η = A/ Pertanyaan 1 = 1 – Pertanyaan 2 / Pertanyaan 1 ,
Di mana Q 1 - panas yang diterima oleh fluida kerja; Q 2 - panas yang dilepaskan.
Efisiensi Siklus Carnot:
Di mana T 1 , T 2 - suhu pemanas dan lemari es.
Ketimpangan Clausius:
di mana δ Q - unsur panas yang diterima oleh sistem.
Peningkatan entropi sistem:
Persamaan dasar termodinamika untuk proses reversibel:
T D S=d kamu + P D V
Energi bebas:
F = kamu - TS, A T = - Δ F
Hubungan antara entropi dan bobot statistik Ω (probabilitas termodinamika):
S = k∙ lnΩ
Di mana k - Konstanta Boltzmann.
3.1. Dalam mesin kalor yang beroperasi menurut siklus Carnot, suhu pemanasnya adalah n = 1,6 kali suhu lemari es. Dalam satu siklus mesin menghasilkan kerja SEBUAH = 12 kJ . Berapa banyak usaha per siklus yang dihabiskan untuk kompresi isotermal suatu zat? (Zat yang bekerja adalah gas ideal.)
Menjawab : SEBUAH" =Sebuah - 1) = 20 kJ .
3.2. Dalam hal apa efisiensinya Siklus Carnot akan semakin meningkat: dengan peningkatan suhu pemanas sebesar Δ T atau ketika suhu lemari es turun dengan jumlah yang sama?
Menjawab : saat suhu lemari es menurun T 2 .
3.3. Hidrogen mengalami siklus Carnot. Temukan efisiensi siklus, jika selama ekspansi adiabatik:
a) volume gas bertambah sebesar n = 2,0 kali;
b) tekanan berkurang n = 2,0 kali.
Menjawab : a) η = 1 – n 1-γ = 0,25; b) η = 1 – n 1/(γ-1) = 0,18
3.4. Mesin pendingin yang beroperasi pada siklus Carnot terbalik harus mempertahankan suhu di dalam ruangannya - 10°C pada suhu sekitar 20°C. Usaha apa yang harus dilakukan pada fluida kerja mesin untuk mengeluarkannya dari ruangnya? Q 2 = 140 kJ panas?
Menjawab : SEBUAH" =Q 2 (T 1/ T 2 - 1) = 16 kJ .
3.5. Mesin panas. beroperasi pada siklus Carnot dengan efisien η 10% digunakan dengan reservoir panas yang sama dengan mesin pendingin. Temukan koefisien pendinginannya ε.
Menjawab : ε = (1 - η)/η = 9
3.6. Temukan efisiensi siklus yang terdiri dari dua isobar dan dua adiabat, jika dalam siklus tersebut tekanannya bervariasi P sekali. Zat kerjanya adalah gas ideal dengan indeks adiabatik γ.
Menjawab : η = 1 – η -(γ - 1)/γ.
3.7. Gas ideal dengan indeks adiabatik γ mengalami siklus yang terdiri dari dua isokores dan dua isobar. Temukan efisiensi siklus seperti itu, jika suhu T peningkatan gas masuk P kali baik selama pemanasan isokorik dan ekspansi isobarik.
Menjawab : η = 1 – ( N+ γ)/(1 + γ N).
3.8. Gas ideal mengalami siklus yang terdiri dari:
a) isokore, adiabat dan isoterm;
b) isobar, adiabat dan isoterm,
Selain itu, proses isotermal terjadi pada suhu minimum siklus. Temukan efisiensi setiap siklus, jika suhu dalam batasnya bervariasi P sekali.
Menjawab : dalam kedua kasus η = 1 – ln N/(N - 1)
3.9. Gas ideal dengan eksponen adiabatik γ mengalami siklus langsung yang terdiri dari siklus adiabatik. isobar dan isokores. Temukan efisiensi siklus, jika selama proses adiabatik volume gas ideal adalah:
a) meningkat N sekali:
b) berkurang sebanyak n kali.
Menjawab : a)η= 1– γ( N– 1)/(Nγ – 1); b)η= 1– ( Nγ – 1)/γ( N – 1)N–1.
3.10. Dengan menggunakan pertidaksamaan Clausius, tunjukkan efisiensinya semua siklus yang mempunyai suhu maksimum yang sama T maks dan suhu minimum yang sama T menit , kurang dari siklus Carnot di T maks dan T menit. Catatan : Perhatikan bahwa pertidaksamaan ∫δ Q 1 /T 1 - ∫δ Q ′ 2 / T 2 ≤ 0 hanya bertambah jika diganti T 1 pada T maks dan T 2 pada T menit.
