§ 125. Konsep proporsi.
Proporsi adalah persamaan dua rasio. Berikut adalah contoh persamaan yang disebut proporsi:
Catatan. Nama besaran dalam perbandingan tidak dicantumkan.
Proporsi biasanya dibaca sebagai berikut: 2 berbanding 1 (satuan) dan 10 berbanding 5 (proporsi pertama). Anda dapat membacanya secara berbeda, misalnya: 2 sama dengan 1, berapa kali 10 lebih besar dari 5. Proporsi ketiga dapat dibaca seperti ini: - 0,5 sama dengan 2, berapa kali 0,75 kurang dari 3.
Angka-angka yang termasuk dalam proporsi disebut anggota proporsi. Artinya proporsinya terdiri dari empat suku. Anggota pertama dan terakhir, yaitu anggota yang berdiri di tepinya, disebut ekstrim, dan suku-suku perbandingan yang terletak di tengah disebut rata-rata anggota. Artinya pada perbandingan pertama, angka 2 dan 5 merupakan suku ekstrem, dan angka 1 dan 10 menjadi suku tengah proporsi tersebut.
§ 126. Properti utama proporsi.
Pertimbangkan proporsinya:
Mari kita kalikan suku ekstrim dan suku tengahnya secara terpisah. Hasil kali titik ekstrim adalah 6 4 = 24, hasil kali titik tengah adalah 3 8 = 24.
Mari kita pertimbangkan proporsi lainnya: 10:5 = 12:6. Mari kita kalikan suku ekstrim dan suku tengah secara terpisah di sini juga.
Hasil kali titik ekstrim adalah 10 6 = 60, hasil kali titik tengah adalah 5 12 = 60.
Properti utama proporsi: hasil kali suku ekstrim suatu proporsi sama dengan hasil kali suku tengahnya.
DI DALAM pandangan umum sifat dasar proporsi ditulis sebagai berikut: iklan = SM .
Mari kita periksa pada beberapa proporsi:
1) 12: 4 = 30: 10.
Proporsi ini benar, karena perbandingan penyusunnya adalah sama. Pada saat yang sama, dengan mengambil hasil kali suku ekstrim dari proporsi (12 10) dan hasil kali suku tengahnya (4 30), kita akan melihat bahwa keduanya sama satu sama lain, yaitu.
12 10 = 4 30.
2) 1 / 2: 1 / 48 = 20: 5 / 6
Proporsinya benar, yang mudah diverifikasi dengan menyederhanakan rasio pertama dan kedua. Sifat utama proporsi akan berbentuk:
1 / 2 5 / 6 = 1 / 48 20
Tidak sulit untuk memverifikasi bahwa jika kita menulis persamaan yang di sisi kirinya ada hasil kali dua bilangan, dan di sisi kanan ada hasil kali dua bilangan lainnya, maka keempat bilangan tersebut dapat dibuat perbandingannya.
Mari kita memiliki persamaan yang mencakup empat bilangan yang dikalikan berpasangan:
keempat bilangan ini dapat merupakan suku-suku suatu perbandingan, yang tidak sulit untuk dituliskan jika kita mengambil hasil kali pertama sebagai hasil kali suku-suku ekstrim, dan hasil kali kedua sebagai hasil kali suku-suku tengah. Kesetaraan yang dipublikasikan dapat dikompilasi, misalnya, menjadi proporsi berikut:
Secara umum, dari kesetaraan iklan = SM diperoleh perbandingan sebagai berikut:
Lakukan sendiri latihan berikut. Diketahui hasil kali dua pasang bilangan, tulislah proporsi yang bersesuaian dengan setiap persamaan:
a) 1 6 = 2 3;
b) 2 15 = b 5.
§ 127. Perhitungan suku proporsi yang tidak diketahui.
Properti dasar proporsi memungkinkan Anda menghitung suku mana pun dari proporsi jika tidak diketahui. Mari kita ambil proporsinya:
X : 4 = 15: 3.
Dalam proporsi ini, satu anggota ekstrem tidak diketahui. Kita tahu bahwa dalam perbandingan apa pun hasil kali suku-suku ekstrim sama dengan hasil kali suku-suku tengah. Atas dasar ini kita dapat menulis:
X 3 = 4 15.
Setelah mengalikan 4 dengan 15, kita dapat menulis ulang persamaan ini sebagai berikut:
X 3 = 60.
Mari kita pertimbangkan kesetaraan ini. Di dalamnya, faktor pertama tidak diketahui, faktor kedua diketahui, dan hasil kali diketahui. Kita tahu bahwa untuk mencari faktor yang tidak diketahui, cukup dengan membagi hasil kali dengan faktor lain (yang diketahui). Maka akan menjadi:
X = 60:3, atau X = 20.
Mari kita periksa hasil yang ditemukan dengan mengganti angka 20 X dalam proporsi ini:
Proporsinya benar.
Mari kita pikirkan tindakan apa yang harus kita lakukan untuk menghitung suku ekstrim yang tidak diketahui dari proporsi tersebut. Dari empat suku proporsi, hanya suku ekstrem yang tidak kami ketahui; dua di tengah dan ekstrem kedua diketahui. Untuk mencari suku ekstrem suatu perbandingan, pertama-tama kita mengalikan suku tengah (4 dan 15), lalu membagi hasil kali dengan suku ekstrem yang diketahui. Sekarang kami akan menunjukkan bahwa tindakan tidak akan berubah jika suku ekstrim yang diinginkan dari proporsi tidak berada di tempat pertama, tetapi di tempat terakhir. Mari kita ambil proporsinya:
70: 10 = 21: X .
Mari kita tuliskan sifat utama proporsi: 70 X = 10 21.
Mengalikan angka 10 dan 21, kita menulis ulang persamaannya sebagai berikut:
70 X = 210.
Di sini satu faktor tidak diketahui, untuk menghitungnya cukup dengan membagi hasil kali (210) dengan faktor lain (70),
X = 210: 70; X = 3.
Jadi kita bisa mengatakan itu setiap suku ekstrim dari proporsi sama dengan hasil kali rata-rata dibagi dengan ekstrim lainnya.
Sekarang mari kita beralih ke menghitung suku rata-rata yang tidak diketahui. Mari kita ambil proporsinya:
30: X = 27: 9.
Mari kita tuliskan sifat utama proporsi:
30 9 = X 27.
Mari kita hitung hasil kali 30 kali 9 dan atur ulang bagian persamaan terakhir:
X 27 = 270.
Mari kita cari faktor yang tidak diketahui:
X = 270:27, atau X = 10.
Mari kita periksa dengan substitusi:
30:10 = 27:9 Proporsinya benar.
Mari kita ambil proporsi lain:
12: b = X : 8. Mari kita tuliskan sifat utama proporsi:
12 . 8 = 6 X . Mengalikan 12 dan 8 dan mengatur ulang bagian-bagian persamaannya, kita mendapatkan:
6 X = 96. Temukan faktor yang tidak diketahui:
X = 96:6, atau X = 16.
Dengan demikian, setiap suku tengah suatu proporsi sama dengan hasil kali suku ekstrem dibagi suku tengah lainnya.
Temukan anggota yang tidak dikenal proporsi berikut:
1) A : 3= 10:5; 3) 2: 1 / 2 = X : 5;
2) 8: B = 16: 4; 4) 4: 1 / 3 = 24: X .
Dua aturan terakhir dapat dituliskan dalam bentuk umum sebagai berikut:
1) Jika proporsinya terlihat seperti:
x: a = b: c , Itu
2) Jika proporsinya terlihat seperti:
a: x = b: c , Itu
§ 128. Penyederhanaan proporsi dan penataan ulang ketentuannya.
