Angka 0 dapat direpresentasikan sebagai batas tertentu yang memisahkan dunia bilangan real dari bilangan imajiner atau negatif. Karena posisinya yang ambigu, banyak operasi dengan nilai numerik ini tidak dipatuhi logika matematika. Ketidakmungkinan membagi dengan nol adalah contoh utama dari hal ini. Dan yang diperbolehkan operasi aritmatika dengan nol dapat dilakukan dengan menggunakan definisi yang diterima secara umum.
Sejarah nol
Nol adalah titik acuan dalam segala hal sistem standar kalkulus. Orang Eropa mulai menggunakan bilangan ini relatif baru, namun orang bijak di India kuno menggunakan angka nol seribu tahun sebelum bilangan kosong digunakan secara rutin oleh ahli matematika Eropa. Bahkan sebelum bangsa India, nol adalah nilai wajib dalam sistem numerik Maya. Orang-orang Amerika ini menggunakan sistem bilangan duodesimal, dan hari pertama setiap bulan dimulai dengan angka nol. Sangat menarik bahwa di antara bangsa Maya, tanda yang menunjukkan “nol” sepenuhnya bertepatan dengan tanda yang menunjukkan “tak terhingga”. Dengan demikian, suku Maya kuno menyimpulkan bahwa besaran-besaran ini identik dan tidak dapat diketahui.
Operasi matematika dengan nol
Operasi matematika standar dengan nol dapat direduksi menjadi beberapa aturan.
Tambahan: jika Anda menambahkan nol ke bilangan sembarang, nilainya tidak akan berubah (0+x=x).
Pengurangan: Saat mengurangkan nol dari bilangan apa pun, nilai pengurangnya tetap tidak berubah (x-0=x).
Perkalian: Bilangan apa pun dikalikan dengan 0 menghasilkan 0 (a*0=0).
Pembagian: Nol dapat dibagi dengan bilangan apa pun yang tidak sama dengan nol. Dalam hal ini, nilai pecahan tersebut adalah 0. Dan pembagian dengan nol dilarang.
Eksponensial. Tindakan ini dapat dilakukan dengan nomor berapa pun. Bilangan sembarang yang dipangkatkan nol akan menghasilkan 1 (x 0 =1).
Nol pangkat apa pun sama dengan 0 (0 a = 0).
Dalam hal ini, kontradiksi segera muncul: ungkapan 0 0 tidak masuk akal.
Paradoks matematika
Banyak orang tahu dari sekolah bahwa pembagian dengan nol adalah hal yang mustahil. Namun karena alasan tertentu, tidak mungkin menjelaskan alasan larangan tersebut. Sebenarnya kenapa rumus membagi dengan nol tidak ada, padahal tindakan lain dengan angka ini cukup masuk akal dan mungkin dilakukan? Jawaban atas pertanyaan ini diberikan oleh ahli matematika.
Masalahnya adalah operasi aritmatika yang biasa dipelajari anak sekolah di sekolah dasar ternyata tidak sama seperti yang kita kira. Semua operasi bilangan sederhana dapat direduksi menjadi dua: penjumlahan dan perkalian. Tindakan-tindakan ini merupakan inti dari konsep bilangan, dan operasi-operasi lain dibangun berdasarkan penggunaan keduanya.
Penjumlahan dan Perkalian
Mari kita ambil contoh pengurangan standar: 10-2=8. Di sekolah mereka menganggapnya sederhana: jika Anda mengurangi dua dari sepuluh mata pelajaran, tersisa delapan. Namun ahli matematika memandang operasi ini dengan cara yang sangat berbeda. Bagaimanapun, operasi seperti pengurangan tidak ada untuk mereka. Contoh ini dapat ditulis dengan cara lain: x+2=10. Bagi ahli matematika, perbedaan yang tidak diketahui hanyalah angka yang perlu dijumlahkan menjadi dua untuk menghasilkan delapan. Dan tidak diperlukan pengurangan di sini, Anda hanya perlu mencari nilai numerik yang sesuai.
Perkalian dan pembagian diperlakukan sama. Dalam contoh 12:4=3 Anda dapat memahami bahwa kita sedang membicarakan tentang membagi delapan benda menjadi dua tumpukan yang sama besar. Namun kenyataannya, ini hanyalah rumus terbalik untuk menulis 3x4 = 12. Contoh pembagian seperti itu dapat diberikan tanpa henti.
Contoh pembagian dengan 0
Di sinilah menjadi sedikit jelas mengapa Anda tidak bisa membagi dengan nol. Perkalian dan pembagian dengan nol mengikuti aturannya masing-masing. Semua contoh pembagian besaran ini dapat dirumuskan sebagai 6:0 = x. Tapi ini adalah notasi terbalik dari ekspresi 6 * x=0. Namun, seperti yang Anda ketahui, bilangan apa pun yang dikalikan 0 hanya menghasilkan 0. Sifat ini melekat pada konsep nilai nol.