3.11. Berapakah usaha maksimum yang dapat dihasilkan suatu mesin kalor jika sebatang besi digunakan sebagai pemanas? M= 100 kg dengan suhu awal T 1 = 1500 K. dan sebagai lemari es, air laut dengan suhu T 2 = 285K?
Menjawab : A maks = mc[T 1 – T 2 – T 2∙ln( T 1 /T 2)] = 34 MJ, dimana Dengan- kapasitas panas spesifik besi.
3.12. Variabel utama yang mencirikan keadaan suatu benda adalah suhu dan entropinya. Gambarkan secara grafis siklus Carnot pada diagram, plot entropi pada sumbu absis dan suhu pada sumbu ordinat. Hitung efisiensi menggunakan grafik ini. siklus.
3.13. Temukan perubahan entropi satu mol gas ideal selama proses isokorik, isotermal, dan isobarik.
3.14. Tentukan perubahan entropi selama transisi 80 g oksigen dari volume 10 liter pada suhu 80 o C ke volume 40 liter pada suhu 300 o C.
Menjawab:
3.15. Satu meter kubik udara pada suhu 0 o C dan tekanan 19,6 N/cm 2 memuai secara isotermal terhadap volume V 1 ke volume V 2 = 2V 1 . Temukan perubahan entropi selama proses ini.
Menjawab:
3.16. Buktikan entropi itu ay mol gas ideal dapat direpresentasikan sebagai: S = ay[C V dalam T + R dalam( V/ay) + const], dimana konstanta aditif dalam tanda kurung tidak bergantung pada jumlah partikel gas.
3.17. Dua bejana dengan volume yang sama mengandung gas ideal yang berbeda. Massa gas di bejana pertama M 1 di detik – M 2, tekanan dan suhu gas sama. Kapal-kapal itu terhubung satu sama lain, dan proses difusi pun dimulai. Tentukan perubahan total Δ S entropi sistem yang dipertimbangkan, jika massa molekul relatif gas pertama adalah 1, dan gas kedua adalah 2.
Menjawab : Δ S = R ln2( M 1 /μ 1 + M 2 /μ 2).
3.18. Sebuah bejana silinder yang diisolasi secara termal dibagi oleh sebuah piston yang massanya dapat diabaikan menjadi dua bagian yang sama. Pada salah satu sisi piston terdapat gas ideal yang bermassa M, berat molekul relatif μ dan kapasitas panas molar C P Dan DENGAN ay , tidak bergantung pada suhu, dan ruang hampa tinggi tercipta di sisi lain piston. Suhu dan tekanan gas awal T 0 dan P 0 . Piston dilepaskan, dan bergerak bebas, memungkinkan gas mengisi seluruh volume silinder. Setelah itu, secara bertahap tingkatkan tekanan pada piston, perlahan-lahan bawa volume gas ke nilai aslinya. Temukan perubahan energi internal dan entropi gas selama proses ini.
Menjawab : Δ kamu = kamu - kamu 0 = (M/η)∙ C V T 0 (2γ -1 - 1);
ΔS = S - S 0 = (M/μ)∙ C V(γ - 1)ln2.
3.19. Mengetahui ketergantungan energi bebas terhadap suhu dan volume F(T, V), tunjukkan bahwa tekanannya p = -(dF/DV) T dan entropi S = -(DF/D T) V .
3.20. Seiring dengan energi internal kamu dan energi bebas F dalam termodinamika fungsi ini banyak digunakan tidak =kamu + RV - entalpi dan F = F + RV - Energi bebas Gibbs. Buktikan bahwa fungsi-fungsi ini memenuhi hubungan:
|
dU = TdS – pdV, |
dF = -SdT – pdV, |
||
|
DF= -SdT + Vdp, |
dH = TdS + Vdp, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3.21. Buktikan hubungan Maxwell:
|
|
|
|
|
|
3.22. Apa yang salah dengan alasan berikut ini? Jumlah panas dasar dQ, diperoleh benda yang homogen secara fisik selama proses kuasi-statis adalah sama dengan
dQ = dU + pdV = dH – Vdp,
atau 
Dari sini 
Menyamakan kedua ekspresi, kita mendapatkan (∂ V/∂T) P = 0. Oleh karena itu pemuaian termal suatu benda tidak mungkin terjadi.
3.23. Tunjukkan bahwa energi dalam suatu zat dengan persamaan keadaan dalam bentuk R = F(V)T tidak bergantung pada volume.
3.24. Energi dalam dan satuan volume hanyalah fungsi dari T, dan persamaan keadaan gas mempunyai bentuk hal = kamu(T)/ 3 Tentukan bentuk fungsionalnya Dan(T).
Menjawab : kamu(T) = konstanta T 4 - (gas foton)
3.25. Untuk gas elektron ideal, hubungan berikut berlaku: PV = 2 / 3 kamu. Temukan persamaan adiabatik untuk gas ini: a) dalam variabel ( R,V); b) dalam variabel (V, T).
Menjawab : A) RV 5/3 = konstanta; B) televisi 2/3 = konstanta .
3.26. Tunjukkan bahwa untuk zat yang tekanannya merupakan fungsi linier dari suhu T, kapasitas panas DENGANay tidak bergantung pada volume.
3.27. Dengan menggunakan hubungan Maxwell, temukan ekspresi entropi satu mol gas van der Waals.
Menjawab
:
3.28. Hitung kepadatan entropi S bidang radiasi termal.
Menjawab : S = 4 / 3 pada 3 +konstan. (lihat soal 2.32).
3.29. Temukan rasio kuadrat rata-rata kecepatan molekul helium dan nitrogen pada suhu yang sama.
Menjawab:
3.30. Tentukan suhu campuran BERSAMA 2 Dan H 2 , jika selisih energi kinetik rata-rata per molekul kedua gas adalah 2,07·10 -14 erg. Gas dianggap ideal.
Menjawab:
300 o K.
3.31. N atom gas helium terletak pada suhu kamar dalam bejana kubik dengan volume 1,0 cm 3. (Waktu rata-rata penerbangan atom helium adalah jarak berdasarkan ukuran kapal τ ~ 10 -5 detik).Temukan:
a) probabilitas bahwa semua atom akan berkumpul di separuh bejana;
b) perkiraan nilai numerik N, di mana acara ini dapat diharapkan sepanjang waktu T= 10 10 tahun (usia Alam Semesta).
Menjawab :A) P= 1/2 N ; B) N= 1 gram (T/τ)/ 1g 2 = 80. dimana
3. 32 . Temukan bobot statistik dari distribusi yang paling mungkin tidak= 10 molekul identik dalam dua bagian wadah yang identik. Tentukan peluang distribusi tersebut.
Menjawab: Ω ver = N!/[(N/2)!] 2 =252, P T/2 = Ω ver/2 N = 24,6%.
3.33. Berapa jumlah panas yang harus diberikan ke sistem makroskopis pada suhu T = 290 K, sehingga dengan volume konstan bobot statistiknya bertambah Δη = 0,1%?
Menjawab : δ Q = kTΔη = 4·10 -23J.
3.34. Satu mol gas ideal yang terdiri dari molekul monoatomik berada di dalam bejana pada suhu tertentu T 0 = 300 K. Berapa dan berapa kali berat statistik sistem (gas) ini berubah jika dipanaskan secara isokhorik sebesar Δ T= 1,0K?
Menjawab : Kenaikan Ω/Ω 0 = (1 + Δ T/T 0) di sebuah /2 = 10 1,31·10ˆ21 kali .
Keadaan benda makroskopis (yaitu benda yang dibentuk oleh sejumlah besar molekul) dapat ditentukan menggunakan volume, tekanan, suhu, energi internal, dan besaran makroskopis lainnya (yaitu, mengkarakterisasi seluruh benda secara keseluruhan).
Negara yang dicirikan dengan cara ini disebut negara makro.
Keadaan suatu benda makroskopis, yang dicirikan sedemikian rinci sehingga keadaan semua molekul yang membentuk suatu benda dapat diketahui, disebut keadaan mikro.
Keadaan makro apa pun dapat dicapai dengan berbagai cara, yang masing-masing sesuai dengan keadaan mikro tertentu dalam tubuh. Jumlah keadaan mikro berbeda yang sesuai dengan keadaan makro tertentu disebut bobot statistik atau probabilitas termodinamika keadaan makro. Dengan demikian, bobot statistik mewakili jumlah cara mikroskopis di mana keadaan makro tertentu dapat direalisasikan.
Untuk memperjelas konsep berat statistik, pertimbangkan cara molekul gas didistribusikan antara dua bagian wadah yang berisi gas. Misalkan jumlah total molekul sama dengan N. Sebagai ciri keadaan gas, kita ambil jumlah molekul yang terletak di bagian kiri bejana, yang kita nyatakan dengan huruf (dengan demikian, jumlah molekul di bagian kanan kapal akan sama dengan ). Kami akan mengkarakterisasi keadaan suatu molekul dengan menunjukkan di separuh wadah mana ia berada. Penjelasan tentang wujud gas dan wujud masing-masing molekul tentu saja masih jauh dari sempurna. Namun, contoh ini cukup digunakan untuk memperjelas ciri-ciri perilaku statistik makrosistem mana pun.
Mari kita mulai dengan kasus ketika jumlah molekul adalah empat (Gbr. 102.1). Setiap molekul dapat ditemukan dengan probabilitas yang sama di bagian kiri dan kanan wadah. Oleh karena itu, peluang bahwa, katakanlah, molekul 1 berada di paruh kiri wadah adalah P/a 1/2. Berdiamnya molekul 1 di separuh bejana kiri dan berdiamnya molekul 2 di separuh bejana yang sama merupakan peristiwa yang independen secara statistik. Oleh karena itu, peluang 1 sampai 2 molekul berada secara bersamaan di sisi kiri bejana sama dengan hasil kali probabilitas, yaitu. Melanjutkan argumen ini, kita menemukan bahwa probabilitas kehadiran keempat molekul secara bersamaan di bagian kiri bejana adalah (1/2).
Alasan serupa menunjukkan bahwa peluang terjadinya susunan molekul apa pun dalam bejana (misalnya, molekul yang molekul ke-1 dan ke-4 berada di separuh kiri bejana, dan molekul ke-2 dan ke-3 di separuh kanan) juga sama dengan ( 1/ 2). Masing-masing penempatan mewakili keadaan mikro gas tertentu.
Dari penjelasan di atas dapat disimpulkan bahwa probabilitas semua keadaan mikro adalah sama dan sama
Di meja 102.1 menunjukkan semua cara yang mungkin untuk mendistribusikan molekul di antara separuh bejana (semua keadaan mikro gas). Keadaan yang dicirikan oleh fakta bahwa, katakanlah, ada satu molekul di sisi kiri wadah (tidak peduli yang mana), dan tiga molekul di sisi kanan, adalah keadaan makro.
Tabel 102.1
Tabel menunjukkan bahwa keadaan makro tersebut berhubungan dengan 4 keadaan mikro. Oleh karena itu, bobot statistik keadaan makro tertentu adalah 4, dan probabilitas (biasa, bukan termodinamika) adalah 4/16. Keadaan makro, di mana terdapat jumlah molekul yang sama di kedua bagian bejana, diwujudkan dengan bantuan enam keadaan mikro.
Oleh karena itu, bobot statistiknya adalah 6, dan probabilitasnya (biasanya) adalah 6/16.
Dari contoh yang dipertimbangkan dapat disimpulkan bahwa semua keadaan mikro dari suatu sistem mempunyai kemungkinan yang sama, akibatnya bobot statistiknya menjadi sebanding dengan probabilitas keadaan makro (biasa). Pernyataan tentang probabilitas yang sama dari semua keadaan mikro mendasari fisika statistik dan disebut hipotesis ergodik.
Menurut tabel. 102.1 Dalam kasus empat molekul, ada kemungkinan besar (sama dengan 1/8) bahwa semua molekul akan terkumpul di salah satu bagian wadah (kiri atau kanan). Namun, seiring bertambahnya jumlah molekul, situasinya berubah secara signifikan.
Mari kita temukan banyak cara (jumlah keadaan mikro) yang dapat digunakan untuk mencapai keadaan makro, yang dicirikan oleh fakta bahwa di bagian kiri bejana akan terdapat molekul dari jumlah total N, dan di bagian kanan - () molekul. Untuk melakukan ini, kita memberi nomor pada molekul-molekulnya, memberinya nomor dari 1 hingga N. Kemudian kita mulai memilih satu molekul pada satu waktu dan menempatkannya di bagian kiri wadah. Molekul pertama dapat dipilih dengan N cara, molekul kedua dapat dipilih dengan cara (N-1), molekul ketiga dapat dipilih dengan cara (N-2), dan terakhir molekul dapat dipilih dengan cara (). Tempatkan sisa molekul (N-n) di bagian kanan bejana.
Dari penjelasan di atas dapat disimpulkan bahwa banyak cara seseorang dapat memilih secara acak dari jumlah total N molekul molekul untuk separuh kiri bejana adalah sama dengan
Mengalikan dan membagi angka ini dengan kita mendapatkan ekspresi
Namun, tidak semua metode menghasilkan keadaan mikro yang berbeda. Keadaan mikro individual hanya berbeda dalam kumpulan jumlah molekul yang dipilih untuk masing-masing separuh bejana, tetapi tidak dalam urutan pemilihan molekul-molekul ini. Misalnya saja pada saat pengambilan sampel
Dari jumlah tersebut, sampel 1-2 dan 2-1 berhubungan dengan keadaan mikro yang sama (molekul ke-1 dan ke-2 di bagian kiri, molekul ke-3 di bagian kanan). Hal yang sama berlaku untuk sampel 1-3 dan 3-1, serta 2-3 dan 3-2. Jadi, sampel yang hanya berbeda dalam permutasi jumlah molekul yang dipilih untuk separuh bejana kiri (sampel tersebut) berhubungan dengan keadaan mikro yang sama.
Oleh karena itu, untuk mendapatkan jumlah keadaan mikro yang dapat mewujudkan keadaan makro, Anda perlu membagi angka (102.1) dengan. Hasilnya, ekspresi bobot statistik adalah
Sangat mudah untuk memverifikasinya (lihat Tabel 102.1).
Di meja 102.2 menunjukkan nilai Q yang dihitung menggunakan rumus (102.2) untuk kasus tersebut. Banyaknya cara untuk mendistribusikan 24 molekul antara dua bagian bejana adalah 224-16.777.216, dan hanya dalam dua kasus semua molekul terkonsentrasi dalam satu dari separuh kapal. Kemungkinan kejadian seperti itu kira-kira. Empat sentimeter kubik udara mengandung sekitar molekul. Peluang semua molekul terakumulasi dalam separuh bejana sama dengan dua dibagi dua pangkat dua, yaitu kira-kira . Probabilitas ini sangat kecil sehingga secara praktis dapat dianggap sama dengan nol.
Tabel 102.2
Pada Gambar. Gambar 102.2 menunjukkan grafik yang menunjukkan bagaimana jumlah molekul dalam separuh bejana berubah seiring waktu. Angka ini berfluktuasi di sekitar nilai rata-rata .
Penyimpangan acak nilai suatu besaran fisis x dari nilai rata-ratanya disebut fluktuasi besaran ini. Menunjukkan fluktuasi dengan
(102.3)
Nilai rata-rata aritmatika (102,3) adalah nol. Benar-benar,
Oleh karena itu, sebagai ciri fluktuasi, kita ambil mean square fluktuasi sama dengan
Yang lebih indikatif adalah fluktuasi relatif nilai x, yang ditentukan oleh rasio
Dalam fisika statistik, terbukti bahwa fluktuasi relatif suatu besaran aditif (yaitu besaran yang nilainya suatu benda sama dengan jumlah nilai masing-masing bagiannya) berbanding terbalik dengan akar kuadrat dari bilangan tersebut. N molekul yang membentuk tubuh:
(102.6)
Mari kita hitung berdasarkan data pada tabel. 102.1 fluktuasi relatif jumlah molekul di paruh kiri bejana. Kami akan melakukan perhitungan menggunakan rumus (93.5). Di meja 102.3 menunjukkan nilai fluktuasi dan probabilitasnya P. Sesuai dengan data tersebut
Oleh karena itu, fluktuasi kuadrat rata-rata sama dengan dan fluktuasi relatif sama dengan 1/2 (nilai rata-rata adalah 2). Perhitungan serupa dilakukan dengan menggunakan data pada Tabel. 102,2, berikan nilai 2,45 untuk fluktuasi kuadrat rata-rata, dan nilai 0,204 untuk fluktuasi relatif. Sangat mudah untuk memverifikasi itu
Hubungan ini sesuai dengan rumus (102.6).
Dari meja 102.2 maka penyimpangan dari jumlah rata-rata molekul (sama dengan 12) tidak lebih dari 2 molekul terjadi dengan probabilitas 0,7, dan penyimpangan tidak lebih dari 3 molekul terjadi dengan probabilitas 0,85.
Jika jumlah molekul dapat berupa pecahan, kita dapat mengatakan bahwa sebagian besar waktu gas berada dalam keadaan di mana penyimpangan jumlah molekul dari rata-rata tidak melebihi fluktuasi kuadrat rata-rata, yaitu 2,45.
Setelah membuat proporsi yang mirip dengan (102.7), kita memperoleh fluktuasi relatif jumlah molekul di bagian kiri bejana untuk kasus ketika Proporsi ini berbentuk
maka hasil yang diperoleh berarti bahwa nilai jumlah molekul pada salah satu separuh bejana mengalami perubahan, umumnya tidak melebihi sepersepuluh angka penting.
Kami memeriksa fluktuasi jumlah molekul di salah satu bagian bejana. Karakteristik makroskopis lainnya, seperti tekanan, kepadatan gas di berbagai titik dalam ruang, dan lain-lain, juga mengalami fluktuasi, yaitu penyimpangan dari nilai rata-rata.
Tabel 102.3
Ekuilibrium adalah keadaan makro sistem yang tidak cenderung berubah seiring waktu. Jelas bahwa ketiadaan kecenderungan seperti itu akan paling terlihat pada semua keadaan makro yang mungkin terjadi pada sistem tertentu. Probabilitas suatu negara bagian sebanding dengan bobot statistiknya. Oleh karena itu, keadaan setimbang dapat didefinisikan sebagai keadaan yang bobot statistiknya maksimum.
Suatu sistem dalam keadaan setimbang secara spontan menyimpang dari kesetimbangan dari waktu ke waktu. Namun, penyimpangan ini kecil dan berumur pendek. Sistem menghabiskan sebagian besar waktunya dalam keadaan setimbang, yang ditandai dengan bobot statistik maksimum.
Fisika statistik mengungkapkan sifat proses yang tidak dapat diubah. Mari kita asumsikan bahwa awalnya gas berada di bagian kiri bejana, yang dipisahkan oleh sekat dari bagian kanan yang kosong. Jika Anda melepas sekat, gas akan menyebar secara spontan ke seluruh bejana. Proses ini tidak dapat diubah, karena kemungkinan bahwa, sebagai akibat dari gerakan termal, semua molekul akan berkumpul di salah satu bagian bejana, seperti telah kita lihat, praktis nol. Akibatnya, dengan sendirinya, tanpa pengaruh luar, gas tidak akan dapat terkonsentrasi lagi di bagian kiri bejana.
Dengan demikian, proses penyebaran gas ke seluruh bejana tidak dapat diubah karena kecil kemungkinannya terjadi proses sebaliknya. Kesimpulan ini dapat diperluas ke proses lainnya. Setiap proses yang tidak dapat diubah adalah proses yang sangat kecil kemungkinannya untuk terjadi sebaliknya.
Pertimbangkan suatu sistem yang terdiri dari sejumlah besar molekul. Sebut saja sistem makroskopis. Keadaan sistem tersebut dapat dijelaskan dalam dua cara:
1. Menggunakan karakteristik sistem rata-rata, seperti tekanan P, volume V, suhu T, energi E. Keadaan yang ditentukan oleh karakteristik yang dirata-ratakan pada sejumlah besar molekul disebut keadaan makro.
2. Dengan menggambarkan keadaan semua molekul pembentuk benda, untuk itu perlu diketahui koordinat q dan momentum p semua molekul. Keadaan yang didefinisikan dengan cara ini disebut keadaan mikro.
Biarkan sistem makroskopis menjadi bagian dari suatu sistem tertutup yang besar; kita akan menyebutnya lingkungan. Mari kita cari distribusi Gibbs mikroskopis, mis. fungsi distribusi probabilitas berbagai keadaan sistem makroskopik yang tidak berinteraksi dengan benda di sekitarnya dan memiliki energi konstan. Keadaan berbeda suatu sistem yang mempunyai energi yang sama mempunyai peluang yang sama.
Setiap nilai energi sistem makroskopis dapat berhubungan dengan berbagai keadaan mikro; jumlah keadaan tersebut disebut bobot statistik.
Biarkan keadaan makro sistem yang terdiri dari 4 molekul ditentukan menggunakan parameter: P, V, T, E. Molekul-molekul tersebut berada dalam wadah yang dipisahkan oleh sekat permeabel (Gbr. 10.1a). Kapal tersebut terletak di lingkungan tertentu, tetapi tidak berinteraksi dengannya.
Beras. 10.1a. Beras. 10.1b. Beras. 10.1c.
Jika keempat molekul berada di bagian kanan bejana, maka keadaan makro sistem (0 - 4) dapat ditulis menggunakan satu keadaan mikro, dengan mencantumkan jumlah molekulnya. Dalam hal ini bobot statistiknya adalah .
Misalkan salah satu molekul bergerak ke bagian kiri bejana (Gbr. 10.1b). Bisa jadi molekul 1, maka molekul 2, 3, 4 akan tetap berada di separuh kanan, atau bisa juga molekul 2, maka molekul 1, 3, 4, dst akan tetap berada di sebelah kanan. Secara total, 4 keadaan mikro yang berbeda dimungkinkan, oleh karena itu, bobot statistik dari keadaan makro adalah (1 - 3).
Probabilitas semua keadaan mikro adalah sama. Keadaan dimana molekul 1 di kiri dan 2, 3, 4 di kanan mempunyai peluang yang sama dengan keadaan ketika molekul 2 di kiri dan 1, 3, 4 di kanan. Kesimpulan ini didasarkan pada asumsi bahwa semua molekul tidak dapat dibedakan satu sama lain.
Distribusi molekul yang merata pada kedua bagian bejana menjadi jelas ketika jumlah molekulnya banyak. Kita tahu bahwa tekanan di kedua bagian bejana menjadi sama seiring waktu: dan karena konsentrasi molekul, bahkan pada suhu konstan, jumlah molekul di kiri dan kanan akan sama:
Karena bobot statistik tertinggi sesuai dengan probabilitas tertinggi negara bagian w, maka jelas probabilitasnya sebanding dengan jumlah negara bagian. Keadaan (2 – 2) adalah yang paling mungkin, karena memiliki bobot statistik terbesar (Gbr. 10.1c).
Karena semua arah kecepatan molekul memiliki kemungkinan yang sama, sekilas tampaknya semua nilai kecepatan memiliki kemungkinan yang sama. Namun, seperti yang ditunjukkan oleh percobaan, pada setiap suhu T terdapat kecepatan (yang paling mungkin) sehingga sebagian besar molekul gas bergerak dengan kecepatan yang tidak jauh berbeda darinya. Molekul yang kecepatannya jauh lebih besar atau lebih kecil dari kecepatan yang paling mungkin jarang terjadi.
Tidak masuk akal untuk memecahkan masalah jumlah molekul yang mempunyai kecepatan tertentu v, karena mungkin tidak ada molekul seperti itu pada waktu tertentu. Namun kita dapat mengajukan pertanyaan tentang jumlah molekul yang kecepatannya berada pada rentang kecepatan tertentu. Seluruh rentang kecepatan dibagi menjadi beberapa bagian dan ditemukan angka ">v hingga v+.
Maka kemungkinan kita akan bertemu dengan kecepatan seperti itu adalah
def-e">Probabilitas sama dengan proporsi molekul yang memiliki kecepatan dalam interval tertentu dibandingkan dengan jumlah total molekul n.
Jelas, probabilitasnya adalah example">v, tetapi juga bergantung pada lebar interval ..gif" border="0" align="absmiddle" alt="tidak gratis, tapi dalam interval satuan kecepatan, yaitu.
contoh">f(v) - kepadatan probabilitas, atau fungsi distribusi. Ketergantungan kepadatan probabilitas (fraksi) suatu variabel acak pada nilainya disebut fungsi distribusi variabel acak ini f(v). Kami mempertimbangkan fungsi distribusi kecepatan molekul.
Untuk v yang berbeda, nilai f(v) akan berbeda. Jika kita mengetahuinya, kita bisa membuat “langkah” yang disebut histogram. Histogram semacam itu digunakan tidak hanya dalam fisika, tetapi juga dalam sosiologi, kedokteran, teknologi, dll.
Karena kecepatan dalam sistem molekul berubah terus menerus, fungsi distribusi f(v) dapat ditentukan dengan lebih akurat:
example">f(v) harus dinormalisasi dengan kondisi:
rumus" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f684.gif" border="0" align="absmiddle" alt="tidak berarti terdapat molekul di dalam gas dengan kecepatan yang sangat tinggi, ini adalah teknik komputasi yang dimungkinkan karena hanya terdapat sedikit molekul dengan kecepatan yang sangat tinggi.
Grafik fungsi f(v) ditunjukkan pada gambar; kurva f(v) asimetris dan melewati nol di titik asal. Luas garis dasar yang diarsir pada gambar memberikan probabilitas bahwa kecepatan molekul berada dalam interval dari v ke v + contoh">n, ini memberikan kemungkinan jumlah molekul dengan kecepatan dalam interval yang sama.
Fungsi distribusi molekul gas berdasarkan kecepatan diperoleh oleh J. Maxwell. Dia memecahkan masalah gas yang terdiri dari sejumlah besar n molekul identik dalam keadaan gerak termal acak pada suhu tertentu. Diasumsikan tidak ada medan gaya yang bekerja pada gas tersebut. Hukum distribusi kecepatan Maxwell berbentuk:
rumus" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f687.gif" border="0" align="absmiddle" alt="
Fungsi f(v) mempunyai nilai maksimum pada nilai kecepatan yang paling mungkin (m adalah massa molekul, T adalah suhu).
Ketika suhu meningkat, kurva distribusi kecepatan molekul berubah bentuk.
seleksi">pada kecepatan rendah menurun, dan dengan pada kecepatan lebih tinggi - meningkat. Nilai maksimum fungsi distribusi f(v) berkurang, sehingga luas di bawah kurva tidak berubah.
Distribusi Maxwellian:
1) selalu terbentuk pada kesetimbangan termal dalam sistem partikel yang tidak berinteraksi atau berinteraksi secara elastis, yang geraknya dapat dijelaskan dengan hukum mekanika klasik: gas, beberapa cairan, partikel Brown (partikel kecil dalam cairan).
