Misalnya, ekspresi:
A - B + C, X 2 - kamu 2 , 5X - 3kamu - z- polinomial.
Monomial yang membentuk polinomial disebut anggota polinomial. Perhatikan polinomialnya:
7A + 2B - 3C - 11
ekspresi: 7 A, 2B, -3C dan -11 adalah suku polinomial. Perhatikan suku -11. Itu tidak mengandung variabel. Anggota seperti itu yang hanya terdiri dari angka-angka disebut bebas.
Secara umum diterima bahwa setiap monomial adalah kasus khusus dari polinomial, yang terdiri dari satu suku. Dalam hal ini, monomial adalah nama polinomial dengan satu suku. Untuk polinomial yang terdiri dari dua dan tiga suku, terdapat juga nama khusus - binomial dan trinomial:
7A- monomial
7A + 2B- binomial
7A + 2B - 3C- trinomial
Anggota serupa
Anggota serupa- monomial yang termasuk dalam polinomial yang berbeda satu sama lain hanya dalam koefisien, tanda, atau tidak berbeda sama sekali (monomial yang berlawanan dapat juga disebut serupa). Misalnya, dalam polinomial:
| 3A 2 B | + | 5abc 2 | + | 2A 2 B | - | 7abc 2 | - | 2A 2 B |
anggota 3 A 2 B, 2A 2 B dan 2 A 2 B, serta anggota 5 abc 2 dan -7 abc 2 adalah istilah serupa.
Membawa anggota serupa
Jika suatu polinomial mengandung suku-suku yang serupa, maka polinomial tersebut dapat direduksi menjadi bentuk yang lebih sederhana dengan menggabungkan suku-suku yang serupa menjadi satu. Tindakan ini disebut membawa anggota serupa. Pertama-tama, mari kita masukkan semua istilah tersebut secara terpisah ke dalam tanda kurung:
(3A 2 B + 2A 2 B - 2A 2 B) + (5abc 2 - 7abc 2)
Untuk menggabungkan beberapa monomial serupa menjadi satu, Anda perlu menambahkan koefisiennya dan membiarkan faktor hurufnya tidak berubah:
((3 + 2 - 2)A 2 B) + ((5 - 7)abc 2) = (3A 2 B) + (-2abc 2) = 3A 2 B - 2abc 2
Mengurangi suku-suku serupa adalah operasi mengganti jumlah aljabar dari beberapa monomial serupa dengan satu monomial.
Polinomial bentuk standar
Polinomial bentuk standar adalah polinomial yang seluruh sukunya merupakan monomial berbentuk baku, dan tidak ada suku yang serupa di antaranya.
Untuk membawa polinomial ke bentuk standar, cukup dengan mereduksi suku-suku serupa. Misalnya, nyatakan ekspresi sebagai polinomial dengan bentuk standar:
3xy + X 3 - 2xy - kamu + 2X 3
Pertama, mari kita temukan istilah serupa:
Jika semua anggota polinomial bentuk standar mengandung variabel yang sama, maka anggota-anggotanya biasanya diurutkan dari derajat terbesar hingga terkecil. Suku bebas polinomial, jika ada, ditempatkan di tempat terakhir - di sebelah kanan.
Misalnya polinomial
3X + X 3 - 2X 2 - 7
harus ditulis seperti ini:
X 3 - 2X 2 + 3X - 7
Sungguh aneh jika terjadi persamaan antara polinomial dan polinomial. Meskipun sejauh yang saya ingat, ini adalah hal yang berbeda. Polinomial adalah apa yang mereka tulis di sini. Polinomial adalah perbandingan 2 polinomial. Saya mencari terjemahan bahasa Inggris dari kata polinomial di kamus dan melihat bahwa kata itu diterjemahkan sebagai polinomial, yang membuat saya cukup terkejut... Ternyata mereka bahkan tidak melihat perbedaannya. Mengenai contoh pertama... Semuanya bagus, tetapi adakah cara untuk mengonversi secara langsung tanpa memasukkan koefisien yang tidak diketahui? Metode ini terlalu megah... Ada banyak hal yang bisa dikatakan tentang polinomial. Ini jauh melampaui lingkup sekolah. Penelitian masih berlangsung! Itu. Topik polinomial belum selesai. Saya bisa menjawab pertanyaan tentang akar radikal. Secara umum terbukti bahwa polinomial dengan derajat di atas 4 tidak memiliki solusi radikal. Dan masalah-masalah tersebut sama sekali tidak dapat diselesaikan secara analitis. Meskipun beberapa jenis cukup bisa dipecahkan. Tapi tidak semua... Persamaan derajat 3 memiliki solusi Cardano. Persamaan derajat 4 memiliki 2 jenis rumus. Solusi-solusi tersebut cukup kompleks dan secara umum tidak jelas sebelumnya apakah ada solusi yang valid; semuanya bisa jadi rumit. Polinomial berderajat ganjil selalu mempunyai paling sedikit 1 akar real. Secara teori, rumus untuk menyelesaikan persamaan derajat genap 3 atau 4 tidak banyak digunakan karena kerumitannya. Dan timbul pertanyaan mengenai akar mana yang perlu dipertimbangkan. Bagaimanapun, persamaan derajat ke-n memiliki tepat n akar, dengan mempertimbangkan multiplisitasnya. Misalnya, Anda dapat menyelesaikan persamaan secara numerik menggunakan metode Newton. Semuanya sederhana di sana. Rumus iterasi sudah ditulis dan tidak ada masalah. Pendekatan linier. Garis lurus berpotongan dengan sumbu OX hanya di titik pertama. Tidak boleh berpotongan, maka akarnya rumit. Tapi juga yang pertama. Jelas sekali bahwa jika suatu polinomial dengan koefisien real mempunyai akar kompleks, maka polinomial tersebut juga mempunyai konjugat kompleks. Namun sudah pada pendekatan kuadrat (metode ini disebut metode parabola dan varian lain dari metode Muller ini berdasarkan 2 poin sebelumnya, dll) muncul masalah. Pertama, ada 2 akar (MB jika diskriminan > 0) yang mana yang harus dipilih? Meskipun persamaannya kuadrat. Anda dapat melangkah lebih jauh, mengambil pendekatan kubik (suku ke-4 dalam deret Taylor, untuk q kita ambil 3) dan bahkan pendekatan derajat ke-4 dengan mengambil 5 suku dari deret Taylor. Konvergensi akan terjadi dengan sangat cepat. Semuanya bisa diselesaikan secara analitis! Tapi saya belum pernah melihat metode seperti itu dimanapun dalam literatur matematika. Biasanya, mereka menggunakan metode Newton karena tidak ada masalah! Dan di mana pun persamaan kubik atau persamaan derajat empat muncul dalam teori, hal ini juga terjadi. Jika Anda mau, cobalah sendiri! Saya tidak berpikir Anda akan senang. Meskipun saya ulangi, semuanya diselesaikan secara analitis. Rumusnya akan menjadi sangat rumit. Tapi bukan itu intinya. Banyak sekali permasalahan lain yang muncul yang tidak berkaitan dengan kompleksitas.
- polinomial. Pada artikel ini kami akan menguraikan semua informasi awal dan diperlukan tentang polinomial. Hal ini mencakup, pertama, definisi polinomial disertai definisi suku-suku polinomial, khususnya suku bebas dan suku-suku serupa. Kedua, kita akan membahas polinomial bentuk standar, memberikan definisi yang tepat dan memberikan contohnya. Terakhir, kita akan memperkenalkan definisi derajat suatu polinomial, mencari tahu cara mencarinya, dan membahas tentang koefisien suku-suku polinomial tersebut.
Navigasi halaman.
Polinomial dan istilahnya – definisi dan contoh
Di kelas 7, polinomial dipelajari segera setelah monomial, hal ini dapat dimengerti definisi polinomial diberikan melalui monomial. Mari kita berikan definisi ini untuk menjelaskan apa itu polinomial.
Definisi.
Polinomial adalah jumlah monomial; Monomial dianggap sebagai kasus khusus dari polinomial.
Definisi tertulis memungkinkan Anda memberikan contoh polinomial sebanyak yang Anda suka. Salah satu monomial 5, 0, −1, x, 5 a b 3, x 2 0,6 x (−2) y 12, dst. adalah polinomial. Juga, menurut definisi, 1+x, a 2 +b 2 dan merupakan polinomial.
Untuk memudahkan mendeskripsikan polinomial, definisi suku polinomial diperkenalkan.
Definisi.
Suku polinomial adalah monomial penyusun polinomial.
Misalnya, polinomial 3 x 4 −2 x y+3−y 3 terdiri dari empat suku: 3 x 4 , −2 x y , 3 dan −y 3 . Monomial dianggap polinomial yang terdiri dari satu suku.
Definisi.
Polinomial yang terdiri dari dua dan tiga suku mempunyai nama khusus - binomium Dan trinomial masing-masing.
Jadi x+y adalah binomial, dan 2 x 3 q−q x x x+7 b adalah trinomial.
Di sekolah, kita paling sering harus bekerja dengannya binomial linier a x+b , di mana a dan b adalah beberapa bilangan, dan x adalah variabel, begitu juga dengan c trinomial kuadrat a·x 2 +b·x+c, dimana a, b dan c adalah suatu bilangan, dan x adalah suatu variabel. Berikut contoh binomial linier: x+1, x 7,2−4, dan berikut contoh trinomial persegi: x 2 +3 x−5 dan 
.
Polinomial dalam notasinya dapat memiliki suku yang serupa. Misalnya, pada polinomial 1+5 x−3+y+2 x suku-suku serupanya adalah 1 dan −3, serta 5 x dan 2 x. Mereka memiliki nama khusus mereka sendiri - suku polinomial yang mirip.
Definisi.
Suku-suku serupa dari polinomial suku-suku serupa dalam polinomial disebut.
Pada contoh sebelumnya, 1 dan −3, serta pasangan 5 x dan 2 x, merupakan suku-suku polinomial yang sebangun. Pada polinomial yang memiliki suku-suku serupa, Anda dapat melakukan pengurangan suku-suku serupa untuk menyederhanakan bentuknya.
Polinomial bentuk standar
Untuk polinomial, seperti halnya monomial, ada yang disebut bentuk standar. Mari kita menyuarakan definisi yang sesuai.
Berdasarkan definisi tersebut, kita dapat memberikan contoh polinomial bentuk standar. Jadi polinomial 3 x 2 −x y+1 dan 
ditulis dalam bentuk standar. Dan ekspresi 5+3 x 2 −x 2 +2 x z dan x+x y 3 x z 2 +3 z bukan polinomial dengan bentuk standar, karena polinomial pertama mengandung suku serupa 3 x 2 dan −x 2 , dan dalam yang kedua – monomial x·y 3 ·x·z 2 , yang bentuknya berbeda dengan yang standar.
Perhatikan bahwa, jika perlu, Anda selalu dapat mereduksi polinomial ke bentuk standar.
Konsep lain yang berkaitan dengan polinomial bentuk standar adalah konsep suku bebas suatu polinomial.
Definisi.
Suku bebas suatu polinomial adalah anggota polinomial bentuk standar tanpa bagian huruf.
Dengan kata lain, jika suatu polinomial berbentuk baku memuat suatu bilangan, maka disebut suku bebas. Misalnya, 5 adalah suku bebas dari polinomial x 2 z+5, tetapi polinomial 7 a+4 a b+b 3 tidak mempunyai suku bebas.
Derajat polinomial - bagaimana cara menemukannya?
Definisi penting lainnya yang terkait adalah definisi derajat polinomial. Pertama, kita mendefinisikan derajat polinomial bentuk standar; definisi ini didasarkan pada derajat monomial yang ada dalam komposisinya.
Definisi.
Derajat polinomial bentuk standar adalah pangkat monomial terbesar yang termasuk dalam notasinya.
Mari kita beri contoh. Derajat polinomial 5 x 3 −4 sama dengan 3, karena monomial 5 x 3 dan −4 yang termasuk di dalamnya masing-masing mempunyai derajat 3 dan 0, bilangan terbesar dari bilangan-bilangan ini adalah 3, yang merupakan derajat polinomial tersebut Menurut definisi. Dan derajat polinomialnya 4 x 2 kamu 3 −5 x 4 kamu+6 x sama dengan bilangan terbesar 2+3=5, 4+1=5 dan 1, yaitu 5.
Sekarang mari kita cari tahu cara mencari derajat polinomial dalam bentuk apa pun.
Definisi.
Derajat polinomial dengan bentuk arbitrer sebutkan derajat polinomial yang bersesuaian dalam bentuk standar.
Jadi, jika suatu polinomial tidak ditulis dalam bentuk standar, dan Anda perlu mencari derajatnya, maka Anda perlu mereduksi polinomial asli ke bentuk standar, dan mencari derajat polinomial yang dihasilkan - itu akan menjadi polinomial yang diperlukan. Mari kita lihat contoh solusinya.
Contoh.
Temukan derajat polinomialnya 3 a 12 −2 a b c a c b+y 2 z 2 −2 a 12 −a 12.
Larutan.
Pertama, Anda perlu merepresentasikan polinomial dalam bentuk standar:
3 a 12 −2 a b c a c b+y 2 z 2 −2 a 12 −a 12 = =(3 a 12 −2 a 12 −a 12)− 2·(a·a)·(b·b)·(c·c)+y 2 ·z 2 = =−2 a 2 b 2 c 2 +y 2 z 2.
Polinomial bentuk standar yang dihasilkan mencakup dua monomial −2·a 2 ·b 2 ·c 2 dan y 2 ·z 2 . Mari kita cari pangkatnya: 2+2+2=6 dan 2+2=4. Jelasnya, pangkat terbesar adalah 6, yang menurut definisi adalah pangkat polinomial dalam bentuk standar −2 a 2 b 2 c 2 +kamu 2 z 2, dan oleh karena itu derajat polinomial aslinya., 3 x dan 7 dari polinomial 2 x−0,5 x y+3 x+7 .
Bibliografi.
- Aljabar: buku pelajaran untuk kelas 7 pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; diedit oleh S.A.Telyakovsky. - edisi ke-17. - M.: Pendidikan, 2008. - 240 hal. : sakit. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- Mordkovich A.G. Aljabar. kelas 7. Dalam 2 jam Bagian 1. Buku teks untuk siswa lembaga pendidikan umum / A. G. Mordkovich. - Edisi ke-17, tambahkan. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 hal.: sakit. ISBN 978-5-346-02432-3.
- Aljabar dan awal analisis matematis. kelas 10: buku teks. untuk pendidikan umum institusi: dasar dan profil. level / [Yu. M. Kolyagin, M.V. Tkacheva, N.E. Fedorova, M.I. Shabunin]; diedit oleh A.B.Zhizhchenko. - edisi ke-3. - M.: Pendidikan, 2010.- 368 hal. : sakit. - ISBN 978-5-09-022771-1.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (panduan bagi mereka yang memasuki sekolah teknik): Proc. tunjangan.- M.; Lebih tinggi sekolah, 1984.-351 hal., sakit.
Menurut definisi, polinomial adalah ekspresi aljabar yang mewakili jumlah monomial.
Misalnya: 2*a^2 + 4*a*x^7 - 3*a*b^3 + 4; 6 + 4*b^3 adalah polinomial, dan ekspresi z/(x - x*y^2 + 4) bukan polinomial karena bukan merupakan penjumlahan dari monomial. Polinomial kadang juga disebut polinomial, dan monomial yang merupakan bagian dari polinomial adalah anggota polinomial atau monomial.
Konsep polinomial yang kompleks
Jika suatu polinomial terdiri dari dua suku maka disebut binomial, jika terdiri dari tiga suku disebut trinomial. Nama-nama empatnomial, limanomial dan lain-lain tidak digunakan, dan dalam kasus seperti itu mereka hanya mengatakan polinomial. Nama-nama seperti itu, tergantung pada jumlah istilahnya, menempatkan segala sesuatu pada tempatnya.
Dan istilah monomial menjadi intuitif. Dari sudut pandang matematika, monomial adalah kasus khusus dari polinomial. Monomial adalah polinomial yang terdiri dari satu suku.
Sama seperti monomial, polinomial mempunyai bentuk standarnya sendiri. Bentuk baku suatu polinomial adalah suatu notasi suatu polinomial yang semua monomial yang termasuk di dalamnya sebagai suku-suku ditulis dalam bentuk baku dan suku-suku serupa diberikan.
Bentuk standar polinomial
Prosedur untuk mereduksi polinomial ke bentuk standar adalah dengan mereduksi setiap monomial ke bentuk standar, lalu menjumlahkan semua monomial serupa. Penjumlahan suku-suku sejenis pada suatu polinomial disebut reduksi suku-suku sejenis.
Misalnya, mari kita nyatakan suku-suku serupa dalam polinomial 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b.
Istilah 4*a*b^2*c^3 dan 6*a*b^2*c^3 serupa di sini. Jumlah suku-suku ini adalah monomial 10*a*b^2*c^3. Oleh karena itu, polinomial asli 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b dapat ditulis ulang menjadi 10*a*b^2*c^3 - a* B . Entri ini akan menjadi bentuk standar polinomial.
Dari kenyataan bahwa setiap monomial dapat direduksi menjadi bentuk standar, maka polinomial apa pun dapat direduksi menjadi bentuk standar.
Ketika suatu polinomial direduksi menjadi bentuk standar, kita dapat membicarakan konsep seperti derajat polinomial. Derajat suatu polinomial adalah derajat tertinggi dari suatu monomial yang termasuk dalam suatu polinomial tertentu.
Jadi, misalnya, 1 + 4*x^3 - 5*x^3*y^2 adalah polinomial derajat kelima, karena derajat maksimum monomial yang termasuk dalam polinomial tersebut (5*x^3*y^ 2) berada di urutan kelima.
§ 13. Keseluruhan fungsi (polinomial) dan sifat dasarnya. Menyelesaikan persamaan aljabar pada himpunan bilangan kompleks 165
13.1. Definisi dasar 165
13.2. Sifat dasar polinomial bilangan bulat 166
13.3. Sifat dasar akar-akar persamaan aljabar 169
13.4. Menyelesaikan persamaan aljabar dasar pada himpunan bilangan kompleks 173
13.5. Latihan untuk kerja mandiri 176
Soal tes mandiri 178
Glosarium 178
Definisi dasar
Seluruh fungsi aljabar atau polinomial aljabar (polinomial )argumen X disebut fungsi dari tipe berikut
Di Sini N–derajat polinomial ( bilangan asli atau 0), X – variabel (nyata atau kompleks), A 0 , A 1 , …, A N –koefisien polinomial (bilangan nyata atau kompleks), A 0 0.
Misalnya,
;
;
,
– trinomial persegi;
,
;.
Nomor X 0 seperti itu P N (X 0)0, dipanggil fungsi nol
P N (X) atau akar persamaan
.
Misalnya,
akarnya 
,
,
.
Karena 
Dan 
.
Catatan (tentang definisi nol dari seluruh fungsi aljabar)
Dalam literatur, fungsi nol sering kali ada 
disebut akarnya. Misalnya saja angka 
Dan 
disebut akar-akar fungsi kuadrat 
.
Sifat dasar polinomial bilangan bulat
Identitas (3) berlaku untuk X
(atau X
), oleh karena itu, ini valid untuk 
; menggantikan 
, kita mendapatkan A N = B N. Mari kita saling membatalkan syarat pada (3) A N Dan B N dan bagi kedua bagiannya X:
Identitas ini juga berlaku untuk X, termasuk kapan X= 0, jadi asumsikan X= 0, kita dapatkan A N – 1 = B N – 1 .
Mari kita saling membatalkan ketentuan dalam (3") A N– 1 dan B N– 1 dan bagi kedua ruasnya dengan X, sebagai hasilnya kita dapatkan
Melanjutkan alasan yang sama, kita memperolehnya A N – 2 = B N –2 , …, A 0 = B 0 .
Jadi, telah dibuktikan bahwa dari persamaan identik dua polinomial bilangan bulat dapat disimpulkan bahwa koefisiennya bertepatan pada pangkat yang sama. X.
Pernyataan kebalikannya cukup jelas, yaitu jika dua polinomial mempunyai koefisien yang sama, maka kedua polinomial tersebut mempunyai fungsi yang sama yang terdefinisi pada himpunan tersebut. 
, oleh karena itu, nilainya sama untuk semua nilai argumen 
, yang berarti persamaan identiknya. Properti 1 telah terbukti sepenuhnya.
Contoh (persamaan polinomial yang identik)
.
Mari kita tuliskan rumus pembagian dengan sisa: P N (X) = (X – X 0)∙Q N – 1 (X) + A,
Di mana Q N – 1 (X) - polinomial derajat ( N – 1), A- sisanya, yang merupakan bilangan karena algoritma terkenal untuk membagi polinomial dengan binomial “dalam kolom”.
Persamaan ini berlaku untuk X, termasuk kapan X = X 0 ; percaya 
, kita mendapatkan
P N (X 0) = (X 0 – X 0)Q N – 1 (X 0) + A A = P N (X 0)
Konsekuensi dari sifat terbukti adalah pernyataan tentang pembagian tanpa sisa suatu polinomial dengan binomial, yang dikenal dengan teorema Bezout.
|
Teorema Bezout (tentang pembagian polinomial bilangan bulat dengan binomial tanpa sisa) |
|
Jika nomornya
|
adalah nol dari polinomial 
, maka polinomial tersebut habis dibagi tanpa sisa oleh selisihnya 
, yaitu persamaan itu benar
(5) Pembuktian teorema Bezout dapat dilakukan tanpa menggunakan sifat pembagian polinomial bilangan bulat yang telah dibuktikan sebelumnya 
dengan binomial 
. Mari kita tuliskan rumus pembagian polinomial 
dengan binomial 
dengan sisa A=0:
Sekarang mari kita pertimbangkan hal itu 
adalah nol dari polinomial 
, dan tulis persamaan terakhir untuk 
:
Contoh (memfaktorkan polinomial menggunakan apa yang disebut Bezout)
1) karena P 3 (1)0;
2) karena P 4 (–2)0;
3) karena P 2 (–1/2)0.
Bukti teorema ini berada di luar cakupan kursus kami. Oleh karena itu, kami menerima teorema tersebut tanpa bukti.
Mari kita kerjakan teorema ini dan teorema Bezout dengan polinomial P N (X):
setelah N-beberapa penerapan teorema ini kita peroleh itu
Di mana A 0 adalah koefisien di X N dalam notasi polinomial P N (X).
Jika dalam persamaan (6) k nomor dari himpunan X 1 ,X 2 , …X N bertepatan satu sama lain dan dengan bilangan , maka pada hasil kali sebelah kanan kita peroleh faktornya ( X–) k. Lalu nomornya X=dipanggil akar kali lipat k dari polinomial
P
N
(X
)
, atau akar multiplisitas k
. Jika k= 1, maka angkanya 
ditelepon akar sederhana dari suatu polinomial
P
N
(X
)
.
Contoh (faktorisasi linier polinomial)
1) P 4 (X) = (X – 2)(X – 4) 3 X 1 = 2 - akar sederhana, X 2 = 4 - akar rangkap tiga;
2) P 4 (X) = (X – Saya) 4 X = Saya- akar multiplisitas 4.