Persamaan linier disebut homogen, jika suku bebasnya sama dengan nol, dan sebaliknya tidak homogen. Suatu sistem yang terdiri dari persamaan-persamaan homogen disebut homogen dan memiliki bentuk umum:
Jelas bahwa setiap sistem homogen adalah konsisten dan mempunyai solusi nol (trivial). Oleh karena itu, dalam kaitannya dengan sistem homogen persamaan linear kita sering kali harus mencari jawaban atas pertanyaan tentang keberadaan solusi bukan nol. Jawaban atas pertanyaan tersebut dapat dirumuskan sebagai teorema berikut.
Dalil . Suatu sistem persamaan linier homogen mempunyai penyelesaian bukan nol jika dan hanya jika pangkatnya lebih kecil dari jumlah yang tidak diketahui .
Bukti: Mari kita asumsikan bahwa sistem yang peringkatnya sama mempunyai solusi bukan nol. Yang jelas jumlahnya tidak melebihi. Jika sistem memiliki solusi unik. Karena sistem persamaan linier homogen selalu mempunyai solusi nol, maka solusi unik tersebut adalah solusi nol. Oleh karena itu, solusi bukan nol hanya mungkin untuk .
Akibat wajar 1 : Sistem persamaan homogen, yang jumlah persamaannya lebih kecil dari jumlah persamaan yang tidak diketahui, selalu mempunyai penyelesaian yang bukan nol.
Bukti: Jika suatu sistem persamaan mempunyai , maka pangkat sistem tersebut tidak melebihi banyaknya persamaan, yaitu . Dengan demikian, kondisinya terpenuhi dan oleh karena itu, sistem mempunyai solusi yang tidak nol.
Akibat wajar 2 : Sistem persamaan homogen yang tidak diketahui mempunyai solusi bukan nol jika dan hanya jika determinannya nol.
Bukti: Mari kita asumsikan bahwa sistem persamaan linier homogen, yang matriksnya memiliki determinan , mempunyai solusi bukan nol. Kemudian menurut teorema yang terbukti, berarti matriksnya tunggal, yaitu. .
Teorema Kronecker-Capelli: SLU konsisten jika dan hanya jika rank matriks sistem sama dengan rank matriks yang diperluas dari sistem ini. Suatu sistem disebut konsisten jika mempunyai paling sedikit satu solusi.Sistem persamaan aljabar linier homogen.
Suatu sistem persamaan linier dengan n variabel disebut sistem persamaan linier homogen jika semua suku bebasnya sama dengan 0. Suatu sistem persamaan linier homogen selalu konsisten, karena ia selalu memiliki setidaknya solusi nol. Suatu sistem persamaan linier homogen mempunyai penyelesaian bukan nol jika dan hanya jika pangkat matriks koefisien variabelnya lebih kecil dari jumlah variabelnya, yaitu. untuk peringkat A (n. Kombinasi linier apa pun
Solusi sistem Lin. homogen. ur-ii juga merupakan solusi untuk sistem ini.
Suatu sistem solusi bebas linier e1, e2,...,еk disebut fundamental jika setiap solusi sistem tersebut merupakan kombinasi solusi linier. Teorema: jika pangkat r matriks koefisien variabel-variabel suatu sistem persamaan linier homogen lebih kecil dari jumlah variabel n, maka setiap sistem fundamental penyelesaian sistem tersebut terdiri dari solusi n-r. Itu sebabnya keputusan bersama Sistem Lin Satu hari ur-th memiliki bentuk: c1e1+c2e2+...+skek, dengan e1, e2,..., ek adalah sistem solusi fundamental apa pun, c1, c2,...,ck adalah bilangan sembarang dan k=n-r. Solusi umum sistem persamaan linear m dengan n variabel sama dengan jumlah
solusi umum sistem yang bersesuaian dengannya adalah homogen. persamaan linear dan solusi partikular arbitrer dari sistem ini.
7. Ruang linier. Subruang. Dasar, dimensi. Cangkang linier. Ruang linier disebut n-dimensi, jika sistem tersebut memuat sistem vektor-vektor bebas linier, dan sistem apa pun yang memiliki jumlah vektor lebih besar adalah sistem bergantung linier. Nomor tersebut dipanggil dimensi (jumlah dimensi) ruang linier dan dilambangkan dengan . Dengan kata lain, dimensi ruang adalah jumlah maksimum vektor bebas linier dari ruang ini. Jika bilangan tersebut ada, maka ruang tersebut disebut berdimensi hingga. Jika untuk siapa pun bilangan asli n dalam ruang terdapat sistem yang terdiri dari vektor-vektor bebas linier, maka ruang tersebut disebut berdimensi tak hingga (ditulis: ). Berikut ini, kecuali dinyatakan lain, ruang berdimensi hingga akan dipertimbangkan.
Basis ruang linier berdimensi n adalah kumpulan vektor bebas linier yang terurut ( vektor dasar).
Teorema 8.1 tentang perluasan suatu vektor dalam suatu basis. Jika merupakan basis dari ruang linier berdimensi n, maka vektor apa pun dapat direpresentasikan sebagai kombinasi linier dari vektor basis:
V=v1*e1+v2*e2+…+vn+en
dan, terlebih lagi, dengan satu-satunya cara, yaitu. koefisien ditentukan secara unik. Dengan kata lain, setiap vektor ruang dapat diperluas menjadi basis dan, terlebih lagi, dengan cara yang unik.
Memang benar dimensi ruang adalah . Sistem vektor bebas linier (ini adalah basis). Dengan menambahkan vektor apa pun ke basis, kita memperolehnya secara linier sistem ketergantungan(karena sistem ini terdiri dari vektor-vektor ruang berdimensi n). Dengan menggunakan sifat 7 vektor bergantung linier dan bebas linier, kita memperoleh kesimpulan dari teorema tersebut.
Metode Gaussian mempunyai sejumlah kelemahan: tidak mungkin mengetahui apakah suatu sistem konsisten atau tidak sampai semua transformasi yang diperlukan dalam metode Gaussian telah dilakukan; Metode Gauss tidak cocok untuk sistem dengan koefisien huruf.
Mari kita pertimbangkan metode lain untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Metode ini menggunakan konsep peringkat matriks dan mereduksi solusi sistem konsisten menjadi solusi sistem yang menerapkan aturan Cramer.
Contoh 1. Carilah penyelesaian umum sistem persamaan linear berikut dengan menggunakan sistem dasar penyelesaian sistem homogen tereduksi dan penyelesaian khusus sistem tak homogen.
1. Membuat matriks A dan matriks sistem yang diperluas (1)
2. Jelajahi sistem (1) untuk kebersamaan. Untuk melakukan ini, kita mencari pangkat matriks A dan https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Jika ternyata demikian, maka sistem (1) tidak kompatibel. Jika kita mendapatkannya , maka sistem ini konsisten dan kami akan menyelesaikannya. (Studi kompatibilitas didasarkan pada teorema Kronecker-Capelli).
A. Kami menemukan ra.
Mencari ra, kita akan mempertimbangkan secara berurutan anak di bawah umur bukan nol dari orde pertama, kedua, dst A dan anak di bawah umur di sekitar mereka.
M1=1≠0 (kita ambil 1 dari sudut kiri atas matriks A).
Kami berbatasan M1 baris kedua dan kolom kedua matriks ini. 
. Kami terus berbatasan M1 baris kedua dan kolom ketiga..gif" width="37" height="20 src=">. Sekarang kita membatasi minor bukan nol M2′ pesanan kedua.
Kita punya: 
(karena dua kolom pertama sama)
(karena garis kedua dan ketiga proporsional).
Kami melihatnya rA=2, a adalah basis minor matriks A.
B. Kami menemukan.
Minor yang cukup mendasar M2′ matriks A berbatasan dengan kolom suku bebas dan semua baris (kami hanya memiliki baris terakhir).
. Oleh karena itu M3′′ tetap menjadi minor dasar matriks https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)
Karena M2′- basis minor dari matriks A sistem (2) , maka sistem ini ekuivalen dengan sistem (3) , terdiri dari dua persamaan pertama sistem (2) (untuk M2′ berada pada dua baris pertama matriks A).
(3)
Sejak minor dasar https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)
Dalam sistem ini ada dua hal yang tidak diketahui ( x2 Dan x4 ). Itu sebabnya FSR sistem (4) terdiri dari dua solusi. Untuk menemukannya, kami menetapkan hal-hal yang tidak diketahui secara gratis (4) nilai terlebih dahulu x2=1 , x4=0 , kemudian - x2=0 , x4=1 .
Pada x2=1 , x4=0 kita mendapatkan:
.
