Dari pelajaran matematika sekolah kita mengetahui bahwa vektor pada suatu bidang merupakan ruas berarah. Awal dan akhir memiliki dua koordinat. Koordinat vektor dihitung dengan mengurangkan koordinat awal dari koordinat akhir.
Konsep vektor dapat diperluas ke ruang berdimensi n (alih-alih dua koordinat akan ada n koordinat).
Gradien gradzfunctionz=f(x 1, x 2, ...x n) adalah vektor turunan parsial fungsi di suatu titik, yaitu vektor dengan koordinat.
Dapat dibuktikan bahwa gradien suatu fungsi mencirikan arah pertumbuhan tercepat tingkat suatu fungsi di suatu titik.
Misalnya, untuk fungsi z = 2x 1 + x 2 (lihat Gambar 5.8), gradien di setiap titik akan memiliki koordinat (2; 1). Anda dapat membangunnya di bidang dengan berbagai cara, dengan mengambil titik mana pun sebagai awal vektor. Misalnya, Anda dapat menghubungkan titik (0; 0) ke titik (2; 1), atau titik (1; 0) ke titik (3; 1), atau titik (0; 3) ke titik (2; 4), atau seterusnya..P. (Lihat Gambar 5.8). Semua vektor yang dibangun dengan cara ini akan mempunyai koordinat (2 – 0; 1 – 0) = = (3 – 1; 1 – 0) = (2 – 0; 4 – 3) = (2; 1).
Dari Gambar 5.8 terlihat jelas bahwa level fungsi meningkat searah gradien, karena garis level yang dibangun sesuai dengan nilai level 4 > 3 > 2.
Gambar 5.8 - Gradien fungsi z= 2x 1 + x 2
Mari kita perhatikan contoh lain - fungsi z = 1/(x 1 x 2). Gradien fungsi ini tidak selalu sama di berbagai titik, karena koordinatnya ditentukan oleh rumus (-1/(x 1 2 x 2); -1/(x 1 x 2 2)).
Gambar 5.9 menunjukkan garis level fungsi z = 1/(x 1 x 2) untuk level 2 dan 10 (garis lurus 1/(x 1 x 2) = 2 ditandai dengan garis putus-putus, dan garis lurus 1/( x 1 x 2) = 10 adalah garis padat).
Gambar 5.9 - Gradien fungsi z= 1/(x 1 x 2) di berbagai titik
Ambil contoh, titik (0,5; 1) dan hitung gradien pada titik ini: (-1/(0.5 2 *1); -1/(0.5*1 2)) = (-4; - 2). Perhatikan bahwa titik (0.5; 1) terletak pada garis datar 1/(x 1 x 2) = 2, karena z=f(0.5; 1) = 1/(0.5*1) = 2. Untuk menggambar vektor ( -4; -2) pada Gambar 5.9, hubungkan titik (0.5; 1) dengan titik (-3.5; -1), karena (-3.5 – 0.5; -1 - 1) = (-4; -2).
Mari kita ambil titik lain pada garis sejajar yang sama, misalnya titik (1; 0.5) (z=f(1; 0.5) = 1/(0.5*1) = 2). Mari kita hitung gradien pada titik ini (-1/(1 2 *0.5); -1/(1*0.5 2)) = (-2; -4). Untuk menggambarkannya pada Gambar 5.9, kita hubungkan titik (1; 0.5) dengan titik (-1; -3.5), karena (-1 - 1; -3.5 - 0.5) = (-2; - 4).
Mari kita ambil titik lain pada garis datar yang sama, tetapi hanya sekarang pada seperempat koordinat non-positif. Misalnya, titik (-0.5; -1) (z=f(-0.5; -1) = 1/((-1)*(-0.5)) = 2). Gradien pada titik ini akan sama dengan (-1/((-0.5) 2 *(-1)); -1/((-0.5)*(-1) 2)) = (4; 2). Mari kita gambarkan pada Gambar 5.9 dengan menghubungkan titik (-0.5; -1) dengan titik (3.5; 1), karena (3.5 – (-0.5); 1 – (-1)) = (4 ; 2).
Perlu dicatat bahwa dalam ketiga kasus yang dipertimbangkan, gradien menunjukkan arah pertumbuhan tingkat fungsi (menuju garis tingkat 1/(x 1 x 2) = 10 > 2).
Dapat dibuktikan bahwa gradien selalu tegak lurus terhadap garis datar (permukaan datar) yang melalui suatu titik tertentu.
Ekstrem suatu fungsi beberapa variabel
Mari kita definisikan konsepnya ekstrem untuk fungsi banyak variabel.
Fungsi dari banyak variabel yang dimiliki f(X) di titik X (0) maksimum (minimum), jika terdapat lingkungan pada titik ini sedemikian rupa sehingga untuk semua titik X dari lingkungan tersebut pertidaksamaan f(X)f(X (0)) () terpenuhi.
Jika pertidaksamaan ini dipenuhi secara ketat, maka disebut ekstrem kuat, dan jika tidak, maka lemah.
Perhatikan bahwa ekstrem yang didefinisikan dengan cara ini adalah lokal karakternya, karena ketidaksetaraan ini hanya dipenuhi untuk lingkungan tertentu di titik ekstrem.
Kondisi yang diperlukan untuk ekstrem lokal dari fungsi terdiferensiasi z=f(x 1, . . ., x n) pada suatu titik adalah persamaan dengan nol semua turunan parsial orde pertama pada titik ini: 
.
Titik-titik dimana persamaan tersebut berlaku disebut tidak bergerak.
Dengan cara lain, kondisi yang diperlukan untuk suatu ekstrem dapat dirumuskan sebagai berikut: pada titik ekstrem, gradiennya nol. Pernyataan yang lebih umum juga dapat dibuktikan: pada titik ekstrem, turunan fungsi ke segala arah hilang.
Titik-titik stasioner harus dilakukan penelitian tambahan untuk menentukan apakah kondisi yang cukup untuk keberadaan ekstrem lokal terpenuhi. Untuk melakukannya, tentukan tanda diferensial orde kedua. Jika untuk sembarang , tidak sekaligus sama dengan nol, selalu negatif (positif), maka fungsinya mempunyai maksimum (minimum). Jika bisa menuju nol tidak hanya dengan kenaikan nol, maka pertanyaan tentang titik ekstrem tetap terbuka. Jika dapat bernilai positif dan negatif, maka tidak ada titik ekstrem pada titik stasioner.
Secara umum, menentukan tanda diferensial adalah masalah yang agak rumit, yang tidak akan kita bahas di sini. Untuk fungsi dua variabel dapat dibuktikan jika berada pada titik stasioner 
, maka ekstremnya ada. Dalam hal ini, tanda diferensial kedua bertepatan dengan tanda tersebut 
, yaitu. Jika 
, maka ini maksimum, dan jika 
, maka ini adalah minimumnya. Jika 
, maka tidak ada titik ekstrem pada saat ini, dan jika 
, maka pertanyaan tentang ekstremnya tetap terbuka.
Contoh 1. Temukan ekstrem dari fungsinya 
.
Mari kita cari turunan parsial menggunakan metode diferensiasi logaritma.
ln z = ln 2 + ln (x + y) + ln (1 + xy) – ln (1 + x 2) – ln (1 + y 2)
Juga 
.
Mari kita cari titik stasioner dari sistem persamaan:
Dengan demikian, ditemukan empat titik stasioner (1; 1), (1; -1), (-1; 1) dan (-1; -1).
Mari kita cari turunan parsial orde kedua:
ln (z x `) = ln 2 + ln (1 - x 2) -2ln (1 + x 2)
Juga 
;
.
Karena 
, tanda ekspresi 
hanya bergantung pada 
. Perhatikan bahwa kedua turunan ini penyebutnya selalu positif, jadi Anda hanya dapat mempertimbangkan tanda pembilangnya, atau bahkan tanda dari ekspresi x(x 2 – 3) dan y(y 2 – 3). Mari kita definisikan pada setiap titik kritis dan periksa apakah kondisi cukup untuk titik ekstrem terpenuhi.
Untuk poin (1; 1) kita mendapatkan 1*(1 2 – 3) = -2< 0. Т.к. произведение
двух angka negatif
> 0, dan 
<
0, в точке (1; 1) можно найти максимум. Он
равен
=
2*(1 + 1)*(1 +1*1)/((1 +1 2)*(1 +1 2)) =
= 8/4
= 2.
Untuk poin (1; -1) kita mendapatkan 1*(1 2 – 3) = -2< 0 и (-1)*((-1) 2 – 3)
= 2 >0. Karena produk dari angka-angka ini 
< 0, в этой точке экстремума нет.
Аналогично можно показать, что нет
экстремума в точке (-1; 1).
Untuk titik (-1; -1) kita peroleh (-1)*((-1) 2 – 3) = 2 > 0. Karena produk dari dua angka positif
> 0, dan 
> 0, pada titik (-1; -1) dapat dicari nilai minimumnya. Itu sama dengan 2*((-1) + (-1))*(1 +(-1)*(-1))/((1 +(-1) 2)*(1 +(-1) 2) ) = -8/4 = = -2.
Menemukan global maksimum atau minimum (nilai terbesar atau terkecil dari suatu fungsi) agak lebih kompleks daripada ekstrem lokal, karena nilai-nilai ini dapat dicapai tidak hanya pada titik stasioner, tetapi juga pada batas domain definisi. Tidak selalu mudah untuk mempelajari perilaku suatu fungsi pada batas wilayah ini.
FUNGSI GRADIEN kamu = f(x, kamu, z), diberikan di beberapa wilayah. ruang angkasa (XYZ), Ada vektor dengan proyeksi yang dilambangkan dengan simbol: grad 
Di mana saya, j, k- vektor satuan koordinat. G.f. - ada fungsi titik (x, kamu, z), yaitu membentuk bidang vektor. Turunan ke arah G. f. pada titik ini mencapai nilai tertinggi dan sama dengan: 
Arah gradien adalah arah kenaikan fungsi yang paling cepat. G.f. pada suatu titik tertentu tegak lurus terhadap permukaan datar yang melalui titik tersebut. Efisiensi penggunaan G. f. selama studi litologi hal itu ditunjukkan dalam studi aeolian exc. Karakum Tengah.
Kamus Geologi: dalam 2 jilid. - M.: Nedra. Diedit oleh K.N. Paffengoltz dkk.. 1978 .
Lihat apa itu "FUNGSI GRADIEN" di kamus lain:
Artikel ini membahas tentang karakteristik matematika; tentang metode pengisian, lihat: Gradien (grafik komputer) ... Wikipedia
- (lat.). Perbedaan pembacaan barometrik dan termometrik di berbagai area. Kamus kata-kata asing yang termasuk dalam bahasa Rusia. Chudinov A.N., 1910. GRADIEN adalah perbedaan pembacaan barometer dan termometer pada saat yang bersamaan... ... Kamus kata-kata asing dari bahasa Rusia
gradien- Mengubah nilai besaran tertentu per satuan jarak dalam arah tertentu. Gradien topografi adalah perubahan ketinggian medan pada jarak yang diukur secara horizontal. Topik: proteksi relai gradien EN dari karakteristik trip proteksi diferensial … Panduan Penerjemah Teknis
Gradien- vektor yang diarahkan ke arah kenaikan fungsi tercepat dan besarnya sama dengan turunannya pada arah ini: di mana simbol ei menunjukkan vektor satuan sumbu koordinat (orts) ... Kamus ekonomi-matematika
Salah satu konsep dasar analisis vektor dan teori pemetaan nonlinier. Gradien fungsi skalar argumen vektor dari ruang Euclidean E n disebut. turunan dari fungsi f(t) terhadap argumen vektor t, yaitu vektor berdimensi n dengan... ... Ensiklopedia Matematika
Gradien fisiologis- – nilai yang mencerminkan perubahan suatu indikator fungsi tergantung pada nilai lainnya; misalnya, gradien tekanan parsial - perbedaan tekanan parsial yang menentukan difusi gas dari alveoli (accini) ke dalam darah dan dari darah ke ... ... Glosarium istilah fisiologi hewan ternak
I Gradien (dari bahasa Latin gradien, gender gradienis berjalan) Sebuah vektor yang menunjukkan arah perubahan tercepat suatu besaran, yang nilainya berubah dari satu titik dalam ruang ke titik lainnya (lihat Teori medan). Jika nilainya... ... Ensiklopedia Besar Soviet
Gradien- (dari bahasa Latin gradien berjalan, berjalan) (dalam matematika) vektor yang menunjukkan arah peningkatan tercepat dari fungsi tertentu; (dalam fisika) ukuran kenaikan atau penurunan ruang atau bidang kuantitas fisik apa pun berdasarkan satuan... ... Awal mula ilmu pengetahuan alam modern
Buku
- Metode untuk memecahkan beberapa masalah di bagian tertentu matematika tingkat tinggi. Lokakarya, Konstantin Grigorievich Klimenko, Galina Vasilievna Levitskaya, Evgeniy Alexandrovich Kozlovsky. Lokakarya ini membahas metode penyelesaian jenis masalah tertentu dari bagian mata kuliah yang berlaku umum tersebut. analisis matematis, sebagai limit dan ekstrem suatu fungsi, gradien, dan turunan...
Beberapa konsep dan istilah digunakan dalam kerangka yang sangat sempit, sedangkan definisi lain ditemukan dalam bidang yang sangat bertentangan. Misalnya, konsep “gradien” digunakan oleh fisikawan, matematikawan, dan ahli manikur atau ahli Photoshop. Apa itu gradien sebagai sebuah konsep? Mari kita cari tahu.
Apa kata kamus?
Kamus tematik khusus menafsirkan apa itu “gradien” dalam kaitannya dengan kekhususannya. Diterjemahkan dari bahasa Latin, kata ini berarti “orang yang pergi, tumbuh.” Dan Wikipedia mendefinisikan konsep ini sebagai “vektor yang menunjukkan arah peningkatan suatu kuantitas.” DI DALAM kamus penjelasan kita melihat arti kata ini sebagai “perubahan kuantitas sebesar satu nilai.” Sebuah konsep dapat memiliki makna kuantitatif dan kualitatif.
Singkatnya, ini adalah transisi bertahap yang mulus dari nilai apa pun dengan satu nilai, perubahan kuantitas atau arah yang progresif dan berkelanjutan. Vektor dihitung oleh ahli matematika dan ahli meteorologi. Konsep ini digunakan dalam astronomi, kedokteran, seni, dan grafik komputer. Istilah serupa mendefinisikan jenis kegiatan yang sangat berbeda.
Fungsi matematika
Berapakah gradien suatu fungsi dalam matematika? Hal ini menunjukkan arah pertumbuhan suatu fungsi dalam medan skalar dari satu nilai ke nilai lainnya. Besarnya gradien dihitung menggunakan turunan parsial. Untuk menentukan arah pertumbuhan tercepat suatu fungsi, dua titik dipilih pada grafik. Mereka mendefinisikan awal dan akhir vektor. Laju pertumbuhan suatu nilai dari satu titik ke titik lainnya adalah besarnya gradien. Fungsi matematika, berdasarkan perhitungan indikator ini, digunakan dalam grafik komputer vektor, yang objeknya merupakan gambar grafik objek matematika.
Apa yang dimaksud dengan gradien dalam fisika?
Konsep gradien umum di banyak cabang fisika: gradien optik, suhu, kecepatan, tekanan, dll. Dalam cabang ini, konsep tersebut menunjukkan ukuran kenaikan atau penurunan suatu nilai sebesar satu. Itu dihitung dengan perhitungan sebagai selisih antara dua indikator. Mari kita lihat beberapa nilai lebih detail.
Apa yang dimaksud dengan gradien potensial? Sedang bekerja dengan medan elektrostatis dua karakteristik ditentukan: ketegangan (kekuatan) dan potensi (energi). Ini ukuran yang berbeda berhubungan dengan lingkungan hidup. Dan meskipun mereka menentukan karakteristik yang berbeda, masih memiliki koneksi satu sama lain.
Untuk menentukan kekuatan medan gaya, gradien potensial digunakan - nilai yang menentukan laju perubahan potensial dalam arah saluran listrik. Bagaimana cara menghitungnya? Beda potensial antara dua titik Medan listrik dihitung dari tegangan yang diketahui menggunakan vektor tegangan, yang sama dengan gradien potensial.
Istilah ahli meteorologi dan ahli geografi
Untuk pertama kalinya, konsep gradien digunakan oleh ahli meteorologi untuk menentukan perubahan besaran dan arah berbagai indikator meteorologi: suhu, tekanan, kecepatan dan kekuatan angin. Ini adalah ukuran perubahan kuantitatif dalam berbagai besaran. Maxwell memperkenalkan istilah ini ke dalam matematika jauh di kemudian hari. Secara definisi kondisi cuaca Ada konsep gradien vertikal dan horizontal. Mari kita lihat lebih dekat.
Apa yang dimaksud dengan gradien suhu vertikal? Nilai yang menunjukkan perubahan indikator yang dihitung pada ketinggian 100 m, bisa positif atau negatif, berbeda dengan horizontal yang selalu positif.
Gradien menunjukkan besar atau sudut kemiringan permukaan tanah. Dihitung sebagai perbandingan tinggi dengan panjang proyeksi jalan pada suatu bagian tertentu. Dinyatakan dalam persentase.
Indikator medis
Definisi “gradien suhu” juga dapat ditemukan dalam istilah medis. Ini menunjukkan perbedaan indikator yang sesuai pada organ dalam dan permukaan tubuh. Dalam biologi, gradien fisiologis mencatat perubahan fisiologi organ atau organisme secara keseluruhan pada setiap tahap perkembangannya. Dalam kedokteran, indikator metabolisme adalah intensitas metabolisme.
Tidak hanya fisikawan, dokter juga menggunakan istilah ini dalam pekerjaannya. Apa yang dimaksud dengan gradien tekanan dalam kardiologi? Konsep ini mendefinisikan perbedaan tekanan darah di setiap bagian sistem kardiovaskular yang saling berhubungan.
Penurunan gradien otomatisitas merupakan indikator penurunan frekuensi eksitasi jantung searah dari pangkal ke atas yang terjadi secara otomatis. Selain itu, ahli jantung mengidentifikasi lokasi kerusakan arteri dan derajatnya dengan memantau perbedaan amplitudo gelombang sistolik. Dengan kata lain, menggunakan gradien amplitudo pulsa.
Apa itu gradien kecepatan?
Ketika mereka berbicara tentang laju perubahan suatu besaran tertentu, yang mereka maksud adalah kecepatan perubahan dalam ruang dan waktu. Dengan kata lain, gradien kecepatan menentukan perubahan koordinat spasial dalam kaitannya dengan indikator waktu. Indikator ini dihitung oleh ahli meteorologi, astronom, dan ahli kimia. Gradien laju geser lapisan cairan ditentukan dalam industri minyak dan gas untuk menghitung laju kenaikan cairan melalui pipa. Indikator pergerakan tektonik ini menjadi area perhitungan para seismolog.
Fungsi ekonomi
Para ekonom banyak menggunakan konsep gradien untuk mendukung kesimpulan teoretis yang penting. Saat memecahkan masalah konsumen, fungsi utilitas digunakan untuk membantu mewakili preferensi dari serangkaian alternatif. "Fungsi batasan anggaran" adalah istilah yang digunakan untuk merujuk pada sekumpulan paket konsumsi. Gradien di area ini digunakan untuk menghitung konsumsi optimal.
Gradien warna
Istilah "gradien" sudah tidak asing lagi individu yang kreatif. Meski jauh dari ilmu eksakta. Apa yang dimaksud dengan gradien bagi seorang desainer? Karena dalam ilmu eksakta ini merupakan peningkatan nilai secara bertahap sebesar satu, maka dalam warna indikator ini menunjukkan transisi warna yang mulus dan berkepanjangan dengan warna yang sama dari terang ke lebih gelap, atau sebaliknya. Seniman menyebut proses ini “peregangan.” Dimungkinkan juga untuk beralih ke warna pengiring berbeda dalam rentang yang sama.
Bentangan warna gradien di ruang lukisan telah mengambil posisi kuat di antara teknik desain. Gaya ombre bermodel baru - aliran warna halus dari terang ke gelap, dari terang ke pucat - secara efektif mengubah ruangan mana pun di rumah atau kantor.
Ahli kacamata menggunakan lensa khusus untuk kacamata hitam. Apa yang dimaksud dengan gradien pada kacamata? Ini adalah pembuatan lensa dengan cara yang khusus, bila dari atas ke bawah warnanya berubah dari lebih gelap ke lebih gelap bayangan terang. Produk yang dibuat menggunakan teknologi ini melindungi mata dari radiasi sinar matahari dan memungkinkan Anda melihat objek bahkan dalam cahaya yang sangat terang.
Warna dalam desain web
Mereka yang terlibat dalam desain web dan grafik komputer sudah familiar dengannya alat universal"gradien", yang dengannya berbagai macam efek tercipta. Transisi warna diubah menjadi highlight, latar belakang yang aneh, dan tiga dimensi. Memanipulasi bayangan dan menciptakan cahaya dan bayangan memberikan volume pada objek vektor. Untuk tujuan ini, beberapa jenis gradien digunakan:
- Linier.
- Radial.
- Berbentuk kerucut.
- Cermin.
- Berbentuk berlian.
- Gradien kebisingan.
Keindahan gradien
Bagi pengunjung salon kecantikan, pertanyaan tentang apa itu gradien bukanlah hal yang mengejutkan. Benar, bahkan dalam kasus ini, pengetahuan tentang hukum matematika dan dasar-dasar fisika tidak diperlukan. Kami masih berbicara tentang transisi warna. Objek gradiennya adalah rambut dan kuku. Teknik ombre yang berarti “nada” dalam bahasa Perancis menjadi mode di kalangan pecinta olah raga selancar dan aktivitas pantai lainnya. Rambut yang diputihkan dan tumbuh kembali secara alami telah menjadi tren. Para fashionista mulai mewarnai rambut mereka secara khusus dengan transisi warna yang nyaris tak terlihat.
Teknik ombre belum luput dari perhatian salon kuku. Gradien pada kuku menciptakan warna dengan pencerahan bertahap pada pelat dari akar ke tepi. Master menawarkan horizontal, vertikal, dengan transisi dan variasi lainnya.
Sulaman
Wanita penjahit akrab dengan konsep "gradien" dari sisi lain. Teknik serupa digunakan dalam menciptakan sesuatu buatan sendiri dalam gaya decoupage. Dengan cara ini, barang-barang antik baru dibuat, atau barang-barang lama dipulihkan: lemari berlaci, kursi, peti, dll. Decoupage melibatkan penerapan pola menggunakan stensil, yang dasarnya adalah gradien warna sebagai latar belakang.
Seniman kain telah mengadopsi metode pewarnaan ini untuk model-model baru. Gaun dengan warna gradasi telah menaklukkan catwalk. Mode ini diambil oleh wanita yang membutuhkan - perajut. Barang rajutan dengan transisi yang mulus warnanya sangat populer.
Untuk meringkas definisi “gradien”, kita dapat mengatakan tentang bidang aktivitas manusia yang sangat luas di mana istilah ini mempunyai tempat. Penggantian dengan sinonim “vektor” tidak selalu cocok, karena vektor masih merupakan konsep spasial yang fungsional. Yang mendefinisikan keumuman konsep tersebut adalah perubahan bertahap suatu besaran, zat, parameter fisika tertentu selama periode tertentu. Dalam warna, ini adalah transisi nada yang mulus.