Ya, ya: perkembangan aritmatika bukanlah mainan untuk Anda :)

Baiklah teman-teman, jika Anda membaca teks ini, maka bukti batas internal memberi tahu saya bahwa Anda belum tahu apa itu barisan aritmatika, tetapi Anda benar-benar (tidak, seperti itu: SANGAT!) ingin tahu. Oleh karena itu, saya tidak akan menyiksa Anda dengan perkenalan yang panjang dan akan langsung ke pokok permasalahan.

Pertama, beberapa contoh. Mari kita lihat beberapa kumpulan angka:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Apa kesamaan dari semua rangkaian ini? Sekilas, tidak ada apa-apa. Namun sebenarnya ada sesuatu. Yaitu: setiap elemen berikutnya berbeda dari elemen sebelumnya dengan nomor yang sama.

Nilailah sendiri. Set pertama hanyalah angka-angka yang berurutan, setiap set berikutnya lebih banyak satu dari yang sebelumnya. Dalam kasus kedua, selisih angka-angka yang berdekatan sudah lima, tetapi selisihnya tetap konstan. Dalam kasus ketiga, ada akar-akarnya sama sekali. Namun, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, dan $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, yaitu dan dalam hal ini, setiap elemen berikutnya hanya bertambah sebesar $\sqrt(2)$ (dan jangan takut bahwa angka ini tidak rasional).

Jadi: semua barisan seperti itu disebut barisan aritmatika. Mari kita berikan definisi yang tegas:

Definisi. Barisan bilangan yang setiap bilangan berikutnya berbeda dengan bilangan sebelumnya dengan jumlah yang sama persis disebut barisan aritmatika. Besarnya perbedaan angka-angka tersebut disebut selisih perkembangan dan paling sering dilambangkan dengan huruf $d$.

Notasi: $\left(((a)_(n)) \right)$ adalah perkembangannya sendiri, $d$ adalah selisihnya.

Dan hanya beberapa catatan penting. Pertama, kemajuan hanya dipertimbangkan dipesan urutan angka: angka-angka tersebut boleh dibaca secara ketat sesuai urutan penulisannya - dan tidak ada yang lain. Nomor tidak dapat diatur ulang atau ditukar.

Kedua, barisan itu sendiri bisa berhingga atau tak terhingga. Misalnya, himpunan (1; 2; 3) jelas merupakan barisan aritmatika berhingga. Tetapi jika Anda menulis sesuatu dalam semangat (1; 2; 3; 4; ...) - ini sudah merupakan perkembangan yang tak ada habisnya. Elipsis setelah angka empat sepertinya mengisyaratkan bahwa masih ada beberapa angka lagi yang akan datang. Banyak sekali, misalnya. :)

Saya juga ingin mencatat bahwa kemajuan dapat meningkat atau menurun. Kita telah melihat peningkatan - himpunan yang sama (1; 2; 3; 4; ...). Berikut adalah contoh perkembangan yang menurun:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Oke oke: contoh terakhir mungkin tampak terlalu rumit. Tapi selebihnya, saya rasa, Anda mengerti. Oleh karena itu, kami memperkenalkan definisi baru:

Definisi. Perkembangan aritmatika disebut:

1. meningkat jika setiap elemen berikutnya lebih besar dari elemen sebelumnya;
2. menurun jika, sebaliknya, setiap elemen berikutnya lebih kecil dari elemen sebelumnya.

Selain itu, ada yang disebut barisan "stasioner" - barisan tersebut terdiri dari bilangan berulang yang sama. Misalnya, (3; 3; 3; ...).

Hanya satu pertanyaan yang tersisa: bagaimana membedakan kemajuan yang meningkat dan kemajuan yang menurun? Untungnya, semuanya di sini hanya bergantung pada tanda angka $d$, mis. perbedaan perkembangan:

1. Jika $d \gt 0$, maka perkembangannya meningkat;
2. Jika $d \lt 0$, maka perkembangannya jelas menurun;
3. Terakhir, ada kasus $d=0$ - dalam hal ini seluruh perkembangan direduksi menjadi urutan stasioner nomor yang identik: (1; 1; 1; 1; ...), dst.

Mari kita coba menghitung selisih $d$ untuk tiga perkembangan menurun yang diberikan di atas. Untuk melakukan ini, cukup dengan mengambil dua elemen yang berdekatan (misalnya, yang pertama dan kedua) dan mengurangi angka di sebelah kiri dari angka di sebelah kanan. Ini akan terlihat seperti ini:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Seperti yang bisa kita lihat, secara keseluruhan tiga kasus perbedaannya ternyata negatif. Dan sekarang setelah kita sedikit banyak memahami definisinya, sekarang saatnya mencari tahu bagaimana perkembangan dijelaskan dan properti apa yang dimilikinya.

Syarat perkembangan dan rumus perulangan

Karena elemen-elemen dari barisan kita tidak dapat ditukar, mereka dapat diberi nomor:

\[\kiri(((a)_(n)) \kanan)=\kiri\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \Kanan\)\]

Elemen-elemen individual dari himpunan ini disebut anggota suatu perkembangan. Mereka ditandai dengan nomor: anggota pertama, anggota kedua, dst.

Selain itu, seperti yang telah kita ketahui, suku-suku yang berdekatan dari perkembangan tersebut dihubungkan dengan rumus:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Panah Kanan ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Singkatnya, untuk mencari suku ke $n$ suatu perkembangan, Anda perlu mengetahui suku ke $n-1$ dan selisih $d$. Rumus ini disebut berulang, karena dengan bantuannya Anda dapat menemukan bilangan apa pun hanya dengan mengetahui bilangan sebelumnya (dan sebenarnya semua bilangan sebelumnya). Ini sangat merepotkan, jadi ada rumus yang lebih rumit yang mengurangi perhitungan apa pun menjadi suku pertama dan selisihnya:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\kiri(n-1 \kanan)d\]

Anda mungkin pernah menemukan rumus ini. Mereka suka memberikannya dalam berbagai macam buku referensi dan buku solusi. Dan dalam buku pelajaran matematika yang masuk akal, ini adalah salah satu yang pertama.

