Mengirimkan karya bagus Anda ke basis pengetahuan itu sederhana. Gunakan formulir di bawah ini

Pelajar, mahasiswa pascasarjana, ilmuwan muda yang menggunakan basis pengetahuan dalam studi dan pekerjaan mereka akan sangat berterima kasih kepada Anda.

Diposting di http://www.allbest.ru/

Badan Federal untuk Pendidikan

Universitas Teknik Negeri Volgograd

KONTROLPEKERJAAN

menurut disiplin: MModel dan metode di bidang ekonomi

pada topik tersebut "Analisis Rangkaian Waktu"

Diselesaikan oleh: siswa kelompok EZB 291c Selivanova O.V.

Volgograd 2010

Perkenalan

Klasifikasi deret waktu

Metode analisis deret waktu

Kesimpulan

literatur

Perkenalan

Studi tentang dinamika fenomena sosial ekonomi, identifikasi dan karakterisasi tren pembangunan utama dan pola keterkaitan memberikan dasar untuk peramalan, yaitu menentukan dimensi masa depan dari fenomena ekonomi.

Masalah peramalan menjadi sangat relevan dalam konteks transisi ke sistem dan metode internasional untuk menghitung dan menganalisis fenomena sosial-ekonomi.

Metode statistik menempati tempat penting dalam sistem akuntansi. Penerapan dan penggunaan peramalan mengasumsikan bahwa pola perkembangan yang terjadi di masa lalu tetap sama pada prediksi masa depan.

Oleh karena itu, kajian tentang metode analisis kualitas prakiraan sangat relevan saat ini. Topik inilah yang dipilih sebagai objek penelitian dalam karya ini.

Deret waktu adalah urutan nilai waktu dari beberapa variabel arbitrer. Setiap nilai individual dari variabel ini disebut hitungan deret waktu. Oleh karena itu, deret waktu berbeda secara signifikan dengan sampel data sederhana.

Klasifikasi deret waktu

Deret waktu diklasifikasikan menurut kriteria berikut.

1. Menurut bentuk penyajian tingkatannya :

serangkaian indikator absolut;

indikator relatif;

Sh ukuran rata-rata.

2. Berdasarkan sifat parameter waktu:

Sh sesaat. Dalam deret waktu sesaat, level mencirikan nilai suatu indikator pada titik waktu tertentu. Dalam rangkaian interval, level mencirikan nilai suatu indikator untuk periode waktu tertentu.

Deret waktu interval Ш. Fitur penting dari deret waktu interval nilai absolut adalah kemungkinan menjumlahkan levelnya.

3. Berdasarkan jarak antara tanggal dan interval waktu:

Ш lengkap (jarak sama) - ketika tanggal pendaftaran atau akhir periode mengikuti satu sama lain pada interval yang sama.

Ш tidak lengkap (jaraknya tidak sama) - ketika prinsip interval yang sama tidak dipatuhi.

4. Tergantung pada kehadiran tren utama:

Deret stasioner Ш - yang mean dan variansnya konstan.

Ш non-stasioner - berisi tren perkembangan utama.

Metode analisis deret waktu

Deret waktu dipelajari untuk berbagai tujuan. Dalam satu rangkaian kasus, mungkin cukup untuk memperoleh deskripsi fitur karakteristik rangkaian tersebut, sedangkan dalam rangkaian kasus lainnya, perlu tidak hanya memprediksi nilai masa depan dari rangkaian waktu tersebut, tetapi juga untuk mengontrolnya. perilaku. Metode analisis deret waktu ditentukan, di satu sisi, oleh tujuan analisis, dan di sisi lain, oleh sifat probabilistik dari pembentukan nilai-nilainya.

Metode analisis deret waktu.

1. Analisis spektral. Memungkinkan Anda menemukan komponen periodik deret waktu.

2. Analisis korelasi. Memungkinkan Anda menemukan ketergantungan periodik yang signifikan dan penundaan (lag) yang terkait baik dalam satu rangkaian (autokorelasi) dan antara beberapa rangkaian. (korelasi silang)

3. Model Box-Jenkins Musiman. Ini digunakan ketika deret waktu berisi tren linier dan komponen musiman yang dinyatakan dengan jelas. Memungkinkan Anda memprediksi nilai masa depan suatu rangkaian. Model tersebut diusulkan sehubungan dengan analisis transportasi udara.

4. Perkiraan menggunakan rata-rata pergerakan tertimbang secara eksponensial. Model peramalan deret waktu yang paling sederhana. Berlaku dalam banyak kasus. Ini termasuk model penetapan harga berdasarkan perjalanan acak.

Target analisis spektral- menguraikan deret tersebut menjadi fungsi sinus dan kosinus dengan berbagai frekuensi, untuk menentukan deret tersebut yang kemunculannya sangat signifikan dan signifikan. Salah satu cara yang mungkin untuk melakukan hal ini adalah dengan memecahkan masalah regresi linier berganda, dimana variabel terikatnya adalah deret waktu yang diamati dan variabel bebas atau regresinya adalah fungsi sinus dari semua frekuensi yang mungkin (diskrit). Model regresi linier berganda dapat dituliskan sebagai:

x t = a 0 + (untuk k = 1 sampai q)

Konsep umum berikutnya dari analisis harmonik klasik dalam persamaan ini adalah (lambda) - ini adalah frekuensi melingkar yang dinyatakan dalam radian per satuan waktu, yaitu. = 2** k, dimana konstanta pi = 3,1416 dan k = k/q. Penting untuk disadari di sini bahwa masalah komputasi penyesuaian fungsi sinus dan kosinus dengan panjang berbeda ke data dapat diselesaikan dengan menggunakan regresi linier berganda. Perhatikan bahwa koefisien a k untuk cosinus dan koefisien b k untuk sinus adalah koefisien regresi yang menunjukkan sejauh mana fungsi terkait berkorelasi dengan data. Ada q sinus dan cosinus yang berbeda; Secara intuitif jelas bahwa jumlah fungsi sinus dan cosinus tidak boleh lebih besar dari jumlah data dalam deret tersebut. Tanpa merinci lebih lanjut, kita perhatikan bahwa jika n adalah jumlah data, maka akan ada n/2+1 fungsi kosinus dan n/2-1 fungsi sinus. Dengan kata lain, akan ada gelombang sinus yang berbeda sebanyak data yang ada, dan Anda akan dapat mereproduksi rangkaian secara lengkap sesuai dengan fungsi utamanya.

Hasilnya, analisis spektral menentukan korelasi fungsi sinus dan kosinus berbagai frekuensi dengan data yang diamati. Jika korelasi yang ditemukan (koefisien pada sinus atau cosinus tertentu) besar, maka kita dapat menyimpulkan bahwa terdapat periodisitas yang kuat pada frekuensi yang sesuai dalam data.

Analisis kelambatan terdistribusi adalah metode khusus untuk memperkirakan hubungan lag antar deret. Misalnya, Anda memproduksi program komputer dan ingin membangun hubungan antara jumlah permintaan yang diterima dari pelanggan dan jumlah pesanan sebenarnya. Anda dapat mencatat data ini setiap bulan selama satu tahun dan kemudian melihat hubungan antara dua variabel: jumlah permintaan dan jumlah pesanan bergantung pada permintaan, namun bergantung pada jeda. Namun, jelas bahwa permintaan mendahului pesanan, sehingga kita dapat memperkirakan jumlah pesanan tersebut. Dengan kata lain, terdapat pergeseran waktu (lag) dalam hubungan antara jumlah permintaan dengan jumlah penjualan (lihat juga autokorelasi dan korelasi silang).

Ketergantungan dengan kelambatan semacam ini sering muncul terutama dalam ekonometrika. Misalnya, pendapatan dari investasi peralatan baru tidak akan langsung terlihat jelas, melainkan hanya setelah jangka waktu tertentu. Pendapatan yang lebih tinggi mengubah pilihan perumahan masyarakat; Namun, ketergantungan ini jelas juga muncul dengan penundaan.

Dalam semua kasus ini, terdapat variabel independen atau penjelas yang mempengaruhi variabel dependen dengan beberapa penundaan (lag). Metode lag terdistribusi memungkinkan seseorang untuk mempelajari ketergantungan semacam ini.

Model umum

Misalkan y sebagai variabel terikat dan x sebagai variabel bebas atau penjelas. Variabel-variabel ini diukur beberapa kali dalam jangka waktu tertentu. Dalam beberapa buku pelajaran ekonometrika, variabel terikat disebut juga variabel endogen, dan variabel terikat atau penjelasnya disebut variabel eksogen. Cara paling sederhana untuk menggambarkan hubungan antara kedua variabel ini diberikan oleh persamaan linier berikut:

Dalam persamaan ini, nilai variabel terikat pada waktu t merupakan fungsi linier dari variabel x yang diukur pada waktu t, t-1, t-2, dst. Jadi, variabel terikatnya adalah fungsi linier dari x dan x yang digeser 1, 2, dst. periode waktu. Koefisien beta (i) dapat dianggap sebagai parameter kemiringan dalam persamaan ini. Kami akan menganggap persamaan ini sebagai kasus khusus dari persamaan regresi linier. Jika koefisien suatu variabel dengan lag tertentu signifikan, maka dapat disimpulkan bahwa variabel y diprediksi (atau dijelaskan) dengan lag.

Prosedur estimasi dan prediksi parameter yang dijelaskan pada bagian ini mengasumsikan bahwa model matematis dari proses tersebut diketahui. Dalam data nyata seringkali tidak ada komponen reguler yang terdefinisi dengan jelas. Pengamatan individual mengandung kesalahan yang signifikan, sedangkan Anda tidak hanya ingin mengisolasi komponen reguler, tetapi juga membuat perkiraan. Metodologi ARIMA yang dikembangkan oleh Box dan Jenkins (1976) memungkinkan hal ini dilakukan. Metode ini sangat populer dalam banyak penerapan, dan praktik telah membuktikan kekuatan dan fleksibilitasnya (Hoff, 1983; Pankratz, 1983; Vandaele, 1983). Namun karena kekuatan dan fleksibilitasnya, ARIMA merupakan metode yang kompleks. Ini tidak mudah digunakan dan membutuhkan banyak latihan untuk menguasainya. Meskipun seringkali memberikan hasil yang memuaskan, namun hal tersebut bergantung pada keterampilan penggunanya (Bails dan Peppers, 1982). Bagian berikut akan memperkenalkan Anda pada gagasan utamanya. Bagi mereka yang tertarik dengan pengenalan ARIMA yang ringkas dan berorientasi aplikasi (non-matematis), kami merekomendasikan McCleary, Meidinger, dan Hay (1980).

model ARIMA

Model umum yang diusulkan oleh Box dan Jenkins (1976) mencakup parameter autoregresif dan rata-rata bergerak. Yaitu, ada tiga jenis parameter model: parameter regresi otomatis (p), urutan perbedaan (d), parameter rata-rata bergerak (q). Dalam notasi Box dan Jenkins, model dituliskan sebagai ARI (p, d, q). Misalnya, model (0, 1, 2) berisi 0 (nol) parameter regresi otomatis (p) dan 2 parameter rata-rata bergerak (q), yang dihitung untuk rangkaian setelah mengambil selisih dengan lag 1.

Seperti disebutkan sebelumnya, model ARIMA mensyaratkan bahwa deret tersebut stasioner, artinya meannya konstan dan varians sampel serta autokorelasi tidak berubah seiring waktu. Oleh karena itu, perbedaan deret tersebut biasanya perlu diambil hingga menjadi stasioner (transformasi logaritmik sering juga digunakan untuk menstabilkan varians). Banyaknya selisih yang diambil untuk mencapai stasioneritas ditentukan oleh parameter d (lihat bagian sebelumnya). Untuk menentukan urutan selisih yang diperlukan, Anda perlu memeriksa grafik deret dan autokorelogram. Perubahan level yang besar (lompatan besar ke atas atau ke bawah) biasanya memerlukan pengambilan perbedaan non-musiman orde pertama (lag=1). Perubahan kemiringan yang besar memerlukan pengambilan perbedaan orde kedua. Komponen musiman memerlukan perbedaan musiman yang sesuai (lihat di bawah). Jika terjadi penurunan perlahan dalam koefisien autokorelasi sampel bergantung pada lag, biasanya diambil selisih orde pertama. Namun perlu diingat bahwa untuk beberapa deret waktu perlu mengambil selisih yang kecil atau tidak sama sekali. Perhatikan bahwa jumlah perbedaan yang diambil terlalu banyak menyebabkan estimasi koefisien menjadi kurang stabil.

Pada tahap ini (yang biasanya disebut mengidentifikasi urutan model, lihat di bawah) Anda juga harus memutuskan berapa banyak parameter regresi otomatis (p) dan rata-rata bergerak (q) yang harus ada dalam model proses yang efisien dan pelit. (Kekikiran suatu model berarti model tersebut memiliki jumlah parameter paling sedikit dan derajat kebebasan paling banyak dibandingkan model apa pun yang sesuai dengan data.) Dalam prakteknya sangat jarang jumlah parameter p atau q lebih besar dari 2 (lihat dibawah untuk pembahasan lebih lengkap).

Langkah selanjutnya setelah identifikasi (Estimasi) terdiri dari memperkirakan parameter model (yang menggunakan prosedur minimalisasi fungsi kerugian, lihat di bawah; informasi lebih rinci tentang prosedur minimalisasi diberikan di bagian Estimasi Nonlinier). Estimasi parameter yang diperoleh digunakan pada tahap terakhir (Perkiraan) untuk menghitung nilai baru dari rangkaian tersebut dan membangun interval kepercayaan untuk perkiraan tersebut. Proses estimasi dilakukan terhadap data yang ditransformasikan (dengan penerapan operator selisih). Sebelum membuat perkiraan, Anda perlu melakukan operasi sebaliknya (mengintegrasikan data). Dengan cara ini, perkiraan metodologi akan dibandingkan dengan data masukan yang sesuai. Integrasi data ditunjukkan dengan huruf P pada nama umum model (ARMA = Auto Regression Integrated Moving Average).

Selain itu, model ARIMA mungkin berisi konstanta, yang interpretasinya bergantung pada model yang dipasang. Yaitu jika (1) tidak ada parameter auto regresi pada model, maka konstanta tersebut merupakan nilai rata-rata deret tersebut, jika (2) terdapat parameter auto regresi maka konstanta tersebut merupakan suku bebas. Jika selisih deret tersebut diambil, maka konstanta mewakili mean atau suku bebas dari deret yang ditransformasikan. Misalnya, jika perbedaan pertama (perbedaan orde pertama) diambil, dan tidak ada parameter regresi otomatis dalam model, maka konstanta tersebut mewakili nilai rata-rata dari deret yang ditransformasikan dan, oleh karena itu, koefisien kemiringan tren linier dari model tersebut. yang asli.

Pemulusan eksponensial adalah metode yang sangat populer untuk meramalkan banyak deret waktu. Secara historis, metode ini ditemukan secara independen oleh Brown dan Holt.

Pemulusan eksponensial sederhana

Model deret waktu yang sederhana dan jelas secara pragmatis terlihat seperti ini:

dimana b adalah konstanta dan (epsilon) adalah kesalahan acak. Konstanta b relatif stabil pada setiap interval waktu, namun dapat juga berubah perlahan seiring berjalannya waktu. Salah satu cara intuitif untuk mengekstrak b adalah dengan menggunakan pemulusan rata-rata bergerak (moving average smoothing), yang mana observasi terbaru diberi bobot lebih besar dibandingkan observasi kedua hingga terakhir, observasi kedua hingga terakhir diberi bobot lebih besar dibandingkan observasi berikutnya hingga terakhir. yang satu, dan seterusnya. Beginilah cara kerja eksponensial sederhana. Di sini, bobot yang menurun secara eksponensial diberikan pada observasi yang lebih lama, dan, tidak seperti rata-rata bergerak, semua observasi sebelumnya dalam rangkaian tersebut diperhitungkan, dan bukan observasi yang berada dalam jangka waktu tertentu. Rumus tepat untuk pemulusan eksponensial sederhana adalah sebagai berikut:

S t = *X t + (1-)*S t-1

Ketika rumus ini diterapkan secara rekursif, setiap nilai baru yang dihaluskan (yang juga merupakan perkiraan) dihitung sebagai rata-rata tertimbang dari observasi saat ini dan rangkaian yang dihaluskan. Tentunya hasil smoothing tergantung pada parameter (alpha). Jika sama dengan 1, maka pengamatan sebelumnya diabaikan sama sekali. Jika sama dengan 0, observasi saat ini diabaikan. Nilai antara 0, 1 memberikan hasil antara.

Studi empiris yang dilakukan oleh Makridakis dkk (1982; Makridakis, 1983) menunjukkan bahwa pemulusan eksponensial sederhana seringkali memberikan ramalan yang cukup akurat.

Memilih nilai parameter terbaik (alpha)

Gardner (1985) membahas berbagai argumen teoritis dan empiris untuk memilih parameter pemulusan tertentu. Jelasnya, dari rumus di atas, maka harus berada di antara 0 (nol) dan 1 (walaupun Brenner et al., 1968, untuk penerapan analisis ARIMA lebih lanjut menganggap bahwa 0<<2). Gardner (1985) сообщает, что на практике обычно рекомендуется брать меньше.30. Однако в исследовании Makridakis et al., (1982), большее.30, часто дает лучший прогноз. После обзора литературы, Gardner (1985) приходит к выводу, что лучше оценивать оптимально по данным (см. ниже), чем просто "гадать" или использовать искусственные рекомендации.

Memperkirakan nilai terbaik menggunakan data. Dalam praktiknya, parameter pemulusan sering ditemukan menggunakan pencarian grid. Nilai parameter yang memungkinkan dibagi ke dalam grid dengan langkah tertentu. Misalnya, perhatikan kisi-kisi nilai dari = 0,1 hingga = 0,9, dengan langkah 0,1. Kemudian dipilih yang jumlah kuadratnya (atau kuadrat rata-rata) dari residunya (nilai yang diamati dikurangi prediksi langkah maju) adalah minimum.

Indeks kebaikan kecocokan

Cara paling langsung untuk mengevaluasi prediksi berdasarkan nilai tertentu adalah dengan memplot nilai yang diamati dan prediksi satu langkah ke depan. Plot ini juga mencakup residu (diplot pada sumbu Y kanan). Grafik dengan jelas menunjukkan wilayah mana yang perkiraannya lebih baik atau lebih buruk.

Pemeriksaan visual atas keakuratan perkiraan ini sering kali memberikan hasil terbaik. Ada juga ukuran kesalahan lain yang dapat digunakan untuk menentukan parameter optimal (lihat Makridakis, Wheelwright, dan McGee, 1983):

Kesalahan rata-rata. Rata-rata kesalahan (SE) dihitung hanya dengan merata-ratakan kesalahan pada setiap langkah. Kerugian nyata dari ukuran ini adalah bahwa kesalahan positif dan negatif saling menghilangkan satu sama lain, sehingga hal ini bukan merupakan indikator kualitas perkiraan yang baik.

Kesalahan absolut rata-rata. Mean absolute error (MAE) dihitung sebagai rata-rata kesalahan absolut. Jika sama dengan 0 (nol), maka kita mempunyai perfect fit (prediksi). Dibandingkan dengan kesalahan kuadrat rata-rata, ukuran ini "tidak memberikan terlalu banyak bobot" pada outlier.

Jumlah kesalahan kuadrat (SSE), akar rata-rata kesalahan kuadrat. Nilai-nilai ini dihitung sebagai jumlah (atau rata-rata) kesalahan kuadrat. Ini adalah indeks kebaikan kecocokan yang paling umum digunakan.

Kesalahan relatif (RO). Semua pengukuran sebelumnya menggunakan nilai kesalahan aktual. Tampaknya wajar untuk menyatakan indeks kesesuaian dalam bentuk kesalahan relatif. Misalnya, saat memperkirakan penjualan bulanan, yang mungkin sangat berfluktuasi (misalnya, secara musiman) dari bulan ke bulan, Anda bisa cukup puas dengan perkiraan tersebut jika perkiraan tersebut memiliki akurasi ?10%. Dengan kata lain, ketika melakukan peramalan, kesalahan absolut mungkin tidak semenarik kesalahan relatif. Untuk memperhitungkan kesalahan relatif, beberapa indeks berbeda telah diusulkan (lihat Makridakis, Wheelwright, dan McGee, 1983). Yang pertama, kesalahan relatif dihitung sebagai:

OO t = 100*(Xt - Ft)/Xt

dimana X t adalah nilai observasi pada waktu t, dan F t adalah ramalan (nilai yang dihaluskan).

Kesalahan relatif rata-rata (RME). Nilai ini dihitung sebagai rata-rata kesalahan relatif.

Berarti kesalahan relatif absolut (MAER). Seperti halnya kesalahan rata-rata normal, kesalahan relatif negatif dan positif akan saling meniadakan. Oleh karena itu, untuk menilai kualitas kecocokan secara keseluruhan (untuk keseluruhan rangkaian), sebaiknya menggunakan rata-rata kesalahan relatif absolut. Seringkali ukuran ini lebih ekspresif dibandingkan mean square error. Misalnya, mengetahui bahwa keakuratan ramalan adalah ±5% adalah hal yang berguna, sedangkan nilai 30,8 untuk mean square error tidak dapat diinterpretasikan dengan mudah.

Pencarian otomatis untuk parameter terbaik. Untuk meminimalkan kesalahan kuadrat rata-rata, kesalahan absolut rata-rata, atau kesalahan relatif absolut rata-rata, digunakan prosedur kuasi-Newtonian (sama seperti ARIMA). Dalam kebanyakan kasus, prosedur ini lebih efisien daripada pencarian mesh biasa (terutama jika terdapat beberapa parameter pemulusan), dan nilai optimal dapat ditemukan dengan cepat.

Nilai yang dihaluskan pertama S 0 . Jika Anda melihat kembali rumus pemulusan eksponensial sederhana, Anda akan melihat bahwa Anda harus memiliki nilai S 0 untuk menghitung nilai pemulusan pertama (prediksi). Tergantung pada pilihan parameter (terutama jika mendekati 0), nilai awal dari proses yang diperhalus dapat mempunyai dampak yang signifikan terhadap ramalan untuk banyak observasi berikutnya. Seperti rekomendasi penggunaan pemulusan eksponensial lainnya, disarankan untuk mengambil nilai awal yang memberikan prediksi terbaik. Di sisi lain, pengaruh pilihan berkurang seiring dengan panjangnya rangkaian dan menjadi tidak kritis dengan banyaknya observasi.

statistik deret waktu ekonomi

Kesimpulan

Analisis deret waktu adalah seperangkat metode analisis matematis dan statistik yang dirancang untuk mengidentifikasi struktur deret waktu dan ramalannya. Hal ini khususnya mencakup metode analisis regresi. Identifikasi struktur suatu deret waktu diperlukan untuk membangun model matematis dari fenomena yang menjadi sumber deret waktu yang dianalisis. Peramalan nilai masa depan dari suatu deret waktu digunakan untuk pengambilan keputusan yang efektif.

Deret waktu dipelajari untuk berbagai tujuan. Metode analisis deret waktu ditentukan, di satu sisi, oleh tujuan analisis, dan di sisi lain, oleh sifat probabilistik dari pembentukan nilai-nilainya.

Metode utama untuk mempelajari deret waktu adalah:

Ш Analisis spektral.

Ш Analisis korelasi

Ш Model Box-Jenkins Musiman.

Ш Perkiraan berdasarkan rata-rata pergerakan tertimbang secara eksponensial.

literatur

1. Bezruchko B. P., Smirnov D. A. Pemodelan matematika dan deret waktu yang kacau. -- Saratov: "Perguruan Tinggi" Pusat Ilmiah Negara, 2005. -- ISBN 5-94409-045-6

2. Blekhman I. I., Myshkis A. D., Panovko N. G., Matematika terapan: Mata pelajaran, logika, ciri-ciri pendekatan. Dengan contoh dari mekanika: Buku Teks. -- Edisi ke-3, Pdt. dan tambahan - M.: URSS, 2006. - 376 hal. ISBN 5-484-00163-3

3. Pengantar pemodelan matematika. tutorial. Ed. P.V. Trusova. - M.: Logos, 2004. - ISBN 5-94010-272-7

4. Gorban A.N., Khlebopros R.G., Setan Darwin: Ide Optimalitas dan Seleksi Alam. -- M: Sains. Ketua edisi. fisika dan matematika menyala., 1988. -- 208 hal. (Masalah kemajuan ilmu pengetahuan dan teknologi) ISBN 5-02-013901-7 (Bab “Membuat model”).

5. Jurnal Pemodelan Matematika (didirikan pada tahun 1989)

6. Malkov S. Yu., 2004. Pemodelan matematis dinamika sejarah: pendekatan dan model // Pemodelan dinamika sosial politik dan ekonomi / Ed. M.G.Dmitriev. - M.: RSSU. -- Dengan. 76-188.

7. Myshkis A.D., Elemen teori model matematika. -- Edisi ke-3, Pdt. --M.: KomKniga, 2007. -- 192 dengan ISBN 978-5-484-00953-4

8. Samarsky A. A., Mikhailov A. P. Pemodelan matematika. Ide ide. Metode. Contoh.. - Edisi ke-2, direvisi.. - M.: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X

9. Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Pemodelan sistem: Buku Teks. untuk universitas - edisi ke-3, direvisi. dan tambahan - M.: Lebih tinggi. sekolah, 2001. -- 343 hal. ISBN 5-06-003860-2

Diposting di Allbest.ru

Dokumen serupa

Konsep dan tahapan utama pengembangan ramalan. Masalah analisis deret waktu. Penilaian keadaan dan tren perkembangan peramalan berdasarkan analisis deret waktu SU-167 JSC Mozyrpromstroy, rekomendasi praktis untuk perbaikannya.

tugas kursus, ditambahkan 01/07/2013


Metodologi untuk menganalisis rangkaian waktu fenomena sosial ekonomi. Komponen yang membentuk level dalam analisis deret waktu. Tata cara penyusunan model ekspor dan impor Belanda. Tingkat autokorelasi. Korelasi deret waktu.

tugas kursus, ditambahkan 13/05/2010


Metode analisis struktur deret waktu yang mengandung fluktuasi musiman. Pertimbangan pendekatan metode rata-rata bergerak dan konstruksi model deret waktu aditif (atau perkalian). Perhitungan estimasi komponen musiman dalam model perkalian.

tes, ditambahkan 02/12/2015


Analisis sistem indikator yang mencirikan kecukupan model dan keakuratannya; penentuan kesalahan perkiraan absolut dan rata-rata. Indikator dasar dinamika fenomena ekonomi, penggunaan nilai rata-rata untuk menghaluskan deret waktu.

tes, ditambahkan 13/08/2010


Hakikat dan ciri khas metode analisis statistik: observasi statistik, pengelompokan, analisis deret waktu, indeks, sampel. Tata cara analisis deret waktu, menganalisis tren perkembangan utama dalam deret waktu.

tugas kursus, ditambahkan 03/09/2010


Melakukan studi statistik eksperimental terhadap fenomena dan proses sosial-ekonomi di wilayah Smolensk berdasarkan indikator-indikator tertentu. Konstruksi grafik statistik, deret distribusi, deret variasi, generalisasi dan evaluasinya.

tugas kursus, ditambahkan 15/03/2011


Jenis deret waktu. Persyaratan untuk informasi awal. Ciri-ciri deskriptif dinamika fenomena sosial ekonomi. Peramalan menggunakan metode rata-rata eksponensial. Indikator utama dinamika indikator perekonomian.

tes, ditambahkan 03/02/2012


Konsep dan makna deret waktu dalam statistika, struktur dan unsur pokoknya, makna. Klasifikasi dan jenis deret waktu, ciri-ciri ruang lingkup penerapannya, ciri khas dan tata cara penentuan dinamika, tahapan, deret di dalamnya.

tes, ditambahkan 13/03/2010


Pengertian konsep harga produk dan jasa; prinsip pendaftaran mereka. Perhitungan indeks harga pokok barang individu dan umum. Inti dari metode dasar penelitian sosial ekonomi adalah rata-rata struktural, deret distribusi, dan deret dinamika.

tugas kursus, ditambahkan 12/05/2011


Pembelajaran mesin dan metode statistik untuk analisis data. Penilaian keakuratan peramalan. Pra-pemrosesan data. Metode klasifikasi, regresi dan analisis deret waktu. Tetangga terdekat, mendukung mesin vektor, memperbaiki metode ruang.

Tujuan analisis deret waktu biasanya untuk membangun model matematis dari deret tersebut, yang dengannya seseorang dapat menjelaskan perilakunya dan membuat perkiraan untuk jangka waktu tertentu. Analisis deret waktu mencakup langkah-langkah utama berikut.

Analisis deret waktu biasanya dimulai dengan konstruksi dan studi grafiknya.

Jika sifat non-stasioner suatu deret waktu terlihat jelas, maka langkah pertama yang harus dilakukan adalah mengisolasi dan menghilangkan komponen deret waktu yang tidak stasioner. Proses menghilangkan suatu tren dan komponen rangkaian lainnya yang mengakibatkan pelanggaran stasioneritas dapat berlangsung dalam beberapa tahap. Masing-masing dari mereka memeriksa serangkaian residu yang diperoleh dengan mengurangkan model tren yang dipilih dari rangkaian aslinya, atau hasil perbedaan dan transformasi lain dari rangkaian tersebut. Selain grafik, tanda-tanda nonstasioneritas suatu deret waktu dapat ditunjukkan dengan fungsi autokorelasi yang tidak cenderung nol (kecuali nilai lag yang sangat besar).

Pemilihan model untuk deret waktu. Setelah proses awal sedekat mungkin dengan proses stasioner, Anda dapat mulai memilih berbagai model proses yang dihasilkan. Tujuan dari tahap ini adalah untuk menggambarkan dan memperhitungkan analisis lebih lanjut struktur korelasi dari proses yang sedang dipertimbangkan. Dalam praktiknya, model rata-rata bergerak autoregresif parametrik (model ARIMA) paling sering digunakan.

Suatu model dapat dianggap cocok jika komponen sisa dari rangkaian tersebut adalah proses jenis “white noise”, ketika residu didistribusikan menurut hukum normal dengan rata-rata sampel sama dengan 0. Setelah memasang model, biasanya dilakukan hal berikut: :

penilaian penyebaran residu, yang nantinya dapat digunakan untuk membangun interval kepercayaan untuk ramalan;

analisis residu untuk memeriksa kecukupan model.

Peramalan dan interpolasi. Tahap terakhir dari analisis deret waktu dapat berupa peramalan masa depan (ekstrapolasi) atau pemulihan nilai yang hilang (interpolasi) dan menunjukkan keakuratan ramalan tersebut berdasarkan model yang dipilih. Tidak selalu mungkin untuk memilih model matematika yang baik untuk suatu deret waktu. Ambiguitas dalam pemilihan suatu model dapat diamati baik pada tahap isolasi komponen deterministik suatu deret, maupun ketika memilih struktur deret residu. Oleh karena itu, peneliti seringkali menggunakan metode beberapa perkiraan yang dibuat dengan menggunakan model yang berbeda.

Metode analisis. Metode berikut ini biasa digunakan dalam analisis deret waktu:

metode grafis untuk menyajikan deret waktu dan karakteristik numerik yang menyertainya;

metode reduksi ke proses stasioner: detrending, model rata-rata bergerak dan autoregresi;

metode untuk mempelajari hubungan internal antar elemen deret waktu.

3.5. Metode grafis untuk analisis deret waktu

Mengapa metode grafis diperlukan? Dalam studi sampel, karakteristik numerik paling sederhana dari statistik deskriptif (mean, median, varians, standar deviasi) biasanya memberikan gambaran sampel yang cukup informatif. Metode grafis untuk menyajikan dan menganalisis sampel hanya memainkan peran pendukung, memungkinkan pemahaman yang lebih baik tentang lokalisasi dan konsentrasi data, serta hukum distribusinya.

Peran metode grafis dalam analisis deret waktu sangat berbeda. Faktanya adalah bahwa penyajian tabel deret waktu dan statistik deskriptif seringkali tidak memungkinkan seseorang untuk memahami sifat prosesnya, sementara cukup banyak kesimpulan yang dapat ditarik dari grafik deret waktu. Kedepannya dapat diperiksa dan disempurnakan dengan menggunakan perhitungan.

Saat menganalisis grafik, Anda dapat dengan yakin menentukan:

adanya suatu tren dan sifatnya;

adanya komponen musiman dan siklus;

tingkat kelancaran atau diskontinuitas perubahan nilai-nilai berturut-turut dari suatu rangkaian setelah tren dihilangkan. Dengan indikator ini seseorang dapat menilai sifat dan besarnya korelasi antara elemen-elemen yang bertetangga dalam deret tersebut.

Konstruksi dan studi grafik. Menggambar grafik deret waktu bukanlah tugas yang sederhana seperti yang terlihat pada pandangan pertama. Analisis deret waktu tingkat modern melibatkan penggunaan satu atau beberapa program komputer untuk membuat grafiknya dan semua analisis selanjutnya. Sebagian besar paket statistik dan spreadsheet dilengkapi dengan beberapa metode untuk mengatur presentasi deret waktu yang optimal, namun meskipun menggunakannya, berbagai masalah dapat muncul, misalnya:

karena terbatasnya resolusi layar komputer, ukuran grafik yang ditampilkan mungkin juga terbatas;

dengan rangkaian analisis dalam jumlah besar, titik-titik pada layar yang mewakili pengamatan rangkaian waktu dapat berubah menjadi garis hitam pekat.

Berbagai metode digunakan untuk mengatasi kesulitan ini. Kehadiran mode "kaca pembesar" atau "pembesaran" dalam prosedur grafis memungkinkan Anda untuk menggambarkan bagian yang lebih besar dari rangkaian yang dipilih, tetapi dalam kasus ini menjadi sulit untuk menilai sifat perilaku rangkaian pada keseluruhan yang dianalisis. selang. Anda harus mencetak grafik untuk masing-masing bagian rangkaian dan menggabungkannya untuk melihat gambaran perilaku rangkaian secara keseluruhan. Kadang-kadang digunakan untuk meningkatkan reproduksi dalam barisan panjang penjarangan, yaitu memilih dan menampilkan setiap detik, kelima, kesepuluh, dst. pada grafik. poin deret waktu. Prosedur ini mempertahankan pandangan holistik dari rangkaian tersebut dan berguna untuk mendeteksi tren. Dalam praktiknya, kombinasi kedua prosedur berguna: memecah rangkaian menjadi beberapa bagian dan menipiskan, karena keduanya memungkinkan seseorang untuk menentukan karakteristik perilaku rangkaian waktu.

Masalah lain saat mereproduksi grafik dibuat oleh emisi– pengamatan yang besarnya beberapa kali lebih besar daripada sebagian besar nilai lain dalam rangkaian tersebut. Kehadiran mereka juga menyebabkan fluktuasi deret waktu tidak dapat dibedakan, karena program secara otomatis memilih skala gambar sehingga semua pengamatan sesuai dengan layar. Memilih skala yang berbeda pada sumbu y menghilangkan masalah ini, namun pengamatan yang sangat berbeda tetap tidak terlihat.

Grafik tambahan. Saat menganalisis deret waktu, grafik bantu sering digunakan untuk karakteristik numerik deret tersebut:

grafik contoh fungsi autokorelasi (korelogram) dengan zona kepercayaan (tabung) untuk fungsi autokorelasi nol;

plot fungsi autokorelasi parsial sampel dengan zona kepercayaan untuk fungsi autokorelasi parsial nol;

grafik periodogram.

Dua grafik pertama memungkinkan untuk menilai hubungan (ketergantungan) nilai-nilai tetangga waktu rad, mereka digunakan dalam pemilihan model parametrik autoregresi dan rata-rata bergerak. Grafik periodogram memungkinkan seseorang untuk menilai keberadaan komponen harmonik dalam suatu deret waktu.

16/02/15 Viktor Gavrilov

44859 0

Deret waktu adalah rangkaian nilai yang berubah seiring waktu. Saya akan mencoba membicarakan beberapa pendekatan sederhana namun efektif untuk bekerja dengan urutan seperti itu di artikel ini. Ada banyak contoh data tersebut - kutipan mata uang, volume penjualan, permintaan pelanggan, data dalam berbagai ilmu terapan (sosiologi, meteorologi, geologi, observasi fisika) dan banyak lagi.

Seri adalah bentuk deskripsi data yang umum dan penting, karena memungkinkan kita mengamati seluruh riwayat perubahan nilai yang menarik bagi kita. Hal ini memberi kita kesempatan untuk menilai perilaku “khas” suatu kuantitas dan penyimpangan dari perilaku tersebut.

Saya dihadapkan pada tugas untuk memilih kumpulan data yang memungkinkan untuk mendemonstrasikan dengan jelas fitur deret waktu. Saya memutuskan untuk menggunakan statistik lalu lintas penumpang maskapai penerbangan internasional karena kumpulan data ini sangat jelas dan telah menjadi standar (http://robjhyndman.com/tsdldata/data/airpass.dat, sumber Time Series Data Library, R. J. Hyndman). Seri tersebut menggambarkan jumlah penumpang maskapai internasional per bulan (dalam ribuan) selama periode 1949 hingga 1960.

Karena saya selalu memiliki alat "" yang menarik untuk bekerja dengan baris, saya akan menggunakannya. Sebelum mengimpor data ke dalam file, Anda perlu menambahkan kolom dengan tanggal sehingga nilainya terikat dengan waktu, dan kolom dengan nama rangkaian untuk setiap observasi. Di bawah ini Anda dapat melihat seperti apa file sumber saya, yang saya impor ke Platform Prognoz menggunakan Wizard Impor langsung dari alat analisis deret waktu.

Hal pertama yang biasanya kita lakukan dengan deret waktu adalah memplotnya pada grafik. Platform Prognoz memungkinkan Anda membuat bagan hanya dengan menyeret rangkaian ke dalam buku kerja.

Deret waktu pada grafik

Simbol ‘M’ di akhir nama deret berarti deret tersebut mempunyai dinamika bulanan (interval antar pengamatan adalah satu bulan).

Dari grafik kita melihat bahwa rangkaian tersebut menunjukkan dua fitur:

• kecenderungan– pada grafik kami, ini adalah peningkatan jangka panjang pada nilai yang diamati. Terlihat bahwa trennya hampir linier.
• musiman– pada grafik ini adalah fluktuasi nilai secara berkala. Pada artikel berikutnya tentang topik deret waktu, kita akan mempelajari cara menghitung periode.

Seri kami cukup “rapi”, namun seringkali ada seri yang, selain dua karakteristik yang dijelaskan di atas, menunjukkan karakteristik lain - adanya “noise”, yaitu. variasi acak dalam satu bentuk atau lainnya. Contoh rangkaian tersebut dapat dilihat pada grafik di bawah ini. Ini adalah gelombang sinus yang dicampur dengan variabel acak.

Saat menganalisis rangkaian, kami tertarik untuk mengidentifikasi strukturnya dan menilai semua komponen utama - tren, musim, kebisingan, dan fitur lainnya, serta kemampuan untuk membuat perkiraan perubahan nilai di periode mendatang.

Saat bekerja dengan rangkaian, adanya noise sering kali menyulitkan analisis struktur rangkaian. Untuk menghilangkan pengaruhnya dan melihat struktur deret dengan lebih baik, Anda dapat menggunakan metode pemulusan deret.

Metode penghalusan rangkaian yang paling sederhana adalah rata-rata bergerak. Idenya adalah untuk setiap titik ganjil dalam barisan deret, gantikan titik pusat dengan rata-rata aritmatika dari titik-titik yang tersisa:

Di mana x saya– baris awal, ya– seri yang dihaluskan.

Di bawah ini Anda dapat melihat hasil penerapan algoritma ini pada dua seri kami. Secara default, Prognoz Platform menyarankan penggunaan anti-aliasing dengan ukuran jendela 5 poin ( k dalam rumus kita di atas akan sama dengan 2). Harap dicatat bahwa sinyal yang diperhalus tidak lagi terpengaruh oleh noise, tetapi seiring dengan noise, tentu saja beberapa informasi berguna tentang dinamika rangkaian juga menghilang. Jelas juga bahwa seri yang dihaluskan tidak memiliki yang pertama (dan juga yang terakhir) k poin. Hal ini disebabkan oleh fakta bahwa pemulusan dilakukan pada titik tengah jendela (dalam kasus kami, titik ketiga), setelah itu jendela digeser satu titik, dan perhitungan diulangi. Untuk rangkaian acak kedua, saya menggunakan pemulusan dengan jendela 30 untuk mengidentifikasi struktur rangkaian dengan lebih baik, karena rangkaian tersebut adalah “frekuensi tinggi” dengan banyak titik.

Metode rata-rata bergerak mempunyai kelemahan tertentu:

• Rata-rata bergerak tidak efisien untuk dihitung. Untuk setiap poin, rata-ratanya harus dihitung ulang lagi. Kami tidak dapat menggunakan kembali hasil yang dihitung untuk poin sebelumnya.
• Rata-rata pergerakan tidak dapat diperluas ke titik pertama dan terakhir dari rangkaian tersebut. Ini bisa menimbulkan masalah jika ini adalah poin yang kita minati.
• Rata-rata pergerakan tidak ditentukan di luar rangkaian, dan akibatnya, tidak dapat digunakan untuk peramalan.

Pemulusan eksponensial

Metode pemulusan yang lebih canggih yang juga dapat digunakan untuk peramalan adalah pemulusan eksponensial, kadang juga disebut metode Holt-Winters menurut nama penciptanya.

Ada beberapa variasi dari metode ini:

• pemulusan tunggal untuk seri yang tidak memiliki tren atau musiman;
• pemulusan ganda untuk seri yang memiliki tren, tetapi tidak ada musim;
• triple smoothing untuk seri yang memiliki tren dan musiman.

Metode pemulusan eksponensial menghitung nilai rangkaian yang dihaluskan dengan memperbarui nilai yang dihitung pada langkah sebelumnya menggunakan informasi dari langkah saat ini. Informasi dari langkah sebelumnya dan saat ini diambil dengan bobot berbeda yang dapat dikontrol.

Dalam versi pemulusan tunggal yang paling sederhana, rasionya adalah:

Parameter α mendefinisikan hubungan antara nilai yang tidak dihaluskan pada langkah saat ini dan nilai yang dihaluskan dari langkah sebelumnya. Pada α =1 kita hanya akan mengambil poin dari deret aslinya, yaitu tidak akan ada kelancaran. Pada α =0 baris kita hanya akan mengambil nilai yang dihaluskan dari langkah sebelumnya, yaitu. deret tersebut akan menjadi sebuah konstanta.

Untuk memahami mengapa pemulusan disebut eksponensial, kita perlu memperluas hubungan secara rekursif:

Jelas dari hubungan tersebut bahwa semua nilai seri sebelumnya berkontribusi pada nilai yang dihaluskan saat ini, namun kontribusinya memudar secara eksponensial karena peningkatan derajat parameter. α .

Namun, jika ada tren dalam data, pemulusan sederhana akan “tertinggal” di belakangnya (atau Anda harus mengambil nilainya α mendekati 1, namun penghalusannya tidak cukup). Anda perlu menggunakan pemulusan eksponensial ganda.

Pemulusan ganda sudah menggunakan dua persamaan - satu persamaan mengevaluasi tren sebagai selisih antara nilai pemulusan saat ini dan sebelumnya, kemudian menghaluskan tren dengan pemulusan sederhana. Persamaan kedua melakukan pemulusan seperti pada kasus sederhana, namun suku kedua menggunakan jumlah dari nilai yang dihaluskan sebelumnya dan trennya.

Pemulusan rangkap tiga mencakup komponen lain - musiman, dan menggunakan persamaan lain. Dalam hal ini, ada dua varian komponen musiman – aditif dan perkalian. Dalam kasus pertama, amplitudo komponen musiman adalah konstan dan tidak bergantung pada amplitudo dasar rangkaian dari waktu ke waktu. Dalam kasus kedua, amplitudo berubah seiring dengan perubahan amplitudo dasar rangkaian. Inilah kasus kami, seperti yang dapat dilihat dari grafik. Seiring bertambahnya rangkaian, amplitudo fluktuasi musiman meningkat.

Karena baris pertama kita memiliki tren dan musiman, saya memutuskan untuk memilih tiga parameter pemulusan untuk baris tersebut. Di Platform Prognoz, hal ini cukup mudah dilakukan, karena ketika nilai parameter diperbarui, platform segera menggambar ulang grafik rangkaian yang dihaluskan, dan secara visual Anda dapat langsung melihat seberapa baik grafik tersebut menggambarkan rangkaian asli kami. Saya menetapkan nilai-nilai berikut:

Kita akan melihat bagaimana saya menghitung periode di artikel deret waktu berikutnya.

Biasanya, nilai antara 0,2 dan 0,4 dapat dianggap sebagai perkiraan pertama. Platform Prognoz juga menggunakan model dengan parameter tambahan ɸ , yang meredam tren sehingga mendekati konstan di masa depan. Untuk ɸ Saya mengambil nilai 1, yang sesuai dengan model normal.

Saya juga membuat perkiraan nilai deret menggunakan metode ini selama 2 tahun terakhir. Pada gambar di bawah, saya menandai titik awal ramalan dengan menggambar garis melewatinya. Seperti yang Anda lihat, rangkaian asli dan rangkaian yang dihaluskan cukup cocok, termasuk selama periode perkiraan - lumayan untuk metode sederhana seperti itu!

Platform Prognoz juga memungkinkan Anda untuk secara otomatis memilih nilai parameter optimal menggunakan pencarian sistematis dalam ruang nilai parameter dan meminimalkan jumlah deviasi kuadrat dari rangkaian yang dihaluskan dari yang asli.

Metode yang dijelaskan sangat sederhana, mudah diterapkan, dan memberikan titik awal yang baik untuk menganalisis struktur dan peramalan deret waktu.

Baca lebih lanjut mengenai deret waktu pada artikel selanjutnya.

Jenis dan metode analisis deret waktu

Deret waktu adalah kumpulan pengukuran berurutan suatu variabel yang dilakukan pada interval waktu yang sama. Analisis deret waktu memungkinkan Anda memecahkan masalah berikut:

• jelajahi struktur deret waktu, yang biasanya mencakup tren - perubahan teratur pada tingkat rata-rata, serta fluktuasi periodik acak;
• mengeksplorasi hubungan sebab-akibat antara proses yang menentukan perubahan dalam rangkaian, yang memanifestasikan dirinya dalam korelasi antar rangkaian waktu;
• membangun model matematika dari proses yang diwakili oleh deret waktu;
• mengubah deret waktu menggunakan alat pemulusan dan pemfilteran;
• memprediksi perkembangan proses di masa depan.

Sebagian besar metode yang diketahui dimaksudkan untuk menganalisis proses stasioner, yang sifat statistiknya, ditandai dengan distribusi normal dalam nilai rata-rata dan varians, adalah konstan dan tidak berubah seiring waktu.

Namun serial tersebut seringkali memiliki karakter non-stasioner. Non-stasioneritas dapat dihilangkan dengan cara berikut:

• kurangi trennya, mis. perubahan nilai rata-rata yang diwakili oleh beberapa fungsi deterministik yang dapat dipilih melalui analisis regresi;
• melakukan pemfilteran dengan filter khusus non stasioner.

Untuk membakukan deret waktu untuk keseragaman metode

analisis, disarankan untuk melakukan pemusatan umum atau musiman dengan membaginya dengan nilai rata-rata, serta normalisasi dengan membaginya dengan standar deviasi.

Pemusatan suatu rangkaian menghilangkan mean bukan nol yang dapat membuat hasil sulit diinterpretasikan, misalnya dalam analisis spektral. Tujuan dari normalisasi adalah untuk menghindari operasi dengan jumlah yang besar dalam perhitungan, yang dapat mengakibatkan penurunan keakuratan perhitungan.

Setelah transformasi awal deret waktu ini, model matematisnya dapat dibangun, sesuai dengan perkiraan yang dilakukan, yaitu. Beberapa kelanjutan dari rangkaian waktu diperoleh.

Agar hasil ramalan dapat dibandingkan dengan data aslinya, maka harus dilakukan transformasi yang berbanding terbalik dengan yang dilakukan.

Dalam praktiknya, metode pemodelan dan peramalan paling sering digunakan, dan analisis korelasi dan spektral dianggap sebagai metode tambahan. Ini adalah khayalan. Metode peramalan perkembangan tren rata-rata memungkinkan diperolehnya estimasi dengan kesalahan yang signifikan, sehingga sangat sulit untuk memprediksi nilai masa depan suatu variabel yang diwakili oleh deret waktu.

Metode korelasi dan analisis spektral memungkinkan untuk mengidentifikasi berbagai, termasuk sifat inersia, dari sistem di mana proses yang diteliti berkembang. Penggunaan metode-metode ini memungkinkan untuk menentukan dengan cukup yakin dari dinamika proses saat ini bagaimana dan dengan penundaan berapa dinamika yang diketahui akan mempengaruhi perkembangan proses di masa depan. Untuk peramalan jangka panjang, jenis analisis ini memberikan hasil yang berharga.

Analisis dan perkiraan tren

Analisis tren dimaksudkan untuk mempelajari perubahan nilai rata-rata suatu deret waktu dengan konstruksi model matematis dari tren tersebut dan, atas dasar ini, meramalkan nilai-nilai deret tersebut di masa depan. Analisis tren dilakukan dengan membangun model regresi linier atau nonlinier sederhana.

Data awal yang digunakan adalah dua variabel, yang satu merupakan nilai parameter waktu, dan yang lainnya merupakan nilai aktual deret waktu. Selama proses analisis Anda dapat:

• menguji beberapa model tren matematika dan memilih salah satu yang lebih akurat menggambarkan dinamika rangkaian;
• membuat perkiraan perilaku deret waktu di masa depan berdasarkan model tren yang dipilih dengan probabilitas kepercayaan tertentu;
• menghapus tren dari deret waktu untuk memastikan stasioneritasnya, yang diperlukan untuk analisis korelasi dan spektral; untuk ini, setelah menghitung model regresi, perlu untuk menyimpan residu untuk melakukan analisis.

Berbagai fungsi dan kombinasi digunakan sebagai model tren, serta rangkaian kekuatan, kadang-kadang disebut model polinomial. Akurasi terbesar diberikan oleh model dalam bentuk deret Fourier, tetapi tidak banyak paket statistik yang mengizinkan penggunaan model tersebut.

Mari kita ilustrasikan derivasi model tren seri. Kami menggunakan serangkaian data produk nasional bruto AS untuk periode 1929-1978. dengan harga saat ini. Mari kita membangun model regresi polinomial. Keakuratan model meningkat hingga derajat polinomial mencapai seperlima:

kamu = 145,6 - 35,67* + 4,59* 2 - 0,189* 3 + 0,00353x 4 + 0,000024* 5,

(14,9) (5,73) (0,68) (0,033) (0,00072) (0,0000056)

Di mana kamu - GNP, miliar dolar;

* - tahun dihitung sejak tahun pertama 1929;

Di bawah koefisien adalah kesalahan standarnya.

Kesalahan standar koefisien model kecil, tidak mencapai nilai yang sama dengan setengah nilai koefisien model. Hal ini menunjukkan kualitas model yang baik.

Koefisien determinasi model yang sama dengan kuadrat koefisien korelasi berganda tereduksi adalah 99%. Artinya model tersebut menjelaskan 99% data. Kesalahan standar model tersebut ternyata 14,7 miliar, dan tingkat signifikansi hipotesis nol - hipotesis tidak adanya hubungan - kurang dari 0,1%.

Dengan menggunakan model yang dihasilkan, dimungkinkan untuk memberikan perkiraan, yang dibandingkan dengan data aktual, diberikan dalam Tabel. PZ. 1.

Perkiraan dan ukuran sebenarnya dari GNP AS, miliar dolar.

Tabel PZ.1

Ramalan yang diperoleh dengan menggunakan model polinomial kurang akurat, terbukti dari data yang disajikan pada tabel.

Analisis korelasi

Analisis korelasi diperlukan untuk mengidentifikasi korelasi dan kelambanannya – keterlambatan periodisitasnya. Komunikasi dalam satu proses disebut autokorelasi, dan hubungan antara dua proses yang dicirikan oleh seri - korelasi silang. Tingkat korelasi yang tinggi dapat berfungsi sebagai indikator hubungan sebab-akibat, interaksi dalam satu proses, antara dua proses, dan nilai lag menunjukkan penundaan waktu dalam transmisi interaksi.

Biasanya, dalam proses penghitungan nilai fungsi korelasi pada Ke Langkah ke-menghitung korelasi antar variabel sepanjang ruas / = 1,..., (hal - k) baris pertama X dan segmen / = Ke,..., P baris kedua K Panjang segmen berubah.

Hasilnya adalah nilai yang sulit untuk ditafsirkan secara praktis, mengingatkan pada koefisien korelasi parametrik, tetapi tidak identik dengannya. Oleh karena itu, kemungkinan analisis korelasi, metodologi yang digunakan dalam banyak paket statistik, terbatas pada rentang kelas deret waktu yang sempit, yang tidak khas untuk sebagian besar proses ekonomi.

Para ekonom dalam analisis korelasi tertarik untuk mempelajari kelambanan dalam transfer pengaruh dari satu proses ke proses lainnya atau pengaruh gangguan awal terhadap perkembangan selanjutnya dari proses yang sama. Untuk mengatasi masalah tersebut, diusulkan modifikasi metode yang dikenal, yang disebut korelasi interval".

Kulaichev A.P. Metode dan alat untuk analisis data di lingkungan Windows. - M.: Informatika dan Komputer, 2003.

Fungsi korelasi interval adalah urutan koefisien korelasi yang dihitung antara segmen tetap dari baris pertama dengan ukuran dan posisi tertentu dan segmen baris kedua berukuran sama, dipilih dengan pergeseran berturut-turut dari awal rangkaian.

Dua parameter baru ditambahkan ke definisi: panjang fragmen deret yang digeser dan posisi awalnya, dan definisi koefisien korelasi Pearson yang diterima dalam statistik matematika juga digunakan. Hal ini membuat nilai yang dihitung dapat dibandingkan dan mudah diinterpretasikan.

Biasanya, untuk melakukan analisis, perlu memilih satu atau dua variabel untuk analisis autokorelasi atau korelasi silang, dan juga mengatur parameter berikut:

Dimensi langkah waktu dari rangkaian yang dianalisis untuk pencocokan

hasil dengan timeline nyata;

Panjang pecahan baris pertama yang digeser, berupa bilangan yang dimasukkan

dari elemen rangkaian;

Pergeseran fragmen ini relatif terhadap awal baris.

Tentu saja perlu memilih opsi korelasi interval atau fungsi korelasi lainnya.

Jika satu variabel dipilih untuk dianalisis, maka nilai fungsi autokorelasi dihitung untuk meningkatkan lag secara berturut-turut. Fungsi autokorelasi memungkinkan kita untuk menentukan sejauh mana dinamika perubahan dalam suatu fragmen tertentu direproduksi dalam segmennya sendiri yang bergeser dalam waktu.

Jika dua variabel dipilih untuk dianalisis, maka nilai fungsi korelasi silang dihitung untuk peningkatan lag secara berturut-turut - pergeseran variabel kedua yang dipilih relatif terhadap variabel pertama. Fungsi korelasi silang memungkinkan kita menentukan sejauh mana perubahan pada fragmen baris pertama direproduksi dalam fragmen baris kedua yang digeser dalam waktu.

Hasil analisis harus mencakup perkiraan nilai kritis koefisien korelasi g 0 untuk sebuah hipotesis "r 0= 0" pada tingkat signifikansi tertentu. Hal ini memungkinkan Anda untuk mengabaikan koefisien korelasi yang tidak signifikan secara statistik. Penting untuk mendapatkan nilai fungsi korelasi yang menunjukkan kelambatan. Grafik fungsi korelasi otomatis atau silang sangat berguna dan visual.

Mari kita ilustrasikan penggunaan analisis korelasi silang dengan sebuah contoh. Mari kita evaluasi hubungan antara tingkat pertumbuhan GNP Amerika Serikat dan Uni Soviet selama 60 tahun dari tahun 1930 hingga 1979. Untuk memperoleh karakteristik tren jangka panjang, fragmen rangkaian yang bergeser dipilih yang berdurasi 25 tahun. Hasilnya, koefisien korelasi diperoleh untuk lag yang berbeda.

Satu-satunya jeda di mana korelasinya menjadi signifikan adalah 28 tahun. Koefisien korelasi pada lag ini adalah 0,67, sedangkan ambang batasnya, nilai minimumnya adalah 0,36. Ternyata siklus pembangunan jangka panjang ekonomi Uni Soviet dengan jeda 28 tahun berkaitan erat dengan siklus pembangunan jangka panjang perekonomian AS.

Analisis spektral

Cara umum untuk menganalisis struktur deret waktu stasioner adalah dengan menggunakan transformasi Fourier diskrit untuk memperkirakan kerapatan spektral atau spektrum deret tersebut. Metode ini dapat digunakan:

• memperoleh statistik deskriptif satu deret waktu atau statistik deskriptif ketergantungan antara dua deret waktu;
• mengidentifikasi sifat periodik dan kuasiperiodik suatu deret;
• untuk memeriksa kecukupan model yang dibangun dengan metode lain;
• untuk presentasi data terkompresi;
• untuk menginterpolasi dinamika deret waktu.

Keakuratan estimasi analisis spektral dapat ditingkatkan melalui penggunaan metode khusus - penggunaan metode penghalusan jendela dan rata-rata.

Untuk analisis, Anda harus memilih satu atau dua variabel, dan parameter berikut harus ditentukan:

• dimensi langkah waktu dari rangkaian yang dianalisis, yang diperlukan untuk mengoordinasikan hasil dengan skala waktu dan frekuensi nyata;
• panjang Ke segmen deret waktu yang dianalisis, berupa jumlah data yang termasuk di dalamnya;
• pergeseran segmen baris berikutnya ke 0 relatif terhadap yang sebelumnya;
• jenis jendela waktu pemulusan untuk menekan apa yang disebut efek kebocoran listrik;
• jenis rata-rata karakteristik frekuensi yang dihitung pada segmen rangkaian waktu yang berurutan.

Hasil analisisnya meliputi spektogram – nilai karakteristik spektrum frekuensi amplitudo dan nilai karakteristik frekuensi fasa. Dalam hal analisis lintas spektral, hasilnya juga berupa nilai fungsi transfer dan fungsi koherensi spektrum. Hasil analisis juga dapat mencakup data periodogram.

Karakteristik amplitudo-frekuensi dari spektrum silang, juga disebut kerapatan lintas-spektral, mewakili ketergantungan amplitudo spektrum timbal balik dari dua proses yang saling berhubungan pada frekuensi. Karakteristik ini dengan jelas menunjukkan pada frekuensi apa perubahan daya yang sinkron dan bersesuaian diamati dalam dua rangkaian waktu yang dianalisis atau di mana area kebetulan maksimum dan perbedaan maksimumnya berada.

Mari kita ilustrasikan penggunaan analisis spektral dengan sebuah contoh. Mari kita analisa gelombang kondisi perekonomian di Eropa pada periode awal perkembangan industri. Untuk analisisnya, kami menggunakan rangkaian waktu indeks harga gandum yang dirata-ratakan oleh Beveridge berdasarkan data dari 40 pasar Eropa selama 370 tahun dari tahun 1500 hingga 1869. Kami memperoleh spektrumnya

seri dan segmen individualnya berlangsung 100 tahun setiap 25 tahun.

Analisis spektral memungkinkan Anda memperkirakan kekuatan setiap harmonik dalam spektrum. Yang paling kuat adalah gelombang dengan periode 50 tahun, yang seperti diketahui ditemukan oleh N. Kondratiev 1 dan mendapatkan namanya. Analisis ini memungkinkan kita untuk menetapkan bahwa mereka tidak terbentuk pada akhir abad ke-17 - awal abad ke-19, seperti yang diyakini banyak ekonom. Mereka dibentuk dari tahun 1725 hingga 1775.

Konstruksi model rata-rata bergerak autoregresif dan terintegrasi ( ARIMA) dianggap berguna untuk mendeskripsikan dan meramalkan deret waktu stasioner dan deret nonstasioner yang menunjukkan fluktuasi seragam di sekitar mean yang berubah.

Model ARIMA adalah kombinasi dari dua model: autoregresi (AR) dan rata-rata bergerak (rata-rata bergerak - MA).

Model Rata-Rata Bergerak (MA) mewakili proses stasioner sebagai kombinasi linier dari nilai-nilai yang berurutan dari apa yang disebut "white noise". Model seperti itu berguna baik sebagai deskripsi independen dari proses stasioner, dan sebagai tambahan pada model autoregresif untuk deskripsi yang lebih rinci tentang komponen kebisingan.

Algoritma untuk menghitung parameter model MA sangat sensitif terhadap kesalahan pemilihan jumlah parameter untuk deret waktu tertentu, terutama terhadap arah peningkatannya, yang dapat mengakibatkan kurangnya konvergensi perhitungan. Disarankan untuk tidak memilih model rata-rata bergerak dengan jumlah parameter yang banyak pada tahap awal analisis.

Penilaian awal - analisis tahap pertama menggunakan model ARIMA. Proses penilaian awal dihentikan setelah penerimaan hipotesis tentang kecukupan model terhadap deret waktu atau setelah jumlah parameter yang diizinkan habis. Oleh karena itu, hasil analisisnya antara lain:

• nilai parameter model autoregresif dan model rata-rata bergerak;
• untuk setiap langkah perkiraan, nilai perkiraan rata-rata, kesalahan standar perkiraan, interval kepercayaan perkiraan untuk tingkat signifikansi tertentu ditunjukkan;
• statistik untuk menilai tingkat signifikansi hipotesis residu tidak berkorelasi;
• plot deret waktu yang menunjukkan kesalahan standar ramalan.

• Sebagian besar materi pada bagian PZ didasarkan pada ketentuan buku: Basovsky L.E. Peramalan dan perencanaan dalam kondisi pasar. - M.: INFRA-M, 2008. Gilmore R. Teori terapan bencana: Dalam 2 buku. Buku 1/ Per. dari bahasa Inggris M.: Mir, 1984.
• Jean Baptiste Joseph Fourier (Jean Baptiste Joseph Fourier; 1768-1830) - matematikawan dan fisikawan Perancis.
• Nikolai Dmitrievich Kondratiev (1892-1938) - Ekonom Rusia dan Soviet.

ANALISIS SERI WAKTU

PERKENALAN

BAB 1. ANALISIS RANGKA WAKTU

1.1 RANGKAIAN WAKTU DAN ELEMEN DASARNYA

1.2 AUTOKORELASI TINGKAT RANGKA WAKTU DAN IDENTIFIKASI STRUKTURNYA

1.3 PEMODELAN TREND SERI WAKTU

1.4 METODE KOTAK TERKECIL

1.5 MENGURANGI PERSAMAAN TREND MENJADI BENTUK LINEAR

1.6 ESTIMASI PARAMETER PERSAMAAN REGRESI

1.7 MODEL SERI WAKTU TAMBAHAN DAN MULTIPLICATE

1.8 SERI WAKTU STASIUN

1.9 MENERAPKAN FAST FOURIER TRANSFORM PADA RANGKA WAKTU STASIUN

1.10 AUTOKORELASI SISA. KRITERIA DURBIN-WATSON

Perkenalan

Hampir disetiap bidang terdapat fenomena-fenomena yang menarik dan penting untuk dikaji perkembangannya dan perubahannya seiring berjalannya waktu. Dalam kehidupan sehari-hari, misalnya, kondisi meteorologi, harga suatu produk tertentu, karakteristik tertentu dari status kesehatan seseorang, dan lain-lain mungkin menjadi perhatian, yang semuanya berubah seiring berjalannya waktu. Seiring berjalannya waktu, aktivitas bisnis, cara proses produksi tertentu, kedalaman tidur seseorang, dan persepsi terhadap program televisi berubah. Totalitas pengukuran suatu karakteristik semacam ini selama periode waktu tertentu mewakili rangkaian waktu.

Himpunan metode yang ada untuk menganalisis rangkaian pengamatan tersebut disebut analisis deret waktu.

Ciri utama yang membedakan analisis deret waktu dengan jenis analisis statistik lainnya adalah pentingnya urutan pengamatan yang dilakukan. Jika dalam banyak masalah pengamatan tidak bergantung pada statistik, maka dalam deret waktu, pengamatan tersebut biasanya bergantung, dan sifat ketergantungan ini dapat ditentukan oleh posisi pengamatan dalam urutan tersebut. Sifat deret dan struktur proses yang menghasilkan deret tersebut dapat menentukan terlebih dahulu urutan pembentukan deret tersebut.

Target Pekerjaannya terdiri dari memperoleh model deret waktu diskrit dalam domain waktu, yang memiliki kesederhanaan maksimum dan jumlah parameter minimum dan pada saat yang sama menggambarkan pengamatan secara memadai.

Mendapatkan model seperti itu penting karena alasan berikut:

1) dapat membantu untuk memahami sifat sistem yang menghasilkan deret waktu;

2) mengontrol proses yang menghasilkan rangkaian;

3) dapat digunakan untuk memprediksi secara optimal nilai deret waktu di masa depan;

Rangkaian waktu paling baik dijelaskan model non-stasioner, di mana tren dan karakteristik pseudo-stabil lainnya, yang mungkin berubah seiring waktu, dianggap sebagai fenomena statistik daripada deterministik. Selain itu, rangkaian waktu yang terkait dengan perekonomian sering kali terlihat jelas musiman, atau periodik, komponen; komponen-komponen ini dapat bervariasi dari waktu ke waktu dan harus dijelaskan dengan model statistik siklik (mungkin non-stasioner).

Misalkan deret waktu yang diamati adalah y 1 , y 2 , . . ., kamun. Kami akan memahami entri ini sebagai berikut. Terdapat T angka yang mewakili observasi suatu variabel pada T momen waktu yang berjarak sama. Untuk memudahkan, momen-momen ini diberi nomor dengan bilangan bulat 1, 2, . . .,T. Model matematika (statistik atau probabilistik) yang cukup umum adalah model dengan bentuk:

kamu t = f(t) + kamu t , t = 1, 2, . . ., T.

Dalam model ini, deret yang diamati dianggap sebagai penjumlahan dari barisan deterministik lengkap (f(t)), yang dapat disebut komponen matematika, dan barisan acak (ut ), yang mematuhi hukum probabilistik. (Dan terkadang istilah sinyal dan noise digunakan untuk kedua komponen ini). Komponen-komponen rangkaian yang diamati ini tidak dapat teramati; mereka adalah besaran teoritis. Arti sebenarnya dari penguraian ini tidak hanya bergantung pada data itu sendiri, tetapi sebagian pada apa yang dimaksud dengan pengulangan percobaan yang menghasilkan data tersebut. Apa yang disebut interpretasi “frekuensi” digunakan di sini. Diyakini bahwa, setidaknya pada prinsipnya, adalah mungkin untuk mengulangi seluruh situasi, memperoleh serangkaian pengamatan baru. Komponen acak, antara lain, mungkin mencakup kesalahan observasi.

Makalah ini membahas model deret waktu di mana komponen acak ditumpangkan pada tren, membentuk proses stasioner acak. Dalam model seperti ini diasumsikan bahwa perjalanan waktu tidak mempengaruhi komponen acak dengan cara apapun. Lebih tepatnya, diasumsikan bahwa ekspektasi matematis (yaitu, nilai rata-rata) dari komponen acak sama dengan nol, variansnya sama dengan suatu konstanta, dan nilai ut pada waktu yang berbeda tidak berkorelasi. Jadi, setiap ketergantungan waktu termasuk dalam komponen sistematik f(t). Urutan f(t) mungkin bergantung pada beberapa koefisien yang tidak diketahui dan kuantitas yang diketahui yang berubah seiring waktu. Dalam hal ini disebut “fungsi regresi”. Metode inferensi statistik untuk koefisien fungsi regresi terbukti berguna dalam banyak bidang statistik. Keunikan metode yang berkaitan secara khusus dengan deret waktu adalah bahwa metode tersebut mempelajari model-model di mana besaran-besaran yang disebutkan di atas yang berubah seiring waktu diketahui sebagai fungsi t.

Bab 1. Analisis deret waktu

1.1 Deret waktu dan elemen utamanya

Deret waktu adalah kumpulan nilai indikator apa pun selama beberapa momen atau periode waktu berturut-turut. Setiap tingkat deret waktu terbentuk di bawah pengaruh sejumlah besar faktor, yang dapat dibagi menjadi tiga kelompok:

· faktor-faktor yang membentuk tren seri;

· faktor-faktor yang membentuk fluktuasi siklus dalam rangkaian;

· faktor acak.

Dengan kombinasi yang berbeda dari faktor-faktor ini dalam proses atau fenomena yang diteliti, ketergantungan tingkat-tingkat rangkaian terhadap waktu dapat mengambil bentuk yang berbeda-beda. Pertama, sebagian besar indikator ekonomi rangkaian waktu memiliki tren yang mencirikan dampak kumulatif jangka panjang dari banyak faktor terhadap dinamika indikator yang dipelajari. Jelas bahwa faktor-faktor ini, jika dilihat secara terpisah, dapat mempunyai dampak multi arah terhadap indikator yang diteliti. Namun, secara bersama-sama mereka membentuk tren meningkat atau menurun.

Kedua, indikator yang dipelajari mungkin mengalami fluktuasi siklus. Fluktuasi ini mungkin bersifat musiman, karena aktivitas sejumlah sektor ekonomi dan pertanian bergantung pada waktu dalam setahun. Jika sejumlah besar data tersedia dalam jangka waktu yang lama, fluktuasi siklus dapat diidentifikasi terkait dengan dinamika keseluruhan rangkaian waktu.

Beberapa deret waktu tidak mengandung tren atau komponen siklus, dan setiap level berikutnya dibentuk sebagai jumlah dari level rata-rata deret tersebut dan beberapa komponen acak (positif atau negatif).

Dalam kebanyakan kasus, tingkat aktual suatu deret waktu dapat direpresentasikan sebagai jumlah atau produk dari komponen tren, siklus, dan acak. Suatu model yang deret waktu disajikan sebagai jumlah dari komponen-komponen yang terdaftar disebut model aditif rangkaian waktu. Suatu model yang deret waktu disajikan sebagai produk dari komponen-komponen yang terdaftar disebut model perkalian rangkaian waktu. Tugas utama studi statistik deret waktu individu adalah mengidentifikasi dan mengukur setiap komponen yang tercantum di atas untuk menggunakan informasi yang diperoleh untuk memprediksi nilai deret waktu di masa depan.

1.2 Autokorelasi tingkat deret waktu dan identifikasi strukturnya

Jika terdapat tren dan fluktuasi siklus dalam suatu deret waktu, nilai setiap level berikutnya dalam deret tersebut bergantung pada deret sebelumnya. Ketergantungan korelasi antara tingkat-tingkat yang berurutan dalam suatu deret waktu disebut autokorelasi level seri.

Hal ini dapat diukur secara kuantitatif dengan menggunakan koefisien korelasi linier antara tingkat deret waktu asli dan tingkat deret waktu yang digeser beberapa langkah dalam waktu.

Salah satu rumus kerja untuk menghitung koefisien autokorelasi adalah:

(1.2.1)

Sebagai variabel x, kita anggap deret y 2, y 3, ..., yn; sebagai variabel y – deret y 1, y 2, . . . ,y n – 1 . Maka rumus di atas akan berbentuk:

(1.2.2)

Demikian pula, koefisien autokorelasi orde kedua dan lebih tinggi dapat ditentukan. Dengan demikian, koefisien autokorelasi orde kedua mencirikan keeratan hubungan antara level y t dan y t – 1 dan ditentukan oleh rumus

(1.2.3)

Banyaknya periode dimana koefisien autokorelasi dihitung disebut lagom. Ketika lag meningkat, jumlah pasangan nilai yang digunakan untuk menghitung koefisien autokorelasi berkurang. Beberapa penulis menganggap disarankan untuk menggunakan aturan tersebut untuk memastikan keandalan statistik koefisien autokorelasi - lag maksimum tidak boleh lebih dari (n/4).

Kembali