Katakanlah Achilles berlari sepuluh kali lebih cepat dari kura-kura dan berada seribu langkah di belakangnya. Selama waktu yang dibutuhkan Achilles untuk berlari sejauh ini, kura-kura akan merangkak seratus langkah ke arah yang sama. Ketika Achilles berlari seratus langkah, kura-kura merangkak sepuluh langkah lagi, dan seterusnya. Prosesnya akan terus berlanjut tanpa batas, Achilles tidak akan pernah bisa mengejar kura-kura.
Alasan ini menjadi kejutan logis bagi semua generasi berikutnya. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... Mereka semua menganggap aporia Zeno dalam satu atau lain cara. Guncangannya begitu kuat sehingga " ...diskusi berlanjut hingga hari ini; komunitas ilmiah belum dapat mencapai konsensus mengenai esensi paradoks...terlibat dalam studi masalah ini analisis matematis, teori himpunan, pendekatan fisik dan filosofis baru; tidak satupun dari mereka menjadi solusi yang diterima secara umum untuk masalah ini..."[Wikipedia," Zeno's Aporia ". Semua orang mengerti bahwa mereka sedang dibodohi, tapi tidak ada yang mengerti apa isi penipuan itu.
Dari sudut pandang matematika, Zeno dalam aporianya dengan jelas menunjukkan transisi dari kuantitas ke kuantitas. Transisi ini menyiratkan penerapan, bukan penerapan permanen. Sejauh yang saya pahami, peralatan matematika untuk menggunakan satuan pengukuran variabel belum dikembangkan, atau belum diterapkan pada aporia Zeno. Menerapkan logika biasa membawa kita ke dalam jebakan. Karena kelembaman berpikir, kita menerapkan satuan waktu yang konstan pada nilai timbal balik. Dari sudut pandang fisik, ini tampak seperti waktu yang melambat hingga berhenti sepenuhnya pada saat Achilles menyusul penyu tersebut. Jika waktu berhenti, Achilles tidak bisa lagi berlari lebih cepat dari kura-kura.
Jika kita membalikkan logika kita yang biasa, semuanya akan beres. Achilles berlari dengan kecepatan konstan. Setiap segmen jalur berikutnya sepuluh kali lebih pendek dari segmen sebelumnya. Oleh karena itu, waktu yang dibutuhkan untuk mengatasinya sepuluh kali lebih sedikit dibandingkan waktu sebelumnya. Jika kita menerapkan konsep “tak terhingga” dalam situasi ini, maka benar jika dikatakan “Achilles akan menyusul penyu dengan sangat cepat.”
Bagaimana cara menghindari jebakan logis ini? Tetap dalam satuan waktu yang konstan dan jangan beralih ke satuan timbal balik. Dalam bahasa Zeno tampilannya seperti ini:
Dalam waktu yang dibutuhkan Achilles untuk berlari seribu langkah, kura-kura akan merangkak seratus langkah ke arah yang sama. Selama selang waktu berikutnya yang sama dengan waktu pertama, Achilles akan berlari seribu langkah lagi, dan kura-kura akan merangkak seratus langkah. Sekarang Achilles berada delapan ratus langkah di depan kura-kura.
Pendekatan ini cukup menggambarkan realitas tanpa adanya paradoks logis. Tapi ini bukanlah solusi lengkap untuk masalah ini. Pernyataan Einstein tentang kecepatan cahaya yang tak tertahankan sangat mirip dengan aporia Zeno “Achilles and the Tortoise”. Kita masih harus mempelajari, memikirkan kembali dan memecahkan masalah ini. Dan solusinya harus dicari bukan dalam jumlah yang sangat besar, namun dalam satuan pengukuran.
Aporia menarik lainnya dari Zeno menceritakan tentang panah terbang:
Anak panah yang terbang tidak bergerak, karena ia diam pada setiap saat, dan karena ia diam pada setiap saat, maka ia selalu diam.
Dalam aporia ini, paradoks logis diatasi dengan sangat sederhana - cukup untuk memperjelas bahwa pada setiap momen waktu sebuah panah terbang diam di berbagai titik di ruang angkasa, yang sebenarnya adalah gerakan. Hal lain yang perlu diperhatikan di sini. Dari satu foto sebuah mobil di jalan raya, tidak mungkin untuk menentukan fakta pergerakannya atau jaraknya. Untuk menentukan apakah sebuah mobil sedang bergerak, Anda memerlukan dua foto yang diambil dari titik yang sama pada titik waktu yang berbeda, tetapi Anda tidak dapat menentukan jarak dari keduanya. Untuk menentukan jarak ke sebuah mobil, Anda memerlukan dua buah foto yang diambil dari titik ruang yang berbeda pada satu titik waktu, namun dari foto tersebut Anda tidak dapat menentukan fakta pergerakannya (tentunya Anda masih memerlukan data tambahan untuk perhitungannya, trigonometri akan membantu Anda ). Apa yang ingin saya tunjukkan Perhatian khusus, apakah dua titik dalam waktu dan dua titik dalam ruang merupakan hal yang berbeda sehingga tidak boleh tertukar, karena memberikan peluang penelitian yang berbeda.
Rabu, 4 Juli 2018
Perbedaan antara himpunan dan multiset dijelaskan dengan sangat baik di Wikipedia. Mari kita lihat.
Seperti yang Anda lihat, “tidak mungkin ada dua elemen yang identik dalam satu himpunan”, tetapi jika ada elemen yang identik dalam suatu himpunan, himpunan tersebut disebut “multiset”. Makhluk berakal tidak akan pernah memahami logika absurd seperti itu. Ini adalah level burung beo yang bisa berbicara dan monyet terlatih, yang tidak memiliki kecerdasan dari kata “sepenuhnya”. Matematikawan bertindak sebagai pelatih biasa, mengajarkan kepada kita ide-ide absurd mereka.
Suatu ketika, para insinyur yang membangun jembatan berada di perahu di bawah jembatan saat menguji jembatan tersebut. Jika jembatan itu runtuh, insinyur biasa-biasa saja itu mati di bawah reruntuhan ciptaannya. Jika jembatan itu mampu menahan beban, insinyur berbakat itu membangun jembatan lain.
Tidak peduli bagaimana ahli matematika bersembunyi di balik ungkapan "ingatlah, saya ada di rumah", atau lebih tepatnya, "matematika mempelajari konsep-konsep abstrak", ada satu tali pusar yang menghubungkan konsep-konsep tersebut dengan kenyataan. Tali pusar ini adalah uang. Mari kita terapkan teori himpunan matematika pada ahli matematika itu sendiri.
Kami belajar matematika dengan sangat baik dan sekarang kami duduk di depan kasir, membagikan gaji. Jadi seorang ahli matematika datang kepada kita untuk mendapatkan uangnya. Kami menghitung seluruh jumlah kepadanya dan menaruhnya di meja kami dalam tumpukan yang berbeda, di mana kami menaruh uang kertas dengan denominasi yang sama. Kemudian kita mengambil satu lembar uang dari setiap tumpukan dan memberikan “gaji matematis” kepada ahli matematika tersebut. Mari kita jelaskan kepada ahli matematika bahwa dia akan menerima sisa uang hanya jika dia membuktikan bahwa himpunan tanpa elemen identik tidak sama dengan himpunan dengan elemen identik. Di sinilah kesenangan dimulai.
Pertama-tama, logika para deputi akan berhasil: “Ini bisa diterapkan pada orang lain, tapi tidak pada saya!” Kemudian mereka akan mulai meyakinkan kita bahwa uang kertas pecahan yang sama mempunyai nomor uang kertas yang berbeda, yang berarti tidak dapat dianggap sebagai unsur yang sama. Oke, mari kita hitung gaji dalam koin - tidak ada angka pada koin tersebut. Di sini ahli matematika akan mulai mengingat fisika dengan panik: ada koin yang berbeda jumlah yang berbeda kotoran, struktur kristal dan susunan atom setiap koin unik...
Dan sekarang saya punya yang paling banyak minat Tanya: di manakah garis yang diluarnya unsur-unsur suatu himpunan banyak berubah menjadi unsur-unsur suatu himpunan dan sebaliknya? Garis seperti itu tidak ada - semuanya diputuskan oleh dukun, sains bahkan tidak bisa berbohong di sini.
Lihat disini. Kami memilih stadion sepak bola dengan luas lapangan yang sama. Luas bidangnya sama - artinya kita memiliki multiset. Tapi kalau kita lihat nama-nama stadion yang sama ini, kita mendapat banyak, karena namanya berbeda. Seperti yang Anda lihat, himpunan elemen yang sama merupakan himpunan dan multiset. Yang mana yang benar? Dan di sini ahli matematika-dukun-tajam mengeluarkan kartu as dari lengan bajunya dan mulai memberi tahu kita tentang himpunan atau multiset. Bagaimanapun, dia akan meyakinkan kita bahwa dia benar.
Untuk memahami bagaimana dukun modern beroperasi dengan teori himpunan, menghubungkannya dengan kenyataan, cukup menjawab satu pertanyaan: apa perbedaan unsur-unsur suatu himpunan dengan unsur-unsur himpunan lainnya? Saya akan menunjukkan kepada Anda, tanpa "yang dapat dibayangkan sebagai bukan satu kesatuan" atau "tidak dapat dibayangkan sebagai satu kesatuan".
Minggu, 18 Maret 2018
Penjumlahan angka-angka suatu bilangan merupakan tarian dukun dengan rebana, yang tidak ada hubungannya dengan matematika. Ya, dalam pelajaran matematika kita diajarkan untuk mencari jumlah digit suatu bilangan dan menggunakannya, tapi itulah mengapa mereka menjadi dukun, untuk mengajari keturunannya keterampilan dan kebijaksanaannya, jika tidak, dukun akan mati begitu saja.
Apakah Anda memerlukan bukti? Buka Wikipedia dan coba temukan halaman "Jumlah digit suatu bilangan". Dia tidak ada. Tidak ada rumus dalam matematika yang dapat digunakan untuk mencari jumlah digit suatu bilangan. Bagaimanapun, angka memang demikian simbol grafis, yang dengannya kita menulis angka-angka, dan dalam bahasa matematika, tugasnya adalah sebagai berikut: "Temukan jumlah simbol grafik yang mewakili angka apa pun." Matematikawan tidak bisa memecahkan masalah ini, tapi dukun bisa menyelesaikannya dengan mudah.
Mari kita cari tahu apa dan bagaimana yang kita lakukan untuk menemukan jumlah digit suatu bilangan. Jadi, mari kita punya bilangan 12345. Apa yang perlu dilakukan untuk mencari jumlah angka-angka dari bilangan tersebut? Mari kita pertimbangkan semua langkah secara berurutan.
1. Tuliskan nomor tersebut pada selembar kertas. Apa yang telah kita lakukan? Kami telah mengubah angka tersebut menjadi simbol angka grafis. Ini bukan operasi matematika.
2. Kami memotong satu gambar yang dihasilkan menjadi beberapa gambar yang berisi nomor individual. Memotong gambar bukanlah operasi matematika.
3. Ubah simbol grafik individual menjadi angka. Ini bukan operasi matematika.
4. Jumlahkan angka yang dihasilkan. Sekarang ini adalah matematika.
Jumlah digit angka 12345 adalah 15. Inilah “kursus memotong dan menjahit” yang diajarkan oleh dukun yang digunakan para ahli matematika. Tapi itu belum semuanya.
Dari sudut pandang matematika, tidak masalah dalam sistem bilangan mana kita menulis suatu bilangan. Jadi, di sistem yang berbeda Dalam kalkulus, jumlah angka-angka suatu bilangan yang sama akan berbeda. Dalam matematika, sistem bilangan ditunjukkan sebagai subskrip di sebelah kanan bilangan. Dengan banyaknya angka 12345, saya tidak mau membodohi kepala saya, mari kita simak angka 26 dari artikel tentang. Mari kita tuliskan bilangan ini dalam sistem bilangan biner, oktal, desimal, dan heksadesimal. Kami tidak akan melihat setiap langkah di bawah mikroskop; kami sudah melakukannya. Mari kita lihat hasilnya.
Seperti yang Anda lihat, dalam sistem bilangan yang berbeda, jumlah angka-angka dari bilangan yang sama berbeda. Hasil ini tidak ada hubungannya dengan matematika. Sama halnya jika Anda menentukan luas persegi panjang dalam meter dan sentimeter, Anda akan mendapatkan hasil yang sangat berbeda.
Nol terlihat sama di semua sistem bilangan dan tidak memiliki jumlah digit. Ini adalah argumen lain yang mendukung fakta itu. Pertanyaan untuk ahli matematika: bagaimana sesuatu yang bukan bilangan dinyatakan dalam matematika? Apa, bagi ahli matematika, tidak ada yang ada kecuali angka? Saya mengizinkan hal ini terjadi pada dukun, tetapi tidak pada ilmuwan. Realitas bukan hanya soal angka.
Hasil yang diperoleh harus dianggap sebagai bukti bahwa sistem bilangan adalah satuan ukuran bilangan. Lagi pula, kita tidak bisa membandingkan angka-angka dengan satuan pengukuran yang berbeda. Jika tindakan yang sama dengan satuan pengukuran yang berbeda dari besaran yang sama menghasilkan hasil yang berbeda setelah membandingkannya, maka ini tidak ada hubungannya dengan matematika.
Apa itu matematika sebenarnya? Ini terjadi ketika hasil operasi matematika tidak bergantung pada besar kecilnya bilangan, satuan pengukuran yang digunakan, dan siapa yang melakukan tindakan tersebut.
Oh! Bukankah ini toilet wanita?
- Wanita muda! Ini adalah laboratorium untuk mempelajari kekudusan jiwa-jiwa selama kenaikan mereka ke surga! Halo di atas dan panah ke atas. Toilet apa lagi?
Perempuan... Lingkaran cahaya di atas dan panah di bawah adalah laki-laki.
Jika karya seni desain seperti itu muncul di depan mata Anda beberapa kali sehari,
Maka tidak heran jika Anda tiba-tiba menemukan ikon aneh di mobil Anda:
Saya pribadi berusaha melihat minus empat derajat pada orang buang air besar (satu gambar) (komposisi beberapa gambar: tanda minus, angka empat, sebutan derajat). Dan menurutku gadis ini bukanlah orang bodoh yang tidak tahu fisika. Dia hanya memiliki stereotip yang kuat dalam melihat gambar grafis. Dan para ahli matematika selalu mengajari kita hal ini. Berikut ini contohnya.
1A bukan “minus empat derajat” atau “satu a”. Ini adalah "pooping man" atau angka "dua puluh enam" dalam notasi heksadesimal. Orang-orang yang terus-menerus bekerja dalam sistem bilangan ini secara otomatis menganggap angka dan huruf sebagai satu simbol grafis.
instruksi
Ada empat jenis operasi matematika: penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. Oleh karena itu, akan ada empat jenis contoh. Angka negatif dalam contoh disorot agar tidak membingungkan operasi matematika. Misalnya, 6-(-7), 5+(-9), -4*(-3) atau 34:(-17).
Tambahan. Aksi ini mungkin terlihat seperti: 1) 3+(-6)=3-6=-3. Tindakan penggantian: pertama, tanda kurung dibuka, tanda “+” diubah menjadi sebaliknya, kemudian dari angka (modulo) yang lebih besar “6” dikurangi angka yang lebih kecil, “3”, setelah itu jawabannya diberikan tanda yang lebih besar, yaitu “-”.
2) -3+6=3. Ini dapat ditulis menurut prinsip ("6-3") atau menurut prinsip "kurangi yang lebih kecil dari yang lebih besar dan berikan tanda yang lebih besar pada jawabannya."
3) -3+(-6)=-3-6=-9. Saat pembukaan, tindakan penjumlahan diganti dengan pengurangan, kemudian modul-modul dijumlahkan dan hasilnya diberi tanda minus.
Pengurangan.1) 8-(-5)=8+5=13. Tanda kurung dibuka, tanda tindakan dibalik, dan diperoleh contoh penjumlahan.
2) -9-3=-12. Elemen contoh ditambahkan dan diperoleh tanda umum "-".
3) -10-(-5)=-10+5=-5. Saat membuka tanda kurung, tandanya berubah lagi menjadi “+”, lalu bilangan yang lebih kecil dikurangkan dari bilangan yang lebih besar dan tanda bilangan yang lebih besar dihilangkan dari jawabannya.
Perkalian dan pembagian: Saat melakukan perkalian atau pembagian, tandanya tidak mempengaruhi operasi itu sendiri. Pada saat mengalikan atau membagi bilangan dengan jawabannya diberi tanda “minus”, jika bilangan-bilangan tersebut mempunyai tanda yang sama maka hasilnya selalu diberi tanda “plus” 1) -4*9=-36; -6:2=-3.
2)6*(-5)=-30; 45:(-5)=-9.
3)-7*(-8)=56; -44:(-11)=4.
Sumber:
- meja dengan kontra
Bagaimana cara memutuskan contoh? Anak-anak sering kali bertanya kepada orang tuanya dengan pertanyaan ini apakah pekerjaan rumah perlu dikerjakan di rumah. Bagaimana cara menjelaskan dengan benar kepada seorang anak penyelesaian contoh penjumlahan dan pengurangan bilangan multi-digit? Mari kita coba mencari tahu.
Anda akan perlu
- 1. Buku teks matematika.
- 2. Kertas.
- 3. Menangani.
instruksi
Baca contohnya. Untuk melakukan ini, bagilah setiap multinilai ke dalam kelas-kelas. Mulai dari akhir bilangan, hitung tiga angka sekaligus dan beri titik (23.867.567). Mari kita ingatkan Anda bahwa tiga digit pertama dari akhir bilangan adalah satuan, tiga digit berikutnya adalah kelas, lalu jutaan. Kita membaca nomornya: dua puluh tiga delapan ratus enam puluh tujuh ribu enam puluh tujuh.
Tuliskan sebuah contoh. Harap dicatat bahwa satuan setiap digit ditulis tepat di bawah satu sama lain: satuan di bawah satuan, puluhan di bawah puluhan, ratusan di bawah ratusan, dll.
Lakukan penjumlahan atau pengurangan. Mulailah melakukan aksi dengan unit. Tuliskan hasilnya di bawah kategori yang Anda gunakan untuk melakukan tindakan tersebut. Jika hasilnya adalah bilangan(), maka kita tuliskan satuan sebagai pengganti jawabannya, dan tambahkan bilangan puluhan pada satuan digit tersebut. Jika jumlah satuan digit mana pun di minuend lebih kecil daripada di pengurang, kita ambil 10 satuan digit berikutnya dan melakukan tindakan.
Baca jawabannya.
Video tentang topik tersebut
catatan
Larang anak Anda menggunakan kalkulator bahkan untuk memeriksa penyelesaian dengan sebuah contoh. Penjumlahan diuji dengan pengurangan, dan pengurangan diuji dengan penjumlahan.
Jika seorang anak menguasai teknik perhitungan tertulis dalam 1000, maka operasi dengan bilangan multi-digit yang dilakukan dengan cara analog tidak akan menimbulkan kesulitan.
Berikan anak Anda kompetisi untuk melihat berapa banyak contoh yang bisa dia pecahkan dalam 10 menit. Pelatihan semacam itu akan membantu mengotomatiskan teknik komputasi.
Perkalian adalah salah satu dari empat operasi matematika dasar yang mendasari banyak operasi lainnya fungsi yang kompleks. Selain itu, perkalian sebenarnya didasarkan pada operasi penjumlahan: pengetahuan tentang hal ini memungkinkan Anda menyelesaikan contoh apa pun dengan benar.
Untuk memahami esensi operasi perkalian, perlu diperhatikan bahwa ada tiga komponen utama yang terlibat di dalamnya. Salah satunya disebut faktor pertama dan merupakan bilangan yang dilakukan operasi perkalian. Karena alasan ini, ia memiliki nama kedua yang kurang umum - “dapat dikalikan”. Komponen kedua dari operasi perkalian biasanya disebut faktor kedua: komponen ini mewakili bilangan yang digunakan untuk mengalikan perkalian. Jadi, kedua komponen ini disebut pengganda, yang menekankan status kesetaraannya, serta fakta bahwa keduanya dapat ditukar: hasil perkaliannya tidak akan berubah. Terakhir, komponen ketiga dari operasi perkalian, yang dihasilkan dari hasilnya, disebut hasil kali.
