Temukan titik potong garis yang diberikan oleh persamaan kanonik. P.6.3 Cara mencari titik potong dua garis

Saat menyelesaikan beberapa masalah geometri dengan menggunakan metode koordinat, Anda harus mencari koordinat titik potong garis. Seringkali Anda harus mencari koordinat titik potong dua garis pada suatu bidang, namun terkadang ada kebutuhan untuk menentukan koordinat titik potong dua garis dalam ruang. Pada artikel ini kita akan membahas pencarian koordinat titik perpotongan dua garis.

Navigasi halaman.

Titik potong dua garis merupakan suatu definisi.

Mari kita tentukan terlebih dahulu titik potong dua garis.

Pada bagian kedudukan relatif garis-garis pada suatu bidang, diperlihatkan bahwa dua garis pada suatu bidang dapat berimpit (dan mempunyai banyak titik persekutuan yang tak terhingga), atau sejajar (dan dua garis tidak mempunyai titik persekutuan), atau berpotongan. , memiliki satu kesamaan. Pilihan posisi relatif ada lebih dari dua garis dalam ruang - garis tersebut dapat berimpit (memiliki banyak titik persekutuan yang tak terhingga), dapat sejajar (yaitu, terletak pada bidang yang sama dan tidak berpotongan), dapat berpotongan (tidak terletak pada bidang yang sama) ), dan mereka juga dapat memiliki satu titik yang sama, yaitu berpotongan. Jadi, dua garis baik pada bidang datar maupun ruang disebut berpotongan jika kedua garis tersebut mempunyai satu titik persekutuan.

Dari pengertian garis berpotongan berikut ini menentukan titik potong garis: Titik potong dua garis disebut titik potong garis tersebut. Dengan kata lain, satu-satunya titik persekutuan dari dua garis yang berpotongan adalah titik potong garis-garis tersebut.

Untuk lebih jelasnya, kami sajikan ilustrasi grafis titik potong dua garis lurus pada suatu bidang dan ruang.

Bagian atas halaman

Mencari koordinat titik potong dua garis pada suatu bidang.

Sebelum mencari koordinat titik potong dua garis lurus pada suatu bidang menggunakan persamaan yang diketahui, perhatikan soal bantu.

Oks A Dan B. Kami akan berasumsi dengan benar A sesuai dengan persamaan umum garis lurus berbentuk , dan garis lurus B- jenis . Misalkan ada suatu titik pada bidang tersebut, dan kita perlu mencari tahu apakah titik tersebut ada M 0 titik potong garis-garis tertentu.

Mari kita selesaikan masalahnya.

Jika M0 A Dan B, maka menurut definisi itu juga termasuk dalam garis A dan lurus B, yaitu koordinatnya harus memenuhi persamaan dan persamaan tersebut. Oleh karena itu, kita perlu mengganti koordinat titik tersebut M 0 ke dalam persamaan garis yang diberikan dan lihat apakah ini menghasilkan dua persamaan yang benar. Jika koordinat titiknya M 0 memenuhi kedua persamaan dan , maka adalah titik potong garisnya A Dan B, jika tidak M 0 .

Apakah intinya M 0 dengan koordinat (2, -3) titik potong garis 5x-2y-16=0 Dan 2x-5y-19=0?

Jika M 0 memang merupakan titik potong garis tertentu, maka koordinatnya memenuhi persamaan garis. Mari kita periksa dengan mengganti koordinat titiknya M 0 ke dalam persamaan yang diberikan:

Oleh karena itu, kami mendapat dua persamaan sejati, M 0 (2, -3)- titik potong garis 5x-2y-16=0 Dan 2x-5y-19=0.

Untuk lebih jelasnya, kami menyajikan gambar yang menunjukkan garis lurus dan terlihat koordinat titik potongnya.

ya, titik M 0 (2, -3) adalah titik potong garis 5x-2y-16=0 Dan 2x-5y-19=0.

Apakah garis-garisnya berpotongan? 5x+3y-1=0 Dan 7x-2y+11=0 pada intinya M 0 (2, -3)?

Mari kita substitusikan koordinat titiknya M 0 ke dalam persamaan garis lurus, tindakan ini akan memeriksa apakah titik tersebut termasuk M 0 kedua garis lurus secara bersamaan:

Sejak persamaan kedua, saat mensubstitusikan koordinat titik ke dalamnya M 0 tidak berubah menjadi persamaan yang sebenarnya, maka titik M 0 bukan milik garis tersebut 7x-2y+11=0. Dari fakta ini kita dapat menyimpulkan bahwa maksudnya M 0 bukanlah titik potong garis-garis tersebut.

Gambar tersebut juga dengan jelas menunjukkan maksudnya M 0 bukan merupakan titik potong garis 5x+3y-1=0 Dan 7x-2y+11=0. Jelasnya, garis-garis yang diberikan berpotongan di suatu titik dengan koordinat (-1, 2) .

M 0 (2, -3) bukan merupakan titik potong garis 5x+3y-1=0 Dan 7x-2y+11=0.

Sekarang kita dapat melanjutkan ke tugas mencari koordinat titik potong dua garis menggunakan persamaan garis pada suatu bidang.

Biarkan berbentuk persegi panjang sistem kartesius koordinat Oks dan diberi dua garis berpotongan A Dan B persamaan dan masing-masing. Mari kita nyatakan titik potong garis-garis yang diberikan sebagai M 0 dan selesaikan soal berikut: tentukan koordinat titik potong dua garis A Dan B menurut persamaan yang diketahui dari garis-garis ini dan .

Dot M0 milik masing-masing garis yang berpotongan A Dan B a-priori. Kemudian koordinat titik potong garis tersebut A Dan B memenuhi persamaan dan persamaan tersebut. Jadi, koordinat titik potong dua garis A Dan B adalah solusi sistem persamaan (lihat artikel penyelesaian sistem persamaan aljabar linier).

Jadi, untuk mencari koordinat titik potong dua garis yang didefinisikan pada suatu bidang persamaan umum, Anda perlu menyelesaikan sistem yang terdiri dari persamaan garis tertentu.

Mari kita lihat contoh solusinya.

Temukan titik potong dua garis yang ditentukan dalam sistem koordinat persegi panjang pada bidang menggunakan persamaan x-9y+14=0 Dan 5x-2y-16=0.

Kita diberikan dua persamaan garis umum, mari kita buat sistem dari keduanya: . Solusi terhadap sistem persamaan yang dihasilkan mudah ditemukan dengan menyelesaikan persamaan pertama terhadap variabel X dan substitusikan ekspresi ini ke persamaan kedua:

Solusi yang ditemukan untuk sistem persamaan memberi kita koordinat titik potong dua garis yang diinginkan.

M 0 (4, 2)– titik potong garis x-9y+14=0 Dan 5x-2y-16=0.

Jadi, mencari koordinat titik potong dua garis lurus, yang ditentukan oleh persamaan umum pada bidang, berarti menyelesaikan sistem dua persamaan linear dengan dua variabel yang tidak diketahui. Namun bagaimana jika garis pada suatu bidang diberikan bukan dengan persamaan umum, melainkan dengan persamaan yang jenisnya berbeda (lihat jenis persamaan garis pada bidang)? Dalam kasus ini, pertama-tama Anda dapat mereduksi persamaan garis menjadi penampilan umum, lalu cari koordinat titik potongnya.

Sebelum mencari koordinat titik potong garis-garis tertentu, kita turunkan persamaannya ke bentuk umum. Transisi dari persamaan parametrik suatu garis ke persamaan umum garis terlihat seperti ini:

Sekarang mari kita lakukan tindakan yang diperlukan dengan persamaan kanonik garis lurus:

Jadi, koordinat titik potong garis yang diinginkan merupakan solusi sistem persamaan berbentuk . Kami menggunakan metode Cramer untuk menyelesaikannya:

M 0 (-5, 1)

Ada cara lain untuk mencari koordinat titik potong dua garis pada suatu bidang. Lebih mudah digunakan ketika salah satu garis diberikan oleh persamaan parametrik yang bentuknya, dan yang lainnya oleh persamaan garis yang jenisnya berbeda. Dalam hal ini, dalam persamaan lain, bukan variabel X Dan kamu Anda dapat mengganti ekspresi dan , dari mana Anda bisa mendapatkan nilai yang sesuai dengan titik potong garis yang diberikan. Dalam hal ini titik potong garis mempunyai koordinat.

Mari kita cari koordinat titik potong garis dari contoh sebelumnya menggunakan metode ini.

Tentukan koordinat titik potong garis dan .

Mari kita substitusikan ekspresi garis lurus ke dalam persamaan:

Setelah menyelesaikan persamaan yang dihasilkan, kita mendapatkan . Nilai ini sesuai dengan titik persekutuan garis dan . Kita menghitung koordinat titik potong dengan mensubstitusikan garis lurus ke dalam persamaan parametrik:
.

M 0 (-5, 1).

Untuk melengkapi gambaran ini, satu hal lagi harus didiskusikan.

Sebelum mencari koordinat titik potong dua garis pada suatu bidang, ada baiknya kita memastikan bahwa garis-garis tersebut benar-benar berpotongan. Jika ternyata garis-garis aslinya berhimpitan atau sejajar, maka tidak ada pertanyaan untuk mencari koordinat titik potong garis-garis tersebut.

Anda tentu saja dapat melakukannya tanpa pemeriksaan seperti itu, tetapi segera buat sistem persamaan bentuk dan selesaikan. Jika suatu sistem persamaan memiliki solusi unik, maka sistem tersebut memberikan koordinat titik perpotongan garis aslinya. Jika sistem persamaan tidak mempunyai solusi, maka kita dapat menyimpulkan bahwa garis-garis aslinya sejajar (karena tidak ada pasangan bilangan real seperti itu. X Dan kamu, yang secara bersamaan akan memenuhi kedua persamaan garis yang diberikan). Dari adanya solusi sistem persamaan yang jumlahnya tak terhingga, maka garis-garis lurus asal mempunyai banyak titik persekutuan yang tak terhingga, yaitu bertepatan.

Mari kita lihat contoh yang sesuai dengan situasi ini.

Cari tahu apakah garis-garis tersebut berpotongan, dan jika berpotongan, carilah koordinat titik potongnya.

Persamaan garis yang diberikan sesuai dengan persamaan dan . Mari kita selesaikan sistem yang terdiri dari persamaan ini.

Jelaslah bahwa persamaan sistem dinyatakan secara linier satu sama lain (persamaan kedua sistem diperoleh dari persamaan pertama dengan mengalikan kedua bagiannya dengan 4 ), oleh karena itu, sistem persamaan mempunyai jumlah penyelesaian yang tak terhingga. Jadi, persamaan mendefinisikan garis yang sama, dan kita tidak dapat berbicara tentang mencari koordinat titik potong garis-garis tersebut.

persamaan dan didefinisikan dalam sistem koordinat persegi panjang Oks garis lurus yang sama, jadi kita tidak bisa membicarakan mencari koordinat titik potongnya.

Temukan koordinat titik potong garis dan , jika memungkinkan.

Kondisi masalahnya memungkinkan garis-garis tersebut tidak boleh berpotongan. Mari kita buat sistem dari persamaan ini. Mari kita terapkan metode Gauss untuk menyelesaikannya, karena metode ini memungkinkan kita menentukan kompatibilitas atau ketidakcocokan suatu sistem persamaan, dan jika kompatibel, temukan solusinya:

Persamaan terakhir sistem setelah melewati metode Gauss secara langsung berubah menjadi persamaan yang salah, oleh karena itu, sistem persamaan tersebut tidak memiliki solusi. Dari sini kita dapat menyimpulkan bahwa garis-garis aslinya sejajar, dan kita tidak dapat berbicara tentang mencari koordinat titik potong garis-garis tersebut.

Solusi kedua.

Mari kita cari tahu apakah garis-garis yang diberikan berpotongan.

Vektor normal adalah sebuah garis, dan vektor adalah vektor normal suatu garis. Mari kita periksa apakah syarat kolinearitas vektor dan : persamaan tersebut benar, karena , oleh karena itu, vektor normal dari garis lurus yang diberikan adalah segaris. Maka garis-garis tersebut sejajar atau berhimpitan. Dengan demikian, kita tidak dapat menemukan koordinat titik potong garis aslinya.

tidak mungkin menemukan koordinat titik potong garis-garis tertentu, karena garis-garis tersebut sejajar.

Temukan koordinat titik potong garis-garis tersebut 2x-1=0 dan , jika keduanya berpotongan.

Mari kita buat sistem persamaan yang merupakan persamaan umum dari garis-garis tertentu: . Penentu matriks utama sistem persamaan ini adalah bukan nol, oleh karena itu sistem persamaan tersebut mempunyai solusi unik yang menunjukkan perpotongan garis-garis tertentu.

Untuk mencari koordinat titik potong garis, kita perlu menyelesaikan sistem:

Solusi yang dihasilkan memberi kita koordinat titik potong garis, yaitu titik potong garis 2x-1=0 Dan .

Bagian atas halaman

Mencari koordinat titik potong dua garis dalam ruang.

Koordinat titik potong dua garis dalam ruang tiga dimensi ditemukan dengan cara yang sama.

Biarkan garis berpotongan A Dan B ditentukan dalam sistem koordinat persegi panjang Oksiz persamaan dua bidang yang berpotongan, yaitu garis lurus A ditentukan oleh sistem bentuk , dan garis lurus B- . Membiarkan M 0– titik potong garis A Dan B. Lalu tunjuk M 0 menurut definisi juga termasuk dalam garis A dan lurus B, oleh karena itu, koordinatnya memenuhi persamaan kedua garis. Jadi, koordinat titik potong garis tersebut A Dan B mewakili solusi untuk sistem persamaan linear bentuk. Di sini kita memerlukan informasi dari bagian penyelesaian sistem persamaan linier yang jumlah persamaannya tidak sama dengan jumlah variabel yang tidak diketahui.

Mari kita lihat solusi dari contoh tersebut.

Temukan koordinat titik potong dua garis yang didefinisikan dalam ruang oleh persamaan dan .

Mari kita buat sistem persamaan dari persamaan garis yang diberikan: . Penyelesaian sistem ini akan memberi kita koordinat titik potong garis dalam ruang yang diinginkan. Mari kita cari solusi dari sistem persamaan tertulis.

Matriks utama sistem berbentuk , dan matriks diperluas - .

Mari kita tentukan rank matriksnya A dan peringkat matriks T. Kami menggunakan metode border minor, namun kami tidak akan menjelaskan secara detail perhitungan determinan (bila perlu lihat artikel Perhitungan determinan suatu matriks):

Jadi, pangkat matriks utama sama dengan peringkat matriks diperluas dan sama dengan tiga.

Akibatnya, sistem persamaan memiliki solusi unik.

Kita akan mengambil determinan sebagai basis minor, oleh karena itu persamaan terakhir harus dikeluarkan dari sistem persamaan, karena tidak ikut serta dalam pembentukan basis minor. Jadi,

Solusi dari sistem yang dihasilkan mudah ditemukan:

Jadi, titik potong garis tersebut mempunyai koordinat (1, -3, 0) .

(1, -3, 0) .

Perlu diperhatikan bahwa sistem persamaan mempunyai solusi unik jika dan hanya jika garis lurus A Dan B memotong. Jika lurus A Dan B sejajar atau bersilangan, lalu sistem terbaru tidak memiliki persamaan penyelesaian, karena dalam hal ini garis-garis tersebut tidak mempunyai titik persekutuan. Jika lurus A Dan B bertepatan, maka mereka mempunyai jumlah titik persekutuan yang tak terhingga, oleh karena itu, sistem persamaan yang ditunjukkan memiliki jumlah penyelesaian yang tak terhingga. Namun, dalam kasus ini kita tidak dapat berbicara tentang mencari koordinat titik potong garis, karena garis tersebut tidak berpotongan.

Jadi, jika kita tidak mengetahui terlebih dahulu apakah garis-garis tersebut berpotongan A Dan B atau tidak, maka masuk akal untuk membuat sistem persamaan bentuk dan menyelesaikannya dengan metode Gauss. Jika kita mendapatkan solusi unik, maka solusi tersebut akan sesuai dengan koordinat titik potong garis tersebut A Dan B. Jika sistem ternyata tidak konsisten, maka langsung A Dan B jangan berpotongan. Jika sistem mempunyai jumlah solusi yang tak terhingga, maka garis lurus A Dan B sesuai.

Anda dapat melakukannya tanpa menggunakan metode Gaussian. Alternatifnya, Anda dapat menghitung pangkat matriks utama dan matriks yang diperluas dari sistem ini, dan berdasarkan data yang diperoleh dan teorema Kronecker-Capelli, simpulkan adanya solusi tunggal, atau adanya banyak solusi, atau tidak adanya solusi. solusi. Ini masalah selera.

Jika garis-garis tersebut berpotongan, tentukan koordinat titik potongnya.

Mari kita buat sistem dari persamaan yang diberikan: . Mari kita selesaikan menggunakan metode Gaussian dalam bentuk matriks:

Menjadi jelas bahwa sistem persamaan tidak memiliki solusi, oleh karena itu, garis-garis yang diberikan tidak berpotongan, dan tidak ada pertanyaan untuk menemukan koordinat titik potong garis-garis tersebut.

kita tidak dapat menemukan koordinat titik potong garis-garis tersebut, karena garis-garis tersebut tidak berpotongan.

Jika garis-garis yang berpotongan diberikan oleh persamaan kanonik suatu garis dalam ruang atau persamaan parametrik suatu garis dalam ruang, maka persamaannya harus diperoleh terlebih dahulu dalam bentuk dua bidang yang berpotongan, dan baru setelah itu mencari koordinat titik potongnya.

Dua garis berpotongan didefinisikan dalam sistem koordinat persegi panjang Oksiz persamaan dan . Temukan koordinat titik potong garis-garis tersebut.

Mari kita definisikan garis lurus awal dengan persamaan dua bidang yang berpotongan:

Untuk mencari koordinat titik potong garis, tinggal menyelesaikan sistem persamaan. Pangkat matriks utama sistem ini sama dengan pangkat matriks yang diperluas dan sama dengan tiga (sebaiknya periksa fakta ini). Mari kita ambil minor sebagai basisnya, oleh karena itu, kita dapat mengecualikan persamaan terakhir dari sistem. Setelah menyelesaikan sistem yang dihasilkan menggunakan metode apa pun (misalnya, metode Cramer), kita memperoleh solusinya. Jadi, titik potong garis tersebut mempunyai koordinat (-2, 3, -5) .

Navigasi halaman.

Titik potong dua garis merupakan suatu definisi.

Mari kita tentukan terlebih dahulu titik potong dua garis.

Jadi, untuk mencari koordinat titik potong dua garis lurus yang ditentukan pada suatu bidang dengan persamaan umum, Anda perlu menyelesaikan sistem yang terdiri dari persamaan garis lurus tertentu.

Mari kita lihat contoh solusinya.

Contoh.

Temukan titik potong dua garis yang ditentukan dalam sistem koordinat persegi panjang pada bidang dengan persamaan x-9y+14=0 dan 5x-2y-16=0.

Larutan.

Kita diberikan dua persamaan garis umum, mari kita buat sistem dari persamaan tersebut: . Solusi untuk sistem persamaan yang dihasilkan mudah ditemukan dengan menyelesaikan persamaan pertama terhadap variabel x dan mensubstitusi persamaan ini ke persamaan kedua:

Solusi yang ditemukan untuk sistem persamaan memberi kita koordinat titik potong dua garis yang diinginkan.

Menjawab:

M 0 (4, 2) x-9y+14=0 dan 5x-2y-16=0 .

Jadi, mencari koordinat titik potong dua garis lurus, yang ditentukan oleh persamaan umum pada suatu bidang, berarti menyelesaikan sistem dua persamaan linier dengan dua variabel yang tidak diketahui. Namun bagaimana jika garis pada suatu bidang diberikan bukan dengan persamaan umum, melainkan dengan persamaan yang jenisnya berbeda (lihat jenis persamaan garis pada bidang)? Dalam kasus ini, pertama-tama Anda dapat mereduksi persamaan garis ke bentuk umum, dan baru setelah itu mencari koordinat titik potongnya.

Contoh.

Dan .

Larutan.

Sebelum mencari koordinat titik potong garis-garis tertentu, kita turunkan persamaannya ke bentuk umum. Transisi dari persamaan garis lurus parametrik persamaan umum garis ini adalah sebagai berikut:

Sekarang mari kita lakukan tindakan yang diperlukan dengan persamaan kanonik garis lurus:

Jadi, koordinat titik potong garis yang diinginkan merupakan penyelesaian sistem persamaan bentuk . Untuk mengatasinya kami menggunakan:

Menjawab:

M 0 (-5, 1)

Ada cara lain untuk mencari koordinat titik potong dua garis pada suatu bidang. Lebih mudah digunakan ketika salah satu garis diberikan oleh bentuk persamaan parametrik , dan persamaan lainnya adalah persamaan garis lurus yang jenisnya berbeda. Dalam hal ini, dalam persamaan lain, alih-alih variabel x dan y, Anda dapat mengganti ekspresi Dan , dari mana dimungkinkan untuk memperoleh nilai yang sesuai dengan titik potong garis-garis tertentu. Dalam hal ini titik potong garis mempunyai koordinat.

Mari kita cari koordinat titik potong garis dari contoh sebelumnya menggunakan metode ini.

Contoh.

Tentukan koordinat titik potong garis tersebut Dan .

Larutan.

Mari kita substitusikan ekspresi garis lurus ke dalam persamaan:

Setelah menyelesaikan persamaan yang dihasilkan, kita mendapatkan . Nilai ini sesuai dengan titik persekutuan garis Dan . Kita menghitung koordinat titik potong dengan mensubstitusikan garis lurus ke dalam persamaan parametrik:
.

Menjawab:

M 0 (-5, 1) .

Untuk melengkapi gambaran ini, satu hal lagi harus didiskusikan.

Tentu saja Anda dapat melakukannya tanpa pemeriksaan seperti itu dan segera membuat sistem persamaan dalam bentuk tersebut dan menyelesaikannya. Jika suatu sistem persamaan memiliki solusi unik, maka sistem tersebut memberikan koordinat titik perpotongan garis aslinya. Jika sistem persamaan tidak mempunyai solusi, maka kita dapat menyimpulkan bahwa garis-garis aslinya sejajar (karena tidak ada pasangan bilangan real x dan y yang secara bersamaan memenuhi kedua persamaan garis tersebut). Dari adanya solusi sistem persamaan yang jumlahnya tak terhingga, maka garis-garis lurus asal mempunyai banyak titik persekutuan yang tak terhingga, yaitu bertepatan.

Mari kita lihat contoh yang sesuai dengan situasi ini.

Contoh.

Cari tahu apakah garis-garis tersebut berpotongan, dan jika berpotongan, carilah koordinat titik potongnya.

Larutan.

Persamaan garis yang diberikan sesuai dengan persamaan Dan . Mari kita selesaikan sistem yang terdiri dari persamaan ini .

Jelas sekali bahwa persamaan-persamaan sistem dinyatakan secara linier satu sama lain (persamaan kedua sistem diperoleh dari persamaan pertama dengan mengalikan kedua bagiannya dengan 4), oleh karena itu, sistem persamaan tersebut memiliki jumlah penyelesaian yang tak terhingga. Jadi, persamaan mendefinisikan garis yang sama, dan kita tidak dapat berbicara tentang mencari koordinat titik potong garis-garis tersebut.

Menjawab:

Persamaan dan definisikan garis lurus yang sama pada sistem koordinat persegi panjang Oxy, jadi kita tidak dapat berbicara tentang mencari koordinat titik potongnya.

Contoh.

Temukan koordinat titik potong garis-garis tersebut Dan , jika memungkinkan.

Larutan.

Kondisi masalahnya memungkinkan garis-garis tersebut tidak boleh berpotongan. Mari kita buat sistem dari persamaan ini. Mari kita terapkan untuk menyelesaikannya, karena ini memungkinkan kita untuk menetapkan kompatibilitas atau ketidakcocokan suatu sistem persamaan, dan jika kompatibel, temukan solusinya:

Solusi kedua.

Mari kita cari tahu apakah garis-garis yang diberikan berpotongan.

- vektor garis normal , dan vektornya adalah vektor garis normal . Mari kita periksa eksekusinya Dan : kesetaraan benar, karena vektor-vektor normal dari garis-garis yang diberikan adalah segaris. Maka garis-garis tersebut sejajar atau berhimpitan. Dengan demikian, kita tidak dapat menemukan koordinat titik potong garis aslinya.

Menjawab:

Tidak mungkin menemukan koordinat titik potong garis-garis tertentu, karena garis-garis tersebut sejajar.

Contoh.

Tentukan koordinat titik potong garis 2x-1=0 dan , jika keduanya berpotongan.

Larutan.

Mari kita buat sistem persamaan yang merupakan persamaan umum dari garis lurus tertentu: . Penentu matriks utama sistem persamaan ini bukan nol , oleh karena itu sistem persamaan mempunyai solusi unik, yang menunjukkan perpotongan garis-garis tertentu.

Untuk mencari koordinat titik potong garis, kita perlu menyelesaikan sistem:

Solusi yang dihasilkan memberi kita koordinat titik potong garis, yaitu, 2x-1=0 dan .

Menjawab:

Mencari koordinat titik potong dua garis dalam ruang.

Koordinat titik potong dua garis dalam ruang tiga dimensi ditemukan dengan cara yang sama.

Mari kita lihat solusi dari contoh tersebut.

Contoh.

Temukan koordinat titik potong dua garis yang diberikan dalam ruang berdasarkan persamaan Dan .

Larutan.

Matriks utama sistem berbentuk , dan diperpanjang - .

Mari kita definisikan A dan pangkat matriks T. Kita gunakan

Pelajaran dari seri “Algoritma Geometris”

Halo pembaca yang budiman!

Mari kita lanjutkan perkenalan dengan algoritma geometri. Pada pelajaran terakhir, kita menemukan persamaan garis lurus menggunakan koordinat dua titik. Kami mendapat persamaan bentuk:

Hari ini kita akan menulis sebuah fungsi yang, dengan menggunakan persamaan dua garis lurus, akan mencari koordinat titik potongnya (jika ada). Untuk memeriksa persamaan bilangan real, kita akan menggunakan fungsi khusus RealEq().

Titik-titik pada bidang digambarkan dengan sepasang bilangan real. Saat menggunakan tipe nyata, lebih baik mengimplementasikan operasi perbandingan menggunakan fungsi khusus.

Diketahui alasannya: pada tipe Real pada sistem pemrograman Pascal tidak terdapat relasi keteraturan, sehingga sebaiknya tidak menggunakan record berbentuk a = b, dimana a dan b adalah bilangan real.
Hari ini kami akan memperkenalkan fungsi RealEq() untuk mengimplementasikan operasi “=” (sama persis):

Fungsi RealEq(Const a, b:Real):Boolean; (sangat sama) mulai RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq}

Tugas. Persamaan dua garis lurus diberikan: dan . Temukan titik perpotongannya.

Larutan. Solusi yang jelas adalah dengan menyelesaikan sistem persamaan linear: Mari kita tulis ulang sistem ini sedikit berbeda:
(1)

Mari kita perkenalkan notasi berikut: , , . Di sini D adalah determinan sistem, dan merupakan determinan yang dihasilkan dari penggantian kolom koefisien untuk variabel yang tidak diketahui dengan kolom suku bebas. Jika , maka sistem (1) pasti, yaitu mempunyai solusi unik. Solusi ini dapat ditemukan dengan menggunakan rumus berikut: , yang disebut Rumus yang lebih keren. Izinkan saya mengingatkan Anda bagaimana determinan orde kedua dihitung. Penentu membedakan dua diagonal: utama dan sekunder. Diagonal utama terdiri dari elemen-elemen yang diambil searah dari sudut kiri atas determinan ke sudut kanan bawah. Sisi diagonal - dari kanan atas ke kiri bawah. Penentu orde kedua sama dengan hasil kali elemen-elemen diagonal utama dikurangi hasil kali elemen-elemen diagonal sekunder.

Kode ini menggunakan fungsi RealEq() untuk memeriksa kesetaraan. Perhitungan bilangan real dilakukan dengan akurasi _Eps=1e-7.

Program geom2; Const _Eps: Nyata=1e-7;(akurasi perhitungan) var a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y,d,dx,dy:Real; Fungsi RealEq(Const a, b:Real):Boolean; (sangat sama) mulai RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq} Function LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2: real; var x,y:real):Boolean; {Определение координат точки пересечения двух линий. Значение функции равно true, если точка пересечения есть, и false, если прямые параллельны. } var d:real; begin d:=a1*b2-b1*a2; if Not(RealEq(d,0)) then begin LineToPoint:=True; dx:=-c1*b2+b1*c2; dy:=-a1*c2+c1*a2; x:=dx/d; y:=dy/d; end else LineToPoint:=False End;{LineToPoint} begin {main} writeln("Введите коэффициенты уравнений: a1,b1,c1,a2,b2,c2 "); readln(a1,b1,c1,a2,b2,c2); if LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y) then writeln(x:5:1,y:5:1) else writeln("Прямые параллельны."); end.

Kami telah menyusun program yang dengannya Anda dapat, dengan mengetahui persamaan garis, menemukan koordinat titik perpotongannya.

Jika garis-garis tersebut berpotongan di suatu titik, maka koordinatnya adalah penyelesaiannya sistem persamaan linear

Bagaimana cara mencari titik potong garis? Selesaikan sistem.

Ini dia arti geometris dari sistem dua persamaan linier dengan dua yang tidak diketahui- ini adalah dua garis yang berpotongan (paling sering) pada sebuah bidang.

Akan lebih mudah untuk membagi tugas menjadi beberapa tahap. Analisis kondisi menunjukkan perlunya:
1) Buatlah persamaan satu garis lurus.
2) Tulis persamaan untuk baris kedua.
3) Cari tahu posisi relatif garis-garis tersebut.
4) Jika garis-garis tersebut berpotongan, tentukan titik potongnya.

Contoh 13.

Temukan titik potong garis

Larutan: Disarankan untuk mencari titik potong menggunakan metode analitis. Mari kita selesaikan sistemnya:

Menjawab:

Hal.6.4. Jarak dari titik ke garis

Di depan kami ada sungai yang lurus dan tugas kami adalah mencapainya melalui jalur terpendek. Tidak ada hambatan, dan rute yang paling optimal adalah bergerak secara tegak lurus. Artinya, jarak suatu titik ke suatu garis adalah panjang ruas tegak lurus tersebut.

Jarak dalam geometri secara tradisional dilambangkan dengan huruf Yunani “rho”, misalnya: – jarak dari titik “em” ke garis lurus “de”.

Jarak dari titik ke garis lurus dinyatakan dengan rumus

Contoh 14.

Temukan jarak dari suatu titik ke garis

Larutan: yang perlu Anda lakukan hanyalah mengganti angka-angka tersebut dengan hati-hati ke dalam rumus dan melakukan perhitungan:

Menjawab:

Hal.6.5. Sudut antar garis lurus.

Contoh 15.

Temukan sudut antar garis.

1. Periksa apakah garisnya tegak lurus:

Mari kita hitung hasil kali skalar dari vektor arah garis:
, yang berarti garis-garisnya tidak tegak lurus.
2. Carilah sudut antar garis lurus dengan rumus:

Dengan demikian:

Menjawab:

Kurva orde kedua. Lingkaran

Biarkan sistem koordinat persegi panjang 0xy ditentukan pada bidang.

Kurva orde kedua adalah garis pada bidang yang ditentukan oleh persamaan derajat kedua relatif terhadap koordinat titik M(x, y, z). Secara umum, persamaan ini terlihat seperti:

dimana koefisien A, B, C, D, E, L adalah sembarang bilangan real, dan paling sedikit salah satu bilangan A, B, C bukan nol.

1.Lingkaran adalah himpunan titik-titik pada suatu bidang yang jaraknya ke titik tetap M 0 (x 0, y 0) adalah konstan dan sama dengan R. Titik M 0 disebut pusat lingkaran, dan bilangan R adalah pusatnya radius

– persamaan lingkaran yang berpusat di titik M 0 (x 0, y 0) dan berjari-jari R.

Jika pusat lingkaran berimpit dengan titik asal koordinat, maka diperoleh:

– persamaan kanonik lingkaran.

Elips.

Elips adalah himpunan titik-titik pada suatu bidang, yang masing-masing titik tersebut jumlah jarak ke dua titik tertentu bernilai konstan (dan nilai ini lebih besar dari jarak antara titik-titik tersebut). Poin-poin ini disebut fokus elips.

adalah persamaan kanonik elips.

Hubungan itu disebut keanehan elips dan dilambangkan dengan: , . Dari dulu< 1.

Akibatnya, ketika rasionya menurun, cenderung ke 1, yaitu. b sedikit berbeda dengan a dan bentuk elipsnya semakin mendekati bentuk lingkaran. Dalam kasus yang membatasi kapan , kita mendapatkan lingkaran yang persamaannya adalah

x 2 + kamu 2 = a 2.

Hiperbola

Hiperbola adalah himpunan titik-titik pada suatu bidang, yang masing-masing titik tersebut merupakan nilai mutlak selisih jarak ke dua titik tertentu, disebut Trik, adalah besaran konstan (asalkan besaran ini kurang dari jarak antara fokus dan tidak sama dengan 0).

Misalkan F 1, F 2 adalah fokusnya, jarak antara keduanya dilambangkan dengan 2c, parameter parabola).

– persamaan kanonik parabola.

Perhatikan bahwa persamaan p negatif juga mendefinisikan parabola, yang terletak di sebelah kiri sumbu 0y. Persamaan tersebut menggambarkan parabola, simetris terhadap sumbu 0y, terletak di atas sumbu 0x untuk p > 0 dan terletak di bawah sumbu 0x untuk p< 0.

Untuk menyelesaikan suatu permasalahan geometri dengan menggunakan metode koordinat diperlukan suatu titik potong yang koordinatnya digunakan dalam penyelesaiannya. Situasi muncul ketika Anda perlu mencari koordinat perpotongan dua garis pada suatu bidang atau menentukan koordinat garis yang sama dalam ruang. Artikel ini membahas kasus-kasus pencarian koordinat titik-titik di mana garis-garis tertentu berpotongan.

Yandex.RTB RA-339285-1

Penting untuk menentukan titik potong dua garis.

Bagian kedudukan relatif garis-garis pada suatu bidang menunjukkan bahwa garis-garis tersebut dapat berhimpitan, sejajar, berpotongan pada satu titik yang sama, atau berpotongan. Dua garis dalam ruang disebut berpotongan jika kedua garis tersebut mempunyai satu titik persekutuan.

Pengertian titik potong garis adalah sebagai berikut:

Definisi 1

Titik potong dua garis disebut titik potongnya. Dengan kata lain, titik potong garis adalah titik potongnya.

Mari kita lihat gambar di bawah ini.

Sebelum mencari koordinat titik potong dua garis, perlu diperhatikan contoh di bawah ini.

Jika bidang tersebut mempunyai sistem koordinat O x y, maka ditentukan dua garis lurus a dan b. Garis a sesuai dengan persamaan umum berbentuk A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, untuk garis b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Maka M 0 (x 0 , y 0) adalah suatu titik tertentu pada bidang tersebut, perlu ditentukan apakah titik M 0 akan menjadi titik potong garis-garis tersebut.

Untuk mengatasi masalah tersebut, perlu dipatuhi definisinya. Maka garis-garis tersebut harus berpotongan di suatu titik yang koordinatnya merupakan penyelesaian persamaan A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 dan A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Artinya koordinat titik potong disubstitusikan ke dalam semua persamaan yang diberikan. Jika, setelah substitusi, mereka memberikan identitas yang benar, maka M 0 (x 0 , y 0) dianggap sebagai titik potongnya.

Contoh 1

Diberikan dua garis berpotongan 5 x - 2 y - 16 = 0 dan 2 x - 5 y - 19 = 0. Akankah titik M 0 dengan koordinat (2, - 3) menjadi titik potong.

Larutan

Agar perpotongan garis menjadi valid, koordinat titik M 0 harus memenuhi persamaan garis. Ini dapat diperiksa dengan menggantinya. Kami mengerti

5 2 - 2 (- 3) - 16 = 0 ⇔ 0 = 0 2 2 - 5 (- 3) - 19 = 0 ⇔ 0 = 0

Kedua persamaan tersebut benar, artinya M 0 (2, - 3) adalah titik potong garis-garis tersebut.

Mari kita gambarkan solusi ini pada garis koordinat gambar di bawah.

Menjawab: titik tertentu dengan koordinat (2, - 3) akan menjadi titik potong garis-garis tersebut.

Contoh 2

Akankah garis 5 x + 3 y - 1 = 0 dan 7 x - 2 y + 11 = 0 berpotongan di titik M 0 (2, - 3)?

Larutan

Untuk menyelesaikan soal tersebut, Anda perlu mensubstitusikan koordinat titik ke dalam semua persamaan. Kami mengerti

5 2 + 3 (- 3) - 1 = 0 ⇔ 0 = 0 7 2 - 2 (- 3) + 11 = 0 ⇔ 31 = 0

Persamaan kedua tidak benar, artinya titik tersebut tidak termasuk dalam garis 7 x - 2 y + 11 = 0. Dari sini kita mengetahui bahwa titik M 0 bukanlah titik potong garis.

Gambar tersebut dengan jelas menunjukkan bahwa M 0 bukanlah titik potong garis. Mereka memiliki titik yang sama dengan koordinat (- 1, 2).

Menjawab: titik dengan koordinat (2, - 3) bukan merupakan titik potong garis-garis tersebut.

Kita lanjutkan mencari koordinat titik potong dua garis menggunakan persamaan yang diberikan pada bidang.

Dua garis berpotongan a dan b ditentukan oleh persamaan bentuk A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 dan A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, terletak di O x y. Saat menentukan titik potong M 0, kita menemukan bahwa kita harus melanjutkan pencarian koordinat menggunakan persamaan A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 dan A 2 x + B 2 y + C 2 = 0.

Dari definisi tersebut jelas bahwa M 0 adalah titik potong garis-garis yang sama. Dalam hal ini koordinatnya harus memenuhi persamaan A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 dan A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Dengan kata lain, ini adalah solusi dari sistem yang dihasilkan A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0.

Artinya untuk mencari koordinat titik potong, perlu menjumlahkan semua persamaan ke dalam sistem dan menyelesaikannya.

Contoh 3

Diberikan dua garis lurus x - 9 y + 14 = 0 dan 5 x - 2 y - 16 = 0 pada bidang tersebut. perlu untuk menemukan persimpangan mereka.

Larutan

Data kondisi persamaan harus dikumpulkan ke dalam sistem, setelah itu diperoleh x - 9 y + 14 = 0 5 x - 2 y - 16 = 0. Untuk menyelesaikannya, selesaikan persamaan pertama untuk x dan substitusikan persamaan tersebut ke dalam persamaan kedua:

x - 9 y + 14 = 0 5 x - 2 y - 16 = 0 ⇔ x = 9 y - 14 5 x - 2 y - 16 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 y - 14 5 9 y - 14 - 2 y - 16 = 0 ⇔ x = 9 y - 14 43 y - 86 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 y - 14 y = 2 ⇔ x = 9 2 - 14 y = 2 ⇔ x = 4 y = 2

Angka-angka yang dihasilkan adalah koordinat yang perlu dicari.

Menjawab: M 0 (4, 2) adalah titik potong garis x - 9 y + 14 = 0 dan 5 x - 2 y - 16 = 0.

Menemukan koordinat dilakukan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Jika dengan syarat diberikan jenis persamaan yang berbeda, maka persamaan tersebut harus direduksi ke bentuk normal.

Contoh 4

Tentukan koordinat titik potong garis x - 5 = y - 4 - 3 dan x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ, λ ∈ R.

Larutan

Pertama, Anda perlu membawa persamaan ke bentuk umum. Maka kita mendapatkan bahwa x = 4 + 9 λ y = 2 + λ , λ ∈ R ditransformasikan sebagai berikut:

x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ ⇔ λ = x - 4 9 λ = y - 2 1 ⇔ x - 4 9 = y - 2 1 ⇔ ⇔ 1 · (x - 4) = 9 · (y - 2) ⇔ x - 9 tahun + 14 = 0

Kemudian kita ambil persamaan bentuk kanonik x - 5 = y - 4 - 3 dan transformasikan. Kami mengerti

x - 5 = y - 4 - 3 ⇔ - 3 x = - 5 y - 4 ⇔ 3 x - 5 y + 20 = 0

Dari sini kita mengetahui bahwa koordinatnya adalah titik potong

x - 9 y + 14 = 0 3 x - 5 y + 20 = 0 ⇔ x - 9 y = - 14 3 x - 5 y = - 20

Mari gunakan metode Cramer untuk mencari koordinat:

∆ = 1 - 9 3 - 5 = 1 · (- 5) - (- 9) · 3 = 22 ∆ x = - 14 - 9 - 20 - 5 = - 14 · (- 5) - (- 9) · ( - 20) = - 110 ⇒ x = ∆ x ∆ = - 110 22 = - 5 ∆ y = 1 - 14 3 - 20 = 1 · (- 20) - (- 14) · 3 = 22 ⇒ y = ∆ y ∆ = 22 22 = 1

Menjawab: M 0 (- 5 , 1) .

Ada juga cara untuk mencari koordinat titik potong garis-garis yang terletak pada suatu bidang. Hal ini berlaku jika salah satu garis diberikan oleh persamaan parametrik berbentuk x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ , λ ∈ R . Kemudian sebagai pengganti nilai x kita substitusikan x = x 1 + a x · λ dan y = y 1 + a y · λ, dimana kita mendapatkan λ = λ 0, sesuai dengan titik potong yang memiliki koordinat x 1 + a x · λ 0 , kamu 1 + kamu · λ 0 .

Contoh 5

Tentukan koordinat titik potong garis x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ, λ ∈ R dan x - 5 = y - 4 - 3.

Larutan

Perlu dilakukan substitusi pada x - 5 = y - 4 - 3 dengan persamaan x = 4 + 9 · λ, y = 2 + λ, maka diperoleh:

4 + 9 λ - 5 = 2 + λ - 4 - 3

Saat menyelesaikannya, kita menemukan bahwa λ = - 1. Maka terdapat titik potong antara garis x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ, λ ∈ R dan x - 5 = y - 4 - 3. Untuk menghitung koordinat, Anda perlu mensubstitusikan ekspresi λ = - 1 ke dalam persamaan parametrik. Maka kita peroleh bahwa x = 4 + 9 · (- 1) y = 2 + (- 1) ⇔ x = - 5 y = 1.

Menjawab: M 0 (- 5 , 1) .

Untuk memahami topik sepenuhnya, Anda perlu mengetahui beberapa nuansanya.

Pertama, Anda perlu memahami lokasi garisnya. Ketika mereka berpotongan, kita akan menemukan koordinatnya; dalam kasus lain, tidak akan ada solusi. Untuk menghindari pemeriksaan ini, Anda dapat membuat sistem dengan bentuk A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 + C 2 = 0 Jika terdapat penyelesaian, kita simpulkan bahwa garis-garis tersebut berpotongan. Jika tidak ada solusi, maka keduanya paralel. Jika suatu sistem mempunyai solusi yang jumlahnya tak terhingga, maka solusi-solusi tersebut dikatakan berhimpitan.

Contoh 6

Diberikan garis x 3 + y - 4 = 1 dan y = 4 3 x - 4. Tentukan apakah mereka memiliki kesamaan.

Larutan

Menyederhanakan persamaan di atas, kita memperoleh 1 3 x - 1 4 y - 1 = 0 dan 4 3 x - y - 4 = 0.

Persamaan harus dikumpulkan ke dalam sistem untuk solusi selanjutnya:

1 3 x - 1 4 y - 1 = 0 1 3 x - y - 4 = 0 ⇔ 1 3 x - 1 4 y = 1 4 3 x - y = 4

Dari sini kita dapat melihat bahwa persamaan-persamaan tersebut dinyatakan satu sama lain, maka kita memperoleh solusi yang jumlahnya tak terhingga. Maka persamaan x 3 + y - 4 = 1 dan y = 4 3 x - 4 mendefinisikan garis yang sama. Oleh karena itu tidak ada titik potong.

Menjawab: persamaan yang diberikan mendefinisikan garis lurus yang sama.

Contoh 7

Tentukan koordinat titik potong garis 2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 dan 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0.

Larutan

Dengan syarat, hal itu dimungkinkan, garis-garisnya tidak akan berpotongan. Penting untuk membuat sistem persamaan dan menyelesaikannya. Untuk menyelesaikannya, perlu menggunakan metode Gaussian, karena dengan bantuannya dimungkinkan untuk memeriksa kompatibilitas persamaan. Kami mendapatkan sistem dalam bentuk:

2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 2 (3 + 2) x - 7 y - 1 = 0 ⇔ 2 x + (2 - 3) y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 y = 1 ⇔ ⇔ 2 x + 2 - 3 y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 y + (2 x + (2 - 3) y) · (- (3 + 2)) = 1 + - 7 · (- (3 + 2)) ⇔ ⇔ 2 x + (2 - 3) y = - 7 0 = 22 - 7 2

Kami menerima persamaan yang salah, yang berarti sistem tidak memiliki solusi. Kita menyimpulkan bahwa garis-garis tersebut sejajar. Tidak ada titik persimpangan.

Solusi kedua.

Pertama, Anda perlu menentukan keberadaan perpotongan garis.

n 1 → = (2, 2 - 3) adalah vektor normal garis 2 x + (2 - 3) y + 7 = 0, maka vektor n 2 → = (2 (3 + 2), - 7 adalah vektor normal untuk garis 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0 .

Perlu dilakukan pengecekan kolinearitas vektor n 1 → = (2, 2 - 3) dan n 2 → = (2 (3 + 2) , - 7). Kita memperoleh persamaan bentuk 2 2 (3 + 2) = 2 - 3 - 7. Benar karena 2 2 3 + 2 - 2 - 3 - 7 = 7 + 2 - 3 (3 + 2) 7 (3 + 2) = 7 - 7 7 (3 + 2) = 0. Oleh karena itu, vektor-vektornya segaris. Artinya garis-garis tersebut sejajar dan tidak mempunyai titik potong.

Menjawab: tidak ada titik potong, garisnya sejajar.

Contoh 8

Tentukan koordinat perpotongan garis 2 x - 1 = 0 dan y = 5 4 x - 2 .

Larutan

Untuk menyelesaikannya, kami membuat sistem persamaan. Kita mendapatkan

2 x - 1 = 0 5 4 x - y - 2 = 0 ⇔ 2 x = 1 5 4 x - y = 2

Mari kita cari determinan matriks utama. Untuk ini, 2 0 5 4 - 1 = 2 · (- 1) - 0 · 5 4 = - 2. Karena tidak sama dengan nol, sistem mempunyai 1 solusi. Oleh karena itu, garis-garis tersebut berpotongan. Mari kita selesaikan sistem untuk mencari koordinat titik potong:

2 x = 1 5 4 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 4 5 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 5 4 1 2 - y = 2 ⇔ x = 1 2 y = - 11 8

Kami menemukan bahwa titik potong garis-garis tertentu memiliki koordinat M 0 (1 2, - 11 8).

Menjawab: M 0 (1 2 , - 11 8) .

Mencari koordinat titik potong dua garis dalam ruang

Dengan cara yang sama, ditemukan titik potong garis lurus dalam ruang.

Bila garis lurus a dan b diberikan pada bidang koordinat O x y z dengan persamaan bidang-bidang yang berpotongan, maka terdapat garis lurus a, yang dapat ditentukan dengan menggunakan sistem yang diberikan A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 1 = 0 dan garis lurus b - A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0.

Bila titik M 0 merupakan titik potong garis, maka koordinatnya harus merupakan penyelesaian kedua persamaan. Kami memperoleh persamaan linear dalam sistem:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0

Mari kita lihat tugas serupa menggunakan contoh.

Contoh 9

Tentukan koordinat titik potong garis x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 dan 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0

Larutan

Kita buat sistem x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 dan selesaikan. Untuk mencari koordinatnya, Anda perlu menyelesaikannya melalui matriks. Kemudian diperoleh matriks utama berbentuk A = 1 0 0 0 1 2 3 2 0 4 0 - 2 dan matriks diperluas T = 1 0 0 1 0 1 2 - 3 4 0 - 2 4 . Kami menentukan peringkat Gaussian dari matriks.

Kami mengerti

1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0 , 1 0 0 1 0 1 2 - 3 3 2 0 - 3 4 0 - 2 4 = 0

Oleh karena itu rank matriks yang diperluas memiliki nilai 3. Maka sistem persamaan x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 27 - 4 = 0 hanya menghasilkan satu penyelesaian.

Basis minor mempunyai determinan 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0 , maka persamaan terakhir tidak berlaku. Kita peroleh x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y - 3. Penyelesaian sistem x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y = - 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 1 + 2 y = - 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 y = - 3 ⇔ ⇔ x = 1 - 3 + 2 z = - 3 y = - 3 ⇔ x = 1 z = 0 y = - 3 .

Artinya titik potong x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 dan 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 mempunyai koordinat (1, - 3, 0).

Menjawab: (1 , - 3 , 0) .

Sistem berbentuk A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 hanya mempunyai satu solusi. Artinya garis a dan b berpotongan.

Dalam kasus lain, persamaan tersebut tidak memiliki solusi, yaitu juga tidak memiliki titik persekutuan. Artinya, tidak mungkin menemukan suatu titik dengan koordinat, karena titik tersebut tidak ada.

Jadi, sistem berbentuk A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 diselesaikan dengan metode Gaussian. Jika tidak sesuai maka garisnya tidak berpotongan. Jika terdapat solusi yang jumlahnya tak terhingga, maka solusi-solusi tersebut berhimpitan.

Anda dapat menyelesaikannya dengan menghitung pangkat dasar dan pangkat matriks yang diperluas, lalu menerapkan teorema Kronecker-Capelli. Kami mendapatkan satu, banyak atau tidak ada solusi sama sekali.

Contoh 10

Persamaan garis x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 dan x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0 diberikan. Temukan titik persimpangan.

Larutan

Pertama, mari kita buat sistem persamaan. Kita peroleh x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0. Kami menyelesaikannya menggunakan metode Gaussian:

1 2 - 3 4 2 - 1 0 - 5 1 0 - 3 0 3 - 2 2 1 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 - 2 0 - 4 0 - 8 11 - 11 ~ ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 7 5 - 159 5 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 0 311 10

Jelasnya, sistem tidak mempunyai solusi, yang berarti garis-garisnya tidak berpotongan. Tidak ada titik persimpangan.

Menjawab: tidak ada titik potong.

Jika garis diberikan menggunakan persamaan kononik atau parametrik, Anda perlu mereduksinya menjadi persamaan bidang yang berpotongan, lalu mencari koordinatnya.

Contoh 11

Diberikan dua garis x = - 3 - λ y = - 3 λ z = - 2 + 3 λ, λ ∈ R dan x 2 = y - 3 0 = z 5 pada O x y z. Temukan titik persimpangan.

Larutan

Kita mendefinisikan garis lurus dengan persamaan dua bidang yang berpotongan. Kami mengerti

x = - 3 - λ y = - 3 λ z = - 2 + 3 λ ⇔ λ = x + 3 - 1 λ = y - 3 λ = z + 2 3 ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 = z + 2 3 ⇔ ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 x + 3 - 1 = z + 2 3 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 x 2 = y - 3 0 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 x 2 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0

Kita cari koordinatnya 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0, untuk ini kita menghitung pangkat matriksnya. Rank matriksnya adalah 3, dan basis minornya adalah 3 - 1 0 3 0 1 0 1 0 = - 3 ≠ 0, artinya persamaan terakhir harus dikeluarkan dari sistem. Kami mengerti

3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0

Mari selesaikan sistem menggunakan metode Cramer. Kita peroleh bahwa x = - 2 y = 3 z = - 5. Dari sini kita mendapatkan bahwa perpotongan garis-garis tersebut menghasilkan suatu titik dengan koordinat (- 2, 3, - 5).

Menjawab: (- 2 , 3 , - 5) .

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter