Angka konstan A ditelepon membatasi urutan(x n ), jika untuk bilangan positif kecil sembarangε > 0 ada angka N yang memiliki semua nilai xn, yang mana n>N, memenuhi pertidaksamaan

|x n - sebuah|< ε. (6.1)

Tuliskan sebagai berikut: atau x n → A.

Ketimpangan (6.1) setara dengan ketimpangan ganda

sebuah- ε< x n < a + ε, (6.2)

yang berarti poinnya xn, dimulai dari suatu bilangan n>N, terletak di dalam interval (a-ε, a+ ε ), yaitu jatuh ke dalam hal kecil apa punε -lingkungan suatu titik A.

Barisan yang mempunyai limit disebut konvergen, jika tidak - berbeda.

Konsep limit suatu fungsi merupakan generalisasi dari konsep limit suatu barisan, karena limit suatu barisan dapat dianggap sebagai limit suatu fungsi x n = f(n) dari argumen bilangan bulat N.

Biarkan fungsi f(x) diberikan dan biarkan A - titik batas domain definisi fungsi ini D(f), yaitu suatu titik, setiap lingkungannya memuat titik-titik himpunan D(f) selain A. Dot A mungkin termasuk dalam himpunan D(f) atau tidak.

Definisi 1.Konstanta bilangan A disebut membatasi fungsi f(x) pada x→a, jika untuk sembarang barisan (x n ) nilai argumen cenderung A, barisan-barisan yang bersesuaian (f(x n)) mempunyai limit A yang sama.

Definisi ini disebut dengan mendefinisikan limit suatu fungsi menurut Heine, atau " dalam bahasa urutan”.

Definisi 2. Konstanta bilangan A disebut membatasi fungsi f(x) pada x→a, jika, dengan menentukan sembarang kecil nomor positif ε , seseorang dapat menemukan δ seperti itu>0 (tergantung pada ε), yang diperuntukkan bagi semua orang X, berbaringε-lingkungan dari nomor tersebut A, yaitu. Untuk X, memuaskan ketimpangan
0 < xa< ε , nilai fungsi f(x) akan terletak diε-lingkungan dari bilangan A, mis.|f(x)-A|< ε.

Definisi ini disebut dengan mendefinisikan limit suatu fungsi menurut Cauchy, atau “dalam bahasa ε - δ “.

Definisi 1 dan 2 setara. Jika fungsinya f(x) sebagai x →a memiliki membatasi, sama dengan A, ditulis dalam bentuk

. (6.3)

Jika barisan (f(x n)) bertambah (atau berkurang) tanpa batas untuk metode pendekatan apa pun X sampai batasmu A, maka kita akan mengatakan bahwa fungsi tersebut f(x) miliki batas tak terbatas, dan tuliskan dalam bentuk:

Variabel (yaitu barisan atau fungsi) yang limitnya nol disebut sangat kecil.

Variabel yang limitnya sama dengan tak terhingga disebut sangat besar.

Untuk mencari limit dalam prakteknya digunakan teorema berikut.

Teorema 1 . Jika setiap batasan ada

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Komentar. Ekspresi seperti 0/0, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - tidak pasti, misalnya rasio dua besaran yang sangat kecil atau besar yang tak terhingga, dan menemukan limit jenis ini disebut “mengungkap ketidakpastian”.

Teorema 2. (6.7)

itu. seseorang dapat mencapai batas berdasarkan pangkat dengan eksponen konstan, khususnya, ;

(6.8)

(6.9)

Teorema 3.

(6.10)

(6.11)

Di mana e » 2.7 - basis logaritma natural. Rumus (6.10) dan (6.11) disebut yang pertama batas yang luar biasa dan batas luar biasa kedua.

Konsekuensi dari rumus (6.11) juga digunakan dalam praktik:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

khususnya batasnya,

Jika x → a dan sekaligus x > a, lalu tulis x→a + 0. Jika, khususnya, a = 0, maka alih-alih simbol 0+0 tulislah +0. Demikian pula jika x→a dan sekaligus x a-0. Angka dan dipanggil sesuai dengan itu batas yang tepat Dan batas kiri fungsi f(x) pada intinya A. Agar ada limit dari fungsi f(x) sebagai x→a diperlukan dan cukup untuk itu . Fungsi f(x) dipanggil kontinu pada intinya x 0 jika batas

. (6.15)

Kondisi (6.15) dapat ditulis ulang menjadi:

,

yaitu, perjalanan menuju limit di bawah tanda suatu fungsi dimungkinkan jika fungsi tersebut kontinu pada suatu titik tertentu.

Jika persamaan (6.15) dilanggar, maka kami katakan demikian pada x = x o fungsi f(x) Memiliki celah Perhatikan fungsi y = 1/x. Daerah definisi fungsi ini adalah himpunan R, kecuali x = 0. Titik x = 0 adalah titik limit himpunan D(f), karena di lingkungan mana pun, mis. dalam setiap interval terbuka yang memuat titik 0, terdapat titik-titik dari D(f), tetapi titik itu sendiri tidak termasuk dalam himpunan ini. Nilai f(xo)= f(0) tidak terdefinisi, sehingga pada titik x o = 0 fungsi tersebut mempunyai diskontinuitas.

Fungsi f(x) dipanggil kontinu di sebelah kanan pada titik tersebut x o jika batasnya

,

Dan kontinu di sebelah kiri pada titik tersebut x o, jika batasnya

.

Kontinuitas suatu fungsi pada suatu titik x o setara dengan kontinuitasnya pada titik ini baik ke kanan maupun ke kiri.

Agar fungsinya kontinu di suatu titik x o, misalnya, di sebelah kanan, pertama, harus ada limit yang berhingga, dan kedua, limit tersebut harus sama dengan f(xo). Oleh karena itu, jika setidaknya salah satu dari kedua kondisi tersebut tidak terpenuhi, maka fungsi tersebut akan mengalami diskontinuitas.

1. Jika limitnya ada dan tidak sama dengan f(xo), maka dikatakan demikian fungsi f(x) pada intinya x o punya pecahnya jenis pertama, atau melompat.

2. Jika batasnya adalah+∞ atau -∞ atau tidak ada, lalu dikatakan demikian titik x o fungsi tersebut mempunyai diskontinuitas jenis kedua.

Misalnya fungsi y = cot x di x→ +0 memiliki limit yang sama dengan +∞, artinya pada titik x=0 terdapat diskontinuitas jenis kedua. Fungsi y = E(x) (bagian bilangan bulat dari X) pada titik-titik yang absisnya utuh mempunyai diskontinuitas jenis pertama, atau lompatan.

Suatu fungsi yang kontinu pada setiap titik dalam interval disebut kontinu V . Fungsi kontinu diwakili oleh kurva padat.

Banyak masalah yang terkait dengan pertumbuhan kuantitas tertentu yang terus-menerus mengarah pada batas luar biasa kedua. Tugas-tugas tersebut, misalnya, meliputi: pertumbuhan simpanan menurut hukum bunga majemuk, pertumbuhan populasi suatu negara, peluruhan zat radioaktif, perkembangbiakan bakteri, dll.

Mari kita pertimbangkan contoh Ya.I. Perelman, memberikan interpretasi nomor tersebut e dalam masalah bunga majemuk. Nomor e ada batasnya . Di bank tabungan, uang bunga ditambahkan ke modal tetap setiap tahunnya. Jika aksesi dilakukan lebih sering, maka modal tumbuh lebih cepat, karena jumlah yang lebih besar terlibat dalam pembentukan bunga. Mari kita ambil contoh yang murni teoretis dan sangat disederhanakan. Biarkan 100 penyangkal disetorkan ke bank. unit berdasarkan 100% per tahun. Jika uang bunga ditambahkan ke modal tetap hanya setelah satu tahun, maka pada periode ini 100 den. unit akan berubah menjadi 200 unit moneter. Sekarang mari kita lihat 100 denize akan berubah menjadi apa. unit, jika uang bunga ditambahkan ke modal tetap setiap enam bulan. Setelah enam bulan, 100 sarang. unit akan bertambah menjadi 100× 1,5 = 150, dan setelah enam bulan berikutnya - pada 150× 1,5 = 225 (satuan ruang). Jika aksesi dilakukan setiap 1/3 tahun, maka setelah satu tahun 100 sarang. unit akan berubah menjadi 100× (1 +1/3) 3 " 237 (ruang kerja satuan). Kami akan menambah ketentuan penambahan uang bunga menjadi 0,1 tahun, menjadi 0,01 tahun, menjadi 0,001 tahun, dan seterusnya. Kemudian dari 100 ruang kerja. unit setelah satu tahun akan menjadi:

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (satuan ruang),

100 × (1+1/100) 100 » 270 (satuan ruang),

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (satuan ruang).

Dengan pengurangan yang tidak terbatas dalam syarat penambahan bunga, akumulasi modal tidak tumbuh tanpa batas, tetapi mendekati batas tertentu yang setara dengan sekitar 271. Modal yang disetorkan sebesar 100% per tahun tidak dapat meningkat lebih dari 2,71 kali lipat, bahkan jika bunga yang masih harus dibayar ditambahkan ke modal setiap detik karena batasnya

Contoh 3.1.Dengan menggunakan definisi limit suatu barisan bilangan, buktikan bahwa barisan x n =(n-1)/n mempunyai limit sama dengan 1.

Larutan.Kita perlu membuktikannya, apa pun yang terjadiε > 0, apa pun yang kita ambil, karena bilangan tersebut terdapat bilangan asli N sehingga untuk semua n N pertidaksamaannya berlaku|x n -1|< ε.

Mari kita ambil e > 0. Karena ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, maka untuk mencari N cukup menyelesaikan pertidaksamaan 1/n< e. Oleh karena itu n>1/ e dan, oleh karena itu, N dapat diambil sebagai bagian bilangan bulat dari 1/ e , N = E(1/ e ). Dengan demikian kami telah membuktikan bahwa batasnya.

Contoh 3.2 . Temukan limit suatu barisan yang diberikan oleh suku yang sama .

Larutan.Mari kita terapkan limit teorema penjumlahan dan temukan limit setiap suku. Ketika n→ ∞ pembilang dan penyebut setiap suku cenderung tak terhingga, dan teorema limit hasil bagi tidak dapat diterapkan secara langsung. Oleh karena itu, pertama-tama kita bertransformasi xn, membagi pembilang dan penyebut suku pertama dengan n 2, dan yang kedua aktif N. Kemudian, dengan menerapkan limit hasil bagi dan limit teorema penjumlahan, kita peroleh:

.

Contoh 3.3. . Menemukan .

Larutan. .

Di sini kita menggunakan teorema limit derajat: limit suatu derajat sama dengan derajat limit alasnya.

Contoh 3.4 . Menemukan ( ).

Larutan.Tidak mungkin menerapkan teorema limit selisih, karena kita mempunyai ketidakpastian bentuk ∞-∞ . Mari kita ubah rumus suku umum:

.

Contoh 3.5 . Fungsi f(x)=2 1/x diberikan. Buktikan bahwa tidak ada batasan.

Larutan.Mari kita gunakan definisi 1 dari limit suatu fungsi melalui suatu barisan. Mari kita ambil barisan ( x n ) yang konvergen ke 0, yaitu. Mari kita tunjukkan bahwa nilai f(x n)= berperilaku berbeda untuk barisan yang berbeda. Misalkan x n = 1/n. Jelas, itulah batasnya Sekarang mari kita pilih sebagai xn barisan yang sukunya sama x n = -1/n, juga cenderung nol. Oleh karena itu tidak ada batasan.

Contoh 3.6 . Buktikan bahwa tidak ada batasan.

Larutan.Misalkan x 1 , x 2 ,..., x n ,... adalah barisan yang
. Bagaimana perilaku barisan (f(x n)) = (sin x n) untuk x n → ∞ yang berbeda

Jika x n = p n, maka sin x n = sin p n = 0 untuk semua N dan batas Jika
xn =2 p n+ p /2, maka sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 untuk semua N dan karena itu batasnya. Jadi itu tidak ada.

Widget untuk menghitung batas secara online

Di jendela atas, alih-alih sin(x)/x, masukkan fungsi yang ingin Anda cari limitnya. Di jendela bawah, masukkan angka kecenderungan x dan klik tombol Kalkuler, dapatkan batas yang diinginkan. Dan jika di jendela hasil Anda mengklik Tampilkan langkah di pojok kanan atas, Anda akan mendapatkan solusi detail.

Aturan untuk memasukkan fungsi: kuadrat(x) - akar kuadrat, cbrt(x) - akar pangkat tiga, exp(x) - eksponen, ln(x) - logaritma natural, sin(x) - sinus, cos(x) - kosinus, tan (x) - tangen, cot(x) - kotangen, arcsin(x) - arcsinus, arccos(x) - arccosine, arctan(x) - arctangen. Tanda: *perkalian, /pembagian,^pangkat, sebagai gantinya ketakterbatasan Ketakterbatasan. Contoh: fungsi dimasukkan sebagai sqrt(tan(x/2)).