Sistem ini sudah memilikinya satu-satunya solusi (dapat ditemukan menggunakan aturan Cramer atau metode lainnya). Mengurangi persamaan pertama dari persamaan kedua, kita mendapatkan:
Solusinya adalah x1= -1 , x3=0 . Mengingat nilai-nilainya x2 Dan x4 , yang kami berikan, kami mendapatkan yang pertama solusi mendasar sistem (2) : .
Sekarang kami percaya (4) x2=0 , x4=1 . Kita mendapatkan:
.
Kami memecahkan sistem ini menggunakan teorema Cramer:
.
Kami memperoleh solusi fundamental kedua dari sistem (2) : .
Solusi β1 , β2 dan berdandan FSR sistem (2) . Maka solusi umumnya adalah
γ= C1 β1+С2β2=С1(‑1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2)
Di Sini C1 , C2 – konstanta sewenang-wenang.
4. Ayo temukan satu pribadi larutan sistem heterogen(1) . Seperti pada paragraf 3 , bukan sistem (1) Mari kita pertimbangkan sistem yang setara (5) , terdiri dari dua persamaan pertama sistem (1) .
(5)
Mari kita pindahkan hal-hal yang tidak diketahui ke sisi kanan x2 Dan x4.
(6)
Mari kita berikan hal yang tidak diketahui secara gratis x2 Dan x4 nilai sewenang-wenang, misalnya, x2=2 , x4=1 dan memasukkannya ke dalam (6) . Mari kita ambil sistemnya
Sistem ini mempunyai solusi unik (karena determinannya M2′0). Menyelesaikannya (menggunakan teorema Cramer atau metode Gauss), kita peroleh x1=3 , x3=3 . Mengingat nilai-nilai yang tidak diketahui secara bebas x2 Dan x4 , kita mendapatkan solusi tertentu dari sistem tak homogen(1)α1=(3,2,3,1).
5. Sekarang tinggal menuliskannya saja solusi umum α dari sistem tidak homogen(1) : itu sama dengan jumlah solusi pribadi sistem ini dan solusi umum dari sistem homogen tereduksinya (2) :
α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).
Ini berarti: 
(7)
6. Penyelidikan. Untuk memeriksa apakah Anda menyelesaikan sistem dengan benar (1) , kita memerlukan solusi umum (7) penggantinya (1) . Jika setiap persamaan berubah menjadi identitas ( C1 Dan C2 harus dimusnahkan), maka solusinya ditemukan dengan benar.
Kami akan menggantinya (7) misalnya, hanya persamaan terakhir dari sistem (1) (X1 + X2 + X3 ‑9 X4 =‑1) .
Kita peroleh: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1
(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1
Dimana –1=–1. Kami mendapat identitas. Kami melakukan ini dengan semua persamaan sistem lainnya (1) .
Komentar. Pengecekannya biasanya cukup rumit. “Pemeriksaan sebagian” berikut dapat direkomendasikan: dalam solusi umum sistem (1) tetapkan beberapa nilai ke konstanta sembarang dan substitusikan solusi parsial yang dihasilkan hanya ke dalam persamaan yang dibuang (yaitu, ke dalam persamaan dari (1) , yang tidak termasuk dalam (5) ). Jika Anda mendapatkan identitas, maka lebih mungkin, solusi sistem (1) ditemukan dengan benar (tetapi pemeriksaan semacam itu tidak memberikan jaminan kebenaran yang lengkap!). Misalnya, jika di (7) meletakkan C2=- 1 , C1=1, maka kita mendapatkan: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Substitusikan ke persamaan terakhir sistem (1), kita peroleh: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , yaitu –1=–1. Kami mendapat identitas.
Contoh 2. Temukan solusi umum untuk sistem persamaan linear (1) , mengungkapkan hal-hal dasar yang tidak diketahui dalam bentuk hal-hal yang bebas.
Larutan. Seperti dalam Contoh 1, buat matriks A dan https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> dari matriks ini. Sekarang kita hanya menyisakan persamaan sistem tersebut (1) , yang koefisiennya termasuk dalam minor dasar ini (yaitu, kita memiliki dua persamaan pertama) dan mempertimbangkan sistem yang terdiri dari keduanya, setara dengan sistem (1).
Mari kita pindahkan bilangan bebas yang tidak diketahui ke ruas kanan persamaan ini.
sistem (9) Kita menyelesaikannya dengan metode Gaussian, dengan menganggap ruas kanan sebagai suku bebas.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">
Pilihan 2.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">
Pilihan 4.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">
Pilihan 5.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">
Opsi 6.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">
Kami akan terus menyempurnakan teknologi kami transformasi dasar pada sistem persamaan linear yang homogen.
Berdasarkan paragraf pertama, materi mungkin terkesan membosankan dan biasa-biasa saja, namun kesan ini menipu. Selain pengembangan teknik lebih lanjut, akan banyak informasi baru, jadi mohon jangan mengabaikan contoh di artikel ini.
Apa yang dimaksud dengan sistem persamaan linear homogen?
Jawabannya muncul dengan sendirinya. Suatu sistem persamaan linier dikatakan homogen jika suku bebasnya setiap orang persamaan sistemnya adalah nol. Misalnya:
Hal ini sangat jelas sistem yang homogen selalu konsisten, artinya, selalu ada solusi. Dan, pertama-tama, yang menarik perhatian Anda adalah apa yang disebut remeh larutan 
. Sepele, bagi yang belum paham sama sekali arti kata sifat itu artinya tanpa pamer. Tentu saja tidak secara akademis, tetapi secara cerdas =) ...Mengapa bertele-tele, mari kita cari tahu apakah sistem ini memiliki solusi lain:
Contoh 1
Larutan: untuk menyelesaikan sistem homogen perlu ditulis matriks sistem dan dengan bantuan transformasi dasar, bawalah ke bentuk bertahap. Harap dicatat bahwa di sini tidak perlu menuliskan bilah vertikal dan kolom nol suku bebas - lagipula, apa pun yang Anda lakukan dengan nol, keduanya akan tetap nol: 
(1) Baris pertama ditambahkan ke baris kedua, dikalikan –2. Baris pertama ditambahkan ke baris ketiga, dikalikan –3.
(2) Baris kedua ditambahkan ke baris ketiga, dikalikan –1.
Membagi baris ketiga dengan 3 tidak masuk akal.
Sebagai hasil dari transformasi dasar, diperoleh sistem homogen yang setara 
, dan dengan menggunakan kebalikan dari metode Gaussian, mudah untuk memverifikasi bahwa solusi tersebut unik.
Menjawab: 
Mari kita merumuskan kriteria yang jelas: memiliki sistem persamaan linear yang homogen hanya solusi sepele, Jika peringkat matriks sistem(V pada kasus ini 3) sama dengan jumlah variabel (dalam hal ini – 3 buah).
Mari kita melakukan pemanasan dan menyetel radio kita ke gelombang transformasi dasar:
Contoh 2
Memecahkan sistem persamaan linear homogen 
Untuk akhirnya mengkonsolidasikan algoritma, mari kita menganalisis tugas akhir:
Contoh 7
Selesaikan sistem homogen, tulis jawabannya dalam bentuk vektor. 
Larutan: mari kita tuliskan matriks sistem dan, dengan menggunakan transformasi dasar, bawa ke bentuk bertahap: 
(1) Tanda baris pertama diubah. Sekali lagi saya menarik perhatian pada teknik yang telah ditemui berkali-kali, yang memungkinkan Anda menyederhanakan tindakan selanjutnya secara signifikan.
(1) Baris pertama ditambahkan ke baris ke-2 dan ke-3. Baris pertama, dikalikan 2, ditambahkan ke baris ke-4.
(3) Tiga garis terakhir proporsional, dua diantaranya dihilangkan.
Hasilnya, matriks langkah standar diperoleh, dan solusinya berlanjut di sepanjang jalur knurled:
– variabel dasar;
– variabel bebas.
Mari kita nyatakan variabel dasar dalam bentuk variabel bebas. Dari persamaan ke-2:
– substitusikan ke persamaan pertama:
Jadi solusi umumnya adalah:
Karena dalam contoh yang dibahas terdapat tiga variabel bebas, sistem fundamental memuat tiga vektor.
Mari kita substitusikan tiga nilai 
ke dalam solusi umum dan memperoleh vektor yang koordinatnya memenuhi setiap persamaan sistem homogen. Dan sekali lagi, saya ulangi bahwa sangat disarankan untuk memeriksa setiap vektor yang diterima - ini tidak akan memakan banyak waktu, tetapi ini akan sepenuhnya melindungi Anda dari kesalahan.
Untuk tiga kali lipat nilai 
temukan vektornya
Dan yang terakhir untuk ketiganya 
kita mendapatkan vektor ketiga:
Menjawab: , Di mana
Mereka yang ingin menghindari nilai pecahan dapat mempertimbangkan kembar tiga 
dan dapatkan jawaban dalam bentuk yang setara:
Berbicara tentang pecahan. Mari kita lihat matriks yang diperoleh dari soal 
dan mari kita bertanya pada diri sendiri: apakah mungkin untuk menyederhanakan solusi selanjutnya? Lagi pula, di sini pertama-tama kita menyatakan variabel dasar melalui pecahan, kemudian melalui pecahan sebagai variabel dasar, dan, harus saya katakan, proses ini bukanlah yang paling sederhana dan bukan yang paling menyenangkan.
Solusi kedua:
Idenya adalah untuk mencoba memilih variabel dasar lainnya. Mari kita lihat matriksnya dan perhatikan dua matriks di kolom ketiga. Jadi mengapa tidak ada angka nol di atas? Mari kita lakukan transformasi dasar lainnya:
Membiarkan M 0 – himpunan solusi sistem persamaan linear homogen (4).
Definisi 6.12. vektor Dengan 1 ,Dengan 2 , …, dengan hal, yang merupakan solusi dari sistem persamaan linear homogen disebut serangkaian solusi mendasar(disingkat FNR), jika
1) vektor Dengan 1 ,Dengan 2 , …, dengan hal independen linier (yaitu, tidak ada satupun yang dapat dinyatakan dalam bentuk yang lain);
2) solusi lain apa pun terhadap sistem persamaan linear homogen dapat dinyatakan dalam bentuk solusi Dengan 1 ,Dengan 2 , …, dengan hal.
Perhatikan bahwa jika Dengan 1 ,Dengan 2 , …, dengan hal– f.n.r. mana saja, lalu ekspresi k 1× Dengan 1 + k 2× Dengan 2 + … + k hal× dengan hal Anda dapat menggambarkan keseluruhan rangkaian M 0 solusi untuk sistem (4), demikian disebut pandangan umum dari solusi sistem (4).
Teorema 6.6. Setiap sistem persamaan linier homogen tak tentu mempunyai serangkaian solusi mendasar.
Cara mencari himpunan solusi mendasar adalah sebagai berikut:
Temukan solusi umum sistem persamaan linear homogen;
Membangun ( N – R) solusi parsial dari sistem ini, sedangkan nilai-nilai yang tidak diketahui bebas harus terbentuk matriks identitas;
Tuliskan bentuk umum penyelesaian yang terdapat di dalamnya M 0 .
Contoh 6.5. Temukan serangkaian solusi mendasar untuk sistem berikut:
Larutan. Mari kita cari solusi umum untuk sistem ini.
~ 
~ 
~ ~ 
Þ 
Þ Þ 
Ada lima hal yang tidak diketahui dalam sistem ini ( N= 5), yang mana ada dua hal utama yang tidak diketahui ( R= 2), ada tiga hal yang tidak diketahui ( N – R), yaitu himpunan solusi fundamental berisi tiga vektor solusi. Mari kita membangunnya. Kita punya X 1 dan X 3 – hal utama yang tidak diketahui, X 2 , X 4 , X 5 – hal yang tidak diketahui secara gratis
Nilai-nilai yang tidak diketahui secara gratis X 2 , X 4 , X 5 membentuk matriks identitas E urutan ketiga. Dapatkan vektor itu Dengan 1 ,Dengan 2 , Dengan 3 formulir f.n.r. dari sistem ini. Maka himpunan solusi dari sistem homogen tersebut adalah M 0 = {k 1× Dengan 1 + k 2× Dengan 2 + k 3× Dengan 3 , k 1 , k 2 , k 3 tentang R).
Sekarang mari kita cari tahu syarat-syarat adanya solusi tak nol dari sistem persamaan linear homogen, dengan kata lain, syarat-syarat adanya himpunan solusi fundamental.
Sistem persamaan linier homogen mempunyai penyelesaian yang tidak nol, yaitu tidak pasti
1) pangkat matriks utama sistem lebih kecil dari jumlah yang tidak diketahui;
2) dalam sistem persamaan linier homogen, jumlah persamaan lebih sedikit daripada jumlah persamaan yang tidak diketahui;
3) jika dalam sistem persamaan linier homogen jumlah persamaan sama dengan jumlah persamaan yang tidak diketahui, dan determinan matriks utama sama dengan nol (yaitu | A| = 0).
Contoh 6.6. Pada nilai parameter berapa A sistem persamaan linear yang homogen 
mempunyai solusi bukan nol?
Larutan. Mari kita buat matriks utama sistem ini dan cari determinannya: = = 1×(–1) 1+1 × = – A– 4. Penentu matriks ini sama dengan nol di A = –4.
Menjawab: –4.
7. Aritmatika N ruang vektor -dimensi
Konsep dasar
Pada bagian sebelumnya kita telah menjumpai konsep himpunan bilangan real yang terletak di dalam urutan tertentu. Ini adalah matriks baris (atau matriks kolom) dan solusi sistem persamaan linier dengan N tidak dikenal. Informasi ini dapat diringkas.
Definisi 7.1. N-vektor aritmatika dimensi disebut himpunan terurut N bilangan real.
Cara A= (sebuah 1 , sebuah 2 , …, sebuah N), dimana Saya tentang R, Saya = 1, 2, …, N– pandangan umum vektor. Nomor N ditelepon dimensi vektor, dan bilangan a Saya disebut miliknya koordinat.
Misalnya: A= (1, –8, 7, 4, ) – vektor lima dimensi.
Siap N vektor -dimensi biasanya dilambangkan sebagai Rn.
Definisi 7.2. Dua vektor A= (sebuah 1 , sebuah 2 , …, sebuah N) Dan B= (b 1 , b 2 , …, b N) dengan dimensi yang sama setara jika dan hanya jika koordinat-koordinat yang bersesuaian sama, yaitu a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , …, a N= b N.
Definisi 7.3.Jumlah dua N vektor -dimensi A= (sebuah 1 , sebuah 2 , …, sebuah N) Dan B= (b 1 , b 2 , …, b N) disebut vektor A + B= (a 1 + b 1, a 2 + b 2, …, a N+b N).
Definisi 7.4. Pekerjaan bilangan real k ke vektor A= (sebuah 1 , sebuah 2 , …, sebuah N) disebut vektor k× A = (k×a 1, k×a 2 , …, k×a N)
Definisi 7.5. Vektor HAI= (0, 0, …, 0) dipanggil nol(atau vektor nol).
Sangat mudah untuk memverifikasi bahwa tindakan (operasi) penjumlahan vektor dan mengalikannya dengan bilangan real memiliki sifat-sifat berikut: " A, B, C Î Rn, " k, aku tentang R:
1) A + B = B + A;
2) A + (B+ C) = (A + B) + C;
3) A + HAI = A;
4) A+ (–A) = HAI;
5) 1× A = A, 1 tentang R;
6) k×( aku× A) = aku×( k× A) = (aku× k)× A;
7) (k + aku)× A = k× A + aku× A;
8) k×( A + B) = k× A + k× B.
Definisi 7.6. Sekelompok Rn operasi penjumlahan vektor dan mengalikannya dengan bilangan real yang diberikan padanya disebut ruang vektor berdimensi n aritmatika.
Contoh 1. Temukan solusi umum dan beberapa sistem solusi mendasar untuk sistem tersebutLarutan temukan menggunakan kalkulator. Algoritma penyelesaiannya sama dengan sistem persamaan linier tak homogen.
Hanya beroperasi dengan baris, kita mencari pangkat matriks, basis minor; Kami mendeklarasikan ketidaktahuan dependen dan bebas dan menemukan solusi umum.
Baris pertama dan kedua proporsional, mari kita coret salah satunya:
.
Variabel terikat – x 2, x 3, x 5, bebas – x 1, x 4. Dari persamaan pertama 10x 5 = 0 kita cari x 5 = 0, lalu
; .
Solusi umumnya adalah:
Kami menemukan sistem solusi fundamental, yang terdiri dari (n-r) solusi. Dalam kasus kita, n=5, r=3, oleh karena itu, sistem solusi fundamental terdiri dari dua solusi, dan solusi ini harus bebas linier. Agar baris-baris tersebut bebas linier, pangkat matriks yang terdiri dari elemen-elemen baris tersebut harus sama dengan jumlah barisnya, yaitu 2. Cukup dengan memberikan bilangan-bilangan bebas yang tidak diketahui x 1 dan nilai x 4 dari baris determinan orde kedua, bukan nol, dan hitung x 2 , x 3 , x 5 . Penentu bukan nol yang paling sederhana adalah .
Jadi solusi pertama adalah:
, Kedua - 
.
Kedua keputusan ini merupakan sistem keputusan mendasar. Perhatikan bahwa sistem fundamentalnya tidak unik (Anda dapat membuat determinan bukan nol sebanyak yang Anda suka).
Contoh 2. Temukan solusi umum dan sistem dasar solusi sistem 
Larutan.
,
maka pangkat matriksnya adalah 3 dan sama dengan banyaknya yang tidak diketahui. Ini berarti bahwa sistem tidak memiliki hal-hal yang tidak diketahui secara bebas, dan oleh karena itu mempunyai solusi yang unik - solusi yang sepele.
Latihan . Jelajahi dan selesaikan sistem persamaan linear.
Contoh 4
Latihan . Temukan solusi umum dan khusus dari setiap sistem.
Larutan. Mari kita tuliskan matriks utama sistem:
| 5 | -2 | 9 | -4 | -1 |
| 1 | 4 | 2 | 2 | -5 |
| 6 | 2 | 11 | -2 | -6 |
| x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
Mari kita reduksi matriks menjadi bentuk segitiga. Kita hanya akan mengerjakan baris, karena mengalikan baris matriks dengan bilangan selain nol dan menjumlahkannya ke baris lain untuk sistem berarti mengalikan persamaan dengan bilangan yang sama dan menjumlahkannya dengan persamaan lain, yang tidak mengubah penyelesaian persamaan. sistem.
Kalikan baris ke-2 dengan (-5). Mari tambahkan baris ke-2 ke baris ke-1:
| 0 | -22 | -1 | -14 | 24 |
| 1 | 4 | 2 | 2 | -5 |
| 6 | 2 | 11 | -2 | -6 |
Kalikan baris ke-2 dengan (6). Kalikan baris ke-3 dengan (-1). Mari tambahkan baris ke-3 ke baris ke-2:
Mari kita cari pangkat matriksnya.
| 0 | 22 | 1 | 14 | -24 |
| 6 | 2 | 11 | -2 | -6 |
| x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
Minor yang dipilih mempunyai orde tertinggi (dari kemungkinan minor) dan bukan nol (sama dengan hasil kali elemen-elemen pada diagonal terbalik), oleh karena itu rang(A) = 2.
Anak di bawah umur ini adalah dasar. Ini mencakup koefisien untuk yang tidak diketahui x 1 , x 2 , yang berarti bahwa yang tidak diketahui x 1 , x 2 bergantung (dasar), dan x 3 , x 4 , x 5 bebas.
Mari kita transformasikan matriksnya, hanya menyisakan basis minor di sebelah kiri.
| 0 | 22 | 14 | -1 | -24 |
| 6 | 2 | -2 | -11 | -6 |
| x 1 | x 2 | x 4 | x 3 | x 5 |
Sistem dengan koefisien matriks ini ekuivalen dengan sistem aslinya dan berbentuk:
22x 2 = 14x 4 - x 3 - 24x 5
6x 1 + 2x 2 = - 2x 4 - 11x 3 - 6x 5
Dengan menggunakan metode menghilangkan hal yang tidak diketahui, kami menemukannya solusi yang tidak sepele:
Kami memperoleh hubungan yang menyatakan variabel terikat x 1 , x 2 melalui variabel bebas x 3 , x 4 , x 5 , yaitu, kami menemukan keputusan bersama:
x 2 = 0,64x 4 - 0,0455x 3 - 1,09x 5
x 1 = - 0,55x 4 - 1,82x 3 - 0,64x 5
Kami menemukan sistem solusi fundamental, yang terdiri dari (n-r) solusi.
Dalam kasus kita, n=5, r=2, oleh karena itu, sistem solusi fundamental terdiri dari 3 solusi, dan solusi ini harus bebas linier.
Agar baris-baris tersebut bebas linier, pangkat matriks yang tersusun dari elemen-elemen baris harus sama dengan jumlah baris, yaitu 3.
Cukup dengan memberikan nilai x 3 , x 4 , x 5 yang tidak diketahui gratis dari garis determinan orde ke-3, bukan nol, dan menghitung x 1 , x 2 .
Penentu bukan nol yang paling sederhana adalah matriks identitas.
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
Tugas . Temukan himpunan solusi mendasar untuk sistem persamaan linear homogen.