Kondisi cukup untuk titik ekstrem suatu fungsi dua variabel

1. Misalkan fungsi tersebut terdiferensiasi kontinu di lingkungan suatu titik dan mempunyai turunan parsial kontinu orde kedua (murni dan campuran).

2. Mari kita nyatakan dengan determinan orde kedua

fungsi kuliah variabel ekstrim

Dalil

Jika titik yang koordinatnya merupakan titik stasioner untuk fungsi tersebut, maka:

A) Pada titik tersebut merupakan titik ekstrem lokal dan, pada titik maksimum lokal, merupakan titik minimum lokal;

C) pada titik tersebut bukan merupakan titik ekstrem lokal;

C) jika, mungkin keduanya.

Bukti

Mari kita tuliskan rumus Taylor untuk fungsi tersebut, dengan membatasi diri pada dua suku:

Karena, menurut ketentuan teorema, titik tersebut stasioner, turunan parsial orde kedua sama dengan nol, yaitu. Dan. Kemudian

Mari kita tunjukkan

Maka pertambahan fungsinya akan berbentuk:

Karena kontinuitas turunan parsial orde kedua (murni dan campuran), sesuai dengan syarat teorema pada suatu titik, kita dapat menulis:

Dimana atau; ,

1. Biarkan dan, yaitu. atau.

2. Kalikan pertambahan fungsi dan bagi dengan, kita peroleh:

3. Mari tambahkan ekspresi dalam tanda kurung kurawal ke kuadrat penuh dari jumlah tersebut:

4. Ekspresi dalam kurung kurawal adalah non-negatif, karena

5. Oleh karena itu, jika suatu sarana dan, maka dan, oleh karena itu, menurut definisi, titik tersebut adalah titik minimum lokal.

6. Jika suatu sarana dan, maka menurut definisi, titik yang koordinatnya adalah titik maksimum lokal.

2. Pertimbangkan trinomial kuadrat, itu diskriminan, .

3. Jika, maka ada titik-titik yang polinomialnya

4. Kita tuliskan pertambahan total fungsi pada suatu titik sesuai dengan ekspresi yang diperoleh pada I sebagai:

5. Karena adanya kontinuitas turunan parsial orde kedua, sesuai dengan syarat teorema pada suatu titik, kita dapat menulis bahwa

Oleh karena itu, terdapat lingkungan suatu titik sedemikian rupa sehingga, untuk titik mana pun, trinomial kuadratnya lebih besar dari nol:

6. Perhatikan lingkungan suatu titik.

Mari kita pilih nilai apa pun, jadi titik. Dengan asumsi bahwa dalam rumus kenaikan fungsi

Apa yang kita dapatkan:

7. Sejak itu.

8. Dengan argumen yang sama tentang akar, kita menemukan bahwa di lingkungan mana pun dari suatu titik terdapat sebuah titik yang, oleh karena itu, di lingkungan titik tersebut tidak terdapat tanda, oleh karena itu tidak ada titik ekstrem di titik tersebut.

Ekstrem bersyarat dari fungsi dua variabel

Saat mencari ekstrem suatu fungsi dua variabel, sering kali muncul masalah yang berkaitan dengan apa yang disebut ekstrem bersyarat. Konsep ini dapat dijelaskan dengan menggunakan contoh fungsi dua variabel.

Misalkan suatu fungsi dan garis L diberikan pada bidang 0xy. Tugasnya adalah mencari titik P (x, y) pada garis L yang nilai fungsinya paling besar atau terkecil dibandingkan dengan nilai fungsi tersebut di titik-titik pada garis L yang terletak di dekat titik P. Titik-titik P tersebut disebut titik ekstrem bersyarat fungsi pada garis L. Berbeda dengan titik ekstrem biasa, nilai fungsi pada titik ekstrem bersyarat dibandingkan dengan nilai fungsi bukan di semua titik lingkungannya, tetapi hanya di titik yang terletak di dekatnya. di jalur L.

Sangat jelas bahwa titik ekstrem biasa (mereka juga mengatakan ekstrem tak bersyarat) juga merupakan titik ekstrem bersyarat untuk setiap garis yang melewati titik ini. Tentu saja kebalikannya tidak benar: titik ekstrem bersyarat mungkin bukan titik ekstrem biasa. Mari kita ilustrasikan hal ini dengan sebuah contoh.

Contoh No.1. Grafik fungsinya adalah belahan atas (Gbr. 2).

Beras. 2.

Fungsi ini mempunyai nilai maksimum pada titik asal; itu sesuai dengan titik M belahan bumi. Jika garis L adalah garis lurus yang melalui titik A dan B (persamaannya), maka secara geometris jelas bahwa untuk titik-titik pada garis tersebut nilai tertinggi fungsi tersebut dicapai pada suatu titik yang terletak di tengah-tengah antara titik A dan B. Ini adalah titik ekstrem bersyarat (maksimum) dari fungsi pada garis ini; itu sesuai dengan titik M 1 di belahan bumi, dan dari gambar tersebut jelas bahwa tidak ada pembicaraan tentang ekstrem biasa di sini.

Perhatikan bahwa pada bagian akhir soal mencari nilai terbesar dan terkecil suatu fungsi pada suatu daerah tertutup, kita harus mencari nilai ekstrim dari fungsi tersebut pada batas daerah tersebut, yaitu. pada beberapa baris, dan dengan demikian memecahkan masalah ekstrem bersyarat.

Definisi 1. Mereka mengatakan bahwa di suatu titik yang memenuhi persamaan terdapat maksimum bersyarat atau relatif (minimum): jika pada suatu titik yang memenuhi persamaan tersebut terdapat pertidaksamaan

Definisi 2. Persamaan yang bentuknya disebut persamaan kendala.

Dalil

Jika fungsi-fungsi dan dapat terdiferensiasi kontinu di sekitar suatu titik, dan merupakan turunan parsial, dan titik tersebut merupakan titik ekstrem bersyarat dari fungsi tersebut terhadap persamaan kendala, maka determinan orde kedua sama dengan nol:

Bukti

1. Karena menurut syarat teorema, turunan parsial dan nilai fungsi, maka pada suatu persegi panjang tertentu

fungsi implisit didefinisikan

Fungsi kompleks dari dua variabel pada suatu titik akan memiliki ekstrem lokal, oleh karena itu, atau.

2. Memang, menurut sifat invarian dari rumus diferensial orde pertama

3. Persamaan koneksi dapat direpresentasikan dalam bentuk ini, artinya

4. Kalikan persamaan (2) dengan, dan (3) dengan, lalu jumlahkan

Oleh karena itu, kapan

sewenang-wenang. dll.

Konsekuensi

Pencarian titik ekstrem bersyarat suatu fungsi dua variabel dalam praktiknya dilakukan dengan menyelesaikan sistem persamaan

Jadi, pada contoh No. 1 di atas dari persamaan koneksi yang kita miliki. Dari sini mudah untuk memeriksa berapa yang mencapai maksimum. Tapi kemudian dari persamaan komunikasi. Kami memperoleh titik P, ditemukan secara geometris.

Contoh No.2. Temukan titik ekstrem bersyarat dari fungsi tersebut relatif terhadap persamaan kopling.

Mari kita cari turunan parsial dari fungsi yang diberikan dan persamaan koplingnya:

Mari kita buat determinan orde kedua:

Mari kita tulis sistem persamaan untuk mencari titik ekstrem bersyarat:

Artinya ada empat titik ekstrem bersyarat fungsi dengan koordinat: .

Contoh No.3. Temukan titik ekstrem dari fungsi tersebut.

Menyamakan turunan parsial dengan nol: , kita menemukan satu titik stasioner - titik asal. Di Sini,. Oleh karena itu, titik (0, 0) bukanlah titik ekstrem. Persamaan tersebut merupakan persamaan paraboloid hiperbolik (Gbr. 3) dari gambar terlihat bahwa titik (0, 0) bukan merupakan titik ekstrim.