Topik 4.6 Perhitungan limit

Limit suatu fungsi tidak bergantung pada apakah fungsi tersebut terdefinisi pada titik limitnya atau tidak. Namun dalam praktik penghitungan limit fungsi dasar, keadaan ini sangat penting.

1. Jika suatu fungsi bersifat elementer dan jika nilai pembatas suatu argumen termasuk dalam daerah definisinya, maka penghitungan limit fungsi tersebut direduksi menjadi substitusi sederhana dari nilai pembatas argumen tersebut, karena limit fungsi dasar f(x) di x berjuang untukA , yang termasuk dalam domain definisi, sama dengan nilai parsial fungsi di x = A, yaitu. batas f(x)=f( A) .

2. Jika x cenderung tak terhingga atau argumennya cenderung ke bilangan yang tidak termasuk dalam domain definisi fungsi, maka dalam setiap kasus tersebut, mencari limit fungsi memerlukan penelitian khusus.

Di bawah ini merupakan limit paling sederhana berdasarkan sifat-sifat limit yang dapat dijadikan rumus:

Kasus yang lebih kompleks dalam mencari limit suatu fungsi:

masing-masing dianggap terpisah.

Bagian ini akan menguraikan cara-cara utama untuk mengungkapkan ketidakpastian.

1. Kasus ketika x berjuang untukA fungsi f(x) menyatakan perbandingan dua besaran yang sangat kecil

a) Pertama, Anda perlu memastikan bahwa limit fungsi tidak dapat ditemukan dengan substitusi langsung dan, dengan perubahan argumen yang ditunjukkan, ini mewakili rasio dua besaran yang sangat kecil. Transformasi dilakukan untuk mereduksi pecahan dengan faktor yang cenderung 0. Menurut definisi limit suatu fungsi, argumen x cenderung ke nilai limitnya, tidak pernah bertepatan dengannya.

Secara umum, jika kita mencari limit suatu fungsi di x berjuang untukA , maka Anda harus ingat bahwa x tidak mempunyai nilai A, yaitu. x tidak sama dengan a.

b) Teorema Bezout diterapkan. Jika mencari limit suatu pecahan yang pembilang dan penyebutnya adalah polinomial yang hilang di titik batas x = A, maka menurut teorema di atas kedua polinomial tersebut habis dibagi x- A.

c) Irasionalitas pada pembilang atau penyebut dihilangkan dengan cara mengalikan pembilang atau penyebut dengan konjugat terhadap persamaan irasional tersebut, kemudian setelah menyederhanakan pecahan tersebut dikurangi.

d) Batas luar biasa pertama (4.1) digunakan.

e) Teorema kesetaraan sangat kecil dan prinsip-prinsip berikut digunakan:

2. Kasus kapan x berjuang untukA fungsi f(x) menyatakan perbandingan dua besaran yang tak terhingga besarnya

a) Membagi pembilang dan penyebut suatu pecahan dengan pangkat tertinggi dari bilangan yang tidak diketahui.

b) Secara umum, Anda dapat menggunakan aturan tersebut

3. Kasus kapan x berjuang untukA fungsi f (x) mewakili produk dari besaran yang sangat kecil dan besaran yang sangat besar

Pecahan diubah menjadi bentuk yang pembilang dan penyebutnya sekaligus cenderung 0 atau tak terhingga, yaitu. kasus 3 direduksi menjadi kasus 1 atau kasus 2.

4. Kasus kapan x berjuang untukA fungsi f (x) menyatakan selisih dua besaran positif yang sangat besar

Kasus ini direduksi menjadi tipe 1 atau 2 dengan salah satu cara berikut:

a) membawa pecahan ke penyebut yang sama;

b) mengubah suatu fungsi menjadi pecahan;

c) menghilangkan irasionalitas.

5. Kasus kapan x berjuang untukA fungsi f(x) melambangkan pangkat yang basisnya cenderung 1 dan eksponennya tak terhingga.

Fungsi tersebut diubah sedemikian rupa sehingga menggunakan limit luar biasa ke-2 (4.2).

Contoh. Menemukan .

Karena x cenderung 3, maka pembilang pecahannya cenderung ke angka 3 2 +3 *3+4=22, dan penyebutnya cenderung ke angka 3+8=11. Karena itu,

Contoh

Berikut pembilang dan penyebut pecahan tersebut x cenderung ke 2 cenderung 0 (ketidakpastian jenis), kita faktorkan pembilang dan penyebutnya, kita peroleh lim(x-2)(x+2)/(x-2)(x-5)

Contoh

Mengalikan pembilang dan penyebut dengan ekspresi konjugat ke pembilangnya, kita mendapatkan

Membuka tanda kurung pada pembilangnya, kita mendapatkan

Contoh

Level 2. Contoh. Mari kita beri contoh penerapan konsep limit suatu fungsi dalam perhitungan ekonomi. Mari kita pertimbangkan transaksi keuangan biasa: meminjamkan sejumlah uang S 0 dengan syarat setelah jangka waktu tertentu T jumlah tersebut akan dikembalikan S T. Mari kita tentukan nilainya R pertumbuhan relatif rumus

r=(ST -S 0)/S 0 (1)

Pertumbuhan relatif dapat dinyatakan dalam persentase dengan mengalikan nilai yang dihasilkan R oleh 100.

Dari rumus (1) mudah untuk menentukan nilainya S T:

S T= S 0 (1 + R)

Saat menghitung pinjaman jangka panjang yang mencakup beberapa tahun penuh, skema bunga majemuk digunakan. Terdiri dari kenyataan bahwa jika untuk tahun pertama jumlahnya S 0 meningkat menjadi (1 + R) kali, lalu untuk tahun kedua dalam (1 + R) kali jumlahnya bertambah S 1 = S 0 (1 + R), itu adalah S 2 = S 0 (1 + R) 2 . Ternyata serupa S 3 = S 0 (1 + R) 3 . Dari contoh di atas, kita dapat memperoleh rumus umum untuk menghitung pertumbuhan jumlah N tahun jika dihitung menggunakan skema bunga majemuk:

S n= S 0 (1 + R) N.

Dalam perhitungan keuangan, skema digunakan di mana bunga majemuk dihitung beberapa kali dalam setahun. Dalam hal ini ditetapkan tarif tahunan R Dan jumlah akrual per tahun k. Sebagai aturan, akrual dilakukan pada interval yang sama, yaitu panjang setiap interval karena merupakan bagian dari tahun. Kemudian untuk periode tahun T tahun (di sini T belum tentu bilangan bulat). S T dihitung dengan rumus

(2)

di mana adalah bagian bilangan bulat dari suatu bilangan yang bertepatan dengan bilangan itu sendiri, jika, misalnya, T? bilangan bulat.

