Diberikan contoh penghitungan turunan menggunakan rumus turunan fungsi kompleks.

Berikut kami berikan contoh penghitungan turunan fungsi berikut:
; ; ; ; .

Jika suatu fungsi dapat direpresentasikan sebagai fungsi kompleks di bentuk berikut:
,
maka turunannya ditentukan dengan rumus:
.
Pada contoh di bawah ini, kami akan menulis rumus ini sebagai berikut:
.
Di mana .
Di sini, subskrip atau , yang terletak di bawah tanda turunan, menunjukkan variabel yang digunakan untuk melakukan diferensiasi.

Biasanya dalam tabel turunan diberikan turunan fungsi dari variabel x. Namun, x adalah parameter formal. Variabel x dapat digantikan dengan variabel lain. Oleh karena itu, ketika mendiferensiasikan suatu fungsi dari suatu variabel, kita cukup mengubah, dalam tabel turunan, variabel x menjadi variabel u.

Contoh sederhana

Contoh 1

Temukan turunan dari fungsi kompleks
.

Larutan

Mari kita tulis fungsi yang diberikan dalam bentuk ekuivalen:
.
Dalam tabel turunan kita menemukan:
;
.

Berdasarkan rumus turunan fungsi kompleks, kita peroleh:
.
Di Sini .

Menjawab

Contoh 2

Temukan turunannya
.

Larutan

Kita ambil konstanta 5 dari tanda turunannya dan dari tabel turunannya kita temukan:
.

.
Di Sini .

Menjawab

Contoh 3

Temukan turunannya
.

Larutan

Kami mengambil konstanta -1 untuk tanda turunannya dan dari tabel turunannya kita temukan:
;
Dari tabel turunan kita temukan:
.

Kami menerapkan rumus turunan fungsi kompleks:
.
Di Sini .

Menjawab

Contoh yang lebih kompleks

Lebih lanjut contoh yang kompleks kami menerapkan aturan untuk membedakan fungsi kompleks beberapa kali. Dalam hal ini, kami menghitung turunan dari akhir. Artinya, kita memecah fungsi menjadi bagian-bagian komponennya dan mencari turunan dari bagian paling sederhana dengan menggunakan tabel turunan. Kami juga menggunakan aturan untuk membedakan jumlah, produk dan pecahan. Kemudian kita melakukan substitusi dan menerapkan rumus turunan fungsi kompleks.

Contoh 4

Temukan turunannya
.

Larutan

Mari kita pilih bagian rumus yang paling sederhana dan temukan turunannya. .

.
Di sini kami menggunakan notasi
.

Kami menemukan turunan dari bagian selanjutnya dari fungsi asli menggunakan hasil yang diperoleh. Kami menerapkan aturan untuk membedakan jumlah:
.

Sekali lagi kita menerapkan aturan diferensiasi fungsi kompleks.

.
Di Sini .

Menjawab

Contoh 5

Temukan turunan dari fungsi tersebut
.

Larutan

Mari kita pilih bagian rumus yang paling sederhana dan cari turunannya dari tabel turunan. .

Kami menerapkan aturan diferensiasi fungsi kompleks.
.
Di Sini
.

Definisi. Misalkan fungsi \(y = f(x)\) terdefinisi pada interval tertentu yang memuat titik \(x_0\). Mari kita beri argumen kenaikan \(\Delta x \) sehingga tidak meninggalkan interval ini. Mari kita cari pertambahan fungsi \(\Delta y \) (saat berpindah dari titik \(x_0 \) ke titik \(x_0 + \Delta x \)) dan buat relasinya \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \). Jika terdapat limit pada rasio ini di \(\Delta x \rightarrow 0\), maka limit yang ditentukan disebut turunan suatu fungsi\(y=f(x) \) di titik \(x_0 \) dan menyatakan \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \ke 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Simbol y sering digunakan untuk menyatakan turunan. Perhatikan bahwa y" = f(x) adalah fungsi baru, namun secara alami berkaitan dengan fungsi y = f(x), yang didefinisikan di semua titik x di mana limit di atas ada. Fungsi ini dipanggil seperti ini: turunan dari fungsi y = f(x).

Arti geometris dari turunan adalah sebagai berikut. Jika dapat ditarik garis singgung grafik fungsi y = f(x) di titik dengan absis x=a yang tidak sejajar sumbu y, maka f(a) menyatakan kemiringan garis singgung tersebut :
\(k = f"(a)\)

Karena \(k = tg(a) \), maka persamaan \(f"(a) = tan(a) \) benar.

Sekarang mari kita tafsirkan definisi turunan dari sudut pandang persamaan perkiraan. Misalkan fungsi \(y = f(x)\) mempunyai turunan pada titik tertentu \(x\):
$$ \lim_(\Delta x \ke 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Ini berarti bahwa di dekat titik x persamaan perkiraan \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \kira-kira f"(x)\), yaitu \(\Delta y \kira-kira f"(x) \cdot\ Deltax\). Arti makna dari perkiraan persamaan yang dihasilkan adalah sebagai berikut: pertambahan fungsi “hampir sebanding” dengan pertambahan argumen, dan koefisien proporsionalitas adalah nilai turunan dalam titik tertentu X. Misalnya, untuk fungsi \(y = x^2\) persamaan perkiraan \(\Delta y \kira-kira 2x \cdot \Delta x \) adalah valid. Jika kita menganalisis definisi turunan dengan cermat, kita akan menemukan bahwa turunan tersebut berisi algoritma untuk menemukannya.

Mari kita rumuskan.

Bagaimana cara mencari turunan fungsi y = f(x)?

1. Perbaiki nilai \(x\), carilah \(f(x)\)
2. Berikan argumen \(x\) kenaikan \(\Delta x\), lanjutkan ke titik baru \(x+ \Delta x \), cari \(f(x+ \Delta x) \)
3. Tentukan pertambahan fungsi: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Buat relasi \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Hitung $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Limit tersebut merupakan turunan fungsi di titik x.

Jika suatu fungsi y = f(x) mempunyai turunan di titik x, maka fungsi tersebut disebut terdiferensiasi di titik x. Prosedur mencari turunan fungsi y = f(x) disebut diferensiasi fungsi y = f(x).

Mari kita bahas pertanyaan berikut: bagaimana kontinuitas dan diferensiabilitas suatu fungsi pada suatu titik berhubungan satu sama lain?

Misalkan fungsi y = f(x) terdiferensialkan di titik x. Kemudian garis singgung dapat ditarik ke grafik fungsi di titik M(x; f(x)), dan, ingat, koefisien sudut garis singgung tersebut sama dengan f "(x). Grafik seperti itu tidak dapat “putus” di titik M, yaitu fungsi tersebut harus kontinu di titik x.

Ini adalah argumen “langsung”. Mari kita berikan alasan yang lebih ketat. Jika fungsi y = f(x) terdiferensialkan di titik x, maka persamaan perkiraan \(\Delta y \kira-kira f"(x) \cdot \Delta x \) berlaku. Jika dalam persamaan ini \(\Delta x \) cenderung nol, maka \(\Delta y \) cenderung nol, dan demikianlah syarat kesinambungan fungsi di suatu titik.

Jadi, jika suatu fungsi terdiferensialkan di titik x, maka fungsi tersebut kontinu di titik tersebut.

Pernyataan sebaliknya tidak benar. Contoh: fungsi y = |x| kontinu di mana-mana, khususnya di titik x = 0, tetapi garis singgung grafik fungsi di “titik persimpangan” (0; 0) tidak ada. Jika suatu titik tidak dapat ditarik garis singgung pada grafik suatu fungsi, maka turunannya tidak ada pada titik tersebut.

Satu contoh lagi. Fungsi \(y=\sqrt(x)\) kontinu pada seluruh garis bilangan, termasuk di titik x = 0. Dan garis singgung grafik fungsi tersebut ada di sembarang titik, termasuk di titik x = 0 Namun pada titik ini garis singgungnya berimpit dengan sumbu y, yaitu tegak lurus terhadap sumbu absis, persamaannya berbentuk x = 0. Koefisien kemiringan garis seperti itu tidak ada, artinya \(f"(0) \) juga tidak ada

Jadi, kita berkenalan dengan properti baru dari suatu fungsi - diferensiasi. Bagaimana seseorang dapat menyimpulkan dari grafik suatu fungsi bahwa fungsi tersebut terdiferensiasi?

Jawabannya sebenarnya diberikan di atas. Jika pada suatu titik dapat ditarik garis singgung grafik suatu fungsi yang tidak tegak lurus sumbu absis, maka pada titik tersebut fungsi tersebut terdiferensiasi. Jika pada suatu titik garis singgung grafik suatu fungsi tidak ada atau tegak lurus sumbu absis, maka pada titik tersebut fungsi tersebut tidak terdiferensiasi.

Aturan diferensiasi

Operasi mencari turunan disebut diferensiasi. Saat melakukan operasi ini, Anda sering kali harus bekerja dengan hasil bagi, jumlah, hasil kali fungsi, serta “fungsi dari fungsi”, yaitu fungsi kompleks. Berdasarkan definisi turunan, kita dapat memperoleh aturan diferensiasi yang mempermudah pekerjaan ini. Jika C adalah bilangan konstan dan f=f(x), g=g(x) adalah beberapa fungsi terdiferensiasi, maka pernyataan berikut ini benar aturan diferensiasi:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \kiri(\frac(f)(g) \kanan) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \kiri(\frac (C)(g) \kanan) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Turunan dari fungsi kompleks:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Tabel turunan beberapa fungsi

$$ \kiri(\frac(1)(x) \kanan) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ persegi(x)) $$ $$ \kiri(x^a \kanan) " = a x^(a-1) $$ $$ \kiri(a^x \kanan) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \kiri(e^x \kanan) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\teks(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

Menemukan Turunannya fungsi matematika disebut diferensiasi. Menemukan turunan suatu fungsi matematika merupakan permasalahan yang umum ditemui matematika yang lebih tinggi. Anda dapat berbicara dengan cara yang berbeda: mencari turunannya, menghitung turunannya, membedakan suatu fungsi, mengambil turunannya, tetapi ini semua adalah konsep yang sama. Tentu saja ada tugas-tugas kompleks yang mana menemukan turunannya hanyalah salah satu komponen masalahnya. Di layanan situs web kami, Anda memiliki kesempatan untuk menghitung turunan online dari fungsi dasar dan kompleks yang tidak memiliki solusi analitis. Turunan online di layanan kami dapat ditemukan dari hampir semua fungsi matematika, bahkan fungsi paling rumit yang tidak dapat diselesaikan oleh layanan lain untuk Anda. Dan jawaban yang diterima selalu 100% benar dan menghilangkan kesalahan. Anda dapat melihat bagaimana proses pencarian turunan terjadi di website kami di contoh spesifik. Contohnya terletak di sebelah kanan tombol Solusi. Pilih fungsi apa pun dari daftar contoh, maka secara otomatis akan dimasukkan ke dalam bidang fungsi, lalu klik tombol “Solusi”. Anda akan melihat solusi langkah demi langkah, turunan Anda akan ditemukan dengan cara yang sama. Keuntungan menyelesaikan derivatif secara online. Meskipun Anda tahu cara mencari turunannya, prosesnya bisa memakan banyak waktu dan tenaga. Situs layanan dirancang untuk menyelamatkan Anda dari perhitungan yang membosankan dan panjang, di mana Anda mungkin juga melakukan kesalahan. Kami menghitung turunan secara online dengan satu klik tombol “Solusi” setelah memasukkan fungsi yang ditentukan. Situs ini juga cocok bagi mereka yang ingin menguji kemampuannya dalam mencari turunan suatu fungsi matematika dan memastikan kebenarannya keputusan independen atau menemukan kesalahan yang dibuat di dalamnya. Untuk melakukannya, Anda hanya perlu membandingkan jawaban Anda dengan hasil perhitungan layanan online. Jika tidak ingin menggunakan tabel turunan dengan temuan yang mana fungsi yang diperlukan membutuhkan waktu yang cukup, lalu gunakan layanan kami sebagai pengganti tabel turunan untuk mencari turunannya. Keuntungan utama situs kami dibandingkan dengan layanan serupa lainnya adalah perhitungannya sangat cepat (rata-rata 5 detik) dan Anda tidak perlu membayar apa pun untuk itu - layanan ini benar-benar gratis. Anda tidak akan diminta untuk mendaftar, memasukkan email atau memasukkan data pribadi Anda. Yang perlu Anda lakukan hanyalah memasukkan fungsi yang diberikan dan klik tombol “Solusi”. Apa itu turunan. Turunan suatu fungsi merupakan konsep dasar dalam matematika dan analisis matematis. Kebalikan dari proses ini adalah integrasi, yaitu mencari fungsi dari turunan yang diketahui. Sederhananya, diferensiasi adalah tindakan terhadap suatu fungsi, dan turunan adalah hasil dari tindakan tersebut. Untuk menghitung turunan suatu fungsi pada titik tertentu, argumen x diganti dengan nilai numerik dan ekspresi dievaluasi. Turunan ditunjukkan dengan bilangan prima di pojok kanan atas di atas fungsi. Goresan juga bisa menjadi sebutan untuk fungsi tertentu. Untuk mencari turunan suatu fungsi dasar, Anda perlu mengetahui tabel turunannya atau selalu memilikinya, yang mungkin tidak terlalu memudahkan, dan juga mengetahui aturan diferensiasi, jadi sebaiknya gunakan layanan kami, yang turunannya adalah dihitung secara online, Anda hanya perlu memasukkan fungsi pada kolom yang disediakan untuk ini. Argumennya harus berupa variabel x, karena diferensiasi dilakukan terhadap variabel tersebut. Jika Anda perlu menghitung turunan kedua, Anda dapat membedakan jawaban yang dihasilkan. Cara menghitung turunannya secara online. Tabel turunan untuk fungsi dasar, oleh karena itu, menghitung turunan fungsi matematika dasar (sederhana) adalah perkara yang cukup sederhana. Namun, ketika Anda perlu mencari turunan dari fungsi matematika yang kompleks, hal ini bukan lagi tugas yang sepele dan akan membutuhkan banyak tenaga dan waktu. Anda dapat menghilangkan perhitungan yang tidak berguna dan panjang jika Anda menggunakan perhitungan kami layanan daring. Berkat itu, turunannya akan dihitung dalam hitungan detik.

Tingkat pertama

Turunan dari suatu fungsi. Panduan Komprehensif (2019)

Bayangkan sebuah jalan lurus melewati daerah perbukitan. Artinya, naik turun, tetapi tidak berbelok ke kanan atau ke kiri. Jika sumbu diarahkan secara horizontal sepanjang jalan dan vertikal, maka garis jalan akan sangat mirip dengan grafik beberapa fungsi kontinu:

Sumbunya adalah tingkat ketinggian nol tertentu, dalam kehidupan kita menggunakan permukaan laut sebagai itu.

Saat kita bergerak maju di sepanjang jalan tersebut, kita juga bergerak ke atas atau ke bawah. Kita juga dapat mengatakan: ketika argumen berubah (pergerakan sepanjang sumbu absis), nilai fungsi berubah (pergerakan sepanjang sumbu ordinat). Sekarang mari kita pikirkan bagaimana cara menentukan “kecuraman” jalan kita? Nilai macam apa ini? Sederhana saja: seberapa besar perubahan ketinggian ketika bergerak maju dalam jarak tertentu. Memang, di berbagai ruas jalan, bergerak maju (sepanjang sumbu x) sejauh satu kilometer, kita akan naik atau turun sebesar jumlah yang berbeda meter relatif terhadap permukaan laut (sepanjang sumbu ordinat).

Mari kita nyatakan kemajuan (baca “delta x”).

Huruf Yunani (delta) umumnya digunakan dalam matematika sebagai awalan yang berarti "perubahan". Yaitu - ini adalah perubahan kuantitas, - perubahan; lalu apa itu? Itu benar, perubahan besarnya.

Penting: suatu ekspresi adalah satu kesatuan, satu variabel. Jangan pernah memisahkan “delta” dari “x” atau huruf lainnya! Misalnya, .

Jadi, kita telah bergerak maju, secara horizontal. Jika kita bandingkan garis jalan dengan grafik fungsinya, lalu bagaimana kita menyatakan tanjakannya? Tentu, . Artinya, saat kita bergerak maju, kita naik lebih tinggi.

Nilainya mudah dihitung: jika pada awalnya kita berada di ketinggian, dan setelah bergerak kita menemukan diri kita berada di ketinggian, maka. Jika titik akhir lebih rendah dari titik awal, maka akan negatif - artinya kita tidak naik, tetapi turun.

Mari kita kembali ke "kecuraman": ini adalah nilai yang menunjukkan seberapa besar (curam) ketinggian bertambah ketika bergerak maju satu satuan jarak:

Mari kita asumsikan bahwa di beberapa bagian jalan, ketika bergerak maju satu kilometer, jalan tersebut naik satu kilometer. Maka kemiringan di tempat ini adalah sama. Dan bagaimana jika jalan tersebut, ketika bergerak maju sejauh m, turun sejauh km? Maka kemiringannya sama.

Sekarang mari kita lihat puncak sebuah bukit. Jika kita mengambil bagian awal setengah kilometer sebelum puncak, dan akhir setengah kilometer setelahnya, terlihat bahwa tingginya hampir sama.

Artinya, menurut logika kita, ternyata kemiringan di sini hampir sama dengan nol, yang jelas tidak benar. Hanya dalam jarak beberapa kilometer, banyak hal bisa berubah. Penting untuk mempertimbangkan area yang lebih kecil agar penilaian kecuraman lebih memadai dan akurat. Misalnya, jika Anda mengukur perubahan ketinggian saat Anda bergerak satu meter, hasilnya akan jauh lebih akurat. Namun keakuratan ini pun mungkin belum cukup bagi kita - lagipula, jika ada tiang di tengah jalan, kita bisa melewatinya begitu saja. Jarak apa yang harus kita pilih? Sentimeter? Milimeter? Lebih sedikit lebih baik!

DI DALAM kehidupan nyata Mengukur jarak hingga milimeter terdekat sudah lebih dari cukup. Namun matematikawan selalu berusaha mencapai kesempurnaan. Oleh karena itu, konsep tersebut diciptakan kecil sekali, yaitu nilai mutlaknya lebih kecil dari bilangan apa pun yang dapat kita sebutkan. Misalnya, Anda berkata: sepertriliun! Berapa banyak lagi? Dan Anda membagi angka ini dengan - dan jumlahnya akan lebih sedikit. Dan seterusnya. Jika kita ingin menuliskan suatu besaran yang sangat kecil, kita menulis seperti ini: (kita membaca “x cenderung nol”). Sangat penting untuk dipahami bahwa angka ini bukan nol! Tapi sangat dekat dengannya. Artinya, Anda dapat membaginya.

Konsep kebalikan dari sangat kecil adalah sangat besar (). Anda mungkin pernah menemukannya saat mengerjakan pertidaksamaan: bilangan ini modulo lebih besar dari bilangan mana pun yang dapat Anda pikirkan. Jika kamu berhasil mendapatkan angka terbesar, kalikan saja dengan dua dan kamu akan mendapatkan angka yang lebih besar lagi. Dan ketidakterbatasan bahkan lebih besar dari apa yang terjadi. Faktanya, besar tak terhingga dan kecil tak terhingga merupakan kebalikan satu sama lain, yaitu pada, dan sebaliknya: pada.

Sekarang mari kita kembali ke jalan kita. Kemiringan yang dihitung secara ideal adalah kemiringan yang dihitung untuk suatu ruas jalan yang sangat kecil, yaitu:

Saya perhatikan bahwa dengan perpindahan yang sangat kecil, perubahan ketinggian juga akan sangat kecil. Namun izinkan saya mengingatkan Anda bahwa sangat kecil tidak berarti sama dengan nol. Jika Anda membagi bilangan yang sangat kecil satu sama lain, Anda bisa mendapatkan bilangan biasa, misalnya, . Artinya, satu nilai kecil bisa saja berukuran beberapa kali lebih besar dari nilai lainnya.

Untuk apa semua ini? Jalannya, kecuramannya... Kami tidak ikut reli mobil, tapi kami mengajar matematika. Dan dalam matematika semuanya persis sama, hanya disebut berbeda.

Konsep turunan

Turunan suatu fungsi adalah rasio pertambahan fungsi terhadap pertambahan argumen untuk pertambahan argumen yang sangat kecil.

Secara bertahap dalam matematika mereka menyebutnya perubahan. Sejauh mana argumen () berubah seiring pergerakannya sepanjang sumbu disebut peningkatan argumen dan dilambangkan Berapa banyak perubahan fungsi (ketinggian) ketika bergerak maju sepanjang sumbu dengan suatu jarak disebut peningkatan fungsi dan ditunjuk.

Jadi, turunan suatu fungsi adalah perbandingan terhadap kapan. Kami menyatakan turunannya dengan huruf yang sama dengan fungsinya, hanya dengan bilangan prima di kanan atas: atau sederhananya. Jadi, mari kita tulis rumus turunannya menggunakan notasi berikut:

Seperti analogi jalan, di sini jika fungsinya naik, turunannya bernilai positif, dan jika turun, turunannya negatif.

Bisakah turunannya sama dengan nol? Tentu. Misalnya kita berkendara di jalan datar mendatar maka kecuramannya nol. Dan memang benar, tingginya tidak berubah sama sekali. Begitu pula dengan turunannya: turunan suatu fungsi konstanta (konstanta) sama dengan nol:

karena kenaikan fungsi tersebut sama dengan nol untuk sembarang.

Mari kita ingat contoh di puncak bukit. Ternyata ujung-ujung ruas dapat disusun pada sisi-sisi yang berlawanan dari titik sudut sedemikian rupa sehingga tinggi ujung-ujungnya menjadi sama, yaitu ruas tersebut sejajar dengan sumbu:

Namun segmen yang besar merupakan tanda pengukuran yang tidak akurat. Kita angkat ruas kita sejajar dengan dirinya, lalu panjangnya akan berkurang.

Akhirnya, ketika kita sudah sangat dekat dengan puncak, panjang segmen tersebut akan menjadi sangat kecil. Tetapi pada saat yang sama, ia tetap sejajar dengan sumbu, yaitu perbedaan ketinggian di ujung-ujungnya sama dengan nol (tidak cenderung, tetapi sama dengan). Jadi turunannya

Hal ini dapat dipahami sebagai berikut: ketika kita berdiri di puncak, pergeseran kecil ke kiri atau ke kanan akan mengubah tinggi badan kita secara signifikan.

Ada juga penjelasan aljabar murni: di sebelah kiri titik, fungsinya bertambah, dan di sebelah kanan turun. Seperti yang telah kita ketahui sebelumnya, jika suatu fungsi meningkat, turunannya bernilai positif, dan jika turun, maka turunannya negatif. Tapi perubahannya mulus, tanpa lompatan (karena kemiringan jalan tidak berubah tajam di mana pun). Oleh karena itu, antara negatif dan nilai-nilai positif pasti ada. Di sinilah fungsinya tidak bertambah atau berkurang - di titik puncak.

Hal yang sama berlaku untuk palung (area dimana fungsi di sebelah kiri berkurang dan di sebelah kanan bertambah):

Sedikit lagi tentang peningkatan.

Jadi kita ubah argumennya menjadi besaran. Kita berubah dari nilai apa? Apa jadinya (argumennya) sekarang? Kita dapat memilih titik mana saja, dan sekarang kita akan menari dari titik tersebut.

Pertimbangkan sebuah titik dengan koordinat. Nilai fungsi di dalamnya adalah sama. Kemudian kita melakukan kenaikan yang sama: kita menambah koordinat sebesar. Apa argumennya sekarang? Sangat mudah: . Berapa nilai fungsinya sekarang? Ke mana argumennya pergi, begitu pula fungsinya: . Bagaimana dengan peningkatan fungsi? Bukan hal baru: ini masih merupakan jumlah perubahan fungsi:

Berlatihlah menemukan peningkatan:

1. Temukan pertambahan fungsi pada titik ketika pertambahan argumen sama dengan.
2. Hal yang sama berlaku untuk fungsi pada suatu titik.

Solusi:

Pada titik berbeda dengan kenaikan argumen yang sama, kenaikan fungsi akan berbeda. Artinya turunan di setiap titik berbeda (kita sudah membahasnya di awal - kecuraman jalan berbeda di titik yang berbeda). Oleh karena itu, ketika kita menulis turunan, kita harus menunjukkan pada titik mana:

Fungsi daya.

Fungsi pangkat adalah fungsi yang argumennya sampai taraf tertentu (logis, bukan?).

Selain itu - sampai batas tertentu: .

Kasus paling sederhana adalah ketika eksponennya adalah:

Mari kita cari turunannya di suatu titik. Mari kita ingat kembali definisi turunan:

Jadi argumennya berubah dari menjadi. Berapa kenaikan fungsinya?

Peningkatannya adalah ini. Namun suatu fungsi di titik mana pun sama dengan argumennya. Itu sebabnya:

Turunannya sama dengan:

Turunan dari sama dengan:

b) Sekarang pertimbangkan fungsi kuadrat (): .

Sekarang mari kita ingat itu. Artinya, nilai kenaikan dapat diabaikan, karena sangat kecil, dan oleh karena itu tidak signifikan dibandingkan dengan suku lainnya:

Jadi, kami membuat aturan lain:

c) Kami melanjutkan rangkaian logika: .

Ekspresi ini dapat disederhanakan dengan berbagai cara: buka tanda kurung pertama menggunakan rumus perkalian pangkat tiga yang disingkat, atau faktorkan seluruh ekspresi menggunakan rumus selisih pangkat tiga. Cobalah melakukannya sendiri menggunakan salah satu metode yang disarankan.

Jadi, saya mendapatkan yang berikut ini:

Dan sekali lagi mari kita ingat itu. Artinya kita bisa mengabaikan semua istilah yang mengandung:

Kita mendapatkan: .

d) Aturan serupa dapat diperoleh untuk kekuatan besar:

e) Ternyata aturan ini dapat digeneralisasikan untuk fungsi pangkat dengan eksponen sembarang, bahkan bukan bilangan bulat:

(2)

Aturannya dapat dirumuskan dengan kata-kata: “derajat dimajukan sebagai koefisien, dan kemudian dikurangi sebesar .”