Di bagian ini kita akan mendapatkan aturan yang memungkinkan kita menyederhanakan proporsi jika proporsi tersebut mencakup bilangan besar atau suku pecahan. Transformasi yang tidak melanggar proporsi antara lain sebagai berikut:
1. Kenaikan atau penurunan kedua suku secara bersamaan pada suatu rasio nomor yang sama sekali.
CONTOH 40:10 = 60:15.
Mengalikan kedua suku rasio pertama sebanyak 3 kali, kita mendapatkan:
120:30 = 60: 15.
Proporsinya tidak dilanggar.
Mengurangi kedua suku pada relasi kedua sebanyak 5 kali, kita peroleh:
Kami mendapatkan proporsi yang benar lagi.
2. Kenaikan atau penurunan secara serentak kedua suku sebelumnya atau kedua suku berikutnya dengan jumlah yang sama.
Contoh. 16:8 = 40:20.
Mari kita gandakan suku sebelumnya dari kedua relasi:
Kami mendapatkan proporsi yang benar.
Mari kita kurangi suku-suku berikutnya dari kedua relasi sebanyak 4 kali:
Proporsinya tidak dilanggar.
Kedua kesimpulan yang diperoleh dapat diringkas sebagai berikut: Proporsi tidak akan dilanggar jika kita secara bersamaan menambah atau mengurangi suku ekstrem dari proporsi dan suku tengahnya dengan jumlah yang sama.
Misalnya, dengan mengurangi suku ekstrem ke-1 dan suku tengah ke-2 sebanyak 4 kali dengan perbandingan 16:8 = 40:20, kita peroleh:
3. Kenaikan atau penurunan semua suku secara serentak sebanyak beberapa kali. Contoh. 36:12 = 60:20. Mari kita tingkatkan keempat angka sebanyak 2 kali:
Proporsinya tidak dilanggar. Mari kita kurangi keempat bilangan sebanyak 4 kali:
Proporsinya benar.
Transformasi yang tercantum memungkinkan, pertama, menyederhanakan proporsi, dan kedua, membebaskannya dari suku pecahan. Mari kita beri contoh.
1) Biarlah ada proporsinya:
200: 25 = 56: X .
Di dalamnya anggota rasio pertama adalah bilangan yang relatif besar, dan jika kita ingin mencari nilainya X , maka kita harus melakukan perhitungan pada angka-angka ini; tetapi kita tahu bahwa proporsi tersebut tidak akan dilanggar jika kedua suku rasio tersebut dibagi dengan angka yang sama. Mari kita bagi masing-masing dengan 25. Proporsinya akan berbentuk:
8:1 = 56: X .
Dengan demikian, kami memperoleh proporsi yang lebih sesuai X dapat ditemukan dalam pikiran:
2) Mari kita ambil proporsinya:
2: 1 / 2 = 20: 5.
Dalam proporsi ini ada suku pecahan (1/2), yang dapat dihilangkan. Untuk melakukan ini, Anda harus mengalikan suku ini, misalnya dengan 2. Namun kami tidak berhak menambah satu suku tengah dari proporsi tersebut; perlu untuk meningkatkan salah satu anggota ekstrem bersamaan dengan itu; maka proporsinya tidak akan dilanggar (berdasarkan dua poin pertama). Mari kita tingkatkan suku ekstrim pertama
(2 2) : (2 1/2) = 20:5, atau 4:1 = 20:5.
Mari tingkatkan suku ekstrem kedua:
2: (2 1/2) = 20: (2 5), atau 2:1 = 20:10.
Mari kita lihat tiga contoh lagi untuk membebaskan proporsi dari suku pecahan.
Contoh 1. 1/4: 3/8 = 20:30.
Mari kita bawa pecahan ke penyebut yang sama:
2 / 8: 3 / 8 = 20: 30.
Mengalikan kedua suku rasio pertama dengan 8, kita memperoleh:
Contoh 2. 12:15/14 = 16:10/7. Mari kita bawa pecahan ke penyebut yang sama:
12: 15 / 14 = 16: 20 / 14
Mari kita kalikan kedua suku berikutnya dengan 14, kita mendapatkan: 12:15 = 16:20.
Contoh 3. 1/2:1/48 = 20:5/6.
Mari kalikan semua suku proporsi dengan 48:
24: 1 = 960: 40.
Saat memecahkan masalah yang melibatkan beberapa proporsi, sering kali perlu mengatur ulang suku-suku proporsi untuk tujuan yang berbeda. Mari kita pertimbangkan permutasi mana yang sah, yaitu tidak melanggar proporsi. Mari kita ambil proporsinya:
3: 5 = 12: 20. (1)
Dengan menata ulang suku-suku ekstrem di dalamnya, kita mendapatkan:
20: 5 = 12:3. (2)
Sekarang mari kita atur ulang suku tengahnya:
3:12 = 5: 20. (3)
Mari kita atur ulang suku ekstrim dan suku tengah secara bersamaan:
20: 12 = 5: 3. (4)
Semua proporsi ini benar. Sekarang mari kita letakkan relasi pertama di tempat relasi kedua, dan relasi kedua di tempat relasi pertama. Anda mendapatkan proporsinya:
12: 20 = 3: 5. (5)
Pada proporsi ini kita akan melakukan penataan ulang yang sama seperti yang kita lakukan sebelumnya, yaitu menata ulang suku-suku ekstremnya terlebih dahulu, lalu suku-suku tengahnya, dan terakhir suku ekstrem dan suku tengahnya secara bersamaan. Anda akan mendapatkan tiga proporsi lagi, yang juga adil:
5: 20 = 3: 12. (6)
12: 3 = 20: 5. (7)
5: 3 = 20: 12. (8)
Jadi, dari satu proporsi tertentu, dengan menata ulang, Anda bisa mendapatkan 7 proporsi lagi, yang jika digabungkan menjadi 8 proporsi.
Validitas semua proporsi ini sangat mudah diketahui ketika notasi alfabet. 8 proporsi yang diperoleh di atas berbentuk:
a: b = c: d; c: d = a: b;
d:b = c:a; b:d = a:c;
a: c = b: d; c: a = d: b;
d: c = b: a; b: a = d: c.
Sangat mudah untuk melihat bahwa dalam masing-masing proporsi ini properti utama berbentuk:
iklan = SM.
Dengan demikian, permutasi tersebut tidak melanggar kewajaran proporsi dan dapat digunakan bila diperlukan.
Buatlah proporsi. Pada artikel ini saya ingin berbicara dengan Anda tentang proporsi. Memahami apa itu proporsi dan mampu menyusunnya sangatlah penting, sangat menyelamatkan Anda. Tampaknya ini adalah “huruf” yang kecil dan tidak penting dalam alfabet matematika yang besar, namun tanpanya matematika akan menjadi timpang dan tidak lengkap.Pertama, izinkan saya mengingatkan Anda apa itu proporsi. Ini adalah persamaan bentuk:
yang sama (ini bentuk yang berbeda catatan).
Contoh:
Mereka bilang satu banding dua, empat banding delapan. Artinya, ini adalah persamaan dua relasi (dalam dalam contoh ini hubungan bersifat numerik).
Aturan dasar proporsi:
a:b=c:d
hasil kali suku ekstrim sama dengan hasil kali suku tengah
itu adalah
a∙d=b∙c
*Jika ada nilai dalam suatu proporsi yang tidak diketahui, maka selalu dapat ditemukan.
Jika kita menganggap bentuk pencatatan seperti:
maka Anda dapat menggunakan aturan berikutnya, ini disebut “aturan silang”: persamaan hasil kali unsur-unsur (angka atau ekspresi) yang berdiri pada diagonal ditulis
a∙d=b∙c
Seperti yang Anda lihat, hasilnya sama.
Jika ketiga unsur perbandingan diketahui, makakita selalu dapat menemukan yang keempat.
Justru di sinilah inti manfaat dan kebutuhannyaproporsi ketika memecahkan masalah.
Mari kita lihat semua opsi di mana besaran x yang tidak diketahui terletak “di mana saja” dalam proporsi, di mana a, b, c adalah bilangan:
Besaran yang terletak secara diagonal dari x dituliskan pada penyebut pecahan, dan besaran yang diketahui yang terletak secara diagonal dituliskan pada pembilangnya sebagai hasil kali. Tidak perlu menghafalnya, Anda sudah menghitung semuanya dengan benar jika Anda telah mempelajari aturan dasar proporsi.
Sekarang pertanyaan utama, terkait dengan judul artikel. Kapan proporsi disimpan dan di mana digunakan? Misalnya:
1. Pertama-tama, ini adalah soal yang melibatkan persentase. Kami melihatnya di artikel "" dan "".
2. Banyak rumus yang diberikan dalam bentuk proporsi:
>teorema sinus
> hubungan unsur-unsur dalam segitiga
> teorema tangen
> Teorema Thales dan lain-lain.
3. Dalam soal geometri, syaratnya sering kali menentukan perbandingan sisi (elemen lain) atau luas, misalnya 1:2, 2:3 dan lain-lain.
4. Konversi satuan ukuran, dengan perbandingan yang digunakan untuk mengkonversi satuan baik dalam satu ukuran maupun untuk mengkonversi dari satu ukuran ke ukuran lainnya:
- jam ke menit (dan sebaliknya).
- satuan volume, luas.
— panjang, misalnya mil ke kilometer (dan sebaliknya).
— derajat ke radian (dan sebaliknya).
di sini Anda tidak dapat melakukannya tanpa membuat proporsi.
Poin kuncinya adalah Anda perlu mengatur korespondensi dengan benar, mari kita lihat contoh sederhana:
Anda perlu menentukan angka yaitu 35% dari 700.
Dalam soal yang melibatkan persentase, nilai yang kita bandingkan diambil sebagai 100%. Kami menyatakan nomor yang tidak diketahui sebagai x. Mari kita menjalin korespondensi:
Kita dapat mengatakan bahwa tujuh ratus tiga puluh lima sama dengan 100 persen.
X setara dengan 35 persen. Cara,
700 – 100%
x – 35%
Mari kita putuskan
Jawaban: 245
Mari kita ubah 50 menit menjadi jam.
Kita tahu bahwa satu jam sama dengan 60 menit. Mari kita tunjukkan korespondensinya -x jam adalah 50 menit. Cara
1 – 60
x – 50
Kami memutuskan:
Artinya, 50 menit adalah lima per enam jam.
Jawaban: 5/6
Nikolai Petrovich berkendara sejauh 3 kilometer. Berapa satuannya dalam mil (anggap 1 mil sama dengan 1,6 km)?
Diketahui 1 mil sama dengan 1,6 kilometer. Mari kita ambil jumlah mil yang telah ditempuh Nikolai Petrovich sebagai x. Kami dapat mencocokkan:
Satu mil sama dengan 1,6 kilometer.
X mil adalah tiga kilometer.
1 – 1,6
x – 3
Jawaban: 1.875 mil
Anda tahu bahwa ada rumus untuk mengubah derajat menjadi radian (dan sebaliknya). Saya tidak menuliskannya, karena menurut saya tidak perlu menghafalkannya, sehingga Anda harus menyimpan banyak informasi dalam ingatan Anda. Anda selalu dapat mengubah derajat menjadi radian (dan sebaliknya) jika menggunakan proporsi.
Mari kita ubah 65 derajat menjadi satuan radian.
Hal utama yang perlu diingat adalah 180 derajat adalah Pi radian.
Mari kita nyatakan kuantitas yang diinginkan sebagai x. Kami menjalin korespondensi.
Seratus delapan puluh derajat sama dengan Pi radian.
Enam puluh lima derajat sama dengan x radian. pelajari artikelnya tentang topik ini di blog. Materi di dalamnya disajikan agak berbeda, namun prinsipnya sama. Saya akan menyelesaikannya dengan ini. Pasti ada yang lebih menarik lagi, jangan sampai ketinggalan!
Jika kita mengingat kembali definisi matematika, maka di dalamnya terkandung kata-kata berikut: matematika mempelajari RELASI kuantitatif (RELATIONS- kata kunci di sini). Seperti yang Anda lihat, definisi matematika mengandung proporsi. Secara umum matematika tanpa proporsi bukanlah matematika!!!
Semua yang terbaik!
Hormat kami, Alexander
P.S: Saya akan berterima kasih jika Anda memberi tahu saya tentang situs ini di jejaring sosial.
Memecahkan masalah dengan menggunakan proporsi menghasilkan nilai yang tidak diketahui X anggota proporsi ini. Kemudian, dengan menggunakan sifat dasar proporsi, dapatkan persamaan linier dan menyelesaikannya.
Keterampilan Awal Isi pelajaranCara menyelesaikan masalah menggunakan proporsi
Mari kita pertimbangkan contoh paling sederhana. Tiga kelompok harus diberi tunjangan masing-masing 1.600 rubel. Kelompok pertama berjumlah 20 siswa. Artinya kelompok pertama akan dibayar 1600 × 20, yaitu 32 ribu rubel.
Kelompok kedua berjumlah 17 orang. Artinya kelompok kedua akan dibayar 1600 × 17, yaitu 27.200 ribu rubel.
Baiklah, kami akan membayar tunjangan kepada kelompok ketiga. Ada 15 orang di dalamnya. Anda perlu menghabiskan 1600 × 15 untuk itu, yaitu 24 ribu rubel.
Hasilnya, kami memiliki solusi berikut:
Untuk permasalahan seperti ini penyelesaiannya dapat dituliskan dengan menggunakan proporsi.
Proporsi menurut definisi adalah persamaan dua rasio. Misalnya, kesetaraan adalah proporsi. Proporsi ini dapat dibaca sebagai berikut:
A ini berlaku untuk B, Bagaimana C berlaku D
Demikian pula, Anda dapat mengkorelasikan beasiswa dan siswa, sehingga masing-masing mendapat 1.600 rubel.
Jadi, mari kita tuliskan rasio pertama, yaitu rasio seribu enam ratus rubel per orang:
Kami menemukan bahwa untuk membayar 20 siswa masing-masing 1.600 rubel, kami membutuhkan 32 ribu rubel. Jadi rasio kedua adalah rasio tiga puluh dua ribu berbanding dua puluh siswa:
Sekarang kita menghubungkan relasi yang dihasilkan dengan tanda sama dengan:
Kami mendapat proporsinya. Dapat dibaca sebagai berikut:
Seribu enam ratus rubel berlaku untuk satu siswa, sedangkan tiga puluh dua ribu rubel berlaku untuk dua puluh siswa.
Pahami masing-masing 1.600 rubel. Jika Anda membagi di kedua sisi persamaan 
, maka kita akan menemukan bahwa satu siswa, seperti dua puluh siswa, akan menerima 1.600 rubel.
Sekarang bayangkan jumlah uang yang dibutuhkan untuk membayar beasiswa kepada dua puluh siswa tidak diketahui. Katakanlah jika pertanyaannya seperti ini: V Ada 20 siswa dalam kelompok dan masing-masing harus membayar 1.600 rubel. Berapa rubel yang diperlukan untuk membayar beasiswa?
Dalam hal ini proporsinya akan mengambil formulir itu. Artinya, jumlah uang yang dibutuhkan untuk membayar beasiswa menjadi anggota proporsi yang tidak diketahui. Proporsi ini dapat dibaca sebagai berikut:
Seribu enam ratus rubel berlaku untuk satu siswa sebagai nomor tak dikenal rubel mengacu pada dua puluh siswa
Sekarang mari kita gunakan sifat dasar proporsi. Dinyatakan bahwa hasil kali suku ekstrim suatu proporsi sama dengan hasil kali suku tengah:
Mengalikan suku-suku proporsi “melintang”, kita memperoleh persamaan 1600 × 20 = 1 × X. Setelah menghitung kedua ruas persamaan, kita mendapatkan 32000 = X atau X= 32000 . Dengan kata lain, kita akan menemukan nilai besaran tak diketahui yang kita cari.
Demikian pula, dimungkinkan untuk menentukan jumlah total siswa yang tersisa - untuk 17 dan 15. Proporsi ini terlihat seperti dan. Dengan menggunakan sifat dasar proporsi, Anda dapat mencari nilainya X
Masalah 2. Bus menempuh jarak 100 km dalam waktu 2 jam. Berapa lama waktu yang dibutuhkan bus untuk menempuh jarak 300 km jika melaju dengan kecepatan yang sama?
Anda bisa menentukan terlebih dahulu jarak yang ditempuh bus dalam satu jam. Kemudian tentukan berapa kali jarak tersebut terkandung dalam 300 kilometer:
100 : 2 = 50 km untuk setiap jam perjalanan
300 km: 50 = 6 jam
Atau Anda dapat membuat proporsi “seratus kilometer sama dengan satu jam dan tiga ratus kilometer sama dengan jumlah jam yang tidak diketahui”:
Rasio jumlah yang sama
Jika suku ekstrim atau tengah dari proporsi tersebut ditukar, maka proporsi tersebut tidak akan dilanggar.
Ya, secara proporsional Anda dapat menukar anggota ekstrim. Kemudian Anda mendapatkan proporsinya 
.
Proporsinya juga tidak akan dilanggar jika dibalik, yaitu digunakan perbandingan terbalik pada kedua bagian.
Mari kita balikkan proporsinya . Kemudian kita mendapatkan proporsinya 
. Hubungannya tidak rusak. Perbandingan antar siswa sama dengan perbandingan antara jumlah uang yang diperuntukkan bagi siswa tersebut. Proporsi ini sering dibuat di sekolah ketika tabel disusun untuk memecahkan suatu masalah.
Metode penulisan ini sangat mudah karena memungkinkan Anda menerjemahkan rumusan masalah ke dalam bentuk yang lebih mudah dipahami. Mari kita selesaikan masalah di mana kita perlu menentukan berapa rubel yang diperlukan untuk membayar beasiswa kepada dua puluh siswa.
Mari kita tulis kondisi masalahnya sebagai berikut:
Mari kita buat tabel berdasarkan kondisi ini:
Mari kita buat proporsinya menggunakan data tabel:
Dengan menggunakan sifat dasar proporsi, kita memperoleh persamaan linier dan mencari akarnya:
Awalnya, kami berurusan dengan proporsi , yang terdiri dari perbandingan besaran-besaran yang sifatnya berbeda. Pembilang rasio berisi jumlah uang, dan penyebutnya berisi jumlah siswa:
Dengan menukar suku ekstrem, kita mendapatkan proporsinya . Proporsi ini terdiri dari perbandingan besaran-besaran yang sifatnya sama. Relasi pertama berisi jumlah siswa, dan relasi kedua berisi jumlah uang:
Jika suatu relasi terdiri dari besaran-besaran yang sifatnya sama, maka kita menyebutnya perbandingan jumlah dengan nama yang sama. Misalnya hubungan antara buah-buahan, uang, besaran fisis, fenomena, tindakan.
Suatu perbandingan dapat disusun baik dari besaran-besaran yang namanya sama maupun dari besaran-besaran yang sifatnya berbeda. Contoh yang terakhir adalah rasio jarak terhadap waktu, rasio biaya suatu produk terhadap kuantitasnya, dan rasio jumlah beasiswa terhadap jumlah siswa.
Contoh 2. Pohon pinus dan birch ditanam di taman sekolah, dengan 2 pohon birch untuk setiap pohon pinus. Berapa banyak pohon pinus yang ditanam di taman jika 240 pohon birch ditanam?
Mari kita tentukan berapa banyak pohon pinus yang ditanam di taman. Untuk melakukan ini, mari buat proporsi. Syaratnya, untuk setiap pohon pinus ada 2 pohon birch. Mari kita tuliskan relasi yang menunjukkan bahwa ada dua pohon birch untuk satu pohon pinus:
Sekarang mari kita tulis relasi kedua yang menunjukkan hal itu X pohon pinus berjumlah 240 pohon birch
Mari kita hubungkan hubungan ini dengan tanda sama dengan dan dapatkan proporsi berikut:
“Dua pohon birch memperlakukan satu pohon pinus seperti ini,
bagaimana 240 pohon birch berhubungan dengan x pohon pinus"
Dengan menggunakan sifat dasar proporsi, kita mencari nilainya X
Atau dapat dibuat proporsinya dengan menuliskan terlebih dahulu syaratnya, seperti pada contoh sebelumnya:
Anda akan mendapatkan proporsi yang sama, tetapi kali ini akan terdiri dari rasio besaran dengan nama yang sama:
Artinya, ada 120 pohon pinus yang ditanam di taman tersebut.
Contoh 3. Dari 225 kg bijih diperoleh 34,2 kg tembaga. Berapa persentase tembaga dalam bijihnya?
Anda dapat membagi 34,2 dengan 225 dan menyatakan hasilnya sebagai persentase:
Atau jadikan proporsi 225 kilogram bijih sebagai 100%, karena 34,2 kg tembaga berada pada jumlah persen yang tidak diketahui:
Atau buatlah proporsi yang perbandingannya terdiri dari besaran-besaran dengan nama yang sama:
Masalah proporsionalitas langsung
Memahami hubungan antara besaran-besaran yang bernama sama mengarah pada pemahaman penyelesaian masalah pada garis dan proporsionalitas terbalik. Mari kita mulai dengan masalah proporsionalitas langsung.
Pertama, mari kita ingat apa itu proporsionalitas langsung. Ini adalah hubungan antara dua besaran yang mana kenaikan salah satu besaran menyebabkan kenaikan besaran yang lain dengan jumlah yang sama.
Jika sebuah bus menempuh jarak 50 km dalam waktu 1 jam, maka untuk menempuh jarak 100 km (dengan kecepatan yang sama) bus tersebut memerlukan waktu 2 jam. Dengan bertambahnya jarak, waktu tempuh bertambah dengan jumlah yang sama. Bagaimana cara menunjukkannya menggunakan proporsi?
Salah satu tujuan perbandingan adalah untuk menunjukkan berapa kali besaran pertama lebih besar dari besaran kedua. Artinya dengan menggunakan proporsi kita dapat menunjukkan bahwa jarak dan waktu menjadi dua kali lipat. Untuk melakukan ini, kami menggunakan rasio besaran dengan nama yang sama.
Mari kita tunjukkan bahwa jaraknya menjadi dua kali lipat:
Demikian pula, kami akan menunjukkan bahwa waktu bertambah dengan jumlah yang sama
“100 kilometer sama dengan 50 kilometer karena 2 jam sama dengan 1 jam”
Jika kita membagi di kedua sisi persamaan, kita akan menemukan bahwa jarak dan waktu bertambah beberapa kali lipat.
2 = 2
Masalah 2. 27 ton digiling di pabrik dalam 3 jam tepung terigu. Berapa ton tepung terigu yang dapat digiling dalam waktu 9 jam jika kecepatan kerjanya tidak berubah?
Larutan
Waktu pengoperasian gilingan dan massa tepung giling merupakan besaran yang berbanding lurus. Dengan menambah waktu pengoperasian beberapa kali lipat, jumlah tepung giling akan bertambah dengan jumlah yang sama. Mari kita tunjukkan dengan menggunakan proporsi.
Dalam soal tersebut diberikan waktu 3 jam. 3 jam tersebut ditambah menjadi 9 jam. Mari kita tuliskan perbandingan 9 jam dengan 3 jam. Rasio ini akan menunjukkan berapa kali waktu operasi pabrik bertambah:
Sekarang mari kita tuliskan relasi kedua. Itu akan menjadi sebuah sikap X ton tepung terigu menjadi 27 ton. Rasio ini akan menunjukkan bahwa jumlah tepung yang digiling mengalami peningkatan yang besarnya sama dengan waktu pengoperasian gilingan
Mari kita hubungkan hubungan ini dengan tanda sama dengan dan dapatkan proporsinya.
Mari kita gunakan sifat dasar proporsi dan temukan X
Artinya dalam 9 jam Anda bisa menggiling 81 ton tepung terigu.
Secara umum, jika kita mengambil dua besaran yang berbanding lurus dan menaikkannya dengan jumlah yang sama, maka perbandingan nilai baru terhadap nilai lama dari besaran pertama akan sama dengan perbandingan nilai baru terhadap nilai lama. kuantitas kedua.
Jadi pada soal sebelumnya nilai lama adalah 3 jam dan 27 t, nilai tersebut dinaikkan dengan jumlah yang sama (tiga kali lipat). Nilai barunya adalah 9 jam dan 81 jam, maka perbandingan nilai baru waktu operasi gilingan dengan nilai lama sama dengan perbandingan nilai baru massa tepung giling dengan nilai lama
Jika kita membagi pada kedua sisi persamaan, kita akan menemukan bahwa waktu pengoperasian penggilingan dan jumlah tepung yang digiling meningkat dengan jumlah yang sama:
3 = 3
Proporsi yang ditambahkan pada masalah proporsionalitas langsung dapat dijelaskan dengan menggunakan ekspresi:
Dimana nantinya menjadi sama dengan 81.
Masalah 2. Untuk 8 ekor sapi per waktu musim dingin Setiap hari pemerah susu menyiapkan 80 kg jerami, 96 kg umbi-umbian, 120 kg silase, dan 12 kg konsentrat. Tentukan konsumsi harian pakan tersebut untuk 18 ekor sapi.
Larutan
Jumlah sapi dan bobot tiap pakan berbanding lurus. Bila jumlah sapi bertambah beberapa kali lipat, maka bobot setiap pakan akan bertambah dengan jumlah yang sama.
Mari kita buat beberapa proporsi yang menghitung massa setiap pakan untuk 18 ekor sapi.
Mari kita mulai dengan jerami. Setiap hari 80 kg disiapkan untuk 8 ekor sapi. Kemudian akan disiapkan 18 ekor sapi X kg jerami.
Mari kita tuliskan perbandingan yang menunjukkan berapa kali jumlah sapi bertambah:
Sekarang mari kita tuliskan rasio yang menunjukkan berapa kali massa jerami bertambah:
Mari kita hubungkan hubungan ini dengan tanda sama dengan dan dapatkan proporsinya:
Dari sini kita temukan X
Artinya untuk 18 ekor sapi perlu menyiapkan 180 kg jerami. Demikian pula, kami menentukan massa tanaman umbi-umbian, silase dan konsentrat.
Untuk 8 ekor sapi, 96 kg umbi-umbian dipanen setiap hari. Kemudian akan disiapkan 18 ekor sapi X kg sayuran akar. Mari kita buat proporsi dari rasio dan , lalu hitung nilainya X
Mari kita tentukan berapa banyak silase dan konsentrat yang perlu disiapkan untuk 18 ekor sapi:
Artinya, untuk 18 ekor sapi, perlu disiapkan 180 kg jerami, 216 kg umbi-umbian, 270 kg silase, dan 27 kg konsentrat setiap hari.
Masalah 3. Ibu rumah tangga membuat selai ceri, dan menambahkan 2 cangkir gula untuk 3 cangkir ceri. Berapa banyak gula yang harus saya masukkan ke dalam 12 cangkir ceri? untuk 10 gelas ceri? untuk segelas ceri?
Larutan
Banyaknya gelas buah ceri dan banyaknya gelas gula pasir merupakan besaran yang berbanding lurus. Jika jumlah gelas ceri bertambah beberapa kali lipat, maka jumlah gelas gula akan bertambah dengan jumlah yang sama.
Mari kita tuliskan perbandingan yang menunjukkan berapa kali jumlah gelas ceri bertambah:
Sekarang mari kita tuliskan perbandingan yang menunjukkan berapa kali jumlah gelas gula bertambah:
Mari kita hubungkan perbandingan-perbandingan ini dengan tanda sama dengan, dapatkan proporsinya dan temukan nilainya X
Artinya untuk 12 cangkir ceri Anda perlu menambahkan 8 cangkir gula.
Tentukan jumlah cangkir gula untuk 10 cangkir ceri dan satu cangkir ceri
Masalah proporsionalitas terbalik
Untuk menyelesaikan soal proporsionalitas terbalik, Anda dapat kembali menggunakan proporsi yang terdiri dari perbandingan besaran-besaran yang bernama sama.
Berbeda dengan proporsionalitas langsung yang besarannya bertambah atau berkurang dalam arah yang sama, pada proporsionalitas terbalik besarannya berubah berbanding terbalik.
Jika satu nilai meningkat beberapa kali, maka nilai lainnya berkurang dengan jumlah yang sama. Begitu pula sebaliknya, jika suatu nilai berkurang beberapa kali, maka nilai lainnya meningkat dengan jumlah yang sama.
Misalkan Anda perlu mengecat pagar yang terdiri dari 8 lembar
Seorang pelukis akan mengecat sendiri semua 8 lembar itu
Jika ada 2 orang pelukis, maka masing-masing akan mengecat 4 lembar.
Tentu saja, asalkan para pelukis jujur satu sama lain dan membagi karya ini secara adil kepada dua orang.
Jika ada 4 orang pelukis, maka masing-masing akan mengecat 2 lembar
Kami mencatat bahwa ketika jumlah pelukis bertambah beberapa kali lipat, jumlah lembar per pelukis berkurang dengan jumlah yang sama.
Jadi, jumlah pelukisnya kita tambah dari 1 menjadi 4. Dengan kata lain, jumlah pelukis kita tambah empat kali lipat. Mari kita tulis ini menggunakan relasi:
Akibatnya, jumlah lembaran pagar per tukang cat berkurang empat kali lipat. Mari kita tulis ini menggunakan relasi:
Mari kita hubungkan hubungan ini dengan tanda sama dengan dan dapatkan proporsinya
“4 pelukis menjadi 1 pelukis, 8 lembar menjadi 2 lembar”
Masalah 2. 15 pekerja menyelesaikan penyelesaian apartemen di gedung baru dalam 24 hari. Berapa hari yang dibutuhkan 18 pekerja untuk menyelesaikan pekerjaan tersebut?
Larutan
Jumlah pekerja dan jumlah hari kerja berbanding terbalik. Jika jumlah pekerja bertambah beberapa kali lipat, maka jumlah hari yang dibutuhkan untuk menyelesaikan pekerjaan ini akan berkurang dengan jumlah yang sama.
Mari kita tuliskan perbandingan 18 pekerja berbanding 15 pekerja. Rasio ini akan menunjukkan berapa kali jumlah tenaga kerja mengalami peningkatan
Sekarang mari kita tuliskan rasio kedua, yang menunjukkan berapa kali jumlah hari berkurang. Karena jumlah hari akan berkurang dari 24 hari menjadi X hari, maka perbandingan kedua adalah perbandingan jumlah hari yang lama (24 hari) dengan jumlah hari yang baru ( X hari)
Mari kita hubungkan hubungan yang dihasilkan dengan tanda sama dengan dan dapatkan proporsinya:
Dari sini kita temukan X
Ini berarti 18 pekerja akan menyelesaikannya pekerjaan yang diperlukan dalam 20 hari.
Secara umum, jika Anda mengambil dua besaran yang berbanding terbalik dan menambah salah satunya sebesar nomor tertentu kali, maka yang lainnya akan berkurang dengan jumlah yang sama. Maka perbandingan nilai baru dengan nilai lama besaran pertama akan sama dengan perbandingan nilai lama dengan nilai baru besaran kedua.
Jadi pada soal sebelumnya, nilai lamanya adalah 15 hari kerja dan 24 hari. Jumlah pekerja bertambah dari 15 menjadi 18 (yaitu bertambah beberapa kali lipat). Akibatnya, jumlah hari yang dibutuhkan untuk menyelesaikan pekerjaan berkurang dengan jumlah yang sama. Nilai barunya adalah 18 hari kerja dan 20 hari. Maka perbandingan jumlah hari kerja yang baru dengan jumlah yang lama sama dengan perbandingan jumlah hari yang lama dengan jumlah yang baru
Untuk membuat proporsi pada soal proporsionalitas terbalik, Anda dapat menggunakan rumus:
Sehubungan dengan masalah kita, nilai variabelnya adalah sebagai berikut:
Dimana nantinya menjadi sama dengan 20.
Masalah 2. Kecepatan kapal uap berhubungan dengan kecepatan aliran sungai sebesar 36: 5. Kapal uap bergerak ke hilir selama 5 jam 10 menit. Berapa lama waktu yang dibutuhkan dia untuk kembali?
Larutan
Kecepatan kapal itu sendiri adalah 36 km/jam. Kecepatan aliran sungai 5 km/jam. Karena kapal uap tersebut bergerak mengikuti arus tangan, kecepatannya adalah 36 + 5 = 41 km/jam. Waktu tempuh 5 jam 10 menit. Untuk kenyamanan, kami menyatakan waktu dalam menit:
5 jam 10 menit = 300 menit + 10 menit = 310 menit
Karena dalam perjalanan pulang kapal bergerak melawan arus sungai, kecepatannya adalah 36 − 5 = 31 km/jam.
Kecepatan kapal dan waktu geraknya merupakan besaran yang berbanding terbalik. Jika kecepatannya berkurang beberapa kali, maka waktu pergerakannya akan bertambah dengan jumlah yang sama.
Mari kita tuliskan perbandingan yang menunjukkan berapa kali kecepatan gerak berkurang:
Sekarang mari kita tuliskan rasio kedua, yang menunjukkan berapa kali waktu pergerakan bertambah. Sejak zaman baru X akan lebih besar dari waktu yang lama, kita tuliskan waktu tersebut pada pembilang perbandingannya X, dan penyebutnya adalah waktu lama yang sama dengan tiga ratus sepuluh menit
Mari kita hubungkan rasio yang dihasilkan dengan tanda sama dengan dan dapatkan proporsinya. Dari sini kita menemukan nilainya X
410 menit adalah 6 jam 50 menit. Artinya kapal membutuhkan waktu 6 jam 50 menit untuk kembali.
Masalah 3. Ada 15 orang yang mengerjakan perbaikan jalan dan harus menyelesaikan pekerjaan dalam waktu 12 hari. Pada hari kelima, beberapa pekerja lagi datang pada pagi hari, dan sisa pekerjaan selesai dalam 6 hari. Berapa banyak pekerja tambahan yang datang?
Larutan
Kurangi 4 hari kerja dari 12 hari. Dengan cara ini kita akan menentukan berapa hari lagi yang tersisa untuk lima belas pekerja tersebut untuk bekerja
12 hari − 4 hari = 8 hari
Pada hari kelima kedatangan tambahan X pekerja. Kemudian jumlah total pekerja menjadi 15+ X .
Jumlah pekerja dan jumlah hari yang dibutuhkan untuk menyelesaikan pekerjaan berbanding terbalik. Jika jumlah pekerja bertambah beberapa kali lipat, maka jumlah hari akan berkurang dengan jumlah yang sama.
Mari kita tuliskan rasio yang menunjukkan berapa kali jumlah pekerja bertambah:
Sekarang mari kita tuliskan berapa kali jumlah hari yang dibutuhkan untuk menyelesaikan pekerjaan tersebut berkurang:
Mari kita hubungkan hubungan ini dengan tanda sama dengan dan dapatkan proporsinya. Dari sini Anda dapat menghitung nilainya X
Artinya ada 5 pekerja tambahan yang datang.
Skala
Skala adalah perbandingan panjang suatu segmen pada gambar dengan panjang segmen yang bersangkutan di lapangan.
Misalkan jarak rumah ke sekolah adalah 8 km. Mari kita coba menggambar denah area di mana rumah, sekolah, dan jarak di antara keduanya akan ditunjukkan. Namun jarak 8 km di atas kertas tidak bisa kami gambarkan, karena cukup jauh. Tapi kita bisa mengurangi jarak ini beberapa kali agar muat di atas kertas.
Biarkan kilometer di lapangan dalam rencana kita dinyatakan dalam sentimeter. Mari kita ubah 8 kilometer menjadi sentimeter, kita mendapatkan 800.000 sentimeter.
Mari kita kurangi 800.000 cm sebanyak seratus ribu kali lipat:
800.000cm: 100.000cm = 8cm
8 cm adalah jarak dari rumah ke sekolah berkurang seratus ribu kali lipat. Sekarang Anda dapat dengan mudah menggambar rumah dan sekolah di atas kertas, jarak antara keduanya adalah 8 cm.
8 cm ini mengacu pada 800.000 cm yang sebenarnya, jadi kita tuliskan dengan perbandingan:
8: 800 000
Salah satu sifat suatu relasi menyatakan bahwa relasi tersebut tidak berubah jika anggota-anggotanya dikalikan atau dibagi dengan bilangan yang sama.
Untuk menyederhanakan perbandingan 8 : 800.000 maka kedua sukunya dapat dibagi 8. Maka diperoleh perbandingan 1 : 100.000 yang disebut dengan skala. Rasio ini menunjukkan bahwa satu sentimeter di denah berhubungan (atau setara) dengan seratus ribu sentimeter di permukaan tanah.
Oleh karena itu, dalam gambar kita perlu ditunjukkan bahwa rencana tersebut dibuat pada skala 1: 100.000
1 cm di denah sama dengan 100.000 cm di permukaan tanah;
2 cm di denah sama dengan 200.000 cm di permukaan tanah;
3 cm pada denah mengacu pada 300.000 di permukaan tanah, dan seterusnya.
Untuk peta atau rencana apa pun, ditunjukkan pada skala apa peta itu dibuat. Skala ini memungkinkan Anda menentukan jarak sebenarnya antar objek.
Jadi, denah kita dibuat dengan skala 1 : 100.000. Pada denah ini jarak rumah ke sekolah adalah 8 cm. Untuk menghitung jarak sebenarnya antara rumah dan sekolah perlu ditambah 8 cm sebanyak 100.000 kali. Dengan kata lain, kalikan 8 cm dengan 100.000
8 cm × 100.000 = 800.000 cm
Kita mendapatkan 800.000 cm atau 8 km, jika kita mengubah sentimeter menjadi kilometer.
Katakanlah ada pohon di antara rumah dan sekolah. Rencananya jarak sekolah dengan pohon ini adalah 4 cm.
Maka jarak sebenarnya antara rumah dan pohon adalah 4 cm × 100.000 = 400.000 cm atau 4 km.
Jarak di lapangan dapat ditentukan dengan menggunakan proporsi. Dalam contoh kita, jarak antara rumah dan sekolah akan dihitung dengan menggunakan proporsi berikut:
1 cm pada denah berhubungan dengan 100.000 cm di tanah, sama seperti 8 cm pada denah berhubungan dengan x cm di tanah.
Dari proporsi ini kita mengetahui nilainya X sama dengan 800.000 cm.
Contoh 2. Pada peta jarak kedua kota adalah 8,5 cm Tentukan jarak sebenarnya antar kota jika peta tersebut dibuat dengan skala 1 : 1.000.000.
Larutan
Skala 1:1.000.000 menunjukkan bahwa 1 cm di peta sama dengan 1.000.000 cm di lapangan. Maka 8,5 cm akan sesuai X cm di tanah. Mari kita jadikan proporsi 1 banding 1000000 menjadi 8,5 banding X
1 km berisi 100.000 cm, maka 8.500.000 cm berisi 
Atau Anda bisa berpikir seperti ini. Jarak di peta dan jarak di lapangan merupakan besaran yang berbanding lurus. Jika jarak di peta bertambah beberapa kali lipat, maka jarak di lapangan akan bertambah dengan jumlah yang sama. Maka proporsinya akan menjadi tampilan berikutnya. Rasio pertama akan menunjukkan berapa kali jarak di lapangan lebih besar dari jarak di peta:
Perbandingan kedua akan menunjukkan bahwa jarak di lapangan sama banyaknya kali lebih besar dari 8,5 cm di peta:
Dari sini X sama dengan 8.500.000 cm atau 85 km.
Masalah 3. Panjang Sungai Neva adalah 74 km. Berapa panjangnya pada peta yang skalanya 1:2.000.000
Larutan
Skala 1 : 2.000.000 berarti 1 cm di peta sama dengan 2.000.000 cm di lapangan.
Dan 74 km sama dengan 74 × 100.000 = 7.400.000 cm di lapangan. Dengan mengurangi 7.400.000 menjadi 2.000.000, kita akan menentukan panjang Sungai Neva di peta
7.400.000 : 2.000.000 = 3,7 cm
Artinya pada peta skala 1 : 2.000.000 panjang Sungai Neva adalah 3,7 cm.
Mari kita tulis penyelesaiannya menggunakan proporsi. Rasio pertama akan menunjukkan berapa kali panjang di peta lebih kecil dari panjang di lapangan:
Rasio kedua akan menunjukkan bahwa 74 km (7.400.000 cm) berkurang dengan jumlah yang sama:
Dari sini kita temukan X sama dengan 3,7 cm
Masalah untuk diselesaikan secara mandiri
Soal 1. Dari 21 kg biji kapas diperoleh 5,1 kg minyak. Berapa banyak minyak yang diperoleh dari 7 kg biji kapas?
Larutan
Membiarkan X kg minyak dapat diperoleh dari 7 kg biji kapas. Massa biji kapas dan massa minyak yang dihasilkan merupakan besaran yang berbanding lurus. Kemudian pengurangan biji kapas dari 21 kg menjadi 7 kg akan menyebabkan penurunan minyak yang dihasilkan dengan jumlah yang sama.
Menjawab: 7 kg biji kapas akan menghasilkan 1,7 kg minyak.
Tugas 2. Pada suatu daerah tertentu rel kereta rel lama yang panjangnya 8 m diganti dengan rel baru yang panjangnya 12 m Berapa banyak rel baru sepanjang dua belas meter yang diperlukan jika 360 rel lama dilepas?
Larutan
Panjang bagian yang akan diganti relnya adalah 8×360 = 2880 m.
Membiarkan X rel dua belas meter diperlukan untuk penggantian. Menambah panjang satu rel dari 8 m menjadi 12 m akan menyebabkan pengurangan jumlah rel dari 360 menjadi X hal-hal. Dengan kata lain, panjang rel dan jumlahnya berbanding terbalik ketergantungan proporsional
Menjawab: mengganti rel lama akan membutuhkan 240 rel baru.
Tugas 3. 60% siswa di kelas pergi ke bioskop, dan 12 orang sisanya pergi ke pameran. Berapa banyak siswa di kelas?
Larutan
Jika 60% siswa pergi ke bioskop dan 12 orang sisanya pergi ke pameran, maka 40% siswa tersebut adalah 12 orang yang pergi ke pameran. Kemudian Anda dapat membuat proporsi di mana 12 siswa memperlakukan 40% dengan cara yang sama seperti siswa lainnya X siswa 100%
Atau Anda dapat membuat proporsi yang terdiri dari rasio besaran-besaran dengan nama yang sama. Jumlah dan persentase pendaftaran bervariasi secara proporsional. Lalu kita dapat menulis berapa kali jumlah pesertanya bertambah, berapa kali persentasenya bertambah
Soal 5. Pejalan kaki menghabiskan waktu 2,5 jam dalam perjalanan, bergerak dengan kecepatan 3,6 km/jam. Berapa lama waktu yang dihabiskan seorang pejalan kaki pada lintasan yang sama jika kecepatannya 4,5 km/jam
Larutan
Kecepatan dan waktu merupakan besaran yang berbanding terbalik. Ketika kecepatan meningkat beberapa kali lipat, waktu pergerakan akan berkurang dengan jumlah yang sama.
Mari kita tuliskan rasio yang menunjukkan berapa kali kecepatan pejalan kaki meningkat:
Mari kita tuliskan rasio yang menunjukkan bahwa waktu pergerakan mengalami penurunan dengan jumlah yang sama:
Mari kita hubungkan perbandingan-perbandingan ini dengan tanda sama dengan, dapatkan proporsinya dan temukan nilainya X
Atau Anda dapat menggunakan perbandingan besaran dengan nama yang sama. Jumlah mesin yang diproduksi dan persentase mesin yang diperhitungkan berbanding lurus. Ketika jumlah mesin bertambah beberapa kali lipat, persentasenya meningkat dengan jumlah yang sama. Maka kita dapat menulis bahwa 230 mesin jauh lebih banyak dari itu X mesin, berapa kali lebih banyak adalah 115% dari 100%
Menjawab: Rencananya, pabrik itu seharusnya memproduksi 200 mesin.
Apakah Anda menyukai pelajarannya?
Bergabunglah dengan grup VKontakte baru kami dan mulailah menerima pemberitahuan tentang pelajaran baru
Dari sudut pandang matematika, proporsi adalah persamaan dua rasio. Saling ketergantungan merupakan karakteristik dari semua bagian proporsi, serta hasilnya yang tidak berubah. Anda dapat memahami cara membuat proporsi dengan memahami sifat-sifat dan rumus proporsi. Untuk memahami prinsip penyelesaian proporsi, cukup dengan memperhatikan satu contoh. Hanya dengan menyelesaikan proporsi secara langsung Anda dapat mempelajari keterampilan ini dengan cepat dan mudah. Dan artikel ini akan membantu pembaca dalam hal ini.
Sifat proporsi dan rumus
- Pembalikan proporsi. Jika persamaan yang diberikan terlihat seperti 1a: 2b = 3c: 4d, tulislah 2b: 1a = 4d: 3c. (Dan 1a, 2b, 3c dan 4d adalah bilangan prima, berbeda dari 0).
- Mengalikan suku-suku tertentu dari proporsi secara melintang. DI DALAM ekspresi literal tampilannya seperti ini: 1a: 2b = 3c: 4d, dan penulisan 1a4d = 2b3c akan setara dengannya. Jadi, hasil kali bagian ekstrim suatu perbandingan (angka-angka di tepi persamaan) selalu sama dengan hasil kali bagian tengah (angka-angka yang terletak di tengah-tengah persamaan).
- Saat menyusun suatu proporsi, propertinya untuk mengatur ulang suku ekstrem dan tengah juga dapat berguna. Rumus persamaan 1a:2b = 3c:4d dapat ditampilkan dengan cara sebagai berikut:
- 1a:3c = 2b:4d (jika suku tengah suatu perbandingan disusun ulang).
- 4d: 2b = 3c: 1a (bila suku ekstrim dari proporsi tersebut disusun ulang).
- Sifatnya yang bertambah dan berkurang sangat membantu dalam menyelesaikan proporsi. Bila 1a:2b = 3c:4d, tulislah:
- (1a + 2b) : 2b = (3c + 4d) : 4d (kesetaraan dengan meningkatkan proporsi).
- (1a – 2b) : 2b = (3c – 4d) : 4d (kesetaraan dengan memperkecil proporsi).
- Anda dapat membuat proporsi dengan menambahkan dan mengurangi. Jika perbandingannya ditulis 1a:2b = 3c:4d, maka:
- (1a + 3c) : (2b + 4d) = 1a: 2b = 3c: 4d (proporsinya dibuat dengan penjumlahan).
- (1a – 3c) : (2b – 4d) = 1a: 2b = 3c: 4d (proporsinya dihitung dengan pengurangan).
- Selain itu, saat menyelesaikan proporsi yang mengandung bilangan pecahan atau bilangan besar, Anda dapat membagi atau mengalikan kedua sukunya dengan bilangan yang sama. Misalnya komponen proporsi 70:40=320:60 dapat ditulis sebagai berikut: 10*(7:4=32:6).
- Pilihan untuk menyelesaikan proporsi dengan persentase terlihat seperti ini. Misalnya, tuliskan 30=100%, 12=x. Sekarang Anda harus mengalikan suku tengah (12*100) dan membaginya dengan suku ekstrem yang diketahui (30). Jadi jawabannya adalah: x=40%. Dengan cara yang sama, jika perlu, Anda dapat mengalikan suku-suku ekstrem yang diketahui dan membaginya dengan bilangan rata-rata tertentu, sehingga memperoleh hasil yang diinginkan.
Jika Anda tertarik dengan rumus proporsi tertentu, maka dalam versi paling sederhana dan umum, proporsinya adalah persamaan (rumus) berikut: a/b = c/d, di mana a, b, c dan d adalah empat bukan- angka nol.
Proporsi – persamaan dua relasi, yaitu persamaan bentuk a: b = c: d , atau, dalam notasi lain, kesetaraan
Jika A : B = C : D, Itu A Dan D ditelepon ekstrim, A B Dan C - rata-rataanggota proporsi.
Tidak ada jalan keluar dari “proporsi”; banyak tugas tidak dapat dilakukan tanpanya. Hanya ada satu jalan keluar - menghadapi hubungan ini dan menggunakan proporsi sebagai penyelamat.
Sebelum kita mulai membahas masalah proporsi, penting untuk mengingat aturan dasar proporsi:
Dalam proporsi
hasil kali suku ekstrim sama dengan hasil kali suku tengah
Jika suatu besaran dalam suatu perbandingan tidak diketahui, maka akan mudah untuk menemukannya berdasarkan aturan ini.
Misalnya,
Artinya, nilai proporsi yang tidak diketahui - nilai pecahan, dalam penyebutnya
yang merupakan bilangan yang berlawanan dengan besaran yang tidak diketahui
, di pembilangnya – hasil kali suku-suku proporsi yang tersisa
(terlepas dari di mana jumlah yang tidak diketahui ini berada
). 
Tugas 1.
Dari 21 kg biji kapas diperoleh 5,1 kg minyak. Berapa banyak minyak yang diperoleh dari 7 kg biji kapas?
Larutan:
Kami memahami bahwa penurunan berat benih sebesar faktor tertentu menyebabkan penurunan berat minyak yang dihasilkan dengan jumlah yang sama. Artinya, besaran-besaran tersebut berhubungan langsung.
Mari kita isi tabelnya: 
Besaran yang tidak diketahui adalah nilai pecahan, yang penyebutnya - 21 - nilai yang berlawanan dengan nilai yang tidak diketahui dalam tabel, dalam pembilangnya - produk dari sisa anggota tabel proporsi.
Oleh karena itu, kita menemukan bahwa 7 kg benih akan menghasilkan 1,7 kg minyak.
Ke Benar Saat mengisi tabel, penting untuk mengingat aturannya:
Nama yang identik harus ditulis di bawah satu sama lain. Kami menulis persentase di bawah persentase, kilogram di bawah kilogram, dll.
Tugas 2.
Konversikan ke radian.
Larutan:
Kami tahu itu. Mari kita isi tabelnya:
Tugas 3.
Sebuah lingkaran digambarkan di atas kertas kotak-kotak. Berapakah luas lingkaran jika luas bidang yang diarsir adalah 27?
Larutan:
Terlihat jelas bahwa sektor yang tidak diarsir sama dengan sudut dalam (misalnya, karena sisi-sisi sektor tersebut dibentuk oleh garis bagi dua sudut siku-siku yang berdekatan). Dan karena seluruh lingkaran adalah , maka sektor yang diarsir adalah .
Mari kita buat tabelnya:
Dari manakah luas lingkaran berasal?
Tugas 4. Setelah 82% dari seluruh lahan dibajak, masih tersisa 9 hektar lagi untuk dibajak. Berapa luas seluruh bidang tersebut?
Larutan:
Seluruh lahan sudah 100%, dan karena 82% sudah dibajak, maka 100%-82%=18% lahan masih harus dibajak.
Isi tabelnya: 
Dari situ kita peroleh bahwa seluruh lahan adalah (ha).
Dan tugas selanjutnya adalah penyergapan.
Tugas 5.
Sebuah kereta api penumpang menempuh jarak antara dua kota dengan kecepatan 80 km/jam dalam waktu 3 jam. Berapa jam yang diperlukan sebuah kereta barang untuk menempuh jarak yang sama dengan kecepatan 60? km/jam?
Jika Anda menyelesaikan masalah ini dengan cara yang sama seperti yang sebelumnya, Anda akan mendapatkan yang berikut:
waktu yang diperlukan kereta barang untuk menempuh jarak yang sama dengan kereta penumpang adalah jam. Artinya, ternyata dengan berjalan dengan kecepatan lebih rendah, ia menempuh (dalam waktu yang sama) jarak yang lebih cepat dibandingkan kereta api dengan kecepatan lebih tinggi.
Apa kesalahan dalam penalaran?
Sejauh ini kami telah mempertimbangkan masalah kuantitasnya berbanding lurus satu sama lain , itu adalah tinggi dari nilai yang sama beberapa kali, memberi tinggi besaran kedua yang terkait dengannya dengan jumlah yang sama (tentu saja sama dengan penurunannya). Dan di sini kita menghadapi situasi yang berbeda: kecepatan kereta penumpang lagi kecepatan kereta barang beberapa kali lebih tinggi, tetapi waktu yang dibutuhkan untuk menempuh jarak yang sama dibutuhkan oleh kereta penumpang lebih kecil sebanyak kereta barang. Artinya, saling menghargai berbanding terbalik .
Skema yang kami gunakan selama ini perlu sedikit diubah dalam hal ini.
Larutan:
Kami beralasan seperti ini:
Sebuah kereta api penumpang menempuh perjalanan selama 3 jam dengan kecepatan 80 km/jam, maka jarak tempuhnya adalah km. Artinya sebuah kereta barang akan menempuh jarak yang sama dalam waktu satu jam.
Artinya, jika kita membuat proporsi, seharusnya kita menukar sel kolom kanan terlebih dahulu. Akan mendapatkan: h.
Itu sebabnya, harap berhati-hati saat menyusun proporsinya. Pertama, cari tahu jenis ketergantungan apa yang Anda hadapi - langsung atau terbalik.