Matriks menggunakan rumus Cramer. Persamaan linear

Dengan jumlah persamaan yang sama dengan jumlah yang tidak diketahui dengan determinan utama matriks, yang tidak sama dengan nol, koefisien sistem (untuk persamaan tersebut ada solusinya dan hanya ada satu).

teorema Cramer.

Jika determinan matriks suatu sistem persegi bukan nol, berarti sistem tersebut konsisten dan mempunyai satu penyelesaian dan dapat dicari dengan cara rumus Cramer:

dimana Δ - determinan matriks sistem,

Δ Saya adalah determinan dari matriks sistem, dimana sebagai gantinya Saya Kolom ke-th berisi kolom sisi kanan.

Jika determinan suatu sistem bernilai nol berarti sistem tersebut dapat menjadi kooperatif atau tidak kompatibel.

Metode ini biasanya digunakan untuk sistem kecil dengan perhitungan ekstensif dan jika diperlukan untuk menentukan salah satu hal yang tidak diketahui. Kompleksitas metode ini adalah banyak determinan yang perlu dihitung.

Deskripsi metode Cramer.

Ada sistem persamaan:

Sistem 3 persamaan dapat diselesaikan dengan menggunakan metode Cramer yang telah dibahas di atas untuk sistem 2 persamaan.

Kami menyusun determinan dari koefisien yang tidak diketahui:

Boleh jadi penentu sistem. Kapan D≠0, yang berarti sistemnya konsisten. Sekarang mari kita buat 3 determinan tambahan:

Kami memecahkan sistem dengan rumus Cramer:

Contoh penyelesaian sistem persamaan menggunakan metode Cramer.

Contoh 1.

Sistem yang diberikan:

Mari kita selesaikan menggunakan metode Cramer.

Pertama, Anda perlu menghitung determinan matriks sistem:

Karena Δ≠0, artinya dari teorema Cramer sistem konsisten dan mempunyai satu solusi. Kami menghitung determinan tambahan. Penentu Δ 1 diperoleh dari determinan Δ dengan mengganti kolom pertamanya dengan kolom koefisien bebas. Kita mendapatkan:

Dengan cara yang sama, kita memperoleh determinan Δ 2 dari determinan matriks sistem dengan mengganti kolom kedua dengan kolom koefisien bebas:

Untuk menguasai paragraf ini, Anda harus mampu mengungkap determinan “dua per dua” dan “tiga per tiga”. Jika Anda buruk dengan kualifikasi, silakan pelajari pelajarannya Bagaimana cara menghitung determinannya?

Pertama kita akan melihat secara detail aturan Cramer untuk sistem dua persamaan linear dengan dua hal yang tidak diketahui. Untuk apa? - Lagipula sistem yang paling sederhana dapat diselesaikan dengan menggunakan metode sekolah, metode penjumlahan suku demi suku!

Faktanya adalah, meskipun terkadang, tugas seperti itu muncul - untuk menyelesaikan sistem dua persamaan linier dengan dua persamaan yang tidak diketahui menggunakan rumus Cramer. Kedua, contoh yang lebih sederhana akan membantu Anda memahami cara menggunakan aturan Cramer secara lebih mendalam kasus yang kompleks– sistem tiga persamaan dengan tiga hal yang tidak diketahui.

Selain itu, ada sistem persamaan linear dengan dua variabel, yang disarankan untuk diselesaikan menggunakan aturan Cramer!

Pertimbangkan sistem persamaan

Pada langkah pertama kita menghitung determinannya, disebut penentu utama sistem.

metode Gauss.

Jika , maka sistem mempunyai solusi unik, dan untuk mencari akar-akarnya kita harus menghitung dua determinan lagi:
Dan

Dalam prakteknya, kualifikasi di atas juga dapat dilambangkan dengan huruf latin.

Kami menemukan akar persamaan menggunakan rumus:
,

Contoh 7

Memecahkan sistem persamaan linear

Larutan: Kita lihat koefisien persamaannya cukup besar, di sebelah kanannya ada desimal dengan koma. Koma adalah tamu yang jarang ditemui tugas-tugas praktis dalam matematika, sistem ini saya ambil dari soal ekonometrik.

Bagaimana cara mengatasi sistem seperti itu? Anda dapat mencoba menyatakan satu variabel dalam variabel lain, tetapi dalam kasus ini Anda mungkin akan mendapatkan pecahan mewah yang sangat merepotkan untuk dikerjakan, dan desain solusinya akan terlihat sangat buruk. Anda dapat mengalikan persamaan kedua dengan 6 dan mengurangkan suku demi suku, tetapi pecahan yang sama juga akan muncul di sini.

Apa yang harus dilakukan? Dalam kasus seperti itu, formula Cramer dapat membantu.

;

Menjawab: ,

Kedua akar mempunyai ekor yang tak terhingga dan ditemukan kira-kira, yang cukup dapat diterima (dan bahkan lumrah) untuk permasalahan ekonometrik.

Komentar tidak diperlukan di sini, karena tugas diselesaikan menggunakan rumus yang sudah jadi, namun ada satu peringatan. Saat menggunakan metode ini, wajib Bagian dari desain tugas adalah bagian berikut: “Ini berarti sistem memiliki solusi unik”. Jika tidak, pengulas dapat menghukum Anda karena tidak menghormati teorema Cramer.

Tidaklah berlebihan untuk memeriksa, yang dapat dilakukan dengan mudah menggunakan kalkulator: kita substitusikan nilai perkiraan ke sisi kiri setiap persamaan sistem. Hasilnya, dengan kesalahan kecil, Anda akan mendapatkan angka yang berada di sisi kanan.

Contoh 8

Sajikan jawabannya dalam pecahan biasa biasa. Lakukan pemeriksaan.

Ini adalah contoh untuk keputusan independen(contoh penyelesaian dan jawaban di akhir pelajaran).

Mari kita lanjutkan dengan mempertimbangkan aturan Cramer untuk sistem tiga persamaan dengan tiga hal yang tidak diketahui:

Kami menemukan determinan utama sistem:

Jika , maka sistem mempunyai solusi yang tak terhingga banyaknya atau tidak konsisten (tidak mempunyai solusi). Dalam hal ini, aturan Cramer tidak akan membantu, Anda perlu menggunakan metode Gauss.

Jika , maka sistem mempunyai solusi unik dan untuk mencari akar-akarnya kita harus menghitung tiga determinan lagi:
, ,

Dan terakhir jawabannya dihitung dengan menggunakan rumus:

Seperti yang Anda lihat, kasus “tiga per tiga” pada dasarnya tidak berbeda dengan kasus “dua per dua”, kolom suku bebas secara berurutan “berjalan” dari kiri ke kanan sepanjang kolom determinan utama.

Contoh 9

Selesaikan sistem menggunakan rumus Cramer.

Larutan: Mari selesaikan sistem menggunakan rumus Cramer.

, yang berarti sistem memiliki solusi unik.

Menjawab: .

Sebenarnya di sini sekali lagi tidak ada yang istimewa untuk dikomentari, karena solusinya mengikuti rumus yang sudah jadi. Tapi ada beberapa komentar.

Kebetulan sebagai hasil perhitungan, diperoleh pecahan tak tereduksi yang “buruk”, misalnya: .
Saya merekomendasikan algoritma “perawatan” berikut. Jika Anda tidak memiliki komputer, lakukan ini:

1) Mungkin ada kesalahan dalam perhitungan. Begitu Anda menemukan pecahan yang “buruk”, Anda perlu segera memeriksanya Apakah kondisinya ditulis ulang dengan benar?. Jika kondisi ditulis ulang tanpa kesalahan, maka Anda perlu menghitung ulang determinannya menggunakan ekspansi pada baris (kolom) lain.

2) Jika tidak ada kesalahan yang teridentifikasi dari hasil pengecekan, maka kemungkinan besar terjadi kesalahan ketik pada kondisi tugas. Dalam hal ini, kerjakan tugas itu dengan tenang dan TELITI sampai akhir, lalu pastikan untuk memeriksa dan kami mencatatkannya dengan clean sheet setelah keputusan itu. Tentu saja, memeriksa jawaban pecahan adalah tugas yang tidak menyenangkan, tetapi itu akan menjadi argumen yang melemahkan bagi guru, yang sangat suka memberi nilai minus untuk omong kosong seperti itu. Cara menangani pecahan dijelaskan secara rinci pada jawaban Contoh 8.

Jika Anda memiliki komputer, gunakan program otomatis untuk memeriksanya, yang dapat diunduh secara gratis di awal pelajaran. Ngomong-ngomong, yang paling menguntungkan adalah menggunakan program ini segera (bahkan sebelum memulai solusi); Anda akan segera melihat langkah peralihan di mana Anda melakukan kesalahan! Kalkulator yang sama secara otomatis menghitung solusi sistem menggunakan metode matriks.

Komentar kedua. Dari waktu ke waktu ada sistem yang persamaannya tidak memiliki beberapa variabel, misalnya:

Di sini, di persamaan pertama tidak ada variabel, di persamaan kedua tidak ada variabel. Dalam kasus seperti itu, sangat penting untuk menuliskan determinan utama dengan benar dan hati-hati:
– angka nol ditempatkan sebagai pengganti variabel yang hilang.
Omong-omong, adalah rasional untuk membuka determinan dengan nol sesuai dengan baris (kolom) di mana nol berada, karena perhitungannya jauh lebih sedikit.

Contoh 10

Selesaikan sistem menggunakan rumus Cramer.

Ini adalah contoh solusi mandiri (contoh desain akhir dan jawaban di akhir pelajaran).

Untuk kasus sistem 4 persamaan dengan 4 hal yang tidak diketahui, rumus Cramer ditulis berdasarkan prinsip yang sama. Anda dapat melihat contoh langsungnya pada pelajaran Sifat-sifat Penentu. Mengurangi orde determinan - lima determinan orde 4 cukup dapat dipecahkan. Meskipun tugas tersebut sudah sangat mengingatkan pada sepatu seorang profesor di dada seorang mahasiswa yang beruntung.

Menyelesaikan sistem menggunakan matriks invers

metode matriks terbalik- ini pada dasarnya adalah kasus khusus persamaan matriks(Lihat Contoh No. 3 dari pelajaran yang ditentukan).

Untuk mempelajari bagian ini, Anda harus mampu memperluas determinan, mencari invers suatu matriks, dan melakukan perkalian matriks. Tautan yang relevan akan diberikan seiring kemajuan penjelasan.

Contoh 11

Selesaikan sistem menggunakan metode matriks

Larutan: Mari kita tulis sistemnya dalam bentuk matriks:
, Di mana

Silakan lihat sistem persamaan dan matriks. Saya rasa semua orang memahami prinsip yang digunakan untuk menulis elemen ke dalam matriks. Satu-satunya komentar: jika beberapa variabel hilang dari persamaan, maka angka nol harus ditempatkan di tempat yang sesuai dalam matriks.

Kita mencari matriks inversnya menggunakan rumus:
, di mana adalah matriks yang ditransposisikan dari komplemen aljabar dari elemen-elemen matriks yang bersesuaian.

Pertama, mari kita lihat determinannya:

Di sini determinannya diperluas pada baris pertama.

Perhatian! Jika , maka matriks inversnya tidak ada, dan tidak mungkin menyelesaikan sistem menggunakan metode matriks. Dalam hal ini, sistem diselesaikan dengan metode menghilangkan yang tidak diketahui (metode Gauss).

Sekarang kita perlu menghitung 9 minor dan menuliskannya ke dalam matriks minor

Referensi: Penting untuk mengetahui arti subskrip ganda dalam aljabar linier. Digit pertama adalah nomor garis tempat elemen tersebut berada. Digit kedua adalah nomor kolom tempat elemen berada:

Artinya, subskrip ganda menunjukkan bahwa elemen tersebut berada pada baris pertama, kolom ketiga, dan, misalnya, elemen tersebut berada pada baris ke-3, kolom ke-2.

Selama penyelesaiannya, lebih baik menjelaskan perhitungan anak di bawah umur secara rinci, meskipun dengan beberapa pengalaman Anda bisa terbiasa menghitungnya dengan kesalahan secara lisan.

Misalkan sistem persamaan linier memuat persamaan sebanyak jumlah variabel bebas, yaitu. seperti

Sistem persamaan linear seperti ini disebut kuadrat. Penentu yang terdiri dari koefisien variabel bebas sistem (1,5) disebut determinan utama sistem. Kami akan melambangkannya dengan huruf Yunani D. Jadi,

. (1.6)

Jika determinan utama mengandung sembarang ( J th) kolom, ganti dengan kolom ketentuan bebas sistem (1.5), maka Anda bisa mendapatkan N kualifikasi tambahan:

(J = 1, 2, …, N). (1.7)

Aturan Cramer penyelesaian sistem kuadrat persamaan linear adalah sebagai berikut. Jika determinan utama D sistem (1.5) berbeda dari nol, maka sistem tersebut mempunyai solusi unik, yang dapat dicari dengan menggunakan rumus:

(1.8)

Contoh 1.5. Selesaikan sistem persamaan menggunakan metode Cramer

Mari kita hitung determinan utama sistem:

Sejak D¹0, sistem memiliki solusi unik, yang dapat dicari menggunakan rumus (1.8):

Dengan demikian,

Tindakan pada matriks

1. Mengalikan matriks dengan suatu bilangan. Operasi perkalian matriks dengan suatu bilangan didefinisikan sebagai berikut.

2. Untuk mengalikan matriks dengan suatu bilangan, Anda perlu mengalikan semua elemennya dengan bilangan tersebut. Itu adalah

. (1.9)

Contoh 1.6. .

Penambahan matriks.

Operasi ini hanya dilakukan untuk matriks-matriks yang berorde sama.

Untuk menjumlahkan dua matriks, perlu menambahkan elemen-elemen yang bersesuaian dari matriks lain ke elemen-elemen dari satu matriks:

(1.10)
Operasi penjumlahan matriks mempunyai sifat asosiatif dan komutatif.

Contoh 1.7. .

Perkalian matriks.

Jika jumlah kolom matriks A bertepatan dengan jumlah baris matriks DI DALAM, maka untuk matriks tersebut operasi perkalian dilakukan:

Jadi, saat mengalikan suatu matriks A ukuran M´ N ke matriks DI DALAM ukuran N´ k kita mendapatkan matriks DENGAN ukuran M´ k. Dalam hal ini, elemen matriks DENGAN dihitung menggunakan rumus berikut:

Masalah 1.8. Temukan, jika mungkin, produk matriks AB Dan B.A.:

Larutan. 1) Untuk mencari pekerjaan AB, Anda memerlukan baris matriks A kalikan dengan kolom matriks B:

2) Bekerja B.A. tidak ada, karena jumlah kolom matriks B tidak sesuai dengan jumlah baris matriks A.

Matriks terbalik. Penyelesaian sistem persamaan linear menggunakan metode matriks

Matriks A- 1 disebut invers matriks persegi A, jika persamaan terpenuhi:

melalui mana SAYA dilambangkan dengan matriks identitas orde yang sama dengan matriks A:

Untuk matriks persegi mempunyai invers, maka determinannya harus berbeda dari nol. Matriks invers dicari dengan menggunakan rumus:

, (1.13)

Di mana Sebuah ij- penambahan aljabar pada elemen sebuah ij matriks A(perhatikan bahwa penambahan aljabar pada baris matriks A terletak pada matriks invers berupa kolom-kolom yang bersesuaian).

Contoh 1.9. Temukan matriks inversnya A- 1 ke matriks

Kita mencari matriks inversnya menggunakan rumus (1.13), yang untuk kasus ini N= 3 berbentuk:

Mari kita temukan jawabannya A = | A| = 1 × 3 × 8 + 2 × 5 × 3 + 2 × 4 × 3 - 3 × 3 × 3 - 1 × 5 × 4 - 2 × 2 × 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. Karena determinan matriks asal bukan nol, maka matriks inversnya ada.

1) Temukan komplemen aljabar Sebuah ij:

Untuk memudahkan mencari matriks invers, kami telah menempatkan penjumlahan aljabar pada baris-baris matriks asli di kolom-kolom yang bersesuaian.

Dari penjumlahan aljabar yang diperoleh kita buat matriks baru dan membaginya dengan determinan det A. Jadi, kita mendapatkan matriks inversnya:

Sistem persamaan linier kuadrat dengan determinan utama bukan nol dapat diselesaikan dengan menggunakan matriks invers. Untuk melakukan ini, sistem (1.5) ditulis dalam bentuk matriks:

Di mana

Mengalikan kedua ruas persamaan (1,14) dari kiri dengan A- 1, kami mendapatkan solusi untuk sistem:

, Di mana

Jadi, untuk mencari solusi sistem persegi, Anda perlu mencari matriks invers dari matriks utama sistem dan mengalikannya di sebelah kanan dengan matriks kolom suku bebas.

Soal 1.10. Memecahkan sistem persamaan linear

menggunakan matriks invers.

Larutan. Mari kita tulis sistemnya dalam bentuk matriks: ,

Di mana - matriks utama sistem, - kolom yang tidak diketahui dan - kolom suku bebas. Karena penentu utama sistem , lalu matriks utama sistem A mempunyai matriks invers A-1 . Untuk mencari matriks invers A-1 , kita menghitung komplemen aljabar untuk semua elemen matriks A:

Dari bilangan-bilangan yang diperoleh kita akan membuat matriks (dan penjumlahan aljabar pada baris-baris matriks tersebut A tuliskan pada kolom yang sesuai) dan bagi dengan determinan D. Jadi, kita mendapatkan matriks inversnya:

Kami menemukan solusi sistem menggunakan rumus (1.15):

Dengan demikian,

Penyelesaian sistem persamaan linear menggunakan metode eliminasi Jordan biasa

Biarkan sistem persamaan linear sembarang (tidak harus kuadrat) diberikan:

(1.16)

Diperlukan untuk menemukan solusi untuk sistem, yaitu. sekumpulan variabel yang memenuhi semua persamaan sistem (1.16). Dalam kasus umum, sistem (1.16) tidak hanya mempunyai satu solusi, tetapi juga solusi yang tak terhitung jumlahnya. Mungkin juga tidak ada solusi sama sekali.

Saat memecahkan masalah seperti itu, metode kursus sekolah yang terkenal untuk menghilangkan hal yang tidak diketahui digunakan, yang juga disebut metode eliminasi Jordan biasa. Inti dari metode ini adalah bahwa dalam salah satu persamaan sistem (1.16) salah satu variabel dinyatakan dalam variabel lain. Variabel ini kemudian disubstitusikan ke persamaan lain dalam sistem. Hasilnya adalah sistem yang memuat satu persamaan dan satu variabel lebih kecil dari sistem aslinya. Persamaan dari mana variabel dinyatakan diingat.

Proses ini diulangi hingga tersisa satu persamaan terakhir dalam sistem. Melalui proses menghilangkan hal yang tidak diketahui, beberapa persamaan dapat menjadi identitas sebenarnya, misalnya. Persamaan seperti itu dikecualikan dari sistem, karena persamaan tersebut dipenuhi untuk nilai variabel apa pun dan, oleh karena itu, tidak mempengaruhi solusi sistem. Jika, dalam proses menghilangkan yang tidak diketahui, setidaknya satu persamaan menjadi persamaan yang tidak dapat dipenuhi untuk nilai variabel apa pun (misalnya), maka kita menyimpulkan bahwa sistem tersebut tidak memiliki solusi.

Jika tidak ada persamaan yang bertentangan selama penyelesaian, maka salah satu variabel yang tersisa di dalamnya ditemukan dari persamaan terakhir. Jika hanya tersisa satu variabel pada persamaan terakhir, maka variabel tersebut dinyatakan sebagai bilangan. Jika variabel lain tetap berada dalam persamaan terakhir, maka variabel tersebut dianggap sebagai parameter, dan variabel yang dinyatakan melalui variabel tersebut akan menjadi fungsi dari parameter tersebut. Kemudian apa yang disebut “gerakan terbalik” terjadi. Variabel yang ditemukan disubstitusikan ke persamaan yang terakhir diingat dan variabel kedua ditemukan. Kemudian kedua variabel yang ditemukan tersebut disubstitusikan ke dalam persamaan hafalan kedua dari belakang dan ditemukan variabel ketiga, begitu seterusnya hingga persamaan hafalan pertama.

Hasilnya, kami memperoleh solusi untuk sistem. Keputusan ini akan unik jika variabel yang ditemukan berupa angka. Jika variabel pertama yang ditemukan, dan kemudian variabel lainnya, bergantung pada parameternya, maka sistem akan memiliki jumlah solusi yang tak terbatas (setiap kumpulan parameter berhubungan dengan solusi baru). Rumus yang memungkinkan Anda menemukan solusi suatu sistem bergantung pada sekumpulan parameter tertentu disebut solusi umum sistem.

Contoh 1.11.

Setelah menghafal persamaan pertama dan hantu anggota serupa dalam persamaan kedua dan ketiga kita sampai pada sistem:

Mari berekspresi kamu dari persamaan kedua dan substitusikan ke persamaan pertama:

Mari kita ingat persamaan kedua, dan dari persamaan pertama kita temukan z:

Dengan bekerja mundur, kami secara konsisten menemukan kamu Dan z. Untuk melakukan ini, pertama-tama kita substitusikan ke persamaan terakhir yang diingat, dari mana kita menemukannya kamu:

Lalu kita substitusikan ke persamaan pertama yang kita hafal dimana kita bisa menemukannya X:

Soal 1.12. Selesaikan sistem persamaan linear dengan menghilangkan yang tidak diketahui:

. (1.17)

Larutan. Mari kita nyatakan variabel dari persamaan pertama X dan substitusikan ke persamaan kedua dan ketiga:

Mari kita ingat persamaan pertama

Dalam sistem ini, persamaan pertama dan kedua saling bertentangan. Memang, mengekspresikan kamu , kita mendapatkan bahwa 14 = 17. Persamaan ini tidak berlaku untuk nilai variabel apa pun X, kamu, Dan z. Akibatnya, sistem (1.17) tidak konsisten, yaitu. tidak memiliki solusi.

Kami mengajak pembaca untuk memeriksa sendiri bahwa determinan utama sistem asli (1,17) sama dengan nol.

Mari kita perhatikan sistem yang berbeda dari sistem (1.17) hanya dengan satu suku bebas.

Soal 1.13. Selesaikan sistem persamaan linear dengan menghilangkan yang tidak diketahui:

. (1.18)

Larutan. Seperti sebelumnya, kita menyatakan variabel dari persamaan pertama X dan substitusikan ke persamaan kedua dan ketiga:

Mari kita ingat persamaan pertama dan menyajikan istilah serupa dalam persamaan kedua dan ketiga. Kami sampai pada sistem:

Mengekspresikan kamu dari persamaan pertama dan mensubstitusikannya ke persamaan kedua , kita memperoleh identitas 14 = 14, yang tidak mempengaruhi solusi sistem, dan oleh karena itu, dapat dikeluarkan dari sistem.

Dalam persamaan terakhir yang diingat, variabel z kami akan menganggapnya sebagai parameter. Kami percaya. Kemudian

Mari kita gantikan kamu Dan z ke dalam persamaan pertama yang diingat dan temukan X:

Jadi, sistem (1.18) memiliki jumlah solusi yang tak terhingga, dan solusi apa pun dapat ditemukan menggunakan rumus (1.19), dengan memilih nilai parameter yang berubah-ubah. T:

(1.19)
Jadi solusi sistem, misalnya, adalah himpunan variabel berikut (1; 2; 0), (2; 26; 14), dst. Rumus (1.19) menyatakan solusi umum (apa pun) dari sistem (1.18 ).

Dalam kasus ketika sistem asli (1.16) sudah cukup sejumlah besar persamaan dan hal yang tidak diketahui, metode eliminasi Jordan biasa yang ditunjukkan tampaknya tidak praktis. Namun ternyata tidak. Cukup dengan menurunkan algoritma untuk menghitung ulang koefisien sistem pada satu langkah pandangan umum dan merumuskan solusi masalah dalam bentuk tabel khusus Jordan.

Biarkan sistem bentuk linier (persamaan) diberikan:

, (1.20)
Di mana xj- variabel independen (yang dicari), sebuah ij- koefisien konstan
(saya = 1, 2,…, M; J = 1, 2,…, N). Bagian kanan dari sistem kamu aku (saya = 1, 2,…, M) dapat berupa variabel (tergantung) atau konstanta. Penting untuk menemukan solusi terhadap sistem ini dengan menghilangkan hal-hal yang tidak diketahui.

Mari kita perhatikan operasi berikut, yang selanjutnya disebut “satu langkah eliminasi Yordania biasa”. Dari sewenang-wenang ( R th) persamaan kita menyatakan variabel arbitrer ( xs) dan substitusikan ke semua persamaan lainnya. Tentu saja, ini hanya mungkin jika sebuah rs¹ 0. Koefisien sebuah rs disebut elemen penyelesaian (terkadang membimbing atau utama).

Kami akan mendapatkan sistem berikut:

. (1.21)

Dari S- persamaan sistem (1.21), selanjutnya kita cari variabelnya xs(setelah variabel yang tersisa ditemukan). S Baris -th diingat dan kemudian dikeluarkan dari sistem. Sistem yang tersisa akan berisi satu persamaan dan satu variabel independen yang lebih sedikit dibandingkan sistem aslinya.

Mari kita hitung koefisien sistem yang dihasilkan (1,21) melalui koefisien sistem asli (1,20). Mari kita mulai dengan R persamaan ke-th, yang setelah menyatakan variabel xs melalui variabel yang tersisa akan terlihat seperti ini:

Jadi, koefisien baru R persamaan ke-th dihitung menggunakan rumus berikut:

(1.23)
Sekarang mari kita hitung koefisien barunya b ij(Saya¹ R) dari persamaan arbitrer. Untuk melakukan ini, mari kita substitusikan variabel yang dinyatakan dalam (1.22) xs V Saya persamaan sistem (1.20):

Dengan membawa suku-suku serupa, kita mendapatkan:

(1.24)
Dari persamaan (1.24) kita memperoleh rumus yang digunakan untuk menghitung koefisien sisa sistem (1.21) (dengan pengecualian R persamaan ke-):

(1.25)
Transformasi sistem persamaan linear dengan metode eliminasi Jordan biasa disajikan dalam bentuk tabel (matriks). Tabel-tabel ini disebut “Tabel Jordan”.

Jadi, masalah (1.20) dikaitkan dengan tabel Jordan berikut:

Tabel 1.1

	X 1	X 2	…	xj	…	xs	…	xn
kamu 1 =	A 11	A 12		A 1J		A 1S		A 1N
…………………………………………………………………..
kamu aku=	sebuah saya 1	sebuah saya 2		sebuah ij		sebuah adalah		sebuah masuk
…………………………………………………………………..
kamu r=	sebuah r 1	sebuah r 2		sebuah rj		sebuah rs		arn
………………………………………………………………….
kamu n=	saya 1	saya 2		sebuah mj		sebuah nona		satu hal

Tabel Jordan 1.1 berisi kolom header kiri dimana bagian kanan sistem (1.20) ditulis dan baris header atas dimana variabel independen ditulis.

Elemen tabel lainnya membentuk matriks utama koefisien sistem (1.20). Jika Anda mengalikan matriksnya A ke matriks yang terdiri dari unsur-unsur baris judul atas, diperoleh matriks yang terdiri dari unsur-unsur kolom judul kiri. Artinya, tabel Jordan pada hakikatnya merupakan bentuk matriks penulisan sistem persamaan linear: . Sistem (1.21) sesuai dengan tabel Jordan berikut:

Tabel 1.2

	X 1	X 2	…	xj	…	kamu r	…	xn
kamu 1 =	B 11	B 12		B 1 J		B 1 S		B 1 N
…………………………………………………………………..
kamu saya =	b saya 1	b saya 2		b ij		b adalah		tempat sampah
…………………………………………………………………..
x s =	b r 1	b r 2		b rj		b rs		brn
………………………………………………………………….
kamu n =	bm 1	bm 2		b mj		bms		b mn

Unsur permisif sebuah rs Kami akan menyorotnya dengan huruf tebal. Ingatlah bahwa untuk menerapkan satu langkah eliminasi Jordan, elemen penyelesaiannya harus bukan nol. Baris tabel yang berisi elemen pengaktifan disebut baris pengaktifan. Kolom yang berisi elemen aktifkan disebut kolom aktifkan. Saat berpindah dari tabel tertentu ke tabel berikutnya, satu variabel ( xs) dari baris header atas tabel dipindahkan ke kolom header kiri dan, sebaliknya, salah satu anggota bebas sistem ( kamu r) berpindah dari kolom kepala kiri tabel ke baris kepala atas.

Mari kita jelaskan algoritma untuk menghitung ulang koefisien ketika berpindah dari tabel Jordan (1.1) ke tabel (1.2), yang mengikuti rumus (1.23) dan (1.25).

1. Elemen penyelesaian diganti dengan bilangan invers:

2. Elemen sisa dari string penyelesaian dibagi menjadi elemen penyelesaian dan diubah tandanya menjadi sebaliknya:

3. Sisa unsur kolom resolusi dibagi lagi menjadi unsur resolusi:

4. Unsur-unsur yang tidak termasuk dalam baris izin dan kolom izin dihitung ulang dengan menggunakan rumus:

Rumus terakhir mudah diingat jika Anda memperhatikan unsur-unsur penyusun pecahan , berada di persimpangan Saya-oh dan R baris ke-dan J th dan S kolom ke-th (baris penyelesaian, kolom penyelesaian, serta baris dan kolom pada perpotongan dimana elemen yang dihitung ulang berada). Lebih tepatnya saat menghafal rumus Anda dapat menggunakan diagram berikut:

-21 -26 -13 -37

Saat melakukan langkah pertama pengecualian Jordan, Anda dapat memilih elemen apa pun dari Tabel 1.3 yang terletak di kolom sebagai elemen penyelesaian X 1 ,…, X 5 (semua elemen yang ditentukan bukan nol). Hanya saja, jangan pilih elemen pengaktifan di kolom terakhir, karena Anda perlu mencari variabel independen X 1 ,…, X 5. Misalnya, kita memilih koefisien 1 dengan variabel X 3 pada baris ketiga Tabel 1.3 (elemen pengaktif ditampilkan dalam huruf tebal). Saat berpindah ke tabel 1.4, variabel X Angka 3 dari baris header atas ditukar dengan konstanta 0 pada kolom header kiri (baris ketiga). Dalam hal ini, variabelnya X 3 dinyatakan melalui variabel yang tersisa.

Rangkaian X 3 (Tabel 1.4), setelah mengingat sebelumnya, dapat dikecualikan dari Tabel 1.4. Kolom ketiga dengan angka nol di baris judul atas juga dikecualikan dari Tabel 1.4. Intinya adalah berapapun koefisien kolom tertentu b saya 3 semua suku yang bersesuaian dari setiap persamaan 0 b saya 3 sistem akan sama dengan nol. Oleh karena itu, koefisien-koefisien ini tidak perlu dihitung. Menghilangkan satu variabel X 3 dan mengingat salah satu persamaan, kita sampai pada sistem yang sesuai dengan Tabel 1.4 (dengan garis dicoret X 3). Memilih pada tabel 1.4 sebagai elemen penyelesaian B 14 = -5, lanjutkan ke tabel 1.5. Pada Tabel 1.5, ingat baris pertama dan kecualikan dari tabel bersama dengan kolom keempat (dengan nol di atas).

Tabel 1.5 Tabel 1.6

Dari tabel terakhir 1.7 kita menemukan: X 1 = - 3 + 2X 5 .

Dengan secara konsisten mengganti variabel yang sudah ditemukan ke dalam baris yang diingat, kami menemukan variabel yang tersisa:

Jadi, sistem mempunyai solusi yang tak terhingga banyaknya. Variabel X 5, nilai sewenang-wenang dapat diberikan. Variabel ini bertindak sebagai parameter X 5 = t. Kami membuktikan kompatibilitas sistem dan menemukannya keputusan bersama:

X 1 = - 3 + 2T

X 2 = - 1 - 3T

X 3 = - 2 + 4T . (1.27)
X 4 = 4 + 5T

X 5 = T

Memberikan parameter T arti yang berbeda, kita akan memperoleh solusi yang jumlahnya tak terhingga untuk sistem aslinya. Jadi, misalnya solusi sistem adalah himpunan variabel berikut (- 3; - 1; - 2; 4; 0).

Pada bagian pertama kami melihat sedikit materi teori, metode substitusi, serta metode penjumlahan sistem persamaan suku demi suku. Saya menyarankan semua orang yang mengakses situs ini melalui halaman ini untuk membaca bagian pertama. Mungkin sebagian pengunjung akan menganggap materinya terlalu sederhana, namun dalam proses penyelesaian sistem persamaan linear, saya menyampaikan sejumlah komentar dan kesimpulan yang sangat penting mengenai penyelesaian masalah matematika secara umum.

Sekarang kita akan menganalisis aturan Cramer, serta menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan matriks invers (metode matriks). Semua materi disajikan secara sederhana, detail dan jelas, hampir semua pembaca akan dapat mempelajari cara menyelesaikan sistem dengan menggunakan metode di atas.

Pertama, kita akan melihat lebih dekat aturan Cramer untuk sistem dua persamaan linier dalam dua persamaan yang tidak diketahui. Untuk apa? – Lagi pula, sistem paling sederhana dapat diselesaikan dengan menggunakan metode sekolah, metode penjumlahan suku demi suku!

Faktanya adalah, meskipun terkadang, tugas seperti itu muncul - untuk menyelesaikan sistem dua persamaan linier dengan dua persamaan yang tidak diketahui menggunakan rumus Cramer. Kedua, contoh yang lebih sederhana akan membantu Anda memahami cara menggunakan aturan Cramer untuk kasus yang lebih kompleks - sistem tiga persamaan dengan tiga persamaan yang tidak diketahui.

Selain itu, ada sistem persamaan linear dengan dua variabel, yang disarankan untuk diselesaikan menggunakan aturan Cramer!

Pertimbangkan sistem persamaan

Pada langkah pertama kita menghitung determinannya, disebut penentu utama sistem.

metode Gaussian.

Jika , maka sistem mempunyai solusi unik, dan untuk mencari akar-akarnya kita harus menghitung dua determinan lagi:
Dan

Dalam prakteknya, kualifikasi di atas juga dapat dilambangkan dengan huruf latin.

Kami menemukan akar persamaan menggunakan rumus:
,

Contoh 7

Memecahkan sistem persamaan linear

Larutan: Kita melihat koefisien persamaannya cukup besar, di sebelah kanan terdapat pecahan desimal yang diberi tanda koma. Koma adalah tamu yang jarang ditemui dalam tugas-tugas praktis matematika; saya mengambil sistem ini dari masalah ekonometrik.

Apa yang harus dilakukan? Dalam kasus seperti itu, formula Cramer dapat membantu.

;

Menjawab: ,

Kedua akar mempunyai ekor yang tak terhingga dan ditemukan kira-kira, yang cukup dapat diterima (dan bahkan lumrah) untuk permasalahan ekonometrik.

Contoh 8

Sajikan jawabannya dalam pecahan biasa biasa. Lakukan pemeriksaan.

Ini adalah contoh yang bisa Anda pecahkan sendiri (contoh desain akhir dan jawaban di akhir pelajaran).

Mari kita lanjutkan dengan mempertimbangkan aturan Cramer untuk sistem tiga persamaan dengan tiga hal yang tidak diketahui:

Kami menemukan determinan utama sistem:

Jika , maka sistem mempunyai solusi yang tak terhingga banyaknya atau tidak konsisten (tidak mempunyai solusi). Dalam hal ini, aturan Cramer tidak akan membantu, Anda harus menggunakannya metode Gaussian.

Jika , maka sistem mempunyai solusi unik dan untuk mencari akar-akarnya kita harus menghitung tiga determinan lagi:
, ,

Dan terakhir jawabannya dihitung dengan menggunakan rumus:

Contoh 9

Selesaikan sistem menggunakan rumus Cramer.

Larutan: Mari selesaikan sistem menggunakan rumus Cramer.

, yang berarti sistem memiliki solusi unik.

Menjawab: .

Sebenarnya di sini sekali lagi tidak ada yang istimewa untuk dikomentari, karena solusinya mengikuti rumus yang sudah jadi. Tapi ada beberapa komentar.

Contoh 10

Selesaikan sistem menggunakan rumus Cramer.

Ini adalah contoh solusi mandiri (contoh desain akhir dan jawaban di akhir pelajaran).

Untuk kasus sistem 4 persamaan dengan 4 hal yang tidak diketahui, rumus Cramer ditulis berdasarkan prinsip yang sama. Anda dapat melihat contoh langsung dalam pelajaran. Sifat-sifat determinan. Mengurangi urutan determinan– lima determinan orde 4 cukup dapat dipecahkan. Meskipun tugas tersebut sudah sangat mengingatkan pada sepatu seorang profesor di dada seorang mahasiswa yang beruntung.

Menyelesaikan sistem menggunakan matriks invers

Metode matriks invers pada dasarnya merupakan kasus khusus persamaan matriks (Lihat Contoh No. 3 dari pelajaran yang ditentukan).

Untuk mempelajari bagian ini, Anda harus mampu memperluas determinan, mencari invers suatu matriks, dan melakukan perkalian matriks. Tautan yang relevan akan diberikan seiring kemajuan penjelasan.

Contoh 11

Selesaikan sistem menggunakan metode matriks

Larutan: Mari kita tulis sistemnya dalam bentuk matriks:
, Di mana

Kita mencari matriks inversnya menggunakan rumus:
, di mana adalah matriks yang ditransposisikan dari komplemen aljabar dari elemen-elemen matriks yang bersesuaian.

Pertama, mari kita lihat determinannya:

Di sini determinannya diperluas pada baris pertama.

Perhatian! Jika , maka matriks inversnya tidak ada, dan tidak mungkin menyelesaikan sistem menggunakan metode matriks. Dalam hal ini, sistem terpecahkan metode menghilangkan yang tidak diketahui (metode Gauss).

Sekarang kita perlu menghitung 9 minor dan menuliskannya ke dalam matriks minor