Kami akan membuktikan aturan ini nanti (hampir di bagian paling akhir). Sekarang mari kita lihat beberapa contoh. Temukan turunan dari fungsi:

1. (dalam dua cara: dengan rumus dan menggunakan definisi turunan - dengan menghitung kenaikan fungsi);

1. . Percaya atau tidak, ini adalah fungsi kekuasaan. Jika Anda memiliki pertanyaan seperti “Bagaimana ini? Dimana gelarnya?”, ingat topik “”!
   Ya, akarnya juga merupakan derajat, hanya pecahan: .
   Jadi milik kita Akar pangkat dua- ini hanya gelar dengan indikator:
   .
   Kami mencari turunannya menggunakan rumus yang baru dipelajari:

   Jika pada titik ini menjadi tidak jelas lagi, ulangi topik “”!!! (tentang derajat dengan eksponen negatif)

2. . Sekarang eksponennya:

   Dan sekarang melalui definisinya (apakah Anda sudah lupa?):
   ;
   .
   Sekarang, seperti biasa, kita mengabaikan istilah yang mengandung:
   .

3. . Kombinasi kasus sebelumnya: .

Fungsi trigonometri.

Di sini kita akan menggunakan satu fakta dari matematika tingkat tinggi:

Dengan ekspresi.

Anda akan mempelajari buktinya di tahun pertama institut (dan untuk mencapainya, Anda harus lulus Ujian Negara Bersatu dengan baik). Sekarang saya akan menunjukkannya secara grafis:

Kita melihat bahwa ketika fungsinya tidak ada, titik pada grafik terpotong. Namun semakin dekat nilainya, semakin dekat fungsinya. Inilah yang “dituju”.

Selain itu, Anda dapat memeriksa aturan ini menggunakan kalkulator. Iya iya jangan malu-malu ambil kalkulator, kita belum ada di Unified State Examination.

Jadi, mari kita coba: ;

Jangan lupa untuk mengalihkan kalkulator Anda ke mode Radian!

dll. Kita melihat bahwa semakin sedikit, semakin besar nilai lebih dekat hubungan dengan

a) Perhatikan fungsinya. Seperti biasa, mari kita cari kenaikannya:

Mari kita ubah perbedaan sinus menjadi sebuah hasil kali. Untuk melakukan ini, kami menggunakan rumus (ingat topik “”): .

Sekarang turunannya:

Mari kita buat penggantinya: . Lalu untuk yang sangat kecil juga sangat kecil: . Ekspresi untuk berbentuk:

Dan sekarang kita mengingatnya dengan ungkapan. Dan juga, bagaimana jika suatu kuantitas yang sangat kecil dapat diabaikan dalam jumlah tersebut (yaitu, di).

Jadi kita mengerti aturan selanjutnya:turunan sinus sama dengan kosinus:

Ini adalah turunan dasar (“tabel”). Ini dia dalam satu daftar:

Nanti kita akan menambahkan beberapa lagi, tapi ini yang paling penting, karena paling sering digunakan.

Praktik:

1. Temukan turunan fungsi di suatu titik;
2. Temukan turunan dari fungsi tersebut.

Solusi:

1. Pertama, mari kita cari turunannya pandangan umum, lalu substitusikan nilainya:
   ;
   .
2. Di sini kita memiliki sesuatu yang mirip dengan fungsi daya. Mari kita coba membawanya ke
   tampak normal:
   .
   Bagus, sekarang Anda bisa menggunakan rumus:
   .
   .
3. . Eeeeeee….. Apa ini????

Oke, Anda benar, kami belum tahu cara mencari turunan tersebut. Di sini kita memiliki kombinasi beberapa jenis fungsi. Untuk mengatasinya, Anda perlu mempelajari beberapa aturan lagi:

Logaritma eksponen dan natural.

Ada suatu fungsi dalam matematika yang turunannya untuk suatu nilai sama dengan nilai fungsi itu sendiri pada waktu yang sama. Ini disebut “eksponen”, dan merupakan fungsi eksponensial

Dasar dari fungsi ini adalah konstanta - tidak terbatas desimal, yaitu bilangan irasional (seperti). Ini disebut “bilangan Euler”, oleh karena itu dilambangkan dengan huruf.

Jadi, aturannya:

Sangat mudah diingat.

Baiklah, tidak usah jauh-jauh, langsung saja kita simak fungsi terbalik. Fungsi manakah yang merupakan kebalikan dari fungsi eksponensial? Logaritma:

Dalam kasus kami, basisnya adalah angka:

Logaritma seperti itu (yaitu, logaritma dengan basis) disebut “alami”, dan kami menggunakan notasi khusus untuk itu: kami menulisnya.

Sama dengan apa? Tentu saja, .

Turunan dari logaritma natural juga sangat sederhana:

Contoh:

1. Temukan turunan dari fungsi tersebut.
2. Berapakah turunan dari fungsi tersebut?

Jawaban: Logaritma eksponensial dan natural adalah fungsi unik dan sederhana dari perspektif turunan. Fungsi eksponensial dan logaritma dengan basis lain akan mempunyai turunan yang berbeda, yang akan kita analisis nanti, setelah kita membahas aturan diferensiasi.

Aturan diferensiasi

Aturan apa? Lagi istilah baru, lagi?!...

Diferensiasi adalah proses mencari turunannya.

Itu saja. Apa lagi yang bisa Anda sebut proses ini dalam satu kata? Bukan turunan... Matematikawan menyebut diferensial sebagai pertambahan fungsi yang sama di. Istilah ini berasal dari bahasa Latin differential – perbedaan. Di Sini.

Saat menurunkan semua aturan ini, kita akan menggunakan dua fungsi, misalnya, dan. Kita juga memerlukan rumus untuk kenaikannya:

Total ada 5 aturan.

Konstanta tersebut dikeluarkan dari tanda turunannya.

Jika - suatu bilangan konstan (konstan), maka.

Tentu saja, aturan ini juga berlaku untuk perbedaannya: .

Mari kita buktikan. Biarlah, atau lebih sederhana.

Contoh.

Temukan turunan dari fungsi:

1. pada suatu titik;
2. pada suatu titik;
3. pada suatu titik;
4. pada intinya.

Solusi:

1. (turunannya sama di semua titik, karena ini fungsi linear, Ingat?);

Turunan dari produk

Semuanya serupa di sini: mari perkenalkan fungsi baru dan temukan kenaikannya:

Turunan:

Contoh:

1. Temukan turunan dari fungsi dan;
2. Temukan turunan fungsi di suatu titik.

Solusi:

Turunan dari fungsi eksponensial

Sekarang pengetahuan Anda sudah cukup untuk mempelajari cara mencari turunan dari fungsi eksponensial apa pun, dan bukan hanya eksponen (apakah Anda sudah lupa apa itu?).

Jadi, di mana nomornya.

Kita sudah mengetahui turunan dari fungsi tersebut, jadi mari kita coba mereduksi fungsi kita ke basis baru:

Untuk ini kami akan menggunakan aturan sederhana: . Kemudian:

Ya, itu berhasil. Sekarang coba cari turunannya, dan jangan lupa bahwa fungsi ini kompleks.

Telah terjadi?

Di sini, periksa diri Anda:

Rumusnya ternyata sangat mirip dengan turunan eksponen: tetap sama, hanya muncul faktor yang hanya berupa bilangan, bukan variabel.

Contoh:
Temukan turunan dari fungsi:

Jawaban:

Ini hanyalah angka yang tidak dapat dihitung tanpa kalkulator, yaitu tidak dapat dituliskan lagi dalam bentuk yang sederhana. Oleh karena itu, kami membiarkannya dalam bentuk ini dalam jawabannya.

Turunan dari fungsi logaritma

Di sini serupa: Anda sudah mengetahui turunan dari logaritma natural:

Oleh karena itu, untuk mencari logaritma sembarang dengan basis berbeda, misalnya:

Kita perlu mengurangi logaritma ini ke basis. Bagaimana cara mengubah basis logaritma? Saya harap Anda ingat rumus ini:

Hanya sekarang kami akan menulis:

Penyebutnya hanyalah sebuah konstanta (bilangan konstan, tanpa variabel). Turunannya diperoleh dengan sangat sederhana:

Turunan dari fungsi eksponensial dan logaritma hampir tidak pernah ditemukan dalam Unified State Examination, namun tidak akan berlebihan untuk mengetahuinya.

Turunan dari fungsi kompleks.

Apa yang dimaksud dengan "fungsi kompleks"? Tidak, ini bukan logaritma, dan bukan tangen busur. Fungsi-fungsi ini mungkin sulit untuk dipahami (walaupun jika Anda merasa logaritmanya sulit, bacalah topik “Logaritma” dan Anda akan baik-baik saja), tetapi dari sudut pandang matematika, kata “kompleks” tidak berarti “sulit”.

Bayangkan sebuah ban berjalan kecil: dua orang sedang duduk dan melakukan beberapa tindakan dengan beberapa benda. Misalnya, yang pertama membungkus sebatang coklat dengan bungkusnya, dan yang kedua mengikatnya dengan pita. Hasilnya adalah sebuah benda gabungan: sebatang coklat yang dibungkus dan diikat dengan pita. Untuk memakan sebatang coklat, Anda perlu melakukan langkah sebaliknya dalam urutan terbalik.

Mari kita membuat alur matematika serupa: pertama kita akan mencari kosinus suatu bilangan, lalu mengkuadratkan bilangan yang dihasilkan. Jadi, kita diberi nomor (cokelat), saya mencari cosinusnya (pembungkusnya), lalu Anda mengkuadratkan apa yang saya dapat (ikat dengan pita). Apa yang telah terjadi? Fungsi. Ini adalah contoh fungsi kompleks: ketika, untuk mencari nilainya, kita melakukan tindakan pertama secara langsung dengan variabel, dan kemudian tindakan kedua dengan hasil yang pertama.

Kita dapat dengan mudah melakukan langkah yang sama dalam urutan terbalik: pertama Anda mengkuadratkannya, lalu saya mencari kosinus dari bilangan yang dihasilkan: . Mudah ditebak bahwa hasilnya hampir selalu berbeda. Fitur Penting fungsi kompleks: ketika urutan tindakan berubah, fungsinya berubah.

Dengan kata lain, fungsi kompleks adalah fungsi yang argumennya merupakan fungsi lain: .

Sebagai contoh pertama, .

Contoh kedua: (hal yang sama). .

Tindakan yang terakhir kita lakukan akan dipanggil fungsi "eksternal"., dan tindakan yang dilakukan pertama kali - sesuai fungsi "internal".(ini nama informal, saya menggunakannya hanya untuk menjelaskan materi dalam bahasa sederhana).

Coba tentukan sendiri mana fungsi eksternal dan mana internal:

Jawaban: Memisahkan fungsi dalam dan luar sangat mirip dengan mengubah variabel: misalnya, dalam suatu fungsi

1. Tindakan apa yang akan kita lakukan pertama kali? Pertama, mari kita hitung sinusnya, lalu pangkatkan. Artinya, ini adalah fungsi internal, tetapi fungsi eksternal.
   Dan fungsi aslinya adalah komposisinya: .
2. Dalaman: ; eksternal: .
   Penyelidikan: .
3. Dalaman: ; eksternal: .
   Penyelidikan: .
4. Dalaman: ; eksternal: .
   Penyelidikan: .
5. Dalaman: ; eksternal: .
   Penyelidikan: .

Kami mengubah variabel dan mendapatkan fungsi.

Nah, sekarang kita akan mengekstrak coklat batangan kita dan mencari turunannya. Prosedurnya selalu terbalik: pertama kita mencari turunan fungsi luar, lalu kita mengalikan hasilnya dengan turunan fungsi dalam. Sehubungan dengan contoh aslinya, tampilannya seperti ini:

Contoh lain:

Jadi, mari kita rumuskan aturan resminya:

Algoritma untuk mencari turunan fungsi kompleks:

Tampaknya sederhana, bukan?

Mari kita periksa dengan contoh:

Solusi:

1) Dalaman: ;

Eksternal: ;

2) Dalaman: ;

(Hanya saja, jangan mencoba memotongnya sekarang! Tidak ada yang keluar dari bawah kosinus, ingat?)

3) Dalaman: ;

Eksternal: ;

Jelas sekali bahwa ini adalah fungsi kompleks tiga tingkat: lagi pula, ini sudah merupakan fungsi kompleks itu sendiri, dan kami juga mengekstrak akarnya, yaitu, kami melakukan tindakan ketiga (kami memasukkan coklat ke dalam a pembungkus dan dengan pita di tas kerja). Namun tidak ada alasan untuk takut: kami akan tetap “membongkar” fungsi ini dengan urutan yang sama seperti biasanya: dari akhir.

Artinya, pertama-tama kita bedakan akarnya, lalu kosinusnya, dan baru kemudian ekspresi dalam tanda kurung. Dan kemudian kita kalikan semuanya.

Dalam kasus seperti itu, akan lebih mudah untuk memberi nomor pada tindakan. Artinya, mari kita bayangkan apa yang kita ketahui. Dalam urutan apa kita akan melakukan tindakan untuk menghitung nilai ekspresi ini? Mari kita lihat sebuah contoh:

Semakin lama suatu tindakan dilakukan, semakin “eksternal” fungsi yang bersangkutan. Urutan tindakannya sama seperti sebelumnya:

Di sini sarangnya umumnya 4 tingkat. Mari kita tentukan tindakannya.

1. Ekspresi radikal. .

2. Akar. .

3. Sinus. .

4. Kotak. .

5. Menyatukan semuanya:

TURUNAN. SECARA SINGKAT TENTANG HAL-HAL UTAMA

Turunan dari suatu fungsi- rasio pertambahan fungsi dengan pertambahan argumen untuk pertambahan argumen yang sangat kecil:

Turunan dasar:

Aturan diferensiasi:

Konstanta dikeluarkan dari tanda turunannya:

Turunan dari jumlah:

Turunan dari produk:

Turunan dari hasil bagi:

Turunan dari fungsi kompleks:

Algoritma untuk mencari turunan fungsi kompleks:

1. Kami mendefinisikan fungsi "internal" dan mencari turunannya.
2. Kami mendefinisikan fungsi "eksternal" dan mencari turunannya.
3. Kita kalikan hasil poin pertama dan kedua.

Aplikasi

Memecahkan turunan di situs untuk mengkonsolidasikan materi yang dibahas oleh siswa dan anak sekolah. Menghitung turunan suatu fungsi dalam beberapa detik sepertinya tidak sulit jika Anda menggunakan layanan pemecahan masalah online kami. Memimpin analisis rinci Setiap siswa ketiga akan dapat belajar secara menyeluruh selama pelajaran praktek. Seringkali departemen dari departemen terkait untuk promosi matematika di lembaga pendidikan negara. Dalam hal ini, bagaimana kita tidak menyebutkan penyelesaian turunan online untuk ruang tertutup? urutan angka. Banyak orang kaya yang dibiarkan mengungkapkan kebingungannya. Namun sementara itu, ahli matematika tidak tinggal diam dan banyak bekerja. Kalkulator turunan akan menerima perubahan parameter masukan berdasarkan karakteristik linier terutama karena posisi kubus menurun yang tertinggi. Hasilnya tidak bisa dihindari seperti yang terlihat di permukaan. Sebagai data awal, turunan online menghilangkan kebutuhan untuk mengambil langkah-langkah yang tidak perlu. Kecuali pekerjaan rumah tangga fiksi. Selain fakta bahwa penyelesaian turunan secara online juga diperlukan aspek penting Dalam pembelajaran matematika, siswa seringkali tidak mengingat permasalahan di masa lalu. Siswa, sebagai makhluk yang malas, memahami hal ini. Tapi siswa adalah orang yang lucu! Lakukan sesuai aturan, atau turunkan fungsinya bidang miring dapat memberikan percepatan pada suatu titik material. Mari kita arahkan vektor sinar spasial ke bawah ke suatu tempat. Dalam jawaban yang diperlukan, mencari turunan tampaknya merupakan arah teoritis yang abstrak karena ketidakstabilan sistem matematika. Mari kita bayangkan relasi bilangan sebagai rangkaian opsi yang tidak digunakan. Saluran komunikasi diisi ulang dengan jalur kelima sepanjang vektor menurun dari titik percabangan tertutup kubus. Pada bidang ruang melengkung, menyelesaikan turunan secara online membawa kita pada kesimpulan yang membuat para pemikir terhebat di planet ini memikirkannya pada abad terakhir. Dalam perjalanan peristiwa di bidang matematika, ada lima hal mendasar faktor penting, membantu meningkatkan posisi pemilihan variabel. Jadi hukum poin menyatakan bahwa turunan online tidak dihitung secara rinci dalam setiap kasus, satu-satunya pengecualian adalah momen loyal progresif. Ramalan tersebut membawa kita ke tahap perkembangan baru. Kami membutuhkan hasil. Pada garis kemiringan matematis yang dilewati di bawah permukaan, kalkulator turunan mode terletak pada luas perpotongan hasil kali pada himpunan lentur. Masih menganalisis diferensiasi fungsi pada titik independennya di dekat lingkungan epsilon. Setiap orang dapat memverifikasi ini dalam praktiknya. Pada akhirnya akan ada sesuatu yang harus diputuskan tahap selanjutnya pemrograman. Siswa membutuhkan turunan online seperti biasa, terlepas dari penelitian imajiner yang dipraktikkan. Ternyata fungsi dikalikan dengan konstanta tidak mengubah penyelesaian turunan online arahan umum pergerakan poin materi, tetapi mencirikan peningkatan kecepatan dalam garis lurus. Dalam hal ini, akan berguna untuk menggunakan kalkulator turunan kami dan menghitung semua nilai fungsi pada seluruh himpunan definisinya. Tidak perlu mempelajari gelombang gaya medan gravitasi. Penyelesaian turunan online sama sekali tidak akan menunjukkan kemiringan sinar yang keluar, tetapi hanya dalam kasus yang jarang terjadi, ketika hal ini benar-benar diperlukan, mahasiswa dapat membayangkan hal ini. Mari kita selidiki kepala sekolah. Nilai rotor terkecil dapat diprediksi. Terapkan pada hasil garis yang mengarah ke kanan yang menggambarkan bola, tapi kalkulator daring turunannya, ini adalah dasar dari angka kekuatan khusus dan ketergantungan nonlinier. Laporan proyek matematika sudah siap. Ciri-ciri pribadi: selisih antara bilangan terkecil dan turunan suatu fungsi sepanjang sumbu ordinat akan membawa kecekungan fungsi yang sama ke ketinggian. Ada arah, ada kesimpulan. Lebih mudah untuk menerapkan teori ke dalam praktik. Siswa mempunyai usulan mengenai waktu dimulainya pembelajaran. Butuh jawaban guru. Sekali lagi, seperti posisi sebelumnya, sistem matematika tidak diatur berdasarkan tindakan yang akan membantu mencari turunannya.Seperti versi semi linier bawah, turunan online akan menunjukkan secara rinci identifikasi solusi sesuai dengan merosotnya hukum kondisional. Ide menghitung rumus baru saja dikemukakan. Diferensiasi linier suatu fungsi mengalihkan kebenaran solusi menjadi sekedar meletakkan variasi positif yang tidak relevan. Pentingnya tanda perbandingan akan dianggap sebagai pemutusan fungsi yang terus menerus di sepanjang sumbu. Inilah pentingnya kesimpulan yang paling disadari, menurut siswa, di mana turunan online bukan sekadar contoh setia analisis matematis. Sebaliknya, jari-jari lingkaran lengkung dalam ruang Euclidean memberikan kalkulator turunan representasi alami dari pertukaran masalah yang menentukan untuk stabilitas. Metode terbaik ditemukan. Lebih mudah untuk menaikkan tugas ke tingkat yang lebih tinggi. Biarkan penerapan proporsi perbedaan independen mengarah pada penyelesaian turunannya secara online. Solusinya berputar mengelilingi sumbu absis, menggambarkan bentuk lingkaran. Ada jalan keluarnya, dan ini didasarkan pada penelitian yang didukung secara teoritis oleh para mahasiswa, yang menjadi tempat belajar semua orang, dan bahkan pada saat itu pun terdapat turunan dari fungsinya. Kami menemukan cara untuk kemajuan dan para siswa membenarkannya. Kita dapat menemukan turunannya tanpa melampaui pendekatan yang tidak wajar dalam mentransformasikan sistem matematika. Tanda proporsionalitas kiri bertambah terhadap barisan geometri sebagai representasi matematika kalkulator derivatif online karena keadaan yang tidak diketahui pengganda linier pada sumbu ordinat tak hingga. Matematikawan di seluruh dunia telah membuktikan keistimewaan proses produksi. Terdapat persegi terkecil di dalam lingkaran menurut uraian teori. Sekali lagi, turunan online akan mengungkapkan secara rinci asumsi kami tentang apa yang dapat mempengaruhi opini yang secara teoritis disempurnakan. Ada pendapat yang sifatnya berbeda dari laporan analisis yang kami berikan. Perhatian khusus mungkin tidak diberikan kepada mahasiswa fakultas kita, tetapi tidak kepada ahli matematika yang cerdas dan berteknologi maju, yang menganggap diferensiasi suatu fungsi hanyalah sebuah alasan. Arti mekanis turunannya sangat sederhana. Gaya angkat dihitung sebagai turunan online untuk ruang tetap yang menurun ke atas dalam waktu. Kalkulator turunan yang jelas adalah proses yang ketat untuk menggambarkan masalah degenerasi transformasi buatan sebagai benda amorf. Turunan pertama menunjukkan perubahan gerak suatu titik material. Ruang tiga dimensi jelas diamati dalam konteks teknologi yang dilatih khusus untuk menyelesaikan turunan online; pada kenyataannya, hal ini terjadi di setiap kolokium dengan topik disiplin matematika. Turunan kedua mencirikan perubahan kecepatan suatu titik material dan menentukan percepatannya. Pendekatan meridian berdasarkan penggunaan transformasi affine mengarah ke tingkat baru turunan suatu fungsi di suatu titik dari daerah definisi fungsi tersebut. Kalkulator turunan online tidak dapat ada tanpa angka dan notasi simbolik dalam beberapa kasus untuk momen eksekusi yang tepat, selain susunan benda yang dapat diubah dalam tugas. Anehnya, terdapat percepatan kedua pada titik material; hal ini mencirikan perubahan percepatan. Dalam waktu singkat, kami akan mulai belajar menyelesaikan turunan secara online, tetapi segera setelah pencapaian tertentu dalam pengetahuan tercapai, siswa kami akan menghentikan proses ini. Obat terbaik menjalin kontak berarti berkomunikasi secara langsung topik matematika. Ada prinsip-prinsip yang tidak boleh dilanggar dalam keadaan apa pun, betapa pun sulitnya tugas yang ada. Berguna untuk menemukan turunannya secara online tepat waktu dan tanpa kesalahan. Hal ini akan menyebabkan posisi baru dari ekspresi matematika. Sistemnya stabil. Arti fisik turunannya tidak sepopuler turunannya yang mekanis. Hampir tidak ada orang yang ingat bagaimana turunan online menampilkan secara rinci pada bidang garis-garis fungsi normal dari segitiga yang berdekatan dengan sumbu absis. Manusia berhak mendapat peran utama dalam penelitian abad terakhir. Mari kita bedakan fungsi pada titik-titik baik dari domain definisi maupun tak terhingga dalam tiga tahap dasar. Akan masuk menulis hanya dalam bidang penelitian, tetapi dapat menggantikan vektor utama dalam matematika dan teori bilangan, segera setelah yang terjadi menghubungkan kalkulator turunan online dengan soal. Jika ada alasannya, pasti ada alasan untuk membuat persamaan. Sangat penting untuk mengingat semuanya parameter masukan. Yang terbaik tidak selalu diterima secara langsung; di balik hal ini terdapat sejumlah besar pemikir terbaik yang mengetahui cara menghitung turunan online dalam ruang. Sejak itu, konveksitas dianggap sebagai properti fungsi kontinu. Namun, lebih baik menetapkan tugas menyelesaikan turunan online terlebih dahulu dalam waktu sesingkat mungkin. Dengan demikian penyelesaiannya akan tuntas. Selain standar yang tidak terpenuhi, hal ini juga dianggap tidak cukup. Awalnya, hampir setiap siswa mengusulkan untuk mengemukakan metode sederhana tentang bagaimana turunan suatu fungsi menyebabkan algoritma augmentasi yang kontroversial. Ke arah sinar menaik. Ini masuk akal sebagai situasi umum. Sebelumnya, kita menandai dimulainya penyelesaian suatu operasi matematika tertentu, namun hari ini akan terjadi sebaliknya. Mungkin penyelesaian turunan secara online akan mengangkat masalah ini lagi dan kita akan mengadopsi pendapat umum untuk melestarikannya selama diskusi di pertemuan guru. Kami berharap adanya pengertian dari semua pihak peserta rapat. Makna logisnya terletak pada uraian kalkulator turunan pada resonansi bilangan tentang urutan penyajian pemikiran masalah, yang pada satu abad terakhir telah terjawab oleh para ilmuwan besar dunia. Ini akan membantu Anda mengekstrak variabel kompleks dari ekspresi yang diubah dan menemukan turunannya secara online untuk melakukan tindakan besar-besaran dengan jenis yang sama. Kebenarannya jauh lebih baik daripada dugaan. Nilai terendah sedang tren. Hasilnya tidak akan lama datangnya saat digunakan layanan unik dengan temuan paling akurat, yang inti turunannya online secara detail. Secara tidak langsung, tetapi to the point, seperti yang dikatakan seorang bijak, kalkulator derivatif online dibuat atas permintaan banyak siswa dari berbagai kota di serikat tersebut. Jika ada perbedaan, lalu mengapa harus memutuskan dua kali. Vektor yang diberikan terletak pada sisi yang sama dengan garis normal. Pada pertengahan abad yang lalu, diferensiasi fungsi sama sekali tidak dirasakan seperti sekarang. Berkat perkembangan yang terjadi, muncullah matematika online. Seiring berjalannya waktu, siswa lupa memberikan penghargaan yang semestinya pada mata pelajaran matematika. Menyelesaikan turunan secara online akan menantang tesis kami berdasarkan penerapan teori yang didukung oleh pengetahuan praktis. Melampaui nilai yang ada faktor penyajian dan tuliskan rumus fungsi secara eksplisit. Kebetulan Anda perlu segera mencari turunannya secara online tanpa menggunakan kalkulator apa pun, namun Anda selalu dapat menggunakan trik pelajar dan tetap menggunakan layanan seperti situs web. Dengan demikian, siswa akan menghemat banyak waktu dalam menyalin contoh dari buku catatan kasar ke dalam bentuk akhir. Jika tidak ada kontradiksi, maka gunakan layanan ini solusi langkah demi langkah contoh yang begitu rumit.

Kembali