Ternyata tidak ada bilangan yang jika dikalikan dengan 0 memberikan nilai nyata, yaitu soal ini tidak ada penyelesaiannya. Anda tidak perlu takut dengan jawaban ini; ini adalah jawaban alami untuk masalah jenis ini. Hanya saja rekor 6:0 itu tidak masuk akal dan tidak bisa menjelaskan apa pun. Singkatnya, ungkapan ini dapat dijelaskan dengan ungkapan abadi “pembagian dengan nol adalah hal yang mustahil”.
Apakah ada operasi 0:0? Memangnya kalau operasi perkalian dengan 0 itu sah, apakah nol bisa dibagi nol? Bagaimanapun, persamaan dalam bentuk 0x 5=0 cukup sah. Alih-alih angka 5 Anda bisa memasukkan 0, produknya tidak akan berubah.
Memang, 0x0=0. Tapi Anda tetap tidak bisa membaginya dengan 0. Seperti yang dinyatakan, pembagian hanyalah kebalikan dari perkalian. Jadi, jika dalam contoh 0x5=0, Anda perlu menentukan faktor kedua, kita mendapatkan 0x0=5. Atau 10. Atau tak terhingga. Membagi tak terhingga dengan nol - bagaimana Anda menyukainya?
Namun jika ada bilangan yang cocok dengan ekspresi tersebut, maka itu tidak masuk akal; kita tidak dapat memilih satu saja dari bilangan yang jumlahnya tak terhingga. Dan jika demikian, ini berarti ungkapan 0:0 tidak masuk akal. Ternyata nol itu sendiri pun tidak bisa dibagi nol.
Matematika yang lebih tinggi
Pembagian dengan nol membuat pusing matematika sekolah menengah. Analisis matematika yang dipelajari di universitas teknik sedikit memperluas konsep masalah yang tidak ada solusinya. Misalnya, yang baru ditambahkan ke ekspresi 0:0 yang sudah diketahui, yang tidak memiliki solusi dalam kursus matematika sekolah:
- tak terhingga dibagi tak terhingga: ∞:∞;
- tak terhingga dikurangi tak terhingga: ∞−∞;
- satuan yang dipangkatkan hingga tak terhingga: 1 ∞ ;
- tak terhingga dikalikan 0: ∞*0;
- beberapa lainnya.
Tidak mungkin menyelesaikan ekspresi seperti itu menggunakan metode dasar. Tetapi matematika yang lebih tinggi terimakasih untuk fitur tambahan untuk satu baris contoh serupa memberi solusi akhir. Hal ini terutama terlihat ketika mempertimbangkan masalah-masalah dari teori limit.
Membuka Ketidakpastian
Dalam teori limit, nilai 0 diganti dengan variabel bersyarat yang sangat kecil. Dan ekspresi di mana, saat mengganti nilai yang diinginkan pembagian dengan nol diperoleh dan dikonversi. Di bawah ini adalah contoh standar perluasan batas menggunakan transformasi aljabar biasa:
Seperti yang dapat Anda lihat dalam contoh, pengurangan pecahan saja akan membawa nilainya ke jawaban yang sepenuhnya rasional.
Saat mempertimbangkan batasannya fungsi trigonometri ekspresi mereka cenderung direduksi menjadi yang pertama batas yang luar biasa. Ketika mempertimbangkan limit yang penyebutnya menjadi 0 ketika suatu limit disubstitusikan, limit luar biasa kedua digunakan.
Metode L'Hopital
Dalam beberapa kasus, limit ekspresi dapat diganti dengan limit turunannya. Guillaume L'Hopital - Matematikawan Perancis, pendiri sekolah Perancis analisis matematis. Ia membuktikan bahwa limit suatu ekspresi sama dengan limit turunan dari ekspresi tersebut. DI DALAM notasi matematika aturannya adalah sebagai berikut.
Katanya, Anda bisa membagi dengan nol jika Anda menentukan hasil pembagian dengan nol. Anda hanya perlu memperluas aljabar. Secara kebetulan yang aneh, tidak mungkin menemukan setidaknya beberapa, atau contoh perluasan semacam itu yang lebih mudah dipahami dan sederhana. Untuk memperbaiki Internet, Anda memerlukan demonstrasi salah satu metode ekstensi tersebut, atau penjelasan mengapa hal ini tidak mungkin dilakukan.
Artikel ini ditulis sebagai kelanjutan dari tren:
Penafian
Tujuan artikel ini adalah untuk menjelaskan dalam “bahasa manusia” bagaimana prinsip-prinsip dasar matematika bekerja, untuk menyusun pengetahuan dan memulihkan hubungan sebab-akibat yang hilang antara cabang-cabang matematika. Semua penalaran bersifat filosofis; dalam beberapa penilaian, mereka menyimpang dari penilaian yang diterima secara umum (oleh karena itu, mereka tidak berpura-pura teliti secara matematis). Artikel ini dirancang untuk tingkat pembaca yang “melewati menara bertahun-tahun yang lalu”.Pemahaman tentang prinsip-prinsip aritmatika, aljabar dasar, umum dan linier, analisis matematika dan non-standar, teori himpunan, topologi umum, geometri proyektif dan affine diinginkan, tetapi tidak diperlukan.
Tidak ada ketidakterbatasan yang dirugikan selama percobaan.
Prolog
Melampaui batas adalah proses alami dalam mencari pengetahuan baru. Namun tidak setiap pencarian membawa pengetahuan baru dan bermanfaat.1. Sebenarnya semuanya sudah terpecah di hadapan kita!
1.1 Perpanjangan garis bilangan
Mari kita mulai dari awal semua petualang ketika membaginya dengan nol. Mari kita ingat grafik fungsinya
.
Di kiri dan kanan nol, fungsinya menuju ke arah "ketidakberadaan" yang berbeda. Di bagian paling bawah ada “kolam” umum dan tidak ada yang terlihat.
Daripada terburu-buru masuk ke dalam kolam, mari kita lihat apa yang mengalir ke dalamnya dan apa yang keluar darinya. Untuk melakukan ini, kita akan menggunakan limit - alat utama analisis matematis. "Trik" utamanya adalah batasnya memungkinkan Anda untuk mencapainya titik tertentu sedekat mungkin tanpa “menginjaknya”. Seperti “pagar” di depan “kolam”.
Asli
Oke, “pagar” sudah didirikan. Ini tidak menakutkan lagi. Kami memiliki dua jalur menuju kolam renang. Ayo ke kiri - turunan curam, ke kanan - tanjakan curam. Tidak peduli seberapa jauh Anda berjalan menuju “pagar”, itu tidak akan mendekat. Tidak ada cara untuk melewati “ketiadaan” bawah dan atas. Kecurigaan muncul: mungkinkah kita berputar-putar? Meski tidak, angkanya berubah, artinya tidak berada dalam lingkaran. Mari kita mengobrak-abrik alat analisis matematis lagi. Selain batasan dengan “pagar”, kit ini juga mencakup tak terhingga positif dan negatif. Besarannya benar-benar abstrak (bukan angka), diformalkan dengan baik dan siap digunakan! Itu cocok untuk kita. Mari kita lengkapi “keberadaan” kita (kumpulan bilangan real) dengan dua ketidakterbatasan bertanda.
Dalam bahasa matematika:
Perpanjangan inilah yang memungkinkan Anda mengambil limit ketika argumennya cenderung tak terhingga dan mendapatkan tak terhingga sebagai akibat dari mengambil limit tersebut.Ada dua cabang matematika yang menjelaskan hal yang sama dengan menggunakan terminologi yang berbeda.
Mari kita rangkum:
Intinya adalah. Pendekatan lama tidak lagi berhasil. Kompleksitas sistem, dalam bentuk sekumpulan “jika”, “untuk semua kecuali”, dll., telah meningkat. Kami hanya mempunyai dua ketidakpastian 1/0 dan 0/0 (kami tidak mempertimbangkan operasi listrik), jadi ada lima ketidakpastian. Terungkapnya satu ketidakpastian menciptakan lebih banyak lagi ketidakpastian.
1.2 Roda
Itu tidak berhenti dengan diperkenalkannya unsigned infinity. Untuk keluar dari ketidakpastian, Anda memerlukan angin kedua.Jadi kita mempunyai himpunan bilangan real dan dua ketidakpastian 1/0 dan 0/0. Untuk menghilangkan yang pertama, kami melakukan perluasan proyektif dari garis bilangan (yaitu, kami memperkenalkan tak terhingga tak bertanda). Mari kita coba menghadapi ketidakpastian kedua dalam bentuk 0/0. Mari kita lakukan hal yang sama. Mari tambahkan elemen baru ke himpunan angka, yang mewakili ketidakpastian kedua.
Pengertian operasi pembagian didasarkan pada perkalian. Ini tidak cocok untuk kita. Mari kita pisahkan operasi satu sama lain, namun pertahankan perilaku biasa untuk bilangan real. Mari kita definisikan operasi pembagian unary, dilambangkan dengan tanda "/".
Mari kita definisikan operasinya.
Struktur ini disebut “Roda”. Istilah tersebut diambil karena kemiripannya dengan gambaran topologi perpanjangan proyektif garis bilangan dan titik 0/0.
Segalanya tampak baik-baik saja, tetapi masalahnya ada pada detailnya:
Untuk menetapkan semua ciri tersebut, selain perluasan himpunan unsur, diberikan bonus berupa bukan hanya satu, melainkan dua identitas yang menggambarkan hukum distributif.
Dalam bahasa matematika:Dari sudut pandang aljabar umum, kami beroperasi dengan lapangan. Dan di lapangan, seperti yang Anda ketahui, hanya dua operasi yang didefinisikan (penjumlahan dan perkalian). Konsep pembagian diturunkan melalui invers, dan, lebih dalam lagi, melalui elemen satuan. Perubahan yang dilakukan mengubah sistem aljabar kita menjadi monoid untuk operasi penjumlahan (dengan nol sebagai elemen netral) dan operasi perkalian (dengan satu sebagai elemen netral).Karya para pionir tidak selalu menggunakan simbol ∞ dan ⊥. Sebagai gantinya, Anda dapat menemukan entri dalam bentuk /0 dan 0/0.
Dunia tidak begitu indah lagi, bukan? Meski begitu, tidak perlu terburu-buru. Mari kita periksa apakah identitas baru dari hukum distributif dapat mengatasi himpunan luas kita.
Kali ini hasilnya jauh lebih baik.Mari kita rangkum:
Intinya adalah. Aljabar berfungsi dengan baik. Namun, konsep “tidak terdefinisi” diambil sebagai dasar, yang mulai dianggap sebagai sesuatu yang ada dan dioperasikan dengannya. Suatu hari seseorang akan mengatakan bahwa semuanya buruk dan Anda perlu memecah "tidak terdefinisi" ini menjadi beberapa yang "tidak terdefinisi", tetapi lebih kecil.Aljabar umum akan berkata: "Tidak masalah, Bro!"
Ini kira-kira bagaimana unit imajiner tambahan (j dan k) didalilkan dalam angka empat Tambahkan tag
Buku pelajaran:“Matematika” oleh MI Moreau
Tujuan pelajaran: menciptakan kondisi untuk mengembangkan kemampuan membagi 0 dengan angka.
Tujuan pelajaran:
- mengungkap makna pembagian 0 dengan suatu bilangan melalui hubungan antara perkalian dan pembagian;
- mengembangkan kemandirian, perhatian, berpikir;
- mengembangkan keterampilan dalam memecahkan contoh tabel perkalian dan pembagian.
Untuk mencapai tujuan tersebut, pembelajaran dirancang dengan memperhatikan pendekatan aktivitas.
Struktur pelajarannya meliputi:
- Organisasi. momen, yang tujuannya adalah untuk memotivasi anak secara positif untuk belajar.
- Motivasi memungkinkan kami untuk memperbarui pengetahuan dan merumuskan maksud dan tujuan pembelajaran. Untuk tujuan ini, tugas diusulkan menemukan nomor tambahan, mengelompokkan contoh ke dalam kelompok, menambahkan nomor yang hilang. Saat menyelesaikan tugas-tugas ini, anak-anak dihadapkan pada masalah: sebuah contoh ditemukan dimana pengetahuan yang ada tidak cukup untuk menyelesaikannya. Dalam hal ini, anak-anak merumuskan tujuan secara mandiri dan menetapkan sendiri tujuan pembelajaran dari pelajaran tersebut.
- Pencarian dan penemuan pengetahuan baru memberi anak-anak kesempatan menawarkan berbagai pilihan solusi tugas. Berdasarkan materi yang telah dipelajari sebelumnya, mereka dapat menemukan solusi yang tepat dan sadar kesimpulan, di mana aturan baru dirumuskan.
- Selama konsolidasi primer siswa berkomentar tindakanmu, bekerja sesuai aturan, juga dipilih contoh Anda pada aturan ini.
- Untuk otomatisasi tindakan Dan kemampuan untuk menggunakan aturan secara non-standar Dalam tugas tersebut, anak-anak menyelesaikan persamaan dan ekspresi dalam beberapa langkah.
- Pekerjaan mandiri dan dilaksanakan verifikasi bersama menunjukkan bahwa sebagian besar anak memahami topik tersebut.
- Selama refleksi Anak-anak menyimpulkan bahwa tujuan pembelajaran telah tercapai dan menilai diri mereka sendiri dengan menggunakan kartu.
Pembelajaran didasarkan pada tindakan mandiri siswa pada setiap tahap, pencelupan penuh dalam tugas pembelajaran. Hal ini difasilitasi oleh teknik-teknik seperti bekerja dalam kelompok, pengujian diri dan timbal balik, menciptakan situasi sukses, tugas yang dibedakan, refleksi diri.
