Temukan solusi umum dari sistem homogen. Apa yang dimaksud dengan sistem persamaan linear homogen

Diberikan matriks

Temukan: 1) aA - bB,

Larutan: 1) Kita mencarinya secara berurutan, menggunakan aturan mengalikan matriks dengan bilangan dan menjumlahkan matriks..

2. Carilah A*B jika

Larutan: Kami menggunakan aturan perkalian matriks

Menjawab:

3. Untuk matriks tertentu, carilah minor M 31 dan hitung determinannya.

Larutan: Minor M 31 adalah determinan matriks yang diperoleh dari A

setelah mencoret baris 3 dan kolom 1. Kita temukan

1*10*3+4*4*4+1*1*2-2*4*10-1*1*4-1*4*3 = 0.

Mari kita transformasikan matriks A tanpa mengubah determinannya (kita buat nol pada baris 1)





-3, -, -4

-10			-15
-20			-25
-4			-5

Sekarang kita menghitung determinan matriks A dengan ekspansi sepanjang baris 1

Jawaban : M 31 = 0, detA = 0

Selesaikan dengan menggunakan metode Gauss dan metode Cramer.

2x 1 + x 2 + x 3 = 2

x 1 + x 2 + 3x 3 = 6

2x 1 + x 2 + 2x 3 = 5

Larutan: Mari kita periksa

Anda dapat menggunakan metode Cramer

Penyelesaian sistem: x 1 = D 1 / D = 2, x 2 = D 2 / D = -5, x 3 = D 3 / D = 3

Mari kita terapkan metode Gaussian.

Mari kita reduksi matriks yang diperluas dari sistem menjadi bentuk segitiga.

Untuk memudahkan penghitungan, mari kita tukar barisnya:

Kalikan baris ke-2 dengan (k = -1 / 2 = -1 / 2 ) dan tambahkan ke yang ke-3:



	1 / 2		7 / 2

Kalikan baris pertama dengan (k = -2 / 2 = -1 ) dan tambahkan ke yang ke-2:

Sekarang sistem aslinya dapat ditulis sebagai:

x 1 = 1 - (1/2 x 2 + 1/2 x 3)

x 2 = 13 - (6x 3)

Dari baris ke-2 kami mengungkapkan

Dari baris pertama kami mengungkapkan

Solusinya sama.

Jawaban: (2; -5; 3)

Menemukan keputusan bersama sistem dan FSR

13x 1 – 4x 2 – x 3 - 4x 4 - 6x 5 = 0

11x 1 – 2x 2 + x 3 - 2x 4 - 3x 5 = 0

5x 1 + 4x 2 + 7x 3 + 4x 4 + 6x 5 = 0

7x 1 + 2x 2 + 5x 3 + 2x 4 + 3x 5 = 0

Larutan: Mari kita terapkan metode Gaussian. Mari kita reduksi matriks yang diperluas dari sistem menjadi bentuk segitiga.

	-4	-1	-4	-6
	-2		-2	-3


x 1	x 2	x 3	x 4	x 5

Kalikan baris pertama dengan (-11). Kalikan baris ke-2 dengan (13). Mari tambahkan baris ke-2 ke baris ke-1:


-2	-2	-3

Kalikan baris ke-2 dengan (-5). Mari kalikan baris ke-3 dengan (11). Mari tambahkan baris ke-3 ke baris ke-2:

Kalikan baris ke-3 dengan (-7). Mari kalikan baris ke-4 dengan (5). Mari tambahkan baris ke-4 ke baris ke-3:

Persamaan kedua merupakan kombinasi linier dari persamaan lainnya

Mari kita cari pangkat matriksnya.

	-18	-24	-18	-27

x 1	x 2	x 3	x 4	x 5

Minor yang dipilih mempunyai orde tertinggi (dari kemungkinan minor) dan bukan nol (sama dengan hasil kali elemen-elemen pada diagonal terbalik), oleh karena itu rang(A) = 2.

Anak di bawah umur ini adalah dasar. Ini mencakup koefisien untuk yang tidak diketahui x 1 , x 2 , yang berarti bahwa yang tidak diketahui x 1 , x 2 bergantung (dasar), dan x 3 , x 4 , x 5 bebas.

Sistem dengan koefisien matriks ini ekuivalen dengan sistem aslinya dan berbentuk:

18x 2 = 24x 3 + 18x 4 + 27x 5

7x 1 + 2x 2 = - 5x 3 - 2x 4 - 3x 5

Dengan menggunakan metode menghilangkan hal yang tidak diketahui, kami menemukannya keputusan bersama:

x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5

x 1 = - 1/3 x 3

Kami menemukan sistem mendasar solusi (FSR), yang terdiri dari (n-r) solusi. Dalam kasus kita, n=5, r=2, oleh karena itu, sistem solusi fundamental terdiri dari 3 solusi, dan solusi ini harus bebas linier.

Agar baris-baris tersebut bebas linier, pangkat matriks yang tersusun dari elemen-elemen baris harus sama dengan jumlah baris, yaitu 3.

Cukup dengan memberikan nilai x 3 , x 4 , x 5 yang tidak diketahui gratis dari garis determinan orde ke-3, bukan nol, dan menghitung x 1 , x 2 .

Penentu bukan nol yang paling sederhana adalah matriks identitas.

Tapi lebih nyaman membawanya ke sini

Kami menemukan menggunakan solusi umum:

a) x 3 = 6, x 4 = 0, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = -2, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = - 4Þ

Saya keputusan FSR: (-2; -4; 6; 0;0)

b) x 3 = 0, x 4 = 6, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = - 6 TH

Solusi FSR II: (0; -6; 0; 6;0)

c) x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 6 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = -9 TH

Keputusan III FSR : (0; - 9; 0; 0;6)

Þ FSR: (-2; -4; 6; 0;0), (0; -6; 0; 6;0), (0; - 9; 0; 0;6)

6. Diketahui: z 1 = -4 + 5i, z 2 = 2 – 4i. Temukan: a) z 1 – 2z 2 b) z 1 z 2 c) z 1 /z 2

Larutan: a) z 1 – 2z 2 = -4+5i+2(2-4i) = -4+5i+4-8i = -3i

b) z 1 z 2 = (-4+5i)(2-4i) = -8+10i+16i-20i 2 = (i 2 = -1) = 12 + 26i

Jawaban: a) -3i b) 12+26i c) -1,4 – 0,3i

Sistem persamaan aljabar linier homogen

Sebagai bagian dari pelajaran metode Gaussian Dan Sistem/sistem yang tidak kompatibel dengan solusi umum kami mempertimbangkan sistem yang heterogen persamaan linear , Di mana anggota bebas(yang biasanya di sebelah kanan) setidaknya satu dari persamaan berbeda dari nol.
Dan sekarang, setelah pemanasan yang baik peringkat matriks, kami akan terus memoles tekniknya transformasi dasar pada sistem persamaan linear yang homogen.
Berdasarkan paragraf pertama, materi mungkin terkesan membosankan dan biasa-biasa saja, namun kesan ini menipu. Selain pengembangan teknik lebih lanjut, akan banyak informasi baru, jadi mohon jangan mengabaikan contoh di artikel ini.

