ini, kita ambil hasilnya dalam tanda kurung, yang sekarang kita buka.
\(2x^(2)-x^(2)+8x-16=9+6x+x^(2)-15\)		Kami menyajikan istilah serupa
\(x^(2)+8x-16=x^(2)+6x-6\)
\(x^(2)-x^(2)+8x-6x=-6+16\)		Kami hadirkan lagi yang serupa.
		Seperti ini. Ternyata persamaan aslinya cukup linier, dan X kuadrat tidak lebih dari sebuah layar yang membingungkan kita. :) Kita selesaikan penyelesaiannya dengan membagi persamaannya dengan \(2\), dan kita mendapatkan jawabannya.

Menjawab : \(x=5\)

Contoh . Menyelesaikan persamaan linier \(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6 )\)

Larutan :

\(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6)\)		Persamaannya tidak terlihat linier, itu semacam pecahan... Namun, mari kita hilangkan penyebutnya dengan mengalikan kedua ruas persamaan dengan penyebut yang sama - enam
\(6\cdot\)\((\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3))\) \(=\) \(\frac( 9+7x)(6)\) \(\cdot 6\)		Perluas braket di sebelah kiri
\(6\cdot\)\(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(6\cdot\)\(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6)\) \(\cdot 6\)		Sekarang mari kita kurangi penyebutnya
\(3(x+2)-2=9+7x\)		Sekarang terlihat seperti linier biasa! Ayo selesaikan.
		Dengan menerjemahkan persamaan, kita mengumpulkan X di sebelah kanan dan angka di sebelah kiri

		Nah, membagi ruas kanan dan kiri dengan \(-4\), kita mendapatkan jawabannya

Menjawab : \(x=-1,25\)

Pada artikel ini kita akan membahas prinsip penyelesaian persamaan seperti persamaan linier. Mari kita tuliskan definisi persamaan ini dan himpunannya bentuk umum. Kami akan menganalisis semua kondisi untuk menemukan solusi persamaan linear, antara lain dengan menggunakan contoh-contoh praktis.

Perlu diketahui bahwa materi di bawah ini berisi informasi tentang persamaan linear satu variabel. Persamaan linier dua variabel dibahas pada artikel tersendiri.

Yandex.RTB RA-339285-1

Apa itu persamaan linier

Definisi 1

Persamaan linier adalah persamaan yang ditulis sebagai berikut:
a x = b, Di mana X- variabel, A Dan B- beberapa nomor.

Rumusan ini digunakan dalam buku teks aljabar (kelas 7) oleh Yu.N. Makarychev.

Contoh 1

Contoh persamaan linear adalah:

3x = 11(persamaan dengan satu variabel X pada sebuah = 5 Dan b = 10);

− 3 , 1 tahun = 0 ( persamaan linier dengan variabel kamu, Di mana sebuah = - 3, 1 Dan b = 0);

x = − 4 Dan − x = 5,37(persamaan linier, dimana bilangan A ditulis secara eksplisit dan masing-masing sama dengan 1 dan - 1. Untuk persamaan pertama b = - 4 ; untuk kedua - b = 5,37) dan seterusnya.

Cuek materi pendidikan Mungkin ada definisi yang berbeda. Misalnya, Vilenkin N.Ya. Persamaan linier juga mencakup persamaan-persamaan yang dapat diubah ke dalam bentuk a x = b dengan memindahkan suku-suku dari satu bagian ke bagian lain dengan perubahan tanda dan membawa suku-suku yang sejenis. Jika kita mengikuti interpretasi ini, persamaannya 5 x = 2 x + 6 – juga linier.

Tapi buku teks aljabar (kelas 7) oleh Mordkovich A.G. memberikan uraian berikut:

Definisi 2

Persamaan linear satu variabel x merupakan persamaan bentuk a x + b = 0, Di mana A Dan B– beberapa bilangan yang disebut koefisien persamaan linier.

Contoh 2

Contoh persamaan linear jenis ini adalah:

3 x − 7 = 0 (Sebuah = 3 , b = − 7) ;

1, 8 y + 7, 9 = 0 (a = 1, 8, b = 7, 9).

Namun ada juga contoh persamaan linear yang telah kita gunakan di atas: dalam bentuk a x = b, Misalnya, 6x = 35.

Kita akan langsung setuju bahwa dalam artikel ini dengan persamaan linier dengan satu variabel kita akan memahami persamaan yang tertulis a x + b = 0, Di mana X- variabel; a, b – koefisien. Kami melihat bentuk persamaan linier ini sebagai yang paling dibenarkan, karena persamaan linier adalah persamaan aljabar derajat pertama. Dan persamaan lain yang ditunjukkan di atas, dan persamaan yang diberikan melalui transformasi ekuivalen dalam bentuk a x + b = 0, kita definisikan sebagai persamaan yang direduksi menjadi persamaan linier.

Dengan pendekatan ini, persamaan 5 x + 8 = 0 adalah linier, dan 5 x = − 8- persamaan yang direduksi menjadi persamaan linier.

Prinsip penyelesaian persamaan linear

Mari kita lihat cara menentukan apakah suatu persamaan linier mempunyai akar-akar dan, jika ya, berapa banyak akarnya dan bagaimana cara menentukannya.

Definisi 3

Fakta adanya akar-akar persamaan linier ditentukan oleh nilai koefisien A Dan B. Mari kita tuliskan syarat-syarat ini:

pada sebuah ≠ 0 persamaan linear mempunyai akar tunggal x = - b a ;
pada sebuah = 0 Dan b ≠ 0 persamaan linier tidak memiliki akar;
pada sebuah = 0 Dan b = 0 persamaan linear mempunyai banyak akar yang tak terhingga. Intinya di pada kasus ini bilangan apa pun bisa menjadi akar persamaan linier.

Mari kita beri penjelasan. Kita tahu bahwa dalam proses penyelesaian suatu persamaan, suatu persamaan tertentu dapat diubah menjadi persamaan ekuivalen, artinya persamaan tersebut mempunyai akar-akar yang sama dengan persamaan aslinya, atau juga tidak mempunyai akar-akar. Kita dapat melakukan transformasi ekuivalen berikut:

memindahkan suatu istilah dari satu bagian ke bagian lain, mengubah tandanya menjadi sebaliknya;
mengalikan atau membagi kedua ruas persamaan dengan bilangan sama yang bukan nol.

Jadi, kami mengubah persamaan linier a x + b = 0, memindahkan istilah B dari kiri ke sisi kanan dengan perubahan tanda. Kita mendapatkan: a · x = − b .

Jadi, kita membagi kedua ruas persamaan dengan bilangan bukan nol A, menghasilkan persamaan bentuk x = - b a . Yaitu kapan sebuah ≠ 0, persamaan asli a x + b = 0 ekuivalen dengan persamaan x = - b a, yang akar - banya jelas.

Melalui kontradiksi dapat ditunjukkan bahwa akar yang ditemukan adalah satu-satunya. Mari kita tentukan akar yang ditemukan - b a sebagai x 1 . Mari kita asumsikan bahwa ada akar persamaan linier lain dengan sebutan tersebut x 2 . Dan tentu saja: x 2 ≠ x 1, dan ini, pada gilirannya, berdasarkan definisi bilangan yang sama melalui selisihnya, setara dengan kondisi tersebut x 1 − x 2 ≠ 0 . Dengan memperhatikan hal di atas, kita dapat membuat persamaan berikut dengan mensubstitusi akar-akarnya:
a x 1 + b = 0 dan a x 2 + b = 0.
Sifat persamaan numerik memungkinkan dilakukannya pengurangan suku demi suku pada bagian persamaan:

a x 1 + b − (a x 2 + b) = 0 − 0, dari sini: a · (x 1 − x 2) + (b − b) = 0 dan seterusnya a · (x 1 − x 2) = 0 . Persamaan a · (x 1 − x 2) = 0 salah karena telah ditentukan sebelumnya sebuah ≠ 0 Dan x 1 − x 2 ≠ 0 . Kontradiksi yang dihasilkan menjadi bukti bahwa kapan sebuah ≠ 0 persamaan linier a x + b = 0 hanya mempunyai satu akar.

Mari kita pembenaran dua klausa lagi dari kondisi yang memuatnya sebuah = 0 .

Kapan sebuah = 0 persamaan linier a x + b = 0 akan ditulis sebagai 0 x + b = 0. Sifat mengalikan suatu bilangan dengan nol memberi kita hak untuk menyatakan bahwa berapapun bilangan yang diambil X, menggantinya menjadi kesetaraan 0 x + b = 0, kita mendapatkan b = 0 . Persamaan tersebut berlaku untuk b = 0; dalam kasus lain, kapan b ≠ 0, kesetaraan menjadi salah.

Jadi ketika sebuah = 0 dan b = 0 , bilangan apa pun bisa menjadi akar persamaan linier a x + b = 0, sejak saat kondisi ini terpenuhi, gantikan saja X angka berapa pun, kita mendapatkan persamaan numerik yang benar 0 = 0 . Kapan sebuah = 0 Dan b ≠ 0 persamaan linier a x + b = 0 tidak akan memiliki root sama sekali, sejak saat mengeksekusi kondisi yang ditentukan, sebagai gantinya X angka berapa pun, kita mendapatkan persamaan numerik yang salah b = 0.

Semua pertimbangan di atas memberi kita kesempatan untuk menuliskan algoritma yang memungkinkan kita menemukan solusi persamaan linier apa pun:

berdasarkan jenis catatan kita menentukan nilai koefisien A Dan B dan menganalisisnya;
pada sebuah = 0 Dan b = 0 persamaan tersebut akan memiliki banyak akar yang tak terhingga, mis. bilangan berapa pun akan menjadi akar persamaan yang diberikan;
pada sebuah = 0 Dan b ≠ 0
pada A, berbeda dari nol, kita mulai mencari satu-satunya akar persamaan linier asli:

mari kita pindahkan koefisiennya B ke ruas kanan dengan perubahan tanda ke arah sebaliknya, sehingga persamaan linear tersebut berbentuk a · x = − b ;
bagilah kedua ruas persamaan yang dihasilkan dengan angka A, yang akan memberi kita akar yang diinginkan dari persamaan yang diberikan: x = - b a.

Sebenarnya rangkaian tindakan yang dijelaskan adalah jawaban atas pertanyaan bagaimana mencari solusi persamaan linier.

Terakhir, mari kita perjelas persamaan bentuk tersebut a x = b diselesaikan menggunakan algoritma serupa dengan satu-satunya perbedaan adalah angkanya B dalam notasi seperti itu telah ditransfer ke bagian persamaan yang diperlukan, dan dengan sebuah ≠ 0 Anda dapat langsung membagi bagian persamaan dengan angka A.

Jadi, untuk menemukan solusi persamaan tersebut a x = b, kami menggunakan algoritma berikut:

pada sebuah = 0 Dan b = 0 persamaan tersebut akan memiliki banyak akar yang tak terhingga, mis. nomor berapa pun bisa menjadi akarnya;
pada sebuah = 0 Dan b ≠ 0 persamaan yang diberikan tidak memiliki akar;
pada A, tidak sama dengan nol, kedua ruas persamaan dibagi dengan bilangan A, yang memungkinkan untuk menemukan satu-satunya akar yang sama dengan b a.

Contoh penyelesaian persamaan linear

Contoh 3

Persamaan linier perlu diselesaikan 0 x − 0 = 0.

Larutan

Dengan menulis persamaan yang diberikan kita melihatnya sebuah = 0 Dan b = − 0(atau b = 0, yang sama). Jadi, persamaan tertentu dapat memiliki jumlah akar yang tak terhingga atau bilangan berapa pun.

Menjawab: X– nomor berapa pun.

Contoh 4

Penting untuk menentukan apakah persamaan tersebut memiliki akar 0 x + 2, 7 = 0.

Larutan

Dari catatan kita tentukan bahwa a = 0, b = 2, 7. Jadi, persamaan yang diberikan tidak memiliki akar.

Menjawab: persamaan linier asli tidak mempunyai akar.

Contoh 5

Diberikan persamaan linear 0,3 x − 0,027 = 0. Ini perlu diselesaikan.

Larutan

Dengan menulis persamaan tersebut kita menentukan bahwa a = 0, 3; b = - 0,027, yang memungkinkan kita menyatakan bahwa persamaan yang diberikan memiliki akar tunggal.

Mengikuti algoritma, kita memindahkan b ke ruas kanan persamaan, mengubah tandanya, kita mendapatkan: 0,3 x = 0,027. Selanjutnya kita bagi kedua ruas persamaan yang dihasilkan dengan a = 0, 3, maka: x = 0, 027 0, 3.

Mari kita bagi pecahan desimal:

0,027 0,3 = 27.300 = 3 9 3 100 = 9.100 = 0,09

Hasil yang diperoleh adalah akar dari persamaan yang diberikan.

Mari kita tuliskan secara singkat solusinya sebagai berikut:

0,3 x - 0,027 = 0,0.3 x = 0,027, x = 0,027 0,3, x = 0,09.

Menjawab: x = 0,09.

Untuk lebih jelasnya, kami menyajikan solusi persamaan penulisannya a x = b.

Contoh N

Persamaan yang diberikan adalah: 1) 0 x = 0 ; 2) 0 x = − 9 ; 3) - 3 8 x = - 3 3 4 . Hal-hal tersebut perlu diselesaikan.

Larutan

Semua persamaan yang diberikan catatan sesuai a x = b. Mari kita lihat satu per satu.

Pada persamaan 0 x = 0, a = 0 dan b = 0, yang artinya: bilangan apa pun dapat menjadi akar persamaan ini.

Pada persamaan kedua 0 x = − 9: a = 0 dan b = − 9, dengan demikian, persamaan ini tidak memiliki akar.

Berdasarkan bentuk persamaan terakhir - 3 8 · x = - 3 3 4, kita tuliskan koefisiennya: a = - 3 8, b = - 3 3 4, yaitu. persamaan tersebut mempunyai akar tunggal. Mari kita temukan dia. Mari kita bagi kedua ruas persamaan dengan a, sehingga diperoleh: x = - 3 3 4 - 3 8. Sederhanakan pecahan menggunakan aturan pembagian angka negatif diikuti dengan terjemahan nomor campuran V pecahan biasa dan pembagian pecahan biasa:

3 3 4 - 3 8 = 3 3 4 3 8 = 15 4 3 8 = 15 4 8 3 = 15 8 4 3 = 10

Mari kita tuliskan secara singkat solusinya sebagai berikut:

3 8 · x = - 3 3 4 , x = - 3 3 4 - 3 8 , x = 10 .

Menjawab: 1) X– bilangan berapa pun, 2) persamaan tidak mempunyai akar, 3) x = 10.

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter