Konsep “ucapan” adalah yang utama. Secara logika, pernyataan merupakan kalimat deklaratif yang dapat dikatakan benar atau salah. Setiap pernyataan bisa benar atau salah, dan tidak ada pernyataan yang benar dan salah.
Contoh pernyataan: ada bilangan genap”, “1 bilangan prima”. Nilai kebenaran dari dua pernyataan pertama adalah “kebenaran”, nilai kebenaran dari dua pernyataan terakhir
Kalimat interogatif dan seruan bukanlah pernyataan. Definisi bukanlah pernyataan. Misalnya definisi “suatu bilangan bulat dikatakan genap jika habis dibagi 2” bukanlah suatu pernyataan. Namun, kalimat deklaratif “jika suatu bilangan bulat habis dibagi 2, maka bilangan tersebut genap” adalah pernyataan yang benar. Dalam logika proposisional, seseorang mengabstraksi isi semantik suatu pernyataan, membatasi dirinya untuk mempertimbangkannya dari posisi apakah pernyataan tersebut benar atau salah.
Berikut ini kita akan memahami pengertian suatu pernyataan sebagai nilai kebenarannya (“benar” atau “salah”). Kami akan menunjukkan pernyataan dengan huruf Latin kapital, dan artinya, yaitu “benar” atau “salah”, masing-masing dengan huruf I dan L.
Logika proposisional mempelajari hubungan yang sepenuhnya ditentukan oleh cara beberapa pernyataan dibangun dari pernyataan lain, yang disebut pernyataan dasar. Dalam hal ini, pernyataan-pernyataan dasar dianggap sebagai keseluruhan, tidak dapat diuraikan menjadi bagian-bagian, yang struktur internalnya tidak menarik minat kita.
Operasi logis pada pernyataan.
Dari pernyataan dasar, dengan menggunakan operasi logika, Anda dapat memperoleh pernyataan baru yang lebih kompleks. Nilai kebenaran suatu pernyataan kompleks bergantung pada nilai kebenaran pernyataan-pernyataan yang menyusun pernyataan kompleks tersebut. Ketergantungan ini ditentukan dalam definisi di bawah ini dan tercermin dalam tabel kebenaran. Kolom kiri tabel ini berisi semua kemungkinan distribusi nilai kebenaran untuk pernyataan yang secara langsung merupakan pernyataan kompleks yang sedang dipertimbangkan. Pada kolom sebelah kanan, tuliskan nilai kebenaran pernyataan kompleks sesuai dengan distribusi pada setiap barisnya.
Misalkan A dan B adalah pernyataan sembarang yang kita asumsikan nilai kebenarannya tidak diketahui. Negasi pernyataan A adalah pernyataan baru yang benar jika dan hanya jika A salah. Negasi A ditandai dengan dan dibaca “bukan A” atau “tidak benar A”. Operasi negasi sepenuhnya ditentukan oleh tabel kebenaran
Contoh. Pernyataan “tidak benar 5 bilangan genap” yang bernilai I merupakan negasi dari pernyataan salah “5 bilangan genap”.
Dengan menggunakan operasi konjungsi, dua pernyataan dibentuk menjadi satu pernyataan kompleks, dilambangkan A D B. Menurut definisi, pernyataan A D B benar jika dan hanya jika kedua pernyataan tersebut benar. Pernyataan A dan B masing-masing disebut anggota pertama dan kedua dari konjungsi A D B. Entri “A D B” dibaca “L dan B”. Tabel kebenaran konjungsi mempunyai bentuk
Contoh. Pernyataan “7 adalah bilangan prima dan 6 bilangan ganjil” adalah salah jika dua pernyataan digabungkan, salah satunya salah.
Disjungsi dua pernyataan A dan B adalah suatu pernyataan yang dilambangkan dengan , yang benar jika dan hanya jika paling sedikit salah satu pernyataan A dan B benar.
Oleh karena itu, pernyataan A V B salah jika dan hanya jika A dan B keduanya salah. Pernyataan A dan B masing-masing disebut suku pertama dan kedua dari disjungsi A V B. Entri A V B dibaca “A atau B”. Kata hubung "atau" di pada kasus ini mempunyai arti yang tidak dapat dipisahkan, karena pernyataan A V B benar meskipun kedua suku benar. Disjungsi tersebut mempunyai tabel kebenaran sebagai berikut:
Contoh. Pernyataan “3 Suatu pernyataan yang dilambangkan dengan , salah jika dan hanya jika A benar dan B salah, disebut implikasi dengan premis A dan kesimpulan B. Pernyataan A-+ B dibaca “jika A, maka 5, ” atau “A menyiratkan B,” atau “dari A mengikuti B.” Tabel kebenaran implikasinya adalah:
Perhatikan bahwa mungkin tidak ada hubungan sebab-akibat antara premis dan kesimpulan, namun hal ini tidak dapat mempengaruhi benar atau salahnya implikasi. Misalnya, pernyataan “jika 5 adalah bilangan prima, maka garis bagi segitiga sama sisi adalah median” akan benar, meskipun dalam pengertian biasa angka kedua tidak mengikuti yang pertama. Pernyataan “jika 2 + 2 = 5, maka 6 + 3 = 9” juga benar, karena kesimpulannya benar. Pada definisi ini, jika kesimpulannya benar, maka implikasinya akan benar terlepas dari nilai kebenaran premisnya. Jika premisnya salah, maka implikasinya akan benar, berapa pun nilai kebenaran kesimpulannya. Keadaan tersebut dirumuskan secara singkat sebagai berikut: “kebenaran timbul dari apapun”, “segala sesuatu timbul dari kepalsuan”.
Berbagai penilaian dapat dibuat mengenai konsep dan hubungan di antara mereka. Bentuk penilaian linguistik adalah kalimat naratif. Kalimat yang digunakan dalam matematika dapat ditulis baik secara lisan maupun simbolis. Kalimat mungkin berisi informasi yang benar atau salah.
Dengan berkata adalah kalimat deklaratif yang dapat bernilai benar atau salah.
Contoh. Kalimat berikut merupakan proposisi:
1) Seluruh mahasiswa MSPU adalah mahasiswa berprestasi (pernyataan salah),
2) Ada buaya di Semenanjung Kola (pernyataan salah),
3) Diagonal-diagonal persegi panjang sama besar (pernyataan benar),
4) Persamaan tersebut tidak mempunyai akar real (pernyataan benar),
5) Angka 21 genap (pernyataan salah).
Kalimat berikut ini bukan pernyataan:
Bagaimana cuaca besok?
X- bilangan asli,
745 + 231 – 64.
Pernyataan biasanya dilambangkan dengan huruf kapital alfabet Latin: A, B, C,…,Z.
“Benar” dan “Kepalsuan” disebut nilai kebenaran suatu pernyataan . Setiap pernyataan bisa benar atau salah, tidak bisa keduanya sekaligus.
Catatan [ A ] = 1 berarti pernyataan itu A – BENAR .
Dan rekamannya [ A ] = 0 berarti pernyataan itu A – PALSU .
Menawarkan 
bukanlah suatu pernyataan, karena tidak mungkin untuk mengatakan apakah pernyataan itu benar atau salah. Saat mengganti nilai tertentu untuk suatu variabel X itu berubah menjadi pernyataan: benar atau salah.
Contoh. Jika 
, Itu 
- pernyataan salah, dan jika 
, Itu 
- pernyataan yang benar.
Menawarkan 
ditelepon predikat atau bentuk ekspresif. Ini menghasilkan banyak pernyataan dengan bentuk yang sama.
Predikat adalah kalimat dengan satu atau lebih variabel yang berubah menjadi pernyataan setiap kali nilainya diganti dengan variabel tersebut.
Tergantung pada jumlah variabel yang termasuk dalam penawaran, ada single, double, triple, dll. predikat yang dilambangkan dengan: dst.
Contoh.
1)
– predikat satu tempat,
2) "Langsung" X tegak lurus terhadap garis lurus pada" adalah predikat dua tempat.
Predikat juga dapat memuat variabel secara implisit. Dalam kalimat: “Bilangan genap”, “dua garis berpotongan” tidak ada variabel, tetapi yang tersirat: “Bilangan X– genap”, “dua lurus X Dan pada memotong."
Saat menentukan predikat, tunjukkan predikatnya domain – satu set dari mana nilai-nilai variabel yang termasuk dalam predikat dipilih.
Contoh. Ketidaksamaan 
dapat dipertimbangkan dalam satu set bilangan asli, tetapi kita dapat berasumsi bahwa nilai variabel dipilih dari himpunan bilangan real. Dalam kasus pertama, domain definisi pertidaksamaan 
akan ada himpunan bilangan asli, dan himpunan bilangan real kedua.
Predikat satu tempat , ditentukan di set X, adalah kalimat dengan variabel yang berubah menjadi pernyataan ketika variabel dari himpunan disubstitusikan ke dalamnya X.
Himpunan kebenaran Predikat satu tempat adalah himpunan nilai-nilai suatu variabel dari domain definisinya, yang jika disubstitusikan predikatnya berubah menjadi pernyataan yang benar.
Contoh. Himpunan kebenaran suatu predikat 
, diberikan pada himpunan bilangan real, akan ada interval 
. Himpunan kebenaran dari suatu predikat 
, didefinisikan pada himpunan bilangan bulat non-negatif, terdiri dari satu angka 2.
Kumpulan kebenaran
predikat dua tempat 
terdiri dari semua pasangan tersebut 
bila disubstitusikan ke dalam predikat ini diperoleh pernyataan yang benar.
Contoh. Pasangan 
termasuk dalam himpunan kebenaran predikat 
, Karena 
adalah pernyataan yang benar dan pasangannya 
bukan milik, karena 
- pernyataan palsu.
Pernyataan dan predikat dapat bersifat sederhana atau kompleks (gabungan). Kompleks kalimat dibentuk dari kalimat sederhana dengan menggunakan penghubung logis - kata-kata " Dan », « atau », « jika kemudian … », « saat itu dan hanya kemudian ketika... » . Menggunakan partikel « Bukan » atau frasa " itu tidak benar » mungkin dari proposal ini mendapatkan yang baru. Kalimat yang tidak tersusun disebut dasar .
Contoh. Kalimat majemuk:
Bilangan 42 genap dan habis dibagi 7. Terbentuk dari dua kalimat dasar: Bilangan 42 genap, bilangan 42 habis dibagi 7 dan disusun dengan menggunakan kata penghubung logis “ Dan ».
Nomor X lebih besar atau sama dengan 5. Dibentuk dari dua kalimat dasar : Bilangan X lebih dari 5 dan angka X sama dengan 5 dan disusun menggunakan penghubung logis " atau ».
Bilangan 42 tidak habis dibagi 5. Dibentuk dari kalimat: Bilangan 42 habis dibagi 5 dengan menggunakan partikel “ Bukan ».
Nilai kebenaran suatu pernyataan dasar ditentukan berdasarkan isinya berdasarkan pengetahuan yang diketahui. Untuk menentukan nilai kebenaran suatu pernyataan majemuk, perlu diketahui pengertian hubungan logika yang membentuknya dari hubungan dasar, dan mampu mengidentifikasi struktur logika pernyataan tersebut.
Contoh. Mari kita kenali struktur logika kalimat: “Jika sudut-sudutnya vertikal, maka besar sudutnya sama besar.” Ini terdiri dari dua kalimat dasar: A– sudut vertikal, DI DALAM- sudut-sudutnya sama besar. Mereka dihubungkan menjadi satu kalimat majemuk menggunakan kata penghubung logis “ jika kemudian..." Kalimat majemuk ini mempunyai struktur logika (bentuk): “ jika A, maka DI DALAM».
Ungkapan "untuk siapa pun" X" atau "untuk semua orang X" atau "untuk semua orang X"disebut pengukur umum
dan ditunjuk 
.
menggunakan pembilang umum, dilambangkan: 
dan berbunyi: “Untuk nilai berapa pun X dari banyak X terjadi 
».
Ungkapan “ada X" atau "untuk beberapa orang X"atau" akan ada seperti itu X"disebut pengukur keberadaan
dan ditunjuk 
.
Pernyataan yang berasal dari suatu proposisi atau predikat 
menggunakan pembilang keberadaan, dilambangkan dengan: 
dan berbunyi: “Untuk beberapa orang X dari banyak X terjadi 
atau “Ada (ada) maksudnya seperti itu X dari X apa yang terjadi 
».
Pengukur keumuman dan keberadaan digunakan tidak hanya dalam ekspresi matematika, tetapi juga dalam percakapan sehari-hari.
Contoh. Pernyataan berikut berisi bilangan umum:
a) Semua sisi persegi sama panjang; b) Setiap bilangan bulat adalah nyata; c) Dalam segitiga mana pun, mediannya berpotongan di satu titik; d) Semua siswa mempunyai buku nilai.
Pernyataan berikut berisi kuantor keberadaan:
a) Ada bilangan yang merupakan kelipatan 5; b) Ada bilangan asli 
, Apa 
; c) Beberapa kelompok mahasiswa memuat calon magister olahraga; d) Paling sedikit satu sudut pada segitiga itu lancip.
Penyataan 
adalah BENAR
–
identitas, yaitu mengambil nilai sebenarnya ketika nilai variabel apa pun disubstitusikan ke dalamnya.
Contoh. Penyataan 
BENAR.
Penyataan 
PALSU
, jika untuk beberapa nilai variabel X predikat 
Contoh. Penyataan 
salah, karena pada 
predikat 
berubah menjadi pernyataan yang salah.
Penyataan 
adalah BENAR
jika dan hanya jika predikatnya 
tidak sepenuhnya salah, yaitu pada beberapa nilai variabel X predikat 
Contoh. Penyataan 
benar, karena pada 
predikat 
berubah menjadi pernyataan yang benar.
Penyataan 
PALSU
, jika predikatnya 
adalah kontradiksi, yaitu sama saja dengan pernyataan yang salah.
Contoh. Penyataan 
salah, karena predikat 
sama salahnya.
Biarkan tawaran itu A - penyataan. Jika Anda meletakkan partikel “ Bukan
"atau sebelum seluruh kalimat tuliskan kata" itu tidak benar
", lalu kita mendapat kalimat baru yang disebut penyangkalan diberikan dan dilambangkan:
A atau 
(membaca: " Bukan
A" atau " itu tidak benar
A
»).
|
Negasi dari pernyataan A
disebut pernyataan Tabel kebenaran negasi: |
|
atau
A, yang salah ketika pernyataan itu A benar, dan benar bila pernyataan tersebut A- PALSU.
Contoh. Jika pernyataan A: “Sudut vertikal sama besar,” maka negasi dari pernyataan ini A: "Sudut vertikalnya tidak sama besar." Pernyataan pertama benar, dan pernyataan kedua salah.
Untuk membuat negasi pernyataan dengan bilangan yang Anda perlukan:
mengganti bilangan umum dengan bilangan keberadaan atau sebaliknya;
ganti pernyataan tersebut dengan negasinya (letakkan partikel “ Bukan»).
Di lidah simbol matematika itu akan ditulis seperti ini.
Rencana
Pernyataan dengan negasi eksternal.
Pernyataan penghubung.
Pernyataan disjungtif.
Pernyataan yang sangat disjungtif.
Pernyataan kesetaraan.
Pernyataan implikatif.
Pernyataan dengan negasi eksternal.
Pernyataan dengan negasi eksternal adalah pernyataan (penilaian) yang menegaskan tidak adanya suatu keadaan tertentu. Hal ini paling sering diungkapkan dengan kalimat yang diawali dengan frasa “tidak benar bahwa…” atau “tidak benar bahwa…”. Negasi luar ditunjukkan dengan simbol “ù” yang disebut tanda negasi. Tanda ini ditentukan oleh tabel kebenaran berikut:
Dalam pernyataan dengan negasi eksternal, situasi di A ditolak. Misalnya, jika A: “Volga mengalir ke Laut Hitam,” maka ùA: “Tidak benar bahwa Volga mengalir ke Laut Hitam.”
Pernyataan penghubung.
Pernyataan konjungtif adalah pernyataan yang menyatakan kehadiran dua situasi secara bersamaan. Pernyataan konjungtif dibentuk dari dua pernyataan yang menggunakan kata hubung “dan”, “a”, “tetapi”. Bentuk pernyataan penghubung: (A&B). Masing-masing pernyataan A dan B dapat bernilai “benar” atau bernilai “salah”. Untuk singkatnya, nilai-nilai ini dilambangkan dengan huruf saya, aku. Tabel kebenaran pernyataan konjungtif adalah sebagai berikut:
Pernyataan penghubung menyatakan bahwa situasi yang dijelaskan dalam A dan B terjadi secara bersamaan. Contoh pernyataan penghubung: “Bumi adalah planet, dan Bulan adalah satelit”; “Petrov menguasai logika dengan baik, tetapi Sidorov menguasai logika dengan buruk”; “Di luar gelap, dan lampu di dalam kelas menyala”; “Petrov menyuap pejabat itu dengan uang, dan Sidorov dengan botol.”
Pernyataan disjungtif.
Pernyataan disjungtif adalah pernyataan yang menegaskan keberadaan setidaknya satu dari dua situasi yang dijelaskan dalam A dan B. Disjungsi dilambangkan dengan simbol V dan dinyatakan dalam bahasa alami dengan konjungsi “atau”.
Definisi tabular dari tanda disjungsi memiliki bentuk sebagai berikut:
Contoh pernyataan disjungtif: “Roman Sergeevich Ivanov adalah seorang guru, atau Roman Sergeevich Ivanov adalah seorang mahasiswa pascasarjana.”
Pernyataan yang sangat disjungtif.
Pernyataan disjungtif ketat adalah pernyataan yang menegaskan adanya salah satu dari dua situasi yang dijelaskan dalam A dan B. Pernyataan seperti itu paling sering dibuat melalui kalimat dengan konjungsi “atau..., atau...” (“baik... atau ..."). Disjungsi tegas dilambangkan dengan simbol V* (dibaca “baik… atau…”).
Definisi tabular dari tanda disjungsi tegas memiliki bentuk sebagai berikut:
Contoh pernyataan disjungtif ketat: “Di luar cerah atau sedang hujan.”
Properti
Mari kita perhatikan beberapa properti produk Cartesian:
1. Jika A,B adalah himpunan berhingga A× B- terakhir. Begitu pula sebaliknya, jika salah satu himpunan faktor tak terhingga, maka hasil perkaliannya adalah himpunan tak terhingga.
2. Banyaknya elemen dalam hasil kali kartesius sama dengan hasil kali jumlah elemen himpunan faktor (tentu saja jika terbatas): | A× B|=|A|⋅|B| .
3. Sebuah np ≠(Sebuah) P- dalam kasus pertama, disarankan untuk mempertimbangkan hasil perkalian Cartesian sebagai matriks berdimensi 1× n.p., yang kedua - sebagai matriks ukuran N× P .
4. Hukum komutatif tidak terpenuhi, karena pasangan elemen hasil perkalian kartesius diurutkan: A× B≠B× A .
5. Hukum asosiatif tidak terpenuhi: ( A× B)× C≠A×( B× C) .
6. Terdapat distribusivitas terhadap operasi dasar pada himpunan: ( A∗B)× C=(A× C)∗(B× C),∗∈{∩,∪,∖}
11. Konsep pernyataan. Pernyataan dasar dan majemuk.
Penyataan merupakan pernyataan atau kalimat deklaratif yang dapat dikatakan benar (I-1) atau salah (F-0), tetapi tidak keduanya.
Misalnya, “Hari ini sedang hujan", "Ivanov selesai Pekerjaan laboratorium Nomor 2 dalam fisika."
Jika kita mempunyai beberapa pernyataan awal, maka dari pernyataan tersebut, gunakan kesatuan yang logis atau partikel kita dapat membentuk pernyataan baru, yang nilai kebenarannya hanya bergantung pada nilai kebenaran pernyataan asli dan pada konjungsi serta partikel tertentu yang berpartisipasi dalam konstruksi pernyataan baru. Kata-kata dan ungkapan “dan”, “atau”, “tidak”, “jika… maka”, “oleh karena itu”, “kemudian dan hanya kemudian” adalah contoh dari konjungsi tersebut. Pernyataan asli disebut sederhana , dan pernyataan baru yang dibangun darinya menggunakan konjungsi logis tertentu - gabungan . Tentu saja, kata “sederhana” tidak ada hubungannya dengan esensi atau struktur pernyataan aslinya, yang bisa jadi cukup rumit. Dalam konteks ini, kata “sederhana” identik dengan kata “asli”. Yang penting adalah nilai kebenaran pernyataan sederhana diasumsikan diketahui atau diberikan; dalam hal apa pun, hal itu tidak dibahas dengan cara apa pun.
Meskipun pernyataan seperti “Hari ini bukan Kamis” tidak terdiri dari dua pernyataan sederhana yang berbeda, namun untuk keseragaman konstruksinya juga dianggap majemuk, karena nilai kebenarannya ditentukan oleh nilai kebenaran pernyataan lainnya “Hari ini adalah Kamis. ”
Contoh 2. Pernyataan berikut ini dianggap sebagai senyawa:
Saya membaca Moskovsky Komsomolets dan saya membaca Kommersant.
Jika dia mengatakannya, maka itu benar.
Matahari bukanlah bintang.
Jika cuaca cerah dan suhu melebihi 25 0, saya akan tiba dengan kereta api atau mobil
Pernyataan-pernyataan sederhana yang termasuk dalam kata majemuk bisa saja berubah-ubah. Secara khusus, mereka sendiri dapat berupa komposit. Tipe dasar pernyataan majemuk yang dijelaskan di bawah ini didefinisikan secara independen dari pernyataan sederhana yang membentuknya.
12. Operasi pada pernyataan.
1. Operasi negasi.
Dengan meniadakan pernyataan tersebut A ( berbunyi “tidak A", "itu tidak benar A"), yang benar bila A salah dan salah kapan A- BENAR.
Pernyataan yang saling menyangkal A Dan disebut di depan.
2. Operasi konjungsi.
Konjungsi pernyataan A Dan DI DALAM disebut pernyataan yang dilambangkan dengan A B(membaca " A Dan DI DALAM"), nilai sebenarnya ditentukan jika dan hanya jika kedua pernyataan A Dan DI DALAM benar.
Konjungsi pernyataan disebut produk logis dan sering dilambangkan AB.
Biarkan pernyataan diberikan A- “pada bulan Maret suhu udara berkisar dari 0 C ke + 7C" dan berkata DI DALAM- “Hujan di Vitebsk.” Kemudian A B adalah sebagai berikut: “pada bulan Maret suhu udara adalah dari 0 C ke + 7C dan sedang hujan di Vitebsk.” Konjungsi ini akan benar jika terdapat pernyataan A Dan DI DALAM BENAR. Kalau ternyata suhunya kurang 0 C atau saat itu tidak ada hujan di Vitebsk A B akan salah.
3 . Operasi disjungsi.
Pemisahan pernyataan A Dan DI DALAM disebut pernyataan A B (A atau DI DALAM), yang benar jika dan hanya jika setidaknya salah satu pernyataan benar dan salah - jika kedua pernyataan salah.
Disjungsi pernyataan disebut juga penjumlahan logis A+B.
Pernyataan " 4<5 atau 4=5 " adalah benar. Sejak pernyataan " 4<5 " benar, dan pernyataan " 4=5 » – salah kalau begitu A B mewakili pernyataan yang sebenarnya" 4 5 ».
4 . Operasi implikasi.
Implikasinya pernyataan A Dan DI DALAM disebut pernyataan A B("Jika A, Itu DI DALAM", "dari A sebaiknya DI DALAM"), yang nilainya salah jika dan hanya jika A benar, tapi DI DALAM PALSU.
Implikasinya A B penyataan A ditelepon dasar, atau premis, dan pernyataan DI DALAM – konsekuensi, atau kesimpulan.
13. Tabel kebenaran pernyataan.
Tabel kebenaran adalah tabel yang menetapkan korespondensi antara semua kemungkinan himpunan variabel logis yang termasuk dalam fungsi logika dan nilai fungsi tersebut.
Tabel kebenaran digunakan untuk:
Menghitung kebenaran pernyataan kompleks;
Menetapkan kesetaraan pernyataan;
Definisi tautologi.
Menetapkan kebenaran pernyataan yang kompleks.
Contoh 1. Menetapkan kebenaran suatu pernyataan · C
Larutan. Pernyataan kompleks mencakup 3 pernyataan sederhana: A, B, C. Kolom pada tabel diisi dengan nilai (0, 1). Semua kemungkinan situasi ditunjukkan. Pernyataan sederhana dipisahkan dari pernyataan kompleks dengan garis vertikal ganda.
Saat menyusun tabel, harus berhati-hati agar tidak membingungkan urutan tindakan; Saat mengisi kolom, Anda harus bergerak “dari dalam ke luar”, yaitu. dari rumus dasar hingga rumus yang semakin kompleks; kolom terakhir yang diisi berisi nilai rumus aslinya.
| A | DI DALAM | DENGAN | SEBUAH+ | · DENGAN | ||
Tabel menunjukkan bahwa pernyataan ini benar hanya jika A = 0, B = 1, C = 1. Dalam semua kasus lainnya, hal ini salah.
14. Rumus yang setara.
Dua formula A Dan DI DALAM disebut ekuivalen jika mengambil nilai logika yang sama untuk himpunan nilai apa pun dari pernyataan dasar yang termasuk dalam rumus.
Kesetaraan ditunjukkan dengan tanda " ". Untuk mengubah rumus menjadi persamaan, peran penting dimainkan oleh persamaan dasar yang menyatakan beberapa operasi logis melalui yang lain, persamaan yang menyatakan hukum dasar aljabar logika.
Untuk formula apa pun A, DI DALAM, DENGAN kesetaraannya valid.
I. Kesetaraan dasar
hukum idempotensi
1-benar
0-salah
Hukum kontradiksi
Hukum kelompok menengah yang dikecualikan
hukum penyerapan
rumus pemisahan
hukum perekatan
II. Kesetaraan mengungkapkan beberapa operasi logis melalui yang lain.
hukum de Morgan
AKU AKU AKU. Persamaan yang menyatakan hukum dasar aljabar logika.
hukum komutatif
hukum asosiasi
hukum distributif
15. Rumus logika proposisional.
Jenis rumus logika proposisi klasik– dalam logika proposisional, jenis rumus berikut dibedakan:
1. Hukum(rumus yang identik dengan kebenaran) – rumus yang, dalam interpretasi variabel proposisional apa pun, mempunyai nilai "BENAR";
2. Kontroversi(rumus yang identik salah) – rumus yang, dalam interpretasi variabel proposisional apa pun, mempunyai nilai "PALSU";
3. Formula yang memuaskan- yang memiliki makna "BENAR" untuk setidaknya satu set nilai kebenaran dari variabel proposisi penyusunnya.
Hukum dasar logika proposisional klasik:
1. Hukum identitas: ;
2. Hukum kontradiksi:
;
3. Hukum bagian tengah yang dikecualikan: ;
4. Hukum komutatifitas dan: , ;
5. Hukum distribusi terhadap , dan sebaliknya: , ;
6. Hukum penghilangan anggota konjungsi yang sebenarnya: ;
7. Hukum menghilangkan suku salah suatu disjungsi: ;
8. Hukum kontraposisi: ;
9. Hukum interekspresibilitas dari penghubung proposisional: , , , , , .
Prosedur penyelesaian- metode yang memungkinkan Anda menentukan untuk setiap rumus apakah rumus tersebut merupakan hukum, kontradiksi, atau rumus yang layak. Prosedur solvabilitas yang paling umum adalah metode tabel kebenaran. Namun, dia bukan satu-satunya. Metode solvabilitas yang efektif adalah metode bentuk biasa untuk rumus logika proposisional. Bentuk biasa Rumus logika proposisi adalah bentuk yang tidak mengandung tanda implikasi “”. Ada bentuk normal konjungtif dan disjungtif. Bentuk konjungtif hanya memuat tanda konjungsi " ". Jika suatu rumus direduksi menjadi bentuk normal konjungtif mengandung subrumus dari bentuk tersebut , maka keseluruhan rumus dalam hal ini adalah kontradiksi. Bentuk disjungtif hanya memuat tanda disjungsi " ". Jika suatu rumus yang direduksi menjadi bentuk normal disjungtif mengandung subrumus dari bentuk tersebut , maka keseluruhan rumus dalam hal ini adalah menurut hukum. Dalam semua kasus lainnya, rumusnya adalah formula yang memuaskan.
16. Predikat dan operasinya. Pengukur.
Sebuah kalimat yang mengandung satu atau lebih variabel dan, jika diberi nilai tertentu dari variabel tersebut, disebut pernyataan bentuk atau predikat ekspresif.
Tergantung pada jumlah variabel yang termasuk dalam penawaran, ada single, double, triple, dll. predikat, dilambangkan dengan demikian: A( X), DI DALAM( X, pada), DENGAN( X, pada, z).
Jika predikat tertentu diberikan, maka dua himpunan dikaitkan dengannya:
1. Himpunan (domain) definisi X, terdiri dari semua nilai variabel, jika disubstitusikan menjadi predikat, predikat berubah menjadi pernyataan. Saat menentukan predikat, domain definisinya biasanya ditunjukkan.
2. Kebenaran set T, terdiri dari semua nilai variabel tersebut, jika disubstitusikan ke dalam predikat, diperoleh pernyataan yang benar.
Himpunan kebenaran suatu predikat selalu merupakan bagian dari domain definisinya.
Anda dapat melakukan operasi yang sama pada predikat seperti pada pernyataan.
1. Penyangkalan predikat A( X), yang didefinisikan pada himpunan X, disebut predikat yang benar untuk nilai yang predikatnya A( X) berubah menjadi pernyataan yang salah, dan sebaliknya.
Dari definisi ini dapat disimpulkan bahwa predikat A( X) dan B( X) bukan merupakan negasi satu sama lain jika terdapat paling sedikit satu nilai yang predikatnya A( X) dan B( X) berubah menjadi pernyataan dengan nilai kebenaran yang sama.
Himpunan kebenaran predikat merupakan komplemen dari himpunan kebenaran predikat A( X). Mari kita nyatakan dengan T A himpunan kebenaran dari predikat A( X), dan melalui T - himpunan kebenaran dari predikat. Kemudian .
2. Konjungsi predikat A( X) dan B( XX) DI DALAM( X X X, dimana kedua predikat berubah menjadi pernyataan yang benar.
Himpunan kebenaran konjungsi predikat merupakan perpotongan himpunan kebenaran predikat A( X) DI DALAM( X). Jika kita menyatakan himpunan kebenaran predikat A(x) dengan T A, dan himpunan kebenaran predikat B(x) dengan T B, dan himpunan kebenaran predikat A(x) B(x) dengan , maka 
3. Pemisahan predikat A( X) dan B( X), yang didefinisikan pada himpunan X, disebut predikat A( X) DI DALAM( X), yang berubah menjadi pernyataan yang benar untuk nilai-nilai itu dan hanya nilai-nilai itu X X, yang paling sedikit salah satu predikatnya berubah menjadi pernyataan benar.
Himpunan kebenaran disjungsi predikat adalah gabungan himpunan kebenaran dari predikat-predikat yang membentuknya, yaitu. .
4.Implikasinya predikat A( X) dan B( X), yang didefinisikan pada himpunan X, disebut predikat A( X) DI DALAM( X), yang salah untuk nilai-nilai tersebut dan hanya nilai-nilai variabel yang predikat pertamanya berubah menjadi pernyataan benar, dan predikat kedua menjadi pernyataan salah.
Himpunan kebenaran implikasi predikat merupakan gabungan dari himpunan kebenaran predikat B( X) dengan penambahan himpunan kebenaran predikat A( X), yaitu
5. Persamaan derajatnya predikat A( X) dan B( X), yang didefinisikan pada himpunan X, disebut predikat yang berubah menjadi pernyataan benar untuk semua itu dan hanya nilai-nilai variabel yang kedua predikatnya berubah menjadi pernyataan benar atau pernyataan salah.
Himpunan kebenaran kesetaraan predikat merupakan perpotongan himpunan kebenaran suatu predikat dengan himpunan kebenaran suatu predikat.
Operasi pembilang pada predikat
Predikat dapat diterjemahkan menjadi pernyataan dengan menggunakan metode substitusi dan metode “penjumlahan bilangan”.
Tentang bilangan 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 kita dapat mengatakan: a) Semua bilangan-bilangan ini adalah bilangan prima; B) beberapa dari angka-angka yang diberikan adalah genap.
Karena kalimat-kalimat tersebut dapat dikatakan benar atau salah, maka kalimat yang dihasilkan adalah pernyataan.
Jika kita menghilangkan kata “semua” dari kalimat “a”, dan kata “beberapa” dari kalimat “b”, maka kita memperoleh predikat sebagai berikut: “bilangan-bilangan tertentu adalah bilangan prima”, “bilangan-bilangan tertentu ganjil”.
Kata “semua” dan “beberapa” disebut bilangan. Kata “quantifier” berasal dari bahasa Latin dan berarti “berapa banyak”, yaitu quantifier menunjukkan berapa banyak (semua atau beberapa) objek yang dibicarakan dalam kalimat tertentu.
Ada dua tipe utama dari quantifier: quantifier umum dan quantifier keberadaan.
Ketentuan “setiap”, “setiap”, “semua orang” dipanggil – pengukur universal. Dilambangkan dengan .
Misalkan A( X) – predikat tertentu yang ditentukan pada himpunan X. Di bawah ekspresi A( X) kita memahami pernyataan itu benar ketika A( X) bernilai benar untuk setiap elemen himpunan X, dan bernilai salah jika tidak.
Dalam contoh 1 untuk R 1 domain definisi: , kumpulan nilai - . Untuk R 2 domain definisi: , kumpulan nilai: .
Dalam banyak kasus, lebih mudah menggunakan representasi grafis dari relasi biner. Hal ini dilakukan dengan dua cara: menggunakan titik-titik pada bidang dan menggunakan panah.
Dalam kasus pertama, dua garis yang saling tegak lurus dipilih sebagai sumbu horizontal dan vertikal. Elemen-elemen himpunan diplot pada sumbu horizontal A dan tarik garis vertikal melalui setiap titik. Elemen-elemen himpunan diplot pada sumbu vertikal B, tarik garis horizontal melalui setiap titik. Titik perpotongan garis horizontal dan vertikal melambangkan unsur hasil kali langsung
18. Metode untuk menentukan relasi biner.
Subset apa pun dari hasil kali Kartesius A×B disebut relasi biner yang didefinisikan pada sepasang himpunan A dan B (dalam bahasa Latin, “bis” berarti “dua kali”). Dalam kasus umum, dengan analogi relasi biner, relasi n-ary juga dapat dianggap sebagai barisan terurut dari n elemen yang diambil dari salah satu dari n himpunan.
Untuk menyatakan relasi biner digunakan tanda R. Karena R adalah himpunan bagian dari himpunan A×B, kita dapat menuliskan R⊆A×. Jika Anda perlu menunjukkan bahwa (a, b) ∈ R, yaitu terdapat relasi R antara elemen a ∈ A dan b ∈ B, maka tulislah aRb.
Metode untuk menentukan relasi biner:
1. Ini adalah penggunaan aturan yang dengannya semua elemen yang termasuk dalam suatu hubungan tertentu ditunjukkan. Daripada menggunakan aturan, Anda dapat memberikan daftar elemen relasi tertentu dengan menghitungnya secara langsung;
2. Tabel, berupa grafik dan menggunakan bagian-bagian. Dasar dari metode tabel adalah sistem koordinat persegi panjang, di mana elemen-elemen dari satu himpunan diplot sepanjang satu sumbu, dan elemen-elemen dari himpunan lainnya diplot sepanjang sumbu kedua. Perpotongan koordinat tersebut membentuk titik-titik yang menunjukkan unsur-unsur hasil kali kartesius.
(Gambar 1.16) menunjukkan grid koordinat untuk himpunan. Titik potong tiga garis vertikal dengan enam garis horizontal merupakan elemen himpunan A×B. Lingkaran pada grid menandai elemen relasi aRb, dimana a ∈ A dan b ∈ B, R menyatakan relasi “membagi”.
Hubungan biner ditentukan oleh sistem koordinat dua dimensi. Jelaslah bahwa semua elemen hasil kali Cartesian dari tiga himpunan dapat direpresentasikan dengan cara yang sama dalam sistem koordinat tiga dimensi, empat himpunan dalam sistem empat dimensi, dan seterusnya;
3. Metode menentukan hubungan menggunakan bagian lebih jarang digunakan, jadi kami tidak akan mempertimbangkannya.
19. Refleksivitas hubungan biner. Contoh.
Dalam matematika, relasi biner pada suatu himpunan disebut refleksif jika setiap elemen himpunan tersebut mempunyai relasi dengan dirinya sendiri.
Sifat refleksivitas untuk relasi tertentu oleh suatu matriks dicirikan oleh fakta bahwa semua elemen diagonal matriks sama dengan 1; mengingat hubungan pada grafik, setiap elemen memiliki loop - busur (x, x).
Jika kondisi ini tidak terpenuhi untuk salah satu elemen himpunan, maka relasi tersebut disebut anti-refleksif.
Jika relasi anti refleksif diberikan oleh sebuah matriks, maka semua elemen diagonalnya adalah nol. Ketika hubungan seperti itu ditentukan oleh grafik, setiap titik tidak memiliki loop - tidak ada busur berbentuk (x, x).
Secara formal, sikap anti-refleksivitas diartikan sebagai: .
Jika kondisi refleksivitas tidak terpenuhi untuk semua elemen himpunan, maka relasi tersebut dikatakan non-refleksif.
©2015-2019 situs
Semua hak milik penulisnya. Situs ini tidak mengklaim kepenulisan, tetapi menyediakan penggunaan gratis.
Tanggal pembuatan halaman: 12-04-2016
1.1 . Manakah dari kalimat berikut yang merupakan proposisi?
a) Moskow adalah ibu kota Rusia.
b) Mahasiswa Fakultas Fisika dan Matematika Institut Pedagogi.
c) Segitiga ABC sebangun dengan segitiga A"B"C.
d) Bulan adalah satelit Mars.
f) Oksigen adalah gas.
g) Bubur adalah hidangan yang lezat.
h) Matematika merupakan mata pelajaran yang menarik.
i) Lukisan Picasso terlalu abstrak.
j) Besi lebih berat dari timbal.
k) Hidup para renungan!
m) Suatu segitiga disebut sama sisi jika sisi-sisinya sama panjang.
m) Jika semua sudut dalam suatu segitiga sama besar, maka segitiga tersebut sama sisi.
o) Cuaca hari ini buruk.
p) Dalam novel karya A. S. Pushkin “Eugene Onegin” ada 136.245 huruf.
p) Sungai Angara mengalir ke Danau Baikal.
Larutan. b) Kalimat ini bukan pernyataan karena tidak menyatakan apapun tentang siswa.
c) Kalimat bukanlah pernyataan: kita tidak dapat menentukan benar atau salahnya karena kita tidak mengetahui segitiga mana yang dibicarakan.
g) Kalimat tersebut bukan merupakan pernyataan, karena konsep “hidangan enak” terlalu kabur.
n) Kalimat merupakan pernyataan, namun untuk mengetahui nilai kebenarannya perlu menghabiskan banyak waktu.
1.2. Tunjukkan pernyataan mana pada soal sebelumnya yang benar dan mana yang salah.
1.3. Rumuskan negasi dari pernyataan berikut; tunjukkan nilai kebenaran pernyataan ini dan negasinya:
a) Volga mengalir ke Laut Kaspia.
b) Bilangan 28 tidak habis dibagi bilangan 7.
e) Semua bilangan prima ganjil.
1.4. Tentukan manakah pernyataan pada pasangan berikut yang merupakan negasi satu sama lain dan mana yang bukan (jelaskan alasannya):
a) 2< 0, 2 > 0. -
b) 6< 9, 6 9.
c) “Segitiga ABC siku-siku”, “Segitiga ABC tumpul”.
d) “Bilangan asli N genap", "Bilangan asli N aneh."
d) "Fungsi F aneh", "Fungsi F bahkan."
f) “Semua bilangan prima ganjil”, “Semua bilangan prima genap.”
g) “Semua bilangan prima ganjil”, “Ada bilangan prima genap.”
h) “Manusia mengetahui semua spesies hewan yang hidup di Bumi,” “Ada spesies hewan di Bumi yang tidak diketahui manusia.”
i) “Ada bilangan irasional”, “Semua bilangan rasional”.
Larutan. a) Pernyataan “2 > 0” bukan merupakan negasi dari pernyataan “2< 0», потому что требование не быть меньше 0 оставляет две возможности: быть равным 0 и быть больше 0. Таким образом, отрицанием высказывания «2 < 0» является высказывание «2 0».
1.5. Tuliskan pernyataan berikut tanpa tanda negatif:
A) 
; V) 
;
B) 
; G) 
.
1.6.
a) Leningrad terletak di Neva dan 2+3=5.
b) 7 adalah bilangan prima dan 9 adalah bilangan prima.
c) 7 adalah bilangan prima atau 9 adalah bilangan prima.
d) Apakah bilangan 2 genap atau bilangan prima?
e) 2 3, 2 3, 2 2 4, 2 2 4.
e) 2 2 = 4 atau beruang kutub hidup di Afrika.
g) 2 2 = 4, dan 2 2 5, dan 2 2 4.
Larutan. a) Karena kedua pernyataan sederhana yang dikenakan operasi konjungsi adalah benar, maka berdasarkan definisi operasi ini, konjungsinya merupakan pernyataan yang benar.
1.7. Tentukan nilai kebenaran pernyataan A, B, C, D dan E jika:
- pernyataan yang benar, dan
- PALSU.
Larutan. c) Disjungsi pernyataan-pernyataan adalah pernyataan yang benar hanya jika paling sedikit salah satu pernyataan penyusun (anggota disjungsi) yang termasuk dalam disjungsi itu benar. Dalam kasus kita, komponen kedua dari pernyataan “2 2 = 5” salah, dan disjungsi kedua pernyataan tersebut benar. Oleh karena itu, komponen pertama dari pernyataan tersebut DENGAN BENAR.
1.8. Merumuskan dan menuliskan dalam bentuk konjungsi atau disjungsi kondisi kebenaran setiap kalimat ( A Dan B- bilangan real):
A) 
G) 
Dan) 
B) 
D) 
H) 
V) 
e) 
Dan) 
Larutan. d) Suatu pecahan sama dengan nol hanya jika pembilangnya sama dengan nol dan penyebutnya tidak sama dengan nol, yaitu ( A = 0) & (B 0).
1.9. Tentukan nilai kebenaran pernyataan berikut:
a) Jika 12 habis dibagi 6, maka 12 habis dibagi 3.
b) Jika 11 habis dibagi 6, maka 11 habis dibagi 3.
c) Jika 15 habis dibagi 6, maka 15 habis dibagi 3.
d) Jika 15 habis dibagi 3, maka 15 habis dibagi 6.
e) Jika Saratov terletak di Neva, maka beruang kutub hidup di Afrika.
f) 12 habis dibagi 6 jika dan hanya jika 12 habis dibagi 3.
g) 11 habis dibagi 6 jika dan hanya jika 11 habis dibagi 3.
h) 15 habis dibagi 6 jika dan hanya jika 15 habis dibagi 3.
i) 15 habis dibagi 5 jika dan hanya jika 15 habis dibagi 4.
j) Benda bermassa M mempunyai energi potensial mgh jika dan hanya jika ia berada pada puncaknya H di atas permukaan bumi.
Larutan. a) Karena pernyataan premis “12 habis dibagi 6” benar dan pernyataan akibat “12 habis dibagi 3” benar, maka pernyataan majemuk berdasarkan definisi implikasinya juga benar.
g) Dari definisi kesetaraan kita melihat bahwa suatu pernyataan berbentuk 
benar jika makna logis dari pernyataan tersebut R Dan Q cocok, dan salah jika sebaliknya. Dalam contoh ini, kedua pernyataan yang menggunakan kata penghubung “kemudian dan hanya kemudian” adalah salah. Oleh karena itu seluruh pernyataan majemuknya benar.
1.10. Misal A menyatakan pernyataan “9 habis dibagi 3”, dan misalkan B menyatakan pernyataan “8 habis dibagi 3”. Tentukan nilai kebenaran pernyataan berikut:
A) 
G) 
Dan) 
Ke) 
B) 
D) 
H) 
k) 
V) 
e) 
Dan) 
M) 
Larutan. f) Kita punya 
,
. Itu sebabnya
1.11.
a) Jika 4 bilangan genap, maka A.
b) Jika B, maka 4 bilangan ganjil.
c) Jika 4 bilangan genap, maka C.
d) Jika D, maka 4 bilangan ganjil.
Larutan. a) Implikasi dari dua pernyataan adalah pernyataan yang salah hanya jika premisnya benar dan kesimpulannya salah. Dalam hal ini, premis “4 adalah bilangan genap” adalah benar dan dengan syarat seluruh pernyataan juga benar. Oleh karena itu, kesimpulan A tidak mungkin salah, yaitu pernyataan A benar.
1.12. Tentukan nilai kebenaran pernyataan A, B, C dan D pada kalimat berikut, yang mana dua kalimat pertama benar dan dua kalimat terakhir salah:
A) 
; B) 
;
V) 
; G) 
.
1.13. Misal A menyatakan pernyataan “Segitiga ini sama kaki”, dan misalkan B menyatakan pernyataan “Segitiga ini sama sisi”. Bacalah pernyataan berikut:
A) 
G) 
B) 
D) 
V) 
e) 
Larutan. f) Jika suatu segitiga sama kaki dan tidak sama sisi, maka tidak benar segitiga tersebut tidak sama kaki.
1.14. Bagilah pernyataan majemuk berikut menjadi pernyataan sederhana dan tuliskan secara simbolis, dengan memperkenalkan sebutan huruf untuk komponen sederhananya:
a) Jika 18 habis dibagi 2 dan tidak habis dibagi 3, maka 18 tidak habis dibagi 6.
b) Hasil kali tiga bilangan sama dengan nol jika dan hanya jika salah satunya sama dengan nol.
c) Jika turunan suatu fungsi di suatu titik sama dengan nol dan turunan keduanya dari fungsi tersebut di titik yang sama adalah negatif, maka titik tersebut adalah titik maksimum fungsi tersebut.
d) Jika suatu segitiga mediannya bukan tinggi dan garis bagi, maka segitiga tersebut tidak sama kaki dan tidak sama sisi.
Larutan. d) Mari kita pilih dan tentukan komponen pernyataan yang paling sederhana sebagai berikut:
A: “Dalam sebuah segitiga, median adalah tingginya”;
Q: “Dalam sebuah segitiga, mediannya adalah garis bagi”;
C: “Segitiga ini sama kaki”;
D: “Segitiga ini sama sisi.”
Maka pernyataan ini secara simbolis dituliskan sebagai berikut:
1.15. Dari dua pernyataan A dan B, buatlah pernyataan majemuk dengan menggunakan operasi negasi, konjungsi, dan disjungsi, yaitu:
a) benar jika dan hanya jika kedua pernyataan tersebut salah;
b) salah jika dan hanya jika kedua pernyataan yang diberikan benar.
1.16. Dari tiga pernyataan A, B, C, buatlah pernyataan majemuk yang benar jika salah satu pernyataan berikut benar, dan hanya dalam kasus ini.
1.17.
Biarkan pernyataan itu 
BENAR. Apa yang dapat dikatakan tentang makna logis dari pernyataan tersebut?
1.18.
Jika pernyataan 
benar (salah), apa yang dapat dikatakan tentang makna logis dari pernyataan:
A) 
; B) 
; V) 
; G) 
?
1.19.
Jika pernyataan 
benar dan pernyataannya 
salah, apa yang dapat dikatakan tentang arti logis dari pernyataan tersebut 
?
1.20.
Apakah ada tiga pernyataan A, B, C sedemikian rupa sehingga pernyataan tersebut secara bersamaan 
adalah pernyataan yang benar 
- salah dan pernyataan 
- PALSU?
1.21. Untuk setiap pernyataan di bawah ini, tentukan apakah informasi yang diberikan cukup untuk menetapkan makna logisnya. Jika cukup, tunjukkan nilai ini. Jika ini tidak cukup, tunjukkan bahwa kedua nilai kebenaran itu mungkin:
Larutan. a) Karena kesimpulan dari implikasinya benar, maka keseluruhan implikasinya adalah pernyataan yang benar, apapun makna logis dari premis-premisnya.