Fungsi serial yang kompleks disebut fungsi
Z(T)=X(T)+Y(T)Saya,
di mana x(T) dan kamu(T)-fungsi acak nyata dari argumen nyata T.
Mari kita generalisasikan definisi ekspektasi matematis dan varians ke fungsi acak kompleks sehingga, khususnya, untuk Y=0 karakteristik ini bertepatan dengan karakteristik yang diperkenalkan sebelumnya untuk fungsi acak nyata, yaitu, sehingga persyaratan terpenuhi:
mz(T)=mx(T)(*)
Dz(T)=Dx(T)(**)
matematis,antisipasi,fungsi acak kompleks Z(T)=x(T)+Y(T)Saya ditelepon fungsi kompleks(tidak acak)
m z ( T)=mx(T)+m y(T)Saya.
Khususnya, untuk Y=0 kita peroleh t z(T)=tx(T),itu. syarat (*) terpenuhi.
Varians dari fungsi acak kompleks Z(T) disebut ekspektasi kuadrat dari modulus fungsi terpusat Z(T):
Dz(T)= M[| (T)| 2 ].
Khususnya, untuk Y==0 kita mendapatkan D z ( T)= M[| (T)|] 2 =Dx(T), yaitu, persyaratan (**) terpenuhi.
Mempertimbangkan bahwa ekspektasi matematis dari jumlah sama dengan jumlah ekspektasi matematis dari istilah, kami memiliki
Dz(T)= M[| (T)| 2 ]=M{[ (T)] 2 + [ (T) 2 ]}=M[ (T)] 2 + M[ (T) 2 ]=Dx(T)+Dy(T).
Jadi, varians dari fungsi acak kompleks sama dengan jumlah varians dari bagian real dan imajinernya:
Dz ( T)=Dx(T)+Dy(T).
Diketahui bahwa fungsi korelasi dari fungsi acak nyata x(T) pada arti yang berbeda argumen sama dengan varians Dx(T). Mari kita generalisasi definisi fungsi korelasi ke fungsi acak kompleks Z(T) sehingga ketika nilai yang sama argumen T 1 =t 2 =t fungsi korelasi Kzo(T,T) sama dengan varians Dz(T), yaitu, untuk memenuhi persyaratan
Kzo(T,T)=Dz(T). (***)
Fungsi korelasi dari fungsi acak kompleks Z(T) disebut momen korelasi penampang ( T 1) dan ( T 2)
Kzo(T 1 ,T 2)= M.
Secara khusus, untuk nilai argumen yang sama
Kzo(T,T)= M=M[| | 2 ]=Dz(T).
yaitu, persyaratan (***) terpenuhi.
Jika fungsi acak nyata x(T) dan kamu(T) berkorelasi, maka
Kzo(T 1 ,T 2)= Kx(T 1 ,T 2)+Kyu(T 1 ,T 2)+ [Rxy(T 2 ,T 1)]+ [Rxy(T 1 ,T 1)].
jika x(T) dan kamu(T) tidak berkorelasi, maka
Kzo(T 1 ,T 2)= Kx(T 1 ,T 2)+Kyu(T 1 ,T 2).
Mari kita generalisasi definisi fungsi korelasi silang ke fungsi acak kompleks Z 1 (T)=x 1 (T)+kamu 1 (T)Saya dan Z 2 (T)=x 2 (T)+kamu 2 (T)Saya sehingga, khususnya, kamu 1 =Y 2 = 0 persyaratan terpenuhi
Fungsi korelasi silang dari dua fungsi acak kompleks sebutkan fungsinya (tidak acak)
Khususnya, ketika kamu 1 =Y 2 = 0 kita dapatkan
yaitu persyaratan (****) terpenuhi.
Fungsi korelasi timbal balik dari dua fungsi acak kompleks dinyatakan dalam fungsi korelasi timbal balik dari bagian real dan imajinernya dengan rumus berikut:
tugas
1. Temukan ekspektasi matematis dari fungsi acak:
sebuah) x(T)=Ut 2 , dimana U-nilai acak, dan M(kamu)=5 ,
B)x(T)=U cos2 t+vt, di mana kamu dan V- variabel acak, dan M(kamu)=3 ,M(V)=4 .
Reputasi. a) m x (t)=5t 2 ; b) t x (t)=3 cos2t+4t.
2. Kx(T 1 ,T 2) fungsi acak x(T). Temukan fungsi korelasi dari fungsi acak:
sebuah) kamu(T)=X(T)+t; B) kamu(T)=(T+1)x(T); v) kamu(T)=4X(T).
Reputasi. a) K y (t 1, t 2) = K x (t 1, t 2); b) K y (t 1, t 2) \u003d (t 1 +1) (t 2 +1) K x (t 1, t 2); c) K y (t 1, t 2) \u003d 16 K x (t 1, t 2) \u003d.
3. Varians diberikan Dx(T) fungsi acak x(T). Temukan varians dari fungsi acak: a) kamu(T)=X(T)+ e t b)kamu(T)=tX(T).
Membalas. sebuah) hari(T)=Dx(T); B) hari(T)=t 2 Dx(T).
4. Temukan: a) ekspektasi matematis; b) fungsi korelasi; c) dispersi fungsi acak x(T)=menggunakan 2T, di mana U- variabel acak, dan M(kamu)=3 ,D(kamu)=6 .
Membalas. sebuah) m x(T) =3dosa 2T; B) Kx(T 1 ,T 2)= 6dosa 2T 1 dosa 2T 2; v) Dx(T)=6dosa 2 2T.
5. Temukan fungsi korelasi ternormalisasi dari fungsi acak x(T), mengetahui fungsi korelasinya Kx(T 1 ,T 2)=3karena(T 2 -T 1).
Reputasi. x (t 1, t 2) \u003d cos (t 2 -t 1).
6. Carilah: a) fungsi korelasi timbal balik; b) fungsi korelasi timbal balik yang dinormalisasi dari dua fungsi acak x(T)=(T+1)kamu, dan Y( T)= (T 2 + 1)kamu, di mana U- variabel acak, dan D(kamu)=7.
Membalas. sebuah) Rxy(T 1 ,T 2)=7(T 1+l)( T 2 2+l); B) xy(T 1 ,T 2)=1.
7. Fungsi acak diberikan x(T)= (T- 1)kamu dan kamu(T)=T 2 kamu, di mana kamu dan V- variabel acak tidak berkorelasi, dan M(kamu)=2, M(V)= 3,D(kamu)=4 , D(V)=5 . Temukan: a) ekspektasi matematis; b) fungsi korelasi; c) varians jumlah Z(T)=X(T)+Y(T).
Petunjuk. Pastikan bahwa fungsi korelasi silang dari fungsi acak yang diberikan sama dengan nol dan, oleh karena itu, x(T) dan kamu(T) tidak berkorelasi.
Membalas. sebuah) mz(T)=2(T- 1)+3T 2; B) K z(T 1 ,T 2)=4(T 1 - l)( T 2 - 1)+6T 1 2 T 2 2 ; v) Dz(T)=4(T- 1) 2 +6t4.
8. Harapan matematis ditetapkan m x(T)=T 2 +1 fungsi acak x(T). Carilah ekspektasi matematis dari turunannya.
9. Harapan matematis ditetapkan m x(T)=t 2 +3 fungsi acak x(T). Temukan harapan matematis dari fungsi acak kamu(T)=tX"(T)+t 3.
Reputasi. m y (t)=t 2 (t+2).
10. Fungsi korelasi diberikan Kx(T 1 ,T 2)= fungsi acak x(T). Carilah fungsi korelasi turunannya.
11. Fungsi korelasi diberikan Kx(T 1 ,T 2)= fungsi acak x(T). Temukan fungsi korelasi timbal balik.
UNIVERSITAS NEGERI SEVASTOPOL
MM. Ghashim, T.V. Cernautsanu
FUNGSI RANDOM
Disetujui
Dewan Akademik Institut
Sevastopol
Ghashim M.M., T.V. Cerneutsanu
Fungsi acak: metode belajar. tunjangan. - Sevastopol: SevGU, 2015.
Manual ini mencakup tiga bagian utama: "", "", "". Setiap bagian mencakup pertanyaan utama teori, analisis contoh tipikal, tugas untuk kerja mandiri dengan jawaban untuk mereka.
ditujukan untuk siswa tahun ketiga ketika mempelajari topik "".
Peninjau:
c.f.-m..,
Ph.D., Associate Professor
profesor asosiasi nc.ph.-m.s
© Edisi SevGU, 2015
1. Konsep fungsi acak………………………………………
2. Karakteristik fungsi acak………………………………
3. Operator sistem dinamis……………………………….
4. Transformasi linier dari fungsi acak………………
5. Stasioner proses acak ……………………
6. Ekspansi spektral dari fungsi acak stasioner………
7. Sifat ergodik dari fungsi acak stasioner………….
Memecahkan masalah khas ………………………………………………..
Tugas untuk keputusan independen………………………………
LITERATUR………………………………………………………………
fitur acak
Konsep fungsi acak.
Selama teori probabilitas, subjek utama studi adalah variabel acak, yang dicirikan oleh fakta bahwa, sebagai hasil percobaan, mereka mengambil satu nilai, yang sebelumnya tidak diketahui, tetapi unik. Artinya, fenomena acak dipelajari, seolah-olah, dalam "statis", dalam beberapa kondisi konstan tetap dari percobaan terpisah. Namun, dalam praktiknya kita sering harus berurusan dengan variabel acak yang berubah terus menerus selama eksperimen. Misalnya, sudut depan untuk membidik target yang bergerak secara terus-menerus; penyimpangan lintasan proyektil yang dipandu dari yang teoretis dalam proses kontrol atau homing, dll. Pada prinsipnya, setiap sistem dengan kontrol otomatis hadir persyaratan tertentu kepada yang bersangkutan landasan teori– teori kontrol otomatis. Pengembangan teori ini tidak mungkin tanpa analisis kesalahan yang tak terhindarkan menyertai proses kontrol, yang selalu berlangsung di bawah kondisi gangguan acak atau "interferensi" yang terus beroperasi. Gangguan ini pada dasarnya adalah fungsi acak. Jadi:
Definisi . fungsi acak x(T) disebut fungsi dari argumen non-acak T, yang untuk setiap nilai tetap dari argumen adalah variabel acak.
Bentuk spesifik yang diambil oleh fungsi acak x(T) sebagai hasil dari pengalaman, disebut penerapan fungsi acak.
Contoh . Sebuah pesawat terbang di jalur udara memiliki kecepatan udara yang secara teoritis konstan V. Faktanya, kecepatannya berfluktuasi di sekitar nilai nominal rata-rata ini dan merupakan fungsi waktu yang acak. Penerbangan dapat dilihat sebagai pengalaman di mana fungsi acak V(T) membutuhkan implementasi tertentu (Gbr.1).
 |
|||
Dari pengalaman ke pengalaman, jenis implementasi bervariasi. Jika perekam dipasang di pesawat, maka di setiap penerbangan itu akan merekam implementasi fungsi acak yang baru, berbeda dari yang lain. Sebagai hasil dari beberapa penerbangan, seseorang dapat memperoleh keluarga implementasi fungsi acak V(T) (Gbr.2).
Dalam praktiknya, ada fungsi acak yang tidak bergantung pada satu argumen, tetapi pada beberapa, misalnya, keadaan atmosfer (suhu, tekanan, angin, curah hujan). Dalam kursus ini, kami hanya akan mempertimbangkan fungsi acak dari satu argumen. Karena argumen ini paling sering waktu, kami akan menunjukkannya dengan huruf T. Selain itu, kami setuju untuk menunjukkan fungsi acak huruf kapital (x(T), kamu(T), ...) berbeda dengan fungsi non-acak ( x(T),kamu(T), …).
Pertimbangkan beberapa fungsi acak x(T). Mari kita asumsikan bahwa n percobaan independen, sebagai akibatnya diperoleh n realisasi, yang kami nyatakan sesuai dengan jumlah percobaan x 1 (T), x 2 (T), …, x n(T). Jelas, setiap implementasi adalah fungsi reguler (tidak acak). Jadi, sebagai hasil dari setiap percobaan, fungsi acak x(T) menjadi fungsi non-acak.
Sekarang mari kita perbaiki beberapa nilai argumen T. Dalam hal ini, fungsi acak x(T) menjadi variabel acak.
Definisi. persilangan fungsi acak x(T) disebut variabel acak yang sesuai dengan nilai tetap dari argumen fungsi acak.
Kita melihat bahwa fungsi acak menggabungkan fitur dari variabel acak dan fungsi. Berikut ini, kita akan sering mempertimbangkan fungsi yang sama secara bergantian x(T) kadang-kadang sebagai fungsi acak, kadang-kadang sebagai variabel acak, tergantung pada apakah itu dipertimbangkan di seluruh rentang perubahan T atau pada nilai tetapnya.
Pertimbangkan variabel acak x(T) adalah penampang fungsi acak saat ini T. Variabel acak ini jelas memiliki hukum distribusi, yang dalam kasus umum tergantung pada T. Mari kita tunjukkan itu F(x, T). Fungsi F(x, T) disebut hukum distribusi satu dimensi fungsi acak x(T).
