Ketika orang untuk waktu yang lama berinteraksi dalam bidang kegiatan tertentu, mereka mulai mencari cara untuk mengoptimalkan proses komunikasi. Sistem tanda dan simbol matematika adalah bahasa buatan, yang dirancang untuk mengurangi jumlah informasi yang dikirimkan secara grafis namun tetap mempertahankan makna pesan sepenuhnya.
Bahasa apa pun memerlukan pembelajaran, dan bahasa matematika tidak terkecuali dalam hal ini. Untuk memahami pengertian rumus, persamaan dan grafik, Anda perlu memiliki informasi tertentu terlebih dahulu, memahami istilah, sistem notasi, dll. Jika tidak ada pengetahuan tersebut, teks akan dianggap ditulis dalam bahasa asing yang asing.
Sesuai dengan kebutuhan masyarakat, simbol grafis untuk operasi matematika yang lebih sederhana (misalnya notasi penjumlahan dan pengurangan) dikembangkan lebih awal dibandingkan untuk konsep kompleks seperti integral atau diferensial. Semakin kompleks konsepnya, semakin banyak pula tanda yang kompleks biasanya ditunjukkan.
Model pembentukan simbol grafis
Pada tahap awal perkembangan peradaban, manusia menghubungkan operasi matematika paling sederhana dengan konsep-konsep yang sudah dikenal berdasarkan asosiasi. Misalnya, di Mesir Kuno penjumlahan dan pengurangan ditunjukkan dengan pola kaki berjalan: garis yang mengarah ke arah bacaan menunjukkan “plus”, dan in sisi sebaliknya- "kurang".
Angka, mungkin di semua budaya, awalnya ditentukan oleh jumlah garis yang sesuai. Kemudian mereka mulai digunakan untuk merekam simbol- ini menghemat waktu, serta ruang pada media fisik. Huruf sering digunakan sebagai simbol: strategi ini tersebar luas dalam bahasa Yunani, Latin, dan banyak bahasa lain di dunia.
Sejarah munculnya simbol dan tanda matematika mengetahui dua cara paling produktif dalam menciptakan elemen grafis.
Mengubah Representasi Verbal
Awalnya, setiap konsep matematika diungkapkan dengan kata atau frasa tertentu dan tidak memiliki representasi grafis sendiri (selain representasi leksikal). Namun, melakukan penghitungan dan menulis rumus dalam kata-kata merupakan prosedur yang panjang dan memakan banyak ruang pada media fisik.
Cara umum untuk membuat simbol matematika adalah dengan mengubah representasi leksikal suatu konsep menjadi elemen grafis. Dengan kata lain, kata yang menunjukkan suatu konsep dipersingkat atau diubah dengan cara lain seiring berjalannya waktu.
Misalnya, hipotesis utama asal usul tanda plus adalah singkatannya dari bahasa Latin et, analoginya dalam bahasa Rusia adalah konjungsi "dan". Lambat laun, huruf pertama dalam tulisan kursif berhenti ditulis, dan T direduksi menjadi salib.
Contoh lainnya adalah tanda “x” untuk yang tidak diketahui, yang awalnya merupakan singkatan dari kata Arab untuk “sesuatu”. Dengan cara yang sama, tanda-tanda untuk menunjukkan akar pangkat dua, persen, integral, logaritma, dll. Dalam tabel simbol dan tanda matematika, Anda dapat menemukan lebih dari selusin elemen grafis yang muncul dengan cara ini.
Penetapan karakter khusus
Pilihan umum kedua untuk pembentukan tanda dan simbol matematika adalah dengan menetapkan simbol secara sewenang-wenang. Dalam hal ini, kata dan sebutan grafis tidak berhubungan satu sama lain - tanda tersebut biasanya disetujui atas rekomendasi salah satu anggota komunitas ilmiah.
Misalnya, tanda perkalian, pembagian, dan persamaan dikemukakan oleh ahli matematika William Oughtred, Johann Rahn, dan Robert Record. Dalam beberapa kasus, beberapa simbol matematika mungkin telah diperkenalkan ke dalam sains oleh seorang ilmuwan. Secara khusus, Gottfried Wilhelm Leibniz mengusulkan sejumlah simbol, termasuk integral, diferensial, dan turunan.
Operasi paling sederhana
Setiap anak sekolah mengetahui tanda-tanda seperti “plus” dan “minus”, serta simbol-simbol perkalian dan pembagian, meskipun ada beberapa kemungkinan tanda grafik untuk dua operasi terakhir yang disebutkan.
Dapat dikatakan bahwa orang-orang mengetahui cara menambah dan mengurangi ribuan tahun sebelum zaman kita, tetapi tanda dan simbol matematika standar yang menunjukkan tindakan ini dan yang kita kenal saat ini baru muncul pada abad ke-14-15.
Namun, meskipun ada kesepakatan tertentu dalam komunitas ilmiah, perkalian di zaman kita dapat diwakili oleh tiga tanda berbeda (silang diagonal, titik, tanda bintang), dan pembagian dengan dua (garis horizontal dengan titik di atas dan di bawah). atau garis miring).
Surat
Selama berabad-abad, komunitas ilmiah secara eksklusif menggunakan bahasa Latin untuk menyampaikan informasi, dan banyak istilah dan simbol matematika berasal dari bahasa ini. Dalam beberapa kasus, elemen grafis adalah hasil dari pemendekan kata, lebih jarang - transformasi yang disengaja atau tidak disengaja (misalnya, karena kesalahan ketik).
Penunjukan persentase (“%”) kemungkinan besar berasal dari kesalahan ejaan singkatan WHO(cento, yaitu “bagian keseratus”). Dengan cara yang sama, muncullah tanda plus, yang sejarahnya dijelaskan di atas.
Lebih banyak lagi yang terbentuk karena pemendekan kata yang disengaja, meskipun hal ini tidak selalu jelas. Tidak semua orang mengenali huruf pada tanda akar kuadrat R, yaitu karakter pertama dalam kata Radix (“root”). Simbol integral juga mewakili huruf pertama dari kata Summa, namun secara intuitif terlihat seperti huruf kapital F tanpa garis horizontal. Omong-omong, pada publikasi pertama, penerbit membuat kesalahan seperti itu dengan mencetak f alih-alih simbol ini.
huruf Yunani
Sebagai simbol grafis Untuk berbagai konsep, tidak hanya bahasa Latin yang digunakan, tetapi juga dalam tabel simbol matematika Anda dapat menemukan sejumlah contoh nama tersebut.
Angka Pi yang merupakan perbandingan keliling lingkaran dengan diameternya berasal dari huruf pertama kata Yunani, menunjukkan lingkaran. Ada beberapa lainnya yang kurang dikenal bilangan irasional, dilambangkan dengan huruf alfabet Yunani.
Tanda yang sangat umum dalam matematika adalah “delta”, yang mencerminkan jumlah perubahan nilai variabel. Tanda lain yang umum digunakan adalah “sigma”, yang berfungsi sebagai tanda penjumlahan.
Selain itu, hampir semua huruf Yunani digunakan dalam matematika dengan satu atau lain cara. Namun, tanda dan simbol matematika tersebut beserta maknanya hanya diketahui oleh orang-orang yang berkecimpung di bidang sains secara profesional. Dalam kehidupan sehari-hari dan Kehidupan sehari-hari seseorang tidak membutuhkan pengetahuan ini.
Tanda-tanda logika
Anehnya, banyak simbol intuitif ditemukan baru-baru ini.
Secara khusus, panah horizontal yang menggantikan kata "karena itu" baru diusulkan pada tahun 1922. Pengukur keberadaan dan universalitas, yaitu tanda yang dibaca sebagai: "ada ..." dan "untuk apa pun ...", diperkenalkan pada tahun 1897 dan masing-masing tahun 1935.
Simbol dari bidang teori himpunan ditemukan pada tahun 1888-1889. Dan lingkaran yang dicoret, yang diketahui setiap siswa saat ini sekolah menengah atas sebagai tanda himpunan kosong, muncul pada tahun 1939.
Jadi, simbol untuk konsep kompleks seperti integral atau logaritma ditemukan berabad-abad lebih awal daripada beberapa simbol intuitif yang mudah dipahami dan dipelajari bahkan tanpa persiapan sebelumnya.
Simbol matematika dalam bahasa Inggris
Karena sebagian besar konsep dijelaskan dalam karya ilmiah dalam bahasa Latin, sejumlah nama tanda dan simbol matematika dalam bahasa Inggris dan Rusia adalah sama. Misalnya: Plus, Integral, Fungsi Delta, Tegak Lurus, Paralel, Null.
Beberapa konsep dalam kedua bahasa tersebut disebut berbeda: misalnya pembagian adalah Pembagian, perkalian adalah Perkalian. Dalam kasus yang jarang terjadi, nama bahasa Inggris untuk tanda matematika menjadi tersebar luas di bahasa Rusia: misalnya, garis miring tahun terakhir sering disebut sebagai “tebasan”.
tabel simbol
Yang paling sederhana dan cara yang nyaman biasakan diri Anda dengan daftar tanda matematika - lihat tabel khusus yang berisi tanda operasi, simbol logika matematika, teori himpunan, geometri, kombinatorik, analisis matematis, aljabar linier. Tabel ini menyajikan simbol-simbol matematika dasar dalam bahasa Inggris.
Simbol matematika dalam editor teks
Saat melakukan berbagai jenis pekerjaan, seringkali perlu menggunakan rumus yang menggunakan karakter yang tidak ada pada keyboard komputer.
Seperti elemen grafis dari hampir semua bidang pengetahuan, tanda dan simbol matematika di Word dapat ditemukan di tab “Sisipkan”. Dalam versi program 2003 atau 2007, ada opsi "Sisipkan simbol": ketika Anda mengklik tombol di sisi kanan panel, pengguna akan melihat tabel yang berisi semua simbol matematika yang diperlukan, huruf kecil Yunani dan huruf besar surat, jenis yang berbeda tanda kurung dan banyak lagi.
Dalam versi program yang dirilis setelah 2010, opsi yang lebih nyaman telah dikembangkan. Ketika Anda mengklik tombol "Rumus", Anda pergi ke perancang rumus, yang menyediakan penggunaan pecahan, memasukkan data di bawah akar, mengubah register (untuk menunjukkan derajat atau nomor serial variabel). Semua tanda dari tabel di atas juga dapat ditemukan di sini.
Apakah layak mempelajari simbol matematika?
Sistem notasi matematika merupakan bahasa buatan yang hanya menyederhanakan proses penulisan, namun tidak dapat membawa pemahaman subjek kepada pengamat luar. Dengan demikian, menghafal tanda-tanda tanpa mempelajari istilah, aturan, dan hubungan logis antar konsep tidak akan mengarah pada penguasaan bidang pengetahuan tersebut.
Otak manusia dengan mudah mempelajari tanda, huruf, dan singkatan - notasi matematika diingat dengan sendirinya ketika mempelajari mata pelajaran tersebut. Memahami arti dari setiap tindakan tertentu menciptakan tanda-tanda yang begitu kuat sehingga tanda-tanda yang menunjukkan istilah-istilah tersebut, dan seringkali rumus-rumus yang terkait dengannya, tetap diingat selama bertahun-tahun atau bahkan puluhan tahun.
Akhirnya
Karena bahasa apa pun, termasuk bahasa buatan, terbuka terhadap perubahan dan penambahan, jumlah tanda dan simbol matematika pasti akan bertambah seiring waktu. Ada kemungkinan beberapa unsur akan diganti atau disesuaikan, sedangkan unsur lainnya akan dibakukan dalam satu-satunya bentuk yang memungkinkan, yang relevan, misalnya untuk tanda perkalian atau pembagian.
Kemampuan menggunakan simbol-simbol matematika pada tingkat kursus sekolah penuh sudah masuk dunia modern praktis diperlukan. Dalam konteks perkembangan yang pesat teknologi Informasi dan sains, algoritma dan otomasi yang meluas, penguasaan peralatan matematika harus dianggap sebagai hal yang lumrah, dan penguasaan simbol-simbol matematika sebagai bagian integral darinya.
Karena perhitungan digunakan dalam bidang kemanusiaan, ekonomi, ilmu pengetahuan alam, dan, tentu saja, di bidang teknologi dan teknologi tinggi, pemahaman konsep matematika dan pengetahuan tentang simbol akan berguna bagi setiap spesialis.
dari dua), 3 > 2 (tiga lebih dari dua), dst.Perkembangan simbolisme matematika erat kaitannya dengan perkembangan umum konsep dan metode matematika. Pertama Tanda-tanda matematika ada tanda untuk menggambarkan angka - angka , yang kemunculannya rupanya mendahului penulisan. Sistem penomoran paling kuno - Babilonia dan Mesir - muncul pada awal 3 1/2 milenium SM. e.
Pertama Tanda-tanda matematika untuk jumlah sewenang-wenang muncul jauh kemudian (mulai dari abad ke 5-4 SM) di Yunani. Besaran (luas, volume, sudut) digambarkan dalam bentuk segmen, dan hasil kali dua besaran homogen sembarang digambarkan dalam bentuk persegi panjang yang dibangun pada segmen yang bersesuaian. dalam "Prinsip" Euclid (abad ke-3 SM) besaran dilambangkan dengan dua huruf - huruf awal dan akhir dari segmen yang bersesuaian, dan terkadang hanya satu. kamu Archimedes (abad ke-3 SM) metode terakhir menjadi umum. Sebutan seperti itu mengandung kemungkinan berkembangnya kalkulus huruf. Namun, dalam matematika kuno klasik, kalkulus huruf tidak diciptakan.
Awal mula representasi alfabet dan kalkulus muncul pada akhir era Helenistik sebagai akibat dari pembebasan aljabar dari bentuk geometris. Diophantus (mungkin abad ke-3) tercatat tidak diketahui ( X) dan derajatnya dengan tanda sebagai berikut:
[ - dari istilah Yunani dunamiV (dinamis - kekuatan), yang menunjukkan kuadrat yang tidak diketahui, - dari bahasa Yunani cuboV (k_ybos) - kubus]. Di sebelah kanan yang tidak diketahui atau pangkatnya, Diophantus menulis koefisien, misalnya digambarkan 3 x 5
(di mana = 3). Saat menjumlahkan, Diophantus menghubungkan suku-suku tersebut satu sama lain, dan menggunakan tanda khusus untuk pengurangan; Diophantus melambangkan kesetaraan dengan huruf i [dari bahasa Yunani isoV (isos) - sama dengan]. Misalnya persamaan
(X 3 + 8X) - (5X 2 + 1) =X
Diophantus akan menulisnya seperti ini:
(Di Sini
berarti satuan tersebut tidak mempunyai pengali berupa pangkat yang tidak diketahui).
Beberapa abad kemudian, orang India memperkenalkan berbagai macam Tanda-tanda matematika untuk beberapa yang tidak diketahui (singkatan dari nama warna yang menunjukkan tidak diketahui), kuadrat, akar kuadrat, pengurang. Jadi, persamaannya
3X 2 + 10X - 8 = X 2 + 1
Dalam rekaman Brahmagupta (abad ke-7) akan terlihat seperti:
Ya va 3 ya 10 ru 8
Ya va 1 ya 0 ru 1
(ya - dari yavat - tavat - tidak diketahui, va - dari varga - nomor persegi, ru - dari rupa - koin rupee - istilah bebas, titik di atas angka berarti angka yang dikurangi).
Penciptaan simbolisme aljabar modern dimulai pada abad 14-17; itu ditentukan oleh keberhasilan aritmatika praktis dan studi persamaan. DI DALAM berbagai negara muncul secara spontan Tanda-tanda matematika untuk beberapa tindakan dan untuk kekuatan yang besarnya tidak diketahui. Berpuluh-puluh tahun dan bahkan berabad-abad berlalu sebelum satu atau beberapa simbol nyaman dikembangkan. Jadi, pada akhir tanggal 15 dan. N. Shuke dan saya. Pacioli menggunakan tanda penjumlahan dan pengurangan
(dari bahasa Latin plus dan minus), matematikawan Jerman memperkenalkan + modern (mungkin singkatan dari bahasa Latin et) dan -. Kembali pada abad ke-17. Anda dapat menghitung sekitar selusin Tanda-tanda matematika untuk tindakan perkalian.
Ada juga yang berbeda Tanda-tanda matematika tidak diketahui dan derajatnya. Pada abad ke-16 - awal abad ke-17. lebih dari sepuluh notasi bersaing untuk kuadrat yang tidak diketahui saja, mis. se(dari sensus - istilah Latin yang berfungsi sebagai terjemahan dari bahasa Yunani dunamiV, Q(dari kuadratum), , A (2), , Aii, A A, sebuah 2 dll. Jadi, persamaannya
x 3 + 5 X = 12
matematikawan Italia G. Cardano (1545) akan berbentuk:
dari matematikawan Jerman M. Stiefel (1544):
dari matematikawan Italia R. Bombelli (1572):
Matematikawan Perancis F. Vieta (1591):
dari matematikawan Inggris T. Harriot (1631):
Pada abad ke-16 dan awal abad ke-17. tanda sama dengan dan tanda kurung digunakan: persegi (R. bomelli , 1550), bulat (N. Tartaglia , 1556), berpola (F. Vietnam , 1593). Pada abad ke-16 tampilan modern menerima notasi pecahan.
Sebuah langkah maju yang signifikan dalam pengembangan simbolisme matematika adalah pengenalan oleh Viet (1591) Tanda-tanda matematika untuk besaran konstan sembarang berupa huruf konsonan kapital abjad latin B, D, yang memberinya kesempatan untuk pertama kalinya menuliskan persamaan aljabar dengan koefisien sembarang dan mengoperasikannya. Viet menggambarkan hal yang tidak diketahui dengan vokal dalam huruf kapital A, E,... Misalnya rekaman Viet
Dalam simbol kami terlihat seperti ini:
x 3 + 3bx = D.
Viet adalah pencipta rumus aljabar. R. Descartes (1637) memberikan tanda-tanda aljabar tampilan modern, yang menunjukkan hal-hal yang tidak diketahui dengan huruf terakhir Lat. alfabet x, kamu, z, dan nilai data arbitrer - dengan huruf awal a, b, c. Rekor gelar saat ini adalah miliknya. Notasi Descartes memiliki keunggulan besar dibandingkan semua notasi sebelumnya. Oleh karena itu, mereka segera mendapat pengakuan universal.
Pengembangan lebih lanjut Tanda-tanda matematika terkait erat dengan penciptaan analisis yang sangat kecil, untuk pengembangan simbolisme yang sebagian besar dasarnya telah disiapkan dalam aljabar.
Tanggal asal beberapa simbol matematika
| tanda | arti | Siapa yang masuk | Saat masuk |
| Tanda-tanda objek individu | |||
| ¥ | ketakterbatasan | J.Walis | 1655 |
| e | basis logaritma natural | L.Euler | 1736 |
| P | perbandingan keliling dengan diameter | W.Jones L.Euler | 1706 |
| Saya | akar kuadrat -1 | L.Euler | 1777 (dicetak 1794) |
| saya jk | vektor satuan, vektor satuan | W.Hamilton | 1853 |
| P(a) | sudut paralelisme | N.I. Lobachevsky | 1835 |
| Tanda-tanda objek variabel | |||
| x,y,z | jumlah yang tidak diketahui atau berubah-ubah | R.Descartes | 1637 |
| R | vektor | O.Cauchy | 1853 |
| Tanda-tanda transaksi individu | |||
| + | tambahan | matematikawan Jerman | Akhir abad ke-15 |
| – | pengurangan |
||
| ´ | perkalian | W.luar biasa | 1631 |
| × | perkalian | G.Leibniz | 1698 |
| : | divisi | G.Leibniz | 1684 |
| sebuah 2 , sebuah 3 ,…, sebuah n | derajat | R.Descartes | 1637 |
| I.Newton | 1676 |
||
| | akar | K.Rudolph | 1525 |
| A.Girard | 1629 |
||
| Catatan | logaritma | I.Kepler | 1624 |
| catatan | B.Cavalieri | 1632 |
|
| dosa | sinus | L.Euler | 1748 |
| karena | kosinus |
||
| tg | garis singgung | L.Euler | 1753 |
| arc.sin | arcsinus | J.Lagrange | 1772 |
SH | sinus hiperbolik | V.Riccati | 1757 |
Bab | kosinus hiperbolik |
||
| dx, ddx,… | diferensial | G.Leibniz | 1675 (dicetak 1684) |
d 2x, d 3x,… |
|||
| | integral | G.Leibniz | 1675 (dicetak 1686) |
| | turunan | G.Leibniz | 1675 |
| ¦¢x | turunan | J.Lagrange | 1770, 1779 |
| kamu' |
|||
| ¦¢(x) |
|||
| Dx | perbedaan | L.Euler | 1755 |
| | turunan parsial | A.Legenda | 1786 |
| | integral tertentu | J.Fourier | 1819-22 |
| | jumlah | L.Euler | 1755 |
| P | bekerja | K.Gauss | 1812 |
| ! | faktorial | K.Crump | 1808 |
| |x| | modul | K.Weierstrass | 1841 |
| batas | membatasi | W.Hamilton, banyak ahli matematika | 1853, awal abad ke-20 |
| batas |
|||
| N = ¥ |
|||
| batas |
|||
| N ® ¥ |
|||
| X | fungsi zeta | B.Riemann | 1857 |
| G | fungsi gamma | A.Legenda | 1808 |
| DI DALAM | fungsi beta | J.Binet | 1839 |
| D | delta (operator Laplace) | R.Murphy | 1833 |
| Ñ | nabla (kamera Hamilton) | W.Hamilton | 1853 |
| Tanda-tanda operasi variabel | |||
| jx | fungsi | I.Bernouli | 1718 |
| f(x) | L.Euler | 1734 |
|
| Tanda-tanda hubungan individu | |||
| = | persamaan | R.Rekam | 1557 |
| > | lagi | T.Garriott | 1631 |
| < | lebih sedikit |
||
| º | keterbandingan | K.Gauss | 1801 |
| | paralelisme | W.luar biasa | 1677 |
| ^ | sifat tegak lurus | P.Erigon | 1634 |
DAN. Newton dalam metode fluksi dan kelancarannya (1666 dan tahun-tahun berikutnya) ia memperkenalkan tanda-tanda fluksi yang berurutan (turunan) suatu besaran (dalam bentuk
dan untuk peningkatan yang sangat kecil Hai. Agak sebelumnya J. Wallis (1655) mengusulkan tanda tak terhingga ¥.
Pencipta simbolisme modern kalkulus diferensial dan integral adalah G. Leibniz . Secara khusus, dia memiliki yang saat ini digunakan Tanda-tanda matematika perbedaan
dx,d 2 x,d 3 X
dan integral
Penghargaan yang sangat besar untuk menciptakan simbolisme matematika modern adalah milik L. Euler . Ia memperkenalkan (1734) ke dalam penggunaan umum tanda pertama suatu operasi variabel, yaitu tanda fungsi F(X) (dari fungsi Latin). Setelah karya Euler, tanda-tanda untuk banyak fungsi individual, seperti fungsi trigonometri, menjadi standar. Euler adalah penulis notasi konstanta e(dasar logaritma natural, 1736), p [mungkin dari bahasa Yunani perijereia (periphereia) - lingkaran, pinggiran, 1736], satuan imajiner
(dari bahasa Perancis imaginaire - imaginary, 1777, diterbitkan 1794).
Pada abad ke-19 peran simbolisme semakin meningkat. Pada saat ini, tanda-tanda nilai absolut |x| muncul. (KE. Weierstrass , 1841), vektor (O. Cauchy , 1853), determinan
(A. Cayley , 1841), dll. Banyak teori yang muncul pada abad ke-19, misalnya kalkulus tensor, tidak dapat dikembangkan tanpa simbolisme yang sesuai.
Seiring dengan proses standardisasi yang ditentukan Tanda-tanda matematika dalam sastra modern sering ditemukan Tanda-tanda matematika, digunakan oleh masing-masing penulis hanya dalam lingkup penelitian ini.
Dari sudut pandang logika matematika, antara lain Tanda-tanda matematika Kelompok utama berikut dapat diuraikan: A) tanda-tanda benda, B) tanda-tanda operasi, C) tanda-tanda hubungan. Misalnya tanda 1, 2, 3, 4 melambangkan bilangan, yaitu benda-benda yang dipelajari secara aritmatika. Tanda penjumlahan + dengan sendirinya tidak mewakili objek apa pun; ia menerima isi pokok bahasan bila ditunjukkan bilangan mana yang dijumlahkan: notasi 1 + 3 melambangkan bilangan 4. Tanda > (lebih besar dari) merupakan tanda hubungan antar bilangan. Tanda relasi menerima isi yang benar-benar pasti bila ditunjukkan antara objek mana yang dianggap relasinya. Ke tiga kelompok utama yang terdaftar Tanda-tanda matematika berdekatan dengan yang keempat: D) tanda bantu yang menetapkan urutan kombinasi tanda utama. Gagasan yang cukup tentang tanda-tanda tersebut diberikan oleh tanda kurung yang menunjukkan urutan tindakan.
Tanda-tanda dari masing-masing kelompok A), B) dan C) ada dua macam: 1) tanda-tanda individual dari objek, operasi dan hubungan yang terdefinisi dengan baik, 2) tanda-tanda umum objek, operasi, dan hubungan “non-variabel” atau “tidak diketahui”.
Contoh tanda jenis pertama adalah (lihat juga tabel):
A 1) Penunjukan bilangan asli 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; angka transendental e dan hal; satuan imajiner Saya.
B 1) Tanda operasi aritmatika+, -, ·, ´,:; ekstraksi akar, diferensiasi
tanda-tanda jumlah (gabungan) È dan hasil kali (persimpangan) Ç dari himpunan; ini juga termasuk tanda-tanda fungsi individu sin, tg, log, dll.
1) Tanda sama dengan dan pertidaksamaan =, >,<, ¹, знаки параллельности || и перпендикулярности ^, знаки принадлежности Î элемента некоторому множеству и включения Ì одного множества в другое и т.п.
Tanda jenis kedua menggambarkan objek, operasi dan relasi arbitrer dari kelas atau objek tertentu, operasi dan relasi yang tunduk pada kondisi tertentu yang telah disepakati sebelumnya. Misalnya saat menulis identitas ( A + B)(A - B) = A 2 - B 2 huruf A Dan B mewakili angka arbitrer; ketika mempelajari ketergantungan fungsional pada = X 2 huruf X Dan kamu - bilangan arbitrer yang dihubungkan oleh hubungan tertentu; saat menyelesaikan persamaan
X menunjukkan bilangan apa pun yang memenuhi persamaan ini (sebagai hasil penyelesaian persamaan ini, kita mengetahui bahwa hanya dua kemungkinan nilai +1 dan -1 yang sesuai dengan kondisi ini).
Dari sudut pandang logika, sah-sah saja menyebut tanda-tanda umum tersebut sebagai tanda-tanda variabel, seperti yang lazim dalam logika matematika, tanpa takut dengan kenyataan bahwa “domain perubahan” suatu variabel bisa saja terdiri dari satu variabel. objek atau bahkan “kosong” (misalnya, dalam kasus persamaan, tanpa solusi). Contoh lebih lanjut dari jenis tanda ini dapat berupa:
A 2) Penunjukan titik, garis, bidang, dan bangun geometri yang lebih kompleks dengan huruf dalam geometri.
B 2) Sebutan F, , j untuk fungsi dan notasi kalkulus operator, bila dengan satu huruf L mewakili, misalnya, operator sembarang dalam bentuk:
Notasi untuk “hubungan variabel” kurang umum; hanya digunakan dalam logika matematika (lihat. Aljabar logika ) dan dalam studi matematika yang relatif abstrak, sebagian besar aksiomatik.
menyala.: Cajori., Sejarah notasi matematika, v. 1-2, Bab., 1928-29.
Artikel tentang kata " Tanda-tanda matematika" dalam Ensiklopedia Besar Soviet dibaca 39.764 kali
Kursus ini menggunakan bahasa geometris, terdiri dari notasi dan simbol yang diadopsi dalam mata pelajaran matematika (khususnya, dalam mata pelajaran geometri baru di sekolah menengah).
Keseluruhan ragam sebutan dan simbol, serta hubungan antar keduanya, dapat dibagi menjadi dua kelompok:
kelompok I - sebutan bentuk geometris dan hubungan di antara mereka;
kelompok II sebutan operasi logika yang membentuk dasar sintaksis bahasa geometris.
Di bawah ini adalah daftar lengkap simbol matematika yang digunakan dalam kursus ini. Perhatian khusus diberikan pada simbol-simbol yang digunakan untuk menunjukkan proyeksi bangun-bangun geometris.
Grup I
SIMBOL YANG MENUNJUKKAN GAMBAR GEOMETRI DAN HUBUNGAN ANTARANYA
A. Penunjukan bangun datar
1. Suatu bangun datar dilambangkan dengan - F.
2. Poin ditunjukkan dengan huruf kapital alfabet Latin atau angka Arab:
A, B, C, D, ... , L, M, N, ...
1,2,3,4,...,12,13,14,...
3. Garis-garis yang letaknya sewenang-wenang terhadap bidang proyeksi ditandai dengan huruf kecil alfabet Latin:
a, b, c, d, ... , l, m, n, ...
Garis level ditandai: h - horizontal; f-depan.
Notasi berikut juga digunakan untuk garis lurus:
(AB) - garis lurus yang melalui titik A dan B;
[AB) - sinar yang berawal di titik A;
[AB] - ruas garis lurus yang dibatasi oleh titik A dan B.
4. Permukaan ditandai dengan huruf kecil alfabet Yunani:
α, β, γ, δ,...,ζ,η,ν,...
Untuk menekankan cara suatu permukaan didefinisikan, elemen geometris yang mendefinisikannya harus ditunjukkan, misalnya:
α(a || b) - bidang α ditentukan oleh garis sejajar a dan b;
β(d 1 d 2 gα) - permukaan β ditentukan oleh pemandu d 1 dan d 2, generator g dan bidang paralelisme α.
5. Sudut ditunjukkan:
∠ABC - sudut dengan titik sudut di titik B, serta ∠α°, ∠β°, ... , ∠φ°, ...
6. Sudut : nilai (ukuran derajat) ditunjukkan dengan tanda yang diletakkan di atas sudut:
Besarnya sudut ABC;
Besarnya sudut φ.
Sudut siku-siku ditandai dengan persegi dengan titik di dalamnya
7. Jarak antar bangun geometri ditunjukkan dengan dua ruas vertikal - ||.
Misalnya:
|AB| - jarak antara titik A dan B (panjang ruas AB);
|Aa| - jarak dari titik A ke garis a;
|Aα| - jarak dari titik A ke permukaan ;
|ab| - jarak antar garis a dan b;
|αβ| jarak antara permukaan α dan β.
8. Untuk bidang proyeksi, sebutan berikut diterima: π 1 dan π 2, dimana π 1 adalah bidang proyeksi horizontal;
π 2 - bidang proyeksi frontal.
Saat mengganti bidang proyeksi atau memperkenalkan bidang baru, bidang baru diberi nama π 3, π 4, dll.
9. Sumbu proyeksi ditetapkan: x, y, z, dimana x adalah sumbu absis; y - sumbu ordinat; z - terapkan sumbu.
Diagram garis lurus konstan Monge dilambangkan dengan k.
10. Proyeksi titik, garis, permukaan, bangun geometri apa pun ditandai dengan huruf (atau angka) yang sama seperti aslinya, dengan tambahan superskrip yang sesuai dengan bidang proyeksi tempat diperolehnya:
A", B", C", D", ... , L", M", N", proyeksi titik horizontal; A", B", C", D", ... , L", M " , N", ... proyeksi titik secara frontal; a" , b" , c" , d" , ... , l", m" , n" , - proyeksi garis horizontal; a" , b" , c" , d" , ... , l" , m " , n" , ... proyeksi garis depan; α", β", γ", δ",...,ζ",η",ν",... proyeksi horizontal permukaan; α", β", γ", δ",...,ζ " ,η",ν",... proyeksi permukaan secara frontal.
11. Jejak bidang (permukaan) ditandai dengan huruf yang sama dengan horizontal atau frontal, dengan tambahan subskrip 0α, yang menekankan bahwa garis-garis tersebut terletak pada bidang proyeksi dan termasuk dalam bidang (permukaan) α.
Jadi: h 0α - jejak horizontal bidang (permukaan) α;
f 0α - jejak frontal bidang (permukaan) α.
12. Jejak garis lurus (garis) ditandai dengan huruf kapital, yang diawali dengan kata yang menentukan nama (dalam transkripsi Latin) bidang proyeksi tempat garis tersebut berpotongan, dengan subskrip yang menunjukkan afiliasi dengan garis tersebut.
Contoh: H a - jejak mendatar suatu garis lurus (garis) a;
F a - jejak depan garis lurus (garis) a.
13. Urutan titik, garis (gambar apa saja) ditandai dengan subskrip 1,2,3,..., n:
SEBUAH 1, SEBUAH 2, SEBUAH 3,..., SEBUAH n;
a 1 , a 2 , a 3 ,...,an ;
α 1, α 2, α 3,...,α n;
Ф 1, Ф 2, Ф 3,..., Ф n, dst.
Proyeksi bantu suatu titik, yang diperoleh sebagai hasil transformasi untuk memperoleh nilai sebenarnya suatu bangun geometri, dilambangkan dengan huruf yang sama dengan subskrip 0:
SEBUAH 0 , B 0 , C 0 , D 0 , ...
Proyeksi aksonometri
14. Proyeksi aksonometri titik, garis, permukaan dilambangkan dengan huruf yang sama dengan alam dengan tambahan superskrip 0:
A 0, B 0, C 0, D 0, ...
1 0 , 2 0 , 3 0 , 4 0 , ...
a 0 , b 0 , c 0 , d 0 , ...
α 0 , β 0 , γ 0 , δ 0 , ...
15. Proyeksi sekunder ditunjukkan dengan menambahkan superskrip 1:
A 1 0, B 1 0, C 1 0, D 1 0, ...
1 1 0 , 2 1 0 , 3 1 0 , 4 1 0 , ...
a 1 0 , b 1 0 , c 1 0 , d 1 0 , ...
α 1 0 , β 1 0 , γ 1 0 , δ 1 0 , ...
Untuk memudahkan membaca gambar di buku teks, digunakan beberapa warna saat mendesain bahan ilustrasi, yang masing-masing memiliki makna semantik tertentu: garis hitam (titik) menunjukkan data asli; warna hijau digunakan untuk garis konstruksi grafis tambahan; garis merah (titik) menunjukkan hasil konstruksi atau elemen geometris yang perlu mendapat perhatian khusus.
| Tidak. oleh por. | Penamaan | Isi | Contoh notasi simbolik |
|---|---|---|---|
| 1 | ≡ | Cocok | (AB)≡(CD) - garis lurus yang melalui titik A dan B, berimpit dengan garis yang melalui titik C dan D |
| 2 | ≅ | Kongruen | ∠ABC≅∠MNK - sudut ABC kongruen dengan sudut MNK |
| 3 | ∼ | Serupa | ΔАВС∼ΔMNK - segitiga АВС dan MNK sebangun |
| 4 | || | Paralel | α||β - bidang α sejajar dengan bidang β |
| 5 | ⊥ | Tegak lurus | a⊥b - garis lurus a dan b tegak lurus |
| 6 | Blasteran | c d - garis lurus c dan d berpotongan | |
| 7 | Garis singgung | t l - garis t bersinggungan dengan garis l. βα - bidang β bersinggungan dengan permukaan α |
|
| 8 | → | Ditampilkan | F 1 →F 2 - gambar F 1 dipetakan ke gambar F 2 |
| 9 | S | Pusat Proyeksi. Jika pusat proyeksi adalah titik yang tidak tepat, kemudian posisinya ditunjukkan dengan tanda panah, menunjukkan arah proyeksi | - |
| 10 | S | Arah proyeksi | - |
| 11 | P | Proyeksi paralel | р s α Proyeksi paralel - proyeksi paralel ke bidang α dalam arah s |
| Tidak. oleh por. | Penamaan | Isi | Contoh notasi simbolik | Contoh notasi simbolik dalam geometri |
|---|---|---|---|---|
| 1 | M N | Set | - | - |
| 2 | A,B,C,... | Elemen himpunan | - | - |
| 3 | { ... } | Terdiri... | (A, B, C,...) | Ф(A, B, C,...) - gambar Ф terdiri dari titik A, B, C, ... |
| 4 | ∅ | Set kosong | L - ∅ - himpunan L kosong (tidak mengandung unsur) | - |
| 5 | ∈ | Milik, adalah sebuah elemen | 2∈N (dengan N adalah himpunan bilangan asli) - angka 2 termasuk dalam himpunan N | A ∈ a - titik A termasuk dalam garis a (titik A terletak pada garis a) |
| 6 | ⊂ | Termasuk, berisi | N⊂M - himpunan N adalah bagian (subset) dari himpunan M dari semua bilangan rasional | a⊂α - garis lurus a milik bidang α (dipahami dalam arti: himpunan titik-titik pada garis a merupakan himpunan bagian dari titik-titik pada bidang α) |
| 7 | ∪ | Sebuah asosiasi | C = A U B - himpunan C adalah gabungan dari himpunan A dan B; (1, 2.3, 4.5) = (1,2,3)∪(4.5) | ABCD = ∪ [ВС] ∪ - garis putus-putus, ABCD adalah menggabungkan segmen [AB], [BC], |
| 8 | ∩ | Persimpangan banyak | M=K∩L - himpunan M adalah perpotongan himpunan K dan L (berisi unsur-unsur yang termasuk dalam himpunan K dan himpunan L). M ∩ N = ∅ - perpotongan himpunan M dan N adalah himpunan kosong (himpunan M dan N tidak mempunyai unsur persekutuan) | a = α ∩ β - garis lurus a adalah perpotongannya bidang α dan β a ∩ b = ∅ - garis lurus a dan b tidak berpotongan (tidak memiliki kesamaan poin) |
| Tidak. oleh por. | Penamaan | Isi | Contoh notasi simbolik |
|---|---|---|---|
| 1 | ∧ | Konjungsi kalimat; sesuai dengan konjungsi "dan". Suatu kalimat (p∧q) benar jika dan hanya jika p dan q keduanya benar | α∩β = (К:K∈α∧K∈β) Perpotongan permukaan α dan β merupakan himpunan titik (garis), terdiri dari semua itu dan hanya titik-titik K yang dimiliki oleh permukaan α dan permukaan β |
| 2 | ∨ | Disjungsi kalimat; cocok dengan kata sambung "atau". Kalimat (p∨q) benar jika setidaknya salah satu kalimat p atau q benar (yaitu p atau q, atau keduanya). | - |
| 3 | ⇒ | Implikasi adalah konsekuensi logis. Kalimat p⇒q artinya: “jika p, maka q” | (a||c∧b||c)⇒a||b. Jika dua garis sejajar dengan garis ketiga, maka kedua garis tersebut sejajar satu sama lain |
| 4 | ⇔ | Kalimat (p⇔q) dipahami dalam arti: “jika p, maka juga q; jika q, maka juga p” | А∈α⇔А∈l⊂α. Suatu titik menjadi milik suatu bidang jika titik tersebut termasuk dalam suatu garis yang termasuk dalam bidang tersebut. Pernyataan sebaliknya juga benar: jika suatu titik termasuk dalam garis tertentu, milik pesawat, maka itu milik pesawat itu sendiri |
| 5 | ∀ | Penghitung umum berbunyi: untuk semua orang, untuk semua orang, untuk siapa pun. Ekspresi ∀(x)P(x) berarti: “untuk setiap x: properti yang dimiliki P(x)” | ∀(ΔАВС)( = 180°) Untuk sembarang segitiga (untuk sembarang), jumlah nilai sudut-sudutnya pada titik sudut sama dengan 180° |
| 6 | ∃ | Pengukur eksistensial berbunyi: ada. Ekspresi ∃(x)P(x) berarti: “ada x yang mempunyai sifat P(x)” | (∀α)(∃a).Untuk bidang apa pun α terdapat garis lurus a yang tidak termasuk dalam bidang α dan sejajar dengan bidang α |
| 7 | ∃1 | Pengukur keunikan keberadaan berbunyi: hanya ada satu (-i, -th)... Ekspresi ∃1(x)(Рх) berarti: “hanya ada satu (hanya satu) x, memiliki properti Px" | (∀ A, B)(A≠B)(∃1a)(a∋A, B) Untuk dua titik berbeda A dan B, terdapat garis lurus unik a, melewati titik-titik ini. |
| 8 | (Px) | Negasi dari pernyataan P(x) | ab(∃α)(α⊃a, b).Jika garis a dan b berpotongan, maka tidak ada bidang a yang memuat garis a dan b |
| 9 | \ | Negasi dari tanda | ≠ -segmen [AB] tidak sama dengan segmen .a?b - garis a tidak sejajar dengan garis b |