Klasifikasi pemodelan matematika. Jenis model matematika

Menurut buku teks oleh Sovetov dan Yakovlev: "model (modulus Latin - ukuran) adalah objek pengganti objek aslinya, yang memastikan studi tentang beberapa properti aslinya." (hal. 6) “Mengganti suatu objek dengan objek lain untuk memperoleh informasi tentang sifat-sifat terpenting dari objek asli dengan menggunakan objek model disebut pemodelan.” (hal. 6) “Dengan pemodelan matematika kita memahami proses pembentukan korespondensi suatu objek nyata tertentu dengan objek matematika tertentu, yang disebut model matematika, dan studi tentang model ini, yang memungkinkan kita memperoleh karakteristik dari objek nyata. objek yang sedang dipertimbangkan. Jenis model matematika bergantung pada sifat objek nyata dan tugas mempelajari objek serta keandalan dan keakuratan yang diperlukan untuk memecahkan masalah ini.”

Terakhir, definisi paling ringkas dari model matematika: "Persamaan yang mengungkapkan ide».

Klasifikasi model

Klasifikasi formal model

Klasifikasi formal model didasarkan pada klasifikasi alat matematika yang digunakan. Seringkali dikonstruksikan dalam bentuk dikotomi. Misalnya, salah satu rangkaian dikotomi yang populer:

dan seterusnya. Setiap model yang dibangun adalah linier atau nonlinier, deterministik atau stokastik, ... Secara alami, tipe campuran juga dimungkinkan: terkonsentrasi di satu sisi (dalam hal parameter), didistribusikan di sisi lain, dll.

Klasifikasi menurut cara objek direpresentasikan

Seiring dengan klasifikasi formal, model berbeda dalam cara mereka merepresentasikan suatu objek:

Model struktural atau fungsional

Model struktural mewakili suatu objek sebagai suatu sistem dengan struktur dan mekanisme fungsinya sendiri. Model fungsional jangan menggunakan representasi seperti itu dan hanya mencerminkan perilaku (fungsi) objek yang dirasakan secara eksternal. Dalam ekspresi ekstrimnya, mereka juga disebut model “kotak hitam”. Jenis model gabungan juga dimungkinkan, yang terkadang disebut “ kotak abu-abu».

Konten dan model formal

Hampir semua penulis yang menjelaskan proses pemodelan matematika menunjukkan bahwa pertama-tama struktur ideal khusus dibangun, model konten. Tidak ada terminologi yang ditetapkan di sini, dan penulis lain menyebut objek ideal ini model konseptual , model spekulatif atau premodel. Dalam hal ini, konstruksi matematika akhir disebut model formal atau sekadar model matematika yang diperoleh sebagai hasil formalisasi model bermakna tertentu (pra-model). Konstruksi model yang bermakna dapat dilakukan dengan menggunakan seperangkat idealisasi yang sudah jadi, seperti dalam mekanika, di mana pegas ideal, benda tegar, pendulum ideal, media elastis, dll. menyediakan elemen struktural siap pakai untuk pemodelan yang bermakna. Namun, dalam bidang pengetahuan di mana tidak ada teori formal yang lengkap (fisika, biologi, ekonomi, sosiologi, psikologi, dan sebagian besar bidang lainnya), penciptaan model yang bermakna menjadi jauh lebih sulit.

Klasifikasi konten model

Tidak ada hipotesis dalam sains yang dapat dibuktikan untuk selamanya. Richard Feynman merumuskannya dengan sangat jelas:

“Kita selalu mempunyai kesempatan untuk menyangkal sebuah teori, namun perlu diingat bahwa kita tidak akan pernah bisa membuktikan kebenarannya. Misalkan Anda telah mengajukan hipotesis yang berhasil, menghitung ke mana hipotesis tersebut mengarah, dan menemukan bahwa semua konsekuensinya dikonfirmasi secara eksperimental. Apakah ini berarti teori Anda benar? Tidak, itu berarti Anda gagal membantahnya.”

Jika model tipe pertama dibangun, ini berarti model tersebut untuk sementara diterima sebagai kebenaran dan seseorang dapat berkonsentrasi pada masalah lain. Namun hal ini tidak bisa menjadi poin dalam penelitian, melainkan hanya jeda sementara: status model tipe pertama hanya bisa bersifat sementara.

Tipe 2: Model fenomenologis (kita berperilaku seolah-olah…)

Model fenomenologi memuat mekanisme untuk menggambarkan suatu fenomena. Namun, mekanisme ini tidak cukup meyakinkan, tidak dapat dikonfirmasi secara memadai oleh data yang tersedia, atau tidak sesuai dengan teori yang ada dan akumulasi pengetahuan tentang objek tersebut. Oleh karena itu, model fenomenologis berstatus solusi sementara. Jawabannya diyakini masih belum diketahui dan pencarian “mekanisme sebenarnya” harus terus dilakukan. Peierls mencakup, misalnya, model kalori dan model kuark partikel elementer sebagai tipe kedua.

Peran model dalam penelitian dapat berubah seiring waktu, dan mungkin saja data dan teori baru mengkonfirmasi model fenomenologis dan dipromosikan ke status hipotesis. Demikian pula, pengetahuan baru secara bertahap dapat bertentangan dengan model-hipotesis jenis pertama, dan dapat diterjemahkan ke dalam model kedua. Dengan demikian, model quark secara bertahap berpindah ke kategori hipotesis; atomisme dalam fisika muncul sebagai solusi sementara, tetapi seiring berjalannya sejarah, atomisme menjadi tipe pertama. Namun model eter telah berkembang dari tipe 1 ke tipe 2, dan sekarang berada di luar ilmu pengetahuan.

Ide penyederhanaan sangat populer saat membuat model. Namun penyederhanaan hadir dalam berbagai bentuk. Peierls mengidentifikasi tiga jenis penyederhanaan dalam pemodelan.

Tipe 3: Perkiraan (kita menganggap sesuatu yang sangat besar atau sangat kecil)

Jika persamaan dapat dibangun yang menggambarkan sistem yang diteliti, bukan berarti persamaan tersebut dapat diselesaikan bahkan dengan bantuan komputer. Teknik umum dalam hal ini adalah penggunaan perkiraan (model tipe 3). Diantara mereka model respons linier. Persamaan diganti dengan persamaan linier. Contoh standarnya adalah hukum Ohm.

Inilah Tipe 8, yang tersebar luas dalam model matematika sistem biologis.

Tipe 8: Demonstrasi Fitur (yang utama adalah menunjukkan konsistensi internal dari kemungkinan tersebut)

Ini juga merupakan eksperimen pemikiran dengan entitas imajiner yang menunjukkan hal itu fenomena yang seharusnya konsisten dengan prinsip-prinsip dasar dan konsisten secara internal. Inilah perbedaan utama dari model tipe 7, yang mengungkapkan kontradiksi tersembunyi.

Salah satu eksperimen yang paling terkenal adalah geometri Lobachevsky (Lobachevsky menyebutnya “geometri imajiner”). Contoh lainnya adalah produksi massal model kinetik formal dari getaran kimia dan biologi, gelombang otomatis, dll. Paradoks Einstein-Podolsky-Rosen disusun sebagai model tipe 7 untuk menunjukkan ketidakkonsistenan mekanika kuantum. Dengan cara yang sama sekali tidak direncanakan, akhirnya berubah menjadi model tipe 8 - sebuah demonstrasi kemungkinan teleportasi informasi kuantum.

Contoh

Pertimbangkan suatu sistem mekanis yang terdiri dari pegas, yang diikatkan pada salah satu ujungnya, dan sebuah massa bermassa, yang diikatkan pada ujung bebas pegas. Kita asumsikan bahwa beban hanya dapat bergerak searah dengan sumbu pegas (misalnya pergerakan terjadi sepanjang batang). Mari kita membangun model matematika dari sistem ini. Kita akan menggambarkan keadaan sistem berdasarkan jarak dari pusat beban ke posisi setimbangnya. Mari kita gambarkan interaksi pegas dan beban yang digunakan hukum Hooke() dan kemudian gunakan hukum kedua Newton untuk menyatakannya dalam bentuk persamaan diferensial:

dimana artinya turunan kedua terhadap waktu: .

Persamaan yang dihasilkan menggambarkan model matematika dari sistem fisik yang dipertimbangkan. Model ini disebut "osilator harmonik".

Menurut klasifikasi formal, model ini bersifat linier, deterministik, dinamis, terkonsentrasi, kontinu. Dalam proses pembangunannya, kami membuat banyak asumsi (tentang tidak adanya gaya luar, tidak adanya gesekan, kecilnya penyimpangan, dll), yang pada kenyataannya mungkin tidak terpenuhi.

Sehubungan dengan kenyataan, ini paling sering merupakan model tipe 4 penyederhanaan(“kami akan menghilangkan beberapa detail untuk kejelasan”), karena beberapa fitur universal yang penting (misalnya, disipasi) dihilangkan. Untuk beberapa perkiraan (katakanlah, meskipun deviasi beban dari kesetimbangan kecil, dengan gesekan rendah, dalam waktu yang tidak terlalu lama dan tunduk pada kondisi tertentu lainnya), model seperti itu menggambarkan sistem mekanis nyata dengan cukup baik, karena faktor-faktor yang dibuang memiliki efek yang dapat diabaikan pada perilakunya. Namun, model tersebut dapat disempurnakan dengan mempertimbangkan beberapa faktor berikut. Hal ini akan menghasilkan model baru, dengan cakupan penerapan yang lebih luas (walaupun terbatas).

Namun, ketika model disempurnakan, kompleksitas penelitian matematisnya dapat meningkat secara signifikan dan membuat model tersebut praktis tidak berguna. Seringkali, model yang lebih sederhana memungkinkan eksplorasi sistem nyata yang lebih baik dan lebih dalam dibandingkan model yang lebih kompleks (dan, secara formal, “lebih tepat”).

Jika kita menerapkan model osilator harmonik pada objek yang jauh dari fisika, status substantifnya mungkin berbeda. Misalnya, ketika menerapkan model ini pada populasi biologis, kemungkinan besar model tersebut harus diklasifikasikan sebagai tipe 6 analogi(“mari kita pertimbangkan beberapa fitur saja”).

Model keras dan lunak

Osilator harmonik adalah contoh dari apa yang disebut model “keras”. Hal ini diperoleh sebagai hasil idealisasi yang kuat terhadap sistem fisik yang nyata. Untuk mengatasi masalah penerapannya, penting untuk memahami betapa pentingnya faktor-faktor yang telah kita abaikan. Dengan kata lain, perlu dipelajari model “lunak”, yang diperoleh dengan sedikit gangguan terhadap model “keras”. Misalnya dapat diberikan dengan persamaan berikut:

Berikut adalah beberapa fungsi yang dapat memperhitungkan gaya gesekan atau ketergantungan koefisien kekakuan pegas pada derajat regangannya - beberapa parameter kecil. Kami tidak tertarik pada bentuk eksplisit dari fungsi tersebut saat ini. Jika kita membuktikan bahwa perilaku model lunak tidak berbeda secara mendasar dari perilaku model keras (terlepas dari jenis faktor pengganggu yang jelas, jika faktor tersebut cukup kecil), maka masalahnya akan direduksi menjadi mempelajari model keras. Jika tidak, penerapan hasil yang diperoleh dari mempelajari model kaku akan memerlukan penelitian tambahan. Misalnya, penyelesaian persamaan osilator harmonik adalah fungsi berbentuk , yaitu osilasi dengan amplitudo konstan. Apakah berarti osilator nyata akan berosilasi tanpa batas dengan amplitudo konstan? Tidak, karena dengan mempertimbangkan sistem dengan gesekan kecil yang sewenang-wenang (selalu ada dalam sistem nyata), kita mendapatkan osilasi teredam. Perilaku sistem telah berubah secara kualitatif.

Jika suatu sistem mempertahankan perilaku kualitatifnya di bawah gangguan kecil, maka sistem tersebut dikatakan stabil secara struktural. Osilator harmonik adalah contoh sistem yang tidak stabil secara struktural (tidak kasar). Namun, model ini dapat digunakan untuk mempelajari proses dalam jangka waktu terbatas.

Fleksibilitas model

Model matematika yang paling penting biasanya mempunyai sifat penting keserbagunaan: Fenomena nyata yang berbeda secara fundamental dapat dijelaskan dengan model matematika yang sama. Misalnya, osilator harmonik tidak hanya menggambarkan perilaku beban pada pegas, tetapi juga proses osilasi lainnya, seringkali sifatnya sangat berbeda: osilasi kecil pendulum, fluktuasi ketinggian cairan dalam bejana berbentuk A. , atau perubahan kekuatan arus dalam rangkaian osilasi. Jadi, dengan mempelajari satu model matematika, kita segera mempelajari seluruh kelas fenomena yang dijelaskan oleh model tersebut. Isomorfisme hukum yang diungkapkan oleh model matematika di berbagai segmen pengetahuan ilmiah inilah yang mengilhami Ludwig von Bertalanffy untuk menciptakan “Teori Umum Sistem”.

Masalah pemodelan matematika langsung dan terbalik

Ada banyak masalah yang terkait dengan pemodelan matematika. Pertama, Anda perlu membuat diagram dasar objek yang dimodelkan, mereproduksinya dalam kerangka idealisasi ilmu ini. Dengan demikian, gerbong kereta berubah menjadi sistem pelat dan benda yang lebih kompleks dari bahan yang berbeda, setiap bahan ditentukan sebagai idealisasi mekanis standarnya (massa jenis, modulus elastis, karakteristik kekuatan standar), setelah itu persamaan dibuat, dan sepanjang jalan beberapa detail dibuang karena tidak penting, dilakukan perhitungan, dibandingkan dengan pengukuran, model disempurnakan, dan sebagainya. Namun, untuk mengembangkan teknologi pemodelan matematika, ada gunanya membongkar proses ini menjadi komponen-komponen utamanya.

Secara tradisional, ada dua kelompok masalah utama yang terkait dengan model matematika: langsung dan invers.

Tugas langsung: struktur model dan semua parameternya dianggap diketahui, tugas utamanya adalah melakukan studi model untuk mengekstraksi pengetahuan yang berguna tentang objek. Berapakah beban statis yang dapat ditahan jembatan tersebut? Bagaimana reaksinya terhadap beban dinamis (misalnya, terhadap barisan tentara, atau terhadap lintasan kereta api dengan kecepatan berbeda), bagaimana pesawat akan mengatasi penghalang suara, apakah akan hancur karena bergetar - ini adalah contoh khas dari masalah langsung. Menetapkan masalah langsung yang tepat (mengajukan pertanyaan yang tepat) memerlukan keahlian khusus. Jika pertanyaan yang tepat tidak diajukan, sebuah jembatan bisa saja runtuh, meskipun model yang baik untuk perilakunya telah dibangun. Jadi, pada tahun 1879, sebuah jembatan logam yang melintasi Sungai Tay runtuh di Inggris Raya, perancang yang membuat model jembatan tersebut, menghitungnya memiliki faktor keamanan 20 kali lipat untuk aksi muatan, tetapi lupa tentang angin. terus-menerus bertiup di tempat-tempat itu. Dan setelah satu setengah tahun, itu runtuh.

Dalam kasus paling sederhana (satu persamaan osilator, misalnya), permasalahan langsungnya sangat sederhana dan direduksi menjadi solusi eksplisit persamaan ini.

Masalah terbalik: banyak model yang mungkin diketahui, model tertentu harus dipilih berdasarkan data tambahan tentang objek tersebut. Seringkali, struktur model diketahui, dan beberapa parameter yang tidak diketahui perlu ditentukan. Informasi tambahan dapat berupa data empiris tambahan, atau persyaratan objek ( masalah desain). Data tambahan dapat diperoleh terlepas dari proses penyelesaian masalah invers ( pengamatan pasif) atau merupakan hasil percobaan yang direncanakan secara khusus selama penyelesaian ( pengawasan aktif).

Salah satu contoh pertama dari solusi hebat terhadap masalah invers dengan memanfaatkan sepenuhnya data yang tersedia adalah metode yang dibangun oleh I. Newton untuk merekonstruksi gaya gesekan dari osilasi teredam yang diamati.