Jelas fungsinya F(x, T) bukan karakteristik lengkap dan lengkap dari fungsi acak x(T), karena itu hanya mencirikan hukum distribusi x(T) untuk yang diberikan, meskipun sewenang-wenang T dan tidak menjawab pertanyaan tentang ketergantungan variabel acak x(T) untuk berbeda T. Dari sudut pandang ini, karakterisasi yang lebih lengkap dari fungsi acak x(T) yang disebut hukum distribusi dua dimensi: F(x 1 , x 2 ; T 1 , T 2). Ini adalah hukum distribusi sistem dua variabel acak x(T 1), x(T 2), yaitu dua bagian sewenang-wenang dari fungsi acak x(T). Namun, karakterisasi ini tidak lengkap dalam kasus umum. Jelas, secara teoritis dimungkinkan untuk meningkatkan jumlah argumen tanpa batas dan mendapatkan lebih banyak lagi deskripsi lengkap fungsi acak, tetapi sangat sulit untuk beroperasi dengan karakteristik rumit yang bergantung pada banyak argumen. Di dalam kursus ini kita tidak akan menggunakan hukum distribusi sama sekali, tetapi akan membatasi diri untuk mempertimbangkan karakteristik paling sederhana dari fungsi acak, analog dengan karakteristik numerik dari variabel acak.
Tugas untuk tugas kuliah
Diketahui: lima momen awal
sebuah 1 =
1, a 2= 2, dan 3= 2, dan 4= 1, dan 5 = 1 (µ
G = 0, µ
0
=
1).
Temukan: lima momen sentral. Dengan memiliki lima momen awal dan lima momen sentral, hitung nilainya: sebuah)nilai yang diharapkan; B)penyebaran; v)standar deviasi; G)koefisien variasi; e)koefisien asimetri; e)koefisien berlebih. Gambarkan secara kualitatif densitas probabilitas dari proses ini dengan menggunakan data yang diperoleh. 1. Informasi teoretis
Distribusi variabel acak dan fungsi distribusi Distribusi variabel acak numerik adalah fungsi yang secara unik menentukan probabilitas bahwa variabel acak mengambil nilai tertentu atau termasuk dalam interval tertentu. Yang pertama adalah jika variabel acak mengambil sejumlah nilai yang terbatas. Kemudian distribusi diberikan oleh fungsi P (X = x),menempatkan semua orang nilai yang mungkin xvariabel acak xkemungkinan itu X = x.
Yang kedua adalah jika variabel acak mengambil banyak nilai tak terhingga. Hal ini hanya mungkin jika ruang probabilitas di mana variabel acak didefinisikan terdiri dari jumlah kejadian elementer yang tak terbatas. Kemudian distribusi diberikan oleh himpunan probabilitas P(ax P(ax Hubungan ini menunjukkan bahwa sama seperti distribusi dapat dihitung dari fungsi distribusi, demikian pula sebaliknya, fungsi distribusi dapat dihitung dari distribusi. Fungsi distribusi yang digunakan dalam metode pengambilan keputusan statistik-probabilistik dan penelitian terapan lainnya adalah diskrit atau kontinu, atau kombinasinya. Fungsi distribusi diskrit sesuai dengan variabel acak diskrit yang mengambil sejumlah nilai atau nilai terbatas dari himpunan yang elemennya dapat dinomori ulang dengan bilangan asli (kumpulan seperti itu disebut dapat dihitung dalam matematika). Grafik mereka terlihat seperti tangga langkah (Gbr. 1). Contoh 1Nomor xitem cacat dalam batch mengambil nilai 0 dengan probabilitas 0,3, nilai 1 dengan probabilitas 0,4, nilai 2 dengan probabilitas 0,2 dan nilai 3 dengan probabilitas 0,1. Grafik fungsi distribusi variabel acak xditunjukkan pada gambar. satu. Beras. 1. Grafik fungsi distribusi jumlah produk cacat. Fungsi distribusi kontinu tidak memiliki lompatan. Mereka meningkat secara monoton saat argumen meningkat - dari 0 untuk x→∞ ke 1 untuk x→+∞. Variabel acak dengan fungsi distribusi kontinu disebut kontinu. Fungsi distribusi kontinu yang digunakan dalam metode pengambilan keputusan statistik-probabilistik memiliki turunan. Turunan pertama f(x)fungsi distribusi F(x)disebut kerapatan peluang, Fungsi distribusi dapat ditentukan dari kepadatan probabilitas: Untuk setiap fungsi distribusi Properti fungsi distribusi yang terdaftar secara konstan digunakan dalam metode pengambilan keputusan statistik-probabilistik. Secara khusus, persamaan terakhir menyiratkan bentuk tertentu dari konstanta dalam rumus untuk kepadatan probabilitas yang dipertimbangkan di bawah ini. Contoh 2Fungsi distribusi berikut sering digunakan: (1)
di mana sebuahdan B-beberapa angka sebuah (pada titik x = sebuahdan x = bturunan fungsi F(x)tidak ada). Variabel acak dengan fungsi distribusi (1) disebut "terdistribusi merata pada interval ».
Fungsi distribusi campuran terjadi, khususnya, ketika pengamatan berhenti di beberapa titik. Misalnya, ketika menganalisis data statistik yang diperoleh dengan menggunakan rencana uji reliabilitas yang menyediakan penghentian pengujian setelah periode tertentu. Atau ketika menganalisis data pada produk teknis yang memerlukan perbaikan garansi. Contoh 3Biarkan, misalnya, masa pakai bola lampu menjadi variabel acak dengan fungsi distribusi F(t),dan pengujian dilakukan sampai bola lampu mati, jika ini terjadi kurang dari 100 jam dari awal pengujian, atau sampai saat T0
= 100 jam. Membiarkan G(t) -fungsi distribusi waktu pengoperasian bola lampu dalam kondisi baik pada pengujian ini. Kemudian Fungsi G(t)memiliki lompatan pada suatu titik T0
,
karena variabel acak yang sesuai mengambil nilai T0
dengan kemungkinan 1-F(t0
)>0.
Karakteristik variabel acak.Dalam metode pengambilan keputusan statistik-probabilistik, sejumlah karakteristik variabel acak digunakan, diekspresikan melalui fungsi distribusi dan kepadatan probabilitas. Ketika menggambarkan diferensiasi pendapatan, ketika menemukan batas kepercayaan untuk parameter distribusi variabel acak, dan dalam banyak kasus lain, konsep seperti "kuantitas pesanan" digunakan. R",dimana 0 <р <
1 (dilambangkan xR).
Kuantitas pesanan R- nilai variabel acak yang fungsi distribusinya mengambil nilainya Ratau ada "lompatan" dari nilai kurang dari Rhingga nilai yang lebih besar R(Gbr. 2). Ini mungkin terjadi bahwa kondisi ini dipenuhi untuk semua nilai x yang termasuk dalam interval ini (yaitu, fungsi distribusi konstan pada interval ini dan sama dengan R).Kemudian masing-masing nilai tersebut disebut "kuantil orde R".Untuk fungsi distribusi kontinu, sebagai aturan, ada kuantil tunggal xR
memesan R(Gbr. 2), dan F(xP) = hal.(2)
Beras. 2. Definisi kuantil xR
memesan R.