Beras. 3.

Nilai terbesar dan terkecil suatu fungsi pada suatu daerah tertutup

1. Biarkan fungsi tersebut terdefinisi dan kontinu dalam domain tertutup berbatas D.

2. Misalkan fungsi tersebut mempunyai turunan parsial berhingga pada daerah tertentu, kecuali titik-titik tertentu pada daerah tersebut.

3. Sesuai dengan teorema Weierstrass, pada daerah ini terdapat titik dimana fungsi mencapai maksimum dan nilai terkecil.

4. Jika titik-titik tersebut merupakan titik-titik dalam daerah D, maka jelas titik-titik tersebut mempunyai maksimum atau minimum.

5. Dalam hal ini, tempat-tempat yang menarik bagi kami termasuk di antara titik-titik yang paling mencurigakan.

6. Namun, fungsi tersebut juga dapat bernilai terbesar atau terkecil pada batas daerah D.

7. Untuk mencari nilai terbesar (terkecil) suatu fungsi di daerah D, Anda perlu mencari semua titik dalam yang mencurigakan bagi suatu ekstrem, menghitung nilai fungsi di dalamnya, lalu membandingkannya dengan nilai fungsi di titik tersebut. titik batas wilayah tersebut, dan nilai terbesar dari semua nilai yang ditemukan akan menjadi yang terbesar di wilayah tertutup D.

8. Metode mencari maksimum atau minimum lokal telah dibahas sebelumnya di bagian 1.2. dan 1.3.

9. Masih mempertimbangkan metode mencari nilai fungsi terbesar dan terkecil pada batas wilayah.

10. Dalam hal fungsi dua variabel, luasnya biasanya dibatasi oleh sebuah kurva atau beberapa kurva.

11. Sepanjang kurva tersebut (atau beberapa kurva), variabel dan bergantung satu sama lain, atau keduanya bergantung pada satu parameter.

12. Jadi, pada batas fungsi tersebut ternyata bergantung pada satu variabel.

13. Cara mencari nilai terbesar suatu fungsi suatu variabel telah dibahas sebelumnya.

14. Misalkan batas wilayah D diberikan oleh persamaan parametrik:

Kemudian pada kurva ini fungsi dua variabel akan menjadi fungsi kompleks dari parameter: . Untuk fungsi seperti itu, nilai terbesar dan terkecil ditentukan dengan menggunakan metode penentuan nilai terbesar dan terkecil suatu fungsi suatu variabel.

Definisi1: Suatu fungsi dikatakan mempunyai maksimum lokal di suatu titik jika terdapat lingkungan dari titik tersebut sedemikian rupa sehingga untuk titik mana pun M dengan koordinat (x, kamu) ketimpangan berlaku: . Dalam hal ini, yaitu kenaikan fungsi< 0.

Definisi2: Suatu fungsi dikatakan mempunyai minimum lokal di suatu titik jika terdapat lingkungan dari titik tersebut sedemikian rupa sehingga untuk titik mana pun M dengan koordinat (x, kamu) ketimpangan berlaku: . Dalam hal ini, yaitu kenaikan fungsi > 0.

Definisi 3: Titik minimum dan maksimum lokal disebut titik ekstrim.

Ekstrem Bersyarat

Saat mencari ekstrem dari suatu fungsi banyak variabel, sering kali muncul masalah yang berkaitan dengan apa yang disebut ekstrem bersyarat. Konsep ini dapat dijelaskan dengan menggunakan contoh fungsi dua variabel.

Biarkan suatu fungsi dan garis diberikan L di permukaan 0xy. Tugasnya adalah untuk ikut serta L menemukan titik seperti itu P(x, y), dimana nilai suatu fungsi paling besar atau terkecil dibandingkan dengan nilai fungsi tersebut di titik-titik pada garis L, terletak di dekat titik tersebut P. Poin-poin tersebut P disebut titik ekstrem bersyarat fungsi secara online L. Berbeda dengan titik ekstrem biasa, nilai fungsi pada titik ekstrem bersyarat dibandingkan dengan nilai fungsi tidak di semua titik lingkungannya, tetapi hanya di titik yang terletak pada garis. L.

Sangat jelas bahwa intinya adalah ekstrem biasa (mereka juga mengatakan ekstrem tanpa syarat) juga merupakan titik ekstrem bersyarat untuk setiap garis yang melalui titik ini. Tentu saja kebalikannya tidak benar: titik ekstrem bersyarat mungkin bukan titik ekstrem biasa. Izinkan saya menjelaskan apa yang saya katakan contoh biasa. Grafik fungsinya adalah belahan bumi atas (Lampiran 3 (Gbr. 3)).

Fungsi ini mempunyai nilai maksimum pada titik asal; titik puncaknya sesuai dengan itu M belahan bumi. Jika garis L ada garis yang melalui titik-titik tersebut A Dan DI DALAM(persamaannya x+y-1=0), maka secara geometris jelas bahwa untuk titik-titik pada garis ini, nilai fungsi terbesar dicapai pada titik yang terletak di tengah-tengah antara titik-titik tersebut. A Dan DI DALAM. Ini adalah titik ekstrem bersyarat (maksimum) dari fungsi pada garis ini; itu sesuai dengan titik M 1 di belahan bumi, dan dari gambar tersebut jelas bahwa tidak ada pembicaraan tentang ekstrem biasa di sini.

Sekarang mari kita lanjutkan ke pencarian praktis untuk titik ekstrem bersyarat dari fungsi Z= f(x, y) dengan syarat variabel x dan y dihubungkan dengan persamaan (x, y) = 0. Kita akan menyebut relasi ini sebagai persamaan koneksi. Jika dari persamaan kopling y dapat dinyatakan secara eksplisit dalam x: y=(x), kita memperoleh fungsi dari satu variabel Z= f(x, (x)) = Ф(x).

Setelah menemukan nilai x di mana fungsi ini mencapai titik ekstrem, dan kemudian menentukan nilai y yang sesuai dari persamaan koneksi, kita memperoleh titik ekstrem bersyarat yang diinginkan.

Jadi, pada contoh di atas, dari persamaan relasi x+y-1=0 kita mendapatkan y=1-x. Dari sini

Sangat mudah untuk memeriksa bahwa z mencapai maksimum pada x = 0,5; tapi kemudian dari persamaan koneksi y = 0,5, dan kita mendapatkan titik P yang tepat, ditemukan dari pertimbangan geometris.

Masalah ekstrem bersyarat dapat diselesaikan dengan sangat sederhana jika persamaan koneksi dapat direpresentasikan dengan persamaan parametrik x=x(t), y=y(t). Mengganti ekspresi x dan y ke dalam fungsi ini, kita kembali dihadapkan pada masalah mencari ekstrem dari suatu fungsi suatu variabel.

Jika persamaan kopling memiliki lebih dari tampilan yang rumit dan kita tidak dapat secara eksplisit menyatakan satu variabel ke dalam variabel lain, atau menggantinya dengan persamaan parametrik, maka tugas menemukan ekstrem bersyarat menjadi lebih sulit. Kita akan terus berasumsi bahwa dalam ekspresi fungsi z= f(x, y) variabel (x, y) = 0. Turunan total dari fungsi z= f(x, y) sama dengan:

Dimana turunan y` ditemukan menggunakan aturan diferensiasi fungsi implisit. Pada titik-titik ekstrem bersyarat, turunan total yang ditemukan harus sama dengan nol; ini memberikan satu persamaan yang menghubungkan x dan y. Karena keduanya juga harus memenuhi persamaan kopling, kita memperoleh sistem dua persamaan dengan dua persamaan yang tidak diketahui

Mari kita ubah sistem ini menjadi sistem yang lebih mudah dengan menuliskan persamaan pertama dalam bentuk proporsi dan memperkenalkan bantu baru yang tidak diketahui:

(tanda minus di depan untuk kenyamanan). Dari persamaan ini mudah untuk berpindah ke sistem berikut:

f` x =(x,y)+` x (x,y)=0, f` y (x,y)+` y (x,y)=0 (*),

yang bersama-sama dengan persamaan koneksi (x, y) = 0, membentuk sistem tiga persamaan yang tidak diketahui x, y dan.

Persamaan (*) ini paling mudah diingat penggunaannya aturan selanjutnya: untuk mencari titik yang dapat menjadi titik ekstrem bersyarat dari fungsi tersebut

Z= f(x, y) dengan persamaan koneksi (x, y) = 0, Anda perlu membentuk fungsi bantu

F(x,y)=f(x,y)+(x,y)

Dimana suatu konstanta, dan buat persamaan untuk mencari titik ekstrem dari fungsi ini.

Sistem persamaan yang ditunjukkan, sebagai suatu peraturan, hanya menyediakan kondisi yang diperlukan, yaitu. tidak setiap pasangan nilai x dan y yang memenuhi sistem ini harus merupakan titik ekstrem bersyarat. Saya tidak akan memberikan kondisi yang cukup untuk titik-titik ekstrem bersyarat; seringkali isi spesifik dari masalah itu sendiri menunjukkan apa inti permasalahannya. Teknik yang dijelaskan untuk memecahkan masalah pada ekstrem bersyarat disebut metode pengali Lagrange.

Misalkan fungsi z - /(x, y) terdefinisi pada suatu domain D dan misalkan Mo(xo, Vo) menjadi titik interior domain tersebut. Definisi. Jika terdapat suatu bilangan yang memenuhi semua kondisi pertidaksamaan tersebut benar, maka titik Mo(xo, y) disebut titik maksimum lokal dari fungsi /(x, y); kalau untuk semua Dx, Du, memenuhi syarat | maka titik Mo(xo,yo) disebut minimum lokal tipis. Dengan kata lain, titik M0(x0, y0) adalah titik maksimum atau minimum dari fungsi f(x, y0) jika terdapat 6 lingkungan dari titik A/o(x0, y0) sehingga sama sekali poin M(x, y) dari titik ini di lingkungan tersebut, kenaikan fungsi mempertahankan tandanya. Contoh. 1. Untuk titik fungsi - titik minimum (Gbr. 17). 2. Untuk fungsi tersebut, titik 0(0,0) adalah titik maksimum (Gbr. 18). 3. Untuk suatu fungsi, titik 0(0,0) adalah titik maksimum lokal. 4 Memang ada lingkungan titik 0(0, 0), misalnya lingkaran berjari-jari j (lihat Gambar 19), di titik mana pun, selain titik 0(0,0), nilai fungsi /(x,y) kurang dari 1 = Kita hanya akan mempertimbangkan titik-titik fungsi maksimum dan minimum yang ketat ketika pertidaksamaan tegas atau pertidaksamaan tegas dipenuhi untuk semua titik M(x) y) dari beberapa lingkungan 6 yang tertusuk dari intinya Mq. Nilai suatu fungsi pada titik maksimum disebut maksimum, dan nilai fungsi pada titik minimum disebut minimum fungsi tersebut. Titik maksimum dan minimum suatu fungsi disebut titik ekstrem fungsi tersebut, sedangkan titik maksimum dan minimum fungsi itu sendiri disebut titik ekstremnya. Teorema 11 (kondisi yang diperlukan untuk suatu ekstrem). Jika suatu fungsi merupakan ekstrem dari suatu fungsi beberapa variabel Konsep ekstrem dari suatu fungsi beberapa variabel. Kondisi perlu dan cukup untuk kondisi ekstrem Ekstrem bersyarat Nilai terbesar dan terkecil dari fungsi kontinu mempunyai titik ekstrem, maka pada titik ini setiap turunan parsial u hilang atau tidak ada. Misalkan pada titik M0(x0, yо) Fungsi z = f(x) y) mempunyai titik ekstrem. Mari kita beri variabel y nilai yo. Maka fungsi z = /(x, y) akan menjadi fungsi dari satu variabel x\ Karena pada x = xo mempunyai ekstrem (maksimum atau minimum, Gambar 20), maka turunannya terhadap x = “o, | (*o,l>)" Sama dengan nol atau tidak ada. Demikian pula, kita yakin bahwa) sama dengan nol atau tidak ada. Titik di mana = 0 dan χ = 0 atau tidak ada disebut titik kritis titik-titik fungsi z = Dx, y). Titik-titik di mana $£ = φ = 0 disebut juga titik-titik stasioner dari fungsi tersebut. Teorema 11 hanya menyatakan kondisi-kondisi yang diperlukan untuk titik ekstrem, yang tidak mencukupi. Contoh. Gambar Fungsi 18 Gambar 20 turunan immt yang hilang di Tapi fungsi ini tipis pada imvat dari strum Memang benar, fungsinya sama dengan nol di titik 0(0,0) dan mempunyai koefisien positif di titik M(x, y), sembarang dekat dengan titik 0(0,0), dan bernilai negatif.Untuk itu maka pada titik-titik di titik (0,y) untuk sembarang kecil Titik 0(0,0) tipe tertentu disebut titik mini-maks (Gbr. 21). Kondisi cukup untuk suatu ekstrem suatu fungsi dua variabel dinyatakan dengan teorema berikut. Teorema 12 (kondisi cukup untuk ekstrem dalam dua variabel). Misalkan titik Mo(xo»Yo) adalah titik stasioner dari fungsi f(x, y), dan di lingkungan sekitar titik /, termasuk titik Mo itu sendiri, fungsi f(z, y) mempunyai turunan parsial kontinu hingga urutan kedua inklusif. Kemudian". pada titik Mo(xo, V0) fungsi /(xo, y) tidak mempunyai ekstrem jika D(xo, yo)< 0. Если же то в точке Мо(жо>Ekstremum fungsi f(x, y) mungkin ada atau tidak ada. Dalam hal ini, diperlukan penelitian lebih lanjut. m Mari kita batasi diri kita pada pembuktian pernyataan 1) dan 2) dari teorema. Mari kita tuliskan rumus Taylor orde kedua untuk fungsi /(i, y): di mana. Berdasarkan kondisi tersebut jelas bahwa tanda kenaikan D/ ditentukan oleh tanda trinomial di sebelah kanan (1), yaitu tanda diferensial kedua d2f. Mari kita nyatakan agar singkatnya. Maka persamaan (l) dapat ditulis sebagai berikut: Misalkan di titik MQ(jadi, V0) kita mempunyai... Karena, dengan syarat, turunan parsial orde kedua dari fungsi f(s, y) kontinu, maka pertidaksamaan (3) juga akan berlaku di suatu lingkungan titik M0(s0,yo). Jika kondisi terpenuhi (di titik А/0, dan berdasarkan kontinuitas turunan /,z(s,y) akan mempertahankan tandanya di beberapa lingkungan titik Af0. Di wilayah di mana А Ф 0, kita punya Dari sini jelas bahwa jika ЛС - В2 > 0 di suatu lingkungan titik M0(x0) y0), maka tanda trinomial AAx2 -I- 2BAxAy + CDy2 berimpit dengan tanda A di titik tersebut (jadi , V0) (begitu juga dengan tanda C, karena untuk AC - B2 > 0 A dan C tidak boleh berbeda tanda). Karena tanda penjumlahan AAAs2 + 2BAxAy + CAy2 di titik (s0 + $ Ax, y0 + 0 Du) menentukan tanda selisih, maka kita sampai pada kesimpulan sebagai berikut: jika untuk fungsi /(s,y) di kondisi titik stasioner (s0, V0), maka untuk || cukup kecil ketimpangan akan terpenuhi. Jadi, pada titik (sq, V0) fungsi /(s, y) mencapai maksimum. Jika kondisi terpenuhi pada titik stasioner (s0, y0), maka |Dr| kecil cukup untuk semua dan |Du| pertidaksamaan tersebut benar, artinya pada titik (jadi,yo) fungsi /(s,y) mempunyai nilai minimum. Contoh. 1. Selidiki fungsi suatu ekstrem. 4 Dengan menggunakan kondisi yang diperlukan untuk suatu ekstrem, kita mencari titik stasioner dari fungsi tersebut. Untuk melakukan ini, kita mencari turunan parsial u dan menyamakannya dengan nol. Kami memperoleh sistem persamaan dari mana - titik stasioner. Sekarang mari kita gunakan Teorema 12. Kita mempunyai Artinya, terdapat titik ekstrem di titik Ml. Karena ini minimal. Jika kita mengubah fungsi r menjadi bentuk, mudah untuk melihatnya bagian kanan(“) akan menjadi minimal jika merupakan nilai minimum absolut dari fungsi ini. 2. Periksa suatu fungsi ekstrem. Kita temukan titik-titik stasioner dari fungsi tersebut, yang kemudian kita buat sistem persamaannya. Oleh karena itu, agar titik tersebut stasioner. Karena berdasarkan Teorema 12, tidak ada titik ekstrem di titik M. * 3. Selidiki titik ekstrim suatu fungsi Temukan titik stasioner dari fungsi tersebut. Dari sistem persamaan diperoleh hal tersebut, jadi titiknya stasioner. Selanjutnya kita mengetahui bahwa Teorema 12 tidak menjawab pertanyaan tentang ada atau tidaknya suatu ekstrem. Ayo lakukan dengan cara ini. Untuk suatu fungsi di semua titik yang berbeda dari titik so, menurut definisi, dan titik A/o(0,0) fungsi r mempunyai minimum absolut. Dengan perhitungan serupa kita menetapkan bahwa fungsi tersebut memiliki titik maksimum, tetapi fungsi tersebut tidak memiliki titik ekstrem di titik tersebut. Misalkan suatu fungsi dari n variabel bebas terdiferensiasi di suatu titik Titik Mo disebut titik stasioner dari fungsi tersebut jika Teorema 13 (sampai kondisi cukup untuk suatu ekstrem). Misalkan fungsi tersebut terdefinisi dan mempunyai turunan parsial kontinu orde kedua pada lingkungan halus Mt(xi..., yang merupakan fungsi halus stasioner jika bentuk kuadratnya (diferensial kedua fungsi f dalam halus adalah positif pasti (pasti negatif), titik minimum (masing-masing, maksimum halus) dari fungsi f tipis Jika bentuk kuadrat (4) berselang-seling, maka tidak ada ekstrem pada LG0 tipis. Untuk menentukan apakah akan ada bentuk kuadrat (4) pasti positif atau negatif, Anda dapat menggunakan, misalnya, kriteria Sylvester untuk kepastian positif (negatif) suatu bentuk kuadrat. 15.2. Ekstrem bersyarat Hingga saat ini, kami telah mencari ekstrem lokal suatu fungsi di seluruh domain definisinya, ketika argumen fungsi tersebut tidak terikat oleh kondisi tambahan apa pun. Ekstrem seperti itu disebut tanpa syarat. Namun, sering kali terdapat masalah dalam menemukan apa yang disebut ekstrem bersyarat. Misalkan fungsi z = /(x, y) terdefinisi dalam domain D. Mari kita asumsikan bahwa kurva L diberikan dalam domain ini, dan kita perlu mencari titik ekstrem dari fungsi f(x> y) hanya di antara kurva tersebut dari nilainya yang sesuai dengan titik-titik pada kurva L. Ekstrem yang sama disebut ekstrem bersyarat dari fungsi z = f(x) y) pada kurva L. Definisi Dikatakan bahwa pada suatu titik yang terletak pada kurva L , fungsi f(x, y) mempunyai kondisi maksimum (minimum) jika pertidaksamaan dipenuhi di semua titik M (s, y) y) kurva L, termasuk dalam lingkungan titik M0(x0, V0) dan berbeda dari titik M0 (Jika kurva L diberikan persamaan, maka masalah mencari ekstrem bersyarat fungsi r - f(x,y) pada kurva! dapat dirumuskan sebagai berikut: tentukan ekstrem fungsi x = /(z, y) di wilayah D, asalkan Jadi, ketika mencari ekstrem kondisional dari fungsi z = y), argumen rusa kutub tidak lagi dapat dianggap sebagai variabel independen: argumen-argumen tersebut dihubungkan satu sama lain melalui relasi y) = 0, yang disebut persamaan koneksi. Untuk memperjelas perbedaan antara ekstrem tak bersyarat dan ekstrem bersyarat, mari kita lihat contoh di mana fungsi maksimum tak bersyarat (Gbr. 23) sama dengan satu dan dicapai pada titik (0,0). Ini sesuai dengan titik M - titik puncak pvvboloid Mari kita tambahkan persamaan koneksi y = j. Maka maksimum bersyarat jelas akan sama dengan itu, dicapai di titik (o,|), dan sesuai dengan titik puncak Afj bola, yaitu garis perpotongan bola dengan bidang y = j. Dalam kasus mvximum tanpa syarat, kita mempunyai penerapan mvximum di antara semua vpplicvt permukaan * = 1 - l;2 ~ y1; summvv bersyarat - hanya di antara titik-titik vllikvt pvraboidv, yang bersesuaian dengan titik* garis lurus y = j bukan bidang xOy. Salah satu cara mencari ekstrem bersyarat suatu fungsi dengan kehadiran dan koneksi adalah sebagai berikut. Misalkan persamaan koneksi y) - O mendefinisikan y sebagai fungsi terdiferensiasi unik dari argumen x: Dengan mensubstitusikan suatu fungsi ke dalam fungsi tersebut, bukan y, kita memperoleh fungsi dari satu argumen yang kondisi koneksinya sudah diperhitungkan. Fungsi ekstrem (tanpa syarat) adalah ekstrem bersyarat yang diinginkan. Contoh. Menemukan ekstrem suatu fungsi pada kondisi Ekstrem suatu fungsi beberapa variabel Konsep ekstrem suatu fungsi beberapa variabel. Kondisi perlu dan cukup untuk suatu ekstrem Ekstrem bersyarat Nilai terbesar dan terkecil dari fungsi kontinu A Dari persamaan koneksi (2") kita menemukan y = 1-x. Substitusikan nilai y ini ke dalam (V), kita peroleh fungsi dari satu argumen x: Mari kita periksa ekstremnya: dimana x = 1 adalah titik kritis; , sehingga memberikan minimum bersyarat dari fungsi r (Gbr. 24). Mari kita tunjukkan cara lain untuk menyelesaikan masalah bersyarat ekstrem, yang disebut metode pengali Lagrange. Misalkan ada titik ekstrem bersyarat dari fungsi tersebut jika ada koneksi. Mari kita asumsikan bahwa persamaan koneksi tersebut mendefinisikan fungsi unik yang dapat terdiferensiasi secara kontinyu di lingkungan tertentu dari titik xx. Dengan asumsi bahwa kita memperoleh bahwa turunan terhadap x dari fungsi /(r, ip(x)) di titik xq harus sama dengan nol atau, yang ekuivalen dengan ini, selisih f(x, y) di titik Mo" O) Dari persamaan koneksi kita mendapatkan (5) Mengalikan persamaan terakhir dengan faktor numerik A yang belum ditentukan dan menjumlahkan suku demi suku dengan persamaan (4), kita akan mendapatkan (kita berasumsi demikian). Kemudian, karena kesewenang-wenangan dx, kita memperoleh Persamaan (6) dan (7) yang menyatakan kondisi yang diperlukan untuk ekstrem tak bersyarat pada titik fungsi, yang disebut fungsi Lagrange. Jadi, titik ekstrem bersyarat dari fungsi /(x, y), jika, merupakan titik stasioner dari fungsi Lagrange dengan A adalah koefisien numerik tertentu. Dari sini kita memperoleh aturan untuk mencari ekstrem bersyarat: untuk mencari titik-titik yang dapat menjadi titik-titik ekstrem bersyarat suatu fungsi jika ada koneksi, 1) kita buat fungsi Lagrange, 2) dengan menyamakan turunannya berfungsi ke nol dan menambahkan persamaan koneksi ke persamaan yang dihasilkan, kita memperoleh sistem tiga persamaan dari mana kita menemukan nilai A dan koordinat x, y dari kemungkinan titik ekstrem. Pertanyaan tentang keberadaan dan sifat ekstrem bersyarat diselesaikan berdasarkan mempelajari tanda diferensial kedua fungsi Lagrange untuk sistem nilai x0, V0, A yang dipertimbangkan, diperoleh dari (8) dengan ketentuan bahwa Jika , maka pada titik (x0, V0) fungsi /(x, y ) mempunyai maksimum bersyarat; jika d2F > 0 - maka minimum bersyarat. Khususnya, jika pada titik stasioner (xo, J/o) determinan D untuk fungsi F(x, y) adalah positif, maka pada titik (®o, V0) terdapat maksimum bersyarat dari fungsi f( x, y), jika dan minimum bersyarat dari fungsi /(x, y), jika Contoh. Mari kita kembali ke kondisi contoh sebelumnya: temukan ekstrem dari fungsi tersebut dengan syarat x + y = 1. Kita akan menyelesaikan masalah tersebut dengan menggunakan metode pengali Lagrange. Fungsi Lagrange di pada kasus ini mempunyai bentuk Untuk mencari titik stasioner kita buat suatu sistem Dari dua persamaan pertama sistem tersebut diperoleh x = y. Kemudian dari persamaan ketiga sistem (persamaan koneksi) kita peroleh bahwa x - y = j adalah koordinat titik ekstrem yang mungkin. Dalam hal ini (ditunjukkan bahwa A = -1. Jadi, fungsi Lagrange. adalah titik minimum bersyarat dari fungsi * = x2 + y2 dengan syarat Tidak ada ekstrem tanpa syarat untuk fungsi Lagrange. P(x, y ) belum berarti tidak adanya ekstrem bersyarat untuk fungsi /(x, y) dengan adanya koneksi Contoh: Temukan ekstrem suatu fungsi pada kondisi y 4 Kita buat fungsi Lagrange dan tuliskan sistem untuk menentukan A dan koordinat titik-titik ekstrem yang mungkin: Dari dua persamaan pertama kita memperoleh x + y = 0 dan kita sampai pada sistem dimana x = y = A = 0. Jadi, fungsi Lagrange yang bersesuaian memiliki bentuk Pada titik (0,0) fungsi F(x, y; 0) tidak memiliki ekstrem tak bersyarat, namun ekstrem bersyarat dari fungsi r = xy. Jika y = x, terdapat ". Memang, dalam kasus ini r = x2. Dari sini jelas bahwa pada titik (0,0) terdapat minimum bersyarat. "Metode pengali Lagrange ditransfer ke kasus fungsi dengan sejumlah argumen berapa pun/ Mari kita cari ekstrem dari fungsi tersebut dengan adanya persamaan koneksi Buatlah fungsi Lagrange dimana A|, Az,..., A„, adalah faktor konstanta tak tentu. Menyamakan semua turunan parsial orde pertama dari fungsi F dengan nol dan menambahkan persamaan koneksi (9) ke persamaan yang dihasilkan, kita memperoleh sistem persamaan n + m, dari mana kita menentukan Ab A3|..., At dan koordinat x \)x2). » xn kemungkinan titik ekstrem bersyarat. Pertanyaan apakah titik-titik yang ditemukan dengan menggunakan metode Lagrange sebenarnya merupakan titik-titik ekstrem bersyarat seringkali dapat diselesaikan berdasarkan pertimbangan yang bersifat fisik atau geometris. 15.3. Nilai terbesar dan terkecil dari fungsi kontinu Misalkan perlu mencari nilai terbesar (terkecil) dari fungsi z = /(x, y), kontinu pada suatu domain terbatas tertutup D. Berdasarkan Teorema 3, pada domain ini terdapat adalah titik (xo, V0) di mana fungsi tersebut mengambil nilai terbesar (terkecil). Jika titik (xo, y0) terletak di dalam domain D, maka fungsi / mempunyai maksimum (minimum) di dalamnya, sehingga dalam hal ini titik yang kita minati terdapat di antara titik-titik kritis fungsi /(x, kamu). Namun fungsi /(x, y) dapat mencapai nilai terbesar (terkecil) pada batas wilayah. Oleh karena itu, untuk mencari nilai terbesar (terkecil) yang diambil oleh fungsi z = /(x, y) di area tertutup terbatas 2), Anda perlu mencari semua maksimum (minimum) dari fungsi yang dicapai di dalam area ini, serta nilai fungsi terbesar (terkecil) pada batas kawasan tersebut. Angka terbesar (terkecil) dari semua bilangan ini akan menjadi nilai terbesar (terkecil) yang diinginkan dari fungsi z = /(x,y) di wilayah 27. Mari kita tunjukkan bagaimana hal ini dilakukan dalam kasus fungsi terdiferensiasi. Pmmr. Tentukan nilai terbesar dan terkecil dari fungsi daerah 4. Kita cari titik kritis fungsi tersebut di dalam daerah D. Untuk itu kita buat sistem persamaannya, dari sini kita peroleh x = y « 0, sehingga titik 0 (0,0) merupakan titik kritis fungsi x. Karena Sekarang mari kita cari nilai terbesar dan terkecil dari fungsi tersebut pada batas domain D. Pada bagian batas tersebut kita mendapatkan bahwa y = 0 adalah titik kritis, dan karena = maka pada titik ini fungsi z = 1 + y2 memiliki minimum, sama dengan satu. Di ujung segmen Г", di titik (, kita punya. Dengan menggunakan pertimbangan simetri, kita memperoleh hasil yang sama untuk bagian lain dari batas tersebut. Akhirnya kita memperoleh: nilai terkecil dari fungsi z = x2+y2 di wilayah tersebut “B sama dengan nol dan dicapai pada titik dalam daerah 0( 0, 0), dan nilai maksimum fungsi ini, sama dengan dua, dicapai pada empat titik batas (Gbr. 25) Gambar 25 Latihan Mencari daerah definisi fungsi: Membangun garis level fungsi: 9 Menemukan permukaan datar fungsi tiga variabel bebas: Menghitung limit fungsi: Menemukan turunan parsial suatu fungsi dan beda totalnya: Menemukan turunan kompleks fungsi : 3 Carilah J. Ekstrem suatu fungsi beberapa variabel Konsep ekstrem suatu fungsi beberapa variabel Kondisi perlu dan cukup bagi suatu ekstrem Ekstrem bersyarat Nilai maksimum dan minimum fungsi kontinu 34. Menggunakan rumus turunan fungsi yang kompleks dua variabel, cari dan fungsi: 35. Menggunakan rumus turunan fungsi kompleks dua variabel, cari |J dan fungsinya: Cari jj fungsi yang diberikan secara implisit: 40. Cari lereng bersinggungan dengan kurva di titik potong dengan garis x = 3. 41. Tentukan titik-titik yang garis singgung kurva x sejajar dengan sumbu Ox. . Pada soal berikut, cari dan T: Tuliskan persamaan bidang singgung dan normal permukaan: 49. Tuliskan persamaan bidang singgung permukaan x2 + 2y2 + 3r2 = 21, sejajar dengan pesawat x + 4y + 6z = 0. Tentukan tiga atau empat suku pertama pemuaian menggunakan rumus Taylor: 50.y di sekitar titik (0, 0). Dengan menggunakan definisi ekstrem suatu fungsi, periksalah fungsi ekstrem berikut ini :). Dengan menggunakan kondisi cukup untuk ekstrem suatu fungsi dua variabel, periksa ekstrem dari fungsi tersebut: 84. Temukan nilai terbesar dan terkecil dari fungsi z = x2 - y2 dalam lingkaran tertutup 85. Temukan nilai terbesar dan terkecil dari fungsi * = x2y(4-x-y) pada segitiga yang dibatasi oleh garis lurus x = 0, y = 0, x + y = b. 88. Tentukan ukuran kolam terbuka berbentuk persegi panjang dengan luas permukaan terkecil, asalkan volumenya sama dengan V. 87. Tentukan dimensinya paralelepiped persegi panjang, memiliki volume maksimum yang diberikan pada total permukaan 5. Jawaban 1. dan | Persegi yang dibentuk oleh ruas garis x termasuk sisi-sisinya. 3. Keluarga cincin konsentris 2= 0,1,2,... .4. Seluruh bidang kecuali titik-titik pada garis lurus. Bagian bidang yang terletak di atas parabola y = -x?. 8. Titik lingkaran x. Seluruh bidang kecuali garis lurus x Ekspresi radikal non-negatif dalam dua kasus j * ^ atau j x ^ ^ yang masing-masing ekuivalen dengan deret pertidaksamaan tak hingga Domain definisinya adalah kotak yang diarsir (Gbr. 26); l yang ekuivalen dengan deret tak hingga Fungsinya didefinisikan dalam titik. a) Garis lurus sejajar garis lurus x b) lingkaran konsentris yang berpusat di titik asal. 10. a) parabola y) parabola y a) parabola b) hiperbola | .Pesawat xc. 13. Prim - hiperboloid rongga tunggal yang berputar di sekitar sumbu Oz; ketika dan merupakan hiperboloid dua lembar yang berputar di sekitar sumbu Oz, kedua kelompok permukaan dipisahkan oleh sebuah kerucut; Tidak ada limitnya, b) 0. 18. Mari kita himpunan y = kxt maka z lim z = -2, maka fungsi yang diberikan di titik (0,0) tidak mempunyai limit. 19. a) Poin (0,0); b) titik (0,0). 20. a) Putusnya garis – lingkaran x2 + y2 = 1; b) garis putus-putusnya adalah garis lurus y = x. 21. a) Putuskan garis - sumbu koordinat Sapi dan Oy; b) 0 (set kosong). 22. Semua titik (m, n), dimana dan n adalah bilangan bulat

Pertama, mari kita perhatikan kasus fungsi dua variabel. Ekstrem bersyarat dari suatu fungsi $z=f(x,y)$ di titik $M_0(x_0;y_0)$ adalah ekstrem dari fungsi ini, dicapai dengan syarat bahwa variabel $x$ dan $y$ di sekitar titik ini memenuhi persamaan koneksi $\ varphi (x,y)=0$.

Nama ekstrem “bersyarat” disebabkan oleh fakta bahwa variabel-variabel tersebut tunduk pada kondisi tambahan$\varphi(x,y)=0$. Jika suatu variabel dapat dinyatakan dari persamaan hubungan melalui persamaan lain, maka masalah menentukan ekstrem bersyarat direduksi menjadi masalah menentukan ekstrem biasa suatu fungsi suatu variabel. Misalnya, jika persamaan koneksi menyiratkan $y=\psi(x)$, lalu mensubstitusi $y=\psi(x)$ menjadi $z=f(x,y)$, kita memperoleh fungsi dari satu variabel $z =f\kiri (x,\psi(x)\kanan)$. Namun dalam kasus umum, metode ini tidak banyak berguna, sehingga diperlukan pengenalan algoritma baru.

Metode pengali Lagrange untuk fungsi dua variabel.

Metode pengali Lagrange terdiri dari pembuatan fungsi Lagrange untuk mencari ekstrem bersyarat: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ (parameter $\lambda$ disebut pengali Lagrange). Kondisi yang diperlukan ekstrem diberikan oleh sistem persamaan dari mana titik stasioner ditentukan:

$$ \kiri \( \begin(sejajar) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0.\end(rata) \kanan.$$

Kondisi cukup yang dapat digunakan untuk menentukan sifat ekstrem adalah tanda $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy) ^("" )dy^2$. Jika pada titik stasioner $d^2F > 0$, maka fungsi $z=f(x,y)$ mempunyai minimum bersyarat pada titik ini, tetapi jika $d^2F< 0$, то условный максимум.

Ada cara lain untuk menentukan sifat ekstrem. Dari persamaan kopling kita memperoleh: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$, oleh karena itu pada titik stasioner mana pun kita mempunyai:

$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\kiri(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\kanan)+ F_(yy)^("")\kiri(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\kanan)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \kanan)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("") \kanan)$$

Faktor kedua (terletak di dalam tanda kurung) dapat direpresentasikan sebagai berikut:

Elemen determinan $\left| disorot dengan warna merah. \begin(array) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (array)\right|$, yang merupakan Hessian dari fungsi Lagrange. Jika $H > 0$, maka $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >0$, yaitu kita memiliki minimum bersyarat dari fungsi $z=f(x,y)$.

Catatan tentang notasi determinan $H$. tunjukan Sembunyikan

$$ H=-\kiri|\begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ akhir(array) \kanan| $$

Dalam situasi ini, aturan yang dirumuskan di atas akan berubah sebagai berikut: jika $H > 0$, maka fungsi tersebut mempunyai minimum bersyarat, dan jika $H< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.

Algoritma untuk mempelajari fungsi dua variabel untuk ekstrem bersyarat

Buatlah fungsi Lagrange $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
Selesaikan sistem $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \ varphi (x,y)=0.\end(sejajar) \kanan.$
Tentukan sifat ekstrem pada setiap titik stasioner yang terdapat pada paragraf sebelumnya. Untuk melakukannya, gunakan salah satu metode berikut:
- Tuliskan determinan $H$ dan cari tahu tandanya
- Dengan memperhatikan persamaan kopling, hitung tanda $d^2F$

Metode pengali Lagrange untuk fungsi n variabel

Katakanlah kita memiliki fungsi variabel $n$ $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ dan persamaan kopling $m$ ($n > m$):

$$\varphi_1(x_1,x_2,\ltitik,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$

Dengan menyatakan pengali Lagrange sebagai $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$, kita membuat fungsi Lagrange:

$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$

Kondisi yang diperlukan untuk keberadaan ekstrem bersyarat diberikan oleh sistem persamaan dari mana koordinat titik stasioner dan nilai pengali Lagrange ditemukan:

$$\left\(\begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end(sejajar) \kanan.$$

Anda dapat mengetahui apakah suatu fungsi mempunyai minimum bersyarat atau maksimum bersyarat pada titik yang ditemukan, seperti sebelumnya, dengan menggunakan tanda $d^2F$. Jika pada titik ditemukan $d^2F > 0$, maka fungsi tersebut memiliki minimum bersyarat, tetapi jika $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:

Penentu matriks $\kiri| \begin(array) (ccccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(2) ) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(3)) &\ltitik & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(n)) \\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_1) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)^(2)) & \frac(\partial^2F )(\partial x_(2)\partial x_(3)) &\ltitik & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_(n))\\ \frac(\partial^2F )(\partial x_(3) \partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(2)) & \ frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)^(2))\\ \end( array) \right|$, disorot dengan warna merah dalam matriks $L$, adalah fungsi Hessian dari Lagrange. Kami menggunakan aturan berikut:

Jika tanda-tanda minor sudut $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ matriks $L$ berimpit dengan tanda $(-1)^m$, maka titik stasioner yang diteliti adalah titik minimum bersyarat dari fungsi $ z=f(x_1,x_2 ,x_3,\ltitik,x_n)$.
Jika tanda-tanda minor sudut $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ bergantian, dan tanda minor $H_(2m+1)$ berimpit dengan tanda bilangan $(-1)^(m+1 )$, maka titik stasionernya adalah titik maksimum bersyarat dari fungsi $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$.

Contoh No.1

Temukan ekstrem bersyarat dari fungsi $z(x,y)=x+3y$ dengan kondisi $x^2+y^2=10$.

Interpretasi geometri dari soal ini adalah sebagai berikut: dicari nilai terbesar dan terkecil dari penerapan bidang $z=x+3y$ untuk titik potongnya dengan silinder $x^2+y ^2=10$.

Agak sulit untuk menyatakan satu variabel melalui variabel lain dari persamaan kopling dan mensubstitusikannya ke dalam fungsi $z(x,y)=x+3y$, jadi kita akan menggunakan metode Lagrange.

Menyatakan $\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$, kita membuat fungsi Lagrange:

$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\partial F)(\partial x)=1+2\lambda x; \frac(\partial F)(\partial y)=3+2\lambda y. $$

Mari kita tuliskan sistem persamaan untuk menentukan titik stasioner dari fungsi Lagrange:

$$ \kiri \( \begin(rata) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \end (sejajar)\kanan.$$

Jika kita berasumsi $\lambda=0$, maka persamaan pertama menjadi: $1=0$. Kontradiksi yang dihasilkan menunjukkan bahwa $\lambda\neq 0$. Dengan kondisi $\lambda\neq 0$, dari persamaan pertama dan kedua kita mendapatkan: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $. Mengganti nilai yang diperoleh ke dalam persamaan ketiga, kita mendapatkan:

$$ \kiri(-\frac(1)(2\lambda) \kanan)^2+\kiri(-\frac(3)(2\lambda) \kanan)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \kiri[ \begin(rata) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end(sejajar) \kanan.\\ \begin(sejajar) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end(sejajar) $$

Jadi, sistem memiliki dua solusi: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ dan $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. Mari kita cari tahu sifat ekstrem pada setiap titik stasioner: $M_1(1;3)$ dan $M_2(-1;-3)$. Untuk melakukan ini, kami menghitung determinan $H$ di setiap titik.

$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\lambda;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda.\\ H=\kiri| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \kanan|= \kiri| \begin(array) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(array) \kanan|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \kan| $$

Pada titik $M_1(1;3)$ kita mendapatkan: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(array) \right|=40 > 0$, jadi pada titik Fungsi $M_1(1;3)$ $z(x,y)=x+3y$ memiliki maksimum bersyarat, $z_(\max)=z(1;3)=10$.

Demikian pula, pada titik $M_2(-1,-3)$ kita menemukan: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(array) \kanan|=-40$. Sejak $H< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.

Saya perhatikan bahwa daripada menghitung nilai determinan $H$ pada setiap titik, akan lebih mudah untuk memperluasnya dalam pandangan umum. Agar tidak mengacaukan teks dengan detail, saya akan menyembunyikan metode ini di bawah catatan.

Menuliskan determinan $H$ dalam bentuk umum. tunjukan Sembunyikan

$$ H=8\cdot\kiri|\begin(array)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(array)\kanan| =8\cdot\kiri(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\kanan) =-8\lambda\cdot\kiri(y^2+x^2\kanan). $$

Pada prinsipnya sudah jelas tanda apa yang dimiliki $H$. Karena tidak ada titik $M_1$ atau $M_2$ yang berimpit dengan titik asal, maka $y^2+x^2>0$. Oleh karena itu, tanda $H$ berlawanan dengan tanda $\lambda$. Anda dapat menyelesaikan perhitungannya:

$$ \begin(rata) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(3^2+1^2\right)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\kiri((-3)^2+(-1)^2\kanan)=-40. \end(sejajar) $$

Pertanyaan tentang sifat ekstrem pada titik stasioner $M_1(1;3)$ dan $M_2(-1;-3)$ dapat diselesaikan tanpa menggunakan determinan $H$. Mari kita cari tanda $d^2F$ pada setiap titik stasioner:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \kiri( dx^2+dy^2\kanan) $$

Izinkan saya mencatat bahwa notasi $dx^2$ berarti $dx$ yang dipangkatkan kedua, yaitu. $\kiri(dx \kanan)^2$. Oleh karena itu kita memiliki: $dx^2+dy^2>0$, oleh karena itu, dengan $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ kita mendapatkan $d^2F< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.

Menjawab: pada titik $(-1;-3)$ fungsi tersebut memiliki minimum bersyarat, $z_(\min)=-10$. Pada titik $(1;3)$ fungsi memiliki maksimum bersyarat, $z_(\max)=10$

Contoh No.2

Temukan ekstrem bersyarat dari fungsi $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ dengan kondisi $x+y=0$.

Metode pertama (metode pengali Lagrange)

Menyatakan $\varphi(x,y)=x+y$, kita membuat fungsi Lagrange: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+ 4x^2 -xy+\lambda(x+y)$.

$$ \frac(\partial F)(\partial x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\partial F)(\partial y)=9y^2-x+\lambda.\\ \kiri \( \begin(sejajar) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ lambda=0; \\ & x+y=0.\end(sejajar) \kanan.$$

Setelah menyelesaikan sistem, kita mendapatkan: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ dan $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)( 9)$ , $\lambda_2=-10$. Kita mempunyai dua titik stasioner: $M_1(0;0)$ dan $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$. Mari kita cari tahu sifat ekstrem pada setiap titik stasioner menggunakan determinan $H$.

$$H=\kiri| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \kanan|= \kiri| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(array) \right|=-10-18y $$

Pada titik $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, oleh karena itu pada titik ini fungsinya memiliki maksimum bersyarat, $z_(\max)=\frac(500)(243)$.

Kami menyelidiki sifat ekstrem di setiap titik menggunakan metode berbeda, berdasarkan tanda $d^2F$:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2 $$

Dari persamaan koneksi $x+y=0$ kita mendapatkan: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.

$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$

Karena $d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$, maka $M_1(0;0)$ adalah titik minimum bersyarat dari fungsi $z(x,y)=3y^3+ 4x^ 2-xy$. Demikian pula, $d^2F \Lebih Besar|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.

Cara kedua

Dari persamaan koneksi $x+y=0$ kita mendapatkan: $y=-x$. Mengganti $y=-x$ ke dalam fungsi $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, kita memperoleh beberapa fungsi dari variabel $x$. Mari kita nyatakan fungsi ini sebagai $u(x)$:

$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$

Jadi, kami mereduksi masalah mencari ekstrem bersyarat dari suatu fungsi dua variabel menjadi masalah menentukan ekstrem dari suatu fungsi dari satu variabel.

$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ ; y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9);\; y_2=-x_2=-\frac(10)(9).$$

Kami memperoleh poin $M_1(0;0)$ dan $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$. Penelitian selanjutnya diketahui dari mata kuliah kalkulus diferensial fungsi satu variabel. Dengan memeriksa tanda $u_(xx)^("")$ pada setiap titik stasioner atau memeriksa perubahan tanda $u_(x)^(")$ pada titik-titik yang ditemukan, kita memperoleh kesimpulan yang sama seperti ketika menyelesaikan metode pertama. Misalnya, kita akan memeriksa tanda $u_(xx)^("")$:

$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$

Karena $u_(xx)^("")(M_1)>0$, maka $M_1$ adalah titik minimum dari fungsi $u(x)$, dan $u_(\min)=u(0)=0 $. Sejak $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.

Nilai fungsi $u(x)$ untuk kondisi koneksi tertentu bertepatan dengan nilai fungsi $z(x,y)$, yaitu. ekstrem yang ditemukan dari fungsi $u(x)$ adalah ekstrema kondisional yang dicari dari fungsi $z(x,y)$.

Menjawab: pada titik $(0;0)$ fungsi tersebut memiliki minimum bersyarat, $z_(\min)=0$. Pada titik $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ fungsi tersebut memiliki maksimum bersyarat, $z_(\max)=\frac(500)(243 )$.

Mari kita perhatikan contoh lain di mana kita akan memperjelas sifat ekstrem dengan menentukan tanda $d^2F$.

Contoh No.3

Temukan nilai terbesar dan terkecil dari fungsi $z=5xy-4$ jika variabel $x$ dan $y$ positif dan memenuhi persamaan kopling $\frac(x^2)(8)+\frac( kamu^2)(2) -1=0$.

Mari kita buat fungsi Lagrange: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \right)$. Mari kita cari titik stasioner dari fungsi Lagrange:

$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \kiri \( \begin(rata) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0; \;y > 0. \end(rata) \kanan.$$

Semua transformasi lebih lanjut dilakukan dengan memperhitungkan $x > 0; \; y > 0$ (ini ditentukan dalam pernyataan masalah). Dari persamaan kedua kita nyatakan $\lambda=-\frac(5x)(y)$ dan substitusikan nilai yang ditemukan ke dalam persamaan pertama: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)(4 )=0$ , $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. Mengganti $x=2y$ ke persamaan ketiga, kita mendapatkan: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y =1$.

Karena $y=1$, maka $x=2$, $\lambda=-10$. Kita menentukan sifat ekstrem di titik $(2;1)$ berdasarkan tanda $d^2F$.

$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\lambda. $$

Karena $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, maka:

$$ d\kiri(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\kanan)=0; \; d\kiri(\frac(x^2)(8) \kanan)+d\kiri(\frac(y^2)(2) \kanan)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$

Pada prinsipnya, di sini Anda dapat langsung mengganti koordinat titik stasioner $x=2$, $y=1$ dan parameter $\lambda=-10$, sehingga diperoleh:

$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \kiri(-\frac(dx)(2) \kanan)-10\cdot \kiri(-\frac(dx) (2) \kanan)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$

Namun, dalam soal lain pada ekstrem bersyarat mungkin terdapat beberapa titik stasioner. Dalam kasus seperti itu, lebih baik untuk mewakili $d^2F$ dalam bentuk umum, dan kemudian mengganti koordinat masing-masing titik stasioner yang ditemukan ke dalam ekspresi yang dihasilkan:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \kiri(-\frac(xdx)(4y) \kanan)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \kanan)\cdot dx^2 $$

Mengganti $x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$, kita mendapatkan:

$$ d^2 F=\kiri(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \kanan)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$

Karena $d^2F=-10\cdot dx^2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.

Menjawab: pada titik $(2;1)$ fungsi memiliki maksimum bersyarat, $z_(\max)=6$.

Pada bagian selanjutnya kita akan membahas penerapan metode Lagrange untuk fungsi dengan jumlah variabel yang lebih besar.

Contoh

Temukan ekstrem dari fungsi yang disediakan X Dan pada dihubungkan oleh relasi: . Secara geometris, masalahnya berarti sebagai berikut: pada elips
pesawat
.

Masalah ini dapat diselesaikan dengan cara berikut: dari persamaan
kami menemukan
X:

dengan ketentuan
, direduksi menjadi masalah mencari titik ekstrem suatu fungsi dari satu variabel pada interval
.

Secara geometris, masalahnya berarti sebagai berikut: pada elips , diperoleh dengan melintasi silinder
pesawat
, Anda perlu mencari nilai maksimum atau minimum dari aplikasi tersebut (Gbr.9). Masalah ini dapat diselesaikan dengan cara berikut: dari persamaan
kami menemukan
. Mengganti nilai y yang ditemukan ke dalam persamaan bidang, kita memperoleh fungsi satu variabel X:

Jadi, masalah mencari ekstrem dari fungsi tersebut
dengan ketentuan
, direduksi menjadi masalah mencari ekstrem dari suatu fungsi dari satu variabel pada suatu interval.

Jadi, masalah menemukan ekstrem bersyarat– ini adalah masalah menemukan titik ekstrem dari fungsi tujuan
, asalkan variabelnya X Dan pada tunduk pada pembatasan
, ditelepon persamaan koneksi.

Katakanlah itu dot
, memenuhi persamaan kopling, adalah titik maksimum bersyarat lokal (minimum), jika ada lingkungan
sedemikian rupa sehingga untuk poin apa pun
, yang koordinatnya memenuhi persamaan koneksi, maka pertidaksamaan terpenuhi.

Jika dari persamaan kopling dapat dicari ekspresi untuknya pada, kemudian dengan mensubstitusi ekspresi ini ke dalam fungsi aslinya, kita mengubah fungsi aslinya menjadi fungsi kompleks dari satu variabel X.

Metode umum untuk menyelesaikan masalah ekstrem bersyarat adalah Metode pengali Lagrange. Mari kita buat fungsi bantu, dimana ─ beberapa nomor. Fungsi ini disebut Fungsi lagrange, A ─ Pengganda Lagrange. Dengan demikian, tugas menemukan ekstrem bersyarat telah direduksi menjadi menemukan titik ekstrem lokal untuk fungsi Lagrange. Untuk menemukan kemungkinan titik ekstrem, Anda perlu menyelesaikan sistem 3 persamaan dengan tiga persamaan yang tidak diketahui x, kamu Dan.

Maka Anda harus menggunakan kondisi cukup berikut ini secara ekstrem.

DALIL. Biarkan titik tersebut menjadi titik ekstrem yang mungkin untuk fungsi Lagrange. Mari kita asumsikan bahwa di sekitar titik tersebut
ada turunan parsial kontinu dari fungsi orde kedua Dan . Mari kita tunjukkan

Lalu jika
, Itu
─ titik ekstrem bersyarat dari fungsi tersebut
dengan persamaan kopling
dalam hal ini, jika
, Itu
─ titik minimum bersyarat, jika
, Itu
─ titik maksimum bersyarat.

§8. Turunan gradien dan terarah

Biarkan fungsinya
didefinisikan di beberapa wilayah (terbuka). Pertimbangkan hal apa pun
luas ini dan setiap garis lurus berarah (sumbu) , melewati titik ini (Gbr. 1). Membiarkan
- beberapa titik lain pada sumbu ini,
– panjang ruas antara
Dan
, diambil dengan tanda plus, jika arahnya
bertepatan dengan arah sumbu , dan dengan tanda minus jika arahnya berlawanan.

Membiarkan
mendekat tanpa batas waktu
. Membatasi

ditelepon turunan suatu fungsi
terhadap (atau sepanjang sumbu ) dan dilambangkan sebagai berikut:

Turunan ini mencirikan “laju perubahan” fungsi pada suatu titik
terhadap . Khususnya, turunan parsial biasa ,juga dapat dianggap sebagai turunan "sehubungan dengan arah".

Sekarang mari kita asumsikan fungsinya
memiliki turunan parsial kontinu di wilayah yang dipertimbangkan. Biarkan porosnya membentuk sudut dengan sumbu koordinat
Dan . Berdasarkan asumsi yang dibuat, turunan terarah ada dan dinyatakan dengan rumus

Jika vektor
diberikan oleh koordinatnya
, maka turunan dari fungsi tersebut
dalam arah vektor
dapat dihitung dengan menggunakan rumus:

Vektor dengan koordinat
ditelepon vektor gradien fungsi
pada intinya
. Vektor gradien menunjukkan arah kenaikan fungsi tercepat pada suatu titik tertentu.