Contoh lainnya adalah statistik matematika. Tugas ilmu ini adalah mengembangkan metode pencatatan, deskripsi dan analisis data observasi dan eksperimen untuk membangun model probabilistik dari fenomena acak massal. Itu. kumpulan model yang mungkin terbatas pada model probabilistik. Dalam tugas tertentu, kumpulan model lebih terbatas.

Sistem simulasi komputer

Untuk mendukung pemodelan matematika, sistem matematika komputer telah dikembangkan, misalnya Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim, dll. Mereka memungkinkan Anda membuat model formal dan blok dari proses dan perangkat sederhana dan kompleks serta dengan mudah mengubah parameter model selama pemodelan. Model blok diwakili oleh blok (paling sering grafis), himpunan dan koneksinya ditentukan oleh diagram model.

Contoh tambahan

model Malthus

Tingkat pertumbuhan sebanding dengan jumlah penduduk saat ini. Hal ini dijelaskan oleh persamaan diferensial

dimana adalah parameter tertentu yang ditentukan oleh selisih antara angka kelahiran dan angka kematian. Solusi persamaan ini adalah fungsi eksponensial. Jika angka kelahiran melebihi angka kematian (), jumlah penduduk meningkat tanpa batas dan sangat cepat. Jelas bahwa pada kenyataannya hal ini tidak dapat terjadi karena keterbatasan sumber daya. Ketika ukuran populasi kritis tertentu tercapai, model tersebut tidak lagi memadai karena tidak memperhitungkan sumber daya yang terbatas. Penyempurnaan model Malthus dapat berupa model logistik yang dijelaskan dengan persamaan diferensial Verhulst

di mana adalah ukuran populasi “ekuilibrium”, di mana angka kelahiran diimbangi secara tepat dengan angka kematian. Ukuran populasi dalam model seperti itu cenderung pada nilai keseimbangan, dan perilaku ini stabil secara struktural.

Sistem predator-mangsa

Katakanlah ada dua jenis hewan yang hidup di suatu daerah: kelinci (memakan tumbuhan) dan rubah (memakan kelinci). Misalkan jumlah kelinci, jumlah rubah. Dengan menggunakan model Malthus dengan perubahan yang diperlukan untuk memperhitungkan konsumsi kelinci oleh rubah, kita sampai pada sistem berikut, yang diberi nama model Baki - Volterra:

Sistem ini mempunyai keadaan setimbang jika jumlah kelinci dan rubah tetap. Penyimpangan dari keadaan ini mengakibatkan fluktuasi jumlah kelinci dan rubah, mirip dengan fluktuasi osilator harmonik. Seperti halnya osilator harmonik, perilaku ini tidak stabil secara struktural: perubahan kecil pada model (misalnya, dengan mempertimbangkan terbatasnya sumber daya yang dibutuhkan kelinci) dapat menyebabkan perubahan perilaku secara kualitatif. Misalnya, keadaan keseimbangan bisa menjadi stabil, dan fluktuasi jumlah akan padam. Situasi sebaliknya juga mungkin terjadi, ketika penyimpangan kecil apa pun dari posisi keseimbangan akan mengakibatkan konsekuensi bencana, hingga kepunahan total salah satu spesies. Model Volterra-Lotka tidak menjawab pertanyaan tentang skenario mana yang sedang direalisasikan: diperlukan penelitian tambahan di sini.

Catatan

“Representasi matematis dari realitas” (Encyclopaedia Britanica)
Novik I.B., Tentang isu filosofis pemodelan cybernetic. M., Pengetahuan, 1964.
Sovetov B.Ya., Yakovlev S.A., Pemodelan sistem: Proc. untuk universitas - edisi ke-3, direvisi. dan tambahan - M.: Lebih tinggi. sekolah, 2001. - 343 hal. ISBN 5-06-003860-2
Samarsky A.A., Mikhailov A.P. Pemodelan matematika. Ide ide. Metode. Contoh. - edisi ke-2, putaran. - M.: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
Myshkis A.D., Unsur teori model matematika. - Edisi ke-3, putaran. - M.: KomKniga, 2007. - 192 dengan ISBN 978-5-484-00953-4
Sevostyanov, A.G. Pemodelan proses teknologi: buku teks / A.G. Sevostyanov, P.A. Sevostyanov. – M.: Industri ringan dan makanan, 1984. - 344 hal.
Wiktionary: model matematika
CliffsNotes.com. Glosarium Ilmu Bumi. 20 September 2010
Pendekatan Reduksi Model dan Butir Kasar untuk Fenomena Multiskala, Springer, seri Kompleksitas, Berlin-Heidelberg-New York, 2006. XII+562 hal. ISBN 3-540-35885-4
“Suatu teori dianggap linier atau nonlinier tergantung pada jenis peralatan matematikanya - linier atau nonlinier - dan jenis model matematika linier atau nonlinier yang digunakannya. ...tanpa menyangkal yang terakhir. Seorang fisikawan modern, jika ia harus menciptakan kembali definisi entitas penting seperti nonlinier, kemungkinan besar akan bertindak berbeda, dan, dengan lebih memilih nonlinier sebagai yang lebih penting dan tersebar luas di antara dua hal yang berlawanan, akan mendefinisikan linearitas sebagai “bukan nonlinier.” Danilov Yu.A., Kuliah tentang dinamika nonlinier. Pengenalan dasar. Seri “Sinergik: dari masa lalu ke masa depan.” Edisi 2. - M.: URSS, 2006. - 208 hal. ISBN 5-484-00183-8
“Sistem dinamis yang dimodelkan dengan sejumlah persamaan diferensial biasa yang terbatas disebut sistem terkonsentrasi atau sistem titik. Mereka dijelaskan menggunakan ruang fase berdimensi terbatas dan dicirikan oleh sejumlah derajat kebebasan yang terbatas. Sistem yang sama dalam kondisi yang berbeda dapat dianggap terkonsentrasi atau terdistribusi. Model matematika sistem terdistribusi adalah persamaan diferensial parsial, persamaan integral, atau persamaan penundaan biasa. Jumlah derajat kebebasan suatu sistem terdistribusi tidak terbatas, dan diperlukan jumlah data yang tidak terbatas untuk menentukan statusnya.” Anishchenko V.S., Sistem dinamis, jurnal pendidikan Soros, 1997, No.11, hal. 77-84.
“Tergantung pada sifat proses yang dipelajari dalam sistem S, semua jenis pemodelan dapat dibagi menjadi deterministik dan stokastik, statis dan dinamis, diskrit, kontinu, dan diskrit-kontinu. Pemodelan deterministik mencerminkan proses deterministik, yaitu proses yang diasumsikan tidak adanya pengaruh acak; pemodelan stokastik menggambarkan proses dan peristiwa probabilistik. ... Pemodelan statis berfungsi untuk menggambarkan perilaku suatu objek pada titik waktu mana pun, dan pemodelan dinamis mencerminkan perilaku suatu objek dari waktu ke waktu. Pemodelan diskrit digunakan untuk menggambarkan proses yang dianggap diskrit, masing-masing, pemodelan kontinu memungkinkan kita untuk mencerminkan proses kontinu dalam sistem, dan pemodelan kontinu diskrit digunakan untuk kasus ketika mereka ingin menyoroti keberadaan proses diskrit dan kontinu. ” Sovetov B.Ya., Yakovlev S.A. ISBN 5-06-003860-2
Biasanya, model matematika mencerminkan struktur (perangkat) objek yang dimodelkan, sifat-sifat dan hubungan komponen-komponen objek tersebut yang penting untuk tujuan penelitian; model seperti itu disebut struktural. Jika model hanya mencerminkan bagaimana suatu objek berfungsi - misalnya, bagaimana ia bereaksi terhadap pengaruh eksternal - maka model tersebut disebut fungsional atau, secara kiasan, kotak hitam. Model gabungan juga dimungkinkan. Myshkis A.D. ISBN 978-5-484-00953-4
“Tahap awal yang jelas namun paling penting dalam membangun atau memilih model matematika adalah memperoleh gambaran sejelas mungkin tentang objek yang dimodelkan dan menyempurnakan model bermaknanya, berdasarkan diskusi informal. Anda tidak boleh meluangkan waktu dan tenaga pada tahap ini, keberhasilan seluruh penelitian sangat bergantung pada hal ini. Telah terjadi lebih dari sekali upaya signifikan yang dihabiskan untuk memecahkan masalah matematika ternyata tidak efektif atau bahkan sia-sia karena kurangnya perhatian pada sisi masalah ini.” Myshkis A.D., Unsur teori model matematika. - Edisi ke-3, putaran. - M.: KomKniga, 2007. - 192 dengan ISBN 978-5-484-00953-4, hal. 35.
« Deskripsi model konseptual sistem. Pada subtahap membangun model sistem ini: a) model konseptual M dijelaskan dalam istilah dan konsep abstrak; b) deskripsi model diberikan dengan menggunakan skema matematika standar; c) hipotesis dan asumsi akhirnya diterima; d) pilihan prosedur untuk memperkirakan proses nyata ketika membangun model dapat dibenarkan.” Sovetov B.Ya., Yakovlev S.A., Pemodelan sistem: Proc. untuk universitas - edisi ke-3, direvisi. dan tambahan - M.: Lebih tinggi. sekolah, 2001. - 343 hal. ISBN 5-06-003860-2, hal. 93.
Blekhman I.I., Myshkis A.D.,

Sebagai suatu sistem persamaan, atau hubungan aritmatika, atau bangun-bangun geometri, atau gabungan keduanya, yang kajiannya melalui matematika harus menjawab pertanyaan-pertanyaan yang diajukan tentang sifat-sifat himpunan sifat-sifat tertentu suatu benda di dunia nyata, sebagai sekumpulan hubungan matematis, persamaan, pertidaksamaan yang menggambarkan pola-pola dasar yang melekat pada proses, objek atau sistem yang dipelajari.

Dalam sistem kendali otomatis, model matematika digunakan untuk menentukan algoritma pengoperasian pengontrol. Algoritma ini menentukan bagaimana tindakan pengendalian harus diubah tergantung pada perubahan master agar tujuan pengendalian dapat tercapai.

Klasifikasi model

Klasifikasi formal model

Klasifikasi formal model didasarkan pada klasifikasi alat matematika yang digunakan. Seringkali dikonstruksikan dalam bentuk dikotomi. Misalnya, salah satu rangkaian dikotomi yang populer:

Klasifikasi menurut cara objek direpresentasikan

Seiring dengan klasifikasi formal, model berbeda dalam cara mereka merepresentasikan suatu objek:

Model struktural atau fungsional

Hipotesis model dalam sains tidak dapat dibuktikan untuk selamanya, kita hanya dapat berbicara tentang sanggahan atau non-sanggahannya sebagai hasil eksperimen.

Model fenomenologis

Tipe kedua adalah model fenomenologis ( “kami berperilaku seolah-olah...”), berisi mekanisme untuk menggambarkan fenomena tersebut, meskipun mekanisme ini tidak cukup meyakinkan, tidak dapat dikonfirmasi secara memadai oleh data yang tersedia, atau tidak sesuai dengan teori yang ada dan akumulasi pengetahuan tentang objek tersebut. Oleh karena itu, model fenomenologis berstatus solusi sementara. Jawabannya diyakini masih belum diketahui, dan pencarian “mekanisme sebenarnya” harus terus dilakukan. Peierls mencakup, misalnya, model kalori dan model kuark partikel elementer sebagai tipe kedua.

Peran model dalam penelitian dapat berubah seiring waktu, dan mungkin saja data dan teori baru mengkonfirmasi model fenomenologis dan dipromosikan ke status hipotesis. Demikian pula, pengetahuan baru secara bertahap dapat bertentangan dengan model hipotesis jenis pertama, dan pengetahuan tersebut dapat diterjemahkan ke dalam model hipotesis kedua. Dengan demikian, model quark secara bertahap berpindah ke kategori hipotesis; atomisme dalam fisika muncul sebagai solusi sementara, tetapi seiring berjalannya sejarah, atomisme menjadi tipe pertama. Namun model eter telah berkembang dari tipe 1 ke tipe 2, dan sekarang berada di luar ilmu pengetahuan.

Ide penyederhanaan sangat populer saat membuat model. Namun penyederhanaan hadir dalam berbagai bentuk. Peierls mengidentifikasi tiga jenis penyederhanaan dalam pemodelan.

Perkiraan

Jenis model ketiga adalah perkiraan ( “kami menganggap sesuatu yang sangat besar atau sangat kecil”). Jika persamaan dapat dibangun yang menggambarkan sistem yang diteliti, bukan berarti persamaan tersebut dapat diselesaikan bahkan dengan bantuan komputer. Teknik yang diterima secara umum dalam hal ini adalah penggunaan perkiraan (model tipe 3). Diantara mereka model respons linier. Persamaan diganti dengan persamaan linier. Contoh standarnya adalah hukum Ohm.

Eksperimen pikiran

m x ¨ = − k x (\displaystyle m(\ddot (x))=-kx),

Di mana x ¨ (\displaystyle (\ddot (x))) berarti turunan kedua dari x (\gaya tampilan x) Oleh waktu: x ¨ = d 2 x d t 2 (\displaystyle (\ddot (x))=(\frac (d^(2)x)(dt^(2)))).

Persamaan yang dihasilkan menggambarkan model matematika dari sistem fisik yang dipertimbangkan. Model ini disebut "osilator harmonik".

Model keras dan lunak

Osilator harmonik adalah contoh dari apa yang disebut model “keras”. Hal ini diperoleh sebagai hasil idealisasi yang kuat terhadap sistem fisik yang nyata. Sifat-sifat osilator harmonik secara kualitatif diubah oleh gangguan kecil. Misalnya, jika Anda menambahkan istilah kecil di sisi kanan − ε x ˙ (\displaystyle -\varepsilon (\titik (x)))(gesekan) ( ε > 0 (\displaystyle \varepsilon >0)- beberapa parameter kecil), maka kita mendapatkan osilasi teredam secara eksponensial jika kita mengubah tanda suku tambahan (ε x ˙) (\displaystyle (\varepsilon (\titik (x)))) kemudian gesekan akan berubah menjadi pemompaan dan amplitudo osilasi akan meningkat secara eksponensial.

Untuk menyelesaikan pertanyaan tentang penerapan model yang kaku, perlu dipahami betapa pentingnya faktor-faktor yang telah kita abaikan. Penting untuk mempelajari model lunak yang diperoleh dengan sedikit gangguan pada model keras. Untuk osilator harmonik dapat diberikan, misalnya dengan persamaan berikut:

m x ¨ = − k x + ε f (x , x ˙) (\displaystyle m(\ddot (x))=-kx+\varepsilon f(x,(\dot (x)))).

Di Sini f (x , x ˙) (\displaystyle f(x,(\titik (x))))- beberapa fungsi yang dapat memperhitungkan gaya gesekan atau ketergantungan koefisien kekakuan pegas pada derajat regangannya. Bentuk fungsi eksplisit f (\gaya tampilan f) Kami tidak tertarik saat ini.

Jika kita membuktikan bahwa perilaku model lunak tidak berbeda secara mendasar dari perilaku model keras (terlepas dari jenis faktor pengganggu yang jelas, jika faktor tersebut cukup kecil), maka masalahnya akan direduksi menjadi mempelajari model keras. Jika tidak, penerapan hasil yang diperoleh dari mempelajari model kaku akan memerlukan penelitian tambahan.

Fleksibilitas model

Model matematika yang paling penting biasanya mempunyai sifat penting keserbagunaan: Fenomena nyata yang berbeda secara fundamental dapat dijelaskan dengan model matematika yang sama. Misalnya, osilator harmonik tidak hanya menggambarkan perilaku beban pada pegas, tetapi juga proses osilasi lainnya, seringkali sifatnya sangat berbeda: osilasi kecil pendulum, fluktuasi level cairan dalam kamu (\gaya tampilan U) bejana berbentuk atau perubahan kekuatan arus dalam rangkaian osilasi. Jadi, dengan mempelajari satu model matematika, kita segera mempelajari seluruh kelas fenomena yang dijelaskan oleh model tersebut. Isomorfisme hukum yang diungkapkan oleh model matematika di berbagai segmen pengetahuan ilmiah inilah yang mengilhami Ludwig von Bertalanffy untuk menciptakan “teori sistem umum”.

Masalah pemodelan matematika langsung dan terbalik

Ada banyak masalah yang terkait dengan pemodelan matematika. Pertama, Anda perlu membuat diagram dasar objek yang dimodelkan, mereproduksinya dalam kerangka idealisasi ilmu ini. Dengan demikian, gerbong kereta berubah menjadi sistem pelat dan benda yang lebih kompleks dari bahan yang berbeda, setiap bahan ditentukan sebagai idealisasi mekanis standarnya (massa jenis, modulus elastis, karakteristik kekuatan standar), setelah itu persamaan dibuat, sepanjang jalan beberapa detailnya dibuang karena dianggap tidak penting, dilakukan perhitungan, dibandingkan dengan pengukuran, model disempurnakan, dan sebagainya. Namun, untuk mengembangkan teknologi pemodelan matematika, ada gunanya membongkar proses ini menjadi komponen-komponen utamanya.

Secara tradisional, ada dua kelompok masalah utama yang terkait dengan model matematika: langsung dan invers.

Tugas langsung: struktur model dan semua parameternya dianggap diketahui, tugas utamanya adalah melakukan studi model untuk mengekstraksi pengetahuan yang berguna tentang objek. Berapakah beban statis yang dapat ditahan jembatan tersebut? Bagaimana reaksinya terhadap beban dinamis (misalnya, terhadap barisan tentara, atau terhadap lintasan kereta api dengan kecepatan berbeda), bagaimana pesawat akan mengatasi penghalang suara, apakah akan hancur karena bergetar - ini adalah contoh khas dari masalah langsung. Menetapkan masalah langsung yang tepat (mengajukan pertanyaan yang tepat) memerlukan keahlian khusus. Jika pertanyaan yang tepat tidak diajukan, sebuah jembatan bisa saja runtuh, meskipun model yang baik untuk perilakunya telah dibangun. Jadi, pada tahun 1879, Jembatan Kereta Api logam yang melintasi Firth of Tay runtuh di Inggris Raya, yang perancangnya membuat model jembatan, menghitungnya dengan faktor keamanan 20 kali lipat untuk aksi muatan, tetapi lupa tentang angin terus bertiup di tempat-tempat itu. Dan setelah satu setengah tahun, itu runtuh.

Dalam kasus paling sederhana (satu persamaan osilator, misalnya), permasalahan langsungnya sangat sederhana dan direduksi menjadi solusi eksplisit persamaan ini.

Salah satu contoh pertama dari solusi hebat terhadap masalah invers dengan memanfaatkan sepenuhnya data yang tersedia adalah metode Newton untuk merekonstruksi gaya gesekan dari osilasi teredam yang diamati.

Contoh lainnya adalah statistik matematika. Tugas ilmu ini adalah mengembangkan metode pencatatan, deskripsi dan analisis data observasi dan eksperimen untuk membangun model probabilistik dari fenomena acak massal. Artinya, kumpulan model yang mungkin terbatas pada model probabilistik. Dalam tugas tertentu, kumpulan model lebih terbatas.

Sistem simulasi komputer

Contoh tambahan

model Malthus

Menurut model yang dikemukakan oleh Malthus, laju pertumbuhan sebanding dengan jumlah penduduk saat ini, yang dijelaskan dengan persamaan diferensial:

x ˙ = α x (\displaystyle (\titik (x))=\alpha x),

Di mana α (\gaya tampilan \alfa )- parameter tertentu yang ditentukan oleh perbedaan antara kesuburan dan kematian. Solusi persamaan ini adalah fungsi eksponensial x (t) = x 0 e α t (\displaystyle x(t)=x_(0)e^(\alpha t)). Jika angka kelahiran melebihi angka kematian ( α > 0 (\displaystyle \alpha >0)), jumlah populasinya tidak terbatas dan berkembang sangat cepat. Kenyataannya hal ini tidak dapat terjadi karena keterbatasan sumber daya. Ketika ukuran populasi kritis tertentu tercapai, model tersebut tidak lagi memadai karena tidak memperhitungkan sumber daya yang terbatas. Penyempurnaan model Malthus dapat berupa model logistik, yang dijelaskan dengan persamaan diferensial Verhulst:

x ˙ = α (1 − x x s) x (\displaystyle (\dot (x))=\alpha \left(1-(\frac (x)(x_(s)))\right)x),

di mana adalah ukuran populasi “ekuilibrium”, di mana angka kelahiran diimbangi secara tepat dengan angka kematian. Besarnya populasi pada model seperti itu cenderung pada nilai keseimbangan x s (\gaya tampilan x_(s)), dan perilaku ini stabil secara struktural.

Sistem predator-mangsa

Katakanlah ada dua jenis hewan yang hidup di suatu daerah: kelinci (memakan tumbuhan) dan rubah (memakan kelinci). Biarkan jumlah kelinci x (\gaya tampilan x), jumlah rubah y (\gaya tampilan y). Dengan menggunakan model Malthus dengan perubahan yang diperlukan untuk memperhitungkan konsumsi kelinci oleh rubah, kita sampai pada sistem berikut, yang diberi nama model Baki - Volterra:

( x ˙ = (α − c y) x y ˙ = (− β + d x) y (\displaystyle (\begin(cases)(\dot (x))=(\alpha -cy)x\\(\dot (y ))=(-\beta +dx)y\end(kasus)))

Perilaku sistem ini tidak stabil secara struktural: perubahan kecil pada parameter model (misalnya, dengan mempertimbangkan terbatasnya sumber daya yang dibutuhkan kelinci) dapat menyebabkan perubahan perilaku secara kualitatif.

Untuk nilai parameter tertentu, sistem ini mempunyai keadaan setimbang bila jumlah kelinci dan rubah konstan. Penyimpangan dari keadaan ini menyebabkan fluktuasi jumlah kelinci dan rubah secara bertahap memudar.

Situasi sebaliknya juga mungkin terjadi, ketika penyimpangan kecil apa pun dari posisi keseimbangan akan mengakibatkan konsekuensi bencana, hingga kepunahan total salah satu spesies. Model Volterra - Trats tidak menjawab pertanyaan tentang skenario mana yang sedang direalisasikan: diperlukan penelitian tambahan di sini.

Lihat juga

Catatan

“Representasi matematis dari realitas” (Encyclopaedia Britanica)
Novik I.B., Tentang isu filosofis pemodelan cybernetic. M., Pengetahuan, 1964.
Sovetov B.Ya., Yakovlev S.A., Pemodelan sistem: Proc. untuk universitas - edisi ke-3, direvisi. dan tambahan - M.: Lebih tinggi. sekolah, 2001. - 343 hal. ISBN 5-06-003860-2
Samarsky A.A., Mikhailov A.P. Pemodelan matematika. Ide ide. Metode. Contoh. - edisi ke-2, putaran. - M.: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X.
Myshkis A.D., Unsur teori model matematika. - Edisi ke-3, putaran. - M.: KomKniga, 2007. - 192 dengan ISBN 978-5-484-00953-4
Sevostyanov, A. G. Pemodelan proses teknologi: buku teks / A. G. Sevostyanov, P. A. Sevostyanov. - M.: Industri ringan dan makanan, 1984. - 344 hal.
Rotach V.Ya. Teori kendali otomatis. - 1. - M.: ZAO "Rumah Penerbitan MPEI", 2008. - Hal.333. - 9 hal. - ISBN 978-5-383-00326-8.
Pendekatan Reduksi Model dan Butir Kasar untuk Fenomena Multiskala(Bahasa inggris) . Springer, Seri Kompleksitas, Berlin-Heidelberg-New York, 2006. XII+562 hal. ISBN 3-540-35885-4. Diakses tanggal 18 Juni 2013. Diarsipkan 18 Juni 2013.
“Suatu teori dianggap linier atau nonlinier tergantung pada jenis peralatan matematikanya - linier atau nonlinier - dan jenis model matematika linier atau nonlinier yang digunakannya. ...tanpa menyangkal yang terakhir. Seorang fisikawan modern, jika ia harus menciptakan kembali definisi entitas penting seperti nonlinier, kemungkinan besar akan bertindak berbeda, dan, dengan lebih memilih nonlinier sebagai yang lebih penting dan tersebar luas di antara dua hal yang berlawanan, akan mendefinisikan linearitas sebagai “bukan nonlinier.” Danilov Yu.A., Kuliah tentang dinamika nonlinier. Pengenalan dasar. Seri “Sinergik: dari masa lalu ke masa depan.” Edisi 2. - M.: URSS, 2006. - 208 hal. ISBN 5-484-00183-8
“Sistem dinamis yang dimodelkan dengan sejumlah persamaan diferensial biasa yang terbatas disebut sistem terkonsentrasi atau sistem titik. Mereka dijelaskan menggunakan ruang fase berdimensi terbatas dan dicirikan oleh sejumlah derajat kebebasan yang terbatas. Sistem yang sama dalam kondisi yang berbeda dapat dianggap terkonsentrasi atau terdistribusi. Model matematika sistem terdistribusi adalah persamaan diferensial parsial, persamaan integral, atau persamaan penundaan biasa. Jumlah derajat kebebasan suatu sistem terdistribusi tidak terbatas, dan diperlukan jumlah data yang tidak terbatas untuk menentukan statusnya.”
Anishchenko V.S., Sistem dinamis, jurnal pendidikan Soros, 1997, No.11, hal. 77-84.
“Tergantung pada sifat proses yang dipelajari dalam sistem S, semua jenis pemodelan dapat dibagi menjadi deterministik dan stokastik, statis dan dinamis, diskrit, kontinu, dan diskrit-kontinu. Pemodelan deterministik mencerminkan proses deterministik, yaitu proses yang diasumsikan tidak adanya pengaruh acak; pemodelan stokastik menggambarkan proses dan peristiwa probabilistik. ... Pemodelan statis berfungsi untuk menggambarkan perilaku suatu objek pada titik waktu mana pun, dan pemodelan dinamis mencerminkan perilaku suatu objek dari waktu ke waktu. Pemodelan diskrit digunakan untuk menggambarkan proses yang dianggap diskrit, masing-masing, pemodelan kontinu memungkinkan kita untuk mencerminkan proses kontinu dalam sistem, dan pemodelan kontinu diskrit digunakan untuk kasus ketika mereka ingin menyoroti keberadaan proses diskrit dan kontinu. ”
Sovetov B.Ya., Yakovlev S.A., Pemodelan sistem: Proc. untuk universitas - edisi ke-3, direvisi. dan tambahan - M.: Lebih tinggi. sekolah, 2001. - 343 hal. ISBN 5-06-003860-2
Biasanya, model matematika mencerminkan struktur (perangkat) objek yang dimodelkan, sifat-sifat dan hubungan komponen-komponen objek tersebut yang penting untuk tujuan penelitian; model seperti itu disebut struktural. Jika model hanya mencerminkan bagaimana suatu objek berfungsi - misalnya, bagaimana ia bereaksi terhadap pengaruh eksternal - maka model tersebut disebut fungsional atau, secara kiasan, kotak hitam. Model gabungan juga dimungkinkan. Myshkis A.D., Unsur teori model matematika. - Edisi ke-3, putaran. - M.: KomKniga, 2007. - 192 hal.

Dinamika perkembangan suatu objek, esensi internal hubungan elemen-elemennya dan berbagai keadaan dalam proses desain hanya dapat ditelusuri dengan bantuan model yang menggunakan prinsip analogi dinamis, yaitu dengan bantuan matematika. model.

Model matematika adalah suatu sistem hubungan matematis yang menggambarkan proses atau fenomena yang sedang dipelajari. Untuk menyusun model matematika, Anda dapat menggunakan cara matematika apa pun - teori himpunan, logika matematika, bahasa persamaan diferensial atau integral. Proses penyusunan model matematika disebut pemodelan matematika. Seperti jenis model lainnya, model matematika merepresentasikan suatu masalah dalam bentuk yang disederhanakan dan hanya menjelaskan sifat-sifat dan pola-pola yang paling penting untuk suatu objek atau proses tertentu. Model matematika memungkinkan dilakukannya analisis kuantitatif multilateral. Dengan mengubah data awal, kriteria, dan batasan, setiap kali Anda dapat memperoleh solusi optimal untuk kondisi tertentu dan menentukan arah pencarian selanjutnya.

Penciptaan model matematika mengharuskan pengembangnya, selain pengetahuan tentang metode logis formal, analisis menyeluruh terhadap objek yang diteliti untuk merumuskan secara ketat gagasan dan aturan utama, serta untuk mengidentifikasi sejumlah fakta dan fakta yang dapat diandalkan dan dapat diandalkan. data statistik dan peraturan.

Perlu dicatat bahwa semua model matematika yang digunakan saat ini berhubungan dengan bersifat menentukan. Tujuan pengembangan model preskriptif adalah untuk menunjukkan arah pencarian solusi, sedangkan tujuan pengembangan menggambarkan model merupakan cerminan dari proses berpikir manusia yang sebenarnya.

Ada pandangan yang cukup luas bahwa dengan bantuan matematika hanya beberapa data numerik yang dapat diperoleh tentang suatu objek atau proses yang dipelajari. “Tentu saja banyak disiplin ilmu matematika yang bertujuan untuk memperoleh hasil akhir numerik. Tetapi mereduksi metode matematika hanya menjadi masalah memperoleh suatu bilangan berarti terus-menerus memiskinkan matematika, memiskinkan kemungkinan senjata ampuh yang saat ini ada di tangan para peneliti...

Model matematika yang ditulis dalam bahasa tertentu (misalnya, persamaan diferensial) mencerminkan sifat-sifat tertentu dari proses fisik nyata. Sebagai hasil dari analisis model matematika, pertama-tama kita memperoleh gagasan kualitatif tentang ciri-ciri proses yang diteliti, menetapkan pola yang menentukan rangkaian dinamis keadaan yang berurutan, dan memperoleh kesempatan untuk memprediksi jalannya proses. dan menentukan karakteristik kuantitatifnya.”

Model matematika digunakan dalam banyak metode pemodelan terkenal. Diantaranya adalah pengembangan model yang menggambarkan keadaan statis dan dinamis suatu objek, model optimasi.

Contoh model matematika yang menggambarkan keadaan statis dan dinamis suatu benda dapat berupa berbagai metode perhitungan struktur tradisional. Proses perhitungan yang disajikan dalam bentuk rangkaian operasi matematika (algoritma) memungkinkan kita untuk mengatakan bahwa suatu model matematika telah disusun untuk menghitung struktur tertentu.

DI DALAM optimasi model mengandung tiga elemen:

Fungsi tujuan mencerminkan kriteria kualitas yang diterima;

Parameter yang dapat disesuaikan;

Pembatasan yang diberlakukan.

Semua unsur tersebut harus dijelaskan secara matematis dalam bentuk persamaan, kondisi logika, dan lain-lain. Penyelesaian masalah optimasi adalah proses mencari nilai minimum (maksimum) dari fungsi tujuan dengan tetap memenuhi batasan yang ditentukan. Hasil penyelesaian dianggap optimal jika fungsi tujuan mencapai nilai ekstrimnya.

Contoh model optimasi adalah deskripsi matematis dari kriteria “panjang sambungan” dalam metode desain alternatif bangunan industri.

Fungsi tujuan mencerminkan total panjang tertimbang dari semua sambungan fungsional, yang cenderung minimum:

dimana nilai bobot koneksi elemen dengan ;

– panjang sambungan antara dan elemen;

– jumlah total elemen yang ditempatkan.

Karena luas elemen-elemen bangunan yang ditempatkan adalah sama di semua varian solusi desain, varian-varian tersebut berbeda satu sama lain hanya dalam jarak yang berbeda antara elemen-elemen dan lokasinya relatif satu sama lain. Oleh karena itu, parameter yang dapat disesuaikan dalam hal ini adalah koordinat elemen yang ditempatkan pada denah lantai.

Pembatasan yang diberlakukan pada lokasi elemen (di tempat yang telah ditentukan sebelumnya pada denah, pada keliling luar, di atas satu sama lain, dll.) dan pada panjang sambungan (panjang sambungan antar elemen ditentukan secara ketat, minimum atau batas maksimum nilai yang ditentukan, batas perubahan nilai yang ditentukan) ditulis secara formal.

Suatu opsi dianggap optimal (menurut kriteria ini) jika nilai fungsi tujuan yang dihitung untuk opsi ini minimal.

Berbagai model matematika – model ekonomi-matematika– adalah model hubungan antara karakteristik ekonomi dan parameter sistem.

Contoh model ekonomi-matematis adalah deskripsi matematis kriteria biaya dalam metode desain alternatif bangunan industri yang disebutkan di atas. Model matematika yang diperoleh berdasarkan penggunaan metode statistik matematika mencerminkan ketergantungan biaya rangka, pondasi, pekerjaan tanah bangunan industri satu lantai dan bertingkat serta tinggi, bentang dan tinggi struktur penahan beban.

Berdasarkan metode memperhitungkan pengaruh faktor acak terhadap pengambilan keputusan, model matematika dibagi menjadi deterministik dan probabilistik. deterministik model tidak memperhitungkan pengaruh faktor acak dalam proses pengoperasian sistem dan didasarkan pada representasi analitis dari pola fungsi. Probabilistik (stokastik) model memperhitungkan pengaruh faktor acak selama pengoperasian sistem dan didasarkan pada statistik, yaitu. penilaian kuantitatif fenomena massa, memungkinkan untuk memperhitungkan nonlinier, dinamika, gangguan acak yang dijelaskan oleh hukum distribusi yang berbeda.

Dengan menggunakan contoh di atas, kita dapat mengatakan bahwa model matematika yang menggambarkan kriteria “panjang sambungan” mengacu pada model deterministik, dan model matematika yang menggambarkan kelompok kriteria “biaya” mengacu pada model probabilistik.

Model linguistik, semantik dan informasi

Model matematika mempunyai kelebihan yang jelas karena mengkuantifikasi aspek suatu masalah memberikan gambaran yang jelas mengenai prioritas tujuan. Penting bagi seorang spesialis untuk selalu dapat membenarkan pengambilan keputusan tertentu dengan menyajikan data numerik yang relevan. Namun, deskripsi matematis yang lengkap tentang aktivitas desain tidak mungkin dilakukan, oleh karena itu sebagian besar masalah yang diselesaikan pada tahap awal desain arsitektur dan konstruksi berkaitan dengan terstruktur dengan buruk.

Salah satu ciri masalah semi terstruktur adalah deskripsi verbal tentang kriteria yang digunakan di dalamnya. Pengenalan kriteria yang dijelaskan dalam bahasa alami (kriteria tersebut disebut linguistik), memungkinkan Anda menggunakan metode yang tidak terlalu rumit untuk menemukan solusi desain yang optimal. Dengan adanya kriteria seperti itu, perancang membuat keputusan berdasarkan ekspresi tujuan yang lazim dan tidak perlu dipertanyakan lagi.

Deskripsi yang bermakna dari semua aspek masalah memperkenalkan sistematisasi ke dalam proses penyelesaiannya, di satu sisi, dan di sisi lain, sangat memudahkan pekerjaan para spesialis yang, tanpa mempelajari cabang matematika yang relevan, dapat memecahkan masalah profesional mereka lebih banyak. secara rasional. Pada Gambar. 5.2 diberikan model linguistik, menjelaskan kemungkinan menciptakan kondisi ventilasi alami dalam berbagai pilihan tata letak toko roti.

Manfaat lain dari deskripsi masalah yang bermakna meliputi:

Kemampuan untuk menggambarkan semua kriteria yang menentukan efektivitas solusi desain. Pada saat yang sama, penting untuk memasukkan konsep-konsep kompleks ke dalam deskripsi dan bidang pandang spesialis, bersama dengan faktor-faktor kuantitatif dan terukur, juga akan mencakup faktor-faktor kualitatif dan tidak terukur. Dengan demikian, pada saat pengambilan keputusan, semua informasi subjektif dan objektif akan digunakan;

Beras. 5.2 Deskripsi isi kriteria “ventilasi” dalam bentuk model linguistik

Kemampuan untuk menilai dengan jelas tingkat pencapaian tujuan dalam varian kriteria ini berdasarkan kata-kata yang diterima oleh spesialis, yang menjamin keandalan informasi yang diterima;

Kemampuan untuk memperhitungkan ketidakpastian yang terkait dengan pengetahuan yang tidak lengkap tentang semua konsekuensi keputusan yang diambil, serta informasi prediktif.

Model yang menggunakan bahasa alami untuk mendeskripsikan objek kajian juga mencakup model semantik.

Model semantik- ada representasi suatu objek yang mencerminkan derajat keterhubungan (kedekatan) antara berbagai komponen, aspek, sifat-sifat objek tersebut. Keterhubungan bukan berarti penataan ruang yang relatif, melainkan keterkaitan makna.

Dengan demikian, dalam arti semantik, hubungan antara koefisien penerangan alami dan luas cahaya pagar transparan akan disajikan lebih dekat daripada hubungan antara bukaan jendela dan bagian dinding buta yang berdekatan.

Kumpulan hubungan konektivitas menunjukkan apa yang diwakili oleh setiap elemen yang dipilih dalam suatu objek dan objek secara keseluruhan. Pada saat yang sama, model semantik mencerminkan, selain tingkat keterhubungan berbagai aspek dalam suatu objek, isi konsep. Model dasar adalah konsep yang diungkapkan dalam bahasa alami.

Konstruksi model semantik didasarkan pada prinsip-prinsip yang menurutnya konsep dan koneksi tidak berubah sepanjang waktu model digunakan; isi suatu konsep tidak berpindah ke konsep lain; hubungan antara dua konsep mempunyai interaksi yang setara dan tidak berorientasi dalam hubungannya dengan mereka.

Setiap analisis model bertujuan untuk memilih elemen-elemen model yang mempunyai kesamaan kualitas tertentu. Hal ini memberikan dasar untuk membangun suatu algoritma yang hanya memperhitungkan koneksi langsung. Saat mengonversi model menjadi grafik tidak berarah, ditemukan jalur antara dua elemen yang menelusuri pergerakan dari satu elemen ke elemen lainnya, menggunakan setiap elemen hanya satu kali. Urutan kemunculan unsur-unsur disebut barisan kedua unsur tersebut. Urutan dapat memiliki panjang yang berbeda. Yang terpendek disebut relasi elemen. Barisan dua unsur tetap ada meskipun ada hubungan langsung di antara keduanya, tetapi dalam kasus ini tidak ada hubungan.

Sebagai contoh model semantik, kami memberikan gambaran tentang tata ruang apartemen beserta hubungan komunikasinya. Konsepnya adalah bangunan apartemen. Sambungan langsung berarti sambungan fungsional dua ruangan, misalnya melalui pintu (lihat Tabel 5.1).

Mengubah model menjadi bentuk grafik tidak berarah memungkinkan kita memperoleh barisan elemen (Gbr. 5.3).

Contoh barisan yang terbentuk antara elemen 2 (kamar mandi) dan elemen 6 (pantry) diberikan pada tabel. 5.2. Terlihat dari tabel, barisan 3 mewakili hubungan kedua elemen tersebut.

Tabel 5.1

Deskripsi tata letak apartemen

Beras. 5.3 Gambaran solusi perencanaan dalam bentuk grafik tidak berarah

Menurut buku teks oleh Sovetov dan Yakovlev: “model (lat. modulus - ukuran) adalah objek pengganti objek aslinya, yang memastikan studi tentang beberapa properti aslinya.” (hal. 6) “Mengganti suatu objek dengan objek lain untuk memperoleh informasi tentang sifat-sifat terpenting dari objek asli dengan menggunakan objek model disebut pemodelan.” (hal. 6) “Dengan pemodelan matematika kita memahami proses pembentukan korespondensi suatu objek nyata tertentu dengan objek matematika tertentu, yang disebut model matematika, dan studi tentang model ini, yang memungkinkan kita memperoleh karakteristik dari objek nyata. objek yang sedang dipertimbangkan. Jenis model matematika bergantung pada sifat objek nyata dan tugas mempelajari objek serta keandalan dan keakuratan yang diperlukan untuk memecahkan masalah ini.”

Terakhir, definisi paling ringkas dari model matematika: "Persamaan yang mengungkapkan ide."

Klasifikasi model

Klasifikasi formal model

Klasifikasi formal model didasarkan pada klasifikasi alat matematika yang digunakan. Seringkali dikonstruksikan dalam bentuk dikotomi. Misalnya, salah satu rangkaian dikotomi yang populer:

Klasifikasi menurut cara objek direpresentasikan

Seiring dengan klasifikasi formal, model berbeda dalam cara mereka merepresentasikan suatu objek:

Model struktural atau fungsional

Model struktural merepresentasikan suatu objek sebagai suatu sistem dengan struktur dan mekanisme fungsinya sendiri. Model fungsional tidak menggunakan representasi seperti itu dan hanya mencerminkan perilaku (fungsi) objek yang dirasakan secara eksternal. Dalam ekspresi ekstremnya, model ini juga disebut model “kotak hitam”. Jenis model gabungan juga dimungkinkan, yang terkadang disebut model “kotak abu-abu”.

Konten dan model formal

Klasifikasi konten model

Tidak ada hipotesis dalam sains yang dapat dibuktikan untuk selamanya. Richard Feynman merumuskannya dengan sangat jelas:

“Kita selalu mempunyai kesempatan untuk menyangkal sebuah teori, namun perlu diingat bahwa kita tidak akan pernah bisa membuktikan kebenarannya. Misalkan Anda telah mengajukan hipotesis yang berhasil, menghitung ke mana hipotesis tersebut mengarah, dan menemukan bahwa semua konsekuensinya dikonfirmasi secara eksperimental. Apakah ini berarti teori Anda benar? Tidak, itu berarti Anda gagal membantahnya.”

Jika model tipe pertama dibangun, ini berarti model tersebut untuk sementara diakui sebagai kebenaran dan seseorang dapat berkonsentrasi pada masalah lain. Namun hal ini tidak bisa menjadi poin dalam penelitian, melainkan hanya jeda sementara: status model tipe pertama hanya bisa bersifat sementara.

Tipe 2: Model fenomenologis (kita berperilaku seolah-olah…)

Ide penyederhanaan sangat populer saat membuat model. Namun penyederhanaan hadir dalam berbagai bentuk. Peierls mengidentifikasi tiga jenis penyederhanaan dalam pemodelan.

Tipe 3: Perkiraan (kita menganggap sesuatu yang sangat besar atau sangat kecil)

Inilah Tipe 8, yang tersebar luas dalam model matematika sistem biologis.

Tipe 8: Demonstrasi Fitur (yang utama adalah menunjukkan konsistensi internal dari kemungkinan tersebut)

Ini juga merupakan eksperimen pemikiran dengan entitas imajiner, yang menunjukkan hal itu fenomena yang seharusnya konsisten dengan prinsip-prinsip dasar dan konsisten secara internal. Inilah perbedaan utama dari model tipe 7, yang mengungkapkan kontradiksi tersembunyi.

Contoh

Pertimbangkan sistem mekanis yang terdiri dari pegas yang dipasang di salah satu ujungnya dan sebuah massa bermassa M melekat pada ujung pegas yang bebas. Kita asumsikan bahwa beban hanya dapat bergerak searah dengan sumbu pegas (misalnya pergerakan terjadi sepanjang batang). Mari kita membangun model matematika dari sistem ini. Kami akan menggambarkan keadaan sistem berdasarkan jarak X dari pusat beban ke posisi setimbangnya. Mari kita gambarkan interaksi pegas dan beban yang digunakan hukum Hooke (F = − kX ) dan kemudian gunakan hukum kedua Newton untuk menyatakannya dalam bentuk persamaan diferensial:

dimana berarti turunan kedua dari X Oleh waktu: .

Persamaan yang dihasilkan menggambarkan model matematika dari sistem fisik yang dipertimbangkan. Model ini disebut "osilator harmonik".

Menurut klasifikasi formal, model ini bersifat linier, deterministik, dinamis, terkonsentrasi, kontinu. Dalam proses pembangunannya, kami banyak membuat asumsi (tentang tidak adanya gaya luar, tidak adanya gesekan, kecilnya penyimpangan, dll), yang pada kenyataannya mungkin tidak terpenuhi.

Model keras dan lunak

Berikut adalah beberapa fungsi yang dapat memperhitungkan gaya gesekan atau ketergantungan koefisien kekakuan pegas pada derajat regangannya - beberapa parameter kecil. Bentuk fungsi eksplisit F Kami tidak tertarik saat ini. Jika kita membuktikan bahwa perilaku model lunak tidak berbeda secara mendasar dari perilaku model keras (terlepas dari jenis faktor pengganggu yang jelas, jika faktor tersebut cukup kecil), maka masalahnya akan direduksi menjadi mempelajari model keras. Jika tidak, penerapan hasil yang diperoleh dari mempelajari model kaku akan memerlukan penelitian tambahan. Misalnya, penyelesaian persamaan osilator harmonik adalah fungsi berbentuk , yaitu osilasi dengan amplitudo konstan. Apakah berarti osilator nyata akan berosilasi tanpa batas dengan amplitudo konstan? Tidak, karena dengan mempertimbangkan sistem dengan gesekan kecil yang sewenang-wenang (selalu ada dalam sistem nyata), kita mendapatkan osilasi teredam. Perilaku sistem telah berubah secara kualitatif.

Fleksibilitas model

Model matematika yang paling penting biasanya mempunyai sifat penting keserbagunaan: Fenomena nyata yang berbeda secara fundamental dapat dijelaskan dengan model matematika yang sama. Misalnya, osilator harmonik tidak hanya menggambarkan perilaku beban pada pegas, tetapi juga proses osilasi lainnya, seringkali sifatnya sangat berbeda: osilasi kecil pendulum, fluktuasi level cairan dalam kamu bejana berbentuk atau perubahan kekuatan arus dalam rangkaian osilasi. Jadi, dengan mempelajari satu model matematika, kita segera mempelajari seluruh kelas fenomena yang dijelaskan oleh model tersebut. Isomorfisme hukum yang diungkapkan oleh model matematika di berbagai segmen pengetahuan ilmiah inilah yang mengilhami Ludwig von Bertalanffy untuk menciptakan “Teori Umum Sistem”.

Masalah pemodelan matematika langsung dan terbalik

Secara tradisional, ada dua kelompok masalah utama yang terkait dengan model matematika: langsung dan invers.

Tugas langsung: struktur model dan semua parameternya dianggap diketahui, tugas utamanya adalah melakukan studi model untuk mengekstraksi pengetahuan yang berguna tentang objek. Berapakah beban statis yang dapat ditahan jembatan tersebut? Bagaimana reaksinya terhadap beban dinamis (misalnya, terhadap barisan tentara, atau terhadap lintasan kereta api dengan kecepatan berbeda), bagaimana pesawat akan mengatasi penghalang suara, apakah akan hancur karena bergetar - ini adalah contoh khas dari masalah langsung. Menetapkan masalah langsung yang tepat (mengajukan pertanyaan yang tepat) memerlukan keahlian khusus. Jika pertanyaan yang tepat tidak diajukan, sebuah jembatan bisa saja runtuh, meskipun model yang baik untuk perilakunya telah dibangun. Jadi, pada tahun 1879, sebuah jembatan logam yang melintasi Sungai Tay runtuh di Inggris, perancang yang membuat model jembatan tersebut, menghitungnya memiliki faktor keamanan 20 kali lipat untuk aksi muatan, tetapi terus-menerus melupakan angin. bertiup di tempat-tempat itu. Dan setelah satu setengah tahun, itu runtuh.

Dalam kasus paling sederhana (satu persamaan osilator, misalnya), permasalahan langsungnya sangat sederhana dan direduksi menjadi solusi eksplisit persamaan ini.

Contoh tambahan

Di mana X S- ukuran populasi “ekuilibrium”, di mana angka kelahiran diimbangi secara tepat dengan angka kematian. Besarnya populasi pada model seperti itu cenderung pada nilai keseimbangan X S, dan perilaku ini stabil secara struktural.

Catatan

“Representasi matematis dari realitas” (Encyclopaedia Britanica)
Novik I.B., Tentang isu filosofis pemodelan cybernetic. M., Pengetahuan, 1964.
Sovetov B.Ya., Yakovlev S.A., Pemodelan sistem: Proc. untuk universitas - edisi ke-3, direvisi. dan tambahan - M.: Lebih tinggi. sekolah, 2001. - 343 hal. ISBN 5-06-003860-2
Samarsky A.A., Mikhailov A.P. Pemodelan matematika. Ide ide. Metode. Contoh. . - Edisi ke-2, direvisi - M.: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
Myshkis A.D., Unsur teori model matematika. - Edisi ke-3, putaran. - M.: KomKniga, 2007. - 192 dengan ISBN 978-5-484-00953-4
Wiktionary: model matematika
Catatan Tebing
Pendekatan Reduksi Model dan Butir Kasar untuk Fenomena Multiskala, Springer, seri Kompleksitas, Berlin-Heidelberg-New York, 2006. XII+562 hal. ISBN 3-540-35885-4
“Suatu teori dianggap linier atau nonlinier tergantung pada jenis peralatan matematikanya - linier atau nonlinier - dan jenis model matematika linier atau nonlinier yang digunakannya. ...tanpa menyangkal yang terakhir. Seorang fisikawan modern, jika ia harus menciptakan kembali definisi entitas penting seperti nonlinier, kemungkinan besar akan bertindak berbeda, dan, dengan lebih memilih nonlinier sebagai yang lebih penting dan tersebar luas di antara dua hal yang berlawanan, akan mendefinisikan linearitas sebagai “bukan nonlinier.” Danilov Yu.A., Kuliah tentang dinamika nonlinier. Pengenalan dasar. Seri “Sinergik: dari masa lalu ke masa depan.” Edisi 2. - M.: URSS, 2006. - 208 hal. ISBN 5-484-00183-8
“Sistem dinamis yang dimodelkan dengan sejumlah persamaan diferensial biasa yang terbatas disebut sistem terkonsentrasi atau sistem titik. Mereka dijelaskan menggunakan ruang fase berdimensi terbatas dan dicirikan oleh sejumlah derajat kebebasan yang terbatas. Sistem yang sama dalam kondisi yang berbeda dapat dianggap terkonsentrasi atau terdistribusi. Model matematika sistem terdistribusi adalah persamaan diferensial parsial, persamaan integral, atau persamaan penundaan biasa. Jumlah derajat kebebasan suatu sistem terdistribusi tidak terbatas, dan diperlukan jumlah data yang tidak terbatas untuk menentukan statusnya.” Anishchenko V.S., Sistem dinamis, jurnal pendidikan Soros, 1997, No.11, hal. 77-84.
“Tergantung pada sifat proses yang dipelajari dalam sistem S, semua jenis pemodelan dapat dibagi menjadi deterministik dan stokastik, statis dan dinamis, diskrit, kontinu, dan diskrit-kontinu. Pemodelan deterministik mencerminkan proses deterministik, yaitu proses yang diasumsikan tidak adanya pengaruh acak; pemodelan stokastik menggambarkan proses dan peristiwa probabilistik. ... Pemodelan statis berfungsi untuk menggambarkan perilaku suatu objek pada titik waktu mana pun, dan pemodelan dinamis mencerminkan perilaku suatu objek dari waktu ke waktu. Pemodelan diskrit digunakan untuk menggambarkan proses yang dianggap diskrit, masing-masing, pemodelan kontinu memungkinkan kita untuk mencerminkan proses kontinu dalam sistem, dan pemodelan kontinu diskrit digunakan untuk kasus ketika mereka ingin menyoroti keberadaan proses diskrit dan kontinu. ” Sovetov B.Ya., Yakovlev S.A., Pemodelan sistem: Proc. untuk universitas - edisi ke-3, direvisi. dan tambahan - M.: Lebih tinggi. sekolah, 2001. - 343 hal. ISBN 5-06-003860-2
Biasanya, model matematika mencerminkan struktur (perangkat) objek yang dimodelkan, sifat-sifat dan hubungan komponen-komponen objek tersebut yang penting untuk tujuan penelitian; model seperti itu disebut struktural. Jika model hanya mencerminkan bagaimana suatu objek berfungsi - misalnya, bagaimana ia bereaksi terhadap pengaruh eksternal - maka model tersebut disebut fungsional atau, secara kiasan, kotak hitam. Model gabungan juga dimungkinkan. Myshkis A.D., Unsur teori model matematika. - Edisi ke-3, putaran. - M.: KomKniga, 2007. - 192 dengan ISBN 978-5-484-00953-4
“Tahap awal yang jelas namun paling penting dalam membangun atau memilih model matematika adalah memperoleh gambaran sejelas mungkin tentang objek yang dimodelkan dan menyempurnakan model bermaknanya, berdasarkan diskusi informal. Anda tidak boleh meluangkan waktu dan tenaga pada tahap ini, keberhasilan seluruh penelitian sangat bergantung pada hal ini. Telah terjadi lebih dari sekali upaya signifikan yang dihabiskan untuk memecahkan masalah matematika ternyata tidak efektif atau bahkan sia-sia karena kurangnya perhatian pada sisi masalah ini.” Myshkis A.D., Unsur teori model matematika. - Edisi ke-3, putaran. - M.: KomKniga, 2007. - 192 dengan ISBN 978-5-484-00953-4, hal. 35.
« Deskripsi model konseptual sistem. Pada subtahap membangun model sistem ini: a) model konseptual M dijelaskan dalam istilah dan konsep abstrak; b) deskripsi model diberikan dengan menggunakan skema matematika standar; c) hipotesis dan asumsi akhirnya diterima; d) pilihan prosedur untuk memperkirakan proses nyata ketika membangun model dapat dibenarkan.” Sovetov B.Ya., Yakovlev S.A., Pemodelan sistem: Proc. untuk universitas - edisi ke-3, direvisi. dan tambahan - M.: Lebih tinggi. sekolah, 2001. - 343 hal. ISBN 5-06-003860-2, hal. 93.
Blekhman I.I., Myshkis A.D., Panovko N.G., Matematika terapan: Mata pelajaran, logika, fitur pendekatan. Dengan contoh dari mekanika: Buku Teks. - Edisi ke-3, putaran. dan tambahan - M.: URSS, 2006. - 376 hal. ISBN 5-484-00163-3, Bab 2.

Tahapan utama

Untuk mendiskusikan dan membenarkan pendekatan utama untuk mengembangkan masalah pemodelan matematika perangkat teknis dan proses di dalamnya, tampaknya disarankan untuk terlebih dahulu mempertimbangkan diagram kondisional (Gbr. 1.1), yang menentukan urutan tahapan individu dari prosedur umum Posisi awal skema ini adalah objek teknis(TO), yang kami maksud adalah perangkat teknis tertentu, unit atau komponennya, sistem perangkat, proses, fenomena, atau situasi terpisah dalam sistem atau perangkat apa pun.

Beras. 1.1

Pada tahap pertama, transisi informal dilakukan dari TO yang dipertimbangkan (berkembang atau sudah ada) ke TO-nya skema desain(PC). Pada saat yang sama, tergantung pada arah eksperimen komputasi dan tujuan akhirnya, properti, kondisi pengoperasian, dan fitur peralatan teknis tersebut ditekankan, yang, bersama dengan parameter yang menjadi cirinya, harus tercermin dalam PC, dan, sebaliknya, mereka memperdebatkan asumsi dan penyederhanaan yang memungkinkan untuk tidak memperhitungkan kualitas-kualitas tersebut dalam PC TE, yang pengaruhnya dianggap tidak signifikan dalam kasus yang sedang dipertimbangkan. Terkadang istilah ini digunakan sebagai pengganti PC model konten* ITU, dan dalam beberapa kasus - model konseptual. Dalam disiplin ilmu teknik yang sudah mapan (misalnya, kekuatan material, teknik elektro, dan elektronik), selain informasi deskriptif (verbal), teknik dan simbol khusus untuk representasi grafik visual telah dikembangkan untuk mengkarakterisasi PC. Di sejumlah bidang baru perkembangan teknologi, simbolisme tersebut sedang dalam tahap pembentukan.

Saat mengembangkan peralatan teknis baru, keberhasilan penyelesaian tahap pertama sangat bergantung pada tingkat profesional insinyur, kreativitas dan intuisinya. Kelengkapan dan kebenaran dalam memperhitungkan sifat-sifat TO pada PC, yang penting dari sudut pandang tujuan penelitian, merupakan prasyarat utama untuk memperoleh hasil pemodelan matematika yang dapat diandalkan di masa depan. Sebaliknya, idealisasi TO yang kuat demi mendapatkan PC sederhana dapat merendahkan semua tahapan penelitian selanjutnya.

Saya harus mengatakan bahwa untuk beberapa PC standar terdapat bank MM, yang menyederhanakan tahap kedua. Selain itu, MM yang sama dapat berhubungan dengan PC dari bidang studi yang berbeda. Namun, ketika mengembangkan TO baru, seringkali tidak mungkin membatasi diri pada penggunaan PC standar dan MM bawaan yang sesuai dengannya. Penciptaan MM baru atau modifikasi MM yang sudah ada harus didasarkan pada pelatihan matematika yang cukup mendalam dan penguasaan matematika sebagai bahasa universal ilmu pengetahuan.

Pada tahap ketiga dilakukan analisis kualitatif dan kuantitatif evaluatif terhadap MM yang dibangun. Dalam hal ini, kontradiksi dapat diidentifikasi, penghapusannya memerlukan klarifikasi atau revisi PC (garis putus-putus pada Gambar 1.1). Estimasi kuantitatif dapat memberikan alasan untuk menyederhanakan model dengan mengecualikan beberapa parameter, rasio, atau komponen individualnya dari pertimbangan, meskipun faktanya pengaruh faktor-faktor yang dijelaskannya diperhitungkan dalam PC. Dalam kebanyakan kasus, dengan mengambil asumsi tambahan sehubungan dengan PC, akan berguna untuk membuat versi MM yang disederhanakan yang memungkinkan seseorang memperoleh atau menggunakan solusi eksak yang diketahui. Solusi ini kemudian dapat digunakan sebagai perbandingan saat menguji hasil pada tahap selanjutnya. Dalam beberapa kasus, dimungkinkan untuk membuat beberapa MM untuk TO yang sama, berbeda dalam tingkat penyederhanaan yang berbeda. Dalam hal ini yang mereka bicarakan hierarki MM(kata Yunaninya berasal dari - suci dan - kekuasaan dan dalam hal ini berarti pengurutan MM berdasarkan kompleksitas dan kelengkapan).

Konstruksi hierarki MM dikaitkan dengan berbagai detail properti TO yang dipelajari. Membandingkan hasil kajian berbagai MM dapat memperluas dan memperkaya pengetahuan tentang TO ini secara signifikan. Selain itu, perbandingan seperti itu memungkinkan kita untuk menilai keandalan hasil eksperimen komputasi berikutnya: jika MM yang lebih sederhana dengan tepat mencerminkan beberapa sifat TO, maka hasil mempelajari sifat-sifat ini harus mendekati hasil yang diperoleh dengan menggunakan yang lebih lengkap. dan MM kompleks.

Hasil analisis pada tahap yang dipertimbangkan adalah pilihan MM TO yang berfungsi dengan baik, yang akan menjalani analisis kuantitatif lebih rinci. Keberhasilan dalam melaksanakan tahap ketiga, sebagai suatu peraturan, bergantung pada kedalaman pemahaman tentang hubungan antara masing-masing komponen MM dan sifat-sifat TO, yang tercermin dalam PC-nya, yang mengandaikan kombinasi organik dari kemahiran dalam matematika dan pengetahuan teknik dalam bidang studi tertentu.

Tahap keempat terdiri dari pemilihan metode analisis kuantitatif MM yang masuk akal, dalam pengembangan algoritma yang efektif untuk eksperimen komputasi, dan tahap kelima adalah pembuatan program yang bisa diterapkan yang mengimplementasikan algoritma ini menggunakan teknologi komputer. Agar berhasil melaksanakan tahap keempat, perlu memiliki gudang metode matematika komputasi modern, dan dalam kasus pemodelan matematika dari operasi teknis yang agak rumit, penerapan tahap kelima memerlukan pelatihan profesional di bidang pemrograman komputer. .

Hasil perhitungan yang diperoleh pada tahap keenam (sebagai hasil program) terlebih dahulu harus diuji dengan membandingkannya dengan data analisis kuantitatif versi sederhana MM TO yang dipertimbangkan. Pengujian dapat mengungkap kekurangan baik pada program maupun algoritma dan memerlukan modifikasi program atau modifikasi pada algoritma dan program. Analisis hasil perhitungan dan interpretasi tekniknya mungkin memerlukan penyesuaian PC dan MM yang sesuai. Setelah menghilangkan semua kekurangan yang teridentifikasi, triad "model - algoritma - program" dapat digunakan sebagai alat kerja untuk melakukan eksperimen komputasi dan mengembangkan, berdasarkan informasi kuantitatif yang diperoleh, rekomendasi praktis yang bertujuan untuk meningkatkan pemeliharaan, yang merupakan isi dari ketujuh, menyelesaikan tahap “siklus teknologi” dari pemodelan matematika.

Urutan tahapan yang disajikan bersifat umum dan universal, meskipun dalam beberapa kasus tertentu mungkin sedikit dimodifikasi. Jika PC dan MM standar dapat digunakan saat mengembangkan TO, maka tidak perlu melakukan sejumlah langkah, dan jika paket perangkat lunak yang sesuai tersedia, sebagian besar proses eksperimen komputasi menjadi otomatis. Namun, pemodelan matematis peralatan teknis yang tidak memiliki prototipe serupa, sebagai suatu peraturan, dikaitkan dengan pelaksanaan semua tahapan “siklus teknologi” yang dijelaskan.

MODEL MATEMATIKA

Dari rangkaian tahapan utama pemodelan matematika(lihat Gambar 1.1) maka peran yang menentukan di dalamnya dimainkan model matematika(MM) dari yang diteliti objek teknis. Oleh karena itu, pertama-tama, perhatian harus diberikan pada sifat dasar MM dan persyaratannya, serta klasifikasi MM.

2.1. Konsep model matematika

Konsep model matematika(MM), seperti sejumlah konsep lain yang digunakan dalam pemodelan matematika, tidak memiliki definisi formal yang ketat. Namun demikian, konsep ini memiliki kandungan yang sangat spesifik, yang khususnya berkaitan erat dengan penerapan matematika dalam praktik teknik. Selain itu, disiplin ilmu seperti mekanika, fisika, dan berbagai cabangnya, pada dasarnya, merupakan kumpulan MM yang tertata, yang konstruksinya disertai dengan pembenaran teoretis untuk refleksi yang memadai oleh model-model ini tentang sifat-sifat proses dan fenomena yang sedang dipertimbangkan. . Melalui MM disiplin ilmu berinteraksi dengan matematika.

Tahapan perkembangan berbagai arah ilmu pengetahuan alam dalam pengetahuan tentang hukum alam dan peningkatan teknologi merupakan konstruksi rangkaian MM yang semakin akurat dan lengkap dari proses dan fenomena yang dipelajari. Namun, sejarah ilmu pengetahuan tidak hanya mengetahui kasus-kasus penyempurnaan MM tertentu secara konsisten, tetapi juga kasus-kasus ditinggalkannya beberapa MM karena ketidaksesuaian antara hasil yang diprediksikan dan kenyataan.

MM yang sesuai dengan kenyataan (memadai), pada umumnya merupakan pencapaian ilmiah yang luar biasa. Hal ini memungkinkan Anda untuk melakukan studi rinci tentang objek yang diteliti dan memberikan perkiraan yang dapat diandalkan tentang perilakunya dalam berbagai kondisi. Namun kecukupan MM sering kali mengorbankan kompleksitasnya, yang menyebabkan kesulitan dalam penggunaannya. Dalam hal ini, teknologi komputasi modern membantu matematika, yang secara signifikan memperluas kelas MM yang memungkinkan analisis kuantitatif yang mendalam.

MM yang sama terkadang menemukan penerapan yang sangat berbeda. Misalnya diketahui bahwa hukum tarik-menarik dua titik material Newton dan hukum interaksi dua titik muatan listrik, jika dipilih satuan besaran fisika yang tepat, dapat dinyatakan dengan rumus yang sama. Menggunakan MM yang sama yang berisi persamaan Poisson

di mana adalah operator diferensial Laplace, dan merupakan fungsi yang dicari dan ditentukan dari posisi suatu titik di wilayah tertentu V, dimungkinkan untuk mempelajari proses aliran fluida dan distribusi panas, distribusi potensial listrik, deformasi membran dalam keadaan tunak , tekanan mekanis selama torsi balok, penyaringan minyak di lapisan yang mengandung minyak atau kelembaban di dalam tanah, penyebaran kotoran di udara atau epidemi di wilayah tersebut. Dalam setiap masalah yang terdaftar, fungsi-fungsi tersebut memperoleh maknanya masing-masing, tetapi hubungannya dijelaskan oleh persamaan (2.1) yang umum untuk masalah-masalah ini.

Contoh yang diberikan mencirikan properti tersebut universalitas MM. Berkat sifat ini, timbul “kekerabatan” antara berbagai cabang ilmu pengetahuan, yang mempercepat perkembangan bersama mereka. Keumuman dan universalitas MM tersebut dapat dijelaskan oleh fakta bahwa dalam matematika mereka menggunakan konsep-konsep dasar yang abstrak, tidak banyak, tetapi sangat luas dalam hal ini. Hal ini memungkinkan fakta-fakta konkret dari berbagai bidang pengetahuan harus dianggap sebagai manifestasi dari konsep-konsep ini dan hubungan di antara mereka. Himpunan konsep dan hubungan tersebut, dinyatakan dengan menggunakan sistem simbol dan notasi matematika dan mencerminkan beberapa sifat dari objek yang sedang dipelajari disebut model matematika objek ini. Dalam hal ini, matematika pada hakikatnya berperan sebagai bahasa universal ilmu pengetahuan. Matematikawan Perancis Henri Poincaré (1854-1912) mendefinisikan universalitasnya hanya dalam satu kalimat: “Matematika adalah seni menyebut hal-hal berbeda dengan nama yang sama.”

2.2. Struktur model matematika

Dalam kasus yang cukup umum, yang dipelajari objek teknis(TO) dapat dicirikan secara kuantitatif dengan vektor eksternal, internal Dan parameter keluaran masing-masing. Karakteristik fisik, mekanik, atau informasi yang sama dari peralatan teknis dalam model dengan tingkat dan konten yang berbeda dapat berfungsi sebagai parameter eksternal atau internal, serta parameter keluaran.

Misalnya, untuk penguat elektronik, parameter keluarannya adalah penguatan, pita frekuensi sinyal yang ditransmisikan, resistansi masukan, disipasi daya, parameter eksternal adalah resistansi beban dan kapasitansi, tegangan catu daya, suhu sekitar, dan parameter internal adalah resistansi resistor, kapasitansi kapasitor. , karakteristik transistor* 2 . Tetapi jika kita menganggap transistor tunggal sebagai TO, maka karakteristiknya seperti tegangan pembuka dan arus kolektor harus sudah dikaitkan dengan parameter keluarannya, dan sebagai parameter eksternal perlu mempertimbangkan arus dan tegangan yang ditentukan oleh elemen penguat. bepergian dengannya.

Saat membuat TO, nilai parameter keluaran atau rentang kemungkinan perubahannya ditentukan dalam spesifikasi teknis untuk pengembangan TO, sedangkan parameter eksternal mencirikan kondisi fungsinya.

Dalam kasus yang relatif sederhana model matematika(MM) TO bisa menjadi perbandingan

di mana adalah fungsi vektor dari argumen vektor. Model dalam bentuk (2.2) memudahkan Anda menghitung parameter keluaran dari nilai parameter eksternal dan internal yang ditentukan, mis. menyelesaikan apa yang disebut tugas langsung. Dalam praktek keinsinyuran, penyelesaian suatu masalah langsung sering disebut dengan perhitungan verifikasi. Saat membuat TO, ada kebutuhan untuk menyelesaikan apa yang disebut lebih kompleks masalah terbalik: menggunakan nilai parameter eksternal dan keluaran yang ditentukan oleh spesifikasi teknis untuk desain peralatan pemeliharaan, temukan parameter internalnya. Dalam praktik teknik, penyelesaian masalah invers berhubungan dengan apa yang disebut perhitungan desain, sering kali ditujukan untuk mengoptimalkan parameter internal menurut beberapa hal. kriteria optimalitas. Namun, ketika membangun MM TO, fungsi pada (2.2) biasanya tidak diketahui sebelumnya dan perlu ditetapkan. Inilah yang disebut paling sulit masalah identifikasi MM (dari kata latin identifico – I mengidentifikasi, yang dalam hal ini diberi arti “Saya mengenali”).

Masalah identifikasi dapat diselesaikan dengan pemrosesan matematis informasi tentang sejumlah keadaan TO tersebut, yang masing-masing nilai keluarannya, parameter internal dan eksternalnya diketahui (misalnya, diukur secara eksperimental). Salah satu metode ini melibatkan penggunaan analisis regresi. Jika tidak ada informasi tentang parameter internal atau struktur internal TO terlalu rumit, maka MM TO tersebut dibangun sesuai dengan prinsip kotak hitam- menjalin hubungan antara parameter eksternal dan keluaran dengan mempelajari respon TO terhadap pengaruh eksternal.

Cara teoritis membangun MM adalah dengan membangun hubungan antara y, X dan g dalam bentuk persamaan operator

L(u(z))=0,(2.3)

Di mana L- beberapa operator (umumnya nonlinier), O - elemen nol dari ruang tempat operator ini beroperasi, z-vektor variabel bebas, umumnya mencakup koordinat waktu dan spasial, dan Dan- vektor variabel fase, termasuk parameter pemeliharaan yang menjadi ciri kondisinya. Tetapi meskipun mungkin untuk memperoleh solusi (2.3) dan menemukan ketergantungannya kamu(z) dari z, maka tidak selalu mungkin untuk merepresentasikan MM TO secara eksplisit terhadap vektor pada bentuk (2.2). Oleh karena itu, (2.3) yang menentukan struktur MM TO dalam kasus umum, dan (2.2) adalah kasus khusus yang lebih sederhana dari model tersebut.

2.3. Sifat-sifat model matematika

Dari apa yang telah dikatakan sebelumnya, maka ketika mempelajari suatu hal yang benar-benar ada atau dapat dibayangkan objek teknis(THE) metode matematika diterapkan padanya model matematika(MM). Penerapan ini akan efektif jika properti MM memenuhi persyaratan tertentu. Mari kita pertimbangkan properti utama ini.

Kelengkapan MM memungkinkan kami untuk secara memadai mencerminkan dengan tepat karakteristik dan fitur pemeliharaan yang menarik minat kami dari sudut pandang tujuan pelaksanaan yang dinyatakan eksperimen komputasi. Misalnya, suatu model dapat menggambarkan sepenuhnya proses yang terjadi pada suatu objek, tetapi tidak mencerminkan indikator dimensi, massa, atau biayanya. Jadi, resistor MM berbentuk rumus yang terkenal U = hukum IR Ohm mempunyai sifat kelengkapan hanya dari sudut pandang terjalinnya hubungan antara jatuhnya tegangan listrik kamu pada resistor, itu resistensi R dan arus yang mengalir melaluinya dengan gaya I, tetapi tidak memberikan informasi apa pun tentang dimensi, berat, ketahanan panas, biaya, dan karakteristik lain dari resistor, yang tidak lengkap. Mari kita perhatikan secara sepintas bahwa dalam MM yang dipertimbangkan terdapat hambatan R resistor bertindak sebagai itu parameter dalam, sedangkan jika diberikan kamu, Itu SAYA akan parameter keluaran, A kamu- parameter eksternal, dan sebaliknya.

KetepatanMM memungkinkan untuk memastikan kebetulan yang dapat diterima antara yang nyata dan yang ditemukan menggunakan nilai MM dari parameter keluaran TO yang membentuk vektor

Misalkan nilai yang ditemukan menggunakan MM dan nilai sebenarnya dari parameter keluaran ke-i. Maka kesalahan relatif MM terhadap parameter ini akan sama dengan

Sebagai perkiraan vektor skalar

seseorang dapat menerima norma apa pun, misalnya

Karena parameter keluaran TO yang menggunakan MM terkait dengan parameter eksternal dan internalnya, yaitu sebagai karakteristik kuantitatif dari keakuratan model TO ini, maka akan bergantung pada koordinat vektornya. X dan kamu .

Kecukupan MM- ini adalah kemampuan MM untuk menggambarkan parameter keluaran TO dengan kesalahan relatif tidak lebih dari nilai tertentu yang ditentukan . Misalkan, untuk beberapa nilai nominal yang diharapkan dari parameter eksternal TO, merupakan vektor x nom, Dari kondisi jalur minimum untuk menyelesaikan masalah optimasi berdimensi hingga, ditemukan nilai parameter internal yang membentuk vektor g nom dan memastikan nilai minimum e min dari kesalahan relatif MM. Kemudian, untuk vektor tetap δ, kita dapat membuat himpunannya

ditelepon bidang kecukupan diberikan MM. Jelas bahwa untuk , dan semakin besar nilai yang diberikan, semakin luas kisaran kecukupan MM, yaitu. MM ini dapat diterapkan pada kemungkinan perubahan yang lebih luas pada parameter pemeliharaan eksternal.

Dalam pengertian yang lebih umum, kecukupan MM dipahami sebagai deskripsi kualitatif yang benar dan kuantitatif yang cukup akurat tentang karakteristik TO yang penting dalam kasus khusus ini. Sebuah model yang memadai ketika memilih beberapa karakteristik mungkin tidak memadai ketika memilih karakteristik lain dari TO yang sama. Di sejumlah bidang terapan yang belum cukup siap untuk penggunaan metode matematika kuantitatif, MM sebagian besar bersifat kualitatif. Situasi ini khas, misalnya, dalam bidang biologis dan sosial, di mana pola-pola kuantitatif tidak selalu dapat diformalkan secara matematis secara ketat. Dalam kasus seperti itu, kecukupan MM secara alami dipahami hanya sebagai deskripsi kualitatif yang benar tentang perilaku objek atau sistemnya yang sedang dipelajari. Efektivitas biaya MM memperkirakan biaya sumber daya komputasi (waktu komputer dan memori) yang diperlukan untuk mengimplementasikan MM pada komputer. Biaya ini bergantung pada jumlah operasi aritmatika saat menggunakan model, dimensi ruang variabel fase, fitur komputer yang digunakan, dan faktor lainnya. Jelaslah bahwa persyaratan efisiensi, akurasi tinggi, dan kecukupan MM yang cukup luas saling bertentangan dan dalam praktiknya hanya dapat dipenuhi berdasarkan kompromi yang masuk akal. Properti ekonomis MM sering dikaitkan dengan kesederhanaannya. Selain itu, analisis kuantitatif dari beberapa versi MM yang disederhanakan dapat dilakukan tanpa keterlibatan teknologi komputer modern. Namun, hasilnya hanya dapat memiliki nilai terbatas pada tahap debugging suatu algoritma atau program komputer (lihat 1.2 dan Gambar 1.1), jika penyederhanaan MM tidak konsisten dengan skema perhitungan ITU.

Kekokohan MM(dari kata bahasa Inggris kuat - kuat, stabil) mencirikan stabilitasnya terhadap kesalahan data awal, kemampuan untuk meratakan kesalahan ini dan mencegah pengaruhnya yang berlebihan terhadap hasil eksperimen komputasi. Alasan rendahnya ketahanan MM mungkin karena perlunya analisis kuantitatif untuk mengurangi nilai perkiraan besaran yang berdekatan atau membaginya dengan nilai besaran kecil, serta penggunaan fungsi yang berubah dalam MM. dengan cepat dalam interval dimana nilai argumen diketahui dengan akurasi rendah. Terkadang keinginan untuk meningkatkan kelengkapan MM menyebabkan penurunan ketahanannya karena pengenalan parameter tambahan yang diketahui dengan akurasi rendah atau termasuk dalam hubungan yang terlalu mendekati.

Produktivitas MM dikaitkan dengan kemampuan untuk memiliki data awal yang cukup andal. Jika merupakan hasil pengukuran, maka keakuratan pengukurannya harus lebih tinggi dibandingkan parameter yang diperoleh dengan menggunakan MM. Jika tidak, MM akan menjadi tidak produktif dan penggunaannya untuk analisis TO tertentu menjadi tidak ada artinya. Ini hanya dapat digunakan untuk menilai karakteristik kelas peralatan tertentu dengan data awal hipotetis.

visibilitas MM adalah properti yang diinginkan, tetapi opsional. Namun demikian, penggunaan MM dan modifikasinya disederhanakan jika komponen-komponennya (misalnya, suku-suku persamaan tertentu) memiliki makna yang jelas dan bermakna. Hal ini biasanya memungkinkan untuk memprediksi secara kasar hasil eksperimen komputasi dan memfasilitasi kontrol atas kebenarannya.

Di masa depan, properti MM yang disebutkan di atas akan diilustrasikan dengan menggunakan contoh spesifik (lihat 3 dan 6).

2.4. Struktural dan fungsional

Berbagai ciri dan gejala model matematika(MM) menjadi dasar tipifikasi (atau klasifikasinya). Di antara fitur-fitur tersebut, sifat properti yang ditampilkan dibedakan objek teknis(TO), derajat kerinciannya, cara memperoleh dan menyajikan MM.

Salah satu ciri penting klasifikasi dikaitkan dengan refleksi ciri-ciri TO tertentu dalam MM. Jika MM menampilkan perangkat TO dan hubungan antar elemen penyusunnya, maka disebut model matematika struktural. Jika MM mencerminkan proses fisik, mekanik, kimia atau informasi yang terjadi di TO, maka MM diklasifikasikan sebagai model matematika fungsional. Jelas bahwa mungkin juga ada gabungan MM yang menggambarkan fungsi dan desain TO. Wajar jika menyebut MM seperti itu model matematika struktural dan fungsional.

MM struktural dibagi menjadi topologi Dan geometris membentuk dua tingkat hierarki MM tipe ini. Yang pertama mencerminkan komposisi TO dan hubungan antar elemennya. Dianjurkan untuk menggunakan MM topologi pada tahap awal mempelajari TO yang kompleks secara struktural, yang terdiri dari sejumlah besar elemen, terutama untuk memahami dan memperjelas hubungannya. MM seperti itu memiliki bentuk grafik, tabel, matriks, daftar, dll, dan konstruksinya biasanya didahului dengan pengembangan diagram struktur teknis.

MM geometris, selain informasi yang disajikan dalam MM topologi, berisi informasi tentang bentuk dan ukuran TO dan elemen-elemennya, serta posisi relatifnya. MM geometri biasanya mencakup himpunan persamaan garis dan permukaan serta hubungan aljabar yang menentukan afiliasi suatu wilayah ruang dengan badan TO atau elemen-elemennya. MM semacam itu kadang-kadang ditentukan oleh koordinat sekumpulan titik tertentu, yang darinya, melalui interpolasi, seseorang dapat membuat garis atau permukaan yang membatasi luas tersebut. Batas-batas suatu wilayah juga ditentukan secara kinematis: garis sebagai lintasan pergerakan suatu titik, dan permukaan sebagai akibat pergerakan garis tersebut. Bentuk dan ukuran suatu area dapat direpresentasikan dengan sekumpulan fragmen khas dengan konfigurasi yang cukup sederhana. Metode ini tipikal, misalnya, metode elemen hingga, yang banyak digunakan dalam pemodelan matematika.

MM Geometris digunakan dalam desain peralatan teknis, pengembangan dokumentasi teknis, dan proses teknologi untuk pembuatan suku cadang (misalnya, pada mesin dengan kontrol numerik).

MM fungsional terdiri dari hubungan yang menghubungkan variabel fase, itu. intern eksternal Dan parameter keluaran ITU. Fungsi TO yang kompleks seringkali hanya dapat dijelaskan dengan bantuan serangkaian reaksinya terhadap beberapa pengaruh masukan (sinyal) yang diketahui (atau diberikan). Jenis MM fungsional ini diklasifikasikan sebagai kotak hitam dan biasanya dipanggil model matematika simulasi, mengingat hanya meniru manifestasi eksternal dari berfungsinya TO, tanpa mengungkapkan atau menggambarkan esensi proses yang terjadi di dalamnya. Simulasi MM banyak digunakan dalam sibernetika teknis, bidang ilmiah yang mempelajari sistem kontrol untuk peralatan teknis yang kompleks.

Dari segi bentuk presentasi, simulasi MM adalah salah satu contohnya model matematika algoritmik, karena hubungan antara parameter eksternal dan keluaran TO hanya dapat digambarkan dalam bentuk algoritma yang cocok untuk diimplementasikan dalam bentuk program komputer. Atas dasar ini, kelas MM fungsional dan struktural yang lebih luas diklasifikasikan sebagai algoritmik. Jika hubungan antara parameter TO dapat dinyatakan dalam bentuk analitis, maka kita bicarakan model matematika analitis. Saat membangun hierarki MM untuk TO yang sama, mereka biasanya berusaha untuk memastikan bahwa versi MM yang disederhanakan (lihat 1.2) disajikan dalam bentuk analitis yang memungkinkan solusi tepat yang dapat digunakan untuk perbandingan ketika hasil pengujian diperoleh dengan menggunakan lebih banyak opsi MM yang lengkap dan karenanya lebih kompleks.

Jelas bahwa MM dari TO tertentu, dalam hal bentuk presentasinya, dapat mencakup fitur MM analitis dan algoritmik. Apalagi pada tahap penelitian kuantitatif, MM analitis yang agak rumit dan eksperimen komputasi atas dasar itu dikembangkan suatu algoritma yang diimplementasikan dalam bentuk program komputer, yaitu. dalam proses pemodelan matematika, MM analitik diubah menjadi MM algoritmik.

2.5. Teoritis dan empiris

Berdasarkan metode penerimaan model matematika(MM) dibagi teoretis Dan empiris. Yang pertama diperoleh sebagai hasil mempelajari sifat-sifatnya objek teknis(TO) dan proses-proses yang terjadi di dalamnya, dan yang terakhir merupakan hasil pengolahan hasil pengamatan manifestasi luar dari sifat-sifat dan proses-proses tersebut. Salah satu cara untuk membangun MM empiris adalah dengan melakukan studi eksperimental terkait pengukuran variabel fase ITU, dan selanjutnya generalisasi hasil pengukuran tersebut dalam bentuk algoritmik atau dalam bentuk ketergantungan analitis. Oleh karena itu, MM empiris dalam bentuk representasi dapat memuat ciri-ciri seperti algoritmik, jadi dan model matematika analitis. Dengan demikian, konstruksi MM empiris bermuara pada penyelesaian masalah identifikasi.

Ketika membangun MM teoretis, mereka pertama-tama berusaha menggunakan hukum dasar kekekalan zat seperti massa, muatan listrik, energi, momentum, dan momentum sudut yang diketahui. Selain itu, mereka menarik hubungan konstitutif(disebut juga persamaan keadaan), yang bisa dimainkan oleh apa yang disebut hukum fenomenologis(Misalnya, persamaan Clapeyron- Mendeleev negara gas sempurna, hukum Ohm tentang hubungan antara kuat arus pada suatu penghantar dengan jatuh tegangan listrik, hukum Hooke tentang hubungan antara deformasi dan tekanan mekanis pada bahan elastis linier, hukum Fourier tentang hubungan antara gradien suhu dalam suatu benda dan kerapatan fluks panas, dll.).

Kombinasi pertimbangan teoritis yang bersifat kualitatif dengan pengolahan hasil pengamatan manifestasi eksternal dari sifat-sifat TO yang dipelajari mengarah pada jenis MM campuran, yang disebut semi-empiris. Saat membangun MM seperti itu, prinsip dasar teori dimensi digunakan, termasuk apa yang disebut teorema P. (Teorema Pi*): jika antara P parameter yang mencirikan objek yang diteliti, terdapat ketergantungan yang mempunyai arti fisis, maka ketergantungan tersebut dapat direpresentasikan sebagai ketergantungan antara = P- Ke kombinasi tak berdimensinya, di mana Ke- jumlah unit pengukuran independen yang melaluinya dimensi parameter ini dapat dinyatakan. Di mana P menentukan jumlah kombinasi tak berdimensi yang independen (tidak dapat diungkapkan satu sama lain), biasanya disebut kriteria kesamaan.

Objek yang nilai kriteria kesamaannya sama dianggap serupa. Misalnya, segitiga apa pun secara unik ditentukan oleh panjang a, B dan dari sisinya, yaitu n= 3, a k= 1. Oleh karena itu, menurut teorema -, himpunan segitiga sebangun dapat ditentukan oleh nilainya = hal - k= 2 kriteria kesamaan. Sebagai kriteria tersebut, seseorang dapat memilih perbandingan panjang sisi yang tidak berdimensi: b /A Dan s/a atau dua hubungan independen lainnya. Karena sudut-sudut suatu segitiga mempunyai hubungan unik dengan perbandingan sisi-sisinya dan merupakan besaran tak berdimensi, maka himpunan segitiga-segitiga sebangun dapat ditentukan dengan persamaan dua sudut yang bersesuaian atau persamaan sudut dan perbandingan panjang sudut-sudut yang berdekatan. sisi. Semua opsi di atas sesuai dengan karakteristik kemiripan segitiga yang diketahui.

Agar berhasil menerapkan teorema P pada konstruksi model TO, diperlukan seperangkat parameter lengkap yang menggambarkan objek yang diteliti, dan pilihan parameter ini harus didasarkan pada analisis kualitatif yang beralasan terhadap properti dan fitur tersebut. TO, yang pengaruhnya signifikan dalam hal ini. Perhatikan bahwa analisis semacam itu diperlukan untuk metode apa pun dalam membangun MM, dan kami akan mengilustrasikan posisi ini dengan contoh.

Contoh 2.1. Mari kita pertimbangkan yang terkenal skema desain bandul matematis (Gbr. 2.1) berupa suatu titik material bermassa yang digantungkan pada sebuah batang tak berbobot yang panjangnya konstan, yang dapat berputar bebas terhadap sumbu horizontal yang melalui titik O. Penyimpangan bandul sebesar sudut dari posisi vertikalnya

kesetimbangan akan menyebabkan peningkatan energi potensial titik material sebesar dimana percepatan jatuh bebas. Jika, setelah dibelokkan, pendulum mulai bergerak, maka tanpa adanya hambatan, karena hukum kekekalan energi, pendulum akan melakukan osilasi yang tidak teredam relatif terhadap posisi setimbang (titik A pada Gambar. 2.1). Saat melewati posisi setimbang, kecepatannya ay titik material adalah yang terbesar nilai absolutnya, karena pada posisi ini energi kinetik titik tersebut sama dengan , jadi

Biarlah perlu untuk menginstal ketergantungan periode T osilasi pendulum (yaitu periode waktu terpendek setelah pendulum kembali ke suatu posisi tetap yang tidak bertepatan dengan posisi kesetimbangan) pada parameter (parameter ay harus dikecualikan dari pertimbangan, karena dapat dinyatakan melalui parameter di atas). Dimensi [.] dari empat parameter yang ditunjukkan dan periode T osilasi dapat dinyatakan melalui k = 3 satuan standar independen: [T] = s, [t] = kg, [aku]= nona, = 0 Dan [g] = m/s 2 . Oleh karena itu, berdasarkan teorema P dari P= 5 parameter, kombinasi tak berdimensi dapat dibuat, dan sudut, karena tak berdimensi, adalah salah satunya. Kombinasi tak berdimensi kedua tidak dapat mencakup massa M titik material, karena satuan massa (kg) hanya termasuk dalam dimensi massa. Oleh karena itu, nilainya M bukan merupakan argumen untuk ketergantungan yang diinginkan, yang dapat ditetapkan ketika membangun MM teoretis dari pendulum yang sedang dipertimbangkan (lihat contoh 5.12). Setelah mengecualikan parameter M kita punya n = 4 dan k = 2, yaitu lagi n = 2, begitu juga dengan parameter tak berdimensi sisanya

Contoh 2.3. Biarkan aliran fluida yang tidak dapat dimampatkan mengalir di sekitar benda padat stasioner dengan bentuk tertentu, yang memiliki ukuran karakteristik dan suhu konstan Ke (Gbr. 2.3). Kecepatan ay dan suhu Tf > Suhu cairan pada tingkat yang tinggi (dibandingkan dengan SAYA) jarak dari tubuh tetap konstan. Diperlukan untuk beberapa posisi tetap benda relatif terhadap arah vektor ay kecepatan, tentukan jumlah kalor Q yang dipindahkan per satuan waktu dari zat cair ke benda dan disebut aliran panas.

Proses perpindahan panas terlokalisasi di permukaan tubuh dan tidak hanya bergantung pada parameter yang tercantum, tetapi juga pada kapasitas panas volumetrik. Dengan dan koefisien konduktivitas termal cairan, karena parameter ini mencirikan kemampuan cairan untuk memasok energi panas dan mentransfernya ke permukaan tubuh. Pasokan energi panas ke suatu benda juga bergantung pada distribusi kecepatan fluida di permukaannya. Dalam kasus fluida ideal (tidak kental), hal ini secara unik ditentukan oleh posisi tetap benda relatif terhadap vektor v, dan untuk fluida kental juga bergantung pada hubungan antara gaya viskositas dan inersia, yang ditandai dengan dengan koefisien viskositas , ditelepon kinematis dan diukur dalam m 2 /s.

Dengan nilai Tf dan To yang relatif dekat, wajar jika diasumsikan bahwa aliran panas tidak bergantung pada masing-masing suhu tersebut, tetapi pada perbedaannya. Kemudian dalam kasus fluida ideal yang kita miliki n = 6 parameter dimensi, yang dimensinya dapat dinyatakan melalui k = 4 satuan standar independen: [l] = m, [v] = MS,

K, [Q]=J/s=W=n m/s, [c]=J/(m 3 K)=kg/(m s 2 K), =W/(m K)=kg m/( dengan 3 K), dimana J (joule) dan W (watt) masing-masing merupakan satuan energi (usaha) dan daya, dan K (kelvin) adalah satuan suhu pada skala absolut. Berdasarkan teorema P, parameter ini hanya dapat dibuat p = p - k = 2 kombinasi bebas berdimensi, misalnya dan . Akibatnya, kita sampai pada ketergantungan fungsional

didirikan pada tahun 1915 oleh J.W. penyangga.

Sikap q = Q/S disebut rata-rata di seluruh area S permukaan tubuh kepadatan fluks panas dan diukur dalam W/m2. Karena untuk benda yang serupa secara geometris , maka (2.7) dapat direpresentasikan dalam bentuk

dimana Ki adalah kriteria termal Kirpichev dan Pe adalah kriteria Peclet. Intensitas perpindahan panas pada permukaan suatu benda biasanya bercirikan rata-rata koefisien perpindahan panas - , diukur dalam W/(m 2 K). Maka alih-alih (2.8) kita dapatkan

dimana Nu adalah kriteria Nusselt (angka). Bentuk fungsi pada (2.7)-(2.9) tidak dapat ditentukan dalam kerangka teori dimensi dan harus ditentukan dengan memproses hasil eksperimen, meskipun dalam beberapa kasus sederhana dimungkinkan untuk membangun MM teoretis dari proses perpindahan panas.

Dalam kasus cairan kental yang kita miliki n = 7 parameter dimensi, yang dimensinya masih dapat dinyatakan melalui k = 4 unit pengukuran independen, mis. jumlah kombinasi bebas berdimensi sama dengan . Untuk yang dibahas di atas, Anda harus menambahkan kombinasi tak berdimensi apa pun yang menyertakan parameter baru Dan. Kombinasi ini dapat dipilih, misalnya sebagai atau . Dalam kasus pertama, ini disebut Kriteria Reynolds (angka) dan menunjukkan Re = , dan yang kedua - Kriteria Prandtl (angka) dan menunjukkan Pr = . Kriteria Prandtl hanya mencirikan sifat-sifat fluida, dan kriteria Reynolds mencirikan hubungan antara gaya inersia dan gaya gesekan viskos. Hasilnya, alih-alih (2.9), kita mendapatkan

Karena Pe = RePr, dalam kasus fluida kental kriteria Nusselt dapat direpresentasikan sebagai fungsi dari dua dari tiga argumen Pe, Re, Pr.

Jelas bahwa dengan adanya tiga atau lebih kombinasi parameter tak berdimensi, konstruksi MM semi-empiris menjadi jauh lebih rumit. Dalam hal ini, apa yang disebut kriteria tertentu biasanya diisolasi (dalam contoh 2.3 adalah Ki atau Nu), dan kriteria lainnya diklasifikasikan sebagai kriteria penentu dan beberapa rangkaian pengukuran eksperimental dilakukan untuk menetapkan ketergantungan fungsional dari kriteria yang ditentukan. pada dua atau lebih yang menentukan, dianggap sebagai argumen dari fungsi yang diinginkan ( dalam (2.10) ini adalah fungsinya ). Dalam setiap rangkaian pengukuran, parameter dimensi diubah sedemikian rupa sehingga nilai hanya salah satu kriteria penentu yang berubah. Kemudian pemrosesan hasil serangkaian pengukuran tersebut memungkinkan untuk mengidentifikasi ketergantungan fungsional kriteria yang ditentukan pada salah satu argumen dengan nilai tetap dari argumen lainnya. Akibatnya, dalam kisaran perubahan nilai kriteria penentu tertentu, dimungkinkan untuk membangun fungsi yang diinginkan dengan tingkat perkiraan tertentu, yaitu. memecahkan masalah mengidentifikasi MM semi-empiris.

Perhatikan bahwa penerapan teorema pada MM analitik, yang disajikan dalam bentuk persamaan, memungkinkan kita untuk mereduksinya menjadi bentuk tak berdimensi dan mengurangi jumlah parameter yang menjadi ciri TM yang diteliti. Hal ini menyederhanakan analisis kualitatif dan memungkinkan kita menilai pengaruh masing-masing faktor bahkan sebelum melakukan analisis kuantitatif (lihat D.2.2). Selain itu, bentuk MM yang tidak berdimensi memungkinkan penyajian hasil analisis kuantitatifnya dalam bentuk yang lebih ringkas.

2.6. Fitur model fungsional

Salah satu ciri khasnya model matematika fungsional(MM) adalah ada tidaknya variabel acak di antara parameternya. Dengan adanya besaran seperti itu, MM disebut stokastik, dan saat mereka tidak ada - deterministik.

Tidak semua parameter itu nyata objek teknis(TO) dapat dicirikan oleh nilai-nilai yang terdefinisi dengan baik. Oleh karena itu, MM dari TO tersebut, sebenarnya, harus diklasifikasikan sebagai stokastik. Misalnya jika barang yang diteliti adalah produk yang diproduksi secara massal dan sejenisnya parameter internal dapat mengambil nilai acak dalam toleransi yang ditetapkan relatif terhadap nilai nominal parameter keluaran MAKA akan menjadi variabel acak. Nilai juga bisa acak parameter eksternal ketika TO terkena faktor-faktor seperti hembusan angin, denyut turbulen, sinyal dengan latar belakang kebisingan, dll.

Untuk menganalisis MM stokastik perlu menggunakan metode teori probabilitas, proses acak dan statistik matematika. Namun, kesulitan utama dalam penggunaannya biasanya dikaitkan dengan fakta bahwa karakteristik probabilistik dari variabel acak (ekspektasi matematis, varians, hukum distribusi) seringkali tidak diketahui atau diketahui dengan akurasi yang rendah, yaitu. MM tidak memenuhi persyaratan tentang Produktivitas MM. Dalam kasus seperti itu, akan lebih efektif menggunakan MM yang lebih kasar daripada MM stokastik, tetapi juga lebih tahan terhadap tidak dapat diandalkannya data awal, yaitu. lebih memenuhi kebutuhan ketahanan.

Fitur penting dari klasifikasi MM adalah kemampuannya untuk menggambarkan perubahan parameter TO dari waktu ke waktu. MM pertukaran panas suatu benda dengan lingkungan, yang dibahas dalam contoh 2.4, memperhitungkan perubahan tersebut, dan diklasifikasikan sebagai non-stasioner(atau evolusioner) model matematika. Jika MM mencerminkan pengaruh sifat inersia TO, maka biasa disebut dinamis. Sebaliknya, MM, yang tidak memperhitungkan perubahan waktu parameter TO, disebut statis. MM yang dipertimbangkan dalam contoh 2.2 dan 2.3 bersifat statis. Meskipun pergerakan aliran udara dan cairan mengalir di sekitar profil sayap dan badan yang dipanaskan, semua parameter yang mencirikan proses ini tetap konstan seiring waktu.

Jika perubahan parameter TO terjadi begitu lambat sehingga pada titik waktu yang dianggap tetap, perubahan ini dapat diabaikan, maka kita berbicara tentang model matematika kuasi-statis. Misalnya, dalam proses mekanis yang terjadi perlahan, gaya inersia dapat diabaikan, dengan laju perubahan suhu yang rendah - inersia termal benda, dan dengan perubahan kuat arus yang perlahan dalam rangkaian listrik - induktansi elemen rangkaian ini . Model matematika stasioner menggambarkan pemeliharaan di mana yang disebut proses yang telah ditetapkan, itu. proses di mana parameter keluaran yang kita minati adalah konstan sepanjang waktu. Yang sudah mapan antara lain proses berkala, dimana beberapa parameter keluaran tetap tidak berubah, sementara parameter lainnya mengalami fluktuasi. Misalnya, MM pendulum matematika (lihat contoh 2.1) adalah stasioner terhadap waktu-independen periode Dan setengah rentang osilasi, meskipun suatu titik material bergerak terhadap waktu relatif terhadap posisi keseimbangannya.

Jika parameter keluaran TO yang kita minati berubah secara perlahan dan pada titik waktu tertentu yang dipertimbangkan, perubahan tersebut dapat diabaikan, maka kita menyebutnya sebagai model matematika kuasi-stasioner. Saat mendeskripsikan beberapa proses, MM nonstasioner dapat diubah menjadi MM kuasi-stasioner dengan pilihan sistem koordinat yang tepat. Misalnya, dalam pengelasan busur listrik, medan suhu pada lembaran baja yang dilas di sekitar elektroda yang bergerak dengan kecepatan konstan dalam sistem koordinat stasioner dijelaskan oleh MM non-stasioner, dan dalam sistem koordinat bergerak yang terkait dengan elektroda, dengan MM kuasi-stasioner.

Properti penting MM dari sudut pandang analisis selanjutnya adalah linearitasnya. DI DALAM Kemudian parameternya dihubungkan dengan hubungan linier. Ini berarti bahwa ketika parameter TO eksternal (atau internal) berubah, MM linier memprediksi perubahan linier pada parameter keluaran yang bergantung padanya, dan ketika dua atau lebih parameter berubah, pengaruhnya akan bertambah, yaitu. MM seperti itu memiliki properti superposisi(dari kata Latin superpositio - pengenaan). Jika MM tidak mempunyai sifat superposisi, maka disebut nonlinier.

Sejumlah besar metode matematika telah dikembangkan untuk analisis kuantitatif MM linier, sedangkan kemampuan menganalisis MM nonlinier terutama dikaitkan dengan metode matematika komputasi. Agar metode analisis dapat digunakan untuk mempelajari MM nonlinier TO, biasanya dilinearisasi, yaitu. hubungan nonlinier antar parameter digantikan oleh hubungan linier perkiraan dan yang disebut model matematika yang dilinearisasi TO yang dipertimbangkan. Karena linearisasi dikaitkan dengan munculnya kesalahan tambahan, hasil analisis model yang dilinearisasi harus diperlakukan dengan hati-hati. Faktanya adalah bahwa linearisasi MM dapat menyebabkan hilangnya atau distorsi signifikan dari sifat-sifat TO yang sebenarnya. Mempertimbangkan efek nonlinier dalam MM sangat penting, misalnya, ketika menggambarkan perubahan bentuk pergerakan atau posisi keseimbangan kendaraan, ketika perubahan kecil pada parameter eksternal dapat menyebabkan perubahan kualitatif pada kondisinya.

Setiap parameter TO dapat terdiri dari dua jenis - terus berubah dalam rentang nilainya tertentu atau hanya mengambil beberapa nilai diskrit. Situasi perantara juga mungkin terjadi, ketika di satu area suatu parameter mengambil semua nilai yang mungkin, dan di area lain - hanya nilai diskrit. Dalam hal ini, mereka menyoroti kontinu, diskrit Dan model matematika campuran. Dalam proses analisis, MM jenis ini dapat diubah satu sama lain, namun selama transformasi tersebut pemenuhan persyaratan harus dipantau kecukupan MM TO yang dimaksud.

2.7. Hirarki model matematika dan bentuk representasinya

Ketika pemodelan matematika cukup kompleks objek teknis(LALU) gambarkan perilakunya dengan seseorang model matematika(MM), biasanya, gagal, dan jika MM seperti itu dibangun, maka akan menjadi terlalu rumit untuk analisis kuantitatif. Oleh karena itu, TO seperti itu biasanya diterapkan prinsip dekomposisi. Ini terdiri dari pembagian TO yang bersyarat menjadi blok dan elemen terpisah yang lebih sederhana yang memungkinkan studi independennya dengan pertimbangan selanjutnya tentang pengaruh timbal balik dari blok dan elemen satu sama lain. Pada gilirannya, prinsip dekomposisi dapat diterapkan pada setiap blok yang dipilih hingga ke tingkat elemen yang cukup sederhana. Dalam hal ini timbullah hierarki MM blok dan elemen yang saling berhubungan.

Tingkat hierarki juga dibedakan untuk masing-masing jenis MM. Misalnya saja di antara model matematika struktural TO diklasifikasikan pada tingkat hierarki yang lebih tinggi model matematika topologi, dan ke tingkat yang lebih rendah, ditandai dengan pemeliharaan yang lebih rinci, - model matematika geometris.

Di antara model matematika fungsional tingkat hierarki mencerminkan tingkat detail dalam deskripsi proses yang terjadi pada peralatan teknis, blok atau elemennya. Dari sudut pandang ini, tiga level utama biasanya dibedakan: level mikro, makro, dan meta.

Model matematika tingkat mikro menggambarkan proses dalam sistem dengan parameter terdistribusi (in sistem kontinum), A model matematika tingkat makro- dalam sistem dengan parameter yang disamakan (in sistem diskrit). Yang pertama variabel fase dapat bergantung pada waktu dan koordinat spasial, dan kedua - hanya pada waktu.

Jika dalam MM tingkat makro jumlah variabel fase berada di urutan 10 4 -10 5 , maka analisis kuantitatif MM tersebut menjadi rumit dan memerlukan sumber daya komputasi yang signifikan. Selain itu, dengan banyaknya variabel fase, sulit untuk mengidentifikasi karakteristik esensial TO dan ciri-ciri perilakunya. Dalam hal ini, dengan menggabungkan dan memperbesar elemen pemeliharaan yang kompleks, mereka berusaha untuk mengurangi jumlah variabel fase dengan mengecualikan dari pertimbangan parameter internal unsur-unsur, hanya sebatas uraian tentang hubungan timbal balik antar unsur-unsur yang diperbesar. Pendekatan ini khas untuk model matematika tingkat meta.

MM tingkat meta biasanya disebut sebagai tingkat hierarki tertinggi, MM tingkat makro sebagai tingkat menengah, dan MM tingkat mikro sebagai tingkat terendah. Bentuk presentasi yang paling umum model matematika dinamis (evolusioner). tingkat mikro adalah rumusan masalah nilai batas persamaan diferensial fisika matematika. Rumusan ini mencakup persamaan diferensial parsial dan syarat batas. Pada gilirannya, kondisi batas berisi kondisi awal - distribusi variabel fase yang diinginkan pada suatu titik waktu, diambil sebagai awal, dalam wilayah spasial, yang konfigurasinya sesuai dengan TO yang dipertimbangkan atau elemennya - dan kondisi batas di batas wilayah ini. Saat merepresentasikan MM, disarankan untuk menggunakan variabel tak berdimensi (independen dan dicari) dan koefisien persamaan, sehingga mengurangi jumlah parameter yang menjadi ciri TO yang dipertimbangkan (lihat D.2.2).

MM tingkat mikro disebut satu dimensi, dua dimensi atau tiga dimensi, jika variabel fase yang diperlukan masing-masing bergantung pada satu, dua atau tiga koordinat spasial. Dua jenis MM terakhir digabungkan menjadi model matematika multidimensi pada tingkat mikro. MM tingkat mikro satu dimensi, di mana variabel fase tidak bergantung pada waktu, direpresentasikan sebagai sistem ODE dengan kondisi batas tertentu (dalam kasus paling sederhana dari variabel satu fase, MM tersebut hanya mencakup satu ODE dan batas kondisi).

Karena masalah nilai batas yang berisi persamaan diferensial parsial dan syarat batas dapat dikaitkan dengan rumusan integral, MM tingkat mikro juga dapat direpresentasikan dalam bentuk integral. Dalam kondisi tertentu, masalah nilai batas bentuk integral dapat direduksi menjadi rumusan variasional dalam bentuk fungsional, yang dapat dipertimbangkan pada himpunan fungsi tertentu yang memuat fungsi yang diinginkan. Dalam hal ini yang mereka bicarakan bentuk variasi model level mikro. Fungsi yang dicari mengubah variasi fungsi menjadi nol, yaitu. adalah miliknya titik stasioner.

Konstruksi bentuk variasi fungsional dan sesuai dari model tingkat mikro biasanya didasarkan pada beberapa prinsip variasi mekanika atau elektrodinamika medium kontinu yang bermakna dari sudut pandang fisik (misalnya, pada prinsip minimum). energi potensial suatu sistem kontinum pada posisi setimbang atau berdasarkan prinsip waktu tempuh minimum berkas cahaya antara dua titik lingkungan yang heterogen secara optis). Dalam hal ini, titik stasioner suatu fungsi sesuai dengan nilai ekstremnya (khususnya, minimum) pada himpunan fungsi yang diizinkan. Bentuk model tingkat mikro ini disebut variasi ekstrim, memungkinkan, dengan membandingkan nilai-nilai fungsi pada dua fungsi mana pun dari himpunan yang diizinkan, untuk mengevaluasi secara integral kedekatan fungsi-fungsi ini dengan fungsi yang diinginkan. Properti bentuk variasi ekstrem model ini penting dalam analisis kualitatif MM dan ketika membandingkan berbagai solusi perkiraan dari masalah nilai batas yang sesuai*.

Jika batasan tertentu terpenuhi, konstruksi dapat dilakukan bentuk variasi ganda dari model tingkat mikro, termasuk sepasang fungsi yang mencapai nilai ekstrim alternatif yang sama (minimum dan maksimum) pada titik stasioner yang sama. Bentuk MM ini memungkinkan, berdasarkan perbedaan nilai Fungsional ini, yang dihitung pada beberapa fungsi dari himpunan yang diizinkan, untuk mengukur kesalahan yang timbul ketika memilih fungsi ini sebagai fungsi yang diinginkan.

Bentuk utama MM tingkat makro dinamis (evolusioner) adalah ODE atau sistemnya bersama dengan kondisi awal tertentu. Variabel bebas dalam MM tersebut adalah waktu, dan variabel yang dicari adalah variabel fase yang mencirikan keadaan pemeliharaan (misalnya, perpindahan, kecepatan dan percepatan elemen perangkat mekanis, serta gaya dan momen yang diterapkan pada elemen tersebut; tekanan dan laju aliran cairan atau gas dalam pipa; tegangan dan kekuatan arus pada sirkuit listrik, dll.). Dalam beberapa kasus, MM tingkat makro dapat direpresentasikan dalam bentuk integral menggunakan Prinsip Hamilton- Ostrogradsky atau variasi ekstrem Prinsip Hamilton.

Jika evolusi TO ditentukan oleh keadaannya tidak hanya pada momen waktu t saat ini, tetapi juga pada momen sebelumnya t - τ, maka MM tingkat makro menyertakan ODE formulir

relatif terhadap fungsi yang diinginkan kamu(t). ODE semacam itu masing-masing disebut persamaan tipe terbelakang dan netral, dan diklasifikasikan sebagai persamaan fungsional diferensial*(DFU) (atau persamaan diferensial dengan argumen menyimpang). DFU dan sistemnya paling banyak terwakili dalam sistem kontrol dan regulasi otomatis MM. Selain itu, DFU dapat diterapkan dalam model proses biologis dan ekonomi.

Keterlambatan respon suatu TO terhadap perubahan keadaannya dapat ditentukan oleh lebih dari satu selang waktu. Kemudian DFU akan mencakup bukan hanya satu, tapi beberapa penundaan yang terpisah. Dalam kasus yang lebih umum, penundaan dapat berlangsung terus-menerus, yang, misalnya, menyebabkan model matematika linier ke persamaan integro-diferensial(IMU) tipe

Fungsi yang ditentukan K(t,r) disebut inti dari IMU ini, dan TO yang dianggap memiliki memori, karena evolusinya bergantung pada seluruh sejarah perubahan keadaan TO.

DI DALAM model matematika statis tingkat makro tidak termasuk waktu. Oleh karena itu, ini hanya mencakup persamaan berhingga (umumnya nonlinier) atau sistem persamaan tersebut (khususnya, sistem persamaan aljabar linier - SLAE). Mereka mempunyai penampilan yang sama kuasi-statis, stasioner Dan model matematika kuasi-stasioner level makro.

Jika untuk TO yang dimaksud adalah mungkin untuk mengidentifikasi beberapa properti penting atau kombinasi dari properti tersebut yang dapat diukur (keandalan, daya tahan, berat, biaya, salah satu faktor penentu kualitas TO) parameter keluaran) dan membangun hubungannya dengan variabel fase menggunakan fungsi nyata, maka kita dapat berbicara tentang optimasi TO sesuai dengan kriteria yang dinyatakan oleh fungsi ini. Ini disebut fungsi tujuan, karena nilainya mencirikan ukuran (atau derajat) pencapaian tujuan tertentu untuk meningkatkan pemeliharaan sesuai dengan kriteria yang dipilih.

Karena terbatasnya ketersediaan sumber daya dalam situasi nyata, hanya nilai ekstrem dari fungsi tujuan yang dicapai di wilayah kemungkinan perubahan variabel fase TO, biasanya dibatasi oleh sistem ketidaksetaraan, yang masuk akal. Pertidaksamaan tersebut, bersama dengan fungsi tujuan dan MM statis TO dalam bentuk Persamaan nonlinier berhingga atau sistem persamaan tersebut, termasuk dalam rumusan matematis masalah optimasi TO menurut kriteria yang dipilih, yang disebut (dalam kasus umum) masalah pemrograman nonlinier. Dalam kasus khusus model matematika linier TO dalam bentuk SLAE, fungsi tujuan linier, dan pertidaksamaan menunjukkan masalah pemrograman linier. Masalah-masalah seperti itu biasanya didekati ketika mempertimbangkan masalah-masalah yang bersifat teknis dan ekonomis. Masalah optimasi pemeliharaan yang dijelaskan oleh MM tingkat makro dinamis (evolusioner) diklasifikasikan sebagai kelas masalah kontrol optimal.

MM tingkat meta dicirikan oleh jenis persamaan yang sama dengan MM tingkat makro, tetapi persamaan ini mencakup variabel fase yang menggambarkan keadaan elemen yang diperbesar dari sistem teknis yang kompleks. Jika hukum transisi berkelanjutan TO dari satu keadaan ke keadaan lain ditentukan, maka untuk analisis MM tingkat meta, peralatan fungsi transfer* sering digunakan, dan ketika mempertimbangkan keadaan TO pada saat-saat diskrit, ODE dan sistemnya berubah menjadi persamaan perbedaan sehubungan dengan nilai variabel fase pada saat-saat tertentu. Dalam kasus himpunan status TO diskrit, peralatan logika matematika dan mesin negara yang terbatas.