Nomor positif. Angka apa yang disebut positif dan negatif

Terdiri dari bilangan positif (alami), bilangan negatif dan nol.

Semua bilangan negatif, dan hanya bilangan tersebut, yang kurang dari nol. Pada garis bilangan, bilangan negatif terletak di sebelah kiri nol. Bagi mereka, seperti halnya bilangan positif, relasi keteraturan didefinisikan yang memungkinkan seseorang membandingkan satu bilangan bulat dengan bilangan bulat lainnya.

N -N, yang melengkapi N ke nol: N + (− N) = 0 . Kedua nomor tersebut dipanggil di depan untuk satu sama lain. Mengurangi Bilangan Bulat A setara dengan menambahkannya dengan kebalikannya: -A.

Sifat-sifat Bilangan Negatif

Bilangan negatif mengikuti aturan yang hampir sama dengan bilangan asli, tetapi mempunyai beberapa ciri khusus.

Sketsa sejarah

literatur

Vygodsky M.Ya. Panduan untuk matematika dasar. - M.: AST, 2003. - ISBN 5-17-009554-6
Glazer G.I. Sejarah matematika di sekolah. - M.: Pendidikan, 1964. - 376 hal.

Tautan

Yayasan Wikimedia. 2010.

Lihat apa itu “Angka negatif” di kamus lain:

Bilangan real yang kurang dari nol, misalnya 2; 0,5; π, dst. Lihat Nomor... Ensiklopedia Besar Soviet

- (nilai). Hasil penambahan atau pengurangan berturut-turut tidak bergantung pada urutan pelaksanaan tindakan tersebut. Misalnya. 10 5 + 2 = 10 +2 5. Di sini tidak hanya angka 2 dan 5 yang disusun ulang, tetapi juga tanda di depan angka-angka tersebut. Sepakat... ... Kamus Ensiklopedis F.A. Brockhaus dan I.A. Efron

angkanya negatif- Angka-angka dalam akuntansi yang ditulis dengan pensil merah atau tinta merah. Topik: akuntansi... Panduan Penerjemah Teknis

ANGKA NEGATIF- angka-angka dalam akuntansi yang ditulis dengan pensil merah atau tinta merah... Kamus Akuntansi Hebat

Himpunan bilangan bulat didefinisikan sebagai penutupan himpunan bilangan asli terhadap operasi aritmatika penjumlahan (+) dan pengurangan (). Jadi, jumlah, selisih, dan hasil kali dua bilangan bulat juga merupakan bilangan bulat. Terdiri dari... ...Wikipedia

Bilangan yang timbul secara alami pada saat berhitung (baik dalam arti pencacahan maupun dalam arti kalkulus). Ada dua pendekatan untuk menentukan bilangan asli; bilangan yang digunakan dalam: membuat daftar (penomoran) objek (pertama, kedua, ... ... Wikipedia

Koefisien E n dalam pemuaian Rumus berulang untuk bilangan E. berbentuk (dalam notasi simbolik, (E + 1)n + (E 1)n=0, E0 =1. Dalam hal ini, E 2n+1= 0, E4n positif, E4n+2 bilangan bulat negatif untuk semua n=0, 1, ...; E2= 1, E4=5, E6=61, E8=1385 ... Ensiklopedia Matematika

Bilangan negatif adalah salah satu elemen dari himpunan bilangan negatif, yang (bersama dengan nol) muncul dalam matematika ketika himpunan bilangan asli diperluas. Tujuan dari ekstensi ini adalah untuk memungkinkan operasi pengurangan dilakukan pada bilangan berapa pun. Akibatnya... ...Wikipedia

Hitung. Lukisan oleh Pinturicchio. Apartemen Borgia. 1492 1495. Roma, Istana Vatikan ... Wikipedia

Hans Sebald Beham. Hitung. Aritmatika abad ke-16 (Yunani kuno ἀ ... Wikipedia

Buku

Matematika. kelas 5. Buku pendidikan dan bengkel. Angka positif dan negatif. Dalam 2 bagian. Bagian 2. Standar Pendidikan Negara Federal, Gelfman E.G.. Buku pendidikan dan lokakarya untuk kelas 5 merupakan bagian dari bahan ajar matematika untuk kelas 5–6, dikembangkan oleh tim penulis yang dipimpin oleh E.G. Gelfman dan M.A. Kholodnaya sebagai bagian dari proyek...

Dalam kerangka bilangan asli, Anda hanya dapat mengurangkan bilangan yang lebih kecil dari bilangan yang lebih besar, dan hukum komutatif tidak melibatkan pengurangan - misalnya, ekspresi 3 + 4 − 5 (\displaystyle 3+4-5) valid, dan ekspresi dengan operan yang disusun ulang 3 − 5 + 4 (\gaya tampilan 3-5+4) tidak dapat diterima...

Menambahkan bilangan negatif dan nol ke bilangan asli memungkinkan pengurangan untuk pasangan bilangan asli mana pun. Sebagai hasil dari perluasan ini, diperoleh satu set (cincin) “bilangan bulat”. Dengan perluasan lebih lanjut dari himpunan bilangan dengan bilangan rasional atau real, nilai negatif yang sesuai diperoleh dengan cara yang sama. Untuk bilangan kompleks, urutannya tidak terdefinisi, dan konsep “bilangan negatif” tidak ada.

Untuk setiap bilangan asli N hanya ada satu bilangan negatif yang dilambangkan -N, yang melengkapi N ke nol:

n + (− n) = 0. (\displaystyle n+\kiri(-n\kanan)=0.)

Kedua angka tersebut disebut berlawanan satu sama lain. Mengurangi Bilangan Bulat A dari bilangan bulat lain B setara dengan penjumlahan B dengan kebalikannya untuk A:

b − a = b + (− a) . (\displaystyle b-a=b+\kiri(-a\kanan).)

Contoh: 25 − 75 = − 50. (\displaystyle 25-75=-50.)

Sifat-sifat Bilangan Negatif

Bilangan negatif mematuhi aturan aljabar yang hampir sama dengan bilangan asli, namun bilangan tersebut mempunyai beberapa ciri khusus.

Jika himpunan bilangan positif dibatasi di bawah, maka himpunan bilangan negatif dibatasi di atas.
Saat mengalikan bilangan bulat, berlaku hal berikut: aturan tanda: hasil kali bilangan-bilangan yang bertanda berbeda adalah negatif, yang bertanda sama adalah positif.
Jika kedua ruas pertidaksamaan dikalikan dengan bilangan negatif, tanda pertidaksamaannya menjadi terbalik. Misalnya mengalikan pertidaksamaan 3 −10.

Ketika membagi dengan sisa, hasil bagi dapat mempunyai tanda apa pun, tetapi sisanya, menurut konvensi, selalu non-negatif (jika tidak, maka tidak ditentukan secara unik). Misalnya, bagi −24 dengan 5 dengan sisanya:

− 24 = 5 ⋅ (− 5) + 1 = 5 ⋅ (− 4) − 4 (\displaystyle -24=5\cdot (-5)+1=5\cdot (-4)-4).

Variasi dan generalisasi

Konsep bilangan positif dan negatif dapat didefinisikan dalam ring terurut apa pun. Paling sering, konsep-konsep ini merujuk pada salah satu sistem bilangan berikut:

Properti 1-3 di atas juga berlaku dalam kasus umum. KE bilangan kompleks konsep “positif” dan “negatif” tidak dapat diterapkan.

Sketsa sejarah

Mesir Kuno, Babilonia, dan Yunani Kuno tidak menggunakan bilangan negatif, dan jika persamaan memiliki akar negatif (saat mengurangkan), maka persamaan tersebut ditolak karena tidak mungkin. Pengecualian adalah Diophantus, yang pada abad ke-3 sudah mengetahuinya aturan tanda dan tahu cara mengalikan bilangan negatif. Namun, ia menganggapnya hanya sebagai langkah perantara, berguna untuk menghitung hasil akhir yang positif.