Contoh 4Mari kita cari kuantil xR
memesan Runtuk fungsi distribusi F(x)dari (1). Pada 0 <р <
1 kuantil xR
ditemukan dari persamaan itu. xR=+ p (b - a) \u003d a (1-p) + bp. Pada p = 0 apa saja xsebuah adalah kuantil orde P= 0. Kuantitas pesanan R= 1 adalah bilangan apa saja xB. Untuk distribusi diskrit, sebagai aturan, tidak ada xR,
persamaan yang memuaskan (2). Lebih tepatnya, jika distribusi variabel acak diberikan pada Tabel. 1, dimana x1
< х
2
<… < х
Ke,
maka persamaan (2), dianggap sebagai persamaan terhadap xR,
memiliki solusi hanya untuk knilai-nilai R,yaitu, p=p1
p=p1
+p2
,
p=p1
+p2
+p3
,
p=p1
+p2
+
RT, 3<т<к,
p = p, + p2
+…
+Pk
Tabel 1. Distribusi variabel acak diskrit nilai x dari variabel acak Xx1
x2
…xkProbabilitas P (X = x) P1
R2
…Rk
Untuk yang terdaftar Kenilai probabilitas Rlarutan xR
persamaan (2) tidak unik, yaitu, F(x) =p, +p2
+…
+ RT
untuk semua xseperti yang xT < х < х
t+1.
Itu. xR
- nomor apa pun dari interval (XT; xm+1).
Untuk orang lain Rdari interval (0; 1) tidak termasuk dalam daftar (3), ada “lompatan” dari nilai yang kurang dari Rhingga nilai yang lebih besar R.Yaitu, jika P1
+p2
+…
+ PT kemudian xR=xt+1.
Properti distribusi diskrit yang dipertimbangkan menciptakan kesulitan yang signifikan dalam mentabulasi dan menggunakan distribusi tersebut, karena ternyata tidak mungkin untuk secara akurat mempertahankan nilai numerik khas dari karakteristik distribusi. Secara khusus, ini berlaku untuk nilai kritis dan tingkat signifikansi uji statistik nonparametrik (lihat di bawah), karena distribusi statistik uji ini bersifat diskrit. Kuantil pesanan sangat penting dalam statistik. p=½.
Ini disebut median (variabel acak xatau fungsi distribusinya F(x))dan dilambangkan Bulu).Dalam geometri, ada konsep "median" - garis lurus yang melewati titik sudut segitiga dan membagi sisi yang berlawanan menjadi dua. Dalam statistik matematika, median tidak membagi dua sisi segitiga, tetapi distribusi variabel acak: kesetaraan F(x0,5
)
= 0,5 berarti peluang untuk sampai ke kiri x0,5
dan kemungkinan benar x0,5
(atau langsung x0,5
) sama satu sama lain dan sama ½
,
itu. Median menunjukkan "pusat" dari distribusi. Dari sudut pandang salah satu konsep modern - teori prosedur statistik stabil - median adalah karakteristik yang lebih baik dari variabel acak daripada ekspektasi matematis. Saat memproses hasil pengukuran dalam skala ordinal (lihat bab tentang teori pengukuran), median dapat digunakan, tetapi ekspektasi matematis tidak dapat digunakan. Karakteristik variabel acak seperti mode memiliki arti yang jelas - nilai (atau nilai) dari variabel acak yang sesuai dengan maksimum lokal dari kepadatan probabilitas untuk variabel acak kontinu atau maksimum lokal dari probabilitas untuk acak diskrit variabel. Jika x0
-
mode variabel acak dengan kepadatan f(x),lalu, seperti yang kamu tahu dari kalkulus diferensial, Variabel acak dapat memiliki banyak mode. Jadi, untuk distribusi seragam (1) setiap titik xseperti yang sebuah< х < b,
adalah mode. Namun, ini adalah pengecualian. Sebagian besar variabel acak yang digunakan dalam metode pengambilan keputusan statistik-probabilistik dan penelitian terapan lainnya memiliki satu mode. Variabel acak, densitas, distribusi yang memiliki satu modus disebut unimodal. Ekspektasi matematis untuk variabel acak diskrit dengan jumlah nilai terbatas dibahas dalam bab "Peristiwa dan Probabilitas". Untuk variabel acak kontinu xnilai yang diharapkan M(X)memenuhi kesetaraan Contoh 5Ekspektasi matematis untuk variabel acak terdistribusi seragam xsama dengan Untuk variabel acak yang dibahas dalam bab ini, semua sifat ekspektasi matematika dan varians yang dipertimbangkan sebelumnya untuk variabel acak diskrit dengan jumlah nilai yang terbatas adalah benar. Namun, kami tidak memberikan bukti dari sifat-sifat ini, karena mereka memerlukan pendalaman ke dalam seluk-beluk matematika, yang tidak diperlukan untuk memahami dan menerapkan metode pengambilan keputusan statistik-probabilistik yang memenuhi syarat. Komentar. Dalam buku teks ini, seluk-beluk matematika sengaja dihindari, dihubungkan, khususnya, dengan konsep himpunan terukur dan fungsi terukur, aljabar peristiwa, dan sebagainya. Mereka yang ingin menguasai konsep-konsep ini harus mengacu pada literatur khusus, khususnya, ke ensiklopedia. Masing-masing dari tiga karakteristik - ekspektasi matematis, median, mode - menggambarkan "pusat" dari distribusi probabilitas. Konsep "pusat" dapat didefinisikan dengan cara yang berbeda - maka tiga karakteristik yang berbeda. Namun, untuk kelas distribusi yang penting - unimodal simetris - ketiga karakteristik tersebut bertepatan. Kepadatan distribusi f(x)- kerapatan distribusi simetris, jika ada angka x0
seperti yang (3)
Persamaan (3) berarti grafik fungsi y \u003d f (x)simetris terhadap garis vertikal yang melalui pusat simetri x = x0
.
Dari (3) berikut bahwa fungsi distribusi simetris memenuhi hubungan (4)
Untuk distribusi simetris dengan satu modus, mean, median, dan modusnya sama dan sama x0
.
Kasus yang paling penting adalah simetri sehubungan dengan 0, yaitu. xP =
0. Kemudian (3) dan (4) menjadi persamaan (5)
(6)
masing-masing. Hubungan di atas menunjukkan bahwa tidak perlu mentabulasi distribusi simetris untuk semua X, itu cukup untuk memiliki tabel untuk x x0
.
Kami mencatat satu lagi properti dari distribusi simetris, yang terus-menerus digunakan dalam metode pengambilan keputusan statistik-probabilistik dan penelitian terapan lainnya. Untuk fungsi distribusi kontinu R(a) = P (-a<Х
a) = F(a) - F(-a),
di mana F- fungsi distribusi variabel acak x.Jika fungsi distribusi Fsimetris terhadap 0, yaitu rumus (6) berlaku untuk itu, maka R(a) =2F(a) - 1.
Rumusan lain dari pernyataan yang sedang dipertimbangkan sering digunakan: jika Jika dan - urutan kuantil α
dan 1- α
masing-masing (lihat (2)) dari fungsi distribusi simetris terhadap 0, berikut dari (6) bahwa Dari karakteristik posisi - ekspektasi matematis, median, mode - mari kita beralih ke karakteristik penyebaran variabel acak X: penyebaran , simpangan baku σ
dan koefisien variasi v. Definisi dan sifat varians untuk variabel acak diskrit telah dibahas dalam bab sebelumnya. Untuk variabel acak kontinu Standar deviasi adalah nilai non-negatif dari akar kuadrat dari varians: Koefisien variasi adalah rasio simpangan baku dengan ekspektasi matematis: Koefisien variasi diterapkan ketika M(X)>0.Ini mengukur penyebaran dalam satuan relatif, sedangkan standar deviasi dalam satuan absolut. Contoh 6Untuk variabel acak terdistribusi seragam xtentukan varian, simpangan baku, dan koefisien variasi. dispersinya adalah: Substitusi variabel memungkinkan untuk menulis: di mana c = (b- sebuah)/2. Jadi, simpangan bakunya adalah , dan koefisien variasinya adalah: Untuk setiap variabel acak xtentukan tiga besaran lagi - terpusat y,dinormalisasi Vdan diberikan U.Variabel acak terpusat Y-adalah perbedaan antara variabel acak yang diberikan xdan ekspektasi matematisnya M(X),itu. Y \u003d X - M (X).Ekspektasi matematis dari variabel acak terpusat sama dengan 0, dan variansnya adalah varians dari variabel acak yang diberikan: M(Y) =0, D(Y) = D(X).fungsi distribusi Fkamu(x)variabel acak terpusat kamuberhubungan dengan fungsi distribusi F(x)variabel acak awal xperbandingan: Fkamu(x) = F (x + M(X)). Untuk kepadatan variabel acak ini, persamaan Fkamu(x) = f (x + M(X)).
Variabel acak yang dinormalisasi Vadalah rasio dari variabel acak yang diberikan xKe
simpangan bakunya σ , yaitu . Ekspektasi matematis dan varians dari variabel acak ternormalisasi Vdiekspresikan melalui karakteristik xJadi: di mana v- koefisien variasi variabel acak asli x.Untuk fungsi distribusi Fv(x)dan kepadatan Fv(x)variabel acak yang dinormalisasi Vkita punya: di mana F(x)- fungsi distribusi dari variabel acak asli x,sebuah f(x) -kepadatan probabilitasnya. Mengurangi variabel acak U-adalah variabel acak terpusat dan dinormalisasi: Untuk variabel acak tereduksi: (7)
Variabel acak yang dinormalisasi, dipusatkan, dan dikurangi terus-menerus digunakan baik dalam penelitian teoretis maupun dalam algoritme, produk perangkat lunak, dokumentasi peraturan dan teknis serta instruktif dan metodologis. Khususnya, karena memungkinkan untuk menyederhanakan pembuktian metode, rumusan teorema, dan rumus perhitungan. Transformasi variabel acak dan rencana yang lebih umum digunakan. Jadi jika Y \u003d aX + b,di mana sebuahdan B
adalah beberapa angka, maka (8)
Contoh 7Jika kemudian U -peubah acak tereduksi, dan rumus (8) diubah menjadi rumus (7). Dengan setiap variabel acak xAnda dapat menghubungkan banyak variabel acak y,diberikan oleh rumus Pada= aX+bdi berbagai a>0dan B.Himpunan ini disebut keluarga skala-pergeseran,dihasilkan oleh variabel acak x.Fungsi distribusi Fkamu(x)merupakan keluarga distribusi pergeseran skala yang dihasilkan oleh fungsi distribusi F(x).Dari pada Y= aX+ bnotasi yang sering digunakan (9)
Nomor Dengandisebut parameter shift, dan bilangan D- parameter skala. Rumus (9) menunjukkan bahwa X -hasil pengukuran besaran tertentu - menuju Y - hasil pengukuran besaran yang sama, jika awal pengukuran dipindahkan ke suatu titik Dengan,dan kemudian gunakan satuan ukuran baru, dalam Dkali lebih besar dari yang lama. Untuk keluarga pergeseran skala (9), distribusi X disebut standar. Dalam metode pengambilan keputusan statistik-probabilistik dan penelitian terapan lainnya, digunakan distribusi normal standar, distribusi Weibull-Gnedenko standar, distribusi gamma standar, dll. (lihat di bawah). Transformasi lain dari variabel acak juga digunakan. Misalnya, untuk variabel acak positif xmempertimbangkan Y=G x,dimana lg x-logaritma desimal dari suatu bilangan x.Rantai kesetaraan
100 r bonus pesanan pertama
Pilih jenis pekerjaan Tugas kelulusan Karya tulis Abstrak Tesis master Laporan praktik Artikel Laporan Review Tes monografi Pemecahan masalah Rencana bisnis Jawaban atas pertanyaan Karya kreatif Gambar Esai Komposisi Terjemahan Presentasi Mengetik Lainnya Meningkatkan keunikan teks Tesis kandidat Pekerjaan laboratorium Help on- garis
Minta harga
fungsi acak - fungsi yang, sebagai hasil dari pengalaman, dapat mengambil satu atau lain bentuk spesifik yang tidak diketahui sebelumnya. Biasanya, argumen fungsi acak (s.f.) adalah waktu, kemudian s.f. ditelepon proses acak(s.p.).
S.f. argumen yang terus berubah T disebut r.v., distribusinya tidak hanya bergantung pada argumen t=t1, tetapi juga pada nilai tertentu apa yang diambil nilai ini untuk nilai lain dari argumen ini t=t 2. Rv ini berkorelasi satu sama lain dan semakin banyak, semakin dekat dengan nilai argumen lainnya. Dalam limit, ketika interval antara dua nilai argumen cenderung nol, koefisien korelasi sama dengan satu:
itu. T 1 dan t1+Dt1 pada Dt1®0 berhubungan linier.
S.f. mengambil sebagai hasil dari satu percobaan kumpulan nilai yang tidak terhitung (umumnya tidak dapat dihitung) - satu untuk setiap nilai argumen atau untuk setiap kumpulan nilai argumen. Fungsi ini memiliki satu nilai yang terdefinisi dengan baik untuk setiap momen waktu. Hasil pengukuran besaran yang terus berubah adalah r.v., yang dalam setiap percobaan yang diberikan adalah fungsi waktu tertentu.
S.f. juga dapat dianggap sebagai himpunan r.v. yang tak terbatas, tergantung pada satu atau lebih parameter yang terus berubah T. Untuk setiap nilai parameter yang diberikan T sesuai dengan satu s di Xt. Bersama-sama semua r.v. x t tentukan s.f. X(t). Rv ini berkorelasi satu sama lain dan semakin kuat, semakin dekat satu sama lain.
Dasar s.f. adalah produk dari r.v. x ke beberapa fungsi non-acak j(t): X(t)=X×j(t), yaitu seperti s.f., di mana bukan bentuknya yang acak, tetapi hanya skalanya.
S.f. 
- memiliki m.d. sama dengan nol. P adalah densitas distribusi r.v. x(nilai s.f. X(t)) diambil pada nilai yang berubah-ubah T 1 argumen T.
Pelaksanaan s.f. X(t)– dijelaskan oleh persamaan x=f1(t) pada t=t1 dan persamaan x=f2(t) pada t=t2.
Fungsi Umum x=f1(t) dan x=f2(t)- berbagai fungsi. Tetapi fungsi-fungsi ini identik dan linier semakin banyak, semakin banyak ( t1®t2) T 1 lebih dekat ke T 2.
Kepadatan probabilitas satu dimensi dari s.f. p(x,t)- tergantung pada x dan dari parameter T. Kepadatan Probabilitas Bivariat p(x1,x2;t1,t2)– hukum bersama tentang distribusi nilai X(t1) dan X(t2) Dengan. F. X(t) untuk dua nilai arbitrer T dan T argumen T.
. (66.5)
Secara umum, fungsi X(t) ditandai dengan sejumlah besar n-hukum distribusi dimensi 
.
M.o. s.f. X(t)- fungsi non-acak , yang untuk setiap nilai argumen T sama dengan m.o. koordinat s.f. dengan argumen ini t.
- fungsi tergantung pada x dan T.
Demikian pula, varians adalah fungsi non-acak.
Derajat ketergantungan r.v. untuk nilai argumen yang berbeda ditandai dengan fungsi autokorelasi.
Fungsi autokorelasi s.f. X(t) Kx(ti,tj), yang untuk setiap pasangan nilai ti, tj sama dengan momen korelasi dari koordinat yang sesuai dari s.f. (pada saya=j fungsi korelasi (c.f.) berubah menjadi varians dari s.f.);
di mana adalah kerapatan distribusi gabungan dari dua r.v. (nilai s.f.) diambil pada dua nilai arbitrer T 1 dan T 2 argumen T. Pada t1=t2=t kita mendapatkan varians D(t).
Fungsi autokorelasi - atur m.d. hasil kali simpangan dua ordinat s.f. diambil dengan argumen t1 dan T 2, dari ordinat fungsi non-acak m.d. diambil dengan argumen yang sama.
Fungsi autokorelasi mencirikan derajat variabilitas s.f. ketika argumen berubah. pada gambar. dapat dilihat bahwa hubungan antara nilai-nilai s.f. sesuai dengan dua nilai argumen yang diberikan T- lebih lemah dalam kasus pertama.
Beras. Fungsi acak yang terkait secara korelasional
Jika dua s.f. X(t) dan Y(t), membentuk sistem tidak independen, maka fungsi korelasi timbal baliknya tidak identik sama dengan nol:
di mana adalah kerapatan distribusi gabungan dari dua r.v. (nilai dua s.f. X(t) dan Y(t)) diambil dengan dua argumen arbitrer ( T 1 - argumen fungsi X(t), T 2 - argumen fungsi Y(t)).
Jika X(t) dan Y(t) saling bebas, maka K XY( t1,t2)=0. Sistem n s.f. x 1(t),X2(t),...,Xn(t) dicirikan n m.o. 
, n fungsi autokorelasi dan banyak lagi n(n-1)/2 fungsi korelasi .
Fungsi korelasi timbal balik (mencirikan hubungan antara dua s.f., yaitu ketergantungan stokastik) dari dua s.f. X(t) dan Y(t)- fungsi non-acak dari dua argumen T saya dan T j, dimana untuk setiap pasangan nilai T Saya, T j sama dengan momen korelasi dari bagian yang sesuai dari s.f. Ini menetapkan hubungan antara dua nilai dari dua fungsi (nilai - r.v.), dengan dua argumen T 1 dan T 2.
Yang sangat penting adalah Perlengkapan tulis fitur acak , yang karakteristik probabilistiknya tidak berubah dengan pergeseran argumen apa pun. M.o. stasioner s.f. konstan (yaitu, itu bukan fungsi), dan fungsi korelasi hanya bergantung pada perbedaan nilai argumen T saya dan T J.
Ini adalah fungsi genap (simetris OY).
Dengan nilai interval waktu yang besar t=t2-t1 penyimpangan ordinat s.f. dari dia m.o. pada saat itu T 2 menjadi praktis tidak tergantung pada nilai penyimpangan ini pada saat itu T 1. Dalam hal ini, fungsi KX(t), memberikan nilai momen korelasi antara X(t1) dan X(t2), di T®¥ cenderung nol.
Banyak s.f. memiliki ergodik properti, yang terletak pada kenyataan bahwa dengan interval pengamatan yang terus meningkat, nilai rata-rata yang diamati dari stasioner s.f. dengan probabilitas sama dengan 1, akan terus mendekati m.d. Pengamatan stasioner s.f. pada nilai t yang berbeda selama interval yang cukup besar dalam satu percobaan setara dengan mengamati nilainya pada nilai yang sama T dalam sejumlah percobaan.
Kadang-kadang diperlukan untuk menentukan karakteristik dari s.f. yang ditransformasi. sesuai dengan karakteristik awal s.f. Jadi jika
(70.5),
kemudian 
itu. m.o. integral (turunan) dari s.f. sama dengan integral (turunan) dari m.d. ( y(t)- tingkat perubahan s.f. X(t), - laju perubahan m.r.).
Ketika mengintegrasikan atau membedakan s.f. kami juga mendapatkan s.f. Jika X(t) terdistribusi normal, maka Z(t) dan Y(t) juga terdistribusi secara normal. Jika X(t) adalah s.f. stasioner, maka Z(t) bukan lagi s.f. stasioner, karena 
tergantung pada T.
Contoh fungsi korelasi.
1) 
(dari (2) sebagai b®0); 2) 
;
3) 
; 4) 
;
5)
(dari (3) at B®0); 6) 
(dari (4) at B®0).
Pada grafik sebuah= 1, B= 5, S= 1.
sebuah- mencirikan laju penurunan korelasi antara koordinat s.f. dengan peningkatan perbedaan antara argumen dari ordinat ini T.
a/b- mencirikan "tingkat ketidakteraturan proses". Di kecil a/b ordinat proses ternyata berkorelasi kuat dan implementasi proses mirip dengan sinusoidal; dengan besar a/b 
(71.5).
Rumus (71) untuk fungsi stasioner berbentuk:
Fungsi korelasi s.f. dan turunannya 
. Untuk proses stasioner terdiferensiasi, ordinat dari s.f. dan turunannya yang diambil pada saat yang sama tidak berkorelasi r.v. (dan untuk proses normal dan independen).
Saat mengalikan s.f. pada satu deterministik, kami memperoleh s.f. Z(t)=a(t)X(t), yang fungsi korelasinya sama dengan
KZ(t1,t2)=a(t1)a(t2) KX(t1,t2) (72.5),
di mana pada) adalah fungsi deterministik.
Jumlah dua s.f. juga merupakan s.f. Z(t)=X(t)+Y(t) dan fungsi korelasinya dengan adanya korelasi antara X(t) dan Y(t):
KZ(t1,t2)=KX(t1,t2)+ KY(t1,t2)+ 2KXY(t1,t2),(73.5)
di mana KXY(t1,t2)- lihat (68.5) - fungsi korelasi timbal balik dari dua s.f. X(t) dan Y(t).
Jika X(t) dan Y(t) mandiri, maka KXY(t1,t2)=0. M.o. s.f. Z(t): 
.
PROSES RANDOM
DAN KARAKTERISTIKNYA
4.1. TUJUAN PEKERJAAN
Berkenalan dengan konsep dasar teori proses acak. Melakukan pengukuran karakteristik momen dan estimasi PDF nilai sesaat dari proses acak. Analisis jenis fungsi autokorelasi (ACF) dan kerapatan spektral daya (PSD) dari proses acak. Investigasi transformasi dari proses acak oleh stasioner linier dan rantai inersia non-linier.4.2. DATA TEORITIS
Peristiwa acak dan variabel acak
Suatu peristiwa yang mungkin atau mungkin tidak terjadi dalam beberapa pengalaman disebut kejadian acak dan dicirikan kemungkinan penerapan
. Nilai acak(SV) 
dapat mengambil satu nilai 
dari beberapa set 
; nilai ini disebut realisasi RV yang diberikan. dapat, misalnya, himpunan bilangan real 
atau subset darinya. Jika himpunan berhingga atau dapat dihitung (KV diskrit), kita dapat membicarakan peluangnya 
implementasi acara, yang terdiri dari penerimaan nilai oleh variabel acak, yaitu, pada himpunan nilai variabel acak diskrit, distribusi kemungkinan. Jika himpunan tidak dapat dihitung (misalnya, seluruh garis nyata), maka deskripsi lengkap dari variabel acak memberikan: fungsi distribusi, ditentukan oleh ekspresi 
,
di mana 
. Jika fungsi distribusi kontinu dan terdiferensial, maka dapat didefinisikan distribusi kepadatan probabilitas(PRD), juga disebut kerapatan probabilitas
(dan terkadang hanya kepadatan):
, di mana 
.
Jelasnya, fungsi distribusi adalah fungsi tak menurun tak-negatif dengan sifat-sifat 
, 
. Karena itu,
PDF adalah fungsi non-negatif yang memenuhi kondisi normalisasi 
.
Terkadang mereka terbatas pada karakteristik numerik dari variabel acak, paling sering momen. Dasar momen 
orde ke-th (momen awal ke-th)
,
di mana garis horizontal dan 
adalah notasi simbolis dari operator integral rata-rata ansambel. Momen awal pertama 
, disebut harapan matematis atau pusat distribusi.
Pusat momen orde ke-th (momen sentral ke-th)
Momen sentral yang paling umum adalah momen sentral kedua, atau penyebaran
Alih-alih dispersi, seseorang sering beroperasi simpangan baku(RMS) variabel acak 
.
^ Kotak tengah, atau momen awal kedua 
, terkait dengan varians dan ekspektasi matematis:
Koefisien digunakan untuk menggambarkan bentuk PDF asimetri 
dan koefisien kurtosis 
(terkadang kurtosis ditandai dengan nilai 
).
Distribusi normal, atau Gaussian (Gaussian) dengan PDF sering digunakan.
,
di mana 
dan 
– parameter distribusi (harapan matematis dan standar deviasi, masing-masing). Untuk distribusi Gaussian 
, 
.
Dua variabel acak dan 
dicirikan persendian kepadatan distribusi 
. Karakteristik numerik dari kerapatan sambungan adalah awal dan pusat Campuran momen
, 
,
dimana dan 
adalah bilangan bulat positif arbitrer; 
dan 
– ekspektasi matematis CB x dan kamu.
Momen campuran orde kedua yang paling umum digunakan adalah momen awal ( korelasional momen):
dan pusat ( kovarians saat, atau kovarians)
.
Untuk sepasang variabel acak Gaussian, PDF gabungan dua dimensi memiliki bentuk
di mana 
, 
– simpangan baku; 
– harapan matematis; 
– koefisien korelasi adalah momen kovarians ternormalisasi
.
Pada koefisien korelasi nol, jelas bahwa
,
yaitu tidak berkorelasi Variabel acak Gaussian Mandiri.
^
proses acak
Proses acak adalah urutan variabel acak yang diurutkan dalam urutan menaik oleh beberapa variabel (paling sering waktu). Dimungkinkan untuk beralih dari deskripsi variabel acak ke deskripsi proses acak dengan mempertimbangkan distribusi gabungan dari dua, tiga atau lebih nilai proses pada beberapa titik waktu yang berbeda. Secara khusus, mengingat proses dalam waktu bagian(pada 
), kami memperoleh fungsi distribusi bersama -dimensi dan kepadatan distribusi probabilitas dari variabel acak 
… 
, ditentukan oleh ekspresi
.
Proses acak dianggap benar-benar pasti, jika untuk apapun seseorang dapat menulis PDF bersamanya untuk pilihan titik waktu apa pun 
.
Seringkali, ketika menggambarkan proses acak, seseorang dapat membatasi diri pada satu set momen awal campurannya (jika ada, yaitu, integral yang sesuai konvergen)
dan momen pusat campuran
untuk bilangan bulat non-negatif 
dan secara umum.
Dalam kasus umum, momen PDF gabungan bergantung pada lokasi bagian pada sumbu waktu dan disebut fungsi momen. Momen sentral campuran kedua yang paling umum digunakan
,
disebut fungsi autokorelasi atau fungsi autokorelasi (ACF). Ingatlah bahwa di sini dan di bawah ketergantungan pada waktu tidak secara eksplisit ditunjukkan, yaitu, fungsi waktu adalah 
, 
dan 
.
Dua proses acak dapat dipertimbangkan bersama 
dan 
; pertimbangan seperti itu mengandaikan deskripsi mereka dalam bentuk PDF multidimensi bersama, serta dalam bentuk kumpulan semua momen, termasuk momen campuran. Paling sering, momen pusat campuran kedua digunakan dalam kasus ini.
,
disebut fungsi korelasi silang 
.
Di antara semua proses acak, SP dipilih di mana PDF dimensi gabungan tidak berubah dengan perubahan simultan (pergeseran) dari semua bagian waktu dengan nilai yang sama. Proses seperti ini disebut stasioner dalam arti sempit atau benar-benar stasioner.
Lebih sering, kelas yang lebih luas dari proses acak dengan sifat stasioneritas yang lemah dipertimbangkan. Usaha patungan tersebut disebut stasioner dalam arti luas, jika geser simultan bagian tidak hanya mengubah momennya tidak lebih tinggi dari yang kedua memesan. Dalam praktiknya, ini berarti SP dalam arti luas stasioner jika memiliki konstanta rata-rata(harapan matematis) dan penyebaran 
, sedangkan ACF hanya bergantung pada perbedaan antara instans waktu, tetapi tidak pada posisinya pada sumbu waktu:
1) 
,
2) , 
.
perhatikan itu 
, yang menyiratkan keteguhan varians.
Sangat mudah untuk memverifikasi bahwa suatu proses yang stasioner dalam arti sempit juga stasioner dalam arti luas. Pernyataan sebaliknya umumnya tidak benar, meskipun ada proses yang stasioneritas dalam arti luas menyiratkan stasioneritas dalam arti sempit.
PDF pembacaan bersama-dimensi 
Proses Gaussian, diambil dalam bagian waktu , memiliki bentuk
, (4.1)
di mana 
adalah determinan matriks bujur sangkar yang terdiri dari koefisien korelasi berpasangan dari pembacaan; 
– komplemen aljabar suatu unsur 
matriks ini.
PDF Gaussian gabungan untuk sembarang ditentukan sepenuhnya oleh ekspektasi matematis, varians, dan koefisien korelasi sampel, yaitu, fungsi momen tidak lebih tinggi dari orde kedua. Jika proses Gaussian stasioner dalam arti luas, maka semua ekspektasi matematis adalah sama, semua varians (dan karenanya RMS) sama satu sama lain, dan koefisien korelasi hanya ditentukan oleh seberapa jauh bagian waktu dari satu sama lain. Kemudian, jelas, PDF (4.1) tidak akan berubah jika semua bagian waktu digeser ke kiri atau ke kanan dengan jumlah yang sama. Oleh karena itu berikut ini proses Gaussian yang stasioner dalam arti luas juga stasioner dalam arti sempit(benar-benar stasioner).
Di antara proses acak yang benar-benar stasioner, kelas yang lebih sempit sering dibedakan ergodik proses acak. Untuk proses ergodik, momen yang ditemukan dengan rata-rata pada ansambel sama dengan momen yang sesuai yang ditemukan dengan rata-rata dari waktu ke waktu:
,
(di sini 
adalah notasi simbolis dari operator rata-rata waktu).
Khususnya, untuk proses ergodik, ekspektasi matematis, varians, dan ACF berturut-turut adalah,
,
,
Ergodisitas sangat diinginkan, karena memungkinkan untuk secara praktis mengukur (memperkirakan) karakteristik numerik dari proses acak. Faktanya adalah bahwa biasanya hanya satu (walaupun mungkin cukup lama) implementasi dari proses acak tersedia untuk pengamat. Ergodisitas berarti, pada dasarnya, bahwa realisasi tunggal ini adalah perwakilan penuh dari seluruh ansambel.
Pengukuran karakteristik suatu proses ergodik dapat dilakukan dengan alat ukur sederhana; jadi, jika prosesnya adalah tegangan yang bergantung pada waktu, maka voltmeter magnetoelektrik sistem mengukur ekspektasi matematisnya (komponen konstan), voltmeter dari sistem elektromagnetik atau termoelektrik, yang dihubungkan melalui kapasitansi pemisah (untuk mengecualikan komponen konstan), mengukur nilai akar rata-rata kuadrat (RMS). Perangkat, diagram blok yang ditunjukkan pada gambar. 4.1, memungkinkan Anda mengukur nilai fungsi autokorelasi untuk berbagai 
. Filter low-pass berperan sebagai integrator di sini, kapasitor melakukan pemusatan proses, karena tidak melewatkan komponen arus searah. Perangkat ini disebut correlometer.
Beras. 4.1
Kondisi yang cukup untuk ergodisitas proses acak stasioner adalah kondisi 
, serta kurang kuat Kondisi slutsky 
.
^
Algoritma Diskrit untuk Memperkirakan Parameter SP
Ekspresi di atas untuk menemukan estimasi parameter SP dan fungsi korelasi berlaku untuk waktu kontinu. Dalam pekerjaan laboratorium ini (seperti dalam banyak sistem dan perangkat teknis modern), sinyal analog dihasilkan dan diproses oleh perangkat digital, yang menyebabkan perlunya beberapa modifikasi ekspresi yang sesuai. Secara khusus, untuk menentukan perkiraan ekspektasi matematis, ekspresi digunakan sampel berarti
,
di mana 
adalah urutan pembacaan proses ( Sampel volume 
). Estimasi variansnya adalah varians sampel, ditentukan oleh ekspresi
.
Estimasi fungsi autokorelasi, atau disebut korelogram, ditemukan sebagai
.
Estimasi densitas distribusi probabilitas dari nilai sesaat SSP adalah grafik batang. Untuk menemukannya, kisaran nilai SP yang mungkin dibagi menjadi: 
interval dengan lebar yang sama, maka untuk masing-masing 
interval ke-, jumlah 
sampel sampel termasuk di dalamnya. Histogram adalah himpunan bilangan 
, biasanya ditampilkan sebagai diagram teralis. Jumlah interval untuk ukuran sampel tertentu dipilih berdasarkan kompromi antara akurasi estimasi dan resolusi (derajat detail) histogram.
^
Teori korelasi-spektral dari proses acak
Jika kita hanya tertarik pada karakteristik momen orde pertama dan kedua, yang menentukan sifat stasioneritas dalam arti luas, maka deskripsi SP stasioner dilakukan pada tingkat fungsi autokorelasi. 
dan kerapatan spektral daya 
, dihubungkan oleh sepasang Transformasi Fourier ( Teorema Wiener-Khinchin):
, 
.
Jelas, SPM non-negatif fungsi. Jika proses memiliki ekspektasi matematis bukan nol , maka summand ditambahkan ke PSD 
.
Untuk proses nyata, ACF dan SPM adalah fungsi genap.
Terkadang Anda dapat membatasi diri Anda pada karakteristik numerik - interval korelasi dan lebar efektif spektrum. ^ Interval korelasi didefinisikan dengan cara yang berbeda, khususnya, definisi berikut diketahui: