Tugas-tugas praktis tentang logika matematika dari pernyataan dan operasinya. Logika proposisional: teori dan aplikasi

Di antara kemungkinan nilai kebenaran suatu variabel linguistik Kebenaran dua makna menarik Perhatian khusus, yaitu himpunan kosong dan interval satuan, yang sesuai dengan elemen terkecil dan terbesar (sehubungan dengan penyertaan) dari kisi himpunan bagian fuzzy dari interval tersebut. Pentingnya nilai-nilai kebenaran tertentu tersebut karena dapat dimaknai sebagai nilai-nilai kebenaran belum diartikan Dan tidak dikenal masing-masing. Untuk memudahkan, kami akan menyatakan nilai kebenaran ini dengan simbol dan , memahami bahwa dan ditentukan oleh ekspresi

Nilai-nilai tidak dikenal Dan belum diartikan, diartikan sebagai derajat keanggotaan, juga digunakan dalam representasi himpunan fuzzy tipe 1. Dalam hal ini, ada tiga kemungkinan untuk menyatakan derajat keanggotaan suatu titik dalam: 1) suatu bilangan dari interval; 2) ( belum diartikan); 3) (tidak dikenal).

Mari kita lihat contoh sederhana. Membiarkan

Mari kita ambil subset fuzzy dari himpunan formulir

Dalam hal ini derajat keanggotaan suatu unsur dalam himpunan adalah tidak dikenal, dan derajat keanggotaannya adalah belum diartikan. Dalam kasus yang lebih umum mungkin saja demikian

dimana yang dimaksud dengan derajat keanggotaan suatu unsur dalam suatu himpunan tidak diketahui sebagian, dan anggota tersebut diartikan sebagai berikut:

. (6.56)

Penting untuk memahami dengan jelas perbedaan antara dan. Ketika kita mengatakan bahwa derajat keanggotaan suatu titik pada suatu himpunan adalah , yang kita maksud adalah fungsi keanggotaan tidak ditentukan pada titik tersebut. Misalkan, misalnya, itu adalah himpunan bilangan real, dan merupakan fungsi yang didefinisikan pada himpunan bilangan bulat, dan , jika - genap, dan , jika - ganjil. Maka derajat keanggotaan suatu bilangan dalam himpunan tersebut adalah , dan bukan 0. Sebaliknya, jika bilangan tersebut terdefinisi pada himpunan bilangan real dan jika dan hanya jika bilangan genap, maka derajat keanggotaan bilangan tersebut di set akan sama dengan 0.

Karena kita dapat menghitung nilai kebenaran suatu pernyataan Dan, atau Dan Bukan mengingat nilai kebenaran linguistik dari pernyataan dan , mudah untuk menghitung nilai , , , kapan . Misalkan saja, misalnya

, (6.57)

. (6.58)

Menerapkan prinsip generalisasi seperti pada (6.25), kita memperoleh

, (6.59)

Setelah disederhanakan, (6.59) direduksi menjadi ekspresi

. (6.61)

Dengan kata lain, nilai kebenaran suatu pernyataan Dan, Di mana , adalah himpunan bagian fuzzy dari interval, yang derajat keanggotaannya sama dengan (fungsi keanggotaan) pada interval tersebut.

Beras. 6.4. Konjungsi dan disjungsi nilai kebenaran suatu pernyataan dengan nilai kebenaran yang tidak diketahui ().

Demikian pula, kita menemukan nilai kebenaran dari pernyataan tersebut atau diekspresikan sebagai

. (6.62)

Perlu dicatat bahwa ekspresi (6.61) dan (6.62) dapat dengan mudah diperoleh dengan menggunakan prosedur grafis yang dijelaskan di atas (lihat (6.38) dan seterusnya). Contoh yang mengilustrasikan hal ini ditunjukkan pada Gambar. 6.4.

Beralih ke kasus ini, kami menemukan

(6.63)

dan demikian pula untuk.

Penting untuk mengamati apa yang terjadi pada relasi di atas ketika kita menerapkannya pada kasus khusus logika dua nilai, yaitu pada kasus ketika himpunan universal mempunyai bentuk

atau dalam bentuk yang lebih familiar

dimana artinya BENAR, A - PALSU. Karena ada, kita dapat mengidentifikasi nilai kebenarannya tidak dikenal dengan makna BENAR atau PALSU, yaitu.

Logika yang dihasilkan mempunyai empat nilai kebenaran, , , dan , dan merupakan generalisasi dari logika dua nilai dalam pengertian Catatan 6.5.

Karena himpunan nilai kebenaran universal hanya terdiri dari dua elemen, disarankan untuk membuat tabel kebenaran untuk operasi , dan dalam logika empat nilai ini secara langsung, yaitu tanpa menggunakan rumus umum(6.25), (6.29) dan (6.31). Jadi, dengan menerapkan prinsip generalisasi pada operasi, kita segera memperolehnya

dari situlah hal itu pasti terjadi

Di jalur ini kita sampai pada definisi umum dari penghubung ⟹ dalam logika dua nilai dalam bentuk tabel kebenaran berikut:

Seperti yang ditunjukkan oleh contoh yang dibahas di atas, konsep nilai kebenaran tidak dikenal dikombinasikan dengan prinsip generalisasi, ada baiknya untuk memahami beberapa konsep dan hubungan logika dua nilai dan tiga nilai biasa. Logika-logika ini, tentu saja, dapat dianggap sebagai kasus-kasus logika fuzzy yang merosot, yang di dalamnya terdapat nilai kebenaran tidak dikenal adalah seluruh interval satuan, bukan himpunan 0 + 1.

Berbagai penilaian dapat dibuat mengenai konsep dan hubungan di antara mereka. Bentuk penilaian linguistik adalah kalimat naratif. Kalimat yang digunakan dalam matematika dapat ditulis baik secara lisan maupun simbolis. Kalimat mungkin berisi informasi yang benar atau salah.

Dengan berkata adalah kalimat deklaratif yang dapat bernilai benar atau salah.

Contoh. Kalimat berikut merupakan proposisi:

1) Seluruh mahasiswa MSPU adalah mahasiswa berprestasi (pernyataan salah),

2) Ada buaya di Semenanjung Kola (pernyataan salah),

3) Diagonal-diagonal persegi panjang sama besar (pernyataan benar),

4) Persamaan tersebut tidak mempunyai akar real (pernyataan benar),

5) Angka 21 genap (pernyataan salah).

Kalimat berikut ini bukan pernyataan:

Bagaimana cuaca besok?

X- bilangan asli,

745 + 231 – 64.

Pernyataan biasanya dilambangkan dengan huruf kapital alfabet Latin: A, B, C,…,Z.

“Benar” dan “Kepalsuan” disebut nilai kebenaran suatu pernyataan . Setiap pernyataan bisa benar atau salah, tidak bisa keduanya sekaligus.

Catatan [ A ] = 1 berarti pernyataan itu A – BENAR .

Dan rekamannya [ A ] = 0 berarti pernyataan itu A – PALSU .

Menawarkan
bukanlah suatu pernyataan, karena tidak mungkin untuk mengatakan apakah pernyataan itu benar atau salah. Saat mengganti nilai tertentu untuk suatu variabel X itu berubah menjadi pernyataan: benar atau salah.

Contoh. Jika
, Itu
- pernyataan salah, dan jika
, Itu
- pernyataan yang benar.

Menawarkan
ditelepon predikat atau bentuk ekspresif. Ini menghasilkan banyak pernyataan dengan bentuk yang sama.

Predikat adalah kalimat dengan satu atau lebih variabel yang berubah menjadi pernyataan setiap kali nilainya diganti dengan variabel tersebut.

Tergantung pada jumlah variabel yang termasuk dalam penawaran, ada single, double, triple, dll. predikat yang dilambangkan dengan: dst.

Contoh. 1)
– predikat satu tempat,

2) "Langsung" X tegak lurus terhadap garis lurus pada" adalah predikat dua tempat.

Predikat juga dapat memuat variabel secara implisit. Dalam kalimat: “Bilangan genap”, “dua garis berpotongan” tidak ada variabel, tetapi yang tersirat: “Bilangan X– genap”, “dua lurus X Dan pada memotong."

Saat menentukan predikat, tunjukkan predikatnya domain – satu set dari mana nilai-nilai variabel yang termasuk dalam predikat dipilih.

Contoh. Ketidaksamaan
dapat dipertimbangkan dalam satu set bilangan asli, tetapi kita dapat berasumsi bahwa nilai variabel dipilih dari himpunan bilangan real. Dalam kasus pertama, domain definisi pertidaksamaan
akan ada himpunan bilangan asli, dan himpunan bilangan real kedua.

Predikat satu tempat , ditentukan di set X, adalah kalimat dengan variabel yang berubah menjadi pernyataan ketika variabel dari himpunan disubstitusikan ke dalamnya X.

Himpunan kebenaran Predikat satu tempat adalah himpunan nilai-nilai suatu variabel dari domain definisinya, yang jika disubstitusikan predikatnya berubah menjadi pernyataan yang benar.

Contoh. Himpunan kebenaran suatu predikat
, diberikan pada himpunan bilangan real, akan ada interval
. Himpunan kebenaran dari suatu predikat
, didefinisikan pada himpunan bilangan bulat non-negatif, terdiri dari satu angka 2.

Kumpulan kebenaran predikat dua tempat
terdiri dari semua pasangan tersebut
bila disubstitusikan ke dalam predikat ini diperoleh pernyataan yang benar.

Contoh. Pasangan
termasuk dalam himpunan kebenaran predikat
, Karena
adalah pernyataan yang benar dan pasangannya
bukan milik, karena
- pernyataan palsu.

Pernyataan dan predikat dapat bersifat sederhana atau kompleks (gabungan). Kompleks kalimat dibentuk dari kalimat sederhana dengan menggunakan penghubung logis - kata-kata " Dan », « atau », « jika kemudian … », « saat itu dan hanya kemudian ketika... » . Menggunakan partikel « Bukan » atau frasa " itu tidak benar » mungkin dari proposal ini mendapatkan yang baru. Kalimat yang tidak tersusun disebut dasar .

Contoh. Kalimat majemuk:

Bilangan 42 genap dan habis dibagi 7. Terbentuk dari dua kalimat dasar: Bilangan 42 genap, bilangan 42 habis dibagi 7 dan disusun dengan menggunakan kata penghubung logis “ Dan ».

Nomor X lebih besar atau sama dengan 5. Dibentuk dari dua kalimat dasar : Bilangan X lebih dari 5 dan angka X sama dengan 5 dan disusun menggunakan penghubung logis " atau ».

Bilangan 42 tidak habis dibagi 5. Dibentuk dari kalimat: Bilangan 42 habis dibagi 5 dengan menggunakan partikel “ Bukan ».

Nilai kebenaran suatu pernyataan dasar ditentukan berdasarkan isinya berdasarkan pengetahuan yang diketahui. Untuk menentukan nilai kebenaran suatu pernyataan majemuk, perlu diketahui pengertian hubungan logika yang membentuknya dari hubungan dasar, dan mampu mengidentifikasi struktur logika pernyataan tersebut.

Contoh. Mari kita kenali struktur logika kalimat: “Jika sudut-sudutnya vertikal, maka besar sudutnya sama besar.” Ini terdiri dari dua kalimat dasar: A– sudut vertikal, DI DALAM- sudut-sudutnya sama besar. Mereka dihubungkan menjadi satu kalimat majemuk menggunakan kata penghubung logis “ jika kemudian..." Kalimat majemuk ini mempunyai struktur logika (bentuk): “ jika A, maka DI DALAM».

Ungkapan "untuk siapa pun" X" atau "untuk semua orang X" atau "untuk semua orang X"disebut pengukur umum dan ditunjuk
.

menggunakan pembilang umum, dilambangkan:
dan berbunyi: “Untuk nilai berapa pun X dari banyak X terjadi
».

Ungkapan “ada X" atau "untuk beberapa orang X"atau" akan ada seperti itu X"disebut pengukur keberadaan dan ditunjuk
.

Pernyataan yang berasal dari suatu proposisi atau predikat
menggunakan pembilang keberadaan, dilambangkan dengan:
dan berbunyi: “Untuk beberapa orang X dari banyak X terjadi
atau “Ada (ada) maksudnya seperti itu X dari X apa yang terjadi
».

Pengukur keumuman dan keberadaan digunakan tidak hanya dalam ekspresi matematika, tetapi juga dalam percakapan sehari-hari.

Contoh. Pernyataan berikut berisi bilangan umum:

a) Semua sisi persegi sama panjang; b) Setiap bilangan bulat adalah nyata; c) Dalam segitiga mana pun, mediannya berpotongan di satu titik; d) Semua siswa mempunyai buku nilai.

Pernyataan berikut berisi kuantor keberadaan:

a) Ada bilangan yang merupakan kelipatan 5; b) Ada bilangan asli , Apa
; c) Beberapa kelompok mahasiswa memuat calon magister olahraga; d) Paling sedikit satu sudut pada segitiga itu lancip.

Penyataan
adalah BENAR
– identitas, yaitu mengambil nilai sebenarnya ketika nilai variabel apa pun disubstitusikan ke dalamnya.

Contoh. Penyataan
BENAR.

Penyataan
PALSU , jika untuk beberapa nilai variabel X predikat

Contoh. Penyataan
salah, karena pada
predikat
berubah menjadi pernyataan yang salah.

Penyataan
adalah BENAR jika dan hanya jika predikatnya
tidak sepenuhnya salah, yaitu pada beberapa nilai variabel X predikat

Contoh. Penyataan
benar, karena pada
predikat
berubah menjadi pernyataan yang benar.

Penyataan
PALSU , jika predikatnya
adalah kontradiksi, yaitu sama saja dengan pernyataan yang salah.

Contoh. Penyataan
salah, karena predikat
sama salahnya.

Biarkan tawaran itu A - penyataan. Jika Anda meletakkan partikel “ Bukan "atau sebelum seluruh kalimat tuliskan kata" itu tidak benar ", lalu kita mendapat kalimat baru yang disebut penyangkalan diberikan dan dilambangkan:  A atau (membaca: " Bukan A" atau " itu tidak benar A »).

Contoh. Jika pernyataan A: “Sudut vertikal sama besar,” maka negasi dari pernyataan ini  A: "Sudut vertikalnya tidak sama besar." Pernyataan pertama benar, dan pernyataan kedua salah.

Untuk membuat negasi pernyataan dengan bilangan yang Anda perlukan:

mengganti bilangan umum dengan bilangan keberadaan atau sebaliknya;

ganti pernyataan tersebut dengan negasinya (letakkan partikel “ Bukan»).

Di lidah simbol matematika itu akan ditulis seperti ini.

Contoh 1. Tetapkan kebenaran pernyataan · C Solusi. Pernyataan kompleks terdiri dari 3 pernyataan sederhana: A, B, C.

Kolom pada tabel diisi dengan nilai (0, 1). Semua ditunjukkan situasi yang mungkin terjadi. Pernyataan sederhana dipisahkan dari pernyataan kompleks dengan garis vertikal ganda. Saat menyusun tabel, harus berhati-hati agar tidak membingungkan urutan tindakan; Saat mengisi kolom, Anda harus bergerak “dari dalam ke luar”, yaitu. dari rumus dasar hingga rumus yang semakin kompleks; kolom terakhir yang diisi berisi nilai rumus aslinya.

Tabel menunjukkan bahwa pernyataan ini benar hanya jika A = 0, B = 1, C = 1. Dalam semua kasus lainnya, hal ini salah.

Anda juga dapat menemukan informasi yang Anda minati di mesin pencari ilmiah Otvety.Online. Gunakan formulir pencarian:

Lebih lanjut tentang topik 1. Menetapkan kebenaran pernyataan kompleks:

1. 29. Masalah solvabilitas pada aljabar proposisional (AB). Algoritma untuk memeriksa rumus aljabar proposisional untuk kebenaran identik: menyusun tabel kebenaran, melakukan transformasi setara (analisis CNF), algoritma reduksi, algoritma Quine. Keuntungan dan kerugian dari metode-metode ini.
2. Pertanyaan 6. Kalkulus proposisional. Aksioma. Aturan inferensi. Kesimpulan. Kebenaran yang sama dari rumus turunan (buktikan). Konsistensi kalkulus proposisional. Sebuah teorema tentang kelengkapan kalkulus proposisional. Masalah solvabilitas. Kalkulus proposisional. Masalah solvabilitas

Konsep “ucapan” adalah yang utama. Secara logika, pernyataan merupakan kalimat deklaratif yang dapat dikatakan benar atau salah. Setiap pernyataan bisa benar atau salah, dan tidak ada pernyataan yang benar dan salah.

Contoh pernyataan: ada bilangan genap”, “1 bilangan prima”. Nilai kebenaran dari dua pernyataan pertama adalah “kebenaran”, nilai kebenaran dari dua pernyataan terakhir

Kalimat interogatif dan seruan bukanlah pernyataan. Definisi bukanlah pernyataan. Misalnya definisi “suatu bilangan bulat dikatakan genap jika habis dibagi 2” bukanlah suatu pernyataan. Namun, kalimat deklaratif “jika suatu bilangan bulat habis dibagi 2, maka bilangan tersebut genap” adalah pernyataan yang benar. Dalam logika proposisional, seseorang mengabstraksi isi semantik suatu pernyataan, membatasi dirinya untuk mempertimbangkannya dari posisi apakah pernyataan tersebut benar atau salah.

Berikut ini kita akan memahami pengertian suatu pernyataan sebagai nilai kebenarannya (“benar” atau “salah”). Kami akan menunjukkan pernyataan dengan huruf Latin kapital, dan artinya, yaitu “benar” atau “salah”, masing-masing dengan huruf I dan L.

Logika proposisional mempelajari hubungan yang sepenuhnya ditentukan oleh cara beberapa pernyataan dibangun dari pernyataan lain, yang disebut pernyataan dasar. Dalam hal ini, pernyataan-pernyataan dasar dianggap sebagai keseluruhan, tidak dapat diuraikan menjadi bagian-bagian, yang struktur internalnya tidak menarik minat kita.

Operasi logis pada pernyataan.

Dari pernyataan dasar menggunakan operasi logis Anda bisa mendapatkan pernyataan baru yang lebih kompleks. Nilai kebenaran suatu pernyataan kompleks bergantung pada nilai kebenaran pernyataan-pernyataan yang menyusun pernyataan kompleks tersebut. Ketergantungan ini ditentukan dalam definisi di bawah ini dan tercermin dalam tabel kebenaran. Kolom kiri tabel ini berisi semua kemungkinan distribusi nilai kebenaran untuk pernyataan yang secara langsung merupakan pernyataan kompleks yang sedang dipertimbangkan. Pada kolom sebelah kanan, tuliskan nilai kebenaran pernyataan kompleks sesuai dengan distribusi pada setiap barisnya.

Misalkan A dan B adalah pernyataan sembarang yang kita asumsikan nilai kebenarannya tidak diketahui. Negasi pernyataan A adalah pernyataan baru yang benar jika dan hanya jika A salah. Negasi A ditandai dengan dan dibaca “bukan A” atau “tidak benar A”. Operasi negasi sepenuhnya ditentukan oleh tabel kebenaran

Contoh. Pernyataan “tidak benar 5 bilangan genap” yang bernilai I merupakan negasi dari pernyataan salah “5 bilangan genap”.

Dengan menggunakan operasi konjungsi, dua pernyataan dibentuk menjadi satu pernyataan kompleks, dilambangkan A D B. Menurut definisi, pernyataan A D B benar jika dan hanya jika kedua pernyataan tersebut benar. Pernyataan A dan B masing-masing disebut anggota pertama dan kedua dari konjungsi A D B. Entri “A D B” dibaca “L dan B”. Tabel kebenaran konjungsi mempunyai bentuk

Contoh. Pernyataan “7 adalah bilangan prima dan 6 bilangan ganjil” adalah salah jika dua pernyataan digabungkan, salah satunya salah.

Disjungsi dua pernyataan A dan B adalah suatu pernyataan yang dilambangkan dengan , yang benar jika dan hanya jika paling sedikit salah satu pernyataan A dan B benar.

Oleh karena itu, pernyataan A V B salah jika dan hanya jika A dan B keduanya salah. Pernyataan A dan B masing-masing disebut suku pertama dan kedua dari disjungsi A V B. Entri A V B dibaca “A atau B”. Kata hubung "atau" di pada kasus ini mempunyai arti yang tidak dapat dipisahkan, karena pernyataan A V B benar meskipun kedua suku benar. Disjungsi tersebut mempunyai tabel kebenaran sebagai berikut:

Contoh. Pernyataan “3 Suatu pernyataan yang dilambangkan dengan , salah jika dan hanya jika A benar dan B salah, disebut implikasi dengan premis A dan kesimpulan B. Pernyataan A-+ B dibaca “jika A, maka 5, ” atau “A menyiratkan B,” atau “dari A mengikuti B.” Tabel kebenaran implikasinya adalah:

Perhatikan bahwa mungkin tidak ada hubungan sebab-akibat antara premis dan kesimpulan, namun hal ini tidak dapat mempengaruhi benar atau salahnya implikasi. Misalnya, pernyataan “jika 5 adalah bilangan prima, maka garis bagi segitiga sama sisi adalah median” akan benar, meskipun dalam pengertian biasa angka kedua tidak mengikuti yang pertama. Pernyataan “jika 2 + 2 = 5, maka 6 + 3 = 9” juga benar, karena kesimpulannya benar. Pada definisi ini, jika kesimpulannya benar, maka implikasinya akan benar terlepas dari nilai kebenaran premisnya. Jika premisnya salah, maka implikasinya akan benar, berapa pun nilai kebenaran kesimpulannya. Keadaan tersebut dirumuskan secara singkat sebagai berikut: “kebenaran timbul dari apapun”, “segala sesuatu timbul dari kepalsuan”.

Pernyataan yang salah dan benar sering digunakan dalam praktik linguistik. Penilaian pertama dipersepsikan sebagai pengingkaran terhadap kebenaran (untruth). Pada kenyataannya, jenis penilaian lain juga digunakan: ketidakpastian, ketidakmungkinan (provability), ketidakpastian. Ketika membahas bilangan x suatu pernyataan yang benar, perlu diperhatikan hukum logika.

Munculnya “logika multi-nilai” menyebabkan penggunaan indikator kebenaran yang jumlahnya tidak terbatas. Situasi dengan unsur kebenaran membingungkan dan rumit, sehingga penting untuk diklarifikasi.

Prinsip teori

Pernyataan yang benar adalah nilai suatu properti (atribut) dan selalu dipertimbangkan tindakan tertentu. Apa itu kebenaran? Skemanya adalah sebagai berikut: “Pernyataan X mempunyai nilai kebenaran Y jika pernyataan Z benar.”

Mari kita lihat sebuah contoh. Anda perlu memahami pernyataan berikut yang mana yang benar: “Objek A memiliki atribut B.” Pernyataan ini salah karena benda tersebut mempunyai sifat B, dan salah dalam artian a tidak mempunyai sifat b.” Istilah “salah” dalam hal ini digunakan sebagai negasi eksternal.

Definisi kebenaran

Bagaimana cara menentukan pernyataan yang benar? Terlepas dari struktur pernyataan X, hanya definisi berikut yang diperbolehkan: “Pernyataan X benar jika ada X, hanya X.”

Definisi ini memungkinkan untuk memperkenalkan istilah “benar” ke dalam bahasa tersebut. Ini mendefinisikan tindakan menyetujui atau berbicara dengan apa yang dikatakan di dalamnya.

Ucapan sederhana

Mereka berisi pernyataan yang benar tanpa definisi. Anda dapat membatasi diri saat mengatakan “Bukan-X” definisi umum, jika pernyataan ini tidak benar. Konjungsi X dan Y benar jika X dan Y benar.

Contoh pernyataan

Bagaimana memahami x pernyataan mana yang benar? Untuk menjawab pertanyaan ini, kita menggunakan ungkapan: “Partikel a berada di wilayah ruang b.” Pertimbangkan kasus berikut untuk pernyataan ini:

• tidak mungkin untuk mengamati partikel tersebut;
• partikel tersebut dapat diamati.

Opsi kedua menawarkan kemungkinan-kemungkinan tertentu:

• partikel tersebut sebenarnya terletak pada suatu wilayah ruang tertentu;
• itu tidak berada di bagian ruang yang seharusnya;
• partikel tersebut bergerak sedemikian rupa sehingga sulit untuk menentukan luas lokasinya.

Dalam hal ini dapat digunakan empat istilah nilai kebenaran yang sesuai dengan kemungkinan yang diberikan.

Untuk struktur yang kompleks, sebaiknya menggunakan lebih banyak istilah. Hal ini menunjukkan bahwa nilai kebenaran tidak terbatas. Berapa angka yang benar dari pernyataan tersebut tergantung pada kemanfaatan praktisnya.

Prinsip ambiguitas

Sesuai dengan itu, pernyataan apa pun bisa salah atau benar, yaitu, pernyataan itu dicirikan oleh salah satu dari dua nilai kebenaran yang mungkin - "salah" dan "benar".

Prinsip ini menjadi dasar logika klasik yang disebut teori dua nilai. Prinsip ambiguitas digunakan oleh Aristoteles. Filsuf ini, ketika membahas bilangan x suatu pernyataan yang benar, menganggapnya tidak tepat untuk pernyataan yang berhubungan dengan kejadian acak di masa depan.

Dia membangun hubungan logis antara fatalisme dan prinsip ambiguitas, posisi yang menentukan tindakan manusia sebelumnya.

Pada era sejarah berikutnya, pembatasan yang diberlakukan pada prinsip ini dijelaskan oleh fakta bahwa prinsip ini secara signifikan mempersulit analisis pernyataan tentang peristiwa yang direncanakan, serta tentang objek yang tidak ada (tidak dapat diamati).

Saat memikirkan pernyataan mana yang benar, tidak selalu mungkin menemukan jawaban yang jelas menggunakan metode ini.

Keraguan yang muncul terhadap sistem logika baru hilang setelah logika modern dikembangkan.

Untuk memahami bilangan mana yang pernyataannya benar, logika dua nilai cocok.

Prinsip polisemi

Jika kita memformulasi ulang versi pernyataan dua nilai untuk mengungkap kebenaran, kita bisa mengubahnya menjadi kasus spesial polisemi: pernyataan apa pun akan mempunyai satu nilai kebenaran jika n lebih besar dari 2 atau kurang dari tak terhingga.

Sebagai pengecualian terhadap nilai kebenaran tambahan (di atas “salah” dan “benar”) terdapat banyak sistem logika yang didasarkan pada prinsip polisemi. Logika klasik bernilai dua mencirikan penggunaan khas dari beberapa tanda logis: “atau”, “dan”, “tidak”.

Logika multi-nilai, yang mengklaim mengkonkretkannya, tidak boleh bertentangan dengan hasil dari sistem dua nilai.

Keyakinan yang menyatakan bahwa prinsip ambiguitas selalu mengarah pada pernyataan fatalisme dan determinisme dianggap keliru. Yang juga salah adalah gagasan bahwa logika berganda dianggap sebagai sarana yang diperlukan penerapan penalaran indeterministik, bahwa penerimaannya sama dengan penolakan untuk menggunakan determinisme yang ketat.

Semantik tanda-tanda logis

Untuk memahami berapa angka X suatu pernyataan yang benar, Anda dapat mempersenjatai diri dengan tabel kebenaran. Semantik logis mewakili bagian metalogi yang mengeksplorasi hubungan objek yang ditunjuk dan isinya dalam berbagai ekspresi linguistik.

Masalah ini telah dipertimbangkan dunia kuno, tetapi dalam bentuk disiplin independen yang lengkap, ilmu ini baru dirumuskan pada pergantian abad ke-19-20. Karya-karya G. Frege, C. Pierce, R. Carnap, S. Kripke memungkinkan terungkapnya esensi teori ini, realisme dan kemanfaatannya.

Untuk jangka waktu yang lama, logika semantik terutama mengandalkan analisis bahasa formal. Hanya di Akhir-akhir ini Sebagian besar penelitian mulai dikhususkan pada bahasa alami.

Ada dua bidang utama dalam metodologi ini:

• teori penunjukan (referensi);
• teori makna.

Yang pertama melibatkan studi tentang hubungan berbagai ekspresi linguistik dengan objek yang ditunjuk. Kategori utamanya dapat direpresentasikan sebagai: “sebutan”, “nama”, “model”, “interpretasi”. Teori ini menjadi dasar pembuktian dalam logika modern.

Teori makna berkaitan dengan pencarian jawaban atas pertanyaan tentang apa yang dimaksud dengan makna suatu ekspresi linguistik. Ini menjelaskan identitas mereka dalam arti.

Teori makna memainkan peran penting dalam pembahasan paradoks semantik, yang dalam penyelesaiannya setiap kriteria penerimaan dianggap penting dan relevan.

Persamaan logika

Istilah ini digunakan dalam bahasa meta. Di bawah persamaan logika, Anda dapat membayangkan notasi F1=F2, di mana F1 dan F2 adalah rumus bahasa pernyataan logika yang diperluas. Memecahkan persamaan seperti itu berarti menentukan himpunan nilai sebenarnya dari variabel yang akan dimasukkan dalam salah satu rumus F1 atau F2, di mana persamaan yang diusulkan akan diamati.

Tanda sama dengan dalam matematika dalam beberapa situasi menunjukkan persamaan benda aslinya, dan dalam beberapa kasus ditempatkan untuk menunjukkan persamaan nilainya. Entri F1=F2 mungkin menunjukkan bahwa kita sedang membicarakan rumus yang sama.

Dalam literatur, logika formal sering dipahami sebagai sinonim seperti “bahasa pernyataan logis”. Sebagai " kata-kata yang tepat» muncul rumus yang berfungsi unit semantik, digunakan untuk membangun penalaran dalam logika informal (filosofis).

Pernyataan bertindak sebagai kalimat yang mengungkapkan penilaian tertentu. Dengan kata lain, ia mengungkapkan gagasan tentang adanya suatu keadaan tertentu.

Fakta ini menjadi dasar logika proposisional. Ada pembagian pernyataan menjadi kelompok sederhana dan kompleks.

Saat memformalkan pilihan sederhana pernyataan menggunakan rumus dasar bahasa orde nol. Deskripsi pernyataan kompleks hanya dimungkinkan dengan penggunaan rumus bahasa.

Kata penghubung logis diperlukan untuk menunjukkan konjungsi. Saat digunakan, pernyataan sederhana berubah menjadi spesies yang kompleks:

• "Bukan",
• “tidak benar kalau…”,
• "atau".

Kesimpulan

Logika formal membantu untuk mengetahui nama mana yang benar dari suatu pernyataan dan melibatkan konstruksi dan analisis aturan untuk mengubah ekspresi tertentu yang mempertahankan makna sebenarnya, apa pun isinya. Ia muncul sebagai cabang ilmu filsafat yang terpisah hanya pada akhir abad kesembilan belas. Arah kedua adalah logika informal.

Tugas utama ilmu ini adalah mensistematisasikan aturan-aturan yang memungkinkan seseorang memperoleh pernyataan-pernyataan baru berdasarkan pernyataan-pernyataan yang telah terbukti.

Landasan logika adalah kemungkinan diperolehnya suatu gagasan sebagai konsekuensi logis dari pernyataan-pernyataan lain.

Fakta ini memungkinkan kita untuk menggambarkan secara memadai tidak hanya masalah spesifik di dalamnya ilmu matematika, tetapi juga untuk mentransfer logika ke dalam kreativitas seni.

Penyelidikan logis mengandaikan hubungan yang ada antara premis-premis dan kesimpulan-kesimpulan yang disimpulkan dari premis-premis tersebut.

Ini dapat dianggap sebagai salah satu konsep awal dan mendasar dari logika modern, yang sering disebut sebagai ilmu tentang “apa yang mengikutinya”.

Sulit membayangkan, tanpa alasan seperti itu, pembuktian teorema geometri, penjelasannya fenomena fisik, penjelasan tentang mekanisme reaksi dalam kimia.

Kembali