Selama kelas
| Tujuan panggung | Isi panggung | Aktivitas siswa | ||||||||||||
| 1.Org. momen | ||||||||||||||
| Mempersiapkan siswa untuk bekerja, sikap positif untuk kegiatan pendidikan. | Insentif untuk kegiatan pendidikan. Periksa kesiapan Anda untuk pelajaran, duduk tegak, bersandar pada sandaran kursi. Gosok telinga agar darah mengalir lebih aktif ke otak. Hari ini kamu akan mendapat banyak hal pekerjaan yang menarik, yang saya yakin Anda akan melakukannya dengan baik. |
Organisasi tempat kerja, memeriksa kecocokan. | ||||||||||||
| 2. Motivasi. | ||||||||||||||
| Stimulasi kognitif aktivitas, aktivasi proses berpikir |
Memperbarui pengetahuan yang cukup untuk memperoleh pengetahuan baru. Penghitungan verbal. Menguji pengetahuan Anda tentang perkalian tabel: |
Menyelesaikan masalah berdasarkan pengetahuan tentang perkalian tabel. | ||||||||||||
| A) temukan nomor tambahan: 2 4 6 7 10 12 14 6 18 24 29 36 42 Jelaskan mengapa mubazir dan nomor berapa yang harus digunakan untuk menggantikannya. |
Menemukan nomor tambahan. | |||||||||||||
| B) masukkan nomor yang hilang: … 16 24 32 … 48 … |
Menambahkan nomor yang hilang. | |||||||||||||
| Menciptakan situasi masalah Tugas berpasangan: C) menyusun contoh menjadi 2 kelompok: Mengapa disebarkan seperti ini? (dengan jawaban 4 dan 5). |
Klasifikasi contoh ke dalam kelompok. | |||||||||||||
| Kartu-kartu: 8·7-6+30:6= 28:(16:4) 6= 30-(20-10:2):5= 30-(20-10 2):5= |
Siswa yang kuat mengerjakan kartu individu. | |||||||||||||
| Apa yang kamu perhatikan? Apakah ada contoh lain di sini? Apakah Anda mampu menyelesaikan semua contoh? Siapa yang kesulitan? Apa perbedaan contoh ini dengan contoh lainnya? Jika seseorang telah memutuskan, maka baguslah. Namun mengapa tidak semua orang dapat menerima contoh ini? |
Menemukan masalahnya. Mengidentifikasi pengetahuan yang hilang dan penyebab kesulitan. |
|||||||||||||
| Menetapkan tugas belajar. Berikut ini contoh dengan 0. Dan dari 0 yang dapat Anda harapkan trik yang berbeda. Ini merupakan angka yang tidak biasa. Ingat apa yang Anda ketahui tentang 0? (Sebuah 0=0, 0 Sebuah=0, 0+Sebuah=Sebuah) Berikan contoh. Lihat betapa berbahayanya: jika dijumlahkan tidak mengubah angkanya, tetapi jika dikalikan menjadi 0. Apakah aturan ini berlaku pada contoh kita? Bagaimana dia akan bersikap saat makan? |
Pengamatan teknik yang diketahui untuk beroperasi dengan 0 dan korelasi dengan contoh aslinya. | |||||||||||||
| Jadi apa tujuan kita? Selesaikan contoh ini dengan benar. Meja di papan. Apa yang dibutuhkan untuk itu? Pelajari aturan membagi 0 dengan angka. |
Mengajukan hipotesis | |||||||||||||
| Bagaimana menemukan solusi yang tepat? Tindakan apa yang termasuk dalam perkalian? (dengan pembagian) Berikan contoh 2 3 = 6 6: 2 = 3 Bisakah kita sekarang 0:5? Artinya, Anda perlu mencari bilangan yang jika dikalikan 5 sama dengan 0. x 5=0 Angka ini adalah 0. Jadi 0:5=0. Berikan contoh Anda sendiri. |
mencari solusi berdasarkan apa yang telah dipelajari sebelumnya, | |||||||||||||
| Perumusan aturan. Aturan apa yang sekarang bisa dirumuskan? Saat Anda membagi 0 dengan angka, Anda mendapatkan 0. 0: a = 0. |
Larutan tugas-tugas khas dengan komentar. Bekerja sesuai skema (0:a=0) |
|||||||||||||
| 5. Latihan fisik. | ||||||||||||||
| Pencegahan postur tubuh yang buruk, menghilangkan kelelahan mata dan kelelahan umum. | ||||||||||||||
| 6. Otomatisasi pengetahuan. | ||||||||||||||
| Mengidentifikasi batas penerapan pengetahuan baru. | Tugas lain apa yang mungkin memerlukan pengetahuan tentang aturan ini? (dalam memecahkan contoh, persamaan) |
Menggunakan pengetahuan yang diperoleh dalam berbagai tugas. Bekerja dalam kelompok. |
||||||||||||
| Apa yang tidak diketahui dalam persamaan ini? Ingat cara mengetahui pengganda yang tidak diketahui. Selesaikan persamaannya. Apa solusi persamaan 1? (0) Pukul 2? (tidak ada solusi, tidak dapat membagi dengan 0) |
Mengingat keterampilan yang telah dipelajari sebelumnya. | |||||||||||||
| ** Buat persamaan dengan solusi x=0 (x 5=0) | Untuk siswa yang kuat, tugas kreatif | |||||||||||||
| 7. Kerja mandiri. | ||||||||||||||
| Perkembangan kemandirian, kemampuan kognitif | Kerja mandiri dilanjutkan dengan saling verifikasi. №6 |
Tindakan mental aktif siswa berhubungan dengan pencarian solusi berdasarkan pengetahuannya. Pengendalian diri dan pengendalian bersama. Siswa yang kuat memeriksa dan membantu siswa yang lebih lemah. |
||||||||||||
| 8. Mengerjakan materi yang telah dibahas sebelumnya. Mempraktikkan keterampilan pemecahan masalah. | ||||||||||||||
| Pembentukan keterampilan pemecahan masalah. | Apakah menurut Anda angka 0 sering digunakan dalam soal? (Tidak, tidak sering, karena 0 bukanlah apa-apa, dan tugas harus berisi sejumlah sesuatu.) Kemudian kita akan menyelesaikan soal yang terdapat bilangan lain. Baca masalahnya. Apa yang akan membantu memecahkan masalah tersebut? (meja) Kolom tabel manakah yang harus ditulis? Isi meja. Buatlah rencana solusi: apa yang perlu dipelajari pada langkah 1 dan 2? |
Mengerjakan masalah menggunakan tabel. Berencana untuk memecahkan suatu masalah. Merekam sendiri solusinya. Pengendalian diri sesuai model. |
||||||||||||
| 9. Refleksi. Ringkasan pelajaran. | ||||||||||||||
| Organisasi penilaian diri terhadap kegiatan. Meningkatkan motivasi anak. |
Topik apa yang Anda kerjakan hari ini? Apa yang tidak kamu ketahui di awal pelajaran? Tujuan apa yang Anda tetapkan untuk diri Anda sendiri? Sudahkah Anda mencapainya? Aturan apa yang Anda temukan? Nilai pekerjaan Anda dengan mencentang ikon yang sesuai:
| Kesadaran akan aktivitas Anda, analisis diri terhadap pekerjaan Anda. Mencatat kesesuaian hasil kinerja dan tujuan yang telah ditetapkan. | ||||||||||||
| 10. Pekerjaan rumah. | ||||||||||||||
Faktanya, kisah pembagian dengan nol menghantui para penemunya (a). Namun orang India adalah filsuf yang terbiasa dengan masalah-masalah abstrak. Apa maksudnya membagi dengan tidak ada? Bagi orang Eropa pada masa itu, pertanyaan seperti itu tidak ada sama sekali, karena mereka tidak mengetahui angka nol maupun angka negatif (yang berada di sebelah kiri skala nol).
Di India, mengurangkan bilangan yang lebih besar dari bilangan yang lebih kecil dan mendapatkan bilangan negatif bukanlah suatu masalah. Lagipula, apa maksudnya 3-5 = -2 v? kehidupan biasa? Artinya masih ada yang berhutang pada orang lain 2. Angka negatif disebut hutang.
Sekarang mari kita bahas masalah pembagian dengan nol dengan cara yang sederhana. Pada tahun 598 M (bayangkan sudah berapa lama, lebih dari 1400 tahun yang lalu!) ahli matematika Brahmagupta lahir di India, yang juga bertanya-tanya tentang pembagian dengan nol.
Dia menyarankan bahwa jika kita mengambil lemon dan mulai membaginya menjadi beberapa bagian, cepat atau lambat kita akan sampai pada kenyataan bahwa irisannya akan menjadi sangat kecil. Dalam imajinasi kita, kita bisa sampai pada titik di mana irisannya menjadi sama dengan nol. Jadi, pertanyaannya adalah, jika Anda membagi lemon bukan menjadi 2, 4 atau 10 bagian, tetapi menjadi bagian-bagian yang jumlahnya tak terhingga - berapa ukuran irisannya?
Anda akan mendapatkan “nol irisan” dalam jumlah tak terbatas. Semuanya cukup sederhana, potong lemon dengan sangat halus, kita mendapatkan genangan air dengan jumlah bagian yang tidak terbatas.
Tetapi jika Anda mengambil matematika, ternyata tidak masuk akal
a*0=0? Bagaimana jika b*0=0? Artinya: a*0=b*0. Dan dari sini: Sebuah=b. Artinya, bilangan apa pun sama dengan bilangan apa pun. Kesalahan pembagian dengan nol yang pertama, mari kita lanjutkan. Dalam matematika, pembagian dianggap sebagai kebalikan dari perkalian.
Artinya jika kita membagi 4 dengan 2, kita harus mencari suatu bilangan yang bila dikalikan 2 menghasilkan 4. Bagilah 4 dengan nol - Anda perlu mencari bilangan yang jika dikalikan dengan nol akan menghasilkan 4. Artinya, x*0=4? Tapi x*0=0! Nasib buruk lagi. Jadi kami bertanya: “Berapa banyak angka nol yang perlu kamu ambil untuk menghasilkan 4?”
Ketakterbatasan? Angka nol yang jumlahnya tak terhingga akan tetap berjumlah nol.
Dan membagi 0 dengan 0 umumnya memberikan ketidakpastian, karena 0*x=0, dimana x pada dasarnya adalah apa saja. Artinya, ada banyak sekali solusi.
Ketidaklogisan dan abstrak operasi dengan nol tidak diperbolehkan dalam kerangka aljabar yang sempit; lebih tepatnya, ini adalah operasi tak terdefinisi. Itu membutuhkan perangkat lebih serius - matematika yang lebih tinggi. Jadi, bisa dibilang, Anda tidak bisa membagi dengan nol, tetapi jika Anda benar-benar ingin membaginya dengan nol, Anda harus siap untuk memahami hal-hal seperti fungsi delta Dirac dan hal-hal lain yang sulit dipahami. Bagikan untuk kesehatan Anda.
Matematikawan memiliki selera humor yang spesifik dan beberapa pertanyaan terkait perhitungan tidak lagi ditanggapi dengan serius. Tidak selalu jelas apakah mereka mencoba menjelaskan kepada Anda dengan serius mengapa Anda tidak bisa membagi dengan nol atau apakah ini hanya lelucon. Namun pertanyaannya sendiri tidak begitu jelas; jika dalam matematika dasar seseorang dapat mencapai penyelesaiannya secara logis, maka dalam matematika tingkat tinggi mungkin terdapat kondisi awal lainnya.
Kapan angka nol muncul?
Angka nol penuh dengan banyak misteri:
- DI DALAM Roma kuno Mereka tidak mengetahui nomor ini; sistem referensi dimulai dengan I.
- Agar berhak disebut nenek moyang nol untuk waktu yang lama Arab dan India berdebat.
- Studi terhadap budaya Maya telah menunjukkan hal ini peradaban kuno bisa saja menjadi yang pertama dalam hal menggunakan nol.
- Nol tidak mempunyai nilai numerik, bahkan nilai minimal pun tidak.
- Secara harafiah itu tidak berarti apa-apa, tidak adanya hal-hal yang perlu dihitung.
Dalam sistem primitif tidak ada kebutuhan khusus akan sosok seperti itu; ketiadaan sesuatu dapat dijelaskan dengan kata-kata. Namun seiring munculnya peradaban, kebutuhan manusia juga meningkat dalam hal arsitektur dan teknik.
Untuk melakukan perhitungan yang lebih kompleks dan mendapatkan fungsi baru, hal itu diperlukan angka yang menunjukkan tidak adanya sesuatu sama sekali.
Apakah mungkin membaginya dengan nol?
Ada dua pendapat yang bertentangan secara diametral:
Di sekolah, bahkan di kelas dasar, mereka mengajarkan bahwa Anda tidak boleh membagi dengan nol. Hal ini dijelaskan dengan sangat sederhana:
- Bayangkan Anda mempunyai 20 irisan jeruk keprok.
- Dengan membaginya dengan 5, Anda akan memberikan 4 potong kepada lima teman.
- Membagi dengan nol tidak akan berhasil, karena proses pembagian antar seseorang tidak akan terjadi.
Tentu saja, ini adalah penjelasan kiasan, sebagian besar disederhanakan dan tidak sepenuhnya sesuai dengan kenyataan. Tapi ini menjelaskan dengan cara yang sangat mudah dimengerti betapa tidak ada gunanya membagi sesuatu dengan nol.
Sebenarnya, dengan cara ini seseorang dapat menunjukkan fakta tidak adanya pembagian. Mengapa mempersulit perhitungan matematis dan juga menuliskan tidak adanya pembagian?
Bisakah nol dibagi dengan angka?
Dari sudut pandang matematika terapan, pembagian apa pun yang melibatkan angka nol tidak masuk akal. Tapi buku pelajaran sekolah menurut mereka jelas:
- Nol dapat dibagi.
- Nomor berapa pun dapat digunakan untuk pembagian.
- Anda tidak dapat membagi nol dengan nol.
Poin ketiga mungkin menimbulkan sedikit kebingungan, karena hanya beberapa paragraf di atas yang menunjukkan bahwa pembagian seperti itu sangat mungkin terjadi. Faktanya, itu semua tergantung pada disiplin ilmu yang Anda gunakan untuk melakukan perhitungan.
Dalam hal ini, lebih baik bagi anak sekolah untuk menulis itu ekspresi tidak dapat ditentukan , dan oleh karena itu, ini tidak masuk akal. Namun di beberapa cabang ilmu aljabar diperbolehkan menulis ekspresi seperti itu, membagi nol dengan nol. Terutama dalam hal komputer dan bahasa pemrograman.
Kebutuhan untuk membagi nol dengan angka mungkin timbul ketika menyelesaikan persamaan apa pun dan mencari nilai awal. Namun dalam hal ini, jawabannya akan selalu nol. Di sini, seperti halnya perkalian, berapa pun angka yang Anda bagi nol, hasilnya tidak akan lebih dari nol. Oleh karena itu, jika Anda melihat angka berharga ini dalam rumus yang sangat besar, cobalah untuk segera “mencari tahu” apakah semua perhitungan akan menghasilkan solusi yang sangat sederhana.
Jika tak terhingga dibagi nol
Nilai yang sangat besar dan sangat kecil perlu disebutkan lebih awal, karena ini juga membuka beberapa celah untuk pembagian, termasuk penggunaan nol. Itu benar, dan ada sedikit kendala di sini, karena nilai yang sangat kecil dan ketiadaan nilai sama sekali adalah konsep yang berbeda.
Namun perbedaan kecil dalam kondisi kita ini dapat diabaikan; pada akhirnya, perhitungan dilakukan dengan menggunakan besaran abstrak:
- Pembilangnya harus mengandung tanda tak terhingga.
- Penyebutnya merupakan gambaran simbolis suatu nilai yang cenderung nol.
- Jawabannya adalah tak terhingga, mewakili fungsi yang besarnya tak terhingga.
Perlu dicatat bahwa kita masih berbicara tentang tampilan simbolis dari fungsi yang sangat kecil, dan bukan tentang penggunaan nol. Tidak ada yang berubah dengan tanda ini; masih tidak dapat dibagi menjadi, hanya sebagai pengecualian yang sangat, sangat jarang.
Pada umumnya angka nol digunakan untuk menyelesaikan permasalahan yang ada bidang teoritis murni. Mungkin, setelah beberapa dekade atau bahkan berabad-abad, semua komputasi modern akan ditemukan penggunaan praktis, dan mereka akan memberikan semacam terobosan besar dalam sains.
Sementara itu, sebagian besar ahli matematika hanya memimpikan pengakuan dunia. Pengecualian terhadap aturan ini adalah rekan senegara kita, Perelman. Tapi dia dikenal karena memecahkan masalah yang benar-benar penting dengan bukti dugaan Poinqueré dan perilakunya yang boros.
Paradoks dan ketidakberartian pembagian dengan nol
Membagi dengan nol, pada umumnya, tidak masuk akal:
- Divisi direpresentasikan sebagai fungsi kebalikan dari perkalian.
- Kita bisa mengalikan angka apa pun dengan nol dan mendapatkan jawaban nol.
- Dengan logika yang sama, seseorang dapat membagi bilangan apa pun dengan nol.
- Dalam kondisi seperti itu, mudah untuk menyimpulkan bahwa bilangan apa pun yang dikalikan atau dibagi dengan nol sama dengan bilangan lain yang digunakan untuk melakukan operasi ini.
- Kami membuang operasi matematika dan mendapatkan kesimpulan paling menarik - bilangan apa pun sama dengan bilangan apa pun.
Selain menciptakan insiden seperti itu, pembagian dengan nol tidak memiliki arti praktis, dari kata secara umum. Meskipun tindakan ini dapat dilakukan, informasi baru tidak dapat diperoleh.
Dari sudut pandang matematika dasar, selama pembagian dengan nol, seluruh benda habis dibagi nol kali, yaitu tidak satu kali pun. Sederhananya - tidak terjadi proses fisi, oleh karena itu, tidak mungkin ada akibat dari peristiwa ini.
Berada di perusahaan yang sama dengan ahli matematika, Anda selalu dapat mengajukan beberapa pertanyaan dangkal, misalnya mengapa Anda tidak bisa membagi dengan nol dan mendapatkan jawaban yang menarik dan mudah dipahami. Atau kejengkelan, karena ini mungkin bukan pertama kalinya seseorang ditanyai hal ini. Dan bahkan tidak di urutan kesepuluh. Jadi jagalah teman-teman matematikawanmu, jangan paksa mereka mengulangi satu penjelasan ratusan kali.
Video: bagi dengan nol
Dalam video ini, ahli matematika Anna Lomakova akan memberi tahu Anda apa yang terjadi jika suatu bilangan dibagi dengan nol dan mengapa hal ini tidak dapat dilakukan, dari sudut pandang matematika: