Cara lain untuk membangun skema perbedaan didasarkan pada fakta bahwa untuk menghitung nilai, hasil bukan hanya satu, tetapi k langkah sebelumnya, yaitu nilai-nilai ya.Dalam hal ini ternyata k-metode langkah.
Metode multi-langkah dapat dibangun sebagai berikut. Mari kita tulis persamaan awal (1.9) dalam bentuk
(1.28)
Mari kita integrasikan kedua sisi persamaan ini X pada segmen tersebut. Integral dari sisi kiri
(1.29)
Untuk menghitung integral ruas kanan persamaan (1.28), pertama-tama buatlah polinomial interpolasi hal-1 derajat k - 1 untuk memperkirakan suatu fungsi pada suatu segmen berdasarkan nilai . Setelah ini Anda bisa menulis
(1.30)
Menyamakan ekspresi yang diperoleh pada (1.29) dan (1.30), kita memperoleh rumus untuk menentukan nilai fungsi grid yang tidak diketahui pada node:
Berdasarkan rumus ini, Anda dapat membuat berbagai metode multi-langkah dengan tingkat akurasi apa pun. Urutan akurasi tergantung pada derajat polinomial interpolasi, untuk konstruksi yang nilai fungsi gridnya dihitung k langkah sebelumnya.
Kelompok metode multi-langkah yang banyak digunakan adalah metode Adams. Yang paling sederhana, diperoleh dengan k = 1, bertepatan dengan metode akurasi orde pertama Euler yang dipertimbangkan sebelumnya. Dalam perhitungan praktis, versi metode Adams paling sering digunakan, yang memiliki akurasi urutan keempat dan menggunakan hasil empat metode sebelumnya pada setiap langkah. Inilah yang biasa disebut metode Adams. Mari pertimbangkan metode ini.
Biarkan nilainya ditemukan dalam empat node yang berurutan (k = 4). Dalam hal ini, ada juga nilai ruas kanan yang dihitung sebelumnya di mana . Sebagai polinomial interpolasi R 3(X) kita dapat mengambil polinomial Newton (lihat Bagian 2.3). Dalam hal langkah konstan H perbedaan terbatas untuk sisi kanan pada sebuah simpul XSaya terlihat seperti
Kemudian skema beda orde keempat metode Adams dapat ditulis setelah diperlukan transformasi bentuk
Membandingkan metode Adams dengan metode Runge–Kutta dengan akurasi yang sama, kami mencatat efisiensinya, karena metode ini hanya memerlukan penghitungan satu nilai ruas kanan pada setiap langkah (dalam metode Runge–Kutta - empat). Namun metode Adams merepotkan karena tidak mungkin memulai penghitungan hanya dengan menggunakan satu nilai yang diketahui kamu0 . Perhitungan hanya dapat dimulai dari sebuah node X 3, tapi tidak X 0..Nilai kamu 1, kamu 2, kamu 3, diperlukan untuk perhitungan kamu 4 harus diperoleh dengan cara lain (misalnya, metode Runge–Kutta), yang secara signifikan memperumit algoritme. Selain itu, metode Adams tidak mengizinkan (tanpa memperumit rumus) mengubah langkah H selama proses penghitungan; Metode satu langkah tidak memiliki kelemahan ini.
Mari kita lihat kelompok metode multi-langkah lainnya yang menggunakan skema implisit - metode peramalan dan koreksi(mereka disebut juga menggunakan metode “prediktor-korektor”.).Inti dari metode-metode tersebut adalah sebagai berikut. Pada setiap langkah, dua langkah diperkenalkan dengan menggunakan metode multi-langkah: menggunakan metode eksplisit (prediktor) menggunakan nilai fungsi yang diketahui di node sebelumnya, mereka menemukan perkiraan awal di node baru; menggunakan metode implisit (korektor), Sebagai hasil dari iterasi, perkiraan ditemukan.
Salah satu varian metode ramalan dan koreksi dapat diperoleh berdasarkan metode Adams orde keempat. Mari kita sajikan bentuk akhir dari relasi perbedaan pada tahap prediktor:
pada tahap koreksi:
(1.33)
Skema eksplisit (1.32) digunakan sekali pada setiap langkah, dan dengan bantuan skema implisit (1.33) proses perhitungan berulang dibangun ya+1 karena nilai ini berada di sisi kanan ekspresi
Perhatikan bahwa dalam rumus ini, seperti dalam kasus metode Adams, saat menghitung ya Diperlukan +1 nilai fungsi grid pada empat node sebelumnya: ya, ya-1, ya-2, ya-3. Oleh karena itu, perhitungan dengan metode ini hanya dapat dimulai dari nilainya kamu 4. Diperlukan kamu 1, kamu 2, kamu 3 ditemukan menggunakan metode Runge – Kutta, kamu0 diberikan oleh kondisi awal. Ini adalah ciri khas metode multi-langkah. Algoritma untuk menyelesaikan masalah Cauchy menggunakan metode prediksi dan koreksi disajikan dalam bentuk yang diperbesar pada Gambar. 1.4.
Beras. 1.4. Metode prediktor-korektor
Saat ini, metode Adams adalah salah satu metode integrasi numerik yang paling menjanjikan untuk menyelesaikan masalah Cauchy. Terbukti ketika menerapkan metode numerik multi-langkah Adams untuk menyelesaikan masalah Cauchy hingga orde ke-12, daerah kestabilan mengalami penurunan. Dengan peningkatan lebih lanjut dalam urutan, wilayah stabilitas, serta keakuratan metode, meningkat. Selain itu, dengan akurasi yang sama, metode multi-langkah pada satu langkah integrasi memerlukan lebih sedikit perhitungan sisi kanan persamaan diferensial dibandingkan metode Runge-Kutta. Kelebihan metode Adams mencakup fakta bahwa metode tersebut dengan mudah mengubah langkah integrasi dan urutan metode.
Dalam praktiknya, dua jenis metode Adams banyak digunakan - eksplisit dan implisit. Metode eksplisit dikenal dengan metode Adams-Bashforth, metode implisit dikenal dengan metode Adams-Moulton.
Mari kita pertimbangkan penggunaan metode numerik untuk menyelesaikan masalah Cauchy
Saat menyelesaikan soal (2.1) dengan metode satu langkah, nilai yn+1 hanya bergantung pada informasi di titik xn sebelumnya. Dapat diasumsikan bahwa akurasi yang lebih besar dapat dicapai jika informasi tentang beberapa poin sebelumnya xn, xn-1... xn-k digunakan. Metode multi-langkah didasarkan pada gagasan ini.
Kebanyakan metode multi-langkah muncul dari pendekatan berikut. Jika kita substitusikan solusi eksak y (x) ke dalam persamaan (2.1) dan integrasikan persamaan tersebut pada ruas , kita peroleh:
Mengganti fungsi f (x, y (x)) pada rumus (2.2) dengan polinomial interpolasi P (x), kita memperoleh metode perkiraan
Untuk membuat polinomial P (x), kita asumsikan bahwa yn, yn-1... yn-k adalah perkiraan penyelesaian di titik xn, xn-1... xn-k. Diasumsikan bahwa titik-titik xi terletak seragam dengan langkah h. Maka fi=f (xi, yi), (i=n, n-1.. n-k) adalah aproksimasi terhadap f (x, y (x)) di titik xn, xn-1... xn-k.
Sebagai P (x), kita mengambil polinomial interpolasi dengan derajat k yang memenuhi kondisi
Jika kita mengintegrasikan polinomial ini secara eksplisit, kita mendapatkan metode berikut:
Ketika k=0, polinomial P(x) adalah konstanta yang sama dengan fn, dan rumus (2.4) berubah menjadi metode Euler biasa.
Untuk k=1, polinomial P (x) adalah fungsi linier yang melalui titik (xn-1, fn-1) dan (xn, fn), yaitu
Mengintegrasikan polinomial ini dari xn ke xn+1, kita memperoleh metode dua langkah
yang menggunakan informasi di dua titik xn dan xn+1.
Jika k=2, maka P(x) adalah polinomial kuadrat yang menginterpolasi data (xn-2, fn-2), (xn-1, fn-1) dan (xn, fn). Dapat ditunjukkan bahwa metode yang sesuai mempunyai bentuk
Jika k=3, maka metode yang sesuai diberikan oleh rumus
Untuk k=4 kita punya
Perhatikan bahwa metode (2.7) adalah metode tiga langkah, (2.8) adalah metode empat langkah, dan (2.9) adalah metode lima langkah. Rumus (2.6) - (2.9) dikenal sebagai metode Adams-Bashforth. Metode (2.6) mempunyai ketelitian orde dua, sehingga disebut metode Adams-Bashforth orde kedua. Demikian pula, metode (2.7), (2.8) dan (2.9) masing-masing disebut metode Adams-Bashforth orde ketiga, keempat, dan kelima.
Melanjutkan proses ini, dengan menggunakan semakin banyak poin sebelumnya, serta polinomial interpolasi dengan derajat yang lebih tinggi, kita memperoleh metode Adams-Bashforth dengan orde tinggi yang sewenang-wenang.
Metode multi-langkah menimbulkan kesulitan yang tidak timbul pada metode satu langkah. Kesulitan-kesulitan ini menjadi jelas jika, misalnya, kita beralih ke metode Adams-Bashforth tingkat kelima (2.9).
Pada soal (2.1) diberikan nilai awal y0, namun dengan n=0, untuk menghitung menggunakan rumus (2.9) diperlukan informasi pada titik x-1, x-2, x-3, x-4 yang tentu saja hilang. Jalan keluar yang biasa dari situasi ini adalah dengan menggunakan metode satu langkah dengan tingkat akurasi yang sama, seperti metode Runge-Kutta, hingga diperoleh nilai yang cukup agar metode multi-langkah dapat bekerja. Atau Anda dapat menggunakan metode satu langkah pada langkah pertama, metode dua langkah pada langkah kedua, dan seterusnya hingga semua nilai awal diperoleh. Nilai awal ini harus dihitung dengan tingkat akurasi yang sama seperti metode akhir yang akan digunakan. Karena metode awal memiliki tingkat akurasi yang lebih rendah, Anda harus menghitung sedikit demi sedikit di awal dan menggunakan lebih banyak titik tengah.
Penurunan metode (2.6) - (2.9) didasarkan pada penggantian fungsi f(x,y) dengan polinomial interpolasi P(x). Diketahui ada teorema yang membuktikan keberadaan dan keunikan polinomial interpolasi. Jika node x0, x1... xn berbeda, maka untuk sembarang f0, f1... fn terdapat polinomial unik P(x) yang berderajat tidak lebih tinggi dari n sehingga P(xi) =fi, i=0 , 1,..n.
Meskipun polinomial interpolasi unik, ada beberapa cara untuk merepresentasikan polinomial ini. Polinomial Lagrange paling sering digunakan, tetapi polinomial tersebut juga merepotkan jika Anda perlu menambahkan (atau menghapusnya) node apa pun ke kumpulan data. Dalam hal ini, terdapat representasi berbeda dari polinomial interpolasi. Ini adalah representasi Newton
Polinomial Pn+1 (x) dapat ditulis sebagai
Representasi polinomial interpolasi dalam bentuk (2.11) dalam beberapa kasus dapat sangat berguna untuk praktik.
Metode Adams-Bashforth menggunakan nilai yang sudah diketahui pada titik xn, xn-1... xn-k. Saat membuat polinomial interpolasi, Anda juga dapat menggunakan titik xn, xn, xn-1... xn-k. Hal ini memunculkan kelas metode m-langkah implisit yang dikenal sebagai metode Adams-Moulton.
Jika k=0, maka P(x) adalah fungsi linier yang melalui titik (xn, fn) dan (xn+1, fn+1), dan metode yang bersesuaian
adalah metode Adams-Moulton orde kedua.
Untuk k=1, 2, 3 kita memperoleh metode yang sesuai
orde perkiraan ketiga, keempat, dan kelima. Relasi (2.12) - (2.15) mengandung nilai yn+1 yang diinginkan secara implisit, oleh karena itu, untuk mengimplementasikannya perlu menggunakan metode iteratif.
Dalam praktiknya, mereka biasanya tidak menyelesaikan persamaan (2.12) - (2.15) secara langsung, tetapi menggunakan bentuk eksplisit dan implisit secara bersamaan, yang mengarah pada metode prediksi dan koreksi.
Misalnya, untuk metode Adams orde kedua, dengan menggunakan notasi dimana r adalah bilangan iterasi, kita mempunyai skema perhitungan berikut untuk r = 1:
Proses ini disebut metode PECE (P berarti menerapkan rumus prediksi, C berarti menerapkan rumus koreksi, E berarti menghitung fungsi f). Anda dapat mempersingkat proses perhitungan dengan membuang rumus terakhir. Hal ini mengarah pada apa yang disebut metode PEC.
Mari kita perhatikan metode kedua untuk menyelesaikan persamaan (2.12) - (2.15). Rumus (2.12) - (2.15) dapat ditulis ulang menjadi
di mana gn mengandung jumlah yang diketahui. Telah dibuktikan bahwa jika L adalah konstanta Lipschitz, maka terdapat solusi unik untuk persamaan (2.17), yang dapat diperoleh dengan menggunakan proses iteratif.
dimana - sewenang-wenang.
Iterasi pada ekspresi (2.18) berlanjut hingga konvergensi tercapai. Dalam hal ini, jumlah perhitungan fungsi f bervariasi dari titik ke titik dan bisa sangat besar.
Sebaliknya, jika nilai h dikurangi, maka konvergensi dapat dicapai dalam jumlah iterasi yang tetap. Metode ini disebut koreksi terhadap konvergensi.
Pada pandangan pertama, tampaknya metode multi-langkah eksplisit adalah metode paling sederhana dari sudut pandang komputasi. Namun dalam praktiknya, metode eksplisit sangat jarang digunakan. Metode implisit Adams-Moulton lebih akurat dibandingkan metode eksplisit Adams-Bashforth. Misalnya skema komputasi metode Adams-Moulton orde 5 adalah sebagai berikut:
Metode Adams sampai dengan orde kelima inklusif dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial biasa yang tidak memerlukan tingkat ketelitian yang tinggi.
Seperti halnya metode Adams-Bashforth, ketika menggunakan metode Adams-Moulton, isu penting adalah pilihan hubungan optimal antara langkah integrasi dan urutan metode. Perlu dicatat bahwa ketika membuat algoritma dan program yang efektif, lebih baik meningkatkan urutan metode daripada mengurangi langkah integrasi.
Untuk menyelesaikan permasalahan yang lebih kompleks perlu diterapkan metode Adams orde tinggi. Tabel 2.1 menunjukkan nilai koefisien metode Adams. Baris pertama menunjukkan urutan metode; yang kedua - nilai koefisien Ck untuk urutan k yang sesuai; pada baris berikut - pasangan koefisien Bkj dan Mkj masing-masing untuk metode Adams-Bashforth dan Adams-Moulton. Kemudian, dengan memperhitungkan data pada Tabel 2. 14, koefisien dalam j dalam ekspresi
untuk metode Adams-Bashforth orde ke-k dapat dicari dari relasinya
dan untuk metode Adams-Moulton orde ke-k menggunakan rumus serupa
Rumus metode koreksi prediktor Adams orde 6 sampai dengan orde 14 adalah sebagai berikut:
- urutan ke-6:
- Urutan ke-7:
- Urutan ke-8:
- Urutan ke-9:
- Urutan ke-10:
- Urutan ke-11:
- Urutan ke-12:
- Urutan ke-13:
- Urutan ke-14:
- Urutan ke-15:
- Urutan ke-16:
Rumus yang diberikan di atas sebaiknya digunakan untuk penerapan praktis penyelesaian persamaan diferensial biasa atau sistem persamaan diferensial orde pertama dengan langkah integrasi konstan. Jika dalam proses penyelesaian suatu persamaan langkah integrasinya bersifat variabel, maka untuk metode Adams terdapat teknik khusus untuk memasukkan data awal baru ketika langkah integrasi diubah.
Pada S= 1 rumus (6.16) berbentuk
Jika Q= 2, kita memperoleh aturan komputasi berikut:
Biasanya dalam prakteknya digunakan rumus ekstrapolasi (6.18), kemudian nilai yang dihasilkan dikoreksi menggunakan rumus (6.23). Dan jika hasil nilai yang disesuaikan tidak melebihi kesalahan perhitungan yang diperbolehkan, maka langkahnya H dianggap dapat diterima 
.
Untuk penghitungan di komputer, rumus (6.18) dan (6.23) dalam bentuk beda hingga tidak nyaman. Dengan mempertimbangkan (6.21), mereka dapat direpresentasikan dalam bentuk
(6.24)
Rumus yang diberikan cukup akurat. Mereka memberikan kesalahan pesanan ~ TENTANG(H4), namun rumus estimasi kesalahannya sendiri cukup rumit. Kesalahannya dapat diperkirakan dengan menggunakan aturan Runge.
Contoh 6.2. Memecahkan persamaan diferensial pada suatu segmen dengan kondisi awal Y(X= 0) = 1. Temukan dengan metode Adams (dengan koreksi) pada titik tersebut X4 , pada tiga titik pertama temukan dengan metode Runge-Kutta, ambil langkah .
Larutan. Kami mengambil nilai fungsi pada empat titik pertama dari tabel. 6.1 (lihat contoh di bagian sebelumnya). Sekarang menjadi jelas mengapa kami menyimpan nilai turunan pertama pada titik-titik ini (lihat rumus (6.24)).
X4 = X3 + H= 0.15 + 0.05 = 0.2;
Untuk mengoreksi hasil yang diperoleh, perlu menghitung nilai turunannya pada titik ini:
Sekarang mari kita perjelas nilainya menggunakan rumus interpolasi (atau Anda tidak perlu melakukan ini, maka kesalahan metodenya akan lebih besar):
Karena nilai yang dikoreksi diambil sebagai nilai fungsi yang baru, maka Perlu Nilai derivatif harus dihitung ulang. Dalam kasus kami, modulus selisih antara rumus ekstrapolasi dan interpolasi kurang dari ε , Yang memungkinkan Anda melanjutkan penghitungan dengan langkah yang sama.
Pertanyaan tes mandiri
· Merumuskan masalah Cauchy untuk persamaan diferensial biasa orde pertama.
· Apa penyelesaian persamaan diferensial: a) dalam matematika tingkat tinggi, b) dalam matematika terapan?
· Metode persamaan diferensial apa yang disebut satu langkah, banyak langkah? Berikan contoh.
· Bandingkan nilai yang diperoleh pada langkah pertama dan kedua menggunakan metode perluasan deret Euler, Runge-Kutta dan Taylor (intensitas tenaga kerja, kesalahan...).
· Bagaimana cara mengevaluasi kesalahan metode yang digunakan? Bagaimana cara menguranginya?
· Bandingkan metode satu langkah dan banyak langkah untuk menyelesaikan persamaan diferensial, menunjukkan kelebihan dan kekurangan metode pertama dan kedua.
· Apa metode (rumus) ekstrapolasi dan interpolasi Adams?
· Apakah mungkin untuk menggunakan: a) hanya metode ekstrapolasi Adams,
b) hanya interpolasi?
· Apakah mungkin untuk menggunakan: a) metode multi-langkah tanpa metode satu langkah;
b) metode satu langkah tanpa metode multi-langkah?
· Saat menyelesaikan persamaan diferensial dengan metode Adams, pada langkah ke-27 perlu dilakukan perubahan langkah. Bagaimana cara melakukannya?
Kami masih memiliki masalah Cauchy yang sama.
F (1) (T)=F(T, F(T)), A£ T£ B, F(A)=f a.
Dalam metode satu langkah nilainya F(tk+1) hanya ditentukan oleh informasi pada poin sebelumnya tk. Tampaknya mungkin untuk meningkatkan keakuratan solusi dengan menggunakan informasi pada beberapa poin sebelumnya, jika tersedia. Inilah yang dilakukan dalam metode yang disebut multi-langkah. Sekilas rumusan masalah, menjadi jelas pada saat permulaan T=itu hanya ada satu kondisi awal dan jika kita akan mengerjakan dua, tiga atau empat poin sebelumnya, maka tidak ada cara untuk mendapatkan yang kedua, kecuali menggunakan metode satu langkah. Itulah yang mereka lakukan; algoritma solusi "kompleks" mungkin terlihat seperti ini:
pada langkah pertama, poin kedua diperoleh dengan menggunakan metode satu langkah, pada langkah kedua, poin ketiga diperoleh dengan menggunakan metode dua langkah, pada langkah ketiga, poin keempat diperoleh dengan menggunakan metode tiga langkah, dan seterusnya, sampai poin-poin sebelumnya terkumpul cukup untuk metode utama yang seharusnya digunakan.
Pilihan lainnya adalah memperoleh seluruh rangkaian titik awal dengan menggunakan metode satu langkah, seperti Runge-Kutta orde keempat. Karena metode multi-langkah diasumsikan lebih akurat, jumlah titik tengah yang lebih banyak biasanya digunakan untuk metode satu langkah awal, yaitu. bekerja dengan langkah yang lebih pendek.
Algoritma multi-langkah dapat dibuat seperti ini. Mengingat bahwa
F(tk +1)=F(tk)+ ,
kita dapat mengintegrasikan sisi kanan ODE secara numerik di bawah tanda integral. Jika kita menggunakan metode persegi panjang (polinomial interpolasi untuk fungsi yang dapat diintegralkan adalah konstanta), kita memperoleh metode Euler yang biasa. Jika Anda menggunakan 2 titik dan polinomial interpolasi orde pertama
P(X)= ,
kemudian integrasi menggunakan metode trapesium dari tk sebelum tk+1 akan memberikan algoritma berikut:
F(tk +1)=F(tk)+0.5H(3Fk-Fk -1).
Demikian pula, untuk tiga titik kita akan memiliki polinomial interpolasi kuadrat menurut data ( tk -2 , Fk -2), (tk -1 , Fk -1), (tk, Fk) dan integrasi menggunakan metode Simpson akan menghasilkan algoritma:
F(tk +1)=F(tk)+ (23Fk–16Fk -1 +5Fk -2).
Untuk 4 titik polinomialnya akan berbentuk kubik dan integrasinya akan menghasilkan:
F(tk +1)=F(tk)+ (55Fk–59Fk -1 +37Fk -2 –9Fk -3).
Pada prinsipnya, kita dapat melanjutkan hal ini tanpa batas waktu.
Algoritma yang diberikan disebut metode Adams-Bashforth orde kedua, ketiga dan keempat.
Secara formal, saat membuat polinomial interpolasi, sebagai tambahan N gunakan poin yang sudah dihitung dan banyak lagi R masa depan tk +1 , tk+2 ; dalam kasus paling sederhana himpunan
tk +1 , tk, tk -1 ,…, tk -N .
Ini menghasilkan kelas yang disebut metode Adams-Moulton. Dalam versi empat langkah, ini beroperasi pada data ( tk +1 , Fk +1), (tk, Fk), (tk -1 , Fk -1), (tk -2 , Fk-2) dan algoritmanya:
F(tk +1)=F(tk)+ (9Fk +1 +19Fk–5Fk -1 +Fk -2).
Tentu saja tidak mungkin melakukan perhitungan berdasarkan data yang hilang, sehingga algoritma Adams digabungkan menjadi rangkaian algoritma Adams-Bashforth dan Adams-Moulton, sehingga diperoleh apa yang disebut metode perkiraan dan koreksi. Misalnya, metode ramalan dan koreksi orde keempat terlihat seperti ini: pertama kita memprediksi menggunakan algoritma Adams-Bashforth menggunakan titik “masa lalu”
F(tk +1)=F(tk)+ (55Fk–59Fk -1 +37Fk -2 –9Fk -3).
Kemudian kita menghitung perkiraan nilai ruas kanan persamaan
Fk +1 =F(tk +1 , F(tk +1).
Dan akhirnya, kami menyesuaikan F(tk+1) menggunakan nilai perkiraannya
F(tk +1)=F(tk)+ (9Fk +1 +19Fk–5Fk -1 +Fk -2).
Program komputer paling efektif yang memungkinkan pengguna mengubah ukuran langkah dan urutan metode didasarkan pada metode Adams tingkat tinggi (lebih dari 10). Pengalaman dengan program-program ini menunjukkan bahwa perbedaan dalam penerapannya dapat mempunyai dampak yang lebih signifikan terhadap keakuratan dibandingkan perbedaan dalam sifat internal metode itu sendiri.
Skema eksplisit Adams.
Metode yang dibahas di atas secara eksplisit bersifat satu langkah (untuk menemukan perkiraan berikutnya, hanya satu langkah sebelumnya yang digunakan). Metode di bawah ini multi-langkah.
Biarkan masalah Cauchy diberikan:
Untuk solusi pastinya (yang kita tidak tahu) berlaku sebagai berikut:
Misalkan kita mengetahui perkiraan nilai fungsi u(x) pada titik k (khususnya titik k awal dapat ditemukan dengan metode Euler atau metode Runge-Kutta dengan satu orde atau lainnya), maka fungsinya f (x, u(x)) dalam ( 2.4.2) untuk perhitungan perkiraan integral dapat diganti dengan polinomial interpolasi berorde k-1, yang dibangun pada k titik, yang integralnya dihitung secara eksplisit dan merupakan a kombinasi nilai linier dengan faktor-faktor tertentu. Jadi, kita memperoleh prosedur berulang berikut untuk menghitung perkiraan nilai fungsi u(x) (yang merupakan solusi eksak dari masalah Cauchy) pada titik:
Skema yang dijelaskan adalah rumus Adams eksplisit k-step.
Skema implisit Adams.
Misalkan polinomial interpolasi berorde k, dibangun dari nilai k+1, salah satunya, yaitu, akan kita anggap tidak diketahui. Mari kita modifikasi (2.4.3) dengan menggantinya dengan polinomial dengan derajat yang lebih tinggi, yang integralnya dinyatakan sebagai kombinasi nilai linier dengan beberapa koefisien baru:
Rumus (2.4.4) merupakan skema Adams implisit dan merupakan persamaan yang dapat diselesaikan dengan metode pendekatan yang berurutan. Tentu saja, perkiraan awal harus dipilih dengan bijak. Untuk melakukan hal ini, akan lebih mudah untuk menggabungkan skema Adams yang eksplisit dan implisit menjadi satu, yang disebut “metode koreksi”. Dengan bantuan skema eksplisit perkiraan awal (prediksi) ditentukan, dan kemudian, dengan menggunakan skema implisit, dikoreksi beberapa kali (biasanya satu atau dua) dengan metode perkiraan berturut-turut hingga yang ditentukan. akurasi tercapai (koreksi).