Apa yang dimaksud dengan sistem persamaan linear homogen?

Jawabannya muncul dengan sendirinya. Suatu sistem persamaan linier dikatakan homogen jika suku bebasnya setiap orang persamaan sistemnya adalah nol. Misalnya:

Hal ini sangat jelas sistem yang homogen selalu konsisten, artinya, selalu ada solusi. Dan, pertama-tama, yang menarik perhatian Anda adalah apa yang disebut remeh larutan . Sepele, bagi yang belum paham sama sekali arti kata sifat itu artinya tanpa pamer. Tentu saja tidak secara akademis, tetapi secara cerdas =) ...Mengapa bertele-tele, mari kita cari tahu apakah sistem ini memiliki solusi lain:

Contoh 1

Larutan: untuk menyelesaikan sistem homogen perlu ditulis matriks sistem dan dengan bantuan transformasi dasar, bawalah ke bentuk bertahap. Harap dicatat bahwa di sini tidak perlu menuliskan bilah vertikal dan kolom nol suku bebas - lagipula, apa pun yang Anda lakukan dengan nol, keduanya akan tetap nol:

(1) Baris pertama ditambahkan ke baris kedua, dikalikan –2. Baris pertama ditambahkan ke baris ketiga, dikalikan –3.

(2) Baris kedua ditambahkan ke baris ketiga, dikalikan –1.

Membagi baris ketiga dengan 3 tidak masuk akal.

Sebagai hasil dari transformasi dasar, diperoleh sistem homogen yang setara , dan dengan menggunakan kebalikan dari metode Gaussian, mudah untuk memverifikasi bahwa solusi tersebut unik.

Menjawab:

Mari kita merumuskan kriteria yang jelas: memiliki sistem persamaan linear yang homogen hanya solusi sepele, Jika peringkat matriks sistem(V pada kasus ini 3) sama dengan jumlah variabel (dalam hal ini – 3 buah).

Mari kita melakukan pemanasan dan menyetel radio kita ke gelombang transformasi dasar:

Contoh 2

Memecahkan sistem persamaan linear homogen

Dari artikel tersebut Bagaimana cara mencari rank suatu matriks? Mari kita mengingat kembali teknik rasional penurunan bilangan matriks secara bersamaan. Jika tidak, Anda harus memotong ikan yang besar dan sering menggigit. Contoh perkiraan tugas di akhir pelajaran.

Angka nol memang bagus dan nyaman, tetapi dalam praktiknya, kasus ini jauh lebih umum terjadi ketika baris-baris matriks sistem bergantung secara linier. Dan munculnya solusi umum tidak bisa dihindari:

Contoh 3

Memecahkan sistem persamaan linear homogen

Larutan: mari kita tuliskan matriks sistem dan, dengan menggunakan transformasi dasar, bawa ke bentuk bertahap. Tindakan pertama ditujukan tidak hanya untuk memperoleh satu nilai, tetapi juga untuk mengurangi angka pada kolom pertama:

(1) Baris ketiga ditambahkan ke baris pertama, dikalikan –1. Baris ketiga ditambahkan ke baris kedua, dikalikan –2. Di kiri atas saya mendapat unit dengan "minus", yang seringkali jauh lebih nyaman untuk transformasi lebih lanjut.

(2) Dua baris pertama sama, salah satunya dihapus. Sejujurnya, saya tidak menyesuaikan solusinya - ternyata begitulah. Jika Anda melakukan transformasi dengan cara templat, maka ketergantungan linier garis-garisnya akan terungkap nanti.

(3) Baris kedua ditambahkan ke baris ketiga, dikalikan 3.

(4) Tanda baris pertama diubah.

Sebagai hasil dari transformasi dasar, sistem ekuivalen diperoleh:

Algoritmenya bekerja persis sama seperti untuk sistem yang heterogen. Variabel “duduk di tangga” adalah yang utama, variabel yang tidak mendapat “langkah” bebas.

Mari kita ekspresikan variabel dasar melalui variabel bebas:

Menjawab: keputusan bersama:

Solusi sepele disertakan dalam rumus umum, dan tidak perlu menuliskannya secara terpisah.

Pengecekan juga dilakukan sesuai dengan skema biasa: solusi umum yang dihasilkan harus disubstitusikan ke ruas kiri setiap persamaan sistem dan memperoleh nol yang sah untuk semua substitusi.

Hal ini mungkin dapat diselesaikan dengan tenang dan damai, namun solusi terhadap sistem persamaan yang homogen sering kali perlu direpresentasikan dalam bentuk vektor dengan menggunakan sistem dasar solusi. Tolong lupakan itu untuk saat ini geometri analitik, karena sekarang kita akan membahas tentang vektor dalam pengertian aljabar umum, yang sedikit saya buka di artikel tentang peringkat matriks. Tidak perlu mengabaikan terminologinya, semuanya cukup sederhana.

Menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier (SLAE) tidak diragukan lagi merupakan topik terpenting dalam mata kuliah aljabar linier. Sejumlah besar masalah dari semua cabang matematika direduksi menjadi penyelesaian sistem persamaan linear. Faktor-faktor ini menjelaskan alasan artikel ini. Materi artikel dipilih dan disusun sedemikian rupa sehingga dengan bantuannya Anda bisa

pilih metode optimal untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier Anda,
mempelajari teori metode yang dipilih,
selesaikan sistem persamaan linier Anda dengan mempertimbangkan solusi terperinci untuk contoh dan masalah umum.

Deskripsi singkat materi artikel.

Pertama, kami memberikan semua definisi, konsep, dan memperkenalkan notasi yang diperlukan.

Selanjutnya, kita akan membahas metode penyelesaian sistem persamaan aljabar linier yang jumlah persamaannya sama dengan jumlah variabel yang tidak diketahui dan memiliki solusi unik. Pertama, kita akan fokus pada metode Cramer, kedua, kita akan menunjukkan metode matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan tersebut, dan ketiga, kita akan menganalisis metode Gauss (metode eliminasi berurutan dari variabel yang tidak diketahui). Untuk mengkonsolidasikan teori, kami pasti akan menyelesaikan beberapa SLAE dengan cara berbeda.

Setelah ini, kita akan melanjutkan ke penyelesaian sistem persamaan aljabar linier pandangan umum, yang jumlah persamaannya tidak sesuai dengan jumlah variabel yang tidak diketahui, atau matriks utama sistemnya berbentuk tunggal. Mari kita merumuskan teorema Kronecker-Capelli, yang memungkinkan kita menetapkan kompatibilitas SLAE. Mari kita menganalisis solusi sistem (jika kompatibel) menggunakan konsep basis minor dari sebuah matriks. Kami juga akan mempertimbangkan metode Gauss dan menjelaskan secara rinci solusi dari contoh.

Kami pasti akan membahas struktur solusi umum sistem persamaan aljabar linier homogen dan tidak homogen. Mari kita berikan konsep sistem solusi fundamental dan tunjukkan bagaimana solusi umum SLAE ditulis menggunakan vektor sistem solusi fundamental. Untuk pemahaman yang lebih baik, mari kita lihat beberapa contoh.

Sebagai kesimpulan, kami akan mempertimbangkan sistem persamaan yang dapat direduksi menjadi persamaan linier, serta berbagai masalah yang penyelesaiannya menimbulkan SLAE.

Navigasi halaman.

Definisi, konsep, sebutan.

Kita akan mempertimbangkan sistem persamaan aljabar linier p dengan n variabel yang tidak diketahui (p bisa sama dengan n) dalam bentuk

Variabel yang tidak diketahui - koefisien (sebagian nyata atau bilangan kompleks), - suku bebas (juga bilangan real atau kompleks).

Bentuk pencatatan SLAE ini disebut koordinat.

DI DALAM bentuk matriks penulisan sistem persamaan ini berbentuk,
Di mana - matriks utama sistem, - matriks kolom variabel yang tidak diketahui, - matriks kolom suku bebas.

Jika kita menambahkan kolom matriks suku bebas ke matriks A sebagai kolom ke-(n+1), kita memperoleh apa yang disebut matriks diperluas sistem persamaan linear. Biasanya matriks yang diperluas dilambangkan dengan huruf T, dan kolom suku bebas dipisahkan oleh garis vertikal dari kolom yang tersisa, yaitu,

Memecahkan sistem persamaan aljabar linier disebut himpunan nilai variabel yang tidak diketahui yang mengubah semua persamaan sistem menjadi identitas. Persamaan matriks karena nilai tertentu dari variabel yang tidak diketahui juga menjadi identitas.

Jika suatu sistem persamaan mempunyai paling sedikit satu penyelesaian, maka disebut persendian.

Jika suatu sistem persamaan tidak mempunyai solusi, maka disebut non-bersama.

Jika SLAE mempunyai solusi unik, maka SLAE disebut yakin; jika ada lebih dari satu solusi, maka – tidak pasti.

Jika suku bebas semua persamaan sistem sama dengan nol , maka sistem dipanggil homogen, jika tidak - heterogen.

Memecahkan sistem dasar persamaan aljabar linier.

Jika banyaknya persamaan suatu sistem sama dengan banyaknya variabel yang tidak diketahui dan determinan matriks utamanya tidak sama dengan nol, maka SLAE tersebut disebut dasar. Sistem persamaan tersebut mempunyai solusi yang unik, dan dalam kasus sistem homogen, semua variabel yang tidak diketahui sama dengan nol.

Kami mulai mempelajari SLAE tersebut di sekolah menengah atas. Saat menyelesaikannya, kita mengambil satu persamaan, menyatakan satu variabel yang tidak diketahui ke dalam variabel lain dan mensubstitusikannya ke dalam persamaan yang tersisa, kemudian mengambil persamaan berikutnya, menyatakan variabel yang tidak diketahui berikutnya dan mensubstitusikannya ke persamaan lain, dan seterusnya. Atau mereka menggunakan metode penjumlahan, yaitu menambahkan dua persamaan atau lebih untuk menghilangkan beberapa variabel yang tidak diketahui. Kami tidak akan membahas metode ini secara rinci, karena metode ini pada dasarnya merupakan modifikasi dari metode Gauss.

Metode utama penyelesaian sistem persamaan linier dasar adalah metode Cramer, metode matriks, dan metode Gauss. Mari kita selesaikan.

Menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan metode Cramer.

Misalkan kita perlu menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier

yang banyaknya persamaan sama dengan banyaknya variabel yang tidak diketahui dan determinan matriks utama sistem bukan nol, yaitu .

Misalkan menjadi determinan matriks utama sistem, dan - determinan matriks yang diperoleh dari A dengan penggantian 1, 2, …, n kolom masing-masing ke kolom anggota bebas:

Dengan notasi ini, variabel yang tidak diketahui dihitung menggunakan rumus metode Cramer sebagai . Beginilah cara menemukan solusi sistem persamaan aljabar linier menggunakan metode Cramer.

Contoh.

metode Cramer .

Larutan.

Matriks utama sistem berbentuk . Mari kita hitung determinannya (jika perlu, lihat artikel):

Karena determinan matriks utama sistem bukan nol, sistem mempunyai solusi unik yang dapat dicari dengan metode Cramer.

Mari kita menyusun dan menghitung determinan yang diperlukan (kita memperoleh determinan dengan mengganti kolom pertama matriks A dengan kolom suku bebas, determinan dengan mengganti kolom kedua dengan kolom suku bebas, dan mengganti kolom ketiga matriks A dengan kolom suku bebas) :

Menemukan variabel yang tidak diketahui menggunakan rumus :

Menjawab:

Kerugian utama dari metode Cramer (jika bisa disebut kerugian) adalah rumitnya penghitungan determinan ketika jumlah persamaan dalam sistem lebih dari tiga.

Penyelesaian sistem persamaan aljabar linier menggunakan metode matriks (menggunakan matriks invers).

Misalkan suatu sistem persamaan aljabar linier diberikan dalam bentuk matriks, dimana matriks A berdimensi n kali n dan determinannya bukan nol.

Karena matriks A dapat dibalik, maka terdapat matriks invers. Jika kita mengalikan kedua ruas persamaan dengan kiri, kita memperoleh rumus untuk mencari kolom matriks dari variabel yang tidak diketahui. Beginilah cara kami memperoleh solusi sistem persamaan aljabar linier menggunakan metode matriks.

Contoh.

Memecahkan sistem persamaan linear metode matriks.

Larutan.

Mari kita tulis ulang sistem persamaan dalam bentuk matriks:

Karena

maka SLAE dapat diselesaikan dengan menggunakan metode matriks. Dengan menggunakan matriks terbalik solusi untuk sistem ini dapat ditemukan sebagai .

Mari kita buat matriks invers menggunakan matriks penjumlahan aljabar elemen matriks A (jika perlu, lihat artikel):

Tetap menghitung matriks variabel yang tidak diketahui dengan mengalikan matriks invers ke kolom matriks anggota bebas (jika perlu, lihat artikel):

Menjawab:

atau dalam notasi lain x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Masalah utama dalam mencari solusi sistem persamaan aljabar linier dengan menggunakan metode matriks adalah rumitnya mencari matriks invers, terutama untuk matriks persegi memesan lebih tinggi dari ketiga.

Menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan metode Gauss.

Misalkan kita perlu mencari solusi untuk sistem n persamaan linear dengan n variabel yang tidak diketahui
determinan matriks utamanya bukan nol.

Inti dari metode Gauss terdiri dari pengecualian berurutan dari variabel yang tidak diketahui: pertama, x 1 dikeluarkan dari semua persamaan sistem, mulai dari persamaan kedua, kemudian x 2 dikeluarkan dari semua persamaan, mulai dari persamaan ketiga, dan seterusnya, hingga hanya variabel yang tidak diketahui x n tetap dalam persamaan terakhir. Proses transformasi persamaan sistem untuk menghilangkan variabel yang tidak diketahui secara berurutan disebut metode Gaussian langsung. Setelah menyelesaikan langkah maju metode Gaussian, x n dicari dari persamaan terakhir, dengan menggunakan nilai ini dari persamaan kedua dari belakang, x n-1 dihitung, dan seterusnya, x 1 dicari dari persamaan pertama. Proses menghitung variabel yang tidak diketahui ketika berpindah dari persamaan terakhir sistem ke persamaan pertama disebut kebalikan dari metode Gaussian.

Mari kita jelaskan secara singkat algoritma untuk menghilangkan variabel yang tidak diketahui.

Kita akan berasumsi demikian, karena kita selalu dapat mencapainya dengan menata ulang persamaan sistem. Mari kita hilangkan variabel x 1 yang tidak diketahui dari semua persamaan sistem, dimulai dari persamaan kedua. Caranya, pada persamaan kedua sistem kita tambahkan persamaan pertama, dikalikan dengan , pada persamaan ketiga kita tambahkan persamaan pertama, dikalikan dengan , dan seterusnya, pada persamaan ke-n kita tambahkan persamaan pertama, dikalikan dengan . Sistem persamaan setelah transformasi tersebut akan berbentuk

dimana dan .

Kita akan mendapatkan hasil yang sama jika kita menyatakan x 1 dalam bentuk variabel lain yang tidak diketahui dalam persamaan pertama sistem dan mensubstitusikan ekspresi yang dihasilkan ke dalam semua persamaan lainnya. Jadi, variabel x 1 dikeluarkan dari semua persamaan mulai dari persamaan kedua.

Selanjutnya, kita melanjutkan dengan cara yang sama, tetapi hanya dengan bagian dari sistem yang dihasilkan, yang ditandai pada gambar

Caranya, pada persamaan ketiga sistem kita tambahkan persamaan kedua, dikalikan dengan , pada persamaan keempat kita tambahkan persamaan kedua, dikalikan dengan , dan seterusnya, pada persamaan ke-n kita tambahkan persamaan kedua, dikalikan dengan . Sistem persamaan setelah transformasi tersebut akan berbentuk

dimana dan . Jadi, variabel x 2 dikeluarkan dari semua persamaan, mulai dari persamaan ketiga.

Selanjutnya, kita melanjutkan untuk menghilangkan x 3 yang tidak diketahui, sementara kita bertindak serupa dengan bagian sistem yang ditandai pada gambar

Jadi kita lanjutkan perkembangan langsung metode Gaussian hingga sistem terbentuk

Mulai saat ini kita memulai kebalikan dari metode Gaussian: kita menghitung x n dari persamaan terakhir sebagai , dengan menggunakan nilai x n yang diperoleh, kita mencari x n-1 dari persamaan kedua dari belakang, dan seterusnya, kita mencari x 1 dari persamaan pertama .

Contoh.

Memecahkan sistem persamaan linear metode Gauss.

Larutan.

Mari kita kecualikan variabel x 1 yang tidak diketahui dari persamaan kedua dan ketiga sistem. Untuk melakukan ini, pada kedua ruas persamaan kedua dan ketiga kita tambahkan bagian-bagian yang bersesuaian dari persamaan pertama, masing-masing dikalikan dengan dan dengan:

Sekarang kita hilangkan x 2 dari persamaan ketiga dengan menambahkan ke kiri dan sisi kanan ruas kiri dan kanan persamaan kedua, dikalikan dengan:

Ini melengkapi gerakan maju dari metode Gauss; kita memulai gerakan mundur.

Dari persamaan terakhir dari sistem persamaan yang dihasilkan kita temukan x 3:

Dari persamaan kedua kita peroleh.

Dari persamaan pertama kita menemukan sisa variabel yang tidak diketahui dan dengan demikian menyelesaikan kebalikan dari metode Gauss.

Menjawab:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier bentuk umum.

Secara umum, banyaknya persamaan sistem p tidak sama dengan banyaknya variabel yang tidak diketahui n:

SLAE tersebut mungkin tidak memiliki solusi, memiliki solusi tunggal, atau memiliki banyak solusi yang tak terhingga. Pernyataan ini juga berlaku untuk sistem persamaan yang matriks utamanya berbentuk persegi dan tunggal.

Teorema Kronecker – Capelli.

Sebelum menemukan solusi suatu sistem persamaan linear, perlu ditetapkan kompatibilitasnya. Jawaban atas pertanyaan kapan SLAE kompatibel dan kapan tidak konsisten diberikan oleh Teorema Kronecker – Capelli:
Agar sistem persamaan p dengan n yang tidak diketahui (p bisa sama dengan n) konsisten, maka rank matriks utama sistem tersebut perlu dan cukup menjadi sama dengan peringkat matriks yang diperluas, yaitu Rank(A)=Rank(T) .

Mari kita perhatikan, sebagai contoh, penerapan teorema Kronecker – Capelli untuk menentukan kompatibilitas sistem persamaan linier.

Contoh.

Cari tahu apakah sistem persamaan linier memiliki solusi.

Larutan.

. Mari kita gunakan metode membatasi anak di bawah umur. Kecil dari urutan kedua berbeda dari nol. Mari kita lihat anak di bawah umur urutan ketiga yang berbatasan dengannya:

Karena semua minor yang berbatasan dengan orde ketiga sama dengan nol, maka pangkat matriks utama sama dengan dua.

Pada gilirannya, peringkat matriks yang diperluas sama dengan tiga, karena minornya berada pada orde ketiga

berbeda dari nol.

Dengan demikian, Rang(A), oleh karena itu, dengan menggunakan teorema Kronecker–Capelli, kita dapat menyimpulkan bahwa sistem persamaan linier asli tidak konsisten.

Menjawab:

Sistem tidak memiliki solusi.

Jadi, kita telah belajar menentukan inkonsistensi suatu sistem menggunakan teorema Kronecker–Capelli.

Tetapi bagaimana menemukan solusi untuk SLAE jika kompatibilitasnya telah ditetapkan?

Untuk itu diperlukan konsep basis minor suatu matriks dan teorema rank suatu matriks.

Minor dari orde tertinggi matriks A, selain nol, disebut dasar.

Dari definisi basis minor maka ordenya sama dengan rank matriks. Untuk matriks A yang tidak nol, terdapat beberapa basis minor; selalu ada satu basis minor.

Misalnya, perhatikan matriks .

Semua minor orde ketiga matriks ini sama dengan nol, karena elemen-elemen baris ketiga matriks ini adalah jumlah elemen-elemen yang bersesuaian pada baris pertama dan kedua.

Anak di bawah umur orde kedua berikut ini adalah bilangan dasar, karena bukan nol

Anak di bawah umur tidak mendasar, karena sama dengan nol.

Teorema pangkat matriks.

Jika pangkat suatu matriks berorde p kali n sama dengan r, maka semua elemen baris (dan kolom) matriks yang tidak membentuk basis minor terpilih dinyatakan secara linier dalam bentuk elemen-elemen pembentuk baris (dan kolom) yang bersesuaian. dasar kecil.

Apa yang disampaikan oleh teorema pangkat matriks kepada kita?

Jika, menurut teorema Kronecker–Capelli, kita telah menetapkan kompatibilitas sistem, maka kita memilih basis minor mana pun dari matriks utama sistem (urutannya sama dengan r), dan mengecualikan dari sistem semua persamaan yang sesuai. tidak membentuk basis minor yang dipilih. SLAE yang diperoleh dengan cara ini akan ekuivalen dengan persamaan aslinya, karena persamaan yang dibuang masih mubazir (menurut teorema rank matriks, persamaan tersebut merupakan kombinasi linier dari persamaan yang tersisa).

Akibatnya, setelah membuang persamaan sistem yang tidak perlu, ada dua kasus yang mungkin terjadi.

Jika banyaknya persamaan r pada sistem yang dihasilkan sama dengan banyaknya variabel yang tidak diketahui, maka persamaan tersebut pasti dan solusi satu-satunya dapat dicari dengan metode Cramer, metode matriks, atau metode Gauss.

Contoh.

Larutan.

Peringkat matriks utama sistem sama dengan dua, karena minornya berada pada orde kedua berbeda dari nol. Peringkat Matriks yang Diperluas juga sama dengan dua, karena satu-satunya minor orde ketiga adalah nol

dan minor orde kedua yang dibahas di atas berbeda dari nol. Berdasarkan teorema Kronecker – Capelli, kita dapat menegaskan kompatibilitas sistem persamaan linear asli, karena Rank(A)=Rank(T)=2.

Kami mengambil minor sebagai dasarnya . Dibentuk oleh koefisien persamaan pertama dan kedua:

Persamaan ketiga sistem tidak ikut serta dalam pembentukan basis minor, jadi kami mengecualikannya dari sistem berdasarkan teorema pangkat matriks:

Ini adalah bagaimana kami memperoleh sistem dasar persamaan aljabar linier. Mari kita selesaikan menggunakan metode Cramer:

Menjawab:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Jika banyaknya persamaan r pada SLAE yang dihasilkan lebih kecil dari banyaknya variabel yang tidak diketahui n, maka pada ruas kiri persamaan kita tinggalkan suku-suku yang membentuk basis minor, dan pindahkan suku-suku yang tersisa ke ruas kanan persamaan. persamaan sistem yang bertanda berlawanan.

Variabel yang tidak diketahui (r diantaranya) yang tersisa di ruas kiri persamaan disebut utama.

Variabel yang tidak diketahui (ada n – r buah) yang berada di ruas kanan disebut bebas.

Sekarang kami percaya bahwa variabel bebas yang tidak diketahui dapat mengambil nilai sewenang-wenang, sedangkan r variabel utama yang tidak diketahui akan diekspresikan melalui variabel bebas yang tidak diketahui dengan cara yang unik. Ekspresinya dapat ditemukan dengan menyelesaikan SLAE yang dihasilkan menggunakan metode Cramer, metode matriks, atau metode Gauss.

Mari kita lihat dengan sebuah contoh.

Contoh.

Memecahkan sistem persamaan aljabar linier .

Larutan.

Mari kita cari rank matriks utama sistem dengan metode berbatasan dengan anak di bawah umur. Mari kita ambil 1 1 = 1 sebagai minor bukan nol pada orde pertama. Mari kita mulai mencari minor bukan nol dari orde kedua yang berbatasan dengan minor ini:

Beginilah cara kami menemukan minor bukan nol pada orde kedua. Mari kita mulai mencari minor yang berbatasan dengan nol dari orde ketiga:

Jadi, pangkat matriks utama adalah tiga. Pangkat matriks yang diperluas juga sama dengan tiga, yaitu sistemnya konsisten.

Kami mengambil minor bukan nol dari orde ketiga sebagai basisnya.

Untuk lebih jelasnya, kami tunjukkan unsur-unsur yang membentuk basis minor:

Kami meninggalkan suku-suku yang terlibat dalam basis minor di sisi kiri persamaan sistem, dan memindahkan sisanya dengan tanda yang berlawanan ke sisi kanan:

Mari kita berikan nilai arbitrer pada variabel bebas yang tidak diketahui x 2 dan x 5, yaitu kita terima , di mana angka arbitrer. Dalam hal ini, SLAE akan mengambil formulir tersebut

Mari kita selesaikan sistem dasar persamaan aljabar linier yang dihasilkan menggunakan metode Cramer:

Karena itu, .

Dalam jawaban Anda, jangan lupa untuk menunjukkan variabel bebas yang tidak diketahui.

Menjawab:

Dimana angka sembarang.

Meringkaskan.

Untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier umum, pertama-tama kita menentukan kompatibilitasnya menggunakan teorema Kronecker–Capelli. Jika rank matriks utama tidak sama dengan rank matriks yang diperluas, maka kita simpulkan bahwa sistem tersebut tidak kompatibel.

Jika pangkat matriks utama sama dengan pangkat matriks yang diperluas, maka kita memilih basis minor dan membuang persamaan sistem yang tidak ikut serta dalam pembentukan basis minor yang dipilih.

Jika orde basis minor sama dengan jumlah variabel yang tidak diketahui, maka SLAE mempunyai solusi unik yang dapat ditemukan dengan metode apa pun yang kita ketahui.

Jika orde basis minor lebih kecil dari jumlah variabel yang tidak diketahui, maka di sisi kiri persamaan sistem kita meninggalkan suku-suku dengan variabel utama yang tidak diketahui, memindahkan suku-suku yang tersisa ke ruas kanan dan memberikan nilai sembarang ke variabel bebas yang tidak diketahui. Dari sistem persamaan linear yang dihasilkan kita menemukan hal-hal utama yang tidak diketahui variabel berdasarkan metode Cramer, metode matriks atau metode Gaussian.

Metode Gauss untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier bentuk umum.

Metode Gauss dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier apa pun tanpa terlebih dahulu menguji konsistensinya. Proses eliminasi berurutan dari variabel yang tidak diketahui memungkinkan untuk menarik kesimpulan tentang kompatibilitas dan ketidakcocokan SLAE, dan jika ada solusi, hal ini memungkinkan untuk menemukannya.

Dari sudut pandang komputasi, metode Gaussian lebih disukai.

Awas Detil Deskripsi dan menganalisis contoh dalam artikel metode Gauss untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier bentuk umum.

Menulis solusi umum sistem aljabar linier homogen dan tidak homogen menggunakan vektor-vektor sistem dasar solusi.

Pada bagian ini kita akan membahas tentang sistem persamaan aljabar linier homogen dan tidak homogen simultan yang memiliki jumlah solusi tak terhingga.

Mari kita bahas sistem homogen terlebih dahulu.

Sistem solusi mendasar sistem homogen p persamaan aljabar linier dengan n variabel yang tidak diketahui merupakan himpunan (n – r) solusi bebas linier dari sistem ini, dengan r adalah orde basis minor matriks utama sistem.

Jika kita menyatakan solusi bebas linier dari SLAE homogen sebagai X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) adalah matriks kolom berdimensi n oleh 1) , maka solusi umum dari sistem homogen ini direpresentasikan sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor dari sistem solusi fundamental dengan koefisien konstanta sembarang C 1, C 2, ..., C (n-r), yaitu, .

Apa yang dimaksud dengan istilah penyelesaian umum sistem persamaan aljabar linier homogen (oroslau)?

Artinya sederhana: rumus mengatur segalanya solusi yang memungkinkan SLAE asli, dengan kata lain, mengambil sembarang himpunan nilai konstanta sembarang C 1, C 2, ..., C (n-r), sesuai dengan rumus kita akan memperoleh salah satu solusi dari SLAE homogen asli.

Jadi, jika kita menemukan sistem solusi fundamental, maka kita dapat mendefinisikan semua solusi dari SLAE homogen ini sebagai.

Mari kita tunjukkan proses membangun sistem dasar solusi SLAE homogen.

Kami memilih basis minor dari sistem persamaan linier asli, mengecualikan semua persamaan lain dari sistem dan memindahkan semua suku yang mengandung variabel bebas yang tidak diketahui ke sisi kanan persamaan sistem dengan tanda yang berlawanan. Mari kita beri nilai 1,0,0,...,0 pada variabel bebas yang tidak diketahui dan hitung variabel utama yang tidak diketahui dengan menyelesaikan sistem dasar persamaan linier yang dihasilkan dengan cara apa pun, misalnya, menggunakan metode Cramer. Ini akan menghasilkan X (1) - solusi pertama dari sistem fundamental. Jika kita memberikan nilai yang tidak diketahui gratis 0,1,0,0,…,0 dan menghitung yang tidak diketahui utama, kita mendapatkan X (2) . Dan seterusnya. Jika kita menetapkan nilai 0.0,…,0.1 ke variabel bebas yang tidak diketahui dan menghitung variabel utama yang tidak diketahui, kita memperoleh X (n-r) . Dengan cara ini, sistem dasar solusi SLAE homogen akan dibangun dan solusi umumnya dapat ditulis dalam bentuk .

Untuk sistem persamaan aljabar linier yang tidak homogen, solusi umum direpresentasikan dalam bentuk , di mana adalah solusi umum dari sistem homogen yang bersesuaian, dan merupakan solusi khusus dari SLAE tidak homogen asli, yang kita peroleh dengan memberikan nilai yang tidak diketahui bebas 0,0,...,0 dan menghitung nilai-nilai utama yang tidak diketahui.

Mari kita lihat contohnya.

Contoh.

Temukan sistem solusi dasar dan solusi umum sistem persamaan aljabar linier homogen .

Larutan.

Pangkat matriks utama sistem persamaan linier homogen selalu sama dengan pangkat matriks yang diperluas. Mari kita cari rank matriks utama dengan menggunakan metode border minor. Sebagai minor bukan nol orde pertama, kita ambil elemen a 1 1 = 9 dari matriks utama sistem. Mari kita cari minor bukan nol yang berbatasan dengan orde kedua:

Minor orde kedua, selain nol, telah ditemukan. Mari kita menelusuri anak di bawah umur tingkat ketiga yang berbatasan dengannya untuk mencari yang bukan nol:

Semua anak di bawah umur yang berbatasan dengan orde ketiga sama dengan nol, oleh karena itu, pangkat matriks utama dan matriks yang diperluas sama dengan dua. Mari kita ambil . Agar lebih jelas, mari kita perhatikan unsur-unsur sistem yang membentuknya:

Persamaan ketiga SLAE asli tidak ikut serta dalam pembentukan basis minor, oleh karena itu dapat dikecualikan:

Kita meninggalkan suku-suku yang mengandung hal-hal yang tidak diketahui utama di ruas kanan persamaan, dan memindahkan suku-suku yang mengandung hal-hal yang tidak diketahui bebas ke ruas kanan:

Mari kita membangun sistem dasar solusi dari sistem persamaan linear homogen asli. Sistem dasar solusi SLAE ini terdiri dari dua solusi, karena SLAE asli berisi empat variabel yang tidak diketahui, dan orde basis minornya sama dengan dua. Untuk mencari X (1), kita berikan nilai x 2 = 1 ke variabel bebas yang tidak diketahui, x 4 = 0, kemudian kita cari hal-hal utama yang tidak diketahui dari sistem persamaan
.

Sistem M persamaan linier c N disebut tidak diketahui sistem linier homogen persamaan jika semua suku bebasnya sama dengan nol. Sistem seperti itu terlihat seperti:

Di mana dan ij (saya = 1, 2, …, M; J = 1, 2, …, N) - nomor yang diberikan; x saya- tidak dikenal.

Sistem linier persamaan homogen selalu bersama, karena R(A) = R(). Itu selalu memiliki setidaknya nol ( remeh) solusi (0; 0; …; 0).

Mari kita pertimbangkan dalam kondisi apa sistem homogen memiliki solusi bukan nol.

Teorema 1. Suatu sistem persamaan linier homogen mempunyai penyelesaian tak nol jika dan hanya jika pangkat matriks utamanya adalah R lebih sedikit hal yang tidak diketahui N, yaitu. R < N.

□ 1). Misalkan suatu sistem persamaan linear homogen mempunyai penyelesaian yang tidak nol. Karena pangkat tidak boleh melebihi ukuran matriks, maka tentu saja, R ≤ N. Membiarkan R = N. Kemudian salah satu ukuran minor tidak berbeda dari nol. Oleh karena itu, sistem persamaan linear yang bersesuaian mempunyai solusi unik: . . . Artinya tidak ada solusi lain selain solusi sepele. Jadi, jika ada solusi yang tidak sepele, maka R < N.

2). Membiarkan R < N. Maka sistem yang homogen, karena konsisten, tidak pasti. Artinya, ia mempunyai solusi yang jumlahnya tak terhingga, yaitu. mempunyai solusi bukan nol. ■

Pertimbangkan sistem yang homogen N persamaan linier c N tidak dikenal:

(2)

Teorema 2. Sistem homogen N persamaan linier c N yang tidak diketahui (2) mempunyai solusi bukan nol jika dan hanya jika determinannya sama dengan nol: = 0.

□ Jika sistem (2) mempunyai solusi bukan nol, maka = 0. Karena sistem hanya mempunyai satu solusi nol. Jika = 0 maka pangkatnya R matriks utama sistem lebih kecil dari jumlah yang tidak diketahui, mis. R < N. Dan, oleh karena itu, sistem tersebut memiliki jumlah solusi yang tak terhingga, yaitu. mempunyai solusi bukan nol. ■

Mari kita nyatakan solusi sistem (1) X 1 = k 1 , X 2 = k 2 , …, xn = k n sebagai string .

Penyelesaian sistem persamaan linear homogen mempunyai sifat-sifat sebagai berikut:

1. Jika garis merupakan solusi sistem (1), maka garis tersebut merupakan solusi sistem (1).

2. Jika garis Dan - solusi sistem (1), maka untuk nilai apa pun Dengan 1 dan Dengan 2 kombinasi liniernya juga merupakan solusi untuk sistem (1).

Validitas sifat-sifat ini dapat diverifikasi dengan mensubstitusikannya secara langsung ke dalam persamaan sistem.

Dari sifat-sifat yang dirumuskan dapat disimpulkan bahwa setiap kombinasi linier dari solusi suatu sistem persamaan linier homogen juga merupakan solusi dari sistem tersebut.

Sistem solusi bebas linier e 1 , e 2 , …, e r ditelepon mendasar, jika setiap solusi sistem (1) merupakan kombinasi linier dari solusi-solusi tersebut e 1 , e 2 , …, e r.

Teorema 3. Jika peringkat R matriks koefisien variabel sistem persamaan linier homogen (1) lebih kecil dari jumlah variabel N, maka setiap sistem dasar solusi sistem (1) terdiri dari n–r keputusan.

Itu sebabnya keputusan bersama sistem persamaan linear homogen (1) berbentuk:

Di mana e 1 , e 2 , …, e r– setiap sistem dasar solusi sistem (9), Dengan 1 , Dengan 2 , …, dengan hal– angka sewenang-wenang, R = n–r.

Teorema 4. Solusi umum sistem M persamaan linier c N yang tidak diketahui sama dengan jumlah solusi umum dari sistem persamaan linear homogen (1) dan solusi partikular sembarang dari sistem ini (1).

Contoh. Selesaikan sistem

Larutan. Untuk sistem ini M = N= 3. Penentu

berdasarkan Teorema 2, sistem hanya mempunyai solusi sepele: X = kamu = z = 0.

Contoh. 1) Temukan solusi umum dan khusus dari sistem

2) Temukan sistem solusi fundamental.

Larutan. 1) Untuk sistem ini M = N= 3. Penentu

menurut Teorema 2, sistem mempunyai solusi bukan nol.

Karena hanya ada satu persamaan independen dalam sistem

X + kamu – 4z = 0,

maka dari situ kita akan mengungkapkannya X =4z- kamu. Dimana kita mendapatkan solusi yang jumlahnya tak terhingga: (4 z- kamu, kamu, z) – ini adalah solusi umum sistem.

Pada z= 1, kamu= -1, kita mendapatkan satu solusi tertentu: (5, -1, 1). Menempatkan z= 3, kamu= 2, kita mendapatkan solusi khusus kedua: (10, 2, 3), dst.

2) Dalam solusi umum (4 z- kamu, kamu, z) variabel kamu Dan z bebas, dan variabel X- bergantung pada mereka. Untuk menemukan sistem solusi dasar, mari kita berikan nilai pada variabel bebas: pertama kamu = 1, z= 0, maka kamu = 0, z= 1. Kita memperoleh solusi parsial (-1, 1, 0), (4, 0, 1), yang membentuk sistem solusi fundamental.

Ilustrasi:

Beras. 1 Klasifikasi sistem persamaan linear

Beras. 2 Studi sistem persamaan linear

Presentasi:

· Solusi metode SLAE_matrix

· Solusi metode SLAE_Cramer

· Solusi metode SLAE_Gauss

· Paket untuk memecahkan masalah matematika Matematika, MathCad: mencari solusi analitis dan numerik untuk sistem persamaan linear

Pertanyaan kontrol:

1. Definisikan persamaan linear

2. Seperti apa sistemnya? M persamaan linear dengan N tidak dikenal?

3. Apa yang disebut penyelesaian sistem persamaan linear?

4. Sistem apa yang disebut setara?

5. Sistem manakah yang disebut tidak kompatibel?

6. Sistem apa yang disebut gabungan?

7. Sistem manakah yang disebut pasti?

8. Sistem manakah yang disebut tidak terbatas

9. Sebutkan transformasi dasar sistem persamaan linear

10. Sebutkan transformasi dasar matriks

11. Merumuskan teorema penerapan transformasi elementer pada sistem persamaan linear

12. Sistem apa saja yang dapat diselesaikan dengan menggunakan metode matriks?

13. Sistem apa yang dapat diselesaikan dengan metode Cramer?

14. Sistem apa yang dapat diselesaikan dengan metode Gauss?

15. Sebutkan 3 kemungkinan kasus yang muncul ketika menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan metode Gauss

16. Mendeskripsikan metode matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan linear

17. Jelaskan metode Cramer untuk menyelesaikan sistem persamaan linear

18. Jelaskan metode Gauss untuk menyelesaikan sistem persamaan linear

19. Sistem apa yang dapat diselesaikan dengan menggunakan matriks invers?

20. Sebutkan 3 kemungkinan kasus yang muncul ketika menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan metode Cramer

literatur:

1. Matematika yang lebih tinggi untuk ekonom: Buku teks untuk universitas / N.Sh. Kremer, BA Putko, I.M. Trishin, MN Friedman. Ed. N.Sh. Kremer. – M.: UNITY, 2005. – 471 hal.

2. Kursus umum matematika tinggi untuk ekonom: Buku Ajar. / Ed. DALAM DAN. Ermakova. –M.: INFRA-M, 2006. – 655 hal.

3. Kumpulan soal matematika tingkat tinggi bagi para ekonom: tutorial/ Diedit oleh V.I. Ermakova. M.: INFRA-M, 2006. – 574 hal.

4. Gmurman V. E. Panduan untuk memecahkan masalah dalam teori probabilitas dan statistik magmatik. - M.: lulusan sekolah, 2005. – 400 hal.

5.Gmurman. V.E Teori probabilitas dan statistik matematika. - M.: Sekolah Tinggi, 2005.

6. Danko P.E., Popov A.G., Kozhevnikova T.Ya. Matematika yang lebih tinggi dalam latihan dan masalah. Bagian 1, 2. – M.: Onyx Abad ke-21: Perdamaian dan Pendidikan, 2005. – 304 hal. Bagian 1; – 416 hal. Bagian 2.

7. Matematika Ekonomi: Buku Ajar: Dalam 2 bagian / A.S. Solodovnikov, V.A. Babaytsev, A.V. Brailov, I.G. Shandara. – M.: Keuangan dan Statistik, 2006.

8. Shipachev V.S. Matematika tingkat tinggi: Buku teks untuk siswa. universitas - M.: Sekolah Tinggi, 2007. - 479 hal.

Informasi terkait.

Sistem homogen selalu konsisten dan mempunyai penyelesaian yang sepele
. Agar solusi nontrivial ada, diperlukan rank matriks kurang dari jumlah yang tidak diketahui:

Sistem solusi mendasar sistem homogen
memanggil sistem solusi dalam bentuk vektor kolom
, yang sesuai dengan dasar kanonik, yaitu. dasar di mana konstanta sewenang-wenang
bergantian ditetapkan sama dengan satu, sedangkan sisanya ditetapkan ke nol.

Maka solusi umum sistem homogen tersebut berbentuk:

Di mana
- konstanta sewenang-wenang. Dengan kata lain, solusi keseluruhan merupakan kombinasi linier dari sistem solusi fundamental.

Dengan demikian, solusi dasar dapat diperoleh dari solusi umum jika hal-hal yang tidak diketahui bebas diberi nilai satu secara bergantian, dan semua yang lain sama dengan nol.

Contoh. Mari kita cari solusi untuk sistemnya

Mari kita terima, maka kita mendapatkan solusi berupa:

Sekarang mari kita membangun sistem solusi mendasar:

Solusi umum akan ditulis sebagai:

Penyelesaian sistem persamaan linear homogen mempunyai sifat-sifat sebagai berikut:

Dengan kata lain, setiap kombinasi solusi linier terhadap sistem homogen juga merupakan solusi.

Menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan metode Gauss

Pemecahan sistem persamaan linear telah menarik minat para matematikawan selama beberapa abad. Hasil pertama diperoleh pada abad ke-18. Pada tahun 1750, G. Kramer (1704–1752) menerbitkan karyanya tentang determinan matriks persegi dan mengusulkan algoritma untuk mencari matriks invers. Pada tahun 1809, Gauss menguraikan metode penyelesaian baru yang dikenal sebagai metode eliminasi.

Metode Gauss, atau metode eliminasi berurutan dari hal-hal yang tidak diketahui, terdiri dari fakta bahwa, dengan menggunakan transformasi dasar, suatu sistem persamaan direduksi menjadi sistem ekuivalen berbentuk langkah (atau segitiga). Sistem seperti itu memungkinkan untuk menemukan semua hal yang tidak diketahui secara berurutan dalam urutan tertentu.

Mari kita asumsikan bahwa dalam sistem (1)
(yang selalu memungkinkan).

(1)

Mengalikan persamaan pertama satu per satu dengan apa yang disebut nomor yang cocok

dan menjumlahkan hasil perkalian dengan persamaan sistem yang bersesuaian, kita memperoleh sistem ekuivalen dimana di semua persamaan kecuali persamaan pertama tidak akan ada yang tidak diketahui. X 1

(2)

Sekarang mari kita kalikan persamaan kedua sistem (2) dengan bilangan yang sesuai, dengan asumsi demikian

dan menambahkannya dengan yang lebih rendah, kita menghilangkan variabelnya dari semua persamaan, dimulai dari persamaan ketiga.

Melanjutkan proses ini, setelahnya
langkah yang kita dapatkan:

(3)

Jika setidaknya salah satu angkanya
tidak sama dengan nol, maka persamaan yang bersangkutan bertentangan dan sistem (1) tidak konsisten. Sebaliknya, untuk sistem bilangan gabungan apa pun
sama dengan nol. Nomor tidak lebih dari pangkat matriks sistem (1).

Peralihan dari sistem (1) ke (3) disebut lurus ke depan Metode Gauss, dan menemukan yang tidak diketahui dari (3) – kebalikan .

Komentar : Akan lebih mudah untuk melakukan transformasi bukan dengan persamaan itu sendiri, tetapi dengan matriks yang diperluas dari sistem (1).

Contoh. Mari kita cari solusi untuk sistemnya