Perhatikan fungsinya y=k/y. Grafik fungsi ini berbentuk garis, dalam matematika disebut hiperbola. Gambaran umum hiperbola ditunjukkan pada gambar di bawah ini. (Grafik menunjukkan fungsi y sama dengan k dibagi x, sehingga k sama dengan satu.)
Terlihat grafiknya terdiri dari dua bagian. Bagian-bagian ini disebut cabang hiperbola. Perlu juga dicatat bahwa setiap cabang hiperbola mendekat ke salah satu arah yang semakin dekat ke sumbu koordinat. Sumbu koordinat dalam hal ini disebut asimtot.
Secara umum, setiap garis lurus yang mendekati tak terhingga grafik suatu fungsi tetapi tidak mencapainya disebut asimtot. Hiperbola, seperti parabola, memiliki sumbu simetri. Untuk hiperbola yang ditunjukkan pada gambar di atas, ini adalah garis y=x.
Sekarang mari kita lihat dua kasus hiperbola yang umum. Grafik fungsi y = k/x, untuk k ≠0, adalah hiperbola yang cabang-cabangnya terletak pada sudut koordinat pertama dan ketiga, untuk k>0, atau pada sudut koordinat kedua dan keempat, garpu<0.
Sifat dasar fungsi y = k/x, untuk k>0
Grafik fungsi y = k/x, untuk k>0
5. y>0 pada x>0; y6. Fungsinya menurun baik pada interval (-∞;0) maupun pada interval (0;+∞).
10. Rentang nilai fungsi adalah dua interval terbuka (-∞;0) dan (0;+∞).
Sifat dasar fungsi y = k/x, untuk k<0
Grafik fungsi y = k/x, di k<0
1. Titik (0;0) merupakan pusat simetri hiperbola.
2. Sumbu koordinat - asimtot hiperbola.
4. Daerah definisi fungsi adalah semua x kecuali x=0.
5. y>0 pada x0.
6. Fungsinya bertambah baik pada interval (-∞;0) maupun pada interval (0;+∞).
7. Fungsinya tidak dibatasi baik dari bawah maupun dari atas.
8. Suatu fungsi tidak mempunyai nilai maksimum dan minimum.
9. Fungsi tersebut kontinu pada interval (-∞;0) dan pada interval (0;+∞). Memiliki celah di x=0.
1. Fungsi linier pecahan dan grafiknya
Fungsi berbentuk y = P(x) / Q(x), dengan P(x) dan Q(x) adalah polinomial, disebut fungsi rasional pecahan.
Anda mungkin sudah familiar dengan konsep bilangan rasional. Juga fungsi rasional adalah fungsi yang dapat direpresentasikan sebagai hasil bagi dua polinomial.
Jika fungsi rasional pecahan adalah hasil bagi dua fungsi linier - polinomial derajat pertama, mis. fungsi formulir
y = (ax + b) / (cx + d), maka disebut linier pecahan.
Perhatikan bahwa dalam fungsi y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (jika tidak, fungsinya menjadi linier y = ax/d + b/d) dan a/c ≠ b/d (jika tidak, maka fungsinya konstan). Fungsi pecahan linier didefinisikan untuk semua bilangan real kecuali x = -d/c. Grafik fungsi linier pecahan tidak berbeda bentuknya dengan grafik y = 1/x lho. Kurva yang merupakan grafik fungsi y = 1/x disebut hiperbola. Dengan kenaikan nilai absolut x yang tidak terbatas, fungsi y = 1/x berkurang nilai absolutnya tanpa batas dan kedua cabang grafik mendekati absis: cabang kanan mendekat dari atas, dan cabang kiri dari bawah. Garis yang menjadi cabang pendekatan hiperbola disebut garisnya asimtot.
Contoh 1.
kamu = (2x + 1) / (x – 3).
Larutan.
Mari kita pilih seluruh bagiannya: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).
Sekarang mudah untuk melihat bahwa grafik fungsi ini diperoleh dari grafik fungsi y = 1/x dengan transformasi berikut: bergeser sebanyak 3 satuan ruas ke kanan, meregang sepanjang sumbu Oy sebanyak 7 kali dan bergeser sebanyak 2 segmen satuan ke atas.
Pecahan apa pun y = (ax + b) / (cx + d) dapat ditulis dengan cara yang sama, dengan menyorot “bagian bilangan bulat”. Akibatnya, grafik semua fungsi linier pecahan adalah hiperbola, digeser ke berbagai arah sepanjang sumbu koordinat dan direntangkan sepanjang sumbu Oy.
Untuk membuat grafik pecahan sembarang fungsi linear Sama sekali tidak perlu mentransformasikan pecahan yang mendefinisikan fungsi ini. Karena kita mengetahui bahwa grafik tersebut adalah hiperbola, cukup mencari garis lurus yang mendekati cabang-cabangnya - asimtot hiperbola x = -d/c dan y = a/c.
Contoh 2.
Tentukan asimtot grafik fungsi y = (3x + 5)/(2x + 2).
Larutan.
Fungsinya tidak terdefinisi, pada x = -1. Artinya garis lurus x = -1 berfungsi sebagai asimtot vertikal. Untuk mencari asimtot horizontal, mari kita cari tahu berapa nilai fungsi y(x) yang mendekati nilai absolut argumen x.
Caranya, bagi pembilang dan penyebut pecahan dengan x:
kamu = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).
Karena x → ∞ pecahannya cenderung 3/2. Artinya asimtot mendatarnya adalah garis lurus y = 3/2.
Contoh 3.
Gambarkan fungsi y = (2x + 1)/(x + 1).
Larutan.
Mari kita pilih “seluruh bagian” dari pecahan:
(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =
2 – 1/(x + 1).
Sekarang mudah untuk melihat bahwa grafik fungsi ini diperoleh dari grafik fungsi y = 1/x dengan transformasi berikut: pergeseran sebesar 1 satuan ke kiri, tampilan simetris terhadap Ox dan pergeseran sebesar 2 unit segmen ke atas sepanjang sumbu Oy.
Domain D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).
Rentang nilai E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).
Titik potong dengan sumbu: c Oy: (0; 1); c Sapi: (-1/2; 0). Fungsi tersebut meningkat pada setiap interval domain definisi.
Jawaban: Gambar 1.
2. Fungsi rasional pecahan
Perhatikan fungsi rasional pecahan berbentuk y = P(x) / Q(x), dengan P(x) dan Q(x) adalah polinomial yang derajatnya lebih tinggi dari yang pertama.
Contoh fungsi rasional tersebut:
y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) atau y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).
Jika fungsi y = P(x) / Q(x) mewakili hasil bagi dua polinomial yang derajatnya lebih tinggi dari polinomial pertama, maka grafiknya biasanya akan lebih kompleks, dan terkadang sulit untuk membuatnya secara akurat , dengan semua detailnya. Namun, sering kali cukup menggunakan teknik serupa dengan yang telah kami perkenalkan di atas.
Misalkan pecahan tersebut adalah pecahan biasa (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:
P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+
L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+
+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+
+ (M 1 x + N 1) / (x 2 +pt x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 +pt x + q t).
Jelasnya, grafik fungsi rasional pecahan dapat diperoleh sebagai penjumlahan dari grafik pecahan dasar.
Merencanakan grafik fungsi rasional pecahan
Mari kita pertimbangkan beberapa cara untuk membuat grafik fungsi rasional pecahan.
Contoh 4.
Gambarlah grafik fungsi y = 1/x 2 .
Larutan.
Kita menggunakan grafik fungsi y = x 2 untuk membuat grafik y = 1/x 2 dan menggunakan teknik “membagi” grafik tersebut.
Domain D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).
Rentang nilai E(y) = (0; +∞).
Tidak ada titik perpotongan dengan sumbu. Fungsinya genap. Meningkat untuk semua x dari interval (-∞; 0), menurun untuk x dari 0 menjadi +∞.
Jawaban: Gambar 2.
Contoh 5.
Gambarkan fungsi y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x).
Larutan.
Domain D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).
y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3)(x – 1) / (-3(x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/ 3 + 1/3.
Disini kami menggunakan teknik faktorisasi, reduksi dan reduksi ke fungsi linier.
Jawaban: Gambar 3.
Contoh 6.
Gambarkan fungsi y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1).
Larutan.
Daerah definisinya adalah D(y) = R. Karena fungsinya genap, grafiknya simetris terhadap ordinat. Sebelum membuat grafik, mari kita ubah ekspresinya lagi, soroti seluruh bagiannya:
kamu = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).
Perhatikan bahwa mengisolasi bagian bilangan bulat dalam rumus fungsi rasional pecahan adalah salah satu hal utama saat membuat grafik.
Jika x → ±∞, maka y → 1, mis. garis lurus y = 1 merupakan asimtot mendatar.
Jawaban: Gambar 4.
Contoh 7.
Mari kita perhatikan fungsi y = x/(x 2 + 1) dan coba cari nilai terbesarnya secara akurat, yaitu. titik tertinggi di bagian kanan grafik. Untuk membuat grafik ini secara akurat, pengetahuan saat ini saja tidak cukup. Jelasnya, kurva kita tidak bisa “naik” terlalu tinggi, karena penyebutnya dengan cepat mulai “menyalip” pembilangnya. Mari kita lihat apakah nilai fungsinya bisa sama dengan 1. Untuk melakukannya, kita perlu menyelesaikan persamaan x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0. Persamaan ini tidak memiliki akar real. Artinya asumsi kami salah. Untuk mencari nilai terbesar dari fungsi tersebut, Anda perlu mencari tahu pada A terbesar manakah persamaan A = x/(x 2 + 1) akan mempunyai penyelesaian. Mari kita ganti persamaan awal dengan persamaan kuadrat: Ax 2 – x + A = 0. Persamaan ini mempunyai penyelesaian jika 1 – 4A 2 ≥ 0. Dari sini kita cari nilai terbesar A = 1/2. 
Jawaban: Gambar 5, maks y(x) = ½.
Masih ada pertanyaan? Tidak tahu cara membuat grafik fungsi?
Untuk mendapatkan bantuan dari tutor, daftarlah.
Pelajaran pertama gratis!
situs web, ketika menyalin materi secara keseluruhan atau sebagian, diperlukan tautan ke sumbernya.
Mari kita pilih sistem koordinat persegi panjang pada bidang dan plot nilai argumen pada sumbu absis X, dan pada ordinat - nilai fungsi kamu = f(x).
Grafik fungsi kamu = f(x) adalah himpunan semua titik yang absisnya termasuk dalam domain definisi fungsi, dan ordinatnya sama dengan nilai fungsi yang bersesuaian.
Dengan kata lain grafik fungsi y = f (x) adalah himpunan semua titik pada bidang, koordinat X, pada yang memenuhi relasi tersebut kamu = f(x).
Pada Gambar. 45 dan 46 menunjukkan grafik fungsi kamu = 2x + 1 Dan kamu = x 2 - 2x.
Sebenarnya, kita harus membedakan antara grafik suatu fungsi (definisi matematis persisnya diberikan di atas) dan kurva yang digambar, yang selalu hanya memberikan sketsa grafik yang kurang lebih akurat (dan bahkan, sebagai suatu peraturan, bukan keseluruhan grafik, tetapi hanya sebagian saja yang terletak di bagian akhir bidang). Namun, berikut ini, secara umum kita akan menyebut “grafik” dan bukan “sketsa grafik”.
Dengan menggunakan grafik, Anda dapat mencari nilai suatu fungsi di suatu titik. Yaitu jika intinya x = sebuah termasuk dalam domain definisi fungsi kamu = f(x), lalu untuk menemukan nomornya f(a)(yaitu nilai fungsi pada titik tersebut x = sebuah) Anda harus melakukan ini. Hal ini diperlukan melalui titik absis x = sebuah menggambar garis lurus sejajar dengan sumbu ordinat; garis ini akan memotong grafik fungsi kamu = f(x) di satu titik; ordinat titik ini, berdasarkan definisi grafik, akan sama dengan f(a)(Gbr. 47).
Misalnya saja untuk fungsinya f(x) = x 2 - 2x menggunakan grafik (Gbr. 46) kita menemukan f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0, dst.
Grafik fungsi dengan jelas menggambarkan perilaku dan sifat suatu fungsi. Misalnya, dari pertimbangan Gambar. 46 jelas fungsinya kamu = x 2 - 2x mengambil nilai positif ketika X< 0 dan di x > 2, negatif - pada 0< x < 2; nilai terkecil fungsi kamu = x 2 - 2x menerima di x = 1.
Untuk membuat grafik suatu fungsi f(x) Anda perlu menemukan semua titik pada bidang, koordinat X,pada yang memenuhi persamaan tersebut kamu = f(x). Dalam kebanyakan kasus, hal ini tidak mungkin dilakukan, karena jumlah titik tersebut tidak terbatas. Oleh karena itu, grafik fungsi digambarkan kira-kira - dengan akurasi yang lebih besar atau lebih kecil. Yang paling sederhana adalah metode memplot grafik dengan menggunakan beberapa titik. Terdiri dari fakta bahwa argumennya X berikan sejumlah nilai terbatas - katakanlah, x 1, x 2, x 3,..., xk dan buat tabel yang menyertakan nilai fungsi yang dipilih.
Tabelnya terlihat seperti ini:
Setelah menyusun tabel seperti itu, kita dapat menguraikan beberapa titik pada grafik fungsi kamu = f(x). Kemudian, dengan menghubungkan titik-titik ini dengan garis halus, kita mendapatkan gambaran perkiraan grafik fungsi tersebut kamu = f(x).
Namun perlu dicatat bahwa metode plot multi-titik sangat tidak dapat diandalkan. Faktanya, perilaku grafik antara titik-titik yang dituju dan perilakunya di luar segmen antara titik-titik ekstrem yang diambil masih belum diketahui.
Contoh 1. Untuk membuat grafik suatu fungsi kamu = f(x) seseorang menyusun tabel nilai argumen dan fungsi:
Lima titik yang sesuai ditunjukkan pada Gambar. 48.
Berdasarkan letak titik-titik tersebut, ia menyimpulkan bahwa grafik fungsinya adalah garis lurus (ditunjukkan pada Gambar 48 dengan garis putus-putus). Bisakah kesimpulan ini dianggap dapat diandalkan? Kecuali ada pertimbangan tambahan untuk mendukung kesimpulan ini, kesimpulan ini sulit dianggap dapat diandalkan. dapat diandalkan.
Untuk mendukung pernyataan kami, pertimbangkan fungsinya
.
Perhitungan menunjukkan bahwa nilai fungsi ini pada titik -2, -1, 0, 1, 2 persis seperti yang dijelaskan pada tabel di atas. Namun grafik fungsi ini sama sekali bukan garis lurus (ditunjukkan pada Gambar 49). Contoh lainnya adalah fungsinya kamu = x + aku + sinπx; maknanya juga dijelaskan pada tabel di atas.
Contoh-contoh ini menunjukkan bahwa dalam bentuknya yang “murni”, metode memplot grafik menggunakan beberapa titik tidak dapat diandalkan. Oleh karena itu, untuk membuat grafik suatu fungsi tertentu, biasanya dilakukan sebagai berikut. Pertama, kita mempelajari sifat-sifat fungsi ini, yang dengannya kita dapat membuat sketsa grafiknya. Kemudian, dengan menghitung nilai fungsi di beberapa titik (pilihannya bergantung pada sifat fungsi yang ditetapkan), titik-titik yang sesuai pada grafik ditemukan. Dan terakhir, sebuah kurva digambar melalui titik-titik yang dibangun menggunakan sifat-sifat fungsi ini.
Kita akan melihat beberapa properti fungsi (yang paling sederhana dan paling sering digunakan) yang digunakan untuk menemukan sketsa grafik nanti, tetapi sekarang kita akan melihat beberapa metode yang umum digunakan untuk membuat grafik.
Grafik fungsi y = |f(x)|.
Seringkali diperlukan untuk memplot suatu fungsi kamu = |f(x)|, dimana f(x) - fungsi yang diberikan. Izinkan kami mengingatkan Anda bagaimana hal ini dilakukan. A-priori nilai mutlak angka dapat ditulis
Artinya grafik fungsinya kamu =|f(x)| dapat diperoleh dari grafik, fungsi kamu = f(x) sebagai berikut: semua titik pada grafik fungsi kamu = f(x), yang ordinatnya bukan negatif, tidak boleh diubah; selanjutnya, sebagai pengganti titik-titik pada grafik fungsi kamu = f(x) memiliki koordinat negatif, Anda harus membuat titik-titik yang bersesuaian pada grafik fungsi kamu = -f(x)(yaitu bagian dari grafik fungsi
kamu = f(x), yang terletak di bawah sumbu X, harus dipantulkan secara simetris terhadap sumbu X).
Contoh 2. Buat grafik fungsinya kamu = |x|.
Mari kita ambil grafik fungsinya kamu = x(Gbr. 50, a) dan bagian dari grafik ini di X< 0 (berbaring di bawah poros X) dipantulkan secara simetris terhadap sumbu X. Hasilnya, kita mendapatkan grafik fungsinya kamu = |x|(Gbr. 50, b).
Contoh 3. Buat grafik fungsinya kamu = |x 2 - 2x|.
Pertama, mari kita plot fungsinya kamu = x 2 - 2x. Grafik fungsi ini berbentuk parabola yang cabang-cabangnya mengarah ke atas, titik puncak parabola mempunyai koordinat (1; -1), grafiknya memotong sumbu x di titik 0 dan 2. Pada interval (0; 2) fungsi tersebut bernilai negatif, oleh karena itu bagian grafik ini tercermin secara simetris terhadap sumbu absis. Gambar 51 menunjukkan grafik fungsi kamu = |x 2 -2x|, berdasarkan grafik fungsinya kamu = x 2 - 2x
Grafik fungsi y = f(x) + g(x)
Pertimbangkan masalah membangun grafik suatu fungsi kamu = f(x) + g(x). jika grafik fungsi diberikan kamu = f(x) Dan kamu = g(x).
Perhatikan bahwa domain definisi fungsi y = |f(x) + g(x)| adalah himpunan semua nilai x yang kedua fungsi y = f(x) dan y = g(x) terdefinisi, yaitu domain definisi ini adalah perpotongan domain definisi, fungsi f(x) dan g(x).
Biarkan poinnya (x 0 , kamu 1) Dan (x 0, kamu 2) masing-masing termasuk dalam grafik fungsi kamu = f(x) Dan kamu = g(x), yaitu kamu 1 = f(x 0), kamu 2 = g(x 0). Maka titik (x0;.y1 + y2) termasuk dalam grafik fungsi tersebut kamu = f(x) + g(x)(untuk f(x 0) + g(x 0) = kamu 1 +y2),. dan titik mana pun pada grafik fungsi tersebut kamu = f(x) + g(x) dapat diperoleh dengan cara ini. Oleh karena itu, grafik fungsinya kamu = f(x) + g(x) dapat diperoleh dari grafik fungsi kamu = f(x). Dan kamu = g(x) mengganti setiap titik ( xn, kamu 1) grafik fungsi kamu = f(x) dot (x n, kamu 1 + kamu 2), Di mana kamu 2 = g(x n), yaitu dengan menggeser setiap titik ( x n, kamu 1) grafik fungsi kamu = f(x) sepanjang sumbu pada berdasarkan jumlah kamu 1 = g(x n). Dalam hal ini, hanya poin-poin tersebut yang dipertimbangkan X n yang kedua fungsinya didefinisikan kamu = f(x) Dan kamu = g(x).
Metode memplot suatu fungsi kamu = f(x) + g(x) disebut penjumlahan grafik fungsi kamu = f(x) Dan kamu = g(x)
Contoh 4. Pada gambar, grafik fungsi dibuat dengan menggunakan metode penjumlahan grafik
y = x + sinx.
Saat memplot suatu fungsi y = x + sinx kami memikirkan itu f(x) = x, A g(x) = sinx. Untuk memplot grafik fungsi, kita memilih titik dengan absis -1,5π, -, -0,5, 0, 0,5,, 1,5, 2. Nilai f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx Mari kita hitung pada titik-titik yang dipilih dan letakkan hasilnya di tabel.
Menjaga privasi Anda penting bagi kami. Karena alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan cara kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap tinjau praktik privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.
Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi
Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi atau menghubungi orang tertentu.
Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja saat Anda menghubungi kami.
Di bawah ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan cara kami menggunakan informasi tersebut.
Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:
- Saat Anda mengajukan permohonan di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat Anda Surel dll.
Cara kami menggunakan informasi pribadi Anda:
- Informasi pribadi yang kami kumpulkan memungkinkan kami menghubungi Anda dan memberi tahu Anda penawaran unik, promosi dan acara lainnya serta acara mendatang.
- Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan komunikasi penting.
- Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk keperluan internal, seperti melakukan audit, analisis data, dan berbagai penelitian guna meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberi Anda rekomendasi mengenai layanan kami.
- Jika Anda berpartisipasi dalam undian berhadiah, kontes, atau promosi serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk menyelenggarakan program tersebut.
Keterbukaan informasi kepada pihak ketiga
Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.
Pengecualian:
- Jika perlu, sesuai dengan hukum, prosedur peradilan, dalam proses hukum, dan/atau berdasarkan pertanyaan atau permintaan masyarakat agensi pemerintahan di wilayah Federasi Rusia - ungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menganggap bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk keamanan, penegakan hukum, atau tujuan kepentingan publik lainnya.
- Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga penerus yang berlaku.
Perlindungan informasi pribadi
Kami melakukan tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran tanpa izin.
Menghormati privasi Anda di tingkat perusahaan
Untuk memastikan informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan standar privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan menegakkan praktik privasi secara ketat.
Panjang ruas pada sumbu koordinat ditentukan dengan rumus:
Panjang suatu segmen pada bidang koordinat dicari dengan rumus:
Untuk mencari panjang suatu segmen dalam sistem koordinat tiga dimensi, gunakan rumus berikut:
Koordinat titik tengah ruas (untuk sumbu koordinat hanya digunakan rumus pertama, untuk bidang koordinat - dua rumus pertama, untuk sistem koordinat tiga dimensi - ketiga rumus) dihitung menggunakan rumus:
Fungsi– ini adalah formulir korespondensi kamu= F(X) antara besaran variabel, yang karenanya setiap besaran variabel dianggap sebagai nilai X(argumen atau variabel independen) sesuai dengan nilai tertentu variabel lain, kamu(variabel terikat, terkadang nilai ini disebut saja nilai fungsi). Perhatikan bahwa fungsi tersebut mengasumsikan satu nilai argumen X hanya satu nilai dari variabel terikat yang dapat bersesuaian pada. Namun nilainya sama pada dapat diperoleh dengan berbeda X.
Domain Fungsi– ini semua adalah nilai variabel independen (argumen fungsi, biasanya ini X), yang fungsinya didefinisikan, mis. maknanya ada. Area definisi ditunjukkan D(kamu). Secara umum, Anda sudah familiar dengan konsep ini. Domain suatu fungsi disebut juga domain nilai-nilai yang dapat diterima, atau ODZ, yang sudah lama bisa Anda temukan.
Rentang Fungsi- ini saja nilai yang mungkin variabel terikat dari fungsi ini. Ditunjuk E(pada).
Fungsi meningkat pada interval di mana nilai argumen yang lebih besar berhubungan dengan nilai fungsi yang lebih besar. Fungsinya semakin berkurang pada interval di mana nilai argumen yang lebih besar berhubungan dengan nilai fungsi yang lebih kecil.
Interval tanda konstan suatu fungsi- ini adalah interval variabel bebas di mana variabel terikat mempertahankan tanda positif atau negatifnya.
Fungsi nol– ini adalah nilai argumen yang nilai fungsinya sama dengan nol. Pada titik-titik tersebut, grafik fungsi memotong sumbu absis (sumbu OX). Seringkali, kebutuhan untuk menemukan nol suatu fungsi berarti kebutuhan untuk menyelesaikan persamaan tersebut. Selain itu, seringkali kebutuhan untuk menemukan interval keteguhan tanda berarti kebutuhan untuk menyelesaikan pertidaksamaan tersebut.
Fungsi kamu = F(X) disebut bahkan X
Artinya, untuk setiap nilai argumen yang berlawanan, nilai fungsi genapnya adalah sama. Jadwal bahkan berfungsi selalu simetris terhadap sumbu ordinat op-amp.
Fungsi kamu = F(X) disebut aneh, jika didefinisikan pada himpunan simetris dan untuk sembarang X dari domain definisi kesetaraan berlaku:
Artinya, untuk setiap nilai argumen yang berlawanan, nilai fungsi ganjil juga berlawanan. Grafik fungsi ganjil selalu simetris terhadap titik asal.
Jumlah akar-akar genap dan fungsi aneh(titik potong sumbu absis OX) selalu sama dengan nol, karena untuk setiap akar positif X memiliki akar negatif - X.
Penting untuk diperhatikan: beberapa fungsi tidak harus genap atau ganjil. Ada banyak fungsi yang tidak genap maupun ganjil. Fungsi seperti ini disebut fungsi pandangan umum , dan bagi mereka tidak ada persamaan atau properti yang diberikan di atas yang terpenuhi.
Fungsi linear adalah fungsi yang dapat diberikan dengan rumus:
Grafik fungsi linier berupa garis lurus dan secara umum terlihat seperti ini (contoh diberikan untuk kasus kapan k> 0, dalam hal ini fungsinya meningkat; untuk kesempatan ini k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):
Grafik fungsi kuadrat (Parabola)
Grafik parabola diberikan oleh fungsi kuadrat:
Fungsi kuadrat, seperti fungsi lainnya, memotong sumbu OX di titik-titik yang merupakan akar-akarnya: ( X 1 ; 0) dan ( X 2 ; 0). Jika tidak ada akar, maka fungsi kuadrat tidak memotong sumbu OX; jika hanya ada satu akar, maka pada titik ini ( X 0 ; 0) fungsi kuadrat hanya menyentuh sumbu OX tetapi tidak memotongnya. Fungsi kuadrat selalu memotong sumbu OY di suatu titik dengan koordinat: (0; C). Jadwal fungsi kuadrat(parabola) mungkin terlihat seperti ini (gambar menunjukkan contoh yang jauh dari lengkap jenis yang mungkin parabola):
Di mana:
- jika koefisien A> 0, dalam fungsi kamu = kapak 2 + bx + C, maka cabang-cabang parabola diarahkan ke atas;
- jika A < 0, то ветви параболы направлены вниз.
Koordinat titik puncak parabola dapat dihitung dengan menggunakan rumus berikut. X atasan (P- pada gambar di atas) parabola (atau titik di mana trinomial kuadrat mencapai nilai terbesar atau terkecil):
Atasan Igrek (Q- pada gambar diatas) parabola atau maksimal jika cabang parabola mengarah ke bawah ( A < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (A> 0), nilai trinomial kuadrat:
Grafik fungsi lainnya
Fungsi daya
Berikut beberapa contoh grafik fungsi pangkat:
Berbanding terbalik adalah fungsi yang diberikan oleh rumus:
Tergantung pada tanda nomornya k jadwal kembali ketergantungan proporsional mungkin punya dua pilihan mendasar:
Asimtot adalah garis yang grafik suatu fungsi mendekati tak terhingga tetapi tidak berpotongan. Asimtot untuk grafik proporsionalitas terbalik ditunjukkan pada gambar di atas adalah sumbu koordinat yang grafik fungsinya mendekati tak terhingga, tetapi tidak memotongnya.
Fungsi eksponensial dengan basis A adalah fungsi yang diberikan oleh rumus:
A Grafik fungsi eksponensial dapat memiliki dua opsi dasar (kami juga memberikan contohnya, lihat di bawah):
Fungsi logaritma adalah fungsi yang diberikan oleh rumus:
Tergantung apakah angkanya lebih besar atau kurang dari satu A Grafik fungsi logaritma dapat memiliki dua pilihan mendasar:
Grafik suatu fungsi kamu = |X| sebagai berikut:
Grafik fungsi periodik (trigonometri).
Fungsi pada = F(X) disebut berkala, jika ada bilangan bukan nol T, Apa F(X + T) = F(X), untuk siapa pun X dari domain fungsinya F(X). Jika fungsinya F(X) periodik dengan periode T, maka fungsinya:
Di mana: A, k, B adalah bilangan konstan, dan k tidak sama dengan nol, juga periodik dengan periode T 1, yang ditentukan dengan rumus:
Kebanyakan contoh fungsi periodik Ini adalah fungsi trigonometri. Berikut adalah grafik utamanya fungsi trigonometri. Gambar berikut menunjukkan bagian dari grafik fungsi kamu= dosa X(seluruh grafik berlanjut ke kiri dan kanan tanpa batas), grafik fungsi kamu= dosa X ditelepon sinusoidal:
Grafik suatu fungsi kamu= karena X ditelepon kosinus. Grafik ini ditunjukkan pada gambar berikut. Karena grafik sinus berlanjut tanpa batas sepanjang sumbu OX ke kiri dan ke kanan:
Grafik suatu fungsi kamu= tg X ditelepon tangentoid. Grafik ini ditunjukkan pada gambar berikut. Seperti grafik fungsi periodik lainnya, jadwal ini berulang tanpa batas sepanjang sumbu OX ke kiri dan kanan.
Dan terakhir, grafik fungsinya kamu=ctg X ditelepon kotangentoid. Grafik ini ditunjukkan pada gambar berikut. Seperti grafik fungsi periodik dan trigonometri lainnya, grafik ini berulang tanpa batas sepanjang sumbu OX ke kiri dan kanan.
Penerapan ketiga poin ini yang berhasil, rajin, dan bertanggung jawab akan memungkinkan Anda tampil di CT hasil yang luar biasa, semaksimal kemampuan Anda.
Menemukan kesalahan?
Jika Anda merasa telah menemukan kesalahan dalam materi pendidikan, lalu silakan tulis tentang hal itu melalui email. Anda juga dapat melaporkan bug ke jaringan sosial(). Dalam surat tersebut sebutkan mata pelajaran (fisika atau matematika), nama atau nomor topik atau ujian, nomor soal, atau tempat dalam teks (halaman) yang menurut Anda terdapat kesalahan. Jelaskan juga apa dugaan kesalahannya. Surat Anda tidak akan luput dari perhatian, kesalahannya akan diperbaiki, atau Anda akan dijelaskan mengapa itu bukan kesalahan.