2) stasioner (tidak berubah terhadap waktu), meskipun faktanya molekul-molekul terus-menerus berubah kecepatannya akibat tumbukan.
Pengetahuan tentang fungsi distribusi statistik memungkinkan untuk menghitung nilai rata-rata parameter mikroskopis tanpa mengetahui nilainya untuk masing-masing molekul. Misalnya, kecepatan rata-rata aritmatika gerak molekul dapat dicari dengan menghitung integral:
example">f(v) dan integrasikan, kita dapatkan kecepatan rata-rata molekul gas ideal:
untuk menentukan kecepatan kuadrat rata-rata, Anda perlu menghitung integralnya:
rumus" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f693.gif" border="0" align="absmiddle" alt="
Pengukuran eksperimental kecepatan molekul (salah satu eksperimen pertama dilakukan oleh O. Stern menggunakan berkas molekul) menunjukkan kesesuaian yang baik dengan nilai teoretis kecepatan yang diberikan oleh distribusi Maxwell. Dalam eksperimennya tentang emisi termionik, Richardson menguji hukum distribusi kecepatan Maxwell pada tahun 1921. Dalam keadaan setimbang, pasangan elektron jenuh terbentuk di atas permukaan logam; penentuan eksperimental kecepatan elektron mematuhi hukum Maxwell.
Dalam gas terdapat distribusi molekul tertentu berdasarkan kecepatan yang rata-rata konstan terhadap waktu.
Keadaan kesetimbangan suatu gas tidak hanya dicirikan oleh distribusi molekul berdasarkan kecepatan, tetapi juga oleh koordinat. Dengan tidak adanya bidang eksternal, distribusi ini akan seragam, yaitu. gas didistribusikan secara merata ke seluruh volume bejana: dalam volume makroskopis yang sama, rata-rata, terdapat jumlah molekul yang sama di dalam bejana. Namun bagaimana dengan adanya medan yang bekerja pada molekul, misalnya medan gravitasi?
Menemukan hukum distribusi molekul gas dengan ketinggian dalam medan gravitasi seragam mungkin dari kondisi keseimbangan mekanis.
Mari kita perhatikan kolom gas vertikal dengan luas alas S, secara mental pilih rumus ketebalan lapisan di dalamnya pada ketinggian h" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f695.gif " perbatasan="0" align="absmiddle" alt="= konstanta.
rumus" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f697.gif" border="0" align="absmiddle" alt="
dimana rumusnya" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f699.gif" border="0" align="absmiddle" alt="dapat ditulis dalam bentuk
rumus" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f701.gif" border="0" align="absmiddle" alt="
Dari persamaan Clapeyron-Mendeleev untuk massa gas sembarang m
PV = mRT/M,
kepadatan
rumus" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f703.gif" border="0" align="absmiddle" alt=".gif" border="0" align="absmiddle" alt=", kita mendapatkan
example">g dan T memiliki bentuk
rumus" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f715.gif" border="0" align="absmiddle" alt="
ditentukan oleh distribusi Boltzmann, yang mencirikan distribusi keseimbangan spasial konsentrasi partikel tergantung pada energi potensialnya.
Teori umum distribusi statistik ekuilibrium diciptakan oleh J. Gibbs. Dia menunjukkan bahwa dalam keadaan kesetimbangan termal pada suhu T, hukum distribusi molekul pada kuantitas apa pun yang mencirikan keadaannya (koordinat, kecepatan, energi) bersifat eksponensial, dan dalam eksponen terdapat rasio energi karakteristik sebesar molekul dengan nilai kT, diambil dengan tanda minus, yang sebanding dengan energi kinetik rata-rata dari gerak kacau molekul.
Soal dan tugas tes
1. Bagaimana distribusi kecepatan molekul gas dalam keadaan setimbang?
2. Apa fungsi distribusi suatu variabel acak, misalnya kecepatan molekul?
3. Gambarkan fungsi distribusi kecepatan Maxwell. Apa yang terjadi pada kurva fungsi distribusi dengan meningkatnya suhu?
4. Eksperimen apa yang mengkonfirmasi kesimpulan teori tentang distribusi molekul berdasarkan kecepatan?
5. Bagaimana cara mencari kecepatan rata-rata molekul menggunakan fungsi distribusi? Akar rata-rata kuadrat kecepatan molekul?
6. Tentukan kecepatan pergerakan molekul yang paling mungkin.
7. Tuliskan hukum distribusi molekul dalam medan gravitasi.
8. Pada suhu berapa kecepatan rata-rata kuadrat molekul oksigen melebihi kecepatan maksimumnya sebesar 100 m/s?