Urutan operasi perkalian
Inti dari operasi perkalian didasarkan pada operasi aritmatika yang lebih sederhana -. Faktanya, perkalian adalah jumlah dari faktor pertama, atau perkalian, beberapa kali yang sesuai dengan faktor kedua. Misalnya, untuk mengalikan 8 dengan 4, Anda perlu menjumlahkan angka 8 sebanyak 4 kali sehingga menghasilkan 32. Cara ini selain memberikan pemahaman tentang esensi operasi perkalian, juga dapat digunakan untuk memeriksa hasil yang diperoleh. saat menghitung produk yang diinginkan. Harus diingat bahwa verifikasi tentu mengasumsikan bahwa istilah-istilah yang terlibat dalam penjumlahan adalah identik dan sesuai dengan faktor pertama.Memecahkan contoh perkalian
Oleh karena itu, untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan perlunya melakukan perkalian, mungkin cukup dengan menjumlahkan beberapa kali saja. nomor yang diperlukan pengganda pertama. Metode ini nyaman untuk melakukan hampir semua perhitungan yang terkait dengan operasi ini. Pada saat yang sama, dalam matematika sering kali terdapat bilangan standar yang melibatkan bilangan bulat satu digit standar. Untuk memudahkan penghitungannya, apa yang disebut sistem perkalian telah dibuat, yang mencakup daftar lengkap produk bilangan bulat positif satu digit, yaitu bilangan dari 1 hingga 9. Jadi, setelah Anda mempelajarinya, Anda dapat secara signifikan memudahkan proses penyelesaian contoh perkalian, berdasarkan penggunaan bilangan tersebut. Namun, untuk opsi yang lebih kompleks, hal ini perlu diterapkan operasi matematika sendiri.Video tentang topik tersebut
Sumber:
- Perkalian pada tahun 2019
Perkalian adalah salah satu dari empat operasi aritmatika dasar yang sering digunakan baik di sekolah maupun di sekolah Kehidupan sehari-hari. Bagaimana cara mengalikan dua angka dengan cepat?
Dasar dari perhitungan matematika yang paling rumit adalah empat operasi aritmatika dasar: pengurangan, penjumlahan, perkalian dan pembagian. Selain itu, meskipun independen, operasi-operasi ini, jika diteliti lebih dekat, ternyata saling berhubungan. Ada hubungan seperti itu, misalnya, antara penjumlahan dan perkalian.
Operasi perkalian angka
Ada tiga elemen utama yang terlibat dalam operasi perkalian. Yang pertama, biasa disebut faktor pertama atau perkalian, adalah bilangan yang akan dilakukan operasi perkalian. Faktor kedua, disebut faktor kedua, adalah bilangan yang akan digunakan untuk mengalikan faktor pertama. Terakhir, hasil operasi perkalian yang dilakukan paling sering disebut perkalian.Perlu diingat bahwa hakikat operasi perkalian sebenarnya didasarkan pada penjumlahan: untuk melaksanakannya, perlu menjumlahkan sejumlah faktor pertama, dan jumlah suku dari jumlah tersebut harus sama dengan yang kedua. faktor. Selain menghitung hasil perkalian kedua faktor tersebut, algoritma ini juga dapat digunakan untuk memeriksa hasil yang dihasilkan.
Contoh penyelesaian soal perkalian
Mari kita lihat solusi soal perkalian. Misalkan, menurut ketentuan soal, perlu menghitung hasil kali dua bilangan, yang faktor pertamanya adalah 8, dan faktor kedua adalah 4. Sesuai dengan definisi operasi perkalian, ini sebenarnya berarti Anda perlu menjumlahkan angka 8 sebanyak 4 kali, hasilnya 32 adalah hasil perkalian angka-angka yang dimaksud, yaitu hasil perkaliannya.Selain itu, harus diingat bahwa apa yang disebut hukum komutatif berlaku pada operasi perkalian, yang menyatakan bahwa mengubah tempat faktor-faktor pada contoh awal tidak akan mengubah hasilnya. Jadi, Anda dapat menjumlahkan angka 4 sebanyak 8 kali, sehingga menghasilkan hasil kali yang sama - 32.
Tabel perkalian
Jelas untuk menyelesaikannya dengan cara ini sejumlah besar menggambar contoh dari jenis yang sama adalah tugas yang agak membosankan. Untuk memudahkan tugas ini, apa yang disebut perkalian diciptakan. Faktanya, ini adalah daftar produk bilangan bulat positif satu digit. Sederhananya, tabel perkalian adalah kumpulan hasil perkalian satu sama lain dari 1 sampai 9. Setelah Anda mempelajari tabel ini, Anda tidak perlu lagi menggunakan perkalian setiap kali Anda perlu menyelesaikan contohnya. bilangan prima, tapi ingat saja hasilnya.Video tentang topik tersebut
Hampir seluruh mata kuliah matematika didasarkan pada operasi bilangan positif dan negatif. Lagi pula, segera setelah kita mulai mempelajari garis koordinat, bilangan dengan tanda plus dan minus mulai muncul di mana-mana, di setiap topik baru. Tidak ada yang lebih mudah daripada menjumlahkan bilangan positif biasa; tidak sulit untuk mengurangkan bilangan yang satu dengan bilangan yang lain. Bahkan operasi aritmatika dengan dua bilangan negatif jarang menjadi masalah.
Namun banyak orang yang bingung dalam menjumlahkan dan mengurangkan bilangan tanda-tanda yang berbeda. Mari kita mengingat kembali aturan-aturan yang digunakan untuk melakukan tindakan-tindakan ini.
Menjumlahkan bilangan dengan tanda berbeda
Jika untuk menyelesaikan suatu soal kita perlu menambahkan bilangan negatif “-b” ke suatu bilangan “a”, maka kita perlu bertindak sebagai berikut.
- Mari kita ambil modul dari kedua bilangan - |a| dan |b| - dan bandingkan nilai absolut ini satu sama lain.
- Mari kita perhatikan modul mana yang lebih besar dan mana yang lebih kecil, dan kurangi nilai yang lebih kecil dari nilai yang lebih besar.
- Mari kita letakkan di depan bilangan yang dihasilkan tanda bilangan yang modulusnya lebih besar.
Ini akan menjadi jawabannya. Sederhananya: jika dalam ekspresi a + (-b) modulus bilangan “b” lebih besar dari modulus “a”, maka kita kurangi “a” dari “b” dan beri “minus” ” di depan hasilnya. Jika modulus “a” lebih besar, maka “b” dikurangi dari “a” - dan solusinya diperoleh dengan tanda “plus”.
Kebetulan modulnya juga sama. Jika demikian, maka kita bisa berhenti di sini - kita berbicara tentang bilangan yang berlawanan, dan jumlahnya akan selalu sama dengan nol.
Pengurangan bilangan yang tandanya berbeda
Kita telah membahas penjumlahan, sekarang mari kita lihat aturan pengurangan. Ini juga cukup sederhana - dan sebagai tambahan, ini mengulangi aturan serupa untuk mengurangi dua angka negatif.
Untuk mengurangi bilangan tertentu "a" - sembarang, yaitu, dengan tanda apa pun - bilangan negatif "c", Anda perlu menambahkan bilangan sembarang "a" bilangan yang berlawanan dengan "c". Misalnya:
- Jika “a” adalah bilangan positif, dan “c” adalah bilangan negatif, dan Anda perlu mengurangkan “c” dari “a”, maka kita tuliskan seperti ini: a – (-c) = a + c.
- Jika “a” adalah bilangan negatif, dan “c” adalah bilangan positif, dan “c” harus dikurangkan dari “a”, maka kita tuliskan sebagai berikut: (- a)– c = - a+ (-c).
Jadi, saat mengurangkan bilangan yang tandanya berbeda, kita kembali ke aturan penjumlahan, dan saat menjumlahkan bilangan yang tandanya berbeda, kita kembali ke aturan pengurangan. Menghafal aturan-aturan ini memungkinkan Anda menyelesaikan masalah dengan cepat dan mudah.
Angka negatif adalah bilangan yang diberi tanda minus (−), misalnya −1, −2, −3. Bacaannya seperti: dikurangi satu, dikurangi dua, dikurangi tiga.
Contoh aplikasi angka negatif adalah termometer yang menunjukkan suhu tubuh, udara, tanah atau air. DI DALAM waktu musim dingin, bila di luar sangat dingin, suhunya bisa negatif (atau, seperti kata orang, “minus”).
Misalnya, suhu dingin −10 derajat:
Bilangan biasa yang kita lihat tadi, misalnya 1, 2, 3 disebut positif. Bilangan positif adalah bilangan yang diberi tanda plus (+).
Pada penulisan bilangan positif tidak dituliskan tanda +, oleh karena itu kita sering melihat bilangan 1, 2, 3. Namun perlu diingat bahwa bilangan positif tersebut terlihat seperti ini: +1, +2 , +3.
Isi pelajaranIni adalah garis lurus tempat semua angka berada: negatif dan positif. Sebagai berikut:
Angka-angka yang ditampilkan di sini adalah dari −5 hingga 5. Faktanya, garis koordinat tidak terbatas. Gambar tersebut hanya menunjukkan sebagian kecil saja.
Angka-angka pada garis koordinat ditandai dengan titik-titik. Tebal dalam gambar titik hitam adalah titik awalnya. Hitung mundur dimulai dari nol. Bilangan negatif ditandai di sebelah kiri titik asal, dan bilangan positif di sebelah kanan.
Garis koordinat berlanjut tanpa batas waktu pada kedua sisi. Tak terhingga dalam matematika dilambangkan dengan simbol ∞. Arah negatif ditandai dengan simbol −∞, dan arah positif ditandai dengan simbol +∞. Maka kita dapat mengatakan bahwa semua bilangan dari minus tak terhingga hingga plus tak terhingga terletak pada garis koordinat:
Setiap titik pada garis koordinat mempunyai nama dan koordinatnya masing-masing. Nama adalah huruf latin apa saja. Koordinat adalah bilangan yang menunjukkan kedudukan suatu titik pada garis tersebut. Sederhananya, koordinat adalah bilangan yang ingin kita tandai pada garis koordinat.
Misalnya, poin A(2) dibaca sebagai "titik A dengan koordinat 2" dan akan dilambangkan pada garis koordinat sebagai berikut:
Di Sini A adalah nama titiknya, 2 adalah koordinat titiknya A.
Contoh 2. Poin B(4) berbunyi sebagai "titik B dengan koordinat 4"
Di Sini B adalah nama titiknya, 4 adalah koordinat titiknya B.
Contoh 3. Poin M(−3) berbunyi sebagai "titik M dengan koordinat minus tiga" dan akan dilambangkan pada garis koordinat sebagai berikut:
Di Sini M adalah nama titiknya, −3 adalah koordinat titik M .
Poin dapat ditunjuk dengan huruf apa saja. Tetapi secara umum diterima untuk menunjukkannya dengan huruf kapital Latin. Apalagi awal laporan, begitulah sebutannya asal biasanya dilambangkan dengan huruf latin kapital O
Sangat mudah untuk melihat bahwa bilangan negatif terletak di sebelah kiri relatif terhadap titik asal, dan bilangan positif terletak di sebelah kanan.
Ada ungkapan seperti “semakin ke kiri, semakin sedikit” Dan "semakin ke kanan, semakin banyak". Anda mungkin sudah menebak apa yang sedang kita bicarakan. Dengan setiap langkah ke kiri, jumlahnya akan berkurang ke bawah. Dan dengan setiap langkah ke kanan, jumlahnya akan bertambah. Panah yang mengarah ke kanan menunjukkan arah referensi positif.
Membandingkan bilangan negatif dan positif
Aturan 1. Bilangan negatif mana pun lebih kecil dari bilangan positif mana pun.
Misalnya, mari kita bandingkan dua angka: −5 dan 3. Dikurang lima lebih sedikit dari tiga, meskipun faktanya lima terlihat sebagai angka yang lebih besar dari tiga.
Hal ini disebabkan oleh fakta bahwa −5 adalah bilangan negatif, dan 3 adalah bilangan positif. Pada garis koordinat Anda dapat melihat di mana letak angka −5 dan 3
Terlihat −5 terletak di kiri dan 3 di kanan. Dan kami mengatakan itu “semakin ke kiri, semakin sedikit” . Dan aturannya mengatakan bahwa bilangan negatif mana pun lebih kecil dari bilangan positif mana pun. Oleh karena itu
−5 < 3
"Minus lima kurang dari tiga"
Aturan 2. Dari dua bilangan negatif, bilangan yang terletak di sebelah kiri garis koordinat lebih kecil.
Misalnya, mari kita bandingkan angka −4 dan −1. Dikurangi empat lebih sedikit, dari minus satu.
Hal ini sekali lagi disebabkan oleh fakta bahwa pada garis koordinat −4 terletak di sebelah kiri −1
Terlihat bahwa −4 terletak di kiri, dan −1 di kanan. Dan kami mengatakan itu “semakin ke kiri, semakin sedikit” . Dan aturannya mengatakan bahwa dari dua bilangan negatif, bilangan yang terletak di sebelah kiri garis koordinat lebih kecil. Oleh karena itu
Minus empat kurang dari minus satu
Aturan 3. Nol lebih besar dari angka negatif mana pun.
Misalnya, mari kita bandingkan 0 dan −3. Nol lagi dari minus tiga. Hal ini disebabkan pada garis koordinat 0 terletak lebih ke kanan daripada −3
Terlihat bahwa 0 terletak di sebelah kanan dan −3 di sebelah kiri. Dan kami mengatakan itu "semakin ke kanan, semakin banyak" . Dan aturannya mengatakan bahwa nol lebih besar dari bilangan negatif mana pun. Oleh karena itu
Nol lebih besar dari minus tiga
Aturan 4. Nol lebih kecil dari bilangan positif mana pun.
Misalnya kita bandingkan 0 dan 4. Nol lebih sedikit, dari 4. Hal ini pada prinsipnya jelas dan benar. Namun kita akan mencoba melihatnya dengan mata kepala sendiri, lagi-lagi pada garis koordinat:
Terlihat pada garis koordinat 0 terletak di sebelah kiri, dan 4 di sebelah kanan. Dan kami mengatakan itu “semakin ke kiri, semakin sedikit” . Dan aturannya mengatakan bahwa nol lebih kecil dari bilangan positif mana pun. Oleh karena itu
Nol kurang dari empat
Apakah Anda menyukai pelajarannya?
Bergabunglah dengan grup VKontakte baru kami dan mulailah menerima pemberitahuan tentang pelajaran baru
Maksud dan tujuan pelajaran:
- Pelajaran umum matematika di kelas 6 SD "Penambahan dan pengurangan bilangan positif dan negatif"
- Meringkas dan mensistematisasikan pengetahuan siswa tentang topik ini.
- Mengembangkan keterampilan dan kemampuan akademik mata pelajaran dan umum, kemampuan untuk menggunakan pengetahuan yang diperoleh untuk mencapai suatu tujuan; menetapkan pola keragaman koneksi untuk mencapai tingkat pengetahuan yang sistematis.
- Mengembangkan keterampilan pengendalian diri dan pengendalian timbal balik; mengembangkan keinginan dan kebutuhan untuk menggeneralisasi fakta yang diterima; mengembangkan kemandirian dan minat terhadap mata pelajaran.
Selama kelas
SAYA. Pengorganisasian waktu
Teman-teman, kita sedang melakukan perjalanan melalui negara “Bilangan Rasional”, di mana terdapat bilangan positif, negatif, dan nol. Saat bepergian, kita belajar banyak hal menarik tentang mereka, mengenal peraturan dan hukum yang mereka jalani. Artinya kita harus mengikuti aturan-aturan ini dan menaati hukumnya.
Aturan dan hukum apa yang sudah kita kenal? (aturan penjumlahan dan pengurangan angka rasional, hukum penjumlahan)
Jadi topik pelajaran kita adalah “Penjumlahan dan pengurangan bilangan positif dan negatif.”(Siswa menuliskan tanggal dan topik pelajaran di buku catatannya)
II. Penyelidikan pekerjaan rumah
AKU AKU AKU. Memperbarui pengetahuan.
Mari kita mulai pelajaran dengan pekerjaan lisan. Ada serangkaian angka di depan Anda.
8,6; 21,8; -0,5; 6,6; 4,7; 7; -18; 0.
Jawablah pertanyaan:
Bilangan manakah pada deret tersebut yang terbesar?
Bilangan berapa yang modulusnya paling besar?
Angka manakah yang terkecil pada deret tersebut?
Bilangan berapa yang modulusnya paling kecil?
Bagaimana membandingkan keduanya angka positif?
Bagaimana cara membandingkan dua bilangan negatif?
Bagaimana cara membandingkan angka dengan tanda berbeda?
Angka manakah dalam deret tersebut yang berlawanan?
Tuliskan angka-angka dalam urutan menaik.
IV. Temukan kesalahannya
a) -47 + 25+ (-18)= 30
c) - 7,2+(- 3,5) + 10,6= - 0,1
d) - 7,2+ (- 2,9) + 7,2= 2,4
V.Tugas “Tebak kata”
Di setiap kelompok, saya membagikan tugas di mana kata-kata dienkripsi.
Setelah menyelesaikan semua tugas, Anda akan menebak kata kuncinya(bunga, hadiah, perempuan)
| 1 baris | Menjawab | Surat |
|
| Menjawab | Surat |
||
| 54-(-74) | |||
| 2,5-3,6 | |||
| 23,7+23,7 | |||
| 11,2+10,3 | |||
| baris ke-3 | Menjawab | Surat |
|
| 2,03-7,99 | |||
| 67,34-45,08 | |||
| 10,02 | 112,42 | 50,94 | 50,4 |
VSAYA. menit fisik
Bagus sekali, Anda telah bekerja keras, saya pikir sudah waktunya untuk bersantai, berkonsentrasi, menghilangkan rasa lelah, kembali ketenangan pikiran latihan sederhana akan membantu
MENIT FISIK (Jika pernyataan benar bertepuk tangan; jika tidak, gelengkan kepala ke kiri dan ke kanan):
Saat menjumlahkan dua bilangan negatif, modul sukunya harus dikurangi -
Jumlah dua bilangan negatif selalu negatif +
Saat menambahkan dua angka yang berlawanan selalu menghasilkan 0+
Saat menjumlahkan angka dengan tanda berbeda, Anda perlu menambahkan modulnya -
Jumlah dua bilangan negatif selalu lebih kecil dari masing-masing suku +
Saat menjumlahkan bilangan dengan tanda berbeda, Anda perlu mengurangi modul yang lebih kecil dari modul yang lebih besar +
VII.Menyelesaikan tugas sesuai buku teks.
No.1096(a,d,i)
VIII. Pekerjaan rumah
Tingkat 1 "3" -No.1132
Tingkat 2 - “4” - No.1139, 1146
SAYAX. Pekerjaan mandiri sesuai pilihan.
Tingkat 1, "3"
| 1 pilihan | pilihan 2 |
Tingkat 2, “4”
| 1 pilihan | pilihan 2 |
| 1 - (- 3 )+(- 2 ) |
Tingkat 3, "5"
| 1 pilihan | pilihan ke-2 |
| 4,2-3,25-(-0,6) | 2,4-1,75-(-2,6) |
Saling mengecek di papan, ganti meja tetangga
X. Menyimpulkan pelajaran. Cerminan
Mari kita ingat awal pelajaran kita ya kawan.
Tujuan pelajaran apa yang kita tetapkan untuk diri kita sendiri?
Apakah menurut Anda kami berhasil mencapai tujuan kami?
Teman-teman, sekarang evaluasi pekerjaanmu di kelas. Di depan Anda ada kartu bergambar gunung. Jika Anda merasa telah mengerjakan tugas dengan baik di kelas, Anda akan baik-baik saja.Jelasnya, lalu gambarlah diri Anda di puncak gunung. Jika ada yang kurang jelas, gambarlah diri Anda di bawah, dan putuskan sendiri di kiri atau kanan.
Berikan saya gambar Anda beserta kartu skor Anda, Anda akan mengetahui nilai akhir pekerjaan Anda di pelajaran berikutnya.