BAB 9 Geser dan Torsi
Balok yang ditunjukkan pada Gambar. 9.13, memiliki empat bagian. Jika kita mempertimbangkan kondisi keseimbangan sistem gaya yang diterapkan pada bagian kiri yang dipotong, kita dapat menulis:
Bagian 1 |
a (Gbr. 9.13, b). |
|||||||||||||||
Mx 0 : Mcr mx dx 0 ; Mkr |
dx. |
|||||||||||||||
Seksi 2 |
sebuah x2 |
ab (Gbr. 9.13, c). |
||||||||||||||
Mx 0 : Mcr mx dx M1 0 ; Mkr m x dx M1 . |
||||||||||||||||
Bagian 3 |
ab x2 |
a b c (Gbr. 9.13, d). |
||||||||||||||
M0; |
x dx M . |
|||||||||||||||
Bagian 4 |
a b c x2 a b c d . |
|||||||||||||||
Mx 0 : Mcr mx dx M1 M2 0 ; |
||||||||||||||||
M kr |
m x dx M1 M2 . |
|||||||||||||||
Jadi, torsi Mcr pada penampang balok sama dengan jumlah aljabar momen semua gaya luar yang bekerja pada salah satu sisi penampang.
9.2.2. Tegangan dan regangan pada torsi balok lurus berpenampang lingkaran
Seperti telah disebutkan, tegangan tangensial total dapat ditentukan dari ketergantungan (9.14) jika hukum distribusinya pada penampang balok diketahui. Ketidakmungkinan untuk menentukan hukum ini secara analitis memaksa kita untuk beralih ke studi eksperimental deformasi balok.
V.A.Zhilkin
Mari kita perhatikan sebuah balok, ujung kirinya dijepit dengan kuat, dan momen puntir M cr diterapkan pada ujung kanannya. Sebelum membebankan balok dengan momen, jaring ortogonal dengan dimensi sel a×b diaplikasikan pada permukaannya (Gbr. 9.14, a). Setelah menerapkan momen puntir M cr, ujung kanan balok akan berputar relatif terhadap ujung kiri balok sebesar sudut, sedangkan jarak antar bagian balok puntir tidak akan berubah, dan jari-jari yang ditarik pada bagian ujung akan tetap lurus, yaitu dapat diasumsikan bahwa hipotesis penampang datar terpenuhi (Gbr. 9.14, b). Bagian yang datar sebelum balok dideformasi tetap datar setelah mengalami deformasi, berputar seperti hard disk, yang satu relatif terhadap yang lain pada sudut tertentu. Karena jarak antar bagian balok tidak berubah, maka deformasi relatif memanjang x 0 sama dengan nol. Garis memanjang dari kisi-kisi berbentuk heliks, tetapi jarak antara keduanya tetap konstan (karenanya, y 0), sel-sel kisi persegi panjang berubah menjadi jajaran genjang, dimensi sisi-sisinya tidak berubah, mis. volume dasar yang dipilih dari setiap lapisan kayu berada dalam kondisi geser murni.
Mari kita potong elemen balok dengan panjang dx menjadi dua bagian (Gbr. 9.15). Akibat pembebanan balok, bagian kanan elemen akan berputar relatif terhadap kiri dengan sudut d. Dalam hal ini, generatrix silinder akan berputar membentuk sudut
BAB 9 Geser dan Torsi
menggeser Semua generatris silinder internal berjari-jari akan berputar melalui sudut yang sama.
Menurut Gambar. 9.15 busur
ab dx d.
dimana d dx disebut sudut puntir relatif. Jika dimensi penampang balok lurus dan torsi yang bekerja padanya adalah konstan pada suatu luas tertentu, maka nilainya juga konstan dan sama dengan perbandingan sudut penuh memutar di bagian ini hingga panjangnya L, mis. L.
Meneruskan tegangan menurut hukum Hooke di bawah geser (G), kita peroleh
Jadi, di Persimpangan Ketika sebuah balok dipuntir, timbul tegangan tangensial yang arahnya pada setiap titik tegak lurus terhadap jari-jari yang menghubungkan titik tersebut dengan pusat penampang, dan besarnya berbanding lurus.
V.A.Zhilkin
jarak titik dari pusat. Di pusat (pada 0 ) tegangan tangensial adalah nol; di titik-titik yang terletak di dekat permukaan luar balok, ukurannya paling besar.
Mengganti hukum distribusi tegangan yang ditemukan (9.18) ke dalam persamaan (9.14), kita peroleh
Mkr G dF G 2 dF G J , |
||||||||||||||||
dimana J d 4 adalah momen inersia polar dari lingkaran melintang |
||||||||||||||||
dari bagian kayu yang luas. |
||||||||||||||||
Produk oleh G.J. |
disebut kekakuan lateral |
|||||||||||||||
bagian balok selama torsi. |
||||||||||||||||
Satuan ukuran kekerasan adalah |
||||||||||||||||
adalah N·m2, kN·m2, dst. |
||||||||||||||||
Dari (9.19) kita mencari sudut puntir relatif balok |
||||||||||||||||
M kr |
||||||||||||||||
dan kemudian, menghilangkan (9.18) dari persamaan, kita memperoleh rumusnya |
||||||||||||||||
untuk tegangan selama torsi kayu bagian bulat |
||||||||||||||||
M kr |
||||||||||||||||
Nilai tegangan tertinggi tercapai di akhir |
||||||||||||||||
titik wisata bagian di d 2: |
||||||||||||||||
M kr |
M kr |
M kr |
||||||||||||||
disebut momen tahanan terhadap puntir suatu poros berpenampang lingkaran.
Dimensi momen hambatan puntir adalah cm3, m3, dst.
yang memungkinkan Anda menentukan sudut puntir seluruh balok
GJ kr. |
Jika balok mempunyai beberapa bagian dengan ekspresi analitik yang berbeda untuk M cr atau arti yang berbeda kekakuan penampang GJ , lalu
Mkr dx |
|||||
Untuk balok dengan panjang L dengan penampang konstan, dibebani pada ujung-ujungnya oleh pasangan gaya terpusat dengan momen M cr,
Mkr L |
|||||||||||||||||||
| D dan dalaman d. Hanya dalam kasus ini J dan W cr diperlukan | |||||||||||||||||||
1 c 4 ; W kr |
1 c 4 ; C |
|||||
Diagram tegangan tangensial pada penampang balok berongga ditunjukkan pada Gambar. 9.17.
Perbandingan diagram tegangan tangensial pada balok padat dan balok berongga menunjukkan keunggulan poros berongga, karena pada poros tersebut material digunakan lebih rasional (material di area tegangan rendah dihilangkan). Akibatnya distribusi tegangan pada penampang menjadi lebih seragam, dan balok itu sendiri menjadi lebih ringan,
daripada balok padat dengan kekuatan yang sama - Gambar. 9.17 penampang, meskipun ada beberapa
kawanan peningkatan diameter luar.
Tetapi ketika merancang balok yang bekerja dalam torsi, harus diperhitungkan bahwa dalam kasus bagian melingkar, produksinya lebih sulit, dan karenanya lebih mahal.
Gaya longitudinal N yang timbul pada penampang balok merupakan resultan gaya normal dalam yang didistribusikan pada luas penampang, dan berhubungan dengan tegangan normal yang timbul pada penampang tersebut melalui ketergantungan (4.1):
di sini adalah tegangan normal pada titik penampang sembarang yang termasuk dalam luas dasar - luas penampang balok.
Produk tersebut mewakili gaya dalam dasar per luas dF.
Besarnya gaya longitudinal N dalam setiap kasus dapat dengan mudah ditentukan dengan menggunakan metode penampang, seperti yang ditunjukkan pada paragraf sebelumnya. Untuk mencari nilai tegangan a pada setiap titik penampang balok, perlu diketahui hukum distribusinya pada penampang tersebut.
Hukum distribusi tegangan normal pada penampang balok biasanya digambarkan dengan grafik yang menunjukkan perubahannya sepanjang tinggi atau lebar penampang. Grafik seperti ini disebut diagram tegangan normal (diagram a).
Ekspresi (1.2) dapat dipenuhi tanpa batas jumlah besar jenis diagram tegangan a (misalnya, dengan diagram a yang ditunjukkan pada Gambar 4.2). Oleh karena itu, untuk memperjelas hukum distribusi tegangan normal pada penampang balok, perlu dilakukan suatu percobaan.
Mari kita menggambar garis pada permukaan samping balok, sebelum memuatnya, tegak lurus terhadap sumbu balok (Gbr. 5.2). Setiap garis tersebut dapat dianggap sebagai jejak bidang penampang balok. Ketika balok dibebani dengan gaya aksial P, garis-garis ini, seperti yang ditunjukkan oleh pengalaman, tetap lurus dan sejajar satu sama lain (posisinya setelah balok dibebani ditunjukkan pada Gambar 5.2 dengan garis putus-putus). Hal ini memungkinkan kita untuk berasumsi bahwa penampang balok, yang rata sebelum dibebani, tetap rata di bawah aksi beban. Pengalaman ini menegaskan hipotesis penampang bidang (hipotesis Bernoulli), yang dirumuskan pada akhir § 6.1.
Mari kita bayangkan sebuah balok yang terdiri dari serat-serat yang tak terhitung jumlahnya sejajar dengan porosnya.
Ketika sebuah balok diregangkan, dua bagian melintang tetap rata dan sejajar satu sama lain, tetapi menjauh satu sama lain dengan jarak tertentu; Setiap serat memanjang dengan jumlah yang sama. Dan karena perpanjangan yang sama berhubungan dengan tegangan yang sama, maka tegangan pada penampang semua serat (dan, akibatnya, pada semua titik penampang balok) adalah sama satu sama lain.
Hal ini memungkinkan kita untuk mengambil nilai a dari tanda integral dalam ekspresi (1.2). Dengan demikian,
Jadi, pada penampang balok, pada tegangan atau kompresi sentral, timbul tegangan normal yang terdistribusi secara merata, sama dengan rasio gaya longitudinal terhadap luas penampang.
Jika ada pelemahan pada beberapa bagian balok (misalnya, oleh lubang untuk paku keling), ketika menentukan tegangan pada bagian tersebut, luas sebenarnya dari bagian yang melemah harus diperhitungkan sama dengan luas total dikurangi dengan nilai area yang melemah
Untuk menggambarkan secara visual perubahan tegangan normal pada penampang batang (sepanjang panjangnya), dibuat diagram tegangan normal. Sumbu diagram ini adalah ruas garis lurus, sama dengan panjangnya batang dan sejajar dengan porosnya. Untuk batang dengan penampang konstan, diagram tegangan normal mempunyai bentuk yang sama dengan diagram gaya memanjang(berbeda hanya pada skala yang diterima). Dengan batang dengan penampang variabel, tampilan kedua diagram ini berbeda; khususnya, untuk batang dengan hukum perubahan penampang bertahap, diagram tegangan normal memiliki lompatan tidak hanya di bagian di mana beban aksial terkonsentrasi diterapkan (di mana diagram gaya memanjang memiliki lompatan), tetapi juga di tempat-tempat di mana dimensi perubahan penampang. Konstruksi diagram distribusi tegangan normal sepanjang batang dibahas pada contoh 1.2.
Sekarang mari kita perhatikan tegangan pada bagian miring balok.
Mari kita nyatakan a sudut antara bagian miring dan bagian melintang (Gbr. 6.2, a). Kami setuju untuk menganggap sudut a sebagai positif ketika penampang harus diputar berlawanan arah jarum jam dengan sudut ini agar sejajar dengan bagian miring.
Sebagaimana telah diketahui bahwa perpanjangan semua serat yang sejajar sumbu balok bila diregangkan atau dimampatkan adalah sama. Hal ini memungkinkan kita untuk mengasumsikan bahwa tegangan p di semua titik pada bagian miring (dan juga penampang) adalah sama.
Mari kita perhatikan bagian bawah balok, terpotong menjadi beberapa bagian (Gbr. 6.2, b). Dari kondisi kesetimbangannya maka tegangan-tegangan tersebut sejajar dengan sumbu balok dan arahnya berlawanan dengan gaya P, dan kekuatan batin yang bekerja pada penampang sama dengan P. Di sini luas penampang miring sama dengan (di mana luas penampang balok).
Karena itu,
dimana tegangan normal pada penampang balok.
Mari kita menguraikan tegangan menjadi dua komponen tegangan: normal, tegak lurus terhadap bidang penampang, dan garis singgung, sejajar dengan bidang ini (Gbr. 6.2, c).
Kami memperoleh nilai dan dari ekspresi
Tegangan normal biasanya dianggap positif pada tegangan dan negatif pada kompresi. Tegangan tangensial bernilai positif jika vektor yang mewakili tegangan tersebut cenderung memutar benda terhadap sembarang titik C yang terletak pada garis normal internal penampang tersebut, searah jarum jam. Pada Gambar. 6.2, c menunjukkan tegangan geser positif ta, dan pada Gambar. 6.2, g - negatif.
Dari rumus (6.2) dapat disimpulkan bahwa tegangan normal mempunyai nilai dari (at sampai nol (at a). Jadi, yang terbesar (at nilai mutlak) tegangan normal timbul pada penampang balok. Oleh karena itu, kekuatan balok tarik atau tekan dihitung menurut tegangan normal pada penampang melintangnya.
Perhitungan kayu dengan penampang bulat untuk kekuatan dan kekakuan torsi
Perhitungan kayu dengan penampang bulat untuk kekuatan dan kekakuan torsi
Tujuan perhitungan kekuatan dan kekakuan torsi adalah untuk menentukan dimensi penampang balok di mana tegangan dan perpindahan tidak akan melebihi nilai yang ditentukan yang diperbolehkan oleh kondisi operasi. Kondisi kekuatan tegangan tangensial ijin umumnya ditulis dalam bentuk Kondisi ini berarti bahwa tegangan geser tertinggi yang timbul pada balok puntir tidak boleh melebihi tegangan ijin material yang bersangkutan. Tegangan yang diijinkan selama torsi bergantung pada 0 ─ tegangan yang sesuai dengan keadaan berbahaya material, dan faktor keamanan yang diterima n: ─ kekuatan luluh, nt - faktor keamanan untuk bahan plastik; ─ kekuatan tarik, nв - faktor keamanan untuk material rapuh. Karena kenyataan bahwa lebih sulit untuk mendapatkan nilai dalam percobaan torsi daripada dalam tegangan (kompresi), maka tegangan torsi yang diijinkan paling sering diambil tergantung pada tegangan tarik yang diijinkan untuk bahan yang sama. Jadi untuk baja [untuk besi tuang. Saat menghitung kekuatan balok puntir, ada tiga jenis masalah yang mungkin terjadi, berbeda dalam bentuk penggunaan kondisi kekuatan: 1) pemeriksaan tegangan (perhitungan pengujian); 2) pemilihan bagian (perhitungan desain); 3) penentuan beban yang diperbolehkan. 1. Saat memeriksa tegangan untuk beban dan dimensi balok tertentu, tegangan tangensial terbesar yang terjadi di dalamnya ditentukan dan dibandingkan dengan yang ditentukan menurut rumus (2.16). Jika kondisi kekuatan tidak terpenuhi, maka dimensi penampang perlu ditingkatkan, atau beban yang bekerja pada balok harus dikurangi, atau bahan dengan kekuatan lebih tinggi harus digunakan. 2. Ketika memilih suatu penampang untuk beban tertentu dan nilai tegangan ijin tertentu, dari kondisi kekuatan (2.16), ditentukan nilai momen polar tahanan penampang balok. atau bagian melingkar balok ditentukan oleh nilai momen tahanan kutub. 3. Saat menentukan beban yang diizinkan dari tegangan yang diizinkan dan momen polar resistensi WP, berdasarkan (3.16), nilai torsi yang diizinkan MK ditentukan terlebih dahulu dan kemudian, dengan menggunakan diagram torsi, sambungan dibuat antara K M dan momen puntir luar. Perhitungan kekuatan kayu tidak mengecualikan kemungkinan deformasi yang tidak dapat diterima selama pengoperasiannya. Sudut puntir balok yang besar sangat berbahaya, karena dapat mengakibatkan pelanggaran presisi bagian pemrosesan jika balok tersebut merupakan elemen struktur mesin pengolah, atau getaran puntir dapat terjadi jika balok mentransmisikan momen puntir yang bervariasi. waktu, sehingga balok juga harus diperhitungkan kekakuannya. Kondisi kekakuan ditulis dalam bentuk berikut: di mana ─ sudut puntir relatif terbesar balok, ditentukan dari persamaan (2.10) atau (2.11). Maka kondisi kekakuan poros akan berbentuk Nilai sudut puntir relatif yang diizinkan ditentukan oleh standar untuk berbagai elemen struktur dan jenis yang berbeda beban bervariasi dari 0,15° hingga 2° per 1 m panjang balok. Baik dalam kondisi kekuatan maupun dalam kondisi kekakuan, ketika menentukan max atau max kita akan menggunakan karakteristik geometris: WP ─ momen resistensi kutub dan IP ─ momen inersia kutub. Tentunya ciri-ciri tersebut akan berbeda untuk penampang bulat padat dan annular dengan luas penampang yang sama. Melalui perhitungan khusus, dapat diyakinkan bahwa momen inersia kutub dan momen hambatan untuk bagian cincin jauh lebih besar daripada bagian lingkaran tidak beraturan, karena bagian cincin tidak memiliki luas yang dekat dengan pusat. Oleh karena itu, balok dengan penampang melingkar pada torsi lebih ekonomis dibandingkan balok dengan penampang melingkar padat, sehingga memerlukan konsumsi material yang lebih sedikit. Namun, produksi balok seperti itu lebih sulit dan karenanya lebih mahal, dan keadaan ini juga harus diperhitungkan ketika merancang balok yang beroperasi pada torsi. Kami akan mengilustrasikan metodologi penghitungan kekuatan dan kekakuan torsi kayu, serta pertimbangan efektivitas biaya, dengan sebuah contoh. Contoh 2.2 Bandingkan berat dua poros, yang dimensi melintangnya dipilih untuk torsi yang sama MK 600 Nm pada tegangan izin yang sama 10 R dan 13 Tegangan sepanjang serat p] 7 Rp 10 Kompresi dan penghancuran sepanjang serat [cm] 10 Rc, Rcm 13 Runtuh melintasi serat (dengan panjang minimal 10 cm) [cm]90 2,5 Rcm 90 3 Pemotongan sepanjang serat selama pembengkokan [dan] 2 Rck 2.4 Pemotongan sepanjang serat saat pemotongan 1 Rck 1.2 – 2.4 Memotong seluruh serat yang dipotong
Jika, pada saat pembengkokan lurus atau miring, hanya momen lentur yang bekerja pada penampang balok, maka terjadilah pembengkokan lurus murni atau miring murni. Jika gaya transversal juga bekerja pada penampang tersebut, maka terjadilah tikungan lurus melintang atau miring melintang. Jika momen lentur adalah satu-satunya faktor gaya dalam, maka lentur tersebut disebut membersihkan(Gbr. 6.2). Bila ada gaya geser maka disebut lentur melintang. Sebenarnya, untuk tipe sederhana resistensi hanya berlaku tikungan murni; lentur transversal secara kondisional diklasifikasikan sebagai jenis resistensi sederhana, karena dalam banyak kasus (untuk balok yang cukup panjang) pengaruh gaya transversal dapat diabaikan ketika menghitung kekuatan. Lihat kondisi kekuatan lentur bidang. Saat menghitung balok untuk lentur, salah satu tugas terpenting adalah menentukan kekuatannya. Tekuk bidang disebut melintang jika timbul dua faktor gaya dalam pada penampang balok: M - momen lentur dan Q - gaya transversal, dan murni jika hanya timbul M. lentur melintang bidang gaya melewati sumbu simetri balok, yang merupakan salah satu sumbu inersia utama penampang.
Ketika sebuah balok dibengkokkan, sebagian lapisannya akan meregang, dan lapisan lainnya akan mengalami kompresi. Di antara mereka ada lapisan netral, yang hanya membengkok tanpa mengubah panjangnya. Garis perpotongan lapisan netral dengan bidang penampang berimpit dengan sumbu inersia utama kedua dan disebut garis netral (sumbu netral).
Dari aksi momen lentur, timbul tegangan normal pada penampang balok, ditentukan dengan rumus
dimana M adalah momen lentur pada bagian yang ditinjau;
I – momen inersia penampang balok terhadap sumbu netral;
y adalah jarak dari sumbu netral ke titik di mana tegangan ditentukan.
Terlihat dari rumus (8.1), tegangan normal pada penampang balok sepanjang tingginya adalah linier, mencapai nilai maksimum pada titik terjauh dari lapisan netral.
dimana W adalah momen hambatan penampang balok terhadap sumbu netral.
27.Tegangan tangensial pada penampang balok. rumus Zhuravsky.
Rumus Zhuravsky memungkinkan Anda menentukan tegangan geser selama lentur yang timbul pada titik-titik penampang balok yang terletak pada jarak dari sumbu netral x. 
DERIVASI FORMULA ZHURAVSKI
Mari kita potong sebuah elemen dengan panjang dan bagian memanjang tambahan menjadi dua bagian dari balok berpenampang persegi panjang (Gbr. 7.10, a) (Gbr. 7.10, b).
Mari kita perhatikan keseimbangan bagian atas: karena perbedaan momen lentur, timbul tegangan tekan yang berbeda. Agar bagian balok tersebut berada dalam keadaan setimbang (), harus timbul gaya tangensial pada bagian memanjangnya. Persamaan kesetimbangan bagian balok:
dimana integrasi dilakukan hanya pada bagian yang terpotong dari luas penampang balok (diarsir pada Gambar 7.10), 
– momen inersia statis bagian yang terpotong (diarsir) dari luas penampang relatif terhadap sumbu x netral.
Misalkan: tegangan tangensial () yang timbul pada bagian memanjang balok terdistribusi secara merata pada lebarnya () pada penampang:
Kami memperoleh ekspresi untuk tekanan tangensial:
, a , maka rumus tegangan tangensial () yang timbul pada titik-titik penampang balok yang terletak pada jarak y dari sumbu netral x:
rumus Zhuravsky
Rumus Zhuravsky diperoleh pada tahun 1855 oleh D.I. Zhuravsky, oleh karena itu menyandang namanya.