Untuk pertama kalinya, angka negatif sebagian dilegalkan di Tiongkok, dan kemudian (sejak sekitar abad ke-7) di India, di mana angka tersebut ditafsirkan sebagai hutang (kekurangan), atau, seperti Diophantus, diakui sebagai nilai sementara. Perkalian dan pembagian bilangan negatif belum ditentukan. Kegunaan dan validitas angka negatif secara bertahap diketahui. Matematikawan India Brahmagupta (abad ke-7) sudah menganggapnya setara dengan positif.

Di Eropa, pengakuan muncul seribu tahun kemudian, dan bahkan untuk waktu yang lama, angka negatif disebut “salah”, “imajiner”, atau “absurd”. Deskripsi pertama tentang mereka dalam literatur Eropa muncul dalam “Kitab Sempoa” oleh Leonard dari Pisa (1202), yang menafsirkan angka negatif sebagai hutang. Bombelli dan Girard, dalam tulisannya, menganggap angka negatif cukup dapat diterima dan berguna, khususnya untuk menunjukkan kekurangan sesuatu. Bahkan pada abad ke-17, Pascal mempercayai hal tersebut 0 − 4 = 0 (\displaystyle 0-4=0), karena “tidak ada yang kurang dari tidak sama sekali.” Gema pada masa itu adalah kenyataan bahwa dalam aritmatika modern operasi pengurangan dan tanda bilangan negatif dilambangkan dengan simbol yang sama (minus), meskipun secara aljabar keduanya merupakan konsep yang sama sekali berbeda.

Pada abad ke-17, dengan munculnya geometri analitik, bilangan negatif mendapat representasi geometris visual pada sumbu bilangan. Mulai saat ini, kesetaraan penuh mereka terwujud. Namun demikian, teori bilangan negatif masih dalam masa pertumbuhan sejak lama. Misalnya saja proporsinya yang aneh 1: (− 1) = (− 1) : 1 (\displaystyle 1:(-1)=(-1):1)- di dalamnya suku pertama di sebelah kiri lebih besar dari suku kedua, dan di sebelah kanan - sebaliknya, dan ternyata suku yang lebih besar sama dengan suku yang lebih kecil (“paradoks

1. Soal-soal yang berkaitan dengan bilangan negatif merupakan salah satu soal yang sulit dikuasai siswa.

Sejarah perkembangan matematika menunjukkan bahwa bilangan negatif jauh lebih sulit bagi manusia, hal ini disebabkan bilangan negatif kurang berhubungan dengan kehidupan praktis.

Angka negatif muncul dari kebutuhan untuk bekerja dengan angka yang diketahui. Para ahli matematika Yunani kuno tidak mengenal bilangan negatif, mereka tidak dapat memberikan interpretasi yang spesifik. Hanya dalam karya Diophantus (abad ke-3 M) terdapat transformasi yang mengarah pada perlunya melakukan operasi pada bilangan negatif.

Bilangan negatif hanya muncul dalam bentuk yang belum sempurna. Mereka mendapat distribusi yang cukup luas dalam karya-karya ilmuwan India. Mereka menyebut bilangan positif sebagai bilangan real, dan bilangan negatif sebagai bilangan real, salah. Angka negatif dianggap sebagai hutang, dan angka positif dianggap sebagai uang tunai.

Aturan penjumlahan dan pengurangan pertama adalah milik para ilmuwan India. Dan mereka terkait dengan penafsiran angka-angka ini sebagai properti dan hutang.

Untuk waktu yang lama, para ilmuwan tidak dapat menjelaskan atau menafsirkan hasil kali dua bilangan negatif. Mengapa hasil kali 2 hutang merupakan properti? Ilmuwan seperti Euler dan Comey memberikan penjelasannya tentang aturan perkalian bilangan, namun memberikan hasil yang salah.

Ilmuwan Jerman M. Stiefel adalah orang pertama yang mendefinisikan bilangan negatif sebagai bilangan yang kurang dari nol pada tahun 1544.

Interpretasi matematika pertama diberikan oleh Rene Descartes pada tahun 1737 dalam bukunya “Analytical Geometry”. Ia menganggap bilangan negatif sebagai bilangan independen yang terletak pada sumbu OX di sebelah kiri titik asal. Namun, dia menyebut angka-angka tersebut salah. Bilangan negatif mendapat pengakuan umum pada paruh pertama abad ke-21, dan bilangan negatif memasuki sejarah matematika.

2. Berbagai teknik memperkenalkan angka negatif. Dalam literatur pendidikan, ada 3 cara untuk memasukkan bilangan negatif.

1) Kasus dipertimbangkan ketika perhitungan pada himpunan bilangan positif salah.

2) Pertimbangkan vektor-vektor yang terletak pada garis yang sama; kebutuhan untuk mengkarakterisasi tidak hanya panjangnya, tetapi juga arahnya mengarah pada konsep bilangan positif dan negatif.

3) Memasukkan bilangan negatif dengan menempatkan besaran yang berubah pada arah yang berlawanan.

Metode memasukkan bilangan negatif.

Sebelum memberikan konsep bilangan negatif, perlu ditunjukkan dengan contoh spesifik bahwa bilangan yang diketahui tidak cukup untuk mencirikan kedudukan suatu titik pada garis lurus menuju titik asal.

Dengan menggunakan contoh yang cukup, perlu ditunjukkan ketidaknyamanan konsep menggambar sumbu bilangan ke kanan atau kiri, atas atau bawah. Permulaan penghitungan perlu ditunda sedemikian rupa sehingga untuk kepastian skala tersebut, yang di sebelah kanan dengan tanda plus, di sebelah kiri dengan tanda sebaliknya - minus.

Buku teks ini membahas cukup banyak contoh yang menunjukkan kelayakan menggunakan tanda-tanda tertentu untuk menunjukkan arah gerakan yang berlawanan. Untuk konsep mengenalkan bilangan negatif perlu menggunakan termometer demonstrasi dan alat bantu lainnya.

Keakraban dengan bilangan berlawanan difasilitasi dengan mempelajari pusat simetri.

Konsep bilangan berlawanan dihubungkan oleh titik-titik yang simetris. Pada saat yang sama, pengenalan konsep ini didasarkan pada interpretasi geometris bilangan positif dan negatif.

Bagian bilangan berlawanan memperkenalkan definisi bilangan bulat. bilangan bulat, angka yang berlawanan, nol disebut bilangan bulat. Modulus suatu bilangan - konsep modulus suatu bilangan memberikan bilangan yang bersesuaian dari titik asal ke titik. Siswa hendaknya memperhatikan cara memotivasi penentuan modulus suatu bilangan.

Dalam buku teks, konsep modulus suatu bilangan diperkenalkan dengan memperhatikan contoh-contoh, dan menjelaskan cara mencari modulus suatu bilangan. Dijelaskan bahwa modulus suatu bilangan tidak boleh negatif karena modulus suatu bilangan adalah jarak, perlu diperhatikan bahwa untuk bilangan positif modulusnya sama dengan bilangan itu sendiri. Modulus suatu bilangan negatif sama dengan bilangan lawannya.

Perbandingan angka.

Hubungan persamaan dan pertidaksamaan antara bilangan positif dan negatif diperkenalkan berdasarkan definisi; hubungan tersebut tidak dapat diperoleh dengan pembuktian, dan sangat penting untuk menunjukkan kepada siswa kesesuaian definisi tersebut dengan contoh spesifik dan gambar geometris.

Siswa hendaknya menjadi begitu paham dengan susunan bilangan pada garis bilangan sehingga dapat berfungsi sebagai alat utama untuk membandingkan bilangan. Terkadang timbul kesulitan dalam membandingkan bilangan negatif, untuk mengatasinya perlu diperhatikan pada garis bilangan.

Operasi bilangan negatif dan positif.

Hal utama yang perlu diperhatikan guru ketika mempertimbangkan materi ini adalah bahwa operasi penjumlahan dan pengurangan bilangan positif dan negatif diperkenalkan berdasarkan definisi, dan rumusan definisi tersebut harus mencakup konsep-konsep yang sebelumnya diketahui siswa tentang tindakan tersebut. Pengurangan dan pembagian didefinisikan sebagai kebalikan dari penjumlahan dan perkalian.

Buku teks memberikan definisi terpisah tentang tindakan menjumlahkan angka dengan tanda-tanda yang berbeda, kata-kata dari aturan ini berisi instruksi untuk tindakan berikut. Buku teks menghabiskan banyak waktu tentang bagaimana mendekati tindakan penjumlahan. Perhatian utama diberikan pada pertimbangan masalah tertentu, sambil mengacu pada garis koordinat.

Tidak peduli bagaimana aturan penjumlahan diperkenalkan kepada siswa, harus jelas bahwa tidak ada yang terbukti ketika mempertimbangkan contoh berikut.

Contoh-contoh ini dimaksudkan hanya untuk menggambarkan kelayakan peraturan. Siswa harus menguasai keterampilan menjumlahkan 2 bilangan negatif yang berbeda tanda, bilangan berlawanan, nol dengan bilangan positif dan negatif.

Ketika mempertimbangkan sifat-sifat tindakan, penting untuk menunjukkan kepada siswa kapan definisi yang telah ditetapkan Tindakan penjumlahan dan pengurangan bilangan mempertahankan semua hukum yang berlaku pada bilangan positif.

Siswa diberikan rumusan hukum komutatif dan asosiatif dan menuliskannya masing-masing dengan menggunakan huruf.

Pengurangan bilangan negatif didefinisikan sebagai kebalikan dari penjumlahan. Pengurangan berarti menjumlahkan bilangan yang berlawanan.

Perkalian bilangan positif dan bilangan negatif mempunyai kesulitan yang paling besar, kesulitannya terletak pada kenyataan bahwa siswa merasa perlu untuk membuktikan aturan-aturan tanda pada saat mengalikan, dan guru harus meyakinkan siswa bahwa pembuktian tersebut tidak dapat dicari atau diminta, oleh karena itu tindakan perkalian diperkenalkan dengan definisi yang dapat diperkenalkan menafsirkan aturan tanda dengan cara yang berbeda dan dengan cara yang berbeda. Penjumlahan dan perkalian mempunyai banyak kesamaan, namun menafsirkan aturan perkalian lebih sulit.

Mari kita simak penjelasan aturan perkalian dengan memperhatikan soal-soal tertentu yang penyelesaiannya memerlukan perhitungan menggunakan rumus a dalam, untuk a dan b yang berbeda. Kerugian dari metode ini adalah membuktikan aturan perkalian.

Banyak penulis yang mengikuti alur dimana pada mulanya diberikan rumusan aturan perkalian, kemudian dijelaskan dengan contoh dan soal. Siswa yakin dalam matematika konkrit tentang kelayakan praktis dari definisi yang diperkenalkan. Biasanya dalam buku teks rumusan aturan perkalian bilangan dengan tanda berbeda dan aturan perkalian bilangan asli disajikan dengan jadwal rangkaian contoh.

Dalam hal ini digunakan ketentuan bahwa jika tanda salah satu faktor diubah maka tanda hasil perkaliannya pun ikut berubah.

Aturan tersebut dirumuskan dalam bentuk yang nyaman untuk digunakan. Perlunya menarik perhatian siswa pada syarat suatu hasil kali sama dengan nol.

Pembagian bilangan positif dan negatif dianggap sebagai kebalikan dari perkalian. Siswa diberitahu bahwa membagi bilangan positif dan negatif mempunyai arti yang sama dengan membagi bilangan positif. Penting untuk memperhatikan hukum perhitungan dan perkalian ekspresi.

Seperti halnya penjumlahan, aturan penjumlahan dan perkalian bilangan asli juga dapat diturunkan dari perkalian bilangan. Dengan asumsi bahwa aturan tanda untuk penjumlahan tersebut diketahui.

Di kelas 6, pada topik bilangan rasional, bilangan negatif diperkenalkan ke dalam ingatan, yang dapat ditulis sebagai pecahan. Banyak orang yang menandatangani angka rasional Anda dapat membingungkan perhatian Anda ketika memungkinkan:, +, *, - ke angka yang tidak sama dengan nol.

Saat melakukan pengurangan atau melakukan suatu tindakan, siswa menerima bilangan dari himpunan yang sama dan himpunan ini mempunyai sifat tertutup terhadap tindakan derajat pertama dan kedua. Selain itu berlaku hukum komutatif dan asosiatif: ada unsur netral, ada unsur berlawanan.

Untuk perkalian berlaku hukum distributif dan kombinasional pertama, ada unsur netral 1, unsur lawannya ().

Pelajaran Praktek No.2

Subjek: Kajian fungsi di ShKM

1. Metodologi pengenalan konsep fungsi.

2. Metodologi mempelajari fungsi individu

3. Jenis-jenis fungsi yang dipelajari di sekolah dasar

Literatur: , . Bacaan lebih lanjut I.

Sekarang kita akan mencari tahu bilangan positif dan negatif. Pertama kita akan memberikan definisi, memperkenalkan notasi, dan kemudian memberikan contoh bilangan positif dan negatif. Kami juga akan fokus pada beban semantik, yang dibawa oleh bilangan positif dan negatif.

Navigasi halaman.

Bilangan Positif dan Negatif – Pengertian dan Contohnya

Memberi mengidentifikasi bilangan positif dan negatif akan membantu kita. Untuk memudahkan, kita asumsikan letaknya horizontal dan diarahkan dari kiri ke kanan.

Definisi.

Bilangan-bilangan yang bersesuaian dengan titik-titik garis koordinat di sebelah kanan titik asal disebut positif.

Definisi.

Bilangan-bilangan yang bersesuaian dengan titik-titik garis koordinat di sebelah kiri titik asal disebut negatif.

Angka nol yang sesuai dengan titik asal bukanlah bilangan positif atau negatif.

Dari pengertian bilangan negatif dan bilangan positif maka himpunan semua bilangan negatif adalah himpunan bilangan yang berhadapan dengan semua bilangan positif (bila perlu lihat artikel bilangan yang berseberangan). Oleh karena itu bilangan negatif selalu ditulis dengan tanda minus.

Nah, dengan mengetahui pengertian bilangan positif dan negatif, kita dapat dengan mudah memberikannya contoh bilangan positif dan negatif. Contoh bilangan positif adalah bilangan asli 5, 792 dan 101,330, dan memang bilangan asli apa pun adalah positif. Contoh bilangan rasional positif adalah bilangan , 4.67 dan 0,(12)=0.121212... , dan bilangan rasional negatif adalah bilangan , −11 , −51.51 dan −3,(3) . Contoh bilangan irasional positif antara lain bilangan pi, bilangan e, dan pecahan desimal non-periodik tak hingga 809.030030003..., serta contoh bilangan negatif bilangan irasional adalah bilangan dikurangi pi, dikurangi e dan bilangan tersebut sama dengan . Perlu dicatat bahwa dalam contoh terakhir sama sekali tidak jelas bahwa nilai ekspresi adalah bilangan negatif. Untuk mengetahuinya secara pasti, Anda perlu mendapatkan nilai ekspresi ini dalam bentuk pecahan desimal, dan kami akan memberi tahu Anda cara melakukannya di artikel perbandingan bilangan real.

Terkadang bilangan positif diawali dengan tanda tambah, sama seperti bilangan negatif yang diawali dengan tanda minus. Dalam kasus ini, Anda harus tahu bahwa +5=5, dan seterusnya. Artinya, +5 dan 5, dst. - ini nomor yang sama, tetapi sebutannya berbeda. Selain itu, Anda dapat menemukan definisi bilangan positif dan negatif berdasarkan tanda plus atau minus.

Definisi.

Nomor dengan tanda plus dipanggil positif, dan dengan tanda minus – negatif.

Ada lagi definisi bilangan positif dan negatif berdasarkan perbandingan bilangan. Untuk memberikan definisi ini, cukup diingat bahwa titik pada garis koordinat yang bersesuaian dengan bilangan yang lebih besar terletak di sebelah kanan titik yang bersesuaian dengan bilangan yang lebih kecil.

Definisi.

Angka positif adalah bilangan yang lebih besar dari nol, dan angka negatif adalah angka yang kurang dari nol.

Jadi, bilangan nol memisahkan bilangan positif dari bilangan negatif.

Tentu saja kita juga harus memikirkan aturan membaca angka positif dan negatif. Jika suatu bilangan ditulis dengan tanda + atau −, maka sebutkan nama tanda tersebut, setelah itu bilangan tersebut diucapkan. Misalnya, +8 dibaca sebagai plus delapan, dan - sebagai minus satu koma dua per lima. Nama tanda + dan − tidak ditolak per kasus. Contoh pengucapan yang benar adalah ungkapan “a sama dengan minus tiga” (bukan minus tiga).

Interpretasi angka positif dan negatif

Kami telah menjelaskan angka positif dan negatif selama beberapa waktu. Namun, alangkah baiknya mengetahui apa maknanya? Mari kita lihat masalah ini.

Bilangan positif dapat diartikan sebagai kedatangan, kenaikan, kenaikan suatu nilai, dan sejenisnya. Angka negatif, pada gilirannya, berarti kebalikannya - biaya, kekurangan, utang, pengurangan nilai, dll. Mari kita pahami ini dengan contoh.

Kita dapat mengatakan bahwa kita memiliki 3 item. Disini angka positif 3 menunjukkan jumlah item yang kita miliki. Bagaimana cara mengartikan bilangan negatif −3? Misalnya, angka −3 bisa berarti kita harus memberi seseorang 3 barang yang stoknya bahkan tidak kita miliki. Demikian pula, kita dapat mengatakan bahwa di kasir kita diberi 3,45 ribu rubel. Artinya, angka 3,45 dikaitkan dengan kedatangan kita. Pada gilirannya, angka negatif -3,45 akan menunjukkan penurunan uang di mesin kasir yang mengeluarkan uang tersebut kepada kita. Artinya, −3,45 adalah biayanya. Contoh lain: kenaikan suhu sebesar 17,3 derajat dapat digambarkan dengan bilangan positif +17,3, dan penurunan suhu sebesar 2,4 dapat digambarkan dengan bilangan negatif, sebagai perubahan suhu sebesar -2,4 derajat.

Bilangan positif dan negatif sering digunakan untuk menyatakan nilai besaran tertentu dalam jumlah yang berbeda alat pengukur. Contoh yang paling mudah diakses adalah alat untuk mengukur suhu - termometer - dengan skala yang menuliskan angka positif dan negatif. Seringkali bilangan negatif digambarkan dengan warna biru (melambangkan salju, es, dan pada suhu di bawah nol derajat Celcius, air mulai membeku), dan bilangan positif ditulis dengan warna merah (warna api, matahari, pada suhu di atas nol derajat Celcius , es mulai mencair). Menulis bilangan positif dan negatif dengan warna merah dan biru juga digunakan dalam kasus lain ketika Anda perlu menyorot tanda bilangan tersebut.

Bibliografi.

Vilenkin N.Ya. dan lain-lain Matematika. kelas 6: buku teks untuk lembaga pendidikan umum.

Dari pelajaran bahasa Assembler sebelumnya kita mengetahui bahwa processor bekerja dengan bilangan biner, bilangan tersebut bisa positif atau negatif. Dan hari ini saya akan memberi tahu Anda secara detail apa itu bilangan positif (unsigned) dan negatif (signed).

Angka positif

Jika angkanya positif, maka itu hanya mewakili hasil terjemahannya angka desimal ke dalam bentuk biner. Pengkodean khusus digunakan untuk merepresentasikan bilangan positif. Bit paling signifikan dalam hal ini menunjukkan tanda nomor tersebut. Jika bit tandanya nol, maka bilangan tersebut positif, jika tidak maka bilangan tersebut negatif.

Dalam keluarga prosesor Intel, unit penyimpanan dasar untuk semua jenis data adalah byte. Satu byte terdiri dari delapan bit. Tabel di bawah menunjukkan rentangnya nilai yang mungkin bilangan bulat positif yang dapat digunakan oleh prosesor:

Saat bekerja dengan angka, jangan lupa bahwa angka dengan nilai tidak lebih dari 255 dapat ditulis ke dalam byte, angka dengan nilai tidak lebih dari 65.535 dapat ditulis ke dalam kata, dll. Misalnya, jika saat bekerja dengan satu byte, Anda melakukan operasi penjumlahan 255 + 1, maka hasilnya harus berupa angka 256. Namun, jika Anda menulis hasilnya ke dalam satu byte, maka hasilnya bukan 256, melainkan 0 Situasi ini terjadi pada kasus “overflow”.

Overflow adalah ketika hasil suatu operasi tidak sesuai dengan register yang dimaksudkan untuk hasil tersebut. Selain itu, jika terjadi overflow, hasilnya mungkin bukan nol, melainkan angka lain.

Angka negatif

Mewakili angka negatif di komputer menghadapi kesulitan tertentu. Angka negatif tidak memiliki arti numerik; melainkan melambangkan tindakan di masa depan - fakta bahwa di masa depan kita harus mengurangi beberapa objek lagi dari objek yang muncul.

Bilangan negatif adalah bilangan yang mempunyai tanda minus.

Rentang kemungkinan nilai bilangan negatif:

Untuk menunjukkan tanda suatu bilangan, satu digit (bit) saja sudah cukup. Biasanya, bit tanda menempati bit paling signifikan dari suatu bilangan. Jika bit paling signifikan suatu bilangan adalah 0, maka bilangan tersebut dianggap positif. Jika angka paling signifikan suatu bilangan adalah 1, maka bilangan tersebut dianggap negatif.

Satu hal yang perlu diingat ketika memprogram dalam bahasa assembly: poin penting“Membatasi rentang representasi angka.”

Misalnya, jika ukuran variabel positif adalah 1 byte, maka variabel tersebut hanya dapat menerima 256 arti yang berbeda. Artinya kita tidak bisa menggunakannya untuk mewakili angka yang lebih besar dari 255 (111111112). Untuk variabel negatif yang sama, nilai maksimumnya adalah 127 (011111112), dan minimum -128 (100000002). Rentang ini didefinisikan dengan cara yang sama untuk variabel 2 dan 4 byte.

ANGKA, salah satu konsep dasar matematika; berasal dari zaman kuno dan secara bertahap berkembang dan digeneralisasi. Sehubungan dengan penghitungan benda-benda individual, muncullah konsep bilangan bulat positif (alami), dan kemudian muncul gagasan tentang tak terbatasnya deret bilangan asli: 1, 2, 3, 4. Soal pengukuran panjang , luas, dll., serta mengisolasi bagian besaran-besaran bernama mengarah pada konsep bilangan rasional (pecahan). Konsep bilangan negatif muncul di kalangan masyarakat India pada abad 6-11.

Untuk pertama kalinya bilangan negatif ditemukan dalam salah satu buku risalah Tiongkok kuno “Matematika dalam Sembilan Bab” (Jan Can - abad ke-1 SM). Angka negatif berarti utang, dan angka positif berarti properti. Penjumlahan dan pengurangan bilangan negatif dilakukan berdasarkan alasan tentang utang. Misalnya, aturan penjumlahan dirumuskan sebagai berikut: “Jika utang lain ditambahkan pada satu utang, maka hasilnya adalah utang, bukan harta.” Saat itu belum ada tanda minus, dan untuk membedakan bilangan positif dan negatif, Can Can menuliskannya dengan tinta warna berbeda.

Gagasan tentang bilangan negatif sulit mendapat tempat dalam matematika. Angka-angka ini tampaknya tidak dapat dipahami dan bahkan salah bagi para ahli matematika zaman dahulu, dan tindakan terhadap angka-angka tersebut tidak jelas dan tidak memiliki arti yang sebenarnya.

Penggunaan bilangan negatif oleh matematikawan India.

Pada abad ke-6 dan ke-7 M, matematikawan India sudah secara sistematis menggunakan bilangan negatif, namun tetap memahaminya sebagai utang. Sejak abad ke-7, matematikawan India telah menggunakan bilangan negatif. Mereka menyebut angka positif “dhana” atau “sva” (“properti”), dan angka negatif “rina” atau “kshaya” (“hutang”). Untuk pertama kalinya, keempat operasi aritmatika dengan bilangan negatif diberikan oleh ahli matematika dan astronom India Brahmagupta (598 - 660).

Misalnya, ia merumuskan aturan pembagian sebagai berikut: “Yang positif dibagi positif, atau negatif dibagi negatif menjadi positif. Tapi positif dibagi negatif, dan negatif dibagi positif, tetap negatif.”

(Brahmagupta (598 - 660) adalah seorang matematikawan dan astronom India. Karya Brahmagupta “Revisi Sistem Brahma” (628) telah sampai kepada kita, yang sebagian besar dikhususkan untuk aritmatika dan aljabar. Yang paling penting di sini adalah doktrin perkembangan aritmatika dan solusi persamaan kuadrat, yang ditangani Brahmagupta dalam semua kasus di mana mereka memiliki solusi yang valid. Brahmagupta mengizinkan dan mempertimbangkan penggunaan angka nol dalam semua operasi aritmatika. Selain itu, Brahmagupta memecahkan beberapa persamaan tak tentu dalam bilangan bulat; dia memberikan aturan untuk menyusun segitiga siku-siku dengan sisi rasional, dll. Brahmagupta mengetahui aturan rangkap tiga terbalik, dia menemukan pendekatan P, rumus interpolasi paling awal dari orde ke-2. Aturan interpolasinya untuk sinus dan sinus invers pada interval yang sama adalah kasus khusus dari rumus interpolasi Newton – Stirling. Dalam karya selanjutnya, Brahmagupta memberikan aturan interpolasi untuk interval yang tidak sama. Karya-karyanya diterjemahkan ke dalam bahasa Arab pada abad ke-8.)

Memahami angka negatif oleh Leonard Fibonacci dari Pisa.

Terlepas dari orang India, ahli matematika Italia Leonardo Fibonacci dari Pisa (abad ke-13) mulai memahami bilangan negatif sebagai kebalikan dari bilangan positif. Namun butuh sekitar 400 tahun lagi sebelum bilangan negatif yang “absurd” (tidak berarti) mendapat pengakuan penuh dari para ahli matematika, dan keputusan negatif tugas tidak lagi dianggap mustahil.

(Leonardo Fibonacci dari Pisa (c. 1170 - setelah 1228) - Matematikawan Italia. Lahir di Pisa (Italia). Pendidikan dasar diterima di Bush (Aljazair) di bawah bimbingan seorang guru lokal. Di sini ia menguasai aritmatika dan aljabar orang Arab. Ia mengunjungi banyak negara di Eropa dan Timur dan memperluas pengetahuannya tentang matematika kemana-mana.

Dia menerbitkan dua buku: "The Book of Abacus" (1202), di mana sempoa dianggap bukan sebagai instrumen, tetapi sebagai kalkulus secara umum, dan "Practical Geometry" (1220). Berdasarkan buku pertama, banyak generasi matematikawan Eropa mempelajari sistem bilangan posisi India. Penyajian materi di dalamnya orisinal dan elegan. Ilmuwan juga membuat penemuannya sendiri, khususnya, ia memprakarsai pengembangan masalah yang berkaitan dengan bilangan Fibonacci T.N., dan memberikan teknik asli mengekstraksi akar pangkat tiga. Karya-karyanya baru tersebar luas pada akhir abad ke-15, ketika Luca Pacioli merevisinya dan menerbitkannya dalam bukunya Summa.

Pertimbangan bilangan negatif oleh Mikhail Stifel dengan cara baru.

Pada tahun 1544, ahli matematika Jerman Michael Stiefel pertama kali menganggap bilangan negatif sebagai bilangan yang kurang dari nol (yaitu "kurang dari tidak sama sekali"). Sejak saat itu, angka negatif tidak lagi dipandang sebagai utang, melainkan dengan cara yang benar-benar baru. (Mikhail Stiefel (19.04.1487 - 19.06.1567) - ahli matematika Jerman terkenal. Michael Stiefel belajar di biara Katolik, kemudian menjadi tertarik pada ide-ide Luther dan menjadi pendeta Protestan pedesaan. Saat belajar Alkitab, dia mencoba mencari a interpretasi matematis di dalamnya. Akibatnya penelitiannya meramalkan akhir dunia pada tanggal 19 Oktober 1533, yang tentu saja tidak terjadi, dan Michael Stiefel dipenjarakan di penjara Württemberg, dari mana Luther sendiri menyelamatkannya.

Setelah itu, Stiefel mengabdikan karyanya sepenuhnya pada matematika, di mana ia menjadi seorang jenius otodidak. Salah satu orang pertama di Eropa setelah N. Schuke yang mulai beroperasi dengan angka negatif; memperkenalkan eksponen pecahan dan nol, serta istilah “eksponen”; dalam karyanya “Complete Arithmetic” (1544) ia memberikan aturan pembagian dengan pecahan sebagai perkalian dengan kebalikan dari pembagi; mengambil langkah pertama dalam pengembangan teknik yang menyederhanakan penghitungan dengan bilangan besar, dengan membandingkan dua perkembangan: geometri dan aritmatika. Hal ini kemudian membantu I. Bürgi dan J. Napier membuat tabel logaritma dan mengembangkan perhitungan logaritma.)

Interpretasi modern tentang bilangan negatif oleh Girard dan Rene Descartes.

Interpretasi modern atas bilangan negatif, berdasarkan plot segmen satuan pada garis bilangan di sebelah kiri nol, diberikan pada abad ke-17, terutama dalam karya matematikawan Belanda Girard (1595–1634) dan matematikawan serta filsuf Prancis terkenal. René Descartes (1596–1650). ) (Girard Albert (1595 - 1632) - ahli matematika Belgia. Girard lahir di Prancis, tetapi melarikan diri ke Belanda dari penganiayaan Gereja Katolik karena dia seorang Protestan. Albert Girard memberikan kontribusi besar terhadap perkembangan aljabar. Karya utamanya adalah buku A New Discovery in Algebra. Untuk pertama kalinya ia mengungkapkan teorema dasar aljabar tentang keberadaan akar dalam persamaan aljabar dengan yang tidak diketahui. Meskipun Gauss adalah orang pertama yang memberikan bukti yang kuat. Girard bertanggung jawab atas penurunan rumus luas segitiga bola.) Sejak 1629 di Belanda. Dia meletakkan dasar-dasar geometri analitik, memberikan konsep kuantitas dan fungsi variabel, dan memperkenalkan banyak notasi aljabar. Ia mengungkapkan hukum kekekalan momentum dan memberikan konsep impuls gaya. Penulis teori yang menjelaskan pembentukan dan pergerakan benda langit melalui gerak pusaran partikel materi (Descartes vortices). Memperkenalkan konsep refleks (descartes arc). Landasan filsafat Descartes adalah dualisme jiwa dan raga, “pemikiran” dan substansi “yang diperluas”. Dia mengidentifikasi materi dengan perluasan (atau ruang), dan mereduksi gerak menjadi gerak benda. Penyebab umum gerak, menurut Descartes, adalah Tuhan yang menciptakan materi, gerak, dan istirahat. Manusia adalah penghubung antara mekanisme tubuh yang tak bernyawa dan jiwa dengan pemikiran dan kemauan. Landasan tanpa syarat dari semua pengetahuan, menurut Descartes, adalah kepastian kesadaran yang langsung (“Saya berpikir, maka saya ada”). Keberadaan Tuhan dianggap sebagai sumber makna objektif pemikiran manusia. Dalam doktrin pengetahuan, Descartes merupakan pendiri rasionalisme dan pendukung doktrin gagasan bawaan. Karya utama: “Geometri” (1637), “Wacana tentang Metode. "(1637)," Prinsip Filsafat "(1644).

DESCARTES (Descartes) Rene (Latinisasi - Cartesius; Cartesius) (31 Maret 1596, Lae, Touraine, Prancis - 11 Februari 1650, Stockholm), filsuf, matematikawan, fisikawan dan fisiologi Prancis, pendiri rasionalisme Eropa modern dan salah satu ahli metafisika paling berpengaruh di New Age.

Kehidupan dan tulisan

Lahir dari keluarga bangsawan, Descartes mendapat pendidikan yang baik. Pada tahun 1606, ayahnya mengirimnya ke perguruan tinggi Jesuit di La Flèche. Mengingat kesehatan Descartes yang tidak terlalu baik, ia diberi beberapa kelonggaran dalam rezim ketat lembaga pendidikan ini, misalnya. , diizinkan bangun lebih lambat dari yang lain. Setelah memperoleh banyak ilmu di bangku kuliah, Descartes sekaligus dijiwai dengan antipati terhadap filsafat skolastik, yang dipertahankannya sepanjang hidupnya.

Setelah lulus kuliah, Descartes melanjutkan pendidikannya. Pada tahun 1616, di Universitas Poitiers, ia menerima gelar sarjana hukum. Pada tahun 1617, Descartes mendaftar menjadi tentara dan melakukan perjalanan secara luas ke seluruh Eropa.

Tahun 1619 ternyata menjadi tahun kunci bagi Descartes secara ilmiah. Pada saat inilah, seperti yang dia tulis sendiri dalam buku hariannya, dasar-dasar “ilmu pengetahuan paling menakjubkan” baru terungkap kepadanya. Kemungkinan besar, Descartes memikirkan penemuan yang universal metode ilmiah, yang kemudian berhasil diterapkannya dalam berbagai disiplin ilmu.

Pada tahun 1620-an, Descartes bertemu dengan ahli matematika M. Mersenne, melalui siapa dia bertahun-tahun yang panjang“tetap berhubungan” dengan seluruh komunitas ilmiah Eropa.

Pada tahun 1628, Descartes menetap di Belanda selama lebih dari 15 tahun, tetapi tidak menetap di satu tempat pun, melainkan berpindah tempat tinggal sekitar dua lusin kali.

Pada tahun 1633, setelah mengetahui tentang kecaman gereja terhadap Galileo, Descartes menolak untuk menerbitkan karya filosofis alamnya "The World", yang menguraikan gagasan tentang asal mula alam semesta menurut hukum mekanis materi.

Pada tahun 1637 seterusnya Perancis Karya Descartes “Discourse on Method” diterbitkan, yang diyakini banyak orang, filsafat Eropa modern dimulai.

Pada tahun 1641 hal utama muncul esai filosofis Descartes "Refleksi Filsafat Pertama" (dalam bahasa Latin), dan pada tahun 1644 "Prinsip Filsafat", sebuah karya yang disusun oleh Descartes sebagai ringkasan yang merangkum teori metafisika dan filsafat alam yang paling penting dari penulisnya.

Karya filosofis terakhir Descartes, The Passions of the Soul, yang diterbitkan pada tahun 1649, juga mempunyai pengaruh yang besar terhadap pemikiran Eropa.Pada tahun yang sama, atas undangan Ratu Swedia Christina, Descartes berangkat ke Swedia. Iklim yang keras dan rezim yang tidak biasa (ratu memaksa Descartes bangun jam 5 pagi untuk memberikan pelajaran dan melaksanakan tugas lain) merusak kesehatan Descartes, dan karena masuk angin, dia meninggal karena pneumonia.

Filsafat Descartes dengan jelas menggambarkan keinginan budaya Eropa untuk membebaskan diri dari dogma-dogma lama dan membangun ilmu pengetahuan dan kehidupan baru “dari awal”. Kriteria kebenaran, menurut Descartes, hanya bisa menjadi “cahaya alami” pikiran kita. Descartes tidak menyangkal nilai kognitif dari pengalaman, tetapi ia melihat fungsinya secara eksklusif untuk membantu alasan di mana kekuatan sendiri yang terakhir ini tidak cukup untuk pengetahuan. Berkaca pada kondisi untuk mencapai pengetahuan yang dapat diandalkan, Descartes merumuskan “aturan metode” yang dengannya seseorang dapat sampai pada kebenaran. Awalnya dianggap oleh Descartes sangat banyak, dalam “Discourse on Method” ia mereduksinya menjadi empat ketentuan utama yang merupakan “intisari” rasionalisme Eropa: 1) memulai dengan yang tidak diragukan dan terbukti dengan sendirinya, yaitu dengan apa yang tidak bisa dianggap sebaliknya, 2) membagi suatu masalah menjadi beberapa bagian yang diperlukan untuk menyelesaikannya solusi yang efektif, 3) memulai dari yang sederhana dan bertahap menuju yang kompleks, 4) senantiasa memeriksa kembali kebenaran kesimpulan. Yang terbukti dengan sendirinya ditangkap oleh pikiran dalam intuisi intelektual, yang tidak bisa disamakan dengan pengamatan indrawi dan yang memberi kita pemahaman kebenaran yang “jelas dan berbeda”. Membagi suatu masalah menjadi beberapa bagian memungkinkan untuk mengidentifikasi unsur-unsur “mutlak” di dalamnya, yaitu unsur-unsur yang terbukti dengan sendirinya yang menjadi dasar pengambilan kesimpulan selanjutnya. Descartes menyebut deduksi sebagai “gerakan pemikiran” di mana kohesi kebenaran intuitif terjadi. Lemahnya kecerdasan manusia memerlukan pengecekan kebenaran langkah yang diambil untuk memastikan tidak ada kesenjangan penalaran. Descartes menyebut verifikasi ini sebagai “pencacahan” atau “induksi”. Hasil dari deduksi yang konsisten dan bercabang-cabang haruslah berupa konstruksi sistem pengetahuan universal, “sains universal”. Descartes membandingkan ilmu ini dengan sebatang pohon. Akarnya adalah metafisika, batangnya adalah fisika, dan cabang-cabangnya yang bermanfaat dibentuk oleh ilmu-ilmu konkrit, etika, kedokteran dan mekanika, yang membawa manfaat langsung. Dari diagram ini terlihat jelas bahwa kunci efektifitas semua ilmu tersebut adalah metafisika yang benar.

Yang membedakan Descartes dengan metode penemuan kebenaran adalah metode penyajian materi yang sudah dikembangkan. Hal ini dapat disajikan “secara analitis” dan “secara sintetik”. Metode analitisnya problematis, kurang sistematis namun lebih kondusif untuk pemahaman. Sintetis, seolah-olah bahan “geometrisasi”, lebih ketat. Descartes masih lebih menyukai metode analitis.

Keraguan dan kepastian

Masalah awal metafisika sebagai ilmu tentang makhluk paling umum adalah, seperti dalam disiplin ilmu lainnya, pertanyaan tentang landasan yang terbukti dengan sendirinya. Metafisika harus dimulai dengan pernyataan yang tidak diragukan lagi tentang suatu keberadaan. Descartes “menguji” tesis tentang keberadaan dunia, Tuhan dan “aku” kita untuk membuktikan diri. Dunia bisa dibayangkan tidak ada jika kita membayangkan hidup kita hanyalah sebuah mimpi panjang. Seseorang juga dapat meragukan keberadaan Tuhan. Tetapi “Aku” kita, menurut Descartes, tidak dapat dipertanyakan, karena keraguan itu sendiri dalam keberadaannya membuktikan adanya keraguan, dan oleh karena itu dari Aku yang meragukan. “Aku ragu, oleh karena itu aku ada” - beginilah cara Descartes merumuskan kebenaran yang paling penting ini , menunjukkan pergantian subjektivis filsafat Eropa Zaman Baru. Lebih lanjut pandangan umum tesis ini berbunyi seperti ini: “Saya berpikir, maka saya ada” - cogito, ergo sum. Keraguan hanyalah salah satu dari “cara berpikir”, bersama dengan keinginan, pemahaman rasional, imajinasi, ingatan, dan bahkan sensasi. Dasar pemikiran adalah kesadaran. Oleh karena itu, Descartes menyangkal adanya gagasan bawah sadar. Berpikir adalah properti integral dari jiwa. Jiwa tidak bisa tidak berpikir; ia adalah “sesuatu yang berpikir,” res cogitans. Namun, mengakui tesis tentang keberadaan seseorang tidak diragukan lagi tidak berarti bahwa Descartes menganggap ketidakberadaan jiwa secara umum mustahil: jiwa tidak bisa tidak ada hanya selama ia berpikir. Kalau tidak, jiwa adalah suatu hal yang acak, yaitu bisa ada atau tidak, karena tidak sempurna. Semua hal acak memperoleh keberadaannya dari luar. Descartes menyatakan bahwa jiwa dipelihara keberadaannya setiap detik oleh Tuhan. Meskipun demikian, ia dapat disebut suatu zat, karena ia dapat eksis secara terpisah dari tubuh. Namun pada kenyataannya, jiwa dan raga berinteraksi erat. Namun, kemandirian mendasar jiwa dari tubuh bagi Descartes merupakan jaminan kemungkinan keabadian jiwa.

Doktrin Tuhan

Dari psikologi filosofis, Descartes beralih ke doktrin Tuhan. Dia memberikan beberapa bukti keberadaan makhluk tertinggi. Yang paling terkenal adalah apa yang disebut “argumen ontologis”: Tuhan adalah makhluk yang maha sempurna, oleh karena itu konsep tentang Dia tidak boleh lepas dari predikat wujud eksternal, artinya tidak mungkin mengingkari keberadaan Tuhan tanpa terjerumus ke dalam kontradiksi. Bukti lain yang ditawarkan Descartes lebih orisinal (yang pertama terkenal dalam filsafat abad pertengahan): dalam pikiran kita ada gagasan tentang Tuhan, gagasan itu pasti ada penyebabnya, tetapi penyebabnya hanya bisa Tuhan sendiri, karena sebaliknya ide realitas tertinggi akan dihasilkan oleh sesuatu yang tidak memiliki realitas ini, yaitu, akan ada lebih banyak realitas dalam tindakan daripada penyebabnya, dan ini tidak masuk akal. Argumen ketiga didasarkan pada perlunya keberadaan Tuhan untuk menopang keberadaan manusia. Descartes percaya bahwa Tuhan, meskipun tidak terikat oleh hukum kebenaran manusia, namun merupakan sumber “pengetahuan bawaan” manusia, yang mencakup gagasan tentang Tuhan, serta aksioma logis dan matematis. Descartes percaya bahwa kepercayaan kita terhadap keberadaan benda-benda eksternal berasal dari Tuhan. dunia materi. Tuhan tidak bisa menjadi penipu, dan oleh karena itu keyakinan ini benar, dan dunia material benar-benar ada.

Filsafat alam

Setelah yakin akan keberadaan dunia material, Descartes mulai mempelajari sifat-sifatnya. Sifat utama benda materi adalah perluasan, yang dapat muncul dalam berbagai modifikasi. Descartes menyangkal keberadaan ruang kosong dengan alasan bahwa di mana pun ada perluasan, di situ juga terdapat “sesuatu yang diperluas,” res extensa. Kualitas-kualitas lain dari materi dipahami secara samar-samar dan, mungkin, menurut Descartes, hanya ada dalam persepsi, dan tidak ada dalam objek itu sendiri. Materi terdiri dari unsur api, udara, dan tanah, yang membedakan hanyalah ukurannya. Elemen tidak dapat dipisahkan dan dapat berubah menjadi satu sama lain. Mencoba menyelaraskan konsep keleluasaan materi dengan tesis tentang tidak adanya kekosongan, Descartes mengajukan tesis yang sangat menarik tentang ketidakstabilan dan ketidakhadiran. bentuk tertentu dalam partikel materi terkecil. Descartes mengakui tumbukan sebagai satu-satunya cara untuk menyampaikan interaksi antara unsur-unsur dan benda-benda yang terdiri dari campurannya. Itu terjadi menurut hukum keteguhan, yang timbul dari esensi Tuhan yang tidak berubah. Dengan tidak adanya pengaruh eksternal, segala sesuatunya tidak berubah keadaannya dan bergerak dalam garis lurus, yang merupakan simbol keteguhan. Selain itu, Descartes berbicara tentang kekekalan momentum asli di dunia. Namun, gerakan itu sendiri pada awalnya tidak melekat pada materi, namun diperkenalkan ke dalamnya oleh Tuhan. Namun satu dorongan awal saja sudah cukup untuk membuat kosmos yang benar dan harmonis secara bertahap terbentuk secara independen dari kekacauan materi.

Jiwa dan raga

Descartes mencurahkan banyak waktunya untuk mempelajari hukum fungsi organisme hewan. Dia menganggap mereka sebagai mesin halus yang mampu beradaptasi secara mandiri lingkungan dan merespons dengan tepat pengaruh eksternal. Efek yang dialami ditransmisikan ke otak, yang merupakan reservoir “roh binatang”, partikel-partikel kecil, yang masuknya ke dalam otot melalui pori-pori yang terbuka karena penyimpangan otak “kelenjar pineal” (yang merupakan tempat duduknya). jiwa), menyebabkan kontraksi otot-otot ini. Pergerakan tubuh terdiri dari serangkaian kontraksi tersebut. Hewan tidak memiliki jiwa dan tidak membutuhkannya. Descartes mengatakan bahwa dia lebih terkejut dengan kehadiran jiwa pada manusia dibandingkan dengan ketidakhadirannya pada hewan. Namun kehadiran jiwa dalam diri seseorang bukannya sia-sia, karena jiwa mampu mengoreksi reaksi alami tubuh.

Descartes sang ahli fisiologi

Descartes mempelajari struktur berbagai organ pada hewan dan meneliti struktur embrio pada berbagai tahap perkembangan. Doktrinnya tentang gerakan “sukarela” dan “tak sadar” meletakkan dasar bagi doktrin refleks modern. Karya Descartes menyajikan skema reaksi refleks dengan bagian sentripetal dan sentrifugal dari busur refleks.

Pentingnya karya Descartes dalam matematika dan fisika

Prestasi ilmiah alam Descartes lahir sebagai “produk sampingan” dari metode terpadu dari ilmu terpadu yang dikembangkannya. Descartes dikreditkan dengan penciptaan sistem modern notasi: ia memperkenalkan tanda untuk variabel (x, y, z.), koefisien (a, b, c.), notasi derajat (a2, x-1.).

Descartes adalah salah satu penulis teori persamaan: ia merumuskan aturan tanda untuk menentukan jumlah akar positif dan negatif, mengajukan pertanyaan tentang batas-batas akar real dan mengajukan masalah reduksibilitas, yaitu representasi dari bilangan bulat Fungsi rasional dengan koefisien rasional berupa hasil kali dua fungsi sejenis. Dia menunjukkan bahwa persamaan derajat ke-3 dapat diselesaikan dalam akar kuadrat (dan juga menunjukkan solusi menggunakan kompas dan penggaris jika persamaan tersebut dapat direduksi).

Descartes adalah salah satu pencipta geometri analitik (yang dikembangkannya bersamaan dengan P. Fermat), yang memungkinkan aljabar ilmu ini menggunakan metode koordinat. Sistem koordinat yang dia usulkan menerima namanya. Dalam karyanya “Geometri” (1637), yang membuka interpenetrasi aljabar dan geometri, Descartes pertama kali memperkenalkan konsep besaran variabel dan fungsi. Dia menafsirkan variabel dalam dua cara: sebagai segmen dengan panjang variabel dan arah konstan (koordinat saat ini dari suatu titik yang menggambarkan kurva dengan pergerakannya) dan sebagai variabel numerik kontinu yang melewati sekumpulan angka yang menyatakan segmen ini. Dalam bidang studi geometri, Descartes memasukkan garis-garis "geometris" (kemudian disebut aljabar oleh Leibniz) - garis-garis yang digambarkan oleh mekanisme berengsel yang sedang bergerak. Dia mengecualikan kurva transendental (Descartes sendiri menyebutnya “mekanis”) dari geometrinya. Sehubungan dengan studi tentang lensa (lihat di bawah), "Geometri" menguraikan metode untuk membangun garis normal dan garis singgung kurva bidang.

“Geometri” mempunyai pengaruh yang sangat besar terhadap perkembangan matematika. DI DALAM sistem kartesius koordinat menerima interpretasi nyata dari angka negatif. Descartes sebenarnya mengartikan bilangan real sebagai perbandingan setiap segmen dengan satuan (walaupun rumusannya sendiri kemudian diberikan oleh I. Newton). Korespondensi Descartes juga memuat penemuannya yang lain.

Dalam ilmu optik, ia menemukan hukum pembiasan sinar cahaya pada batas dua media berbeda (diuraikan dalam Dioptrics, 1637). Descartes memberikan kontribusi besar terhadap fisika dengan memberikan rumusan yang jelas tentang hukum inersia.

Pengaruh Descartes

Descartes mempunyai pengaruh yang luar biasa terhadap ilmu pengetahuan dan filsafat selanjutnya. Para pemikir Eropa mengadopsi seruannya untuk penciptaan filsafat sebagai ilmu pasti (B. Spinoza) dan konstruksi metafisika berdasarkan doktrin jiwa (J. Locke, D. Hume). Descartes juga mengintensifkan perdebatan teologis tentang kemungkinan pembuktian keberadaan Tuhan. Diskusi Descartes tentang pertanyaan tentang interaksi jiwa dan tubuh, yang ditanggapi oleh N. Malebranche, G. Leibniz dan lain-lain, serta konstruksi kosmogoniknya memiliki gaung yang sangat besar. Banyak pemikir yang berupaya memformalkan metodologi Descartes (A. Arnauld, N. Nicole, B. Pascal). Pada abad ke-20, filsafat Descartes sering menjadi rujukan para peserta berbagai diskusi tentang masalah filsafat pikiran dan psikologi kognitif.

Untuk mengembangkan pendekatan ini, yang dapat dimengerti dan alami bagi kita saat ini, diperlukan upaya banyak ilmuwan selama delapan belas abad dari Can Tsang hingga Descartes.

Mengidentifikasi Bilangan Positif dan Negatif

Untuk menentukan bilangan positif dan negatif kita menggunakan garis koordinat yang letaknya mendatar dan berarah dari kiri ke kanan.

Catatan 1

Titik asal pada garis koordinat sama dengan angka nol, yang bukan merupakan angka positif atau negatif.

Definisi 1

Bilangan-bilangan yang bersesuaian dengan titik-titik garis koordinat yang terletak di sebelah kanan titik asal disebut positif.

Definisi 2

Bilangan-bilangan yang bersesuaian dengan titik-titik garis koordinat yang terletak di sebelah kiri titik asal disebut negatif.

Dari definisi tersebut dapat disimpulkan bahwa himpunan semua bilangan negatif berlawanan dengan himpunan semua bilangan positif.

Bilangan negatif selalu ditulis dengan tanda “–” (minus).

Contoh 2

Contoh bilangan negatif:

Bilangan rasional $-\frac(9)(17)$, $-4 \frac(11)(23)$, $–5,25$, $–4,(79)$.
Bilangan irasional$ -\sqrt(2)$, pecahan desimal non-periodik tak hingga $–103.1012341981…$

Untuk mempermudah penulisan, tanda “+” (plus) seringkali tidak ditulis sebelum bilangan positif, dan tanda “–” selalu ditulis sebelum bilangan negatif. Dalam kasus seperti ini, perlu diingat bahwa entri “$17.4$” setara dengan entri “$+17.4$”, entri “$\sqrt(5)$” setara dengan entri “$+\sqrt( 5)$”, dst.

Jadi definisi bilangan positif dan negatif berikut dapat digunakan:

Definisi 3

Bilangan yang ditulis dengan tanda “+” disebut positif, dan dengan tanda “–” – negatif.

Pengertian bilangan positif dan negatif yang digunakan didasarkan pada perbandingan bilangan:

Definisi 4

Angka positif adalah angka yang lebih besar dari nol, dan angka negatif– angka kurang dari nol.

Catatan 3

Jadi, angka nol memisahkan angka positif dan negatif.

Aturan membaca bilangan positif dan negatif

Catatan 4

Saat membaca suatu bilangan yang ada tanda di depannya, bacalah tandanya terlebih dahulu, baru kemudian bilangan itu sendiri.

Contoh 3

Misalnya, “$+17$” dibaca “plus tujuh belas”,

“$-3 \frac(4)(11)$” dibaca “dikurangi tiga koma empat sebelas.”

Catatan 5

Perlu diperhatikan bahwa nama tanda plus dan minus tidak ditolak, sedangkan angka dapat ditolak.

Contoh 4

Interpretasi angka positif dan negatif

Angka positif digunakan untuk menunjukkan peningkatan suatu nilai, kedatangan, peningkatan, peningkatan nilai, dll.

Angka negatif digunakan untuk konsep yang berlawanan - untuk menunjukkan penurunan nilai, biaya, kekurangan, hutang, penurunan nilai, dll.

Mari kita lihat contohnya.

Seorang pembaca meminjam buku senilai $4$ dari perpustakaan. Nilai positif angka $4$ menunjukkan jumlah buku yang dimiliki pembaca. Jika dia perlu memeriksa $2$ buku ke perpustakaan, dia dapat menggunakan nilai negatif $–2$, yang akan menunjukkan penurunan jumlah buku yang dimiliki pembaca.

Bilangan positif dan negatif sering digunakan untuk menggambarkan nilai berbagai besaran pada alat ukur. Misalnya, termometer untuk mengukur suhu memiliki skala yang diberi tanda nilai positif dan negatif.

Pendinginan di luar sebesar $3$ derajat, mis. penurunan suhu dapat ditunjukkan dengan nilai $–3$, dan peningkatan suhu sebesar $5$ derajat dapat ditunjukkan dengan nilai $+5$.

Merupakan kebiasaan untuk menggambarkan angka negatif dengan warna biru, yang melambangkan dingin, suhu rendah, dan angka positif berwarna merah, melambangkan kehangatan, suhu tinggi. Menunjukkan bilangan positif dan negatif menggunakan warna merah dan berwarna biru Digunakan dalam situasi yang berbeda untuk menyorot tanda angka.