Biarkan tarif tahunannya menjadi R dan diproduksi N akrual per tahun secara berkala. Kemudian untuk tahun jumlahnya S 0 dinaikkan ke nilai yang ditentukan oleh rumus

(3)

Dalam analisis teoretis dan praktik aktivitas keuangan, konsep “bunga yang masih harus dibayar terus-menerus” sering dijumpai. Untuk beralih ke bunga yang masih harus dibayar terus-menerus, Anda perlu menaikkan angkanya masing-masing tanpa batas dalam rumus (2) dan (3). k Dan N(yaitu, mengarahkan k Dan N hingga tak terhingga) dan hitung sampai batas mana fungsi tersebut cenderung S T Dan S 1 . Mari kita terapkan prosedur ini pada rumus (3):

Perhatikan bahwa limit dalam tanda kurung kurawal bertepatan dengan limit luar biasa kedua. Oleh karena itu, pada tingkat tahunan R dengan bunga yang masih harus dibayar terus menerus, jumlahnya S 0 dalam 1 tahun meningkat nilainya S 1*, yang ditentukan dari rumus

S 1 * = S 0 e r (4)

Biarkan sekarang jumlahnya S 0 diberikan sebagai pinjaman dengan bunga yang masih harus dibayar N setahun sekali secara berkala. Mari kita tunjukkan ulang tarif tahunan di mana pada akhir tahun jumlahnya S 0 dinaikkan ke nilainya S 1 * dari rumus (4). Dalam hal ini kami akan mengatakan itu ulang- Ini suku bunga tahunan N setahun sekali, setara dengan bunga tahunan R dengan akrual berkelanjutan. Dari rumus (3) kita peroleh

S* 1 =S 0 (1+r e /n) n

Menyamakan ruas kanan rumus terakhir dan rumus (4), dengan asumsi rumus terakhir T= 1, kita dapat menurunkan hubungan antar besaran R Dan ulang:

Rumus ini banyak digunakan dalam perhitungan keuangan.

Teori batasan- salah satu bagian analisis matematis yang dapat dikuasai sebagian orang, sementara sebagian lagi mengalami kesulitan dalam menghitung batasannya. Pertanyaan tentang menemukan batasan cukup umum, karena ada lusinan teknik batas solusi berbagai jenis. Batasan yang sama dapat ditemukan baik dengan menggunakan aturan L'Hopital maupun tanpa aturan L'Hopital. Kebetulan menjadwalkan serangkaian fungsi yang sangat kecil memungkinkan Anda mendapatkan hasil yang diinginkan dengan cepat. Ada serangkaian teknik dan trik yang memungkinkan Anda menemukan limit suatu fungsi dengan kompleksitas apa pun. Pada artikel ini kami akan mencoba memahami jenis-jenis batasan utama yang paling sering ditemui dalam praktik. Kami tidak akan memberikan teori dan definisi limit di sini; ada banyak sumber di Internet yang membahas hal ini. Oleh karena itu, mari kita mulai perhitungan praktisnya, di sinilah Anda berkata, "Saya tidak tahu! Saya tidak bisa! Kami tidak diajari!"

Menghitung limit menggunakan metode substitusi

Contoh 1. Temukan limit suatu fungsi
Lim((x^2-3*x)/(2*x+5),x=3).
Penyelesaian: Contoh-contoh seperti ini dapat dihitung secara teoritis dengan menggunakan substitusi biasa

Batasnya adalah 18/11.
Tidak ada yang rumit atau bijaksana tentang batasan tersebut - kami mengganti nilainya, menghitungnya, dan menuliskan batasan tersebut sebagai jawabannya. Namun, berdasarkan batasan tersebut, setiap orang diajari bahwa pertama-tama mereka perlu mensubstitusikan nilai ke dalam fungsi. Selanjutnya, batasan menjadi lebih rumit, memperkenalkan konsep ketidakterbatasan, ketidakpastian, dan sejenisnya.

Batas dengan ketidakpastian seperti tak terhingga dibagi tak terhingga. Teknik Pengungkapan Ketidakpastian

Contoh 2. Temukan limit suatu fungsi
Lim((x^2+2x)/(4x^2+3x-4),x=tak terhingga).
Penyelesaian: Diberikan limit berbentuk polinomial dibagi polinomial, dan variabelnya cenderung tak terhingga

Mensubstitusikan nilai variabel yang seharusnya dicari untuk mencari limitnya saja tidak akan membantu, kita mendapatkan ketidakpastian dalam bentuk tak terhingga dibagi tak terhingga.
Menurut teori limit, algoritma untuk menghitung limit adalah dengan mencari pangkat “x” terbesar pada pembilang atau penyebutnya. Selanjutnya pembilang dan penyebutnya disederhanakan dan dicari limit fungsinya

Karena nilainya cenderung nol ketika variabel mendekati tak terhingga, maka variabel tersebut diabaikan, atau dituliskan ke dalam ekspresi akhir dalam bentuk nol

Langsung dari latihan, Anda bisa mendapatkan dua kesimpulan yang menjadi petunjuk dalam perhitungan. Jika suatu variabel cenderung tak terhingga dan derajat pembilangnya lebih besar dari derajat penyebutnya, maka limitnya sama dengan tak terhingga. Sebaliknya, jika polinomial pada penyebutnya lebih tinggi dari pada pembilangnya, maka limitnya adalah nol.
Batasnya dapat ditulis dengan rumus seperti ini:

Jika kita mempunyai fungsi yang berbentuk bidang biasa tanpa pecahan, maka limitnya sama dengan tak terhingga

Jenis limit berikutnya berkaitan dengan perilaku fungsi yang mendekati nol.

Contoh 3. Temukan limit suatu fungsi
Lim((x^2+3x-5)/(x^2+x+2), x=0).
Solusi: Tidak perlu menghilangkan faktor utama polinomial di sini. Justru sebaliknya, Anda perlu mencari pangkat terkecil dari pembilang dan penyebutnya lalu menghitung limitnya

Nilai x^2; x cenderung nol ketika variabelnya cenderung nol, oleh karena itu diabaikan sehingga kita peroleh

bahwa batasnya adalah 2,5.

Sekarang kamu tau cara mencari limit suatu fungsi dari bentuknya, bagilah polinomial dengan polinomial jika variabelnya cenderung tak terhingga atau 0. Namun ini hanyalah sebagian kecil dan mudah dari contohnya. Dari materi berikut Anda akan belajar bagaimana mengungkap ketidakpastian dalam batas-batas suatu fungsi.

Batas dengan ketidakpastian tipe 0/0 dan metode penghitungannya

Semua orang langsung ingat aturan bahwa Anda tidak bisa membagi dengan nol. Namun, teori limit dalam konteks ini menyiratkan fungsi yang sangat kecil.
Mari kita lihat beberapa contoh untuk kejelasan.

Contoh 4. Temukan limit suatu fungsi
Lim((3x^2+10x+7)/(x+1), x=-1).
Penyelesaian: Jika kita mensubstitusikan nilai variabel x = -1 ke dalam penyebutnya, kita mendapatkan nol, dan kita mendapatkan nilai yang sama pada pembilangnya. Jadi kita punya ketidakpastian bentuk 0/0.
Mengatasi ketidakpastian seperti itu sederhana saja: Anda perlu memfaktorkan polinomialnya, atau lebih tepatnya, memilih faktor yang mengubah fungsinya menjadi nol.

Setelah pemuaian, limit fungsi dapat dituliskan sebagai

Itulah keseluruhan cara menghitung limit suatu fungsi. Kita melakukan hal yang sama jika ada limit dari bentuk polinomial dibagi polinomial.

Contoh 5. Temukan limit suatu fungsi
Lim((2x^2-7x+6)/(3x^2-x-10), x=2).
Solusi: Pertunjukan substitusi langsung
2*4-7*2+6=0;
3*4-2-10=0
apa yang kita punya ketik ketidakpastian 0/0.
Mari kita bagi polinomial dengan faktor yang menghasilkan singularitas


Ada guru yang mengajarkan bahwa polinomial orde 2, yaitu tipe “persamaan kuadrat”, harus diselesaikan melalui diskriminan. Namun praktik nyata menunjukkan bahwa ini lebih lama dan membingungkan, jadi hilangkan fitur dalam batas sesuai dengan algoritma yang ditentukan. Jadi, kita tuliskan fungsinya sebagai faktor sederhana dan hitung dalam limitnya

Seperti yang Anda lihat, tidak ada yang rumit dalam menghitung batasan tersebut. Pada saat Anda mempelajari limitnya, Anda sudah tahu cara membagi polinomial, setidaknya menurut program Anda seharusnya sudah melewatinya.
Di antara tugas-tugas di ketik ketidakpastian 0/0 Ada beberapa di mana Anda perlu menggunakan rumus perkalian yang disingkat. Namun jika Anda belum mengetahuinya, maka dengan membagi polinomial dengan monomial Anda bisa mendapatkan rumus yang diinginkan.

Contoh 6. Temukan limit suatu fungsi
Lim((x^2-9)/(x-3), x=3).
Solusi: Kita mempunyai ketidakpastian bertipe 0/0. Pada pembilangnya kita menggunakan rumus perkalian yang disingkat

dan menghitung batas yang diperlukan

Metode untuk mengungkap ketidakpastian dengan mengalikannya dengan konjugasinya

Metode ini diterapkan pada batas-batas di mana ketidakpastian dihasilkan oleh fungsi-fungsi irasional. Pembilang atau penyebutnya berubah menjadi nol pada titik perhitungan dan tidak diketahui cara mencari batasnya.

Contoh 7. Temukan limit suatu fungsi
Lim((akar(x+2)-akar(7x-10))/(3x-6), x=2).
Larutan: Mari kita nyatakan variabel dalam rumus limit

Saat melakukan substitusi, kita memperoleh ketidakpastian tipe 0/0.
Menurut teori limit, cara untuk melewati fitur ini adalah dengan mengalikan ekspresi irasional dengan konjugasinya. Untuk memastikan ekspresi tidak berubah, penyebutnya harus dibagi dengan nilai yang sama

Dengan menggunakan aturan selisih kuadrat, kita menyederhanakan pembilangnya dan menghitung limit fungsinya

Kami menyederhanakan suku-suku yang menciptakan singularitas dalam limit dan melakukan substitusi

Contoh 8. Temukan limit suatu fungsi
Lim((akar(x-2)-akar(2x-5))/(3-x), x=3).
Penyelesaian: Substitusi langsung menunjukkan bahwa limit mempunyai singularitas berbentuk 0/0.

Untuk memperluas, kita mengalikan dan membagi dengan konjugasi pembilangnya

Kami menuliskan perbedaan kuadrat

Kami menyederhanakan suku-suku yang memperkenalkan singularitas dan mencari limit fungsinya

Contoh 9. Temukan limit suatu fungsi
Lim((x^2+x-6)/(akar(3x-2)-2), x=2).
Solusi: Gantikan dua ke dalam rumus

Kita mendapatkan ketidakpastian 0/0.
Penyebutnya harus dikalikan dengan ekspresi konjugasinya, dan pada pembilangnya persamaan kuadrat harus diselesaikan atau difaktorkan, dengan mempertimbangkan singularitas. Karena diketahui 2 adalah akar, maka dicari akar kedua menggunakan teorema Vieta

Jadi, kita menulis pembilangnya dalam bentuk

dan substitusikannya ke dalam limit

Dengan mengurangi selisih kuadrat, kita menghilangkan singularitas pada pembilang dan penyebutnya

Dengan cara ini, Anda dapat menghilangkan singularitas dalam banyak contoh, dan penerapannya harus diperhatikan ketika selisih akar tertentu berubah menjadi nol selama substitusi. Jenis limit lainnya menyangkut fungsi eksponensial, fungsi yang sangat kecil, logaritma, limit khusus, dan teknik lainnya. Namun Anda dapat membacanya pada artikel di bawah ini tentang batasan.

Teori limit merupakan salah satu cabang analisis matematis. Pertanyaan tentang penyelesaian limit cukup luas, karena terdapat lusinan metode untuk menyelesaikan berbagai jenis batasan. Ada lusinan nuansa dan trik yang memungkinkan Anda mengatasi batasan ini atau itu. Meski demikian, kami tetap akan mencoba memahami jenis-jenis batasan utama yang paling sering ditemui dalam praktik.

Mari kita mulai dengan konsep limit. Tapi pertama-tama, latar belakang sejarah singkat. Hiduplah seorang Perancis, Augustin Louis Cauchy, pada abad ke-19, yang memberikan definisi tegas terhadap banyak konsep matan dan meletakkan fondasinya. Harus dikatakan bahwa ahli matematika yang dihormati ini pernah, sedang, dan akan berada dalam mimpi buruk semua mahasiswa departemen fisika dan matematika, karena ia membuktikan sejumlah besar teorema analisis matematika, dan satu teorema lebih mematikan daripada yang lain. Kami belum akan mempertimbangkan hal ini penentuan batas Cauchy, tapi mari kita coba melakukan dua hal:

1. Pahami apa itu batasan.
2. Belajar memecahkan jenis-jenis limit utama.

Saya mohon maaf atas beberapa penjelasan yang tidak ilmiah, yang penting materinya dapat dipahami bahkan oleh teko teh, yang sebenarnya merupakan tugas proyek.

Jadi berapa batasnya?

Dan hanya contoh mengapa nenek berbulu lebat....

Batas apa pun terdiri dari tiga bagian:

1) Ikon batas yang terkenal.
2) Entri di bawah ikon batas, di pada kasus ini. Entrinya berbunyi “X cenderung satu.” Paling sering - tepatnya, meskipun dalam praktiknya ada variabel lain selain "X". DI DALAM tugas-tugas praktis sebagai ganti satu, bisa saja ada bilangan apa saja, begitu juga dengan tak terhingga ().
3) Fungsi di bawah tanda limit, dalam hal ini .

Rekaman itu sendiri berbunyi seperti ini: “limit suatu fungsi karena x cenderung kesatuan.”

Mari kita lihat pertanyaan penting berikutnya - apa arti ungkapan “x”? berusaha untuk satu"? Dan apa arti “berjuang”?
Konsep limit adalah sebuah konsep, bisa dikatakan, dinamis. Mari kita buat barisannya: pertama , lalu , , …, , ….
Artinya, ungkapan “x berusaha to one” harus dipahami sebagai berikut: “x” secara konsisten mengambil nilai-nilai yang mendekati kesatuan yang sangat dekat dan secara praktis bertepatan dengannya.

Bagaimana cara mengatasi contoh di atas? Berdasarkan penjelasan di atas, Anda hanya perlu mensubstitusikan satu ke dalam fungsi di bawah tanda limit:

Jadi, aturan pertama: Ketika diberi batasan apa pun, pertama-tama kita coba memasukkan angka tersebut ke dalam fungsi.

Kita telah mempertimbangkan batasan yang paling sederhana, namun hal ini juga terjadi dalam praktiknya, dan tidak jarang!

Contoh dengan tak terhingga:

Mari kita cari tahu apa itu? Demikian pula bila bertambah tanpa batas, yaitu: mula-mula, lalu, lalu, dan seterusnya ad infinitum.

Apa yang terjadi pada fungsinya saat ini?
, , , …

Jadi: jika , maka fungsinya cenderung minus tak terhingga:

Secara kasar, menurut aturan pertama kita, alih-alih “X” kita mengganti fungsi tak terhingga dan mendapatkan jawabannya.

Contoh lain dengan ketidakterbatasan:

Sekali lagi kita mulai meningkat hingga tak terhingga dan melihat perilaku fungsinya:

Kesimpulan: ketika fungsinya meningkat tanpa batas:

Dan rangkaian contoh lainnya:

Silakan mencoba menganalisis secara mental hal-hal berikut ini untuk diri Anda sendiri dan mengingat jenis batasan yang paling sederhana:

, , , , , , , , ,
Jika Anda ragu, Anda dapat mengambil kalkulator dan berlatih sedikit.
Jika demikian , cobalah menyusun barisan , , . Jika kemudian , , .

! Catatan: Sebenarnya, pendekatan untuk menyusun barisan beberapa bilangan ini tidak benar, tetapi untuk memahami contoh paling sederhana pendekatan ini cukup cocok.

Perhatikan juga hal berikut ini. Sekalipun diberikan batasan dengan angka besar di atas, atau bahkan dengan sejuta: , maka semuanya sama saja , karena cepat atau lambat "X" akan mulai mengambil nilai yang sangat besar sehingga satu juta jika dibandingkan akan menjadi mikroba yang nyata.

Apa yang perlu Anda ingat dan pahami dari penjelasan di atas?

1) Ketika diberi limit, pertama-tama kita coba mensubstitusikan bilangan tersebut ke dalam fungsinya.

2) Anda harus memahami dan segera menyelesaikan batasan yang paling sederhana, seperti , , dll.

Apalagi batasnya sudah sangat bagus makna geometris. Untuk pemahaman yang lebih baik tentang topik ini, saya sarankan Anda membaca materi metodologis Grafik dan sifat-sifat fungsi dasar. Setelah membaca artikel ini, Anda tidak hanya akhirnya memahami apa itu limit, tetapi juga mengenal kasus-kasus menarik ketika limit suatu fungsi secara umum tidak ada!

Sayangnya, dalam praktiknya, hanya ada sedikit hadiah. Oleh karena itu, kami melanjutkan untuk mempertimbangkan batasan yang lebih kompleks. Omong-omong, ada topik ini kursus intensif dalam format pdf, yang sangat berguna jika Anda memiliki SANGAT sedikit waktu untuk mempersiapkannya. Namun materi situsnya, tentu saja, tidak lebih buruk:

Sekarang kita akan membahas kelompok limit ketika , dan fungsinya adalah pecahan yang pembilang dan penyebutnya mengandung polinomial

Contoh:

Hitung batas

Menurut aturan kami, kami akan mencoba mensubstitusikan tak terhingga ke dalam fungsi tersebut. Apa yang kita dapatkan di puncak? Ketakterbatasan. Dan apa yang terjadi di bawah? Juga tak terhingga. Jadi, kita menghadapi apa yang disebut ketidakpastian spesies. Orang mungkin berpikir demikian, dan jawabannya sudah siap, tetapi dalam kasus umum hal ini tidak terjadi sama sekali, dan beberapa teknik solusi perlu diterapkan, yang sekarang akan kita pertimbangkan.

Bagaimana Mengatasi Batasan dari jenis ini?

Pertama kita lihat pembilangnya dan cari pangkat tertinggi:

Pangkat terdepan pada pembilangnya adalah dua.

Sekarang kita melihat penyebutnya dan juga mencari pangkat tertinggi:

Derajat tertinggi penyebutnya adalah dua.

Selanjutnya kita pilih pangkat tertinggi dari pembilang dan penyebutnya: in dalam contoh ini mereka bertepatan dan sama dengan dua.

Jadi cara penyelesaiannya adalah sebagai berikut: untuk mengetahui ketidakpastiannya, pembilang dan penyebutnya perlu dibagi dengan pangkat tertinggi.

Ini dia jawabannya, dan bukan ketidakterbatasan sama sekali.

Apa yang secara fundamental penting dalam perancangan suatu keputusan?

Pertama, kami menunjukkan ketidakpastian, jika ada.

Kedua, disarankan untuk menghentikan solusi untuk penjelasan perantara. Saya biasanya menggunakan tanda, tidak memiliki arti matematis apa pun, tetapi berarti solusinya diinterupsi untuk penjelasan perantara.

Ketiga, dalam batasnya disarankan untuk menandai apa yang terjadi di mana. Ketika pekerjaan dibuat dengan tangan, akan lebih mudah untuk melakukannya dengan cara ini:

Lebih baik menggunakan pensil sederhana untuk mencatat.

Tentu saja, Anda tidak perlu melakukan semua ini, tetapi mungkin guru akan menunjukkan kekurangan dalam solusi atau mulai mengajukan pertanyaan tambahan tentang tugas tersebut. Apakah Anda membutuhkannya?

Contoh 2

Temukan batasnya
Sekali lagi pada pembilang dan penyebut kita temukan pada derajat tertinggi:

Gelar maksimum dalam pembilang: 3
Derajat maksimum dalam penyebut: 4
Memilih terbesar nilai, dalam hal ini empat.
Menurut algoritme kami, untuk mengungkap ketidakpastian, kami membagi pembilang dan penyebutnya dengan .
Pendaftaran penuh tugas mungkin terlihat seperti ini:

Bagilah pembilang dan penyebutnya dengan

Contoh 3

Temukan batasnya
Derajat maksimal “X” pada pembilangnya: 2
Derajat maksimal “X” pada penyebut: 1 (dapat ditulis sebagai)
Untuk mengetahui ketidakpastiannya, pembilang dan penyebutnya perlu dibagi dengan . Solusi akhirnya mungkin terlihat seperti ini:

Bagilah pembilang dan penyebutnya dengan

Notasi bukan berarti pembagian dengan nol (tidak bisa dibagi dengan nol), melainkan pembagian dengan bilangan yang sangat kecil.

Jadi, dengan mengungkap ketidakpastian spesies, kita mungkin bisa melakukannya nomor akhir, nol atau tak terhingga.

Batasan dengan ketidakpastian jenis dan cara penyelesaiannya

Kelompok limit berikutnya agak mirip dengan limit yang baru saja dibahas: pembilang dan penyebutnya mengandung polinomial, tetapi “x” tidak lagi cenderung tak terhingga, melainkan ke nomor terbatas.

Contoh 4

Selesaikan batas
Pertama, mari kita coba substitusikan -1 ke dalam pecahan:

Dalam hal ini, diperoleh apa yang disebut ketidakpastian.

Peraturan umum : jika pembilang dan penyebutnya mengandung polinomial, dan terdapat ketidakpastian bentuk , maka diungkapkan Anda perlu memfaktorkan pembilang dan penyebutnya.

Untuk melakukan ini, seringkali Anda perlu memutuskan persamaan kuadrat dan/atau menggunakan rumus perkalian yang disingkat. Jika hal-hal ini terlupakan, kunjungi halaman tersebut Rumus dan tabel matematika dan membaca bahan ajar Rumus panas untuk kursus matematika sekolah. Omong-omong, yang terbaik adalah mencetaknya; ini sangat sering diperlukan, dan informasi lebih baik diserap dari kertas.

Jadi, mari kita selesaikan batasan kita

Faktorkan pembilang dan penyebutnya

Untuk memfaktorkan pembilangnya, Anda perlu menyelesaikan persamaan kuadrat:

Pertama kita temukan diskriminannya:

Dan akar kuadratnya: .

Jika diskriminannya besar, misalnya 361, kita menggunakan kalkulator, fungsi ekstraksi akar pangkat dua tersedia di kalkulator paling sederhana.

! Jika akar tidak diekstraksi secara keseluruhan (diperoleh bilangan pecahan dengan koma), kemungkinan besar diskriminan dihitung salah atau ada kesalahan ketik dalam tugas.

Selanjutnya kita temukan akarnya:

Dengan demikian:

Semua. Pembilangnya difaktorkan.

Penyebut. Penyebutnya sudah merupakan faktor paling sederhana, dan tidak ada cara untuk menyederhanakannya.

Tentu saja dapat disingkat menjadi:

Sekarang kita substitusikan -1 ke dalam ekspresi yang masih berada di bawah tanda limit:

Tentu saja, di pekerjaan tes, pada saat ulangan atau ujian, penyelesaiannya tidak pernah dituliskan sedetail itu. Di versi final, desainnya akan terlihat seperti ini:

Mari kita faktorkan pembilangnya.

Contoh 5

Hitung batas

Pertama, versi solusi “selesai”.

Mari kita faktorkan pembilang dan penyebutnya.

Pembilang:
Penyebut:



,

Apa yang penting dalam contoh ini?
Pertama, Anda harus memiliki pemahaman yang baik tentang cara mengungkap pembilangnya, pertama-tama kita keluarkan 2 dari tanda kurung, lalu gunakan rumus selisih kuadrat. Inilah rumus yang perlu Anda ketahui dan lihat.

Rekomendasi: Jika dalam suatu limit (hampir semua jenis) dimungkinkan untuk mengeluarkan suatu bilangan dari tanda kurung, maka kami selalu melakukannya.
Selain itu, disarankan untuk memindahkan angka tersebut melampaui ikon batas. Untuk apa? Ya, supaya mereka tidak menghalangi. Hal utama adalah jangan sampai kehilangan angka-angka ini nanti selama penyelesaian.

Harap dicatat bahwa pada Babak final Saya mengambil keputusan melampaui tanda batas sebagai dua, dan kemudian sebagai minus.

! Penting
Selama penyelesaian, tipe fragmen sangat sering terjadi. Kurangi pecahan iniitu dilarang . Pertama, Anda perlu mengubah tanda pembilang atau penyebutnya (keluarkan -1 dari tanda kurung).
, yaitu muncul tanda minus yang diperhitungkan saat menghitung limit dan tidak perlu hilang sama sekali.

Secara umum, saya perhatikan bahwa paling sering dalam mencari limit jenis ini Anda harus menyelesaikan dua persamaan kuadrat, yaitu pembilang dan penyebutnya mengandung trinomial kuadrat.

Metode mengalikan pembilang dan penyebut dengan ekspresi konjugasi

Kami terus mempertimbangkan ketidakpastian bentuknya

Tipe selanjutnya batasnya mirip dengan tipe sebelumnya. Satu-satunya hal, selain polinomial, kita akan menambahkan akar.

Contoh 6

Temukan batasnya

Mari kita mulai memutuskan.

Pertama kita coba substitusikan 3 ke dalam ekspresi di bawah tanda limit
Saya ulangi sekali lagi - ini adalah hal pertama yang perlu Anda lakukan untuk batasan APAPUN. Aksi ini biasanya dilakukan secara mental atau dalam rancangan kasar.

Telah diperoleh ketidakpastian bentuk yang perlu dihilangkan.

Seperti yang mungkin Anda perhatikan, pembilang kami berisi selisih akar-akarnya. Dan dalam matematika, merupakan kebiasaan untuk menghilangkan akar-akarnya, jika memungkinkan. Untuk apa? Dan hidup lebih mudah tanpa mereka.

Batasan memberikan banyak masalah bagi semua siswa matematika. Untuk menyelesaikan suatu batasan, terkadang Anda harus menggunakan banyak trik dan memilih dari berbagai metode penyelesaian yang tepat untuk contoh tertentu.

Pada artikel ini kami tidak akan membantu Anda memahami batasan kemampuan Anda atau memahami batasan kendali, tetapi kami akan mencoba menjawab pertanyaan: bagaimana memahami batasan dalam matematika yang lebih tinggi? Pemahaman datang dengan pengalaman, jadi pada saat yang sama kami akan memberikan beberapa contoh rinci penyelesaian limit beserta penjelasannya.

Konsep limit dalam matematika

Pertanyaan pertama adalah: apa batasannya dan batasannya apa? Kita bisa bicara tentang batasan urutan angka dan fungsi. Kami tertarik dengan konsep limit suatu fungsi, karena konsep inilah yang paling sering ditemui siswa. Tapi pertama-tama - yang paling banyak definisi umum membatasi:

Katakanlah ada beberapa nilai variabel. Jika nilai ini dalam proses perubahan mendekati tanpa batas sejumlah tertentu A , Itu A – batas nilai ini.

Untuk suatu fungsi yang didefinisikan dalam interval tertentu f(x)=kamu bilangan seperti itu disebut limit A , yang mana fungsinya cenderung kapan X , cenderung ke titik tertentu A . Dot A termasuk dalam interval di mana fungsi tersebut didefinisikan.

Kedengarannya rumit, tetapi penulisannya sangat sederhana:

Lim- dari bahasa Inggris membatasi- membatasi.

Ada juga penjelasan geometris untuk menentukan limit, namun di sini kita tidak akan mendalami teorinya, karena kita lebih tertarik pada sisi praktisnya daripada sisi teoritisnya. Saat kita mengatakan itu X cenderung suatu nilai, artinya variabel tersebut tidak mengambil nilai suatu bilangan, tetapi mendekatinya dengan jarak yang sangat dekat.

Mari kita memberi contoh spesifik. Tugasnya adalah menemukan batasnya.

Untuk menyelesaikan contoh ini, kami mengganti nilainya x=3 menjadi suatu fungsi. Kita mendapatkan:

Omong-omong, jika Anda tertarik, baca artikel terpisah tentang topik ini.

Dalam contoh X dapat cenderung ke nilai apa pun. Itu bisa berupa angka berapa pun atau tak terhingga. Berikut ini contoh kapan X cenderung tak terhingga:

Secara intuitif, semakin besar angka penyebutnya, semakin kecil nilai fungsi tersebut. Jadi, dengan pertumbuhan tanpa batas X arti 1/x akan berkurang dan mendekati nol.

Seperti yang Anda lihat, untuk menyelesaikan limit, Anda hanya perlu mensubstitusikan nilai yang ingin diperjuangkan ke dalam fungsi X . Namun, ini adalah kasus yang paling sederhana. Seringkali menemukan batasannya tidak begitu jelas. Dalam batasan tersebut terdapat ketidakpastian jenisnya 0/0 atau tak terhingga/tak terhingga . Apa yang harus dilakukan dalam kasus seperti itu? Gunakan trik!

Ketidakpastian di dalam

Ketidakpastian bentuk tak terhingga/tak terhingga

Biarlah ada batasannya:

Jika kita mencoba mensubstitusikan tak terhingga ke dalam fungsi tersebut, kita akan mendapatkan tak terhingga pada pembilang dan penyebutnya. Secara umum, patut dikatakan bahwa ada elemen seni tertentu dalam menyelesaikan ketidakpastian tersebut: Anda perlu memperhatikan bagaimana Anda dapat mengubah fungsi sedemikian rupa sehingga ketidakpastian tersebut hilang. Dalam kasus kami, kami membagi pembilang dan penyebutnya dengan X di tingkat senior. Apa yang akan terjadi?

Dari contoh yang telah dibahas di atas, kita mengetahui bahwa suku-suku yang mengandung x pada penyebutnya akan cenderung nol. Maka penyelesaian limitnya adalah:

Untuk mengatasi ketidakpastian tipe tak terhingga/tak terhingga bagilah pembilang dan penyebutnya dengan X ke tingkat tertinggi.

Omong-omong! Untuk pembaca kami sekarang ada diskon 10%.

Jenis ketidakpastian lainnya: 0/0

Seperti biasa, mengganti nilai ke dalam fungsi x=-1 memberi 0 pada pembilang dan penyebutnya. Perhatikan lebih dekat dan Anda akan melihat bahwa kita memiliki persamaan kuadrat pada pembilangnya. Mari kita cari akarnya dan tulis:

Mari kita kurangi dan dapatkan:

Jadi, jika Anda dihadapkan pada ketidakpastian tipe 0/0 – faktorkan pembilang dan penyebutnya.

Untuk memudahkan Anda menyelesaikan contoh, kami menyajikan tabel dengan limit beberapa fungsi:

Aturan L'Hopital di dalam

Cara ampuh lainnya untuk menghilangkan kedua jenis ketidakpastian tersebut. Apa inti dari metode ini?

Jika terdapat ketidakpastian pada limit, ambil turunan pembilang dan penyebutnya hingga ketidakpastian tersebut hilang.

Aturan L'Hopital terlihat seperti ini:

Poin penting : batas dimana harus ada turunan dari pembilang dan penyebutnya, bukan pembilang dan penyebutnya.

Dan sekarang - contoh nyata:

Ada ketidakpastian yang khas 0/0 . Mari kita ambil turunan dari pembilang dan penyebutnya:

Voila, ketidakpastian terselesaikan dengan cepat dan elegan.

Kami berharap Anda dapat menerapkan informasi ini dengan berguna dalam praktik dan menemukan jawaban atas pertanyaan “bagaimana menyelesaikan batasan dalam matematika tingkat tinggi.” Jika Anda perlu menghitung limit suatu barisan atau limit suatu fungsi pada suatu titik, dan sama sekali tidak ada waktu untuk pekerjaan ini, hubungi layanan pelajar profesional untuk mendapatkan solusi yang cepat dan terperinci.

Kembali