Namun, saya sarankan Anda berlatih sedikit.

Tugas No.1. Tuliskan tiga suku pertama barisan aritmatika $\left(((a)_(n)) \right)$ jika $((a)_(1))=8,d=-5$.

Larutan. Jadi, kita mengetahui suku pertama $((a)_(1))=8$ dan selisih perkembangannya $d=-5$. Mari kita gunakan rumus yang baru saja diberikan dan gantikan $n=1$, $n=2$ dan $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \kanan)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\kiri(1-1 \kanan)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\kiri(2-1 \kanan)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\kiri(3-1 \kanan)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(sejajarkan)\]

Jawaban: (8; 3; −2)

Itu saja! Harap dicatat: kemajuan kami menurun.

Tentu saja, $n=1$ tidak dapat diganti - istilah pertama sudah kita ketahui. Namun, dengan mengganti kesatuan, kami yakin bahwa bahkan untuk suku pertama, rumus kami berhasil. Dalam kasus lain, semuanya bermuara pada aritmatika yang dangkal.

Tugas No.2. Tuliskan tiga suku pertama suatu barisan aritmatika jika suku ketujuh sama dengan −40 dan suku ketujuh belas sama dengan −50.

Larutan. Mari kita tuliskan kondisi masalahnya dalam istilah yang familiar:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\kiri\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(sejajarkan) \kanan.\]

\[\kiri\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \Kanan.\]

Saya beri tanda sistem karena persyaratan ini harus dipenuhi secara bersamaan. Sekarang perhatikan bahwa jika kita mengurangi persamaan pertama dari persamaan kedua (kita berhak melakukan ini, karena kita mempunyai sistem), kita mendapatkan ini:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \kanan)=-50-\left(-40 \kanan); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(sejajarkan)\]

Begitulah mudahnya menemukan perbedaan perkembangannya! Yang tersisa hanyalah mengganti bilangan yang ditemukan ke dalam persamaan sistem mana pun. Misalnya, yang pertama:

\[\begin(matriks) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(matriks)\]

Sekarang, setelah mengetahui suku pertama dan selisihnya, tinggal mencari suku kedua dan ketiga:

\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(sejajarkan)\]

Siap! Masalah terpecahkan.

Jawaban: (−34; −35; −36)

Perhatikan sifat menarik dari perkembangan yang kita temukan: jika kita mengambil suku $n$th dan $m$th dan mengurangkannya satu sama lain, kita mendapatkan selisih perkembangan dikalikan dengan angka $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \kiri(n-m \kanan)\]

Sederhana namun sangat properti yang berguna, yang pasti perlu Anda ketahui - dengan bantuannya Anda dapat mempercepat penyelesaian banyak masalah perkembangan secara signifikan. Berikut ini contoh jelasnya:

Tugas No.3. Suku kelima suatu barisan aritmatika adalah 8,4 dan suku kesepuluhnya adalah 14,4. Temukan suku kelima belas dari perkembangan ini.

Larutan. Karena $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, dan kita perlu mencari $((a)_(15))$, kita perhatikan hal berikut:

\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(sejajarkan)\]

Tetapi dengan kondisi $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, maka $5d=6$, dari mana kita mendapatkan:

\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(sejajarkan)\]

Jawaban: 20.4

Itu saja! Kami tidak perlu membuat sistem persamaan apa pun dan menghitung suku pertama serta selisihnya - semuanya diselesaikan hanya dalam beberapa baris.

Sekarang mari kita lihat jenis masalah lainnya - mencari suku negatif dan positif dari suatu perkembangan. Bukan rahasia lagi bahwa jika suatu perkembangan meningkat, dan suku pertamanya negatif, maka cepat atau lambat suku-suku positif akan muncul di dalamnya. Dan sebaliknya: kondisi perkembangan yang menurun cepat atau lambat akan menjadi negatif.

Pada saat yang sama, tidak selalu mungkin untuk menemukan momen ini secara langsung dengan menelusuri elemen-elemennya secara berurutan. Seringkali, soal ditulis sedemikian rupa sehingga tanpa mengetahui rumusnya, perhitungannya akan memakan beberapa lembar kertas—kita hanya akan tertidur saat menemukan jawabannya. Oleh karena itu, mari kita coba menyelesaikan masalah ini dengan lebih cepat.

Tugas No.4. Berapa banyak suku negatif pada barisan aritmatika −38.5; −35.8; ...?

Larutan. Jadi, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, dari situ langsung kita cari perbedaannya:

Perhatikan bahwa perbedaannya positif, sehingga perkembangannya meningkat. Suku pertama adalah negatif, jadi suatu saat kita akan menemukan bilangan positif. Satu-satunya pertanyaan adalah kapan hal ini akan terjadi.

Mari kita coba mencari tahu: sampai kapan (yaitu sampai apa bilangan asli$n$) ketentuan negatifnya dipertahankan:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Panah Kanan ((a)_(1))+\left(n-1 \kanan)d \lt 0; \\ & -38.5+\kiri(n-1 \kanan)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \kiri| \cdot 10 \kanan. \\ & -385+27\cdot \kiri(n-1 \kanan) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Panah Kanan ((n)_(\max ))=15. \\ \end(sejajarkan)\]

Baris terakhir memerlukan beberapa penjelasan. Jadi kita tahu bahwa $n \lt 15\frac(7)(27)$. Di sisi lain, kita hanya puas dengan nilai bilangan bulat dari bilangan tersebut (apalagi: $n\in \mathbb(N)$), sehingga bilangan terbesar yang diizinkan adalah $n=15$, dan tidak berarti 16 .

Tugas No.5. Dalam perkembangan aritmatika $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Tentukan bilangan suku positif pertama dari barisan tersebut.

Ini akan menjadi masalah yang sama persis dengan masalah sebelumnya, tetapi kita tidak mengetahui $((a)_(1))$. Namun suku-suku tetangganya sudah diketahui: $((a)_(5))$ dan $((a)_(6))$, sehingga kita dapat dengan mudah mencari perbedaan perkembangannya:

Selain itu, mari kita coba nyatakan suku kelima melalui suku pertama dan selisihnya menggunakan rumus standar:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(sejajarkan)\]

Sekarang kita lanjutkan dengan analogi dengan tugas sebelumnya. Mari kita cari tahu di titik mana angka positif akan muncul dalam urutan kita:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Panah Kanan ((n)_(\min ))=56. \\ \end(sejajarkan)\]

Solusi bilangan bulat minimum dari pertidaksamaan ini adalah angka 56.

Harap dicatat: dalam tugas terakhir semuanya bermuara pada ketidaksetaraan yang ketat, jadi opsi $n=55$ tidak cocok untuk kita.

Sekarang kita telah mempelajari cara memecahkan masalah sederhana, mari beralih ke masalah yang lebih kompleks. Tapi pertama-tama, mari kita pelajari properti lain yang sangat berguna perkembangan aritmatika, yang akan menghemat banyak waktu dan sel yang tidak seimbang di masa depan. :)

Rata-rata aritmatika dan lekukan yang sama

Mari kita perhatikan beberapa suku berurutan dari barisan aritmatika meningkat $\left(((a)_(n)) \right)$. Mari kita coba menandainya pada garis bilangan:

Suku-suku barisan aritmatika pada garis bilangan

Saya secara khusus menandai istilah arbitrer $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, dan bukan $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$, dll. Karena aturan yang akan saya ceritakan sekarang berlaku sama untuk "segmen" mana pun.

Dan aturannya sangat sederhana. Mari kita mengingat rumus berulang dan menuliskannya untuk semua suku yang ditandai:

\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(sejajarkan)\]

Namun, persamaan ini dapat ditulis ulang secara berbeda:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(sejajarkan)\]

Jadi kenapa? Dan fakta bahwa suku $((a)_(n-1))$ dan $((a)_(n+1))$ terletak pada jarak yang sama dari $((a)_(n)) $ . Dan jarak ini sama dengan $d$. Hal yang sama dapat dikatakan tentang istilah $((a)_(n-2))$ dan $((a)_(n+2))$ - keduanya juga dihapus dari $((a)_(n) )$ pada jarak yang sama sama dengan $2d$. Kita dapat melanjutkannya tanpa batas waktu, tetapi maknanya diilustrasikan dengan baik oleh gambar

Syarat-syarat perkembangannya terletak pada jarak yang sama dari pusat

Apa artinya ini untuk kita? Artinya $((a)_(n))$ dapat ditemukan jika bilangan tetangganya diketahui:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Kita telah memperoleh pernyataan yang sangat bagus: setiap suku suatu barisan aritmatika sama dengan rata-rata aritmatika suku-suku tetangganya! Selain itu: kita dapat mundur dari $((a)_(n))$ ke kiri dan ke kanan bukan dengan satu langkah, tetapi dengan $k$ langkah - dan rumusnya akan tetap benar:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Itu. kita dapat dengan mudah menemukan $((a)_(150))$ jika kita mengetahui $((a)_(100))$ dan $((a)_(200))$, karena $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Pada pandangan pertama, tampaknya fakta ini tidak memberi kita sesuatu yang berguna. Namun, dalam praktiknya, banyak soal yang dirancang khusus untuk menggunakan mean aritmatika. Lihatlah:

Tugas No.6. Tentukan semua nilai $x$ yang bilangan $-6((x)^(2))$, $x+1$, dan $14+4((x)^(2))$ merupakan suku-suku yang berurutan perkembangan aritmatika (dalam urutan yang ditunjukkan).

Larutan. Karena bilangan-bilangan ini adalah anggota suatu perkembangan, kondisi rata-rata aritmatika terpenuhi untuk bilangan-bilangan tersebut: elemen pusat $x+1$ dapat dinyatakan dalam elemen-elemen tetangganya:

\[\begin(sejajarkan) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(sejajarkan)\]

Ternyata klasik persamaan kuadrat. Akarnya: $x=2$ dan $x=-3$ adalah jawabannya.

Jawaban: −3; 2.

Tugas No.7. Temukan nilai $$ yang bilangan $-1;4-3;(()^(2))+1$ membentuk barisan aritmatika (dalam urutan itu).

Larutan. Mari kita nyatakan kembali suku tengah melalui mean aritmatika suku-suku tetangganya:

\[\begin(sejajarkan) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \kiri| \cdot 2 \kanan.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(sejajarkan)\]

Persamaan kuadrat lagi. Dan sekali lagi ada dua akar: $x=6$ dan $x=1$.

Jawaban 1; 6.

Jika dalam proses penyelesaian suatu masalah Anda menemukan beberapa angka brutal, atau Anda tidak sepenuhnya yakin akan kebenaran jawaban yang ditemukan, maka ada teknik luar biasa yang memungkinkan Anda memeriksa: apakah kita sudah menyelesaikan masalah dengan benar?

Katakanlah dalam soal No. 6 kita menerima jawaban −3 dan 2. Bagaimana kita dapat memeriksa kebenaran jawaban tersebut? Mari kita sambungkan ke kondisi aslinya dan lihat apa yang terjadi. Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa kita memiliki tiga angka ($-6(()^(2))$, $+1$ dan $14+4(()^(2))$), yang harus membentuk barisan aritmatika. Mari kita substitusikan $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Panah Kanan \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(sejajarkan)\]

Kami mendapat angka −54; −2; 50 yang berbeda 52 tentu merupakan barisan aritmatika. Hal yang sama terjadi untuk $x=2$:

\[\begin(align) & x=2\Panah Kanan \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(sejajarkan)\]

Sekali lagi merupakan kemajuan, tetapi dengan selisih 27. Dengan demikian, masalah terselesaikan dengan benar. Mereka yang ingin dapat memeriksa sendiri masalah kedua, tetapi saya akan segera mengatakan: semuanya juga benar di sana.

Secara umum, saat menyelesaikan masalah terakhir, kami menemukan masalah lain fakta yang menarik, yang juga perlu diingat:

Jika tiga angka sedemikian rupa sehingga angka kedua berada di tengah aritmatika terlebih dahulu dan terakhir, maka bilangan-bilangan tersebut membentuk barisan aritmatika.

Di masa depan, memahami pernyataan ini akan memungkinkan kita untuk secara harfiah “membangun” kemajuan yang diperlukan berdasarkan kondisi masalah. Namun sebelum kita melakukan “konstruksi” tersebut, kita harus memperhatikan satu fakta lagi, yang langsung mengikuti apa yang telah dibahas.

Mengelompokkan dan menjumlahkan elemen

Mari kita kembali ke sumbu bilangan lagi. Mari kita perhatikan ada beberapa anggota perkembangan, mungkin di antaranya. bernilai banyak anggota lainnya:

Ada 6 elemen yang ditandai pada garis bilangan

Mari kita coba menyatakan “ekor kiri” melalui $((a)_(n))$ dan $d$, dan “ekor kanan” melalui $((a)_(k))$ dan $d$. Ini sangat sederhana:

\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(sejajarkan)\]

Sekarang perhatikan bahwa jumlah berikut ini sama:

\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(sejajarkan)\]

Sederhananya, jika kita menganggap sebagai permulaan dua elemen perkembangan, yang totalnya sama dengan suatu bilangan $S$, dan kemudian mulai melangkah dari elemen-elemen ini ke arah yang berlawanan (ke arah satu sama lain atau sebaliknya menjauh), Kemudian jumlah elemen yang akan kita temukan juga akan sama$S$. Hal ini dapat direpresentasikan dengan jelas secara grafis:

Lekukan yang sama memberikan jumlah yang sama

Memahami fakta ini akan memungkinkan kita memecahkan masalah secara lebih mendasar level tinggi kesulitan daripada yang kami pertimbangkan di atas. Misalnya, ini:

Tugas No.8. Tentukan selisih barisan aritmatika yang suku pertamanya 66 dan hasil kali suku kedua dan kedua belas adalah yang terkecil.

Larutan. Mari kita tuliskan semua yang kita ketahui:

\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(sejajarkan)\]

Jadi, kita tidak mengetahui perbedaan perkembangan $d$. Sebenarnya, seluruh solusi akan dibangun berdasarkan perbedaan tersebut, karena produk $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ dapat ditulis ulang sebagai berikut:

\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\kiri(66+d \kanan)\cdot \kiri(66+11d \kanan)= \\ & =11 \cdot \kiri(d+66 \kanan)\cdot \kiri(d+6 \kanan). \end(sejajarkan)\]

Bagi yang berada di dalam tangki: Saya mengambil total pengali 11 dari braket kedua. Jadi, hasil kali yang diinginkan adalah fungsi kuadrat terhadap variabel $d$. Oleh karena itu, pertimbangkan fungsi $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - grafiknya akan menjadi parabola dengan cabang ke atas, karena jika kita memperluas tanda kurung, kita mendapatkan:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(sejajarkan)\]

Seperti yang Anda lihat, koefisien suku tertinggi adalah 11 - ini adalah nomor positif, jadi kita sebenarnya berurusan dengan parabola yang bercabang ke atas:

jadwal fungsi kuadrat- parabola

Harap diperhatikan: parabola ini mengambil nilai minimumnya pada titik puncaknya dengan absis $((d)_(0))$. Tentu saja absis ini dapat kita hitung dengan cara skema standar(ada rumus $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), tetapi akan lebih masuk akal untuk dicatat bahwa titik sudut yang diinginkan terletak pada sumbu simetri dari parabola, jadi titik $((d) _(0))$ berjarak sama dari akar persamaan $f\left(d \right)=0$:

\[\begin(sejajarkan) & f\kiri(d \kanan)=0; \\ & 11\cdot \kiri(d+66 \kanan)\cdot \kiri(d+6 \kanan)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(sejajarkan)\]

Itu sebabnya saya tidak terburu-buru membuka tanda kurung: dalam bentuk aslinya, akarnya sangat-sangat mudah ditemukan. Oleh karena itu, absisnya sama dengan mean aritmatika dari bilangan −66 dan −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Apa yang diberikan oleh angka yang ditemukan kepada kita? Dengan bantuannya, produk yang dibutuhkan diambil nilai terkecil(omong-omong, kami tidak pernah menghitung $((y)_(\min ))$ - ini tidak diwajibkan dari kami). Selain itu, angka ini adalah selisih dari perkembangan aslinya, yaitu. kami menemukan jawabannya. :)

Jawaban: −36

Tugas No.9. Di antara bilangan $-\frac(1)(2)$ dan $-\frac(1)(6)$ masukkan tiga bilangan sehingga bersama-sama dengan bilangan tersebut membentuk barisan aritmatika.

Larutan. Intinya, kita perlu membuat barisan lima angka, dengan angka pertama dan nomor terakhir sudah diketahui. Mari kita nyatakan angka yang hilang dengan variabel $x$, $y$ dan $z$:

\[\kiri(((a)_(n)) \kanan)=\kiri\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \kanan\ )\]

Perhatikan bahwa angka $y$ adalah “tengah” barisan kita - jaraknya sama dari angka $x$ dan $z$, dan dari angka $-\frac(1)(2)$ dan $-\frac (1)( 6)$. Dan jika saat ini kita tidak dapat memperoleh $y$ dari angka $x$ dan $z$, maka situasinya berbeda dengan akhir perkembangannya. Mari kita ingat mean aritmatika:

Sekarang, dengan mengetahui $y$, kita akan mencari angka sisanya. Perhatikan bahwa $x$ terletak di antara angka $-\frac(1)(2)$ dan $y=-\frac(1)(3)$ yang baru saja kita temukan. Itu sebabnya

Dengan menggunakan alasan serupa, kami menemukan jumlah sisanya:

Siap! Kami menemukan ketiga nomor tersebut. Mari kita tuliskan dalam jawaban sesuai urutan sisipannya di antara angka aslinya.

Jawaban: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Tugas No.10. Di antara angka-angka 2 dan 42, sisipkan beberapa angka yang bersama-sama dengan angka-angka tersebut membentuk barisan aritmatika, jika diketahui jumlah angka pertama, kedua, dan terakhir yang disisipkan adalah 56.

Larutan. Masalah yang lebih kompleks, yang, bagaimanapun, diselesaikan sesuai dengan skema yang sama seperti yang sebelumnya - melalui mean aritmatika. Soalnya kita tidak tahu persis berapa angka yang perlu dimasukkan. Oleh karena itu, mari kita asumsikan dengan pasti bahwa setelah memasukkan semuanya akan ada tepat $n$ angka, dan yang pertama adalah 2, dan yang terakhir adalah 42. Dalam hal ini, perkembangan aritmatika yang diperlukan dapat direpresentasikan dalam bentuk:

\[\kiri(((a)_(n)) \kanan)=\kiri\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \kanan\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Namun perhatikan bahwa angka $((a)_(2))$ dan $((a)_(n-1))$ diperoleh dari angka 2 dan 42 di tepinya dengan satu langkah ke arah satu sama lain, yaitu.. ke tengah urutan. Dan ini berarti itu

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Namun kemudian ungkapan yang tertulis di atas dapat ditulis ulang sebagai berikut:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \kiri(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \kanan)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(sejajarkan)\]

Mengetahui $((a)_(3))$ dan $((a)_(1))$, kita dapat dengan mudah menemukan perbedaan perkembangannya:

\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\kiri(3-1 \kanan)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Panah Kanan d=5. \\ \end(sejajarkan)\]

Yang tersisa hanyalah menemukan suku-suku yang tersisa:

\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(sejajarkan)\]

Jadi, sudah pada langkah ke-9 kita akan sampai di ujung kiri barisan - angka 42. Total yang harus dimasukkan hanya 7 angka: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Jawaban: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Masalah kata dengan perkembangan

Sebagai kesimpulan, saya ingin mempertimbangkan beberapa hal secara relatif tugas-tugas sederhana. Sesederhana itu: bagi sebagian besar siswa yang belajar matematika di sekolah dan belum membaca apa yang tertulis di atas, soal-soal ini mungkin terasa sulit. Meskipun demikian, ini adalah jenis soal yang muncul di OGE dan Ujian Negara Terpadu matematika, jadi saya sarankan Anda membiasakan diri dengannya.

Tugas No.11. Tim memproduksi 62 bagian pada bulan Januari, dan pada setiap bulan berikutnya mereka memproduksi 14 bagian lebih banyak dibandingkan bulan sebelumnya. Berapa banyak bagian yang diproduksi tim pada bulan November?

Larutan. Jelasnya, jumlah bagian yang diurutkan berdasarkan bulan akan mewakili perkembangan aritmatika yang meningkat. Lebih-lebih lagi:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\kiri(n-1 \kanan)\cdot 14. \\ \end(align)\]

November adalah bulan ke-11 dalam setahun, jadi kita perlu mencari $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Oleh karena itu, 202 suku cadang akan diproduksi pada bulan November.

Tugas No.12. Workshop penjilidan buku pada bulan Januari berjumlah 216 buku, dan setiap bulan berikutnya menjilid 4 buku lebih banyak dibandingkan bulan sebelumnya. Berapa banyak buku yang dijilid lokakarya pada bulan Desember?

Larutan. Semua sama:

$\begin(sejajarkan) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\kiri(n-1 \kanan)\cdot 4. \\ \end(align)$

Desember adalah bulan terakhir, bulan ke-12 dalam setahun, jadi kita mencari $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Inilah jawabannya - 260 buku akan dijilid pada bulan Desember.

Nah, jika Anda sudah membaca sejauh ini, saya segera mengucapkan selamat kepada Anda: Anda telah berhasil menyelesaikan “kursus petarung muda” dalam perkembangan aritmatika. Anda dapat dengan aman melanjutkan ke pelajaran berikutnya, di mana kita akan mempelajari rumus jumlah perkembangan, serta konsekuensi penting dan sangat berguna darinya.

Beberapa orang memperlakukan kata “kemajuan” dengan hati-hati, sebagai istilah yang sangat kompleks dari beberapa bagian matematika yang lebih tinggi. Sedangkan barisan aritmatika yang paling sederhana adalah kerja meteran taksi (yang masih ada). Dan memahami esensi (dan dalam matematika tidak ada yang lebih penting daripada "memahami esensi") dari suatu barisan aritmatika tidaklah begitu sulit, setelah menganalisis beberapa konsep dasar.

Urutan bilangan matematika

Barisan bilangan biasanya disebut barisan bilangan yang masing-masing mempunyai bilangan tersendiri.

a 1 adalah anggota pertama barisan tersebut;

dan 2 adalah suku kedua barisan tersebut;

dan 7 adalah anggota ketujuh dari barisan tersebut;

dan n adalah anggota barisan ke-n;

Namun, tidak ada kumpulan angka dan angka yang menarik minat kami. Kita akan memusatkan perhatian kita pada suatu barisan bilangan yang nilai suku ke-nnya dihubungkan dengan bilangan urutnya melalui suatu hubungan yang dapat dirumuskan dengan jelas secara matematis. Dengan kata lain: nilai numerik dari bilangan ke-n adalah suatu fungsi dari n.

a adalah nilai anggota barisan bilangan;

n - miliknya nomor seri;

f(n) adalah suatu fungsi, dimana bilangan urut dalam barisan numerik n adalah argumennya.

Definisi

Barisan aritmatika biasanya disebut barisan bilangan yang setiap suku berikutnya lebih besar (lebih kecil) dari suku sebelumnya dengan bilangan yang sama. Rumus suku ke-n suatu barisan aritmatika adalah sebagai berikut:

a n - nilai anggota perkembangan aritmatika saat ini;

a n+1 - rumus angka berikutnya;

d - selisih (angka tertentu).

Mudah untuk menentukan bahwa jika selisihnya positif (d>0), maka setiap anggota deret berikutnya yang ditinjau akan lebih besar dari suku sebelumnya dan barisan aritmatika tersebut akan meningkat.

Pada grafik di bawah ini mudah untuk melihat alasannya urutan nomor disebut "meningkat".

Dalam hal perbedaannya negatif (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Nilai anggota yang ditentukan

Kadang-kadang perlu untuk menentukan nilai suatu suku sembarang a n dari suatu barisan aritmatika. Hal ini dapat dilakukan dengan menghitung nilai seluruh anggota barisan aritmatika secara berurutan, mulai dari yang pertama hingga yang diinginkan. Namun, jalur ini tidak selalu dapat diterima jika, misalnya, perlu mencari nilai suku lima ribu atau delapan juta. Perhitungan tradisional akan memakan banyak waktu. Namun, barisan aritmatika tertentu dapat dipelajari dengan menggunakan rumus tertentu. Ada juga rumus untuk suku ke-n: nilai suatu suku suatu barisan aritmatika dapat ditentukan sebagai jumlah suku pertama barisan tersebut dengan selisih barisan tersebut, dikalikan dengan banyaknya suku yang diinginkan, dikurangi dengan satu.

Rumusnya bersifat universal untuk menaikkan dan menurunkan perkembangan.

Contoh penghitungan nilai suatu suku tertentu

Mari kita selesaikan soal mencari nilai suku ke-n suatu barisan aritmatika berikut ini.

Kondisi: terdapat barisan aritmatika dengan parameter:

Suku pertama barisan tersebut adalah 3;

Selisih deret bilangan tersebut adalah 1,2.

Tugas: Anda perlu mencari nilai 214 suku

Penyelesaian: untuk menentukan nilai suatu suku, kita menggunakan rumus:

a(n) = a1 + d(n-1)

Mengganti data dari pernyataan masalah ke dalam ekspresi, kita mendapatkan:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Jawab: Suku ke-214 barisan tersebut sama dengan 258,6.

Keuntungan dari metode penghitungan ini jelas - seluruh solusi membutuhkan tidak lebih dari 2 baris.

Jumlah sejumlah suku tertentu

Sangat sering, dalam deret aritmatika tertentu, perlu untuk menentukan jumlah nilai beberapa segmennya. Untuk melakukan ini, juga tidak perlu menghitung nilai setiap suku lalu menjumlahkannya. Cara ini dapat diterapkan jika jumlah suku yang jumlah perlu dicari sedikit. Dalam kasus lain, akan lebih mudah menggunakan rumus berikut.

Jumlah suku-suku suatu barisan aritmatika dari 1 ke n sama dengan jumlah suku pertama dan suku ke-n, dikalikan banyaknya suku n dan dibagi dua. Jika dalam rumus nilai suku ke-n diganti dengan ekspresi paragraf artikel sebelumnya, kita peroleh:

Contoh perhitungan

Misalnya, mari kita selesaikan masalah dengan kondisi berikut:

Suku pertama barisan tersebut adalah nol;

Perbedaannya adalah 0,5.

Soal tersebut memerlukan penentuan jumlah suku deret tersebut dari 56 hingga 101.

Larutan. Mari kita gunakan rumus untuk menentukan besarnya perkembangan:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Pertama, kita menentukan jumlah nilai 101 suku perkembangan dengan mensubstitusi kondisi tertentu dari masalah kita ke dalam rumus:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2,525

Tentunya untuk mengetahui jumlah suku-suku barisan dari ke-56 ke ke-101, S 55 perlu dikurangkan dari S 101.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Jadi, jumlah perkembangan aritmatika untuk contoh ini adalah:

s 101 - s 55 = 2.525 - 742,5 = 1.782,5

Contoh penerapan praktis perkembangan aritmatika

Di akhir artikel, mari kita kembali ke contoh barisan aritmatika yang diberikan di paragraf pertama - Argometer (meteran mobil taksi). Mari kita pertimbangkan contoh ini.

Naik taksi (yang mencakup perjalanan sejauh 3 km) dikenakan biaya 50 rubel. Setiap kilometer berikutnya dibayar dengan tarif 22 rubel/km. Jarak tempuh 30 km. Hitung biaya perjalanan.

1. Ayo buang 3 km pertama yang harganya sudah termasuk biaya pendaratan.

30 - 3 = 27km.

2. Perhitungan selanjutnya tidak lebih dari penguraian suatu deret bilangan aritmatika.

Nomor anggota - jumlah kilometer yang ditempuh (dikurangi tiga kilometer pertama).

Nilai anggota adalah penjumlahannya.

Suku pertama dalam soal ini akan sama dengan 1 = 50 rubel.

Selisih perkembangan d = 22 r.

bilangan yang kita minati adalah nilai suku ke (27+1) barisan aritmatika - pembacaan meter pada akhir kilometer ke 27 adalah 27,999... = 28 km.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

Perhitungan data kalender untuk jangka waktu yang lama didasarkan pada rumus yang menjelaskan urutan numerik tertentu. Dalam astronomi, panjang orbit secara geometris bergantung pada jarak benda langit ke bintang. Selain itu, berbagai deret bilangan berhasil digunakan dalam statistik dan bidang matematika terapan lainnya.

Jenis barisan bilangan lainnya adalah geometri

Perkembangan geometri dicirikan oleh tingkat perubahan yang lebih besar dibandingkan dengan perkembangan aritmatika. Bukan suatu kebetulan bahwa dalam politik, sosiologi, dan kedokteran, untuk menunjukkan tingginya kecepatan penyebaran suatu fenomena tertentu, misalnya penyakit pada masa epidemi, mereka mengatakan bahwa prosesnya berkembang secara eksponensial.

Suku ke-N suatu deret bilangan geometri berbeda dengan suku sebelumnya karena dikalikan dengan suatu bilangan konstan - penyebutnya, misalnya suku pertama adalah 1, maka penyebutnya juga sama dengan 2, maka:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - nilai suku saat ini dari barisan geometri;

b n+1 - rumus suku berikutnya dari barisan geometri;

q adalah penyebut barisan geometri (bilangan konstan).

Jika grafik barisan aritmatika berbentuk garis lurus, maka barisan geometri memberikan gambaran yang sedikit berbeda:

Seperti halnya aritmatika, barisan geometri memiliki rumus untuk nilai suatu suku sembarang. Suku ke-n suatu barisan geometri sama dengan hasil kali suku pertama dan penyebut barisan tersebut pangkat n dikurangi satu:

Contoh. Kita mempunyai barisan geometri yang suku pertamanya sama dengan 3 dan penyebut barisan tersebut sama dengan 1,5. Mari kita cari suku ke-5 dari perkembangan tersebut

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875

Jumlah sejumlah suku tertentu juga dihitung menggunakan rumus khusus. Jumlah n suku pertama suatu barisan geometri sama dengan selisih antara hasil kali suku ke-n barisan tersebut dan penyebutnya dan suku pertama barisan tersebut, dibagi dengan penyebutnya dikurangi satu:

Jika b n diganti dengan rumus yang telah dibahas di atas, maka nilai jumlah n suku pertama deret bilangan yang ditinjau akan berbentuk:

Contoh. Perkembangan geometri dimulai dengan suku pertama sama dengan 1. Penyebutnya ditetapkan menjadi 3. Mari kita cari jumlah delapan suku pertama.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Konsep barisan bilangan menyiratkan bahwa setiap bilangan asli mempunyai nilai riil tertentu. Rangkaian angka seperti itu dapat bersifat sembarang atau memiliki sifat tertentu - suatu perkembangan. Dalam kasus terakhir, setiap elemen berikutnya (anggota) dari barisan tersebut dapat dihitung menggunakan elemen sebelumnya.

Perkembangan aritmatika adalah barisan nilai numerik yang anggota tetangganya berbeda satu sama lain dengan bilangan yang sama (semua elemen deret, mulai dari yang ke-2, mempunyai sifat yang serupa). Angka ini - selisih antara suku-suku sebelumnya dan suku-suku berikutnya - adalah konstan dan disebut selisih perkembangan.

Perbedaan perkembangan: definisi

Perhatikan suatu barisan yang terdiri dari j nilai A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j termasuk dalam himpunan bilangan asli N. Suatu aritmatika Perkembangan menurut definisinya adalah barisan yang a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = d. Nilai d adalah perbedaan yang diinginkan dari perkembangan ini.

d = a(j) – a(j-1).

Menyorot:

• Perkembangan yang meningkat, dalam hal ini d > 0. Contoh: 4, 8, 12, 16, 20, ...
• Menurunnya perkembangan, maka d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Perbedaan perkembangan dan unsur-unsurnya yang sewenang-wenang

Jika diketahui 2 suku sembarang dari barisan tersebut (ke-i, ke-k), maka selisih suatu barisan tertentu dapat ditentukan berdasarkan hubungan:

a(i) = a(k) + (i – k)*d, artinya d = (a(i) – a(k))/(i-k).

Perbedaan perkembangan dan suku pertamanya

Ekspresi ini akan membantu menentukan nilai yang tidak diketahui hanya jika jumlah elemen barisan diketahui.

Perbedaan perkembangan dan jumlahnya

Jumlah suatu perkembangan adalah jumlah dari syarat-syaratnya. Untuk menghitung nilai total elemen j pertamanya, gunakan rumus yang sesuai:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, tetapi karena a(j) = a(1) + d(j – 1), maka S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.

Aritmatika dan perkembangan geometri

Informasi teoretis

Informasi teoretis

	Kemajuan aritmatika	Kemajuan geometris
Definisi	Kemajuan aritmatika sebuah adalah barisan yang tiap sukunya, dimulai dari suku kedua, sama dengan suku sebelumnya yang dijumlahkan dengan bilangan yang sama D (D- perbedaan perkembangan)	Kemajuan geometris bn adalah barisan bilangan bukan nol yang tiap sukunya dimulai dari suku kedua sama dengan suku sebelumnya dikalikan bilangan yang sama Q (Q- penyebut perkembangan)
Rumus kekambuhan	Untuk alam apa pun N sebuah + 1 = sebuah n + d	Untuk alam apa pun N b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
Rumus suku ke-n	sebuah = a 1 + d (n – 1)	b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0
Properti karakteristik
Jumlah n suku pertama

Contoh tugas dengan komentar

Latihan 1

Dalam perkembangan aritmatika ( sebuah) sebuah 1 = -6, sebuah 2

Menurut rumus suku ke-n:

sebuah 22 = sebuah 1+ d (22 - 1) = sebuah 1+ 21 d

Dengan syarat:

sebuah 1= -6, lalu sebuah 22= -6 + 21 d .

Penting untuk menemukan perbedaan perkembangan:

d = sebuah 2 – sebuah 1 = -8 – (-6) = -2

sebuah 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Menjawab : sebuah 22 = -48.

Tugas 2

Tentukan suku kelima barisan geometri: -3; 6;....

Metode 1 (menggunakan rumus suku n)

Berdasarkan rumus suku ke-n suatu barisan geometri:

b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

Karena b 1 = -3,

Metode ke-2 (menggunakan rumus berulang)

Karena penyebut barisan tersebut adalah -2 (q = -2), maka:

b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Menjawab : b 5 = -48.

Tugas 3

Dalam perkembangan aritmatika ( sebuah ) sebuah 74 = 34; sebuah 76= 156. Tentukan suku ketujuh puluh lima barisan ini.

Untuk barisan aritmatika, sifat karakteristiknya berbentuk .

Karena itu:

.

Mari kita substitusikan data tersebut ke dalam rumus:

Jawaban: 95.

Tugas 4

Dalam perkembangan aritmatika ( sebuah ) sebuah n= 3n - 4. Tentukan jumlah tujuh belas suku pertama.

Untuk mencari jumlah n suku pertama suatu barisan aritmatika, digunakan dua rumus:

.

Yang mana yang masuk pada kasus ini lebih nyaman digunakan?

Dengan syarat, diketahui rumus suku ke-n barisan asal ( sebuah) sebuah= 3n - 4. Anda dapat segera menemukan dan sebuah 1, Dan sebuah 16 tanpa menemukan d. Oleh karena itu, kita akan menggunakan rumus pertama.

Jawaban: 368.

Tugas 5

Dalam perkembangan aritmatika( sebuah) sebuah 1 = -6; sebuah 2= -8. Temukan suku kedua puluh dua dari perkembangan tersebut.

Menurut rumus suku ke-n:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = sebuah 1+ 21d.

Dengan syarat, jika sebuah 1= -6, lalu sebuah 22= -6 + 21d . Penting untuk menemukan perbedaan perkembangan:

d = sebuah 2 – sebuah 1 = -8 – (-6) = -2

sebuah 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Menjawab : sebuah 22 = -48.

Tugas 6

Beberapa suku barisan geometri yang berurutan dapat dituliskan:

Tentukan suku barisan yang dilambangkan dengan x.

Saat menyelesaikannya, kita akan menggunakan rumus suku ke-n b n = b 1 ∙ q n - 1 untuk perkembangan geometri. Istilah pertama dari perkembangan. Untuk mencari penyebut barisan q, Anda perlu mengambil salah satu suku barisan tertentu dan membaginya dengan suku sebelumnya. Dalam contoh kita, kita dapat mengambil dan membaginya. Kita peroleh bahwa q = 3. Alih-alih n, kita substitusikan 3 ke dalam rumus, karena kita perlu mencari suku ketiga suatu barisan geometri tertentu.

Mengganti nilai yang ditemukan ke dalam rumus, kita mendapatkan:

.

Menjawab : .

Tugas 7

Dari barisan aritmatika yang diberikan oleh rumus suku ke-n, pilihlah barisan yang kondisinya terpenuhi sebuah 27 > 9:

Karena kondisi yang diberikan harus dipenuhi untuk suku ke-27 dari perkembangan tersebut, kita substitusikan 27 sebagai ganti n pada masing-masing dari empat perkembangan tersebut. Dalam perkembangan ke-4 kita mendapatkan:

.

Jawaban: 4.

Tugas 8

Dalam perkembangan aritmatika sebuah 1= 3, d = -1,5. Menentukan nilai tertinggi n yang berlaku pertidaksamaan sebuah > -6.

Kemajuan aritmatika sebutkan barisan bilangan (suku suatu barisan)

Dimana setiap suku berikutnya berbeda dari suku sebelumnya dengan suku baru, yang disebut juga perbedaan langkah atau perkembangan.

Jadi, dengan menentukan langkah perkembangan dan suku pertamanya, Anda dapat mencari salah satu elemennya menggunakan rumus

Sifat-sifat barisan aritmatika

1) Setiap anggota suatu barisan aritmatika, mulai dari bilangan kedua, adalah rata-rata aritmatika dari anggota barisan sebelumnya dan berikutnya

Hal sebaliknya juga benar. Jika rata-rata aritmatika suku-suku ganjil (genap) yang berdekatan suatu barisan sama dengan suku-suku yang berada di antara suku-suku tersebut, maka barisan bilangan tersebut merupakan barisan aritmatika. Dengan menggunakan pernyataan ini, sangat mudah untuk memeriksa urutan apa pun.

Selain itu, berdasarkan sifat perkembangan aritmatika, rumus di atas dapat digeneralisasikan sebagai berikut

Hal ini mudah diverifikasi jika Anda menuliskan suku-sukunya di sebelah kanan tanda sama dengan

Ini sering digunakan dalam praktik untuk menyederhanakan perhitungan dalam soal.

2) Jumlah n suku pertama suatu barisan aritmatika dihitung dengan menggunakan rumus

Ingat baik-baik rumus jumlah suatu barisan aritmatika, ini sangat diperlukan dalam perhitungan dan cukup sering ditemukan dalam situasi kehidupan sederhana.

3) Jika Anda tidak perlu mencari jumlah keseluruhannya, tetapi sebagian barisan yang dimulai dari suku ke-k, maka rumus penjumlahan berikut akan berguna bagi Anda

4) Yang menarik secara praktis adalah mencari jumlah n suku suatu barisan aritmatika yang dimulai dari bilangan ke-k. Untuk melakukan ini, gunakan rumus

Hal ini materi teori berakhir dan kami melanjutkan untuk memecahkan masalah umum dalam praktik.

Contoh 1. Tentukan suku keempat puluh barisan aritmatika 4;7;...

Larutan:

Sesuai dengan kondisi yang kita miliki

Mari kita tentukan langkah perkembangannya

Dengan menggunakan rumus terkenal, kita mencari suku keempat puluh dari perkembangan tersebut

Contoh 2. Perkembangan aritmatika ditentukan oleh suku ketiga dan ketujuh. Tentukan suku pertama barisan tersebut dan jumlah sepuluhnya.

Larutan:

Mari kita tuliskan unsur-unsur perkembangan tertentu menggunakan rumus

Kami mengurangi persamaan pertama dari persamaan kedua, sebagai hasilnya kami menemukan langkah perkembangannya

Kami mengganti nilai yang ditemukan ke dalam persamaan mana pun untuk mencari suku pertama barisan aritmatika

Kami menghitung jumlah sepuluh suku pertama perkembangannya

Tanpa menggunakan perhitungan yang rumit, kami menemukan semua jumlah yang dibutuhkan.

Contoh 3. Suatu barisan aritmatika dinyatakan dengan penyebut dan salah satu sukunya. Tentukan suku pertama suatu barisan, jumlah 50 sukunya dimulai dari 50, dan jumlah 100 suku pertama.

Larutan:

Mari kita tuliskan rumus unsur keseratus dari perkembangan tersebut

dan temukan yang pertama

Berdasarkan persamaan pertama, kita mencari suku ke-50 dari perkembangan tersebut

Menemukan jumlah bagian perkembangannya

dan jumlah 100 yang pertama

Jumlah perkembangannya adalah 250.

Contoh 4.

Tentukan banyaknya suku suatu barisan aritmatika jika:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Larutan:

Mari kita tulis persamaan suku pertama dan langkah perkembangannya dan tentukan

Kami mengganti nilai yang diperoleh ke dalam rumus penjumlahan untuk menentukan jumlah suku dalam penjumlahan

Kami melakukan penyederhanaan

dan selesaikan persamaan kuadratnya

Dari dua nilai yang ditemukan, hanya angka 8 yang sesuai dengan kondisi permasalahan. Jadi, jumlah delapan suku pertama barisan tersebut adalah 111.

Contoh 5.

Selesaikan persamaannya

1+3+5+...+x=307.

Solusi: Persamaan ini adalah jumlah dari barisan aritmatika. Mari kita tuliskan suku pertamanya dan temukan perbedaan perkembangannya

Kembali