Menjaga privasi Anda penting bagi kami. Karena alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan cara kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap tinjau praktik privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.
Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi
Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi atau menghubungi orang tertentu.
Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja saat Anda menghubungi kami.
Di bawah ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan cara kami menggunakan informasi tersebut.
Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:
- Saat Anda mengajukan permohonan di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat Anda Surel dll.
Cara kami menggunakan informasi pribadi Anda:
- Informasi pribadi yang kami kumpulkan memungkinkan kami menghubungi Anda dan memberi tahu Anda penawaran unik, promosi dan acara lainnya serta acara mendatang.
- Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan komunikasi penting.
- Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk keperluan internal, seperti melakukan audit, analisis data, dan berbagai penelitian guna meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberi Anda rekomendasi mengenai layanan kami.
- Jika Anda berpartisipasi dalam undian berhadiah, kontes, atau promosi serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk menyelenggarakan program tersebut.
Keterbukaan informasi kepada pihak ketiga
Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.
Pengecualian:
- Jika perlu, sesuai dengan hukum, prosedur peradilan, dalam proses hukum, dan/atau berdasarkan pertanyaan atau permintaan masyarakat agensi pemerintahan di wilayah Federasi Rusia - ungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menganggap bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk keamanan, penegakan hukum, atau tujuan kepentingan publik lainnya.
- Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga penerus yang berlaku.
Perlindungan informasi pribadi
Kami melakukan tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran tanpa izin.
Menghormati privasi Anda di tingkat perusahaan
Untuk memastikan informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan standar privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan menegakkan praktik privasi secara ketat.
Sifat dasar logaritma, grafik logaritma, domain definisi, himpunan nilai, rumus dasar, kenaikan dan penurunan diberikan. Menemukan turunan dari logaritma dipertimbangkan. Dan juga integralnya, ekspansi ke dalam seri kekuatan dan representasi menggunakan bilangan kompleks.
Definisi logaritma
Logaritma dengan basis a adalah fungsi dari y (x) = log ax, kebalikan dari fungsi eksponensial dengan basis a: x (kamu) = kamu.
Logaritma desimal adalah logaritma ke basis suatu bilangan 10 : catatan x ≡ catatan 10 x.
Logaritma natural adalah logaritma ke basis e: ln x ≡ log e x.
2,718281828459045...
;
.
Grafik logaritma diperoleh dari grafik fungsi eksponensial dengan cara mencerminkannya terhadap garis lurus y = x. Di sebelah kiri adalah grafik fungsi y (x) = log ax untuk empat nilai basis logaritma: sebuah = 2
, sebuah = 8
, sebuah = 1/2
dan sebuah = 1/8
. Grafik menunjukkan bahwa ketika > 1
logaritma meningkat secara monoton. Ketika x meningkat, pertumbuhan melambat secara signifikan. Pada 0
< a < 1
logaritmanya berkurang secara monoton.
Sifat-sifat logaritma
Domain, kumpulan nilai, meningkat, menurun
Logaritma merupakan fungsi monotonik sehingga tidak mempunyai titik ekstrim. Properti utama logaritma disajikan dalam tabel.
| Domain | 0 < x < + ∞ | 0 < x < + ∞ |
| Jarak nilai | - ∞ < y < + ∞ | - ∞ < y < + ∞ |
| Nada datar | meningkat secara monoton | menurun secara monoton |
| Nol, y = 0 | x = 1 | x = 1 |
| Titik potong dengan sumbu ordinat, x = 0 | TIDAK | TIDAK |
| + ∞ | - ∞ | |
| - ∞ | + ∞ |
Nilai-nilai pribadi
Logaritma ke basis 10 disebut logaritma desimal dan dilambangkan sebagai berikut:
Logaritma ke basis e ditelepon logaritma natural:
Rumus dasar logaritma
Sifat-sifat logaritma yang timbul dari definisi fungsi invers:
Properti utama logaritma dan konsekuensinya
Rumus penggantian basa
Logaritma- Ini operasi matematika mengambil logaritma. Saat mengambil logaritma, hasil kali faktor diubah menjadi jumlah suku.
Potensiasi adalah operasi matematika kebalikan dari logaritma. Selama potensiasi, basis tertentu dinaikkan ke tingkat ekspresi di mana potensiasi dilakukan. Dalam hal ini, jumlah suku diubah menjadi produk faktor.
Bukti rumus dasar logaritma
Rumus yang berkaitan dengan logaritma mengikuti rumus fungsi eksponensial dan definisi fungsi invers.
Pertimbangkan properti fungsi eksponensial
.
Kemudian
.
Mari kita terapkan properti fungsi eksponensial
:
.
Mari kita buktikan rumus penggantian basa.
;
.
Dengan asumsi c = b, kita mempunyai:
Fungsi terbalik
Kebalikan logaritma dengan basis a adalah fungsi eksponensial dengan eksponen a.
Jika kemudian
Jika kemudian
Turunan dari logaritma
Turunan dari logaritma modulus x:
.
Turunan dari orde ke-n:
.
Menurunkan rumus > > >
Untuk mencari turunan logaritma, harus direduksi menjadi basis e.
;
.
Integral
Integral logaritma dihitung dengan mengintegrasikan bagian-bagiannya: .
Jadi,
Ekspresi menggunakan bilangan kompleks
Pertimbangkan fungsi bilangan kompleks z:
.
Mari berekspresi bilangan kompleks z melalui modul R dan argumen φ
:
.
Kemudian, dengan menggunakan properti logaritma, kita mendapatkan:
.
Atau
Namun argumennya φ
tidak didefinisikan secara unik. Jika Anda menaruh
, dimana n adalah bilangan bulat,
maka itu akan menjadi angka yang sama untuk yang berbeda N.
Oleh karena itu, logaritma, sebagai fungsi dari variabel kompleks, bukanlah fungsi bernilai tunggal.
Ekspansi seri daya
Kapan perluasan terjadi:
Referensi:
DI DALAM. Bronstein, KA. Semendyaev, Buku Pegangan Matematika untuk Insinyur dan Mahasiswa, “Lan”, 2009.
Apa itu logaritma?
Perhatian!
Ada tambahan
materi dalam Bagian Khusus 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak terlalu..."
Dan bagi mereka yang “sangat…”)
Apa itu logaritma? Bagaimana cara menyelesaikan logaritma? Pertanyaan-pertanyaan ini membingungkan banyak lulusan. Secara tradisional, topik logaritma dianggap rumit, tidak dapat dipahami, dan menakutkan. Terutama persamaan dengan logaritma.
Ini sama sekali tidak benar. Sangat! Tidak percaya padaku? Bagus. Sekarang, hanya dalam 10 - 20 menit Anda:
1. Anda akan mengerti apa itu logaritma.
2. Belajar menyelesaikan seluruh kelas persamaan eksponensial. Bahkan jika Anda belum pernah mendengar apa pun tentang mereka.
3. Belajar menghitung logaritma sederhana.
Selain itu, untuk ini Anda hanya perlu mengetahui tabel perkalian dan cara menaikkan suatu bilangan ke pangkat...
Saya merasa Anda memiliki keraguan... Baiklah, tandai waktunya! Pergi!
Pertama, selesaikan persamaan ini di kepala Anda:
Jika Anda menyukai situs ini...
Omong-omong, saya punya beberapa situs menarik lainnya untuk Anda.)
Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Mari belajar - dengan penuh minat!)
Anda bisa mengenal fungsi dan turunannya.
Seperti yang Anda ketahui, saat mengalikan ekspresi dengan pangkat, eksponennya selalu dijumlahkan (a b *a c = a b+c). Hukum matematika ini diturunkan oleh Archimedes, dan kemudian, pada abad ke-8, ahli matematika Virasen membuat tabel eksponen bilangan bulat. Merekalah yang berperan dalam penemuan logaritma lebih lanjut. Contoh penggunaan fungsi ini dapat ditemukan hampir di semua tempat di mana Anda perlu menyederhanakan perkalian rumit dengan penjumlahan sederhana. Jika Anda menghabiskan 10 menit membaca artikel ini, kami akan menjelaskan kepada Anda apa itu logaritma dan bagaimana cara menggunakannya. Dalam bahasa yang sederhana dan mudah diakses.
Definisi dalam matematika
Logaritma adalah ekspresi dalam bentuk berikut: log a b=c, yaitu, logaritma bilangan non-negatif (yaitu, bilangan positif apa pun) “b” dengan basis “a” dianggap sebagai pangkat “c ” dimana basis “a” harus dipangkatkan untuk mendapatkan nilai “b”. Mari kita analisa logaritma menggunakan contoh, misalkan ada ekspresi log 2 8. Bagaimana cara mencari jawabannya? Ini sangat sederhana, Anda perlu mencari pangkat sedemikian rupa sehingga dari 2 hingga pangkat yang dibutuhkan Anda mendapatkan 8. Setelah melakukan beberapa perhitungan di kepala Anda, kita mendapatkan angka 3! Dan itu benar, karena 2 pangkat 3 memberikan jawaban 8.
Jenis logaritma
Bagi banyak siswa dan pelajar, topik ini tampaknya rumit dan tidak dapat dipahami, tetapi sebenarnya logaritma tidak begitu menakutkan, yang utama adalah memahami arti umum dan mengingat sifat-sifatnya serta beberapa aturannya. Ada tiga spesies individu ekspresi logaritma:
- Logaritma natural ln a, dengan basis bilangan Euler (e = 2,7).
- Desimal a yang basisnya 10.
- Logaritma bilangan b apa pun dengan basis a>1.
Masing-masing sudah diputuskan dengan cara standar, yang meliputi penyederhanaan, reduksi, dan selanjutnya reduksi menjadi satu logaritma menggunakan teorema logaritma. Untuk mendapatkan nilai logaritma yang benar, Anda harus mengingat propertinya dan urutan tindakan saat menyelesaikannya.
Aturan dan beberapa batasan
Dalam matematika, ada beberapa aturan-batasan yang diterima sebagai aksioma, yaitu tidak perlu dibicarakan dan merupakan kebenaran. Misalnya, tidak mungkin membagi bilangan dengan nol, dan juga tidak mungkin mengekstrak akar genap angka negatif. Logaritma juga memiliki aturannya sendiri, berikut ini Anda dapat dengan mudah mempelajari cara bekerja bahkan dengan ekspresi logaritma yang panjang dan luas:
- basis "a" harus selalu Diatas nol, dan pada saat yang sama tidak sama dengan 1, jika tidak, ekspresi tersebut akan kehilangan maknanya, karena "1" dan "0" pada tingkat apa pun selalu sama dengan nilainya;
- jika a > 0, maka a b >0, ternyata “c” juga harus lebih besar dari nol.
Bagaimana cara menyelesaikan logaritma?
Misalnya diberikan tugas untuk mencari jawaban persamaan 10 x = 100. Caranya sangat mudah, Anda perlu memilih suatu pangkat dengan menaikkan angka sepuluh sehingga kita mendapatkan 100. Tentu saja, ini adalah 10 2 = 100.
Sekarang mari kita nyatakan ekspresi ini dalam bentuk logaritma. Kita mendapatkan log 10 100 = 2. Saat menyelesaikan logaritma, semua tindakan secara praktis menyatu untuk mencari pangkat yang diperlukan untuk memasukkan basis logaritma untuk mendapatkan bilangan tertentu.
Untuk menentukan secara akurat nilai derajat yang tidak diketahui, Anda perlu mempelajari cara bekerja dengan tabel derajat. Ini terlihat seperti ini:
Seperti yang Anda lihat, beberapa eksponen dapat ditebak secara intuitif jika Anda memiliki pemikiran teknis dan pengetahuan tentang tabel perkalian. Namun, untuk nilai yang lebih besar, Anda memerlukan tabel pangkat. Ini dapat digunakan bahkan oleh mereka yang tidak tahu apa-apa tentang topik matematika yang rumit. Kolom kiri berisi bilangan (basis a), baris bilangan paling atas adalah nilai pangkat c yang dipangkatkan bilangan a. Pada titik potongnya, sel-sel tersebut berisi nilai bilangan yang menjadi jawabannya (ac =b). Mari kita ambil, misalnya, sel pertama dengan angka 10 dan mengkuadratkannya, kita mendapatkan nilai 100, yang ditunjukkan pada perpotongan kedua sel kita. Semuanya begitu sederhana dan mudah sehingga bahkan humanis paling sejati sekalipun akan memahaminya!
Persamaan dan pertidaksamaan
Ternyata kapan kondisi tertentu eksponennya adalah logaritma. Oleh karena itu, ekspresi numerik matematika apa pun dapat ditulis sebagai persamaan logaritma. Misalnya, 3 4 =81 dapat ditulis sebagai logaritma basis 3 dari 81 sama dengan empat (log 3 81 = 4). Untuk pangkat negatif aturannya sama: 2 -5 = 1/32 kita tuliskan sebagai logaritma, kita peroleh log 2 (1/32) = -5. Salah satu bagian matematika yang paling menarik adalah topik “logaritma”. Kita akan melihat contoh dan solusi persamaan di bawah ini, segera setelah mempelajari sifat-sifatnya. Sekarang mari kita lihat seperti apa pertidaksamaan dan bagaimana membedakannya dari persamaan.
Ekspresi berikut diberikan: log 2 (x-1) > 3 - ini adalah pertidaksamaan logaritma, karena nilai “x” yang tidak diketahui berada di bawah tanda logaritma. Dan juga dalam ekspresi dua besaran dibandingkan: logaritma bilangan yang diinginkan ke basis dua lebih besar dari bilangan tiga.
Perbedaan terpenting antara persamaan logaritma dan pertidaksamaan adalah persamaan dengan logaritma (contoh - logaritma 2 x = √9) menyiratkan satu atau lebih nilai numerik tertentu dalam jawabannya, sedangkan ketika menyelesaikan pertidaksamaan, persamaan tersebut didefinisikan sebagai suatu wilayah nilai-nilai yang dapat diterima, dan breakpoint dari fungsi ini. Konsekuensinya, jawabannya bukanlah himpunan bilangan tunggal yang sederhana, seperti pada jawaban suatu persamaan, melainkan rangkaian atau himpunan bilangan yang berkesinambungan.
Teorema dasar tentang logaritma
Saat menyelesaikan tugas primitif untuk menemukan nilai logaritma, propertinya mungkin tidak diketahui. Namun, jika menyangkut persamaan atau pertidaksamaan logaritma, pertama-tama, kita perlu memahami dengan jelas dan menerapkan semua sifat dasar logaritma dalam praktik. Kita akan melihat contoh persamaan nanti; pertama-tama mari kita lihat masing-masing properti secara lebih rinci.
- Identitas utama terlihat seperti ini: a logaB =B. Ini hanya berlaku jika a lebih besar dari 0, tidak sama dengan satu, dan B lebih besar dari nol.
- Logaritma hasil kali dapat direpresentasikan dalam rumus berikut: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Dalam hal ini prasyarat adalah: d, s 1 dan s 2 > 0; a≠1. Anda dapat memberikan bukti rumus logaritma ini, beserta contoh dan solusinya. Misalkan log a s 1 = f 1 dan log a s 2 = f 2, maka a f1 = s 1, a f2 = s 2. Kita peroleh bahwa s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (sifat-sifat dari derajat ), dan kemudian menurut definisi: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, yang perlu dibuktikan.
- Logaritma hasil bagi terlihat seperti ini: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
- Teorema dalam bentuk rumus mengambil alih tampilan berikutnya: log a q b n = n/q log a b.
Rumus ini disebut “properti derajat logaritma”. Ini menyerupai sifat-sifat derajat biasa, dan ini tidak mengherankan, karena semua matematika didasarkan pada postulat alam. Mari kita lihat buktinya.
Misalkan log a b = t, ternyata at =b. Jika kita menaikkan kedua bagian ke pangkat m: a tn = b n ;
tetapi karena a tn = (a q) nt/q = b n, maka log a q b n = (n*t)/t, maka log a q b n = n/q log a b. Teorema tersebut telah terbukti.
Contoh masalah dan kesenjangan
Jenis soal logaritma yang paling umum adalah contoh persamaan dan pertidaksamaan. Mereka ditemukan di hampir semua buku soal, dan juga merupakan bagian wajib dalam ujian matematika. Untuk memasuki universitas atau lulus ujian masuk matematika, Anda perlu mengetahui cara menyelesaikan tugas-tugas tersebut dengan benar.
Sayangnya, tidak ada rencana atau skema tunggal untuk menyelesaikan dan menentukan nilai logaritma yang tidak diketahui, namun hal ini dapat diterapkan pada setiap pertidaksamaan matematika atau persamaan logaritma. aturan tertentu. Pertama-tama, Anda harus mencari tahu apakah ekspresi tersebut dapat disederhanakan atau digiring penampilan umum. Anda dapat menyederhanakan ekspresi logaritma panjang jika Anda menggunakan propertinya dengan benar. Mari kita mengenal mereka dengan cepat.
Saat menyelesaikan persamaan logaritma, kita harus menentukan jenis logaritma yang kita miliki: contoh ekspresi mungkin berisi logaritma natural atau desimal.
Berikut contoh ln100, ln1026. Solusi mereka bermuara pada fakta bahwa mereka perlu menentukan pangkat yang mana basis 10 masing-masing akan sama dengan 100 dan 1026. Untuk menyelesaikan logaritma natural, Anda perlu menerapkan identitas logaritma atau propertinya. Mari kita lihat contoh penyelesaian berbagai jenis masalah logaritma.
Cara Menggunakan Rumus Logaritma: Beserta Contoh dan Solusinya
Jadi, mari kita lihat contoh penggunaan teorema dasar tentang logaritma.
- Properti logaritma suatu produk dapat digunakan dalam tugas-tugas yang perlu diperluas sangat penting bilangan b menjadi faktor yang lebih sederhana. Misalnya log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Jawabannya adalah 9.
- log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - seperti yang Anda lihat, dengan menggunakan properti keempat dari pangkat logaritma, kami berhasil menyelesaikan ekspresi yang tampaknya rumit dan tidak dapat dipecahkan. Anda hanya perlu memfaktorkan basisnya lalu mengeluarkan nilai eksponennya dari tanda logaritma.
Tugas dari Ujian Negara Bersatu
Logaritma sering ditemukan pada ujian masuk, terutama banyak soal logaritma pada UN Unified State ( Ujian negara untuk semua lulusan sekolah). Biasanya, tugas-tugas ini hadir tidak hanya di bagian A (bagian ujian yang paling mudah), tetapi juga di bagian C (tugas yang paling rumit dan paling banyak). Ujian membutuhkan akurat dan pengetahuan yang sempurna topik "Logaritma natural".
Contoh dan solusi masalah diambil dari pejabat Opsi Ujian Negara Bersatu. Mari kita lihat bagaimana tugas-tugas tersebut diselesaikan.
Diketahui log 2 (2x-1) = 4. Penyelesaian:
mari kita tulis ulang ekspresinya, sederhanakan sedikit log 2 (2x-1) = 2 2, berdasarkan definisi logaritma kita mendapatkan bahwa 2x-1 = 2 4, oleh karena itu 2x = 17; x = 8,5.
- Yang terbaik adalah mereduksi semua logaritma ke basis yang sama agar penyelesaiannya tidak rumit dan membingungkan.
- Semua ekspresi di bawah tanda logaritma dinyatakan positif, oleh karena itu, jika eksponen dari ekspresi yang berada di bawah tanda logaritma dan sebagai basisnya diambil sebagai pengali, ekspresi yang tersisa di bawah logaritma harus positif.
\(a^(b)=c\) \(\Panah Kanan Kiri\) \(\log_(a)(c)=b\)
Mari kita jelaskan dengan lebih sederhana. Misalnya, \(\log_(2)(8)\) sama dengan pangkat yang \(2\) harus dipangkatkan untuk mendapatkan \(8\). Dari sini jelas bahwa \(\log_(2)(8)=3\).
|
Contoh: |
\(\log_(5)(25)=2\) |
Karena \(5^(2)=25\) |
||
|
\(\log_(3)(81)=4\) |
Karena \(3^(4)=81\) |
|||
|
\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\) |
Karena \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\) |
Argumen dan basis logaritma
Logaritma apa pun memiliki “anatomi” berikut:
Argumen suatu logaritma biasanya ditulis pada tingkatnya, dan basisnya ditulis dalam subskrip yang mendekati tanda logaritma. Dan entri ini berbunyi seperti ini: “logaritma dua puluh lima berbanding lima.”
Bagaimana cara menghitung logaritma?
Untuk menghitung logaritma, Anda perlu menjawab pertanyaan: pangkat berapa yang harus dipangkatkan untuk mendapatkan argumen?
Misalnya, hitung logaritmanya: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ persegi (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)
a) Berapa pangkat yang harus dipangkatkan \(4\) untuk mendapatkan \(16\)? Jelas yang kedua. Itu sebabnya:
\(\log_(4)(16)=2\)
\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)
c) Berapa pangkat yang harus dipangkatkan \(\sqrt(5)\) untuk mendapatkan \(1\)? Kekuatan apa yang membuat seseorang menjadi nomor satu? Tentu saja nol!
\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)
d) Berapa pangkat yang harus dipangkatkan \(\sqrt(7)\) untuk memperoleh \(\sqrt(7)\)? Pertama, bilangan apa pun yang dipangkatkan pertama sama dengan bilangan itu sendiri.
\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)
e) Berapa pangkat yang harus dipangkatkan \(3\) untuk memperoleh \(\sqrt(3)\)? Dari yang kita tahu itu adalah pangkat pecahan yang artinya Akar pangkat dua adalah kekuatan \(\frac(1)(2)\) .
\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)
Contoh : Hitung logaritma \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)
Larutan :
|
\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\) |
Kita perlu mencari nilai logaritmanya, mari kita nyatakan sebagai x. Sekarang mari kita gunakan definisi logaritma: |
|
|
\((4\sqrt(2))^(x)=8\) |
Apa yang menghubungkan \(4\sqrt(2)\) dan \(8\)? Dua, karena kedua bilangan dapat diwakili oleh dua: |
|
|
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\) |
Di sebelah kiri kita menggunakan properti derajat: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) dan \((a^(m))^(n)= a^(m\cdot n)\) |
|
|
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\) |
Basisnya sama, kita beralih ke kesetaraan indikator |
|
|
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\) |
|
Kalikan kedua ruas persamaan dengan \(\frac(2)(5)\) |
|
|
Akar yang dihasilkan adalah nilai logaritma |
Menjawab : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)
Mengapa logaritma ditemukan?
Untuk memahami hal ini, mari selesaikan persamaan: \(3^(x)=9\). Cocokkan saja \(x\) agar persamaannya berfungsi. Tentu saja \(x=2\).
Sekarang selesaikan persamaannya: \(3^(x)=8\).Mengapa sama dengan x? Itulah intinya.
Orang yang paling cerdas akan berkata: “X kurang dari dua.” Bagaimana tepatnya menulis nomor ini? Untuk menjawab pertanyaan ini, logaritma diciptakan. Berkat dia, jawabannya di sini dapat ditulis sebagai \(x=\log_(3)(8)\).
Saya ingin menekankan bahwa \(\log_(3)(8)\), seperti logaritma apa pun hanyalah angka. Ya, kelihatannya tidak biasa, tapi pendek. Karena jika kita ingin menuliskannya dalam bentuk desimal, maka akan terlihat seperti ini: \(1.892789260714.....\)
Contoh : Menyelesaikan persamaan \(4^(5x-4)=10\)
Larutan :
|
\(4^(5x-4)=10\) |
\(4^(5x-4)\) dan \(10\) tidak dapat dibawa ke basis yang sama. Ini berarti Anda tidak dapat melakukannya tanpa logaritma. Mari kita gunakan definisi logaritma: |
|
|
\(\log_(4)(10)=5x-4\) |
Mari kita balikkan persamaannya sehingga X berada di sebelah kiri |
|
|
\(5x-4=\log_(4)(10)\) |
Sebelum kita. Mari kita pindah \(4\) ke kanan. Dan jangan takut dengan logaritma, perlakukan seperti bilangan biasa. |
|
|
\(5x=\log_(4)(10)+4\) |
Bagilah persamaan tersebut dengan 5 |
|
|
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\) |
|
Ini adalah akar kami. Ya, kelihatannya tidak biasa, tetapi mereka tidak memilih jawabannya. |
Menjawab : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)
Logaritma desimal dan natural
Sebagaimana dinyatakan dalam definisi logaritma, basisnya bisa apa saja nomor positif, kecuali untuk unit \((a>0, a\neq1)\). Dan di antara semua orang kemungkinan alasan Ada dua yang sering muncul sehingga notasi pendek khusus diciptakan untuk logaritma:
Logaritma natural: logaritma yang basisnya adalah bilangan Euler \(e\) (sama dengan kira-kira \(2,7182818…\)), dan logaritmanya ditulis sebagai \(\ln(a)\).
Itu adalah, \(\ln(a)\) sama dengan \(\log_(e)(a)\)
Logaritma Desimal: Logaritma yang basisnya 10 ditulis \(\lg(a)\).
Itu adalah, \(\lg(a)\) sama dengan \(\log_(10)(a)\), di mana \(a\) adalah suatu bilangan.
Identitas logaritma dasar
Logaritma mempunyai banyak sifat. Salah satunya disebut “Identitas Logaritma Dasar” dan terlihat seperti ini:
| \(a^(\log_(a)(c))=c\) |
Properti ini mengikuti langsung dari definisi. Mari kita lihat bagaimana rumus ini muncul.
Mari kita ingat catatan pendek definisi logaritma:
jika \(a^(b)=c\), maka \(\log_(a)(c)=b\)
Artinya, \(b\) sama dengan \(\log_(a)(c)\). Kemudian kita dapat menulis \(\log_(a)(c)\) sebagai ganti \(b\) pada rumus \(a^(b)=c\). Ternyata \(a^(\log_(a)(c))=c\) - identitas logaritma utama.
Anda dapat menemukan properti logaritma lainnya. Dengan bantuan mereka, Anda dapat menyederhanakan dan menghitung nilai ekspresi dengan logaritma, yang sulit dihitung secara langsung.
Contoh : Temukan nilai ekspresi \(36^(\log_(6)(5))\)
Larutan :
Menjawab : \(25\)
Bagaimana cara menulis bilangan sebagai logaritma?
Seperti disebutkan di atas, logaritma apa pun hanyalah angka. Kebalikannya juga benar: bilangan apa pun dapat ditulis sebagai logaritma. Misalnya, kita tahu bahwa \(\log_(2)(4)\) sama dengan dua. Kemudian, alih-alih dua, Anda dapat menulis \(\log_(2)(4)\).
Tapi \(\log_(3)(9)\) juga sama dengan \(2\), yang artinya kita juga bisa menulis \(2=\log_(3)(9)\) . Begitu juga dengan \(\log_(5)(25)\), dan dengan \(\log_(9)(81)\), dll. Ternyata begitu
\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)
Jadi, jika perlu, kita dapat menulis dua sebagai logaritma dengan basis apa pun di mana pun (baik dalam persamaan, ekspresi, atau pertidaksamaan) - kita cukup menulis basis kuadrat sebagai argumen.
Sama halnya dengan triple – dapat ditulis sebagai \(\log_(2)(8)\), atau sebagai \(\log_(3)(27)\), atau sebagai \(\log_(4)( 64) \)... Di sini kita menulis basis dalam kubus sebagai argumen:
\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)
Dan dengan empat:
\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)
Dan dengan minus satu:
\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)
Dan dengan sepertiga:
\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)
Bilangan apa pun \(a\) dapat direpresentasikan sebagai logaritma dengan basis \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)
Contoh : Temukan arti ekspresi \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)
Larutan :
Menjawab : \(1\)