Dalam menyelesaikan masalah pengendalian, termasuk komando dan kendali pasukan, beberapa masalah serupa sering muncul:

• nilai lebar pita arah komunikasi, persimpangan kereta api, rumah sakit, dll;
• penilaian efektivitas basis perbaikan;
• menentukan jumlah frekuensi untuk jaringan radio, dll.

Semua tugas ini serupa dalam artian melibatkan permintaan layanan yang sangat besar. Dalam memenuhi permintaan ini, serangkaian elemen tertentu terlibat, sehingga membentuk suatu sistem mengantri(SMO) (Gbr. 2.9).

Unsur-unsur QS adalah:

• masukan (masuk) aliran permintaan(permintaan) untuk layanan;
• perangkat layanan (saluran);
• antrian permohonan menunggu layanan;
• libur ( keluar) aliran aplikasi yang diproses;
• aliran aplikasi yang belum terlayani;
• antrian saluran gratis (untuk QS multi-saluran).

Aliran masuk adalah kumpulan permintaan layanan. Seringkali aplikasi diidentifikasikan dengan pembawanya. Misalnya, aliran peralatan radio rusak yang memasuki bengkel suatu asosiasi mewakili aliran permintaan – persyaratan layanan dalam QS ini.

Sebagai aturan, dalam praktiknya kita berurusan dengan apa yang disebut aliran berulang - aliran yang memiliki sifat-sifat berikut:

• stasioneritas;
• biasa;
• efek samping yang terbatas.

Kami mendefinisikan dua properti pertama sebelumnya. Adapun efek samping yang terbatas terletak pada kenyataan bahwa interval antara aplikasi yang masuk merupakan variabel acak independen.

Ada banyak thread yang berulang. Setiap hukum distribusi interval menghasilkan aliran berulangnya sendiri. Aliran berulang disebut juga aliran Palm.

Aliran tanpa efek samping sama sekali, sebagaimana telah disebutkan, disebut Poisson stasioner. Interval acak antar pesanan memiliki distribusi eksponensial:

inilah intensitas alirannya.

Nama alirannya - Poisson - berasal dari fakta bahwa untuk ini probabilitas aliran munculnya perintah selama interval ditentukan oleh hukum Poisson:

Aliran jenis ini, seperti disebutkan sebelumnya, disebut juga paling sederhana. Inilah aliran yang diasumsikan oleh para desainer ketika mengembangkan QS. Hal ini disebabkan oleh tiga alasan.

Pertama, aliran jenis ini serupa dalam teori antrian hukum biasa distribusi dalam teori probabilitas dalam arti bahwa aliran paling sederhana dicapai dengan melewati batas aliran yaitu jumlah aliran dengan karakteristik sewenang-wenang dengan peningkatan tak terhingga dan penurunan intensitasnya. Artinya, jumlah aliran independen sembarang (tanpa dominasi) dengan intensitas adalah aliran paling sederhana dengan intensitas

Kedua, jika saluran (perangkat) layanan dirancang untuk aliran permintaan yang paling sederhana, maka layanan jenis aliran lainnya (dengan intensitas yang sama) akan diberikan dengan efisiensi yang tidak kalah efisiennya.

Ketiga, justru aliran inilah yang menentukan proses Markov dalam sistem dan, oleh karena itu, kemudahan analisis analitis sistem. Untuk aliran lainnya, analisis fungsi QS sangatlah rumit.

Seringkali ada sistem di mana aliran permintaan masukan bergantung pada jumlah permintaan yang dilayani. SMO semacam itu disebut tertutup(jika tidak - membuka). Misalnya, pekerjaan lokakarya komunikasi asosiasi dapat direpresentasikan dengan model QS loop tertutup. Biarlah workshop ini ditujukan untuk melayani stasiun-stasiun radio yang tergabung dalam asosiasi. Masing-masing dari mereka punya tingkat kegagalan. Aliran masuk peralatan yang gagal akan memiliki intensitas sebagai berikut:

dimana banyaknya stasiun radio yang sudah ada di bengkel untuk diperbaiki.

Aplikasi mungkin memiliki kelayakan berbeda untuk memulai layanan. Dalam hal ini, mereka mengatakan bahwa aplikasi heterogen. Keunggulan beberapa alur aplikasi dibandingkan alur aplikasi lainnya ditentukan oleh skala prioritas.

Karakteristik penting dari aliran input adalah koefisien variasi:

Di mana - nilai yang diharapkan panjang interval;

Simpangan baku suatu variabel acak (panjang interval).

Untuk aliran paling sederhana

Untuk sebagian besar thread asli.

Ketika alirannya teratur, deterministik.

Koefisien variasi- karakteristik yang mencerminkan tingkat ketidakrataan dalam penerimaan lamaran.

Saluran layanan (perangkat). QS mungkin memiliki satu atau lebih perangkat layanan (saluran). Oleh karena itu, QS disebut saluran tunggal atau saluran ganda.

Banyak saluran QS dapat terdiri dari jenis perangkat yang sama atau berbeda. Perangkat servis dapat berupa:

• jalur komunikasi;
• teknisi perbaikan;
• landasan pacu;
• kendaraan;
• tempat berlabuh;
• penata rambut, penjual, dll.

Karakteristik utama suatu saluran adalah waktu layanan. Biasanya, waktu layanan adalah nilai acak.

Biasanya, praktisi percaya bahwa waktu pelayanan memiliki hukum distribusi eksponensial:

dimana intensitas pelayanan, ;

Ekspektasi matematis dari waktu pelayanan.

Artinya, proses pelayanannya adalah Markovian, dan ini, seperti yang kita ketahui sekarang, memberikan kemudahan yang signifikan dalam pemodelan matematika analitik.

Selain distribusi eksponensial, terdapat distribusi Erlang, distribusi hipereksponensial, distribusi segitiga, dan beberapa lainnya. Hal ini seharusnya tidak membingungkan kita, karena telah ditunjukkan bahwa nilai kriteria efisiensi QS sedikit bergantung pada jenis hukum distribusi probabilitas untuk waktu layanan.

Ketika mempelajari QS, hakikat pelayanan hilang dari pertimbangan, kualitas pelayanan.

Saluran bisa benar-benar dapat diandalkan, yaitu, tidak gagal. Atau lebih tepatnya, ini bisa diterima selama penelitian. Saluran mungkin punya keandalan tertinggi. Dalam hal ini, model QS jauh lebih rumit.

Antrian aplikasi. Karena sifat aliran permintaan dan layanan yang acak, permintaan yang masuk mungkin mendapati saluran sibuk melayani permintaan sebelumnya. Dalam hal ini, QS akan dibiarkan tidak terlayani atau tetap berada di sistem, menunggu layanannya dimulai. Sesuai dengan ini, ada:

• QS dengan kegagalan;
• SMO dengan antisipasi.

CMO dengan antisipasi ditandai dengan adanya antrian. Antrian dapat memiliki kapasitas terbatas atau tidak terbatas: .

Peneliti biasanya tertarik pada karakteristik statistik berikut yang terkait dengan tetapnya aplikasi dalam antrian:

• rata-rata jumlah lamaran dalam antrian selama interval penelitian;
• rata-rata waktu yang dihabiskan (menunggu) suatu aplikasi dalam antrian. QS dengan kapasitas antrian terbatas disebut sebagai QS tipe campuran.

Seringkali ada CMO yang memiliki aplikasi waktu yang terbatas dalam antrian terlepas dari kapasitasnya. QS semacam itu juga diklasifikasikan sebagai QS tipe campuran.

Aliran keluaran adalah aliran aplikasi yang dilayani meninggalkan QS.

Ada kasus ketika permintaan melewati beberapa QS: komunikasi transit, konveyor produksi, dll. Dalam hal ini, aliran keluar adalah aliran masuk untuk QS berikutnya. Satu set QS yang saling berhubungan secara berurutan disebut sistem antrian multifase atau jaringan QS.

Aliran masuk dari QS pertama, melewati QS berikutnya, terdistorsi dan ini mempersulit pemodelan. Namun, perlu diingat hal itu dengan aliran masukan paling sederhana dan layanan eksponensial (yaitu, dalam sistem Markov), aliran keluaran juga paling sederhana. Jika waktu pelayanan mempunyai distribusi non eksponensial, maka aliran keluar bukan hanya tidak paling sederhana, tetapi juga tidak berulang.

Perhatikan bahwa interval antara permintaan aliran keluar tidak sama dengan interval layanan. Lagi pula, mungkin setelah layanan berikutnya berakhir, QS menganggur selama beberapa waktu karena kurangnya aplikasi. Pada kasus ini

Teori singkat

Sebagai indikator efektivitas QS jika terjadi kegagalan, kami akan mempertimbangkan:

Kapasitas absolut QS, yaitu. jumlah rata-rata lamaran yang dilayani per satuan waktu;

Throughput relatif, mis. rata-rata pangsa aplikasi masuk yang dilayani oleh sistem;

Kemungkinan kegagalan, mis. bahwa permohonan akan membiarkan QS tidak terlayani;

Jumlah rata-rata saluran sibuk.

Mari kita pertimbangkan masalah klasik Erlang.

Ada saluran yang menerima aliran aplikasi dengan intensitas . Aliran layanan memiliki intensitas. Temukan probabilitas maksimum keadaan sistem dan indikator efisiensinya.

Sistem (SMO) memiliki negara bagian berikut(kami memberi nomor sesuai dengan jumlah permintaan dalam sistem): , di mana keadaan sistem ketika ada permintaan di dalamnya, yaitu saluran terisi.

Grafik keadaan QS sesuai dengan proses kematian dan reproduksi dan ditunjukkan pada gambar.

Aliran permintaan secara berurutan mentransfer sistem dari keadaan kiri mana pun ke keadaan kanan yang berdekatan dengan intensitas yang sama. Intensitas aliran layanan yang mentransfer sistem dari negara bagian kanan mana pun ke negara bagian kiri yang berdekatan terus berubah tergantung pada negara bagian tersebut. Memang benar, jika QS dalam keadaan (dua saluran sibuk), maka QS dapat beralih ke keadaan (satu saluran sibuk) ketika saluran pertama atau kedua selesai melayani, yaitu total intensitas aliran layanannya. akan . Demikian pula, total aliran layanan yang mentransfer QS dari keadaan (tiga saluran sibuk) ke akan memiliki intensitas, yaitu salah satu dari tiga saluran dapat dilepaskan, dan seterusnya.

Untuk skema kematian dan reproduksi, kita peroleh untuk probabilitas maksimum keadaan:

di mana suku perluasannya adalah koefisien dalam ekspresi probabilitas marjinal. Besarnya

disebut intensitas aliran permintaan berkurang atau intensitas beban saluran. Ini menyatakan jumlah rata-rata permintaan yang diterima selama waktu rata-rata melayani satu permintaan. Sekarang:

Rumus probabilitas marjinal terbaru disebut rumus Erlang untuk menghormati pendiri teori antrian.

Probabilitas kegagalan QS adalah probabilitas maksimum seluruh saluran sistem akan sibuk, yaitu:

Throughput relatif – kemungkinan permintaan akan dilayani:

Throughput absolut:

Jumlah rata-rata saluran yang terisi adalah ekspektasi matematis dari jumlah saluran yang terisi:

di mana adalah probabilitas pembatas suatu negara

Namun, jumlah rata-rata saluran yang terisi dapat diketahui dengan lebih mudah jika kita menganggap bahwa throughput absolut sistem tidak lebih dari intensitas aliran permintaan yang dilayani oleh sistem (per satuan waktu). Karena setiap saluran sibuk melayani permintaan rata-rata (per satuan waktu), jumlah rata-rata saluran sibuk adalah:

Contoh penyelesaian masalah

Tugas

Kontrol produk jadi Perusahaan dijalankan oleh tiga pengontrol. Jika produk tiba untuk diperiksa ketika semua pemeriksa sedang sibuk memeriksa produk jadi, maka tetap tidak terverifikasi. Rata-rata jumlah produk yang dihasilkan perusahaan adalah 20 item/jam. Rata-rata waktu pengecekan satu produk adalah 7 menit.

Menentukan indikator kinerja departemen pengendalian teknis. Berapa banyak pengontrol yang harus dipasang untuk memastikan probabilitas layanan minimal 97%?

Apakah Anda menemukan diri Anda di halaman ini mencoba memecahkan masalah untuk ujian atau ulangan? Jika Anda masih belum bisa lulus ujian, lain kali sepakati terlebih dahulu di website tentang bantuan online tentang metode solusi optimal.

Solusi dari masalah tersebut

Pengendalian adalah sistem antrian multi saluran terbuka dengan penolakan layanan.

Mari kita pilih jam sebagai satuan waktu. Kita asumsikan bahwa kontrol beroperasi dalam keadaan stabil. Sesuai dengan kondisi permasalahannya

– jumlah saluran layanan

Produk per jam – intensitas aliran aplikasi

Produk per jam – intensitas aliran layanan

Mari kita hitung intensitas relatif transisi dari satu negara bagian ke negara bagian lainnya:

Mari kita hitung:

Kemungkinan kegagalan:

Kemungkinan layanan

Throughput sistem absolut:

– jumlah rata-rata permintaan yang dilayani oleh sistem per unit waktu.

Jumlah rata-rata saluran yang melayani aplikasi:

Mari kita hitung berapa banyak pengontrol yang perlu dipasang agar probabilitas servis minimal 97%:

Jadi, agar probabilitas pelayanan minimal 97%, diperlukan 6 pengontrol.

Rata-rata biaya solusi pekerjaan tes 700 - 1200 rubel (tetapi tidak kurang dari 300 rubel untuk seluruh pesanan). Harga sangat dipengaruhi oleh urgensi keputusan (dari sehari hingga beberapa jam). Biaya bantuan online untuk ujian/tes mulai dari 1000 rubel. untuk memecahkan tiket.

Anda dapat meninggalkan permintaan langsung di obrolan, setelah sebelumnya mengirimkan ketentuan tugas dan memberi tahu Anda tentang tenggat waktu penyelesaian yang Anda perlukan. Waktu respons adalah beberapa menit.

Contoh masalah terkait

QS dengan antrian tidak terbatas
Informasi teoritis yang diperlukan dan contoh solusi untuk masalah pada topik "Sistem antrian multi-saluran dengan antrian tidak terbatas" disediakan; indikator sistem antrian multi-saluran (QS) dengan menunggu layanan dibahas secara rinci - the rata-rata jumlah saluran yang ditempati dalam melayani suatu pesanan, panjang antrian, peluang terbentuknya antrian, peluang keadaan bebas sistem, rata-rata waktu tunggu dalam antrian.

Masalah alokasi sumber daya yang optimal
Prinsip dasar pemrograman dinamis (perencanaan dinamis) diuraikan secara singkat dan persamaan Bellman dipertimbangkan. Masalah distribusi sumber daya yang optimal antar perusahaan diselesaikan secara rinci.

Metode pengali Lagrange
Halaman tersebut membahas lokasi ekstrem bersyarat Metode pengali Lagrange. Konstruksi fungsi Lagrange ditunjukkan dengan menggunakan contoh penyelesaian masalah pemrograman nonlinier. Pemecahan masalah didahului dengan teori singkat.

Vektor konsumsi akhir dan vektor output kotor
Dengan menggunakan contoh pemecahan masalah, model intersektoral Leontiev dipertimbangkan. Perhitungan matriks koefisien biaya bahan langsung, matriks “input-output”, matriks koefisien biaya tidak langsung, vektor konsumsi akhir dan output kotor ditampilkan.

Contoh pemecahan masalah sistem antrian

Anda perlu menyelesaikan soal 1–3. Data awal diberikan dalam tabel. 2–4.

Beberapa notasi yang digunakan dalam teori antrian untuk rumus:

n – jumlah saluran di QS;

λ – intensitas aliran permintaan masuk P di;

v – intensitas aliran keluar permintaan P keluar;

μ – intensitas aliran layanan P ob;

ρ – indikator beban sistem (lalu lintas);

M - jumlah maksimum tempat dalam antrian, membatasi panjang antrian lamaran;

i – jumlah sumber aplikasi;

p k – probabilitas keadaan sistem ke-k;

p o – kemungkinan menganggurnya seluruh sistem, yaitu kemungkinan semua saluran bebas;

p syst – kemungkinan penerimaan aplikasi ke dalam sistem;

p penolakan – kemungkinan penolakan aplikasi untuk diterima ke dalam sistem;

p ob – kemungkinan aplikasi akan dilayani;

A adalah kapasitas absolut sistem;

Q – kapasitas sistem relatif;

Och – jumlah rata-rata aplikasi dalam antrian;

Tentang – jumlah rata-rata permintaan yang dilayani;

Syst – jumlah rata-rata aplikasi dalam sistem;

Och – waktu tunggu rata-rata untuk suatu aplikasi dalam antrian;

Tentang – waktu rata-rata untuk melayani aplikasi, hanya berkaitan dengan aplikasi yang dilayani;

Sys adalah waktu rata-rata aplikasi tetap berada di sistem;

Ож – batas waktu rata-rata menunggu aplikasi dalam antrian;

– jumlah rata-rata saluran yang ditempati.

Throughput absolut QS A adalah jumlah rata-rata permintaan yang dapat dilayani sistem per unit waktu.

Kapasitas relatif QS Q adalah rasio rata-rata jumlah aplikasi yang dilayani oleh sistem per satuan waktu dengan jumlah rata-rata aplikasi yang diterima selama ini.

Saat menyelesaikan masalah antrian, Anda harus mengikuti urutan berikut:

1) penentuan jenis QS sesuai tabel. 4.1;

2) pemilihan rumus sesuai dengan jenis QS;

3) pemecahan masalah;

4) merumuskan kesimpulan atas masalah.

1. Skema kematian dan reproduksi. Kita tahu bahwa, dengan grafik keadaan berlabel, kita dapat dengan mudah menulis persamaan Kolmogorov untuk probabilitas keadaan, dan juga menulis dan menyelesaikan persamaan aljabar untuk probabilitas akhir. Untuk beberapa kasus, persamaan terakhir dimungkinkan

putuskan terlebih dahulu, dalam bentuk surat. Secara khusus, hal ini dapat dilakukan jika grafik keadaan sistem adalah apa yang disebut “skema kematian dan reproduksi”.

Grafik keadaan skema kematian dan reproduksi memiliki bentuk seperti pada Gambar. 19.1. Keunikan grafik ini adalah bahwa semua keadaan sistem dapat ditarik ke dalam satu rantai, di mana masing-masing keadaan rata-rata ( S 1 , S 2 ,…,S n-1) dihubungkan secara langsung dan panah terbalik dengan masing-masing negara bagian tetangga - kanan dan kiri, dan negara bagian ekstrem (S 0 , S n) - dengan hanya satu negara tetangga. Istilah “skema kematian dan reproduksi” berasal dari permasalahan biologis, dimana skema serupa menggambarkan perubahan ukuran populasi.

Skema kematian dan reproduksi sangat sering ditemukan dalam berbagai permasalahan praktis, khususnya dalam teori antrian, sehingga berguna untuk selamanya mencari probabilitas akhir keadaan untuk skema tersebut.

Mari kita asumsikan bahwa semua aliran peristiwa yang mentransfer sistem sepanjang panah grafik adalah yang paling sederhana (untuk singkatnya, kita juga akan menyebut sistem tersebut S dan proses yang terjadi di dalamnya adalah yang paling sederhana).

Menggunakan grafik pada Gambar. 19.1, kita akan menyusun dan menyelesaikan persamaan aljabar untuk probabilitas akhir suatu keadaan), keberadaannya mengikuti fakta bahwa dari setiap keadaan seseorang dapat berpindah ke satu sama lain, dalam sejumlah keadaan yang terbatas). Untuk negara bagian pertama S 0 kita punya:

(19.1)

Untuk negara bagian kedua S1:

Berdasarkan (19.1), persamaan terakhir direduksi menjadi bentuk

Di mana k menerima semua nilai dari 0 hingga P. Jadi, kemungkinan akhirnya hal 0 , hal 1 ,..., p n memenuhi persamaannya

(19.2)

Selain itu, perlu memperhatikan kondisi normalisasi

P 0 + P 1 + P 2 +…+ P n =1. (19.3)

Mari kita selesaikan sistem persamaan ini. Dari persamaan pertama (19.2) kita nyatakan P 1 sampai R 0 :

P 1 = P 0. (19.4)

Dari persamaan kedua, dengan mempertimbangkan (19.4), kita memperoleh:

(19.5)

Dari yang ketiga, dengan mempertimbangkan (19.5),

(19.6)

dan secara umum, untuk siapa saja k(dari 1 sampai N):

(19.7)

Mari kita perhatikan rumus (19.7). Pembilangnya adalah hasil kali semua intensitas pada panah yang mengarah dari kiri ke kanan (dari awal hingga keadaan tertentu S k), dan dalam penyebutnya - hasil kali semua intensitas pada panah yang mengarah dari kanan ke kiri (dari awal hingga Sk).

Jadi, semua probabilitas negara R 0 , P 1 , ..., hal diungkapkan melalui salah satunya ( R 0). Mari kita substitusikan ekspresi ini ke dalam kondisi normalisasi (19.3). Kami mendapatkannya dengan mengeluarkannya dari tanda kurung R 0:

dari sini kita mendapatkan ekspresi untuk R 0 :

(kami menaikkan tanda kurung ke pangkat -1 agar tidak menulis pecahan dua tingkat). Semua probabilitas lainnya dinyatakan melalui R 0 (lihat rumus (19.4) - (19.7)). Perhatikan bahwa koefisien untuk R 0 pada masing-masingnya tidak lebih dari suku-suku yang berurutan dari deret demi satu dalam rumus (19.8). Jadi, menghitung R 0 , kami telah menemukan semua koefisien ini.

Rumus yang dihasilkan sangat berguna dalam menyelesaikan permasalahan teori antrian yang paling sederhana.

^2.Rumus kecil. Sekarang kita akan menghasilkan satu rumus penting, menghubungkan (untuk mode stasioner pembatas) jumlah rata-rata permintaan L sistem yang terletak di sistem antrian (yaitu, sedang dilayani atau berdiri dalam antrian), dan waktu rata-rata permintaan tetap berada di sistem W sistem.

Mari kita pertimbangkan QS apa pun (saluran tunggal, multi-saluran, Markov, non-Markov, dengan antrian tidak terbatas atau terbatas) dan dua aliran peristiwa yang terkait dengannya: aliran permintaan yang tiba di QS, dan aliran permintaan yang keluar QS. Jika mode stasioner pembatas telah ditetapkan dalam sistem, maka jumlah rata-rata aplikasi yang tiba di QS per satuan waktu sama dengan jumlah rata-rata aplikasi yang keluar: kedua aliran memiliki intensitas yang sama.

Mari kita nyatakan: X(t) - jumlah lamaran yang sampai di QS sampai saat ini T. Y(T) - sejumlah lamaran yang keluar dari CMO

sampai saat ini T. Kedua fungsi tersebut bersifat acak dan berubah secara tiba-tiba (bertambah satu) saat pesanan tiba (X(T)) dan penarikan aplikasi (Y(t)). Jenis fungsi X(t) dan Y(t) ditunjukkan pada Gambar. 19.2; kedua garis diinjak, yang paling atas X(t), lebih rendah- kamu(t). Tentu saja, untuk momen apa pun T perbedaan mereka Z(T)= X(t) - Y(t) tidak lebih dari jumlah lamaran di CMO. Ketika garis X(t) Dan kamu(t) digabungkan, tidak ada aplikasi dalam sistem.

Pertimbangkan jangka waktu yang sangat lama T(secara mental melanjutkan grafik jauh melampaui gambar) dan menghitung jumlah rata-rata penerapan di QS. Ini akan sama dengan integral dari fungsinya Z(t) pada interval ini dibagi dengan panjang interval T:

L sistem. = . (19.9) o

Tetapi integral ini tidak lebih dari luas bangun yang diarsir pada Gambar. 19.2. Mari kita perhatikan baik-baik gambar ini. Bangun tersebut terdiri dari persegi panjang yang masing-masing mempunyai tinggi sama dengan satu, dan basis yang sama dengan waktu yang dihabiskan aplikasi terkait (pertama, kedua, dst.) dalam sistem. Mari kita tentukan waktu-waktu ini t 1, t 2,... Benar, di akhir interval T beberapa persegi panjang akan masuk ke dalam gambar yang diarsir tidak seluruhnya, tetapi sebagian, tetapi dengan ukuran yang cukup besar T hal-hal kecil ini tidak akan menjadi masalah. Jadi, kita dapat berasumsi demikian

(19.10)

dimana jumlah tersebut berlaku untuk semua permohonan yang diterima selama ini T.

Bagilah sisi kanan dan kiri (.19.10) dengan panjang intervalnya T. Kami memperoleh, dengan mempertimbangkan (19.9),

L sistem. = . (19.11)

Bagilah dan gandakan sisi kanan(19.11) untuk intensitas X:

L sistem. = .

Tapi besarnya Untuk tidak lebih dari jumlah rata-rata lamaran yang diterima dari waktu ke waktu ^ T. Jika kita membagi jumlah semua waktu itu saya dengan jumlah rata-rata aplikasi, kita mendapatkan waktu rata-rata aplikasi tetap berada di sistem W sistem. Jadi,

L sistem. = λ W sistem. ,

W sistem. = . (19.12)

Ini adalah formula Little yang luar biasa: untuk QS apa pun, untuk segala sifat aliran permintaan, untuk distribusi waktu layanan apa pun, untuk disiplin layanan apa pun waktu rata-rata suatu aplikasi berada dalam sistem sama dengan jumlah rata-rata aplikasi dalam sistem dibagi dengan intensitas aliran aplikasi.

Dengan cara yang persis sama, rumus Little yang kedua diturunkan, yang menghubungkan waktu rata-rata suatu aplikasi berada dalam antrian ^Bagus sekali dan jumlah rata-rata aplikasi dalam antrian L Poin:

W oh = . (19.13)

Untuk keluarannya saja sudah cukup, bukan garis bawah pada Gambar. 19.2 mengambil fungsi kamu(t)- jumlah aplikasi yang tersisa sebelumnya T bukan dari sistem, tapi dari antrian (jika aplikasi yang masuk ke sistem tidak masuk ke antrian, tapi langsung masuk ke layanan, kita masih bisa berasumsi masuk ke antrian, tapi tidak menghabiskan waktu di dalamnya).

Rumus Little (19.12) dan (19.13) berperan besar dalam teori antrian. Sayangnya, di sebagian besar manual yang ada, rumus-rumus ini (terbukti di pandangan umum relatif baru) tidak diberikan 1).

§ 20. Sistem antrian paling sederhana dan karakteristiknya

Pada bagian ini kita akan melihat beberapa QS paling sederhana dan mendapatkan ekspresi untuk karakteristiknya (indikator kinerja). Pada saat yang sama, kami akan mendemonstrasikan teknik metodologis utama yang menjadi ciri teori antrian dasar “Markov”. Kami tidak akan mengejar jumlah sampel QS yang akan kami kembangkan ekspresi akhir karakteristik; Buku ini bukanlah buku referensi tentang teori antrian (peran ini lebih baik dipenuhi dengan manual khusus). Tujuan kami adalah untuk mengenalkan pembaca pada beberapa “trik kecil” yang mempermudah jalan melalui teori antrian, yang dalam sejumlah buku yang ada (bahkan yang berpura-pura populer) mungkin tampak seperti serangkaian contoh yang tidak koheren.

Pada bagian ini, kami akan mempertimbangkan semua aliran peristiwa yang mentransfer QS dari satu negara ke negara lain menjadi yang paling sederhana (tanpa menetapkannya secara spesifik setiap saat). Diantaranya adalah apa yang disebut “aliran layanan”. Ini mengacu pada aliran permintaan yang dilayani oleh satu saluran yang terus sibuk. Dalam aliran ini, interval antar peristiwa, seperti biasa dalam aliran yang paling sederhana, memiliki distribusi eksponensial (dalam banyak manual mereka malah mengatakan: “waktu layanan adalah eksponensial”; kami sendiri akan menggunakan istilah ini di masa mendatang).

1) Dalam sebuah buku populer, diberikan turunan rumus Little yang sedikit berbeda dibandingkan dengan yang di atas. Secara umum, pengenalan buku ini (“Percakapan Kedua”) berguna untuk pengenalan awal teori antrian.

Pada bagian ini, distribusi waktu layanan secara eksponensial tidak perlu diragukan lagi, seperti biasa untuk sistem yang “paling sederhana”.

Kami akan memperkenalkan karakteristik kinerja QS yang sedang dipertimbangkan saat kami melanjutkan.

^ 1. P-sistem antrian saluran dengan kegagalan(Masalah Erlang). Di sini kita akan membahas salah satu masalah “klasik” pertama dalam teori antrian;

masalah ini muncul dari kebutuhan praktis telepon dan diselesaikan pada awal abad ini oleh ahli matematika Denmark Erlant. Permasalahannya dinyatakan sebagai berikut: ada P saluran (jalur komunikasi) yang menerima aliran permintaan dengan intensitas λ. Alur pelayanan mempunyai intensitas μ (kebalikan dari waktu pelayanan rata-rata T tentang). Temukan probabilitas akhir dari status QS, serta karakteristik efektivitasnya:

^SEBUAH - throughput absolut, yaitu jumlah rata-rata aplikasi yang dilayani per satuan waktu;

Q- throughput relatif, yaitu rata-rata pangsa aplikasi masuk yang dilayani oleh sistem;

^ P terbuka- kemungkinan penolakan, yaitu permohonan akan membiarkan QS tidak terlayani;

k- jumlah rata-rata saluran sibuk.

Larutan. Status sistem ^S(SMO) akan diberi nomor sesuai dengan jumlah aplikasi dalam sistem (in pada kasus ini itu bertepatan dengan jumlah saluran yang ditempati):

S 0 - tidak ada satu pun aplikasi di CMO,

S 1 - ada satu permintaan di QS (satu saluran terisi, sisanya gratis),

Sk - terletak di SMO k aplikasi ( k saluran sudah terisi, sisanya gratis),

S n - terletak di SMO P aplikasi (semua N saluran sedang sibuk).

Grafik keadaan SMO sesuai dengan pola kematian selama reproduksi (Gbr. 20.1). Mari tandai grafik ini - tandai intensitas aliran peristiwa di sebelah panah. Dari S 0 masuk S 1 sistem ditransfer oleh aliran permintaan dengan intensitas λ (segera setelah permintaan tiba, sistem melompat dari S 0 V S 1). Alur aplikasi yang sama diterjemahkan

Sistem dari negara bagian kiri mana pun ke negara bagian kanan yang berdekatan (lihat panah atas pada Gambar 20.1).

Mari kita letakkan intensitasnya di panah bawah. Biarkan sistem berada dalam keadaan ^S 1 (satu saluran berfungsi). Ini menghasilkan layanan μ per satuan waktu. Tempatkan di panah S 1 →S 0 intensitas μ. Sekarang bayangkan sistem berada dalam keadaan S 2(dua saluran berfungsi). Agar dia bisa pergi ke S1, saluran pertama atau saluran kedua harus selesai diservis; total intensitas aliran layanannya adalah 2μ; Kami meletakkannya di sebelah panah yang sesuai. Total aliran layanan yang disediakan oleh ketiga saluran memiliki intensitas 3μ, k saluran - kμ. Kami menandai intensitas ini di panah bawah pada Gambar. 20.1.

Dan sekarang, mengetahui semua intensitasnya, kita akan menggunakan rumus yang sudah jadi (19.7), (19.8) untuk probabilitas akhir dalam skema kematian dan reproduksi. Dengan menggunakan rumus (19.8) kita memperoleh:

Ketentuan perluasan akan menjadi koefisien untuk hal 0 dalam ekspresi untuk hal 1

Perhatikan bahwa dalam rumus (20.1), (20.2) intensitas λ dan μ tidak dimasukkan secara terpisah, tetapi hanya dalam bentuk rasio λ/μ. Mari kita tunjukkan

λ/μ = ρ (20,3)

Dan kita akan menyebut nilai p sebagai “berkurangnya intensitas aliran aplikasi”. Artinya adalah rata-rata jumlah permintaan yang diterima selama rata-rata waktu melayani satu permintaan. Dengan menggunakan notasi ini, kita menulis ulang rumus (20.1), (20.2) menjadi:

Rumus (20.4), (20.5) untuk probabilitas akhir suatu keadaan disebut rumus Erlang - untuk menghormati pendiri teori antrian. Sebagian besar rumus lain dari teori ini (saat ini jumlahnya lebih banyak daripada jamur di hutan) tidak memiliki nama khusus.

Dengan demikian, kemungkinan akhir telah ditemukan. Dengan menggunakannya, kami akan menghitung karakteristik kinerja QS. Pertama kita akan menemukannya ^ P terbuka. - kemungkinan permohonan yang masuk akan ditolak (tidak akan dilayani). Untuk ini, semuanya perlu P saluran sedang sibuk, yang artinya

R terbuka = R n = . (20.6)

Dari sini kita menemukan throughput relatif - kemungkinan bahwa permintaan akan dilayani:

Q = 1 – P membuka = 1 - (20.7)

Kita memperoleh throughput absolut dengan mengalikan intensitas aliran permintaan λ dengan Q:

SEBUAH = λQ = λ . (20.8)

Yang tersisa hanyalah menemukan jumlah rata-rata saluran yang ditempati k. Nilai ini dapat ditemukan “secara langsung”, sebagai ekspektasi matematis dari variabel acak diskrit dengan nilai yang mungkin 0, 1, ..., P dan probabilitas nilai-nilai ini p 0 p 1 , ..., p n:

k = 0 · hal 0 + 1 · hal 1 + 2 · hal 2 + ... + hal · hal.

Mengganti ekspresi (20.5) di sini untuk R k, (k = 0, 1, ..., P) dan melakukan transformasi yang sesuai, pada akhirnya kita akan mendapatkan rumus yang tepat k. Namun kita akan memperolehnya dengan lebih sederhana (ini dia, salah satu “trik kecil”!) Faktanya, kita mengetahui throughput absolutnya. A. Ini tidak lebih dari intensitas aliran aplikasi yang dilayani oleh sistem. Setiap i.sal yang sibuk melayani rata-rata |l permintaan per unit waktu. Artinya rata-rata jumlah saluran yang ditempati adalah

k = SEBUAH/μ, (20.9)

atau, dengan mempertimbangkan (20.8),

k = (20.10)

Kami menyarankan agar pembaca menyelesaikan sendiri contohnya. Ada stasiun komunikasi dengan tiga saluran ( N= 3), intensitas aliran aplikasi λ = 1,5 (aplikasi per menit); waktu rata-rata untuk melayani satu permintaan T rev = 2 (min.), semua alur peristiwa (seperti di seluruh paragraf ini) adalah yang paling sederhana. Temukan probabilitas akhir keadaan dan karakteristik efektivitas QS: A, Q, P membuka, k. Untuk jaga-jaga, inilah jawabannya: P 0 = 1/13, P 1 = 3/13, P 2 = 9/26, hal 3 = 9/26 ≈ 0,346,

A≈ 0,981, Q ≈ 0,654, P tidak ≈ 0,346, k ≈ 1,96.

Omong-omong, dari jawabannya jelas bahwa QS kami kelebihan beban secara signifikan: dari tiga saluran, rata-rata, sekitar dua terisi, dan dari aplikasi yang masuk, sekitar 35% masih belum terlayani. Kami mengajak pembaca, jika penasaran dan tidak malas, untuk mencari tahu: berapa saluran yang dibutuhkan untuk memenuhi setidaknya 80% permintaan masuk? Dan berapa banyak saluran yang tidak digunakan?

Sudah ada beberapa petunjuknya optimasi. Padahal, pemeliharaan setiap saluran per satuan waktu memerlukan biaya yang cukup besar. Pada saat yang sama, setiap aplikasi yang dilayani menghasilkan sejumlah pendapatan. Mengalikan pendapatan ini dengan jumlah rata-rata lamaran A, dilayani per satuan waktu, kita akan menerima pendapatan rata-rata dari CMO per satuan waktu. Tentu saja, seiring bertambahnya jumlah saluran, pendapatan ini meningkat, namun biaya yang terkait dengan pemeliharaan saluran juga meningkat. Apa yang lebih penting - peningkatan pendapatan atau pengeluaran? Itu tergantung pada ketentuan pengoperasian, “biaya layanan aplikasi” dan biaya pemeliharaan saluran. Mengetahui nilai-nilai ini, Anda dapat menemukan jumlah saluran optimal dan paling hemat biaya. Kami tidak akan menyelesaikan masalah seperti itu, menyerahkannya kepada “pembaca yang tidak malas dan penasaran” untuk memberikan contoh dan menyelesaikannya. Secara umum, menciptakan masalah berkembang lebih dari sekadar menyelesaikan masalah yang sudah diajukan oleh seseorang.

^ 2. QS saluran tunggal dengan antrian tidak terbatas. Dalam praktiknya, sangat umum ditemukan layanan medis saluran tunggal dengan antrian (dokter yang melayani pasien; telepon umum dengan satu bilik; komputer yang menjalankan perintah pengguna). Dalam teori antrian, QS saluran tunggal dengan antrian juga menempati tempat khusus (sebagian besar rumus analitik yang diperoleh sejauh ini untuk sistem non-Markov termasuk dalam QS tersebut). Oleh karena itu, kami akan memberikan perhatian khusus pada QS saluran tunggal dengan antrian.

Misalkan ada QS saluran tunggal dengan antrian yang tidak dikenakan batasan (baik panjang antrian, maupun waktu tunggu). QS ini menerima aliran permintaan dengan intensitas λ ; aliran layanan memiliki intensitas μ, kebalikan dari waktu layanan permintaan rata-rata T tentang. Diperlukan untuk menemukan probabilitas akhir dari status QS, serta karakteristik efektivitasnya:

L sistem. - jumlah rata-rata aplikasi dalam sistem,

W sistem. - waktu rata-rata aplikasi tetap berada di sistem,

^ L oh- jumlah rata-rata aplikasi dalam antrian,

W sangat bagus - waktu rata-rata yang dihabiskan aplikasi dalam antrian,

P zan - kemungkinan saluran sedang sibuk (beban saluran).

Mengenai throughput absolut A dan relatif Q, maka tidak perlu menghitungnya:

karena antriannya tidak terbatas, cepat atau lambat setiap aplikasi akan dilayani SEBUAH = λ, untuk alasan yang sama Q = 1.

Larutan. Seperti sebelumnya, kami akan memberi nomor status sistem sesuai dengan jumlah aplikasi di QS:

S 0 - salurannya gratis,

S 1 - saluran sibuk (melayani permintaan), tidak ada antrian,

S 2 - saluran sibuk, satu permintaan sedang dalam antrian,

S k - saluran sedang sibuk, k- 1 aplikasi sedang dalam antrian,

Secara teori, jumlah negara bagian tidak terbatas (infinite). Grafik keadaan memiliki bentuk yang ditunjukkan pada Gambar. 20.2. Ini adalah skema kematian dan reproduksi, tetapi dengan jumlah negara bagian yang tidak terbatas. Sepanjang semua panah, aliran permintaan dengan intensitas λ menggerakkan sistem dari kiri ke kanan, dan dari kanan ke kiri - aliran layanan dengan intensitas μ.

Pertama-tama, mari kita bertanya pada diri kita sendiri, apakah ada kemungkinan akhir dalam kasus ini? Bagaimanapun, jumlah keadaan sistem tidak terbatas, dan, pada prinsipnya, kapan t → ∞ Antriannya bisa bertambah tanpa batas! Ya, begitulah adanya: probabilitas akhir untuk QS seperti itu tidak selalu ada, tetapi hanya jika sistem tidak kelebihan beban. Dapat dibuktikan bahwa jika ρ kurang dari satu (ρ< 1), то финальные вероятности существуют, а при ρ ≥ 1 очередь при T→ ∞ tumbuh tanpa batas. Fakta ini tampaknya sangat “tidak dapat dipahami” ketika ρ = 1. Tampaknya tidak ada persyaratan yang mustahil yang dikenakan pada sistem: selama melayani satu permintaan, rata-rata satu permintaan tiba, dan semuanya harus beres, tetapi pada kenyataannya tidak demikian. Ketika ρ = 1, QS mengatasi aliran permintaan hanya jika aliran ini teratur, dan waktu layanan juga tidak acak, sama dengan interval antar permintaan. Dalam kasus “ideal” ini, tidak akan ada antrian sama sekali, saluran akan terus sibuk dan akan secara teratur mengeluarkan permintaan layanan. Namun begitu aliran aplikasi atau aliran layanan menjadi sedikit acak, antrian akan bertambah tanpa batas. Dalam praktiknya, hal ini tidak terjadi hanya karena “aplikasi dalam antrean dalam jumlah tak terbatas” adalah sebuah abstraksi. Ini adalah kesalahan besar yang dapat diakibatkan oleh penggantian variabel acak dengan ekspektasi matematisnya!

Tapi mari kita kembali ke QS saluran tunggal kita dengan antrian tidak terbatas. Sebenarnya, kita memperoleh rumus probabilitas akhir dalam skema kematian dan reproduksi hanya untuk kasus sejumlah negara bagian yang terbatas, tetapi mari kita bebas menggunakannya untuk negara bagian yang jumlahnya tidak terbatas. Mari kita hitung probabilitas akhir suatu keadaan menggunakan rumus (19.8), (19.7). Dalam kasus kita, jumlah suku dalam rumus (19.8) tidak terbatas. Kami memperoleh ekspresi untuk hal 0:

P 0 = -1 =

= (1 + р + р 2 + ... + р k +….) -1 . (20.11)

Deret pada rumus (20.11) merupakan barisan geometri. Kita tahu itu untuk ρ< 1 ряд сходится - это бесконечно убывающая perkembangan geometri dengan penyebut p. Untuk p ≥ 1, deretnya divergen (yang merupakan bukti tidak langsung, meskipun tidak tegas, bahwa probabilitas akhir suatu keadaan hal 0 , hal 1 , ..., hal k , ... hanya ada di hal<1). Теперь предположим, что это условие выполнено, и ρ <1. Суммируя прогрессию в (20.11), имеем

1 + ρ + ρ 2 + ... + ρ k + ... = ,

P 0 = 1 - ρ. (20.12)

Kemungkinan r 1, r 2, ..., rk,... akan ditemukan menggunakan rumus:

hal 1 = ρ hal 0 , hal 2= ρ 2 p 0 ,…,p k = ρ hal 0, ...,

Dari mana, dengan memperhitungkan (20.12), kita akhirnya menemukan:

hal 1= ρ (1 - ρ), hal2= ρ 2 (1 - ρ), . . . , p k =ρ k(1 - ρ), . . .(20.13)

Seperti yang Anda lihat, kemungkinannya hal 0, hal 1, ..., hal,... membentuk barisan geometri dengan penyebut p. Anehnya, maksimalnya hal 0 - kemungkinan saluran tersebut akan sepenuhnya gratis. Tidak peduli seberapa dimuatnya suatu sistem dengan antrian, apakah sistem tersebut dapat mengatasi aliran permintaan (ρ<1), самое вероятное число заявок в системе будет 0.

Mari kita cari jumlah rata-rata lamaran ke CMO ^ sistem L. . Di sini Anda harus bermain-main sedikit. Nilai acak Z- jumlah aplikasi dalam sistem - memiliki kemungkinan nilai 0, 1, 2, .... oke, ... dengan probabilitas hal 0, hal 1, hal 2, ..., hal k, ... Harapan matematisnya adalah

L sistem = 0 · hal 0 + 1 · P 1+2 P 2 +…+k · P k +…= (20.14)

(jumlahnya diambil bukan dari 0 sampai ∞, tetapi dari 1 sampai ∞, karena suku nol sama dengan nol).

Mari kita substitusikan ke dalam rumus (20.14) ekspresi untuk hal (20.13):

L sistem. =

Sekarang mari kita keluarkan ρ (1-ρ) dari tanda penjumlahan:

L sistem. = ρ (1-ρ)

Di sini kita akan kembali menggunakan “trik kecil”: kρ k-1 tidak lebih dari turunan terhadap ρ dari ekspresi ρ k; Cara,

L sistem. = ρ (1-ρ)

Membalikkan operasi diferensiasi dan penjumlahan, kita memperoleh:

L sistem. = ρ (1-ρ) (20.15)

Tetapi jumlah dalam rumus (20.15) tidak lebih dari jumlah barisan geometri yang menurun tak terhingga dengan suku pertama ρ dan penyebut ρ; jumlah ini

sama dengan , dan turunannya . Mengganti ekspresi ini ke (20.15), kita memperoleh:

L sistem = . (20.16)

Nah, sekarang kita terapkan rumus Little (19.12) dan cari waktu rata-rata aplikasi tetap berada di sistem:

W sistem = (20.17)

Mari kita cari jumlah rata-rata lamaran dalam antrian L sangat bagus Kami akan beralasan seperti ini: jumlah aplikasi dalam antrian sama dengan jumlah aplikasi dalam sistem dikurangi jumlah aplikasi yang dilayani. Artinya (menurut aturan penjumlahan ekspektasi matematis), jumlah rata-rata lamaran dalam antrian L och sama dengan jumlah rata-rata permintaan dalam sistem L syst dikurangi jumlah rata-rata permintaan yang dilayani. Jumlah permintaan dalam layanan dapat berupa nol (jika salurannya gratis) atau satu (jika saluran sibuk). Ekspektasi matematis dari variabel acak tersebut sama dengan probabilitas bahwa saluran tersebut sibuk (kami menyatakannya R zan). Jelas sekali, R zan sama dengan satu dikurangi probabilitas hal 0 bahwa saluran tersebut gratis:

R zan = 1 - R 0 = ρ. (20.18)

Oleh karena itu, jumlah rata-rata permintaan yang dilayani adalah

^ tentang= ρ, (20.19)

L oh = L sistem – ρ =

dan akhirnya

L ok = (20.20)

Dengan menggunakan rumus Little (19.13), kami menemukan waktu rata-rata aplikasi tetap berada dalam antrian:

(20.21)

Dengan demikian, seluruh karakteristik efektivitas QS telah ditemukan.

Kami mengundang pembaca untuk memecahkan sendiri sebuah contoh: QS saluran tunggal adalah stasiun marshalling kereta api, yang menerima arus kereta api paling sederhana dengan intensitas λ = 2 (kereta per jam). Layanan (pembubaran)

komposisi berlangsung dalam waktu acak (indikatif) dengan nilai rata-rata t putaran = 20(menit). Taman kedatangan stasiun memiliki dua jalur di mana kereta yang datang dapat menunggu layanan; jika kedua jalur sibuk, kereta api terpaksa menunggu di jalur luar. Diperlukan untuk menemukan (untuk mode operasi stasioner stasiun yang membatasi): rata-rata, jumlah kereta aku sistem yang terkait dengan stasiun, waktu rata-rata W sistem kehadiran kereta api di stasiun (pada jalur internal, pada jalur eksternal dan dalam pemeliharaan), jumlah rata-rata L Pt kereta yang mengantri untuk dibubarkan (tidak peduli di jalur mana), waktu rata-rata W Poin tetap berada di jalur kereta. Coba juga cari rata-rata jumlah kereta yang menunggu untuk dibubarkan di jalur luar L waktu tunggu eksternal dan rata-rata ini W ext (dua besaran terakhir dihubungkan dengan rumus Little). Terakhir, temukan total denda harian Sh yang harus dibayar stasiun untuk waktu henti kereta api di jalur luar, jika stasiun membayar denda a (rubel) untuk satu jam waktu henti satu kereta. Untuk jaga-jaga, inilah jawabannya: L sistem. = 2 (komposisi), W sistem. = 1 (jam), L okh = 4/3 (komposisi), W ok = 2/3 (jam), L ext = 16/27 (komposisi), W ext = 8/27 ≈ 0,297 (jam). Rata-rata denda harian Ш untuk menunggu kereta api di jalur luar diperoleh dengan mengalikan rata-rata jumlah kereta api yang tiba di stasiun per hari, rata-rata waktu tunggu kereta api di jalur luar dan denda per jam. A: W ≈ 14.2 A.

^ 3. menyalurkan ulang QS dengan antrian tidak terbatas. Hampir mirip dengan soal 2, namun sedikit lebih rumit, soalnya N-channel QS dengan antrian tidak terbatas. Penomoran negara bagian sekali lagi didasarkan pada jumlah aplikasi dalam sistem:

S 0- tidak ada permintaan di SMO (semua saluran gratis),

S 1 - satu saluran terisi, sisanya gratis,

S 2 - dua saluran terisi, sisanya gratis,

S k- sibuk k saluran, sisanya gratis,

S n- semua orang sibuk P saluran (tidak ada antrian),

S n+1- semua orang sibuk N saluran, satu aplikasi sedang dalam antrian,

S n+r - beban sibuk P saluran, R aplikasi sedang dalam antrian,

Grafik keadaan ditunjukkan pada Gambar. 20.3. Kami mengajak pembaca untuk berpikir sendiri dan membenarkan nilai intensitas yang ditunjukkan oleh tanda panah. Grafik Gambar. 20.3

λ λ λ λ λ λ λ λ λ

μ 2μ kμ (k+1)μ nμ nμ nμ nμ nμ

ada pola kematian dan reproduksi, tetapi dengan jumlah keadaan yang tidak terbatas. Mari kita laporkan tanpa bukti kondisi alamiah adanya probabilitas akhir: ρ/ N<1. Если ρ/N≥ 1, antrian bertambah hingga tak terhingga.

Mari kita asumsikan bahwa kondisi ρ/ N < 1 выполнено, и финальные вероятности существуют. Применяя все те же формулы (19.8), (19.7) для схемы гибели и размножения, найдем эти финальные вероятности. В выражении для hal 0 akan ada serangkaian suku yang mengandung faktorial, ditambah jumlah barisan geometri yang menurun tak terhingga dengan penyebut ρ/ N. Kesimpulannya, kami menemukan

(20.22)

Sekarang mari kita temukan karakteristik kinerja QS. Cara termudah untuk menemukan jumlah rata-rata saluran yang ditempati adalah k== λ/μ, = ρ (hal ini umumnya berlaku untuk QS mana pun dengan antrian tidak terbatas). Mari kita cari jumlah rata-rata aplikasi dalam sistem L sistem dan jumlah rata-rata aplikasi dalam antrian L sangat bagus Dari jumlah tersebut, lebih mudah menghitung detik menggunakan rumus

L oh =

melakukan transformasi yang sesuai sesuai dengan contoh tugas 2

(dengan diferensiasi deret), kita peroleh:

L oh = (20.23)

Ditambah dengan jumlah rata-rata permintaan dalam layanan (ini juga merupakan jumlah rata-rata saluran yang ditempati) k =ρ, kita peroleh:

L sistem = L ok + ρ. (20.24)

Membagi ekspresi untuk L sangat bagus L sistem pada λ , Dengan menggunakan rumus Little, kita memperoleh waktu rata-rata suatu aplikasi berada dalam antrian dan dalam sistem:

(20.25)

Sekarang mari kita pecahkan sebuah contoh yang menarik. Loket tiket kereta api dua jendela merupakan QS dua saluran dengan antrian tidak terbatas yang terletak di dua jendela sekaligus (jika satu jendela kosong, penumpang yang paling dekat akan mengambilnya). Box office menjual tiket ke dua titik: A dan DI DALAM. Intensitas alur permohonan (penumpang yang ingin membeli tiket) untuk kedua titik tersebut A dan B sama: λ A = λ B = 0,45 (penumpang per menit), dan totalnya membentuk total aliran permintaan dengan intensitas λ A + λB = 0,9. Seorang kasir menghabiskan rata-rata dua menit untuk melayani penumpang. Pengalaman menunjukkan antrian menumpuk di loket tiket, penumpang mengeluhkan lambatnya pelayanan.Usulan rasionalisasi telah diterima: alih-alih satu loket penjualan tiket dan A dan masuk DI DALAM, buat dua kantor tiket khusus (masing-masing satu jendela), menjual tiket, satu - hanya to the point A, yang lain - hanya to the point DI DALAM. Kebijaksanaan dari proposal ini masih kontroversial - beberapa orang berpendapat bahwa antriannya akan tetap sama. Kegunaan proposal perlu diperiksa dengan perhitungan. Karena kita hanya dapat menghitung karakteristik untuk QS yang paling sederhana, mari kita asumsikan bahwa semua alur peristiwa adalah yang paling sederhana (ini tidak akan mempengaruhi sisi kualitatif dari kesimpulan).

Baiklah, mari kita mulai berbisnis. Mari kita pertimbangkan dua opsi untuk mengatur penjualan tiket - yang sudah ada dan yang diusulkan.

Opsi I (yang sudah ada). QS dua saluran menerima aliran permintaan dengan intensitas λ = 0,9; intensitas aliran pelayanan = 1/2 = 0,5; ρ = λ/μ = l.8. Karena ρ/2 = 0,9<1, финальные вероятности существуют. По первой формуле (20.22) находим p 0 ≈ 0,0525. Rata-rata jumlah lamaran dalam antrian dicari dengan menggunakan rumus (20.23): L och ≈ 7.68; waktu rata-rata yang dihabiskan oleh aplikasi dalam antrian (menurut rumus pertama (20.25)) sama dengan W okh ≈ 8,54 (menit).

Opsi II (diusulkan). Penting untuk mempertimbangkan dua QS saluran tunggal (dua jendela khusus); masing-masing menerima aliran aplikasi dengan intensitas λ = 0,45; μ . masih sama dengan 0,5; ρ = λ/μ = 0,9<1; финальные вероятности существуют. По формуле (20.20) находим среднюю длину очереди (к одному окошку) L ok = 8.1.

Begitu banyak untukmu! Ternyata panjang antriannya bukan hanya tidak berkurang, tapi malah bertambah! Mungkin rata-rata waktu tunggu dalam antrean sudah berkurang? Mari kita lihat. Membagikan L och pada λ = 0,45, kita peroleh W sangat ≈ 18 (menit).

Begitu banyak rasionalisasi! Alih-alih berkurang, rata-rata panjang antrian dan rata-rata waktu tunggu di dalamnya malah bertambah!

Mari kita coba tebak mengapa ini terjadi? Setelah dipikir-pikir, kami sampai pada kesimpulan: hal ini terjadi karena pada opsi pertama (QS dua saluran) proporsi waktu rata-rata kedua kasir menganggur lebih sedikit: jika dia tidak sibuk melayani penumpang yang membeli a tiket langsung ke sasaran A, dia dapat terlibat dalam melayani penumpang yang membeli tiket ke suatu titik DI DALAM, dan sebaliknya. Pada pilihan kedua, tidak ada pertukaran seperti itu: kasir yang kosong hanya duduk dengan tangan terlipat...

Dengan baik , oke,” pembaca siap setuju, “kenaikannya bisa dijelaskan, tapi kenapa signifikan? Apakah ada kesalahan perhitungan disini?

Dan kami akan menjawab pertanyaan ini. Tidak ada kesalahan. Permasalahannya adalah , bahwa dalam contoh kita, kedua QS beroperasi pada batas kemampuannya; Segera setelah Anda sedikit menambah waktu layanan (yaitu mengurangi μ), mereka tidak akan lagi dapat mengatasi arus penumpang, dan antrian akan mulai bertambah tanpa batas. Dan “waktu henti ekstra” kasir dalam arti tertentu setara dengan penurunan produktivitasnya μ.

Dengan demikian, hasil perhitungan yang pada awalnya terkesan paradoks (atau bahkan salah), ternyata benar dan dapat dijelaskan.

Teori antrian kaya akan kesimpulan-kesimpulan yang paradoks, yang alasannya sama sekali tidak jelas. Penulis sendiri berulang kali “terkejut” dengan hasil perhitungan yang kemudian ternyata benar.

Berkaca pada masalah terakhir, pembaca dapat mengajukan pertanyaan seperti ini: lagi pula, jika box office hanya menjual tiket ke satu titik, maka tentu saja waktu layanan akan berkurang, bukan setengahnya, tetapi setidaknya sedikit, tapi menurut kami masih rata-rata 2 (min.). Kami mengundang pembaca yang pemilih untuk menjawab pertanyaan: berapa banyak yang harus dikurangi agar “proposal rasionalisasi” menjadi menguntungkan? Sekali lagi kita menghadapi, meskipun masalah mendasar, tetapi masih merupakan masalah optimasi. Dengan bantuan perhitungan perkiraan, bahkan pada model Markov yang paling sederhana, dimungkinkan untuk memperjelas sisi kualitatif dari fenomena tersebut - bagaimana tindakan itu menguntungkan, dan bagaimana tindakan itu tidak menguntungkan. Pada bagian selanjutnya kami akan memperkenalkan beberapa model dasar non-Markov yang akan semakin memperluas kemampuan kami.

Setelah pembaca terbiasa dengan metode penghitungan probabilitas akhir keadaan dan karakteristik kinerja untuk QS paling sederhana (dia telah menguasai skema kematian dan reproduksi dan rumus Little), dia dapat ditawari dua QS sederhana lagi untuk pertimbangan independen.

^ 4. QS saluran tunggal dengan antrian terbatas. Soalnya berbeda dengan soal 2 hanya saja jumlah permintaan dalam antrian dibatasi (tidak boleh melebihi jumlah tertentu yang ditentukan T). Jika aplikasi baru tiba pada saat semua tempat dalam antrian terisi, QS tidak terlayani (menerima penolakan).

Kita perlu mencari probabilitas akhir dari keadaan (omong-omong, dalam soal ini keadaan tersebut ada untuk ρ apa pun - lagipula, jumlah keadaan terbatas), kemungkinan kegagalan R terbuka, throughput absolut A, kemungkinan saluran sedang sibuk R sibuk, panjang antrian rata-rata L sangat bagus, rata-rata jumlah lamaran ke CMO L saudara , waktu tunggu rata-rata dalam antrian W sangat bagus , waktu rata-rata aplikasi tetap berada di CMO W sistem. Saat menghitung karakteristik antrian, Anda dapat menggunakan teknik yang sama yang kita gunakan pada Soal 2, dengan perbedaan bahwa Anda perlu menjumlahkan perkembangan yang tidak terbatas, tetapi perkembangan yang terbatas.

^ 5. QS tertutup dengan satu saluran dan M sumber aplikasi. Untuk lebih spesifiknya, mari kita ajukan permasalahan dalam bentuk berikut: satu pekerja melakukan servis T mesin yang masing-masing memerlukan penyesuaian (koreksi) dari waktu ke waktu. Intensitas aliran permintaan setiap mesin yang beroperasi adalah λ . Jika sebuah mesin rusak saat pekerja sedang senggang, mesin tersebut akan segera digunakan. Jika gagal saat pekerja sedang sibuk, ia akan mengantri dan menunggu pekerja tersebut bebas. Waktu penyiapan mesin rata-rata T putaran = 1/μ. Intensitas aliran permintaan yang masuk ke pekerja bergantung pada berapa banyak mesin yang bekerja. Jika itu bekerja k mesin, itu sama kλ. Temukan probabilitas keadaan akhir, jumlah rata-rata mesin yang bekerja, dan probabilitas bahwa seorang pekerja akan sibuk.

Perhatikan bahwa dalam QS ini probabilitas akhir

akan ada untuk setiap nilai λ dan μ = 1/ T tentang, karena jumlah keadaan sistem terbatas.

Mari kita pertimbangkan metode pemodelan komputer untuk aliran permintaan yang memasuki sistem antrian. Pertama, mari kita membahas kasus yang cukup sederhana dan sekaligus paling umum, ketika aliran stasioner biasa dari peristiwa homogen dengan efek samping terbatas (aliran tipe Palm) memasuki sistem.

Aliran jenis Palm apa pun dapat ditentukan dengan fungsi kepadatan interval acak antara momen yang berurutan - penerimaan permintaan. Untuk mensimulasikannya di komputer, cukup dengan membuat jumlah implementasi aliran yang diperlukan, yaitu rangkaian momen yang tidak acak.

penerimaan aplikasi ke dalam sistem, interval di antaranya akan menjadi nilai yang mungkin dari variabel acak yang dijelaskan oleh fungsi kepadatan

Prosedur konstruksi urutannya adalah sebagai berikut. Pertama, fungsi densitas dapat ditentukan melalui rumus Palm (4.4). Kemudian, berdasarkan keberadaan sensor bilangan acak elektronik atau algoritmik di komputer dengan distribusi seragam pada interval (0,1), kita lanjutkan ke pembentukan.Untuk melakukan ini, dengan menggunakan salah satu metode yang dibahas dalam Bab P, kita ubah bilangan acak tersebut menjadi bilangan acak yang memiliki fungsi kepadatan. Setelah diterima, kita asumsikan

Selanjutnya, tata cara memperoleh suatu bilangan bertepatan dengan tata cara pembangkitannya, yaitu bilangan acak berikutnya diubah menjadi bilangan acak yang mempunyai fungsi kepadatan dan

Mari kita lihat beberapa contoh yang sering ditemui ketika menyelesaikan masalah praktis dengan menggunakan pemodelan statistik.

Contoh 1. Aliran paling sederhana (Pausson).

Seperti disebutkan di atas, aliran paling sederhana (Paussonian) adalah aliran biasa stasioner dari peristiwa homogen tanpa efek samping, yaitu salah satu kemungkinan kasus khusus aliran tipe Palm. Fungsi densitas aliran paling sederhana berbentuk distribusi eksponensial (4.6):

dimana adalah intensitas aliran, yang menentukan nilai rata-rata jumlah aplikasi yang datang per satuan waktu.

Untuk menentukan fungsi massa jenis interval pertama, kita menggunakan rumus Palm.

Setelah perhitungan sederhana kita mendapatkan:

Oleh karena itu, fungsi densitas interval pertama untuk aliran paling sederhana mempunyai bentuk yang sama dengan sifat ini.Pada kasus umum, aliran tipe Palm lainnya tidak memiliki sifat ini.

Jadi, untuk menghasilkan implementasi aliran paling sederhana, diperlukan barisan bilangan acak yang berdistribusi eksponensial (4.6) dengan parameter K. Metode untuk memperoleh barisan seperti itu kita bahas di Bab II. Sesuai dengan (2.15), bilangan acak dapat diperoleh dengan menggunakan rumus

dimana adalah bilangan acak yang berdistribusi seragam pada interval (0,1).

Urutan waktu penerimaan lamaran adalah sebagai berikut:

Contoh 2: Aliran dengan jarak seragam

Fungsi densitas aliran yang ditinjau berbentuk distribusi seragam:

Dapat ditunjukkan bahwa nilai rata-rata (ekspektasi matematis) dari suatu variabel acak sama dengan Oleh karena itu, jumlah rata-rata aplikasi yang diterima per satuan waktu (intensitas aliran):

Mari kita definisikan fungsi kepadatan untuk interval pertama. Menurut rumus Palma mirip dengan rumus (4.11):

Perhatikan bahwa nilai rata-rata durasi interval pertama dapat diperoleh sebagai ekspektasi matematis dari variabel acak yang memiliki fungsi kepadatan (4.16):

Mari kita lanjutkan ke pembentukan interval pertama.Untuk melakukan ini, dengan memiliki bilangan acak dengan hukum distribusi seragam pada interval (0,1), perlu diperoleh bilangan acak yang sesuai dengan fungsi kepadatan (4.16). Mari kita transformasikan relasi (4.16) sebagai berikut. Daripada kuantitas, mari kita substitusikan nilainya dari persamaan (4.15). Kemudian kita dapat menulis fungsi kepadatannya

Perlu dicatat bahwa aliran yang dibahas dalam contoh 1 dan 2 memiliki ciri yang menguntungkan: integral dalam rumus Palma dan rumus transformasi bilangan acak diambil dalam bentuk akhirnya. Dalam kasus umum, integral ini tidak boleh diambil. Selain itu, fungsi massa jenis terkadang ditentukan dalam tabel berdasarkan hasil pengolahan materi statistik. Dalam praktiknya, metode perkiraan digunakan dalam situasi seperti itu. Integral dalam rumus Palma biasanya dihitung untuk himpunan tertentu dengan metode numerik. tidak mempengaruhi volume perhitungan secara signifikan, karena rumus Palma hanya digunakan sekali untuk aliran tertentu. Transformasi bilangan acak biasanya dilakukan dengan metode pendekatan sepotong-sepotong dari fungsi kepadatan sesuai dengan relasi (2.23) , (2.24) dan (2.25).

Tugas 1. Panel kontrol menerima aliran permintaan, yang merupakan aliran Erlang orde kedua. Intensitas aliran aplikasi adalah 6 aplikasi per jam. Jika petugas operator secara tidak sengaja meninggalkan kendali jarak jauh, maka pada permintaan pertama berikutnya dia harus kembali ke kendali jarak jauh. Temukan kepadatan distribusi waktu tunggu untuk aplikasi berikutnya dan buat grafiknya. Hitung probabilitas petugas operator akan absen dari 10 hingga 20 menit. Larutan. Karena aliran Erlang orde kedua merupakan aliran stasioner dengan efek samping yang terbatas, maka rumus Palm berlaku untuk aliran tersebut

Di mana f1(θ)- kepadatan distribusi probabilitas untuk waktu tunggu kejadian terdekat pertama;
λ - intensitas aliran;
- urutan aliran;
(θ) - fungsi distribusi probabilitas untuk waktu antara dua peristiwa aliran Erlang yang bertetangga - orde pertama (E).
Diketahui fungsi distribusi aliran E berbentuk

. (2)

Sesuai dengan kondisi permasalahan, aliran permintaan adalah order Erlang =2. Kemudian dari (1) dan (2) kita peroleh
.
Dari relasi terakhir untuk λ=6 kita akan mendapatkan

f1(θ)=3е-6θ(1+6θ), θ≥0. (3)

Mari kita plot fungsinya f1(θ) . Pada θ <0 kita punya f1(θ) =0 . Pada θ =0 , f1(0)=3. Pertimbangkan batasnya

Saat menghitung batas untuk mengungkapkan ketidakpastian jenis, digunakan aturan L'Hopital. Berdasarkan hasil penelitian, kami membuat grafik fungsi tersebut f1(θ) (Gbr. 1).

Mari kita perhatikan dimensi waktu dalam teks soal: untuk intensitas ini adalah permintaan per jam, untuk waktu - menit. Mari kita beralih ke satu satuan waktu: 10 menit = 1/6 jam, 20 menit = 1/3 jam. Untuk nilai tersebut bisa kita hitung f1(θ) dan memperjelas sifat kurva

Ordinat ini ditunjukkan pada grafik di atas titik-titik yang bersesuaian pada kurva.
Dari mata kuliah teori probabilitas kita mengetahui bahwa probabilitas suatu variabel acak muncul X ke dalam segmen [α, β] secara numerik sama dengan luas di bawah kurva distribusi kepadatan probabilitas f(x). Daerah ini dinyatakan dengan integral tertentu

Oleh karena itu, probabilitas yang diperlukan adalah sama dengan

Integral ini dapat dengan mudah dihitung per bagian jika kita masukkan
kamu=1+6θ Dan dV=е-6θmelakukanθ. Kemudian dU=6melakukanθ Dan V= .
Menggunakan rumus kita mendapatkan

Jawaban: peluang petugas operator tidak hadir selama 10 sampai 20 menit adalah 0,28.

Tugas 2. Ruang pamer memiliki 5 pajangan. Alur penggunanya sederhana. Rata-rata jumlah pengguna yang mengunjungi ruang tampilan per hari adalah 140. Waktu pemrosesan informasi oleh satu pengguna pada satu tampilan didistribusikan menurut hukum eksponensial dan rata-rata 40 menit. Tentukan apakah ada mode operasi stasioner untuk aula; kemungkinan bahwa pengguna akan mendapati semua tampilan sibuk; jumlah rata-rata pengguna di ruang pamer; jumlah rata-rata pengguna dalam antrian; waktu tunggu rata-rata untuk tampilan gratis; waktu rata-rata yang dihabiskan pengguna di ruang tampilan. Larutan. QS yang dipertimbangkan dalam soal termasuk dalam kelas sistem multisaluran dengan antrian tidak terbatas. Jumlah saluran =5. Mari kita cari λ-intensitas aliran aplikasi: dimana (jam) - waktu rata-rata antara dua permintaan berturut-turut dari aliran pengguna masuk. Kemudian pengguna/jam

Mari kita cari intensitas aliran layanan: , dengan M[T serv.]=40 menit=0,67 jam adalah waktu rata-rata untuk melayani satu pengguna dengan satu tampilan,

Kemudian pengguna/jam

Jadi, pengklasifikasi sistem ini berbentuk QS (5, ∞; 5.85; 1.49).
Mari kita hitung faktor beban QS . Diketahui bahwa untuk QS kelas ini, mode stasioner terjadi jika rasio faktor beban sistem terhadap jumlah saluran kurang dari satu. Kami menemukan hubungan ini
.
Oleh karena itu, terdapat rezim stasioner. Distribusi probabilitas pembatas negara dihitung menggunakan rumus

Karena =5, kita punya

Mari kita hitung P* - probabilitas bahwa pengguna akan mendapati semua tampilan sibuk. Jelasnya, ini sama dengan jumlah probabilitas kejadian seperti itu: semua tampilan sibuk, tidak ada antrian (p5); semua tampilan sibuk, satu pengguna sedang mengantri (p6); semua tampilan sibuk, dua pengguna sedang mengantri (p7) dan seterusnya. Karena untuk sekelompok kejadian lengkap jumlah peluang kejadian-kejadian tersebut sama dengan satu, maka persamaan tersebut benar

P*=p5+p6+p7+…=1 - po - p1 - p2 - p3 - p4.

Mari kita cari probabilitas berikut: ro=0,014; hal1=3,93*0,014; hal2=7,72*0,014; hal3=10,12*0,014; hal4=9,94*0,014.
Dengan mengeluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung, kita peroleh
P*=1-0,0148*(1+3,93+7,72+10,12+9,94)=1-0,014*32,71=1-0,46=0,54.
Menggunakan rumus untuk menghitung indikator kinerja? mari kita temukan:

• 1. jumlah rata-rata pengguna dalam antrian

2. jumlah rata-rata pengguna di ruang pamer

3. waktu tunggu rata-rata untuk tampilan gratis

4. waktu rata-rata yang dihabiskan pengguna di ruang tampilan

Jawaban: mode pengoperasian ruang pamer yang stasioner ada dan ditandai dengan indikator berikut R*=0,54; pengguna; pengguna; ; .

Tugas 3. Sistem antrian dua saluran (QS) dengan kegagalan menerima aliran permintaan Poisson yang stasioner. Waktu antara kedatangan dua permintaan berturut-turut didistribusikan menurut hukum eksponensial dengan parameter λ=5 permintaan per menit. Durasi pelayanan setiap permintaan adalah 0,5 menit. Dengan menggunakan metode Monte Carlo, carilah rata-rata jumlah permintaan yang dilayani dalam waktu 4 menit. Petunjuk: Lakukan tiga tes. Larutan. Mari kita gambarkan pemodelan statistik pengoperasian QS tertentu menggunakan diagram waktu. Mari kita perkenalkan notasi berikut untuk sumbu waktu:
Di dalam-aliran aplikasi yang masuk, di sini ti- saat penerimaan lamaran; Ti- interval waktu antara dua aplikasi berturut-turut. Jelas sekali ti=ti-1 +TSaya.
K1 merupakan saluran pelayanan pertama;
saluran layanan K2-detik; di sini garis tebal pada sumbu waktu menunjukkan interval penggunaan saluran. Jika kedua saluran bebas, maka permintaan dilayani di saluran K1; jika sibuk, permintaan dilayani oleh saluran K2.
Jika kedua saluran sibuk, maka permintaan tersebut membuat QS tidak terlayani.
Out OB - aliran keluar dari permintaan yang dilayani.
Keluar PT - aliran keluar permintaan yang hilang karena kegagalan QS (kasus okupansi kedua saluran).
Pengujian statistik berlanjut selama interval waktu tertentu. Yang jelas, ada kelebihan waktu tmax memerlukan pembuangan permintaan ke aliran keluar Output PT. Jadi pada Gambar. 3 Aplikasi No. 10 yang masuk ke sistem saat ini t10, tidak sempat dilayani sampai saat ini tmax, Karena t10+Tol.>tmaks. Akibatnya, saluran tersebut tidak diterima oleh saluran gratis K1 untuk diservis dan diatur ulang ke Output PT, menerima penolakan.

Beras. 3

Dari diagram waktu jelas bahwa perlu dipelajari bagaimana memodelkan interval TSaya. Mari kita terapkan metode fungsi invers. Sejak variabel acak Ti didistribusikan menurut hukum eksponensial dengan parameter λ =5, maka kepadatan distribusinya berbentuk F(τ)=5е-5τ. Lalu nilainya F(Ti) fungsi distribusi probabilitas ditentukan oleh integral

.

Diketahui fungsi distribusi berkisar F(T) ada segmen. Kami memilih nomor dari tabel nomor acak dan menentukan TSaya dari kesetaraan, dari mana. Namun jika. Oleh karena itu, Anda dapat segera memperoleh implementasi dari tabel bilangan acak. Karena itu,
e-5TSaya= ri, atau –5TSaya= lnri, Di mana . Lebih mudah untuk memasukkan hasil perhitungan ke dalam tabel.
Untuk melaksanakan tes No. 1, diambil nomor acak dari Lampiran 2, dimulai dari nomor pertama baris pertama. Selanjutnya seleksi dilakukan secara baris. Mari kita lakukan dua tes lagi.
Perhatikan pemilihan nomor acak dari tabel pada Lampiran 2, jika pada tes no 1 nomor acak terakhir untuk aplikasi no 16 adalah 0,37 (angka acak pertama pada baris kedua), maka tes no 2 dimulai dengan nomor acak berikut 0,54. Percobaan 2 berisi angka acak terakhir 0,53 (angka kelima pada baris ketiga). Oleh karena itu, percobaan ketiga akan dimulai dengan angka 0,19. Secara umum, dalam satu rangkaian pengujian, nomor acak dari tabel dipilih tanpa celah atau penyisipan dalam urutan tertentu, misalnya per baris.

Tabel 1. UJI No.1

Nomor Permohonan. Saya	sl. nomor ri		-di ri Ti	Momen penerimaan lamaran ti=ti-1+Ti	Momen akhir layanan. ti+0,50		Penghitung aplikasi
					K1

Tabel 2 UJI No.2

Nomor Permohonan. Saya	sl. nomor ri		-di ri TSaya	Momen penerimaan lamaran ti=ti-1+Ti	Momen akhir layanan. ti+0,50		Penghitung aplikasi

Tabel No.3 UJI No.3

Nomor Permohonan. Saya		sl. nomor ri		-di ri TSaya	Momen penerimaan lamaran ti=ti-1+Ti	Momen akhir layanan. ti+0,50		Penghitung aplikasi
						K1

Dengan demikian, berdasarkan hasil tiga kali pengujian, jumlah lamaran yang dilayani masing-masing adalah: x1=9, x2=9, x3=8. Mari kita cari jumlah rata-rata permintaan yang dilayani:

Jawaban: rata-rata jumlah lamaran yang dilayani QS dalam 4 menit adalah 8,6(6).

Kembali