Teori limit adalah salah satu bagiannya analisis matematis. Pertanyaan mengenai penyelesaian limit cukup luas, karena ada lusinan metode untuk menyelesaikan limit berbagai jenis. Ada lusinan nuansa dan trik yang memungkinkan Anda mengatasi batasan ini atau itu. Meski demikian, kami tetap akan mencoba memahami jenis-jenis batasan utama yang paling sering ditemui dalam praktik.
Mari kita mulai dengan konsep limit. Tapi pertama-tama, latar belakang sejarah singkat. Hiduplah pada abad ke-19 seorang Perancis, Augustin Louis Cauchy, yang meletakkan dasar-dasar analisis matematis dan memberikan definisi yang tegas, khususnya definisi limit. Harus dikatakan bahwa Cauchy yang sama ini pernah, sedang, dan akan berada dalam mimpi buruk semua siswa fisika dan matematika, karena ia membuktikan sejumlah besar teorema analisis matematika, dan setiap teorema lebih menjijikkan daripada yang lain. Dalam hal ini, kami tidak akan mempertimbangkan definisi batas yang ketat, tetapi akan mencoba melakukan dua hal:
1. Pahami apa itu batasan.
2. Belajar memecahkan jenis-jenis limit utama.
Saya mohon maaf atas beberapa penjelasan yang tidak ilmiah, yang penting materinya dapat dipahami bahkan oleh teko teh, yang sebenarnya merupakan tugas proyek.
Jadi berapa batasnya?
Dan hanya contoh mengapa nenek berbulu lebat....
Batas apa pun terdiri dari tiga bagian:
1) Ikon batas yang terkenal.
2) Entri di bawah ikon batas, di pada kasus ini. Entrinya berbunyi “X cenderung satu.” Paling sering - tepatnya, meskipun dalam praktiknya ada variabel lain selain "X". Dalam tugas-tugas praktis, tempat satu dapat berupa bilangan apa pun, serta tak terhingga ().
3) Fungsi di bawah tanda limit, dalam hal ini .
Rekaman itu sendiri 
berbunyi seperti ini: “limit suatu fungsi karena x cenderung kesatuan.”
Mari kita lihat pertanyaan penting berikutnya - apa arti ungkapan “x”? berusaha untuk satu"? Dan apa arti “berjuang”?
Konsep limit adalah sebuah konsep, bisa dikatakan, dinamis. Mari kita buat barisannya: pertama , lalu , , …, 
, ….
Artinya, ungkapan “x berusaha to one” harus dipahami sebagai berikut: “x” secara konsisten mengambil nilai-nilai yang mendekati kesatuan yang sangat dekat dan secara praktis bertepatan dengannya.
Bagaimana cara mengatasi contoh di atas? Berdasarkan penjelasan di atas, Anda hanya perlu mensubstitusikan satu ke dalam fungsi di bawah tanda limit:
Jadi, aturan pertama: Ketika diberi batasan apa pun, pertama-tama kita coba memasukkan angka tersebut ke dalam fungsi.
Kita telah mempertimbangkan batasan yang paling sederhana, namun hal ini juga terjadi dalam praktiknya, dan tidak jarang!
Contoh dengan tak terhingga:
Mari kita cari tahu apa itu? Demikian pula bila bertambah tanpa batas, yaitu: mula-mula, lalu, lalu, dan seterusnya ad infinitum.
Apa yang terjadi pada fungsinya saat ini?
, , 
, …
Jadi: jika , maka fungsinya cenderung minus tak terhingga:
Secara kasar, menurut aturan pertama kita, alih-alih “X” kita mengganti fungsi tak terhingga dan mendapatkan jawabannya.
Contoh lain dengan ketidakterbatasan:
Sekali lagi kita mulai meningkat hingga tak terhingga, dan melihat perilaku fungsinya: 
Kesimpulan: ketika fungsinya meningkat tanpa batas:
Dan rangkaian contoh lainnya:
Silakan mencoba menganalisis secara mental hal-hal berikut ini untuk diri Anda sendiri dan mengingat jenis batasan yang paling sederhana:
, , , , 
, , , , 
,
Jika Anda ragu, Anda dapat mengambil kalkulator dan berlatih sedikit.
Jika demikian , cobalah menyusun barisan , , . Jika kemudian , , .
Catatan: sebenarnya, pendekatan untuk menyusun barisan beberapa bilangan ini salah, tetapi untuk memahami contoh yang paling sederhana, pendekatan ini cukup cocok.
Perhatikan juga hal berikut ini. Sekalipun diberikan batasan dengan angka besar di atas, atau bahkan dengan sejuta: , maka semuanya sama saja 
, karena cepat atau lambat "X" akan memiliki nilai yang sangat besar sehingga satu juta dibandingkan dengan mereka akan menjadi mikroba yang nyata.
Apa yang perlu Anda ingat dan pahami dari penjelasan di atas?
1) Ketika diberi limit, pertama-tama kita coba mensubstitusikan bilangan tersebut ke dalam fungsinya.
2) Anda harus memahami dan segera menyelesaikan batasan yang paling sederhana, seperti 
, , dll.
Sekarang kita akan membahas kelompok limit ketika , dan fungsinya adalah pecahan yang pembilang dan penyebutnya mengandung polinomial
Contoh:
Hitung batas 
Menurut aturan kami, kami akan mencoba mensubstitusikan tak terhingga ke dalam fungsi tersebut. Apa yang kita dapatkan di puncak? Ketakterbatasan. Dan apa yang terjadi di bawah? Juga tak terhingga. Jadi, kita menghadapi apa yang disebut ketidakpastian spesies. Orang mungkin berpikir demikian, dan jawabannya sudah siap, tetapi dalam kasus umum hal ini tidak terjadi sama sekali, dan beberapa teknik solusi perlu diterapkan, yang sekarang akan kita pertimbangkan.
Bagaimana cara mengatasi limit jenis ini?
Pertama kita lihat pembilangnya dan cari pangkat tertinggi: 
Pangkat terdepan pada pembilangnya adalah dua.
Sekarang kita melihat penyebutnya dan juga mencari pangkat tertinggi: 
Derajat tertinggi penyebutnya adalah dua.
Selanjutnya kita pilih pangkat tertinggi dari pembilang dan penyebutnya: in dalam contoh ini mereka bertepatan dan sama dengan dua.
Jadi cara penyelesaiannya adalah sebagai berikut: untuk mengetahui ketidakpastiannya, pembilang dan penyebutnya perlu dibagi dengan pangkat tertinggi.
Ini dia jawabannya, dan bukan ketidakterbatasan sama sekali.
Apa yang secara fundamental penting dalam perancangan suatu keputusan?
Pertama, kami menunjukkan ketidakpastian, jika ada.
Kedua, disarankan untuk menghentikan solusi untuk penjelasan perantara. Saya biasanya menggunakan tanda, tidak memiliki arti matematis apa pun, tetapi berarti solusinya diinterupsi untuk penjelasan perantara.
Ketiga, dalam batasnya disarankan untuk menandai apa yang terjadi di mana. Ketika pekerjaan dibuat dengan tangan, akan lebih mudah untuk melakukannya dengan cara ini: 
Lebih baik menggunakan pensil sederhana untuk mencatat.
Tentu saja, Anda tidak perlu melakukan semua ini, tetapi mungkin guru akan menunjukkan kekurangan dalam solusi atau mulai mengajukan pertanyaan tambahan tentang tugas tersebut. Apakah Anda membutuhkannya?
Contoh 2
Temukan batasnya 
Sekali lagi pada pembilang dan penyebut kita temukan pada derajat tertinggi: 
Gelar maksimum dalam pembilang: 3
Derajat maksimum dalam penyebut: 4
Memilih terbesar nilai, dalam hal ini empat.
Menurut algoritme kami, untuk mengungkap ketidakpastian, kami membagi pembilang dan penyebutnya dengan .
Pendaftaran penuh tugas mungkin terlihat seperti ini:
Bagilah pembilang dan penyebutnya dengan
Contoh 3
Temukan batasnya 
Derajat maksimal “X” pada pembilangnya: 2
Derajat maksimal “X” pada penyebut: 1 (dapat ditulis sebagai)
Untuk mengetahui ketidakpastiannya, pembilang dan penyebutnya perlu dibagi dengan . Solusi akhirnya mungkin terlihat seperti ini:
Bagilah pembilang dan penyebutnya dengan
Notasi bukan berarti pembagian dengan nol (tidak bisa dibagi dengan nol), melainkan pembagian dengan bilangan yang sangat kecil.
Jadi, dengan mengungkap ketidakpastian spesies, kita mungkin bisa melakukannya nomor akhir, nol atau tak terhingga.
Batasan dengan ketidakpastian jenis dan cara penyelesaiannya
Kelompok limit berikutnya agak mirip dengan limit yang baru saja dibahas: pembilang dan penyebutnya mengandung polinomial, tetapi “x” tidak lagi cenderung tak terhingga, melainkan ke nomor terbatas.
Contoh 4
Selesaikan batas 
Pertama, mari kita coba substitusikan -1 ke dalam pecahan: 
Dalam hal ini, diperoleh apa yang disebut ketidakpastian.
Peraturan umum : jika pembilang dan penyebutnya mengandung polinomial, dan terdapat ketidakpastian bentuk , maka diungkapkan Anda perlu memfaktorkan pembilang dan penyebutnya.
Untuk melakukan ini, seringkali Anda perlu memutuskan persamaan kuadrat dan/atau menggunakan rumus perkalian yang disingkat. Jika hal-hal ini terlupakan, kunjungi halaman tersebut Rumus dan tabel matematika dan periksa materi metodologis Rumus panas untuk kursus matematika sekolah. Omong-omong, yang terbaik adalah mencetaknya; ini sangat sering diperlukan, dan informasi lebih baik diserap dari kertas.
Jadi, mari kita selesaikan batasan kita 
Faktorkan pembilang dan penyebutnya
Untuk memfaktorkan pembilangnya, Anda perlu menyelesaikan persamaan kuadrat: 
Pertama kita temukan diskriminannya:
Dan akar kuadratnya: .
Jika diskriminannya besar, misalnya 361, kita menggunakan kalkulator, fungsi ekstraksi akar pangkat dua tersedia di kalkulator paling sederhana.
! Jika akar tidak diekstraksi secara keseluruhan (diperoleh bilangan pecahan dengan koma), kemungkinan besar diskriminan dihitung salah atau ada kesalahan ketik dalam tugas.
Selanjutnya kita temukan akarnya: 
Dengan demikian:
Semua. Pembilangnya difaktorkan.
Penyebut. Penyebutnya sudah merupakan faktor paling sederhana, dan tidak ada cara untuk menyederhanakannya.
Tentu saja dapat disingkat menjadi:
Sekarang kita substitusikan -1 ke dalam ekspresi yang masih berada di bawah tanda limit:
Tentu saja, di pekerjaan tes, pada saat ulangan atau ujian, penyelesaiannya tidak pernah dituliskan sedetail itu. Di versi final, desainnya akan terlihat seperti ini:
Mari kita faktorkan pembilangnya. 
Contoh 5
Hitung batas 
Pertama, versi solusi “selesai”.
Mari kita faktorkan pembilang dan penyebutnya.
Pembilang:
Penyebut: 
, 
Apa yang penting dalam contoh ini?
Pertama, Anda harus memiliki pemahaman yang baik tentang cara mengungkap pembilangnya, pertama-tama kita keluarkan 2 dari tanda kurung, lalu gunakan rumus selisih kuadrat. Inilah rumus yang perlu Anda ketahui dan lihat.
Matematika adalah ilmu yang membangun dunia. Baik ilmuwan maupun orang biasa - tidak ada yang bisa hidup tanpanya. Pertama, anak usia dini diajarkan berhitung, kemudian menjumlahkan, mengurangi, mengalikan, membagi, hingga sekolah menengah atas ikut bermain sebutan surat, dan di usia yang lebih tua Anda tidak dapat hidup tanpanya.
Tapi hari ini kita akan berbicara tentang dasar semua matematika yang dikenal. Tentang komunitas angka yang disebut “batas urutan”.
Apa itu barisan dan dimana batasnya?
Arti kata “urutan” tidak sulit untuk ditafsirkan. Ini adalah pengaturan benda-benda di mana seseorang atau sesuatu berada dalam urutan tertentu atau antrian. Misalnya antrian tiket ke kebun binatang yang berurutan. Dan hanya ada satu! Jika misalnya Anda melihat antrian di toko, ini adalah satu urutan. Dan jika satu orang dari antrian ini tiba-tiba keluar, maka ini adalah antrian yang berbeda, urutan yang berbeda.
Kata "batas" juga mudah diartikan - ini adalah akhir dari sesuatu. Namun, dalam matematika, limit suatu barisan adalah nilai-nilai pada garis bilangan yang cenderung menjadi suatu barisan bilangan. Mengapa ia berjuang dan tidak berakhir? Sederhana saja, garis bilangan tidak memiliki akhir, dan sebagian besar barisan, seperti sinar, hanya memiliki permulaan dan terlihat seperti ini:
x 1, x 2, x 3,...x n...
Oleh karena itu definisi barisan adalah fungsi dari argumen natural. Lagi dengan kata-kata sederhana adalah serangkaian anggota himpunan tertentu.
Bagaimana barisan bilangan dibangun?
Contoh paling sederhana urutan nomor mungkin terlihat seperti ini: 1, 2, 3, 4, …n…
Dalam kebanyakan kasus, untuk tujuan praktis, barisan dibuat dari angka-angka, dan setiap anggota deret berikutnya, dinotasikan dengan X, memiliki namanya sendiri. Misalnya:
x 1 adalah anggota pertama barisan tersebut;
x 2 adalah suku kedua barisan tersebut;
x 3 adalah suku ketiga;
x n adalah suku ke-n.
Dalam metode praktis, urutannya diberikan rumus umum, yang di dalamnya terdapat beberapa variabel. Misalnya:
X n =3n, maka rangkaian angkanya sendiri akan terlihat seperti ini:
Perlu diingat bahwa saat menulis barisan secara umum, Anda dapat menggunakan huruf latin apa saja, bukan hanya X. Misalnya: y, z, k, dst.
Perkembangan aritmatika sebagai bagian dari barisan
Sebelum mencari limit barisan, ada baiknya kita menyelami lebih dalam konsep barisan bilangan yang ditemui semua orang ketika masih duduk di bangku sekolah menengah pertama. Perkembangan aritmatika adalah barisan bilangan yang selisih suku-suku yang berdekatan adalah tetap.
Soal: “Misalkan a 1 = 15, dan langkah perkembangan deret bilangan d = 4. Buatlah 4 suku pertama deret ini"
Penyelesaian: a 1 = 15 (dengan syarat) adalah suku pertama barisan (deret bilangan).
dan 2 = 15+4=19 adalah suku kedua barisan tersebut.
dan 3 =19+4=23 adalah suku ketiga.
dan 4 =23+4=27 adalah suku keempat.
Namun metode serupa sulit untuk mencapai nilai yang besar, misalnya hingga 125. . Khusus untuk kasus seperti itu, rumus yang mudah untuk latihan diturunkan: a n =a 1 +d(n-1). Dalam hal ini, 125 =15+4(125-1)=511.
Jenis urutan
Sebagian besar rangkaiannya tidak ada habisnya, perlu diingat seumur hidup Anda. Ada dua terlihat menarik seri angka. Yang pertama diberikan oleh rumus a n =(-1) n. Matematikawan sering menyebut barisan ini sebagai flasher. Mengapa? Mari kita periksa seri nomornya.
1, 1, -1, 1, -1, 1, dst contoh serupa menjadi jelas bahwa angka-angka yang berurutan dapat dengan mudah diulang.
Urutan faktorial. Mudah ditebak - rumus yang mendefinisikan barisan mengandung faktorial. Contoh: n = (n+1)!
Maka urutannya akan terlihat seperti ini:
a 2 = 1x2x3 = 6;
dan 3 = 1x2x3x4 = 24, dst.
Urutan diberikan perkembangan aritmatika, disebut menurun tak terhingga jika pertidaksamaan -1 diamati untuk semua sukunya dan 3 = - 1/8, dst. Bahkan ada barisan yang terdiri dari nomor yang sama. Jadi, n =6 terdiri dari angka enam yang jumlahnya tak terhingga. Batasan barisan telah lama ada dalam matematika. Tentu saja, mereka berhak mendapatkan desain yang kompeten. Jadi, saatnya mempelajari definisi limit barisan. Pertama, mari kita lihat limit fungsi linier secara detail: Mudah untuk dipahami bahwa definisi limit suatu barisan dapat dirumuskan sebagai berikut: ini adalah bilangan tertentu yang didekati oleh semua anggota barisan secara tak terhingga. Contoh sederhana: ax = 4x+1. Maka urutannya sendiri akan terlihat seperti ini. 5, 9, 13, 17, 21…x… Jadi, barisan ini akan bertambah tanpa batas, artinya limitnya sama dengan tak terhingga sebagai x→∞, dan harus ditulis seperti ini: Jika kita mengambil barisan yang serupa, tetapi x cenderung 1, kita peroleh: Dan rangkaian angkanya akan seperti ini: 1.4, 1.8, 4.6, 4.944, dst. Setiap kali Anda perlu mengganti angka yang mendekati satu (0.1, 0.2, 0.9, 0.986). Dari deret ini terlihat limit fungsinya adalah lima. Dari bagian ini perlu diingat apa itu limit suatu barisan bilangan, pengertian dan cara penyelesaian masalah sederhana. Setelah mempertimbangkan limit suatu barisan bilangan, definisi dan contohnya, Anda dapat melanjutkan ke topik yang lebih kompleks. Tentu saja semua limit barisan dapat dirumuskan dengan satu rumus, yang biasanya dianalisis pada semester pertama. Lantas, apa maksud dari rangkaian huruf, modul, dan tanda pertidaksamaan tersebut? ∀ adalah bilangan universal, menggantikan frasa “untuk semua”, “untuk segalanya”, dll. ∃ merupakan bilangan eksistensial, dalam hal ini berarti ada suatu nilai N yang termasuk dalam himpunan bilangan asli. Tongkat vertikal panjang yang mengikuti N berarti himpunan N yang diberikan adalah “sehingga”. Dalam praktiknya, ini bisa berarti “sehingga”, “sehingga”, dll. Untuk memperkuat materi, bacalah rumusnya dengan lantang. Metode mencari limit barisan yang telah dibahas di atas, meskipun mudah digunakan, namun dalam praktiknya tidak begitu rasional. Coba cari limit fungsi ini: Jika kita mengganti nilai “x” yang berbeda (bertambah setiap kali: 10, 100, 1000, dst.), maka kita mendapatkan ∞ pada pembilangnya, tetapi juga ∞ pada penyebutnya. Ini menghasilkan pecahan yang agak aneh: Tapi benarkah demikian? Menghitung limit suatu barisan bilangan dalam hal ini sepertinya cukup mudah. Dimungkinkan untuk membiarkan semuanya apa adanya, karena jawabannya sudah siap, dan diterima dalam kondisi yang wajar, tetapi ada cara lain khusus untuk kasus seperti itu. Pertama, mari kita cari pangkat tertinggi pada pembilang pecahan - yaitu 1, karena x dapat direpresentasikan sebagai x 1. Sekarang mari kita cari pangkat tertinggi pada penyebutnya. Juga 1. Mari kita bagi pembilang dan penyebutnya dengan variabel sampai pangkat tertinggi. Dalam hal ini, bagilah pecahan tersebut dengan x 1. Selanjutnya, kita akan mencari nilai yang cenderung dimiliki setiap suku yang mengandung suatu variabel. Dalam hal ini, pecahan dipertimbangkan. Karena x→∞, nilai setiap pecahan cenderung nol. Saat mengirimkan karya Anda secara tertulis, Anda harus membuat catatan kaki berikut: Ini menghasilkan ekspresi berikut: Tentu saja pecahan yang mengandung x tidak menjadi nol! Tetapi nilainya sangat kecil sehingga diperbolehkan untuk tidak memperhitungkannya dalam perhitungan. Faktanya, x tidak akan pernah sama dengan 0 dalam kasus ini, karena Anda tidak dapat membaginya dengan nol. Misalkan sang profesor mempunyai barisan kompleks, yang tentu saja diberikan oleh rumus yang sama rumitnya. Profesor sudah menemukan jawabannya, tapi benarkah? Bagaimanapun, semua orang melakukan kesalahan. Auguste Cauchy pernah menemukan cara terbaik untuk membuktikan batas barisan. Metodenya disebut manipulasi lingkungan. Misalkan ada suatu titik a, lingkungannya di kedua arah pada garis bilangan sama dengan ε (“epsilon”). Karena variabel terakhir adalah jarak, maka nilainya selalu positif. Sekarang mari kita definisikan suatu barisan x n dan asumsikan bahwa suku kesepuluh barisan tersebut (x 10) termasuk dalam lingkungan a. Bagaimana kita bisa menulis fakta ini dalam bahasa matematika? Misalkan x 10 berada di sebelah kanan titik a, maka jarak x 10 -a<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε. Sekarang saatnya menjelaskan secara praktik rumus yang dibahas di atas. Boleh dikatakan suatu bilangan tertentu a sebagai titik akhir suatu barisan jika untuk salah satu limitnya pertidaksamaan ε>0 terpenuhi, dan seluruh lingkungan mempunyai bilangan asli N sendiri, sehingga semua anggota barisan dengan bilangan yang lebih tinggi akan berada di dalam barisan |x n - a|< ε. Dengan pengetahuan seperti itu, mudah untuk menyelesaikan limit barisan, membuktikan atau menyangkal jawaban yang sudah jadi. Teorema tentang limit barisan merupakan komponen penting dari teori, yang tanpanya praktik tidak mungkin dilakukan. Hanya ada empat teorema utama, mengingat teorema mana yang dapat membuat penyelesaian atau pembuktian menjadi lebih mudah: Terkadang Anda perlu menyelesaikan soal invers, untuk membuktikan limit barisan numerik tertentu. Mari kita lihat sebuah contoh. Buktikan bahwa limit barisan yang diberikan rumus tersebut adalah nol. Menurut aturan yang dibahas di atas, untuk barisan apa pun, pertidaksamaan |x n - a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим: Mari kita nyatakan n melalui “epsilon” untuk menunjukkan keberadaan suatu bilangan tertentu dan membuktikan adanya limit barisan tersebut. Pada titik ini, penting untuk diingat bahwa “epsilon” dan “en” adalah bilangan positif dan tidak sama dengan nol. Kini transformasi lebih lanjut dapat dilanjutkan dengan menggunakan pengetahuan tentang kesenjangan yang diperoleh di sekolah menengah. Bagaimana hasilnya n > -3 + 1/ε. Karena perlu diingat bahwa kita berbicara tentang bilangan asli, hasilnya dapat dibulatkan dengan memasukkannya ke dalam tanda kurung siku. Dengan demikian, terbukti bahwa untuk setiap nilai lingkungan “epsilon” dari titik a = 0, ditemukan suatu nilai yang memenuhi pertidaksamaan awal. Dari sini kita dapat dengan aman mengatakan bahwa bilangan a adalah limit suatu barisan tertentu. Q.E.D. Metode praktis ini dapat digunakan untuk membuktikan limit suatu barisan numerik, tidak peduli betapa rumitnya barisan tersebut pada pandangan pertama. Yang penting jangan panik saat melihat tugas. Adanya batas konsistensi tidak diperlukan dalam praktiknya. Anda dapat dengan mudah menemukan rangkaian angka yang benar-benar tidak ada habisnya. Misalnya, “lampu berkedip” yang sama x n = (-1) n. Jelaslah bahwa suatu barisan yang hanya terdiri dari dua angka, yang diulang secara siklis, tidak dapat mempunyai batas. Cerita yang sama diulangi dengan barisan yang terdiri dari satu bilangan, bilangan pecahan, yang memiliki ketidakpastian urutan apa pun selama perhitungan (0/0, ∞/∞, ∞/0, dll.). Namun perlu diingat bahwa perhitungan yang salah juga terjadi. Terkadang memeriksa ulang solusi Anda sendiri akan membantu Anda menemukan batas urutannya. Beberapa contoh barisan dan metode penyelesaiannya telah dibahas di atas, dan sekarang mari kita coba mengambil kasus yang lebih spesifik dan menyebutnya sebagai “deretan monotonik”. Definisi: barisan apa pun dapat disebut meningkat secara monoton jika terjadi pertidaksamaan tegas x n< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >x n +1. Selain kedua kondisi tersebut, terdapat pula ketimpangan non-ketat yang serupa. Dengan demikian, x n ≤ x n +1 (urutan tidak menurun) dan x n ≥ x n +1 (urutan tidak bertambah). Namun lebih mudah untuk memahami hal ini dengan contoh. Barisan yang diberikan oleh rumus x n = 2+n membentuk barisan bilangan berikut: 4, 5, 6, dst. Dan jika kita ambil x n =1/n, kita mendapatkan deretnya: 1/3, ¼, 1/5, dst. Ini adalah barisan menurun secara monoton. Barisan berbatas adalah barisan yang mempunyai limit. Barisan konvergen adalah barisan bilangan yang mempunyai limit yang sangat kecil. Jadi, limit suatu barisan berbatas adalah sembarang bilangan real atau bilangan kompleks. Ingatlah bahwa hanya ada satu batasan. Limit suatu barisan konvergen adalah besaran yang sangat kecil (nyata atau kompleks). Jika digambarkan diagram barisan, maka pada titik tertentu akan tampak menyatu, cenderung berubah menjadi nilai tertentu. Oleh karena itu namanya barisan konvergen. Mungkin ada batasan atau tidak untuk urutan seperti itu. Pertama, penting untuk memahami keberadaannya; dari sini Anda bisa mulai membuktikan tidak adanya batas. Di antara barisan monotonik, dibedakan konvergen dan divergen. Konvergen adalah barisan yang dibentuk oleh himpunan x dan mempunyai limit nyata atau kompleks pada himpunan tersebut. Divergen adalah barisan yang tidak mempunyai limit pada himpunannya (baik real maupun kompleks). Selain itu, barisan tersebut konvergen jika, dalam representasi geometri, batas atas dan batas bawahnya bertemu. Dalam banyak kasus, limit suatu barisan konvergen bisa bernilai nol, karena setiap barisan yang sangat kecil mempunyai limit yang diketahui (nol). Apapun barisan konvergen yang Anda ambil, semuanya berbatas, tetapi tidak semua barisan berbatas konvergen. Jumlah, selisih, hasil kali dua barisan yang konvergen juga merupakan barisan yang konvergen. Namun, hasil bagi juga bisa konvergen jika terdefinisi! Batas barisan sama pentingnya (dalam banyak kasus) dengan angka dan angka: 1, 2, 15, 24, 362, dst. Ternyata beberapa operasi dapat dilakukan dengan batasan. Pertama, seperti angka dan angka, limit suatu barisan dapat dijumlahkan dan dikurangkan. Berdasarkan teorema ketiga tentang limit barisan, persamaan berikut berlaku: limit jumlah barisan sama dengan jumlah limitnya. Kedua, berdasarkan teorema keempat tentang limit barisan, persamaan berikut ini benar: limit hasil kali banyaknya barisan ke-n sama dengan hasil kali limitnya. Hal yang sama berlaku untuk pembagian: limit hasil bagi dua barisan sama dengan hasil bagi limitnya, asalkan limitnya tidak nol. Lagi pula, jika limit barisan sama dengan nol, maka pembagian dengan nol akan menghasilkan hasil yang tidak mungkin. Tampaknya limit barisan numerik telah dibahas secara rinci, tetapi frasa seperti bilangan “sangat kecil” dan “sangat besar” disebutkan lebih dari satu kali. Jelasnya, jika ada barisan 1/x, di mana x→∞, maka pecahan tersebut sangat kecil, dan jika barisan tersebut sama, tetapi limitnya cenderung nol (x→0), maka pecahan tersebut menjadi nilai yang sangat besar. Dan besaran tersebut memiliki ciri khas tersendiri. Sifat-sifat limit suatu barisan yang bernilai kecil atau besar adalah sebagai berikut: Faktanya, menghitung limit suatu barisan bukanlah tugas yang sulit jika Anda mengetahui algoritma sederhananya. Namun batas konsistensi merupakan topik yang membutuhkan perhatian dan ketekunan yang maksimal. Tentu saja, cukup memahami esensi solusi dari ekspresi tersebut. Memulai dari yang kecil, Anda dapat mencapai pencapaian yang luar biasa seiring berjalannya waktu. Ketidakpastian jenis dan spesies adalah ketidakpastian paling umum yang perlu diungkapkan ketika memecahkan batasan. Sebagian besar permasalahan batas yang dihadapi siswa justru mengandung ketidakpastian seperti itu. Untuk mengungkapnya, atau lebih tepatnya, untuk menghindari ketidakpastian, ada beberapa teknik buatan untuk mengubah jenis ekspresi di bawah tanda batas. Teknik-teknik tersebut adalah sebagai berikut: pembagian suku demi suku dari pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi dari variabel, perkalian dengan ekspresi konjugasi dan faktorisasi untuk pengurangan selanjutnya menggunakan penyelesaian persamaan kuadrat dan rumus perkalian yang disingkat. Ketidakpastian spesies Contoh 1. N sama dengan 2. Oleh karena itu, kita membagi pembilang dan penyebut suku demi suku dengan: Komentari di sisi kanan ekspresi. Panah dan angka menunjukkan kecenderungan pecahan setelah substitusi N artinya tak terhingga. Di sini, seperti pada contoh 2, derajatnya N Penyebutnya lebih banyak daripada pembilangnya, sehingga seluruh pecahan cenderung menjadi sangat kecil atau “sangat kecil”. Kita mendapat jawabannya: limit fungsi ini dengan variabel yang cenderung tak terhingga adalah sama dengan . Contoh 2. . Larutan. Di sini kekuatan tertinggi dari variabel X sama dengan 1. Oleh karena itu, kita membagi pembilang dan penyebut suku demi suku dengan X: Komentar tentang kemajuan keputusan. Pada pembilangnya kita mengarahkan “x” di bawah akar derajat ketiga, dan agar derajat aslinya (1) tetap tidak berubah, kita tetapkan derajat yang sama dengan akar, yaitu 3. Tidak ada panah atau angka tambahan dalam entri ini, jadi cobalah secara mental, tetapi dengan analogi dengan contoh sebelumnya, tentukan kecenderungan ekspresi pada pembilang dan penyebut setelah mengganti “x” dengan tak terhingga. Kami mendapat jawabannya: limit fungsi ini dengan variabel yang cenderung tak terhingga sama dengan nol. Ketidakpastian spesies Contoh 3. Temukan ketidakpastian dan temukan batasnya. Larutan. Pembilangnya adalah selisih kubus. Mari kita faktorkan menggunakan rumus perkalian yang disingkat dari kursus matematika sekolah: Penyebutnya berisi trinomial kuadrat, yang akan kita faktorkan dengan menyelesaikan persamaan kuadrat (sekali lagi tautan ke penyelesaian persamaan kuadrat): Mari kita tuliskan ekspresi yang diperoleh sebagai hasil transformasi dan temukan limit fungsinya: Contoh 4. Buka ketidakpastian dan temukan batasnya Larutan. Teorema batas hasil bagi tidak berlaku di sini, karena Oleh karena itu, kita mengubah pecahan secara identik: mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan konjugat binomial ke penyebutnya, dan menguranginya dengan X+1. Menurut akibat wajar dari Teorema 1, kita memperoleh suatu ekspresi, dengan menyelesaikannya kita menemukan limit yang diinginkan: Contoh 5. Buka ketidakpastian dan temukan batasnya Larutan. Substitusi nilai langsung X= 0 ke dalam fungsi tertentu menyebabkan ketidakpastian dalam bentuk 0/0. Untuk mengungkapnya, kami melakukan transformasi identik dan akhirnya mendapatkan batas yang diinginkan: Contoh 6. Menghitung Larutan: Mari kita gunakan teorema tentang limit Menjawab: 11 Contoh 7. Menghitung Larutan: dalam contoh ini limit pembilang dan penyebutnya sama dengan 0: ; Mari kita memfaktorkan pembilang dan penyebutnya untuk mengurangkan pecahan dengan faktor persekutuan yang cenderung nol, dan oleh karena itu, memungkinkan penerapan Teorema 3. Mari kita perluas trinomial persegi pada pembilangnya menggunakan rumus , di mana x 1 dan x 2 adalah akar-akar trinomial tersebut. Setelah difaktorkan dan penyebutnya, kurangi pecahan tersebut sebesar (x-2), lalu terapkan Teorema 3. Menjawab: Contoh 8. Menghitung Larutan: Jika pembilang dan penyebutnya cenderung tak terhingga, maka dengan menerapkan Teorema 3 secara langsung, kita memperoleh ekspresi , yang merepresentasikan ketidakpastian. Untuk menghilangkan ketidakpastian jenis ini, sebaiknya pembilang dan penyebutnya dibagi dengan pangkat argumen tertinggi. Dalam contoh ini, Anda perlu membaginya dengan X: Menjawab: Contoh 9. Menghitung Larutan: x 3: Menjawab: 2 Contoh 10. Menghitung Larutan: Bila pembilang dan penyebutnya cenderung tak terhingga. Mari kita bagi pembilang dan penyebutnya dengan pangkat argumen tertinggi, yaitu. x 5: Pembilang pecahan cenderung 1, penyebutnya cenderung 0, sehingga pecahan cenderung tak terhingga. Menjawab: Contoh 11. Menghitung Larutan: Bila pembilang dan penyebutnya cenderung tak terhingga. Mari kita bagi pembilang dan penyebutnya dengan pangkat argumen tertinggi, yaitu. x 7: Menjawab: 0 Turunan. Turunan dari fungsi y = f(x) terhadap argumen x disebut limit rasio kenaikan y terhadap kenaikan x argumen x, ketika kenaikan argumen cenderung nol: . Jika limit ini berhingga, maka fungsinya kamu = f(x) dikatakan terdiferensiasi di titik x. Jika limit ini ada, maka dikatakan fungsinya kamu = f(x) mempunyai turunan tak terhingga di titik x. Turunan dari fungsi dasar dasar: 1. (konstan)=0 9. 3. 11. 4. 5. 13. 6. Aturan diferensiasi: A) V) Contoh 1. Temukan turunan suatu fungsi Larutan: Jika turunan suku kedua dicari dengan menggunakan aturan diferensiasi pecahan, maka suku pertama adalah fungsi kompleks, yang turunannya dicari dengan rumus: Lalu dimana Saat menyelesaikan rumus berikut digunakan: 1,2,10,a,c,d. Menjawab: Contoh 21. Temukan turunan suatu fungsi Larutan: kedua suku tersebut merupakan fungsi kompleks, dimana untuk suku pertama , , dan untuk suku kedua , , maka Menjawab: Aplikasi turunan. 1. Kecepatan dan akselerasi Biarkan fungsi s(t) menjelaskan posisi objek dalam beberapa sistem koordinat pada waktu t. Maka turunan pertama fungsi s(t) adalah sesaat kecepatan obyek: 2. Persamaan tangen 3. Persamaan biasa dimana (x0,y0) adalah koordinat titik di mana garis normal digambarkan, f′(x0) adalah nilai turunan fungsi f(x) pada titik tersebut. 4. Menambah dan mengurangi fungsi 5. Ekstrem lokal suatu fungsi 6. Poin kritis 7. Tanda cukup pertama dari keberadaan suatu ekstrem Menentukan Batas Urutan
Sebutan umum untuk limit barisan
Ketidakpastian dan kepastian batas
Apa itu lingkungan sekitar?
Teorema
Bukti urutan
Atau mungkin dia tidak ada di sana?
Urutan monotonik
Batas suatu barisan yang konvergen dan berbatas
Batas barisan monotonik
Berbagai tindakan dengan batasan
Sifat-sifat besaran barisan
.
. Oleh karena itu, kita telah menerima teorema limit hasil bagi tidak dapat diterapkan.
= 
12. 
14. 
v=s′=f′(t)
Turunan kedua dari fungsi s(t) merepresentasikan momen sesaat percepatan obyek:
w=v′=s′′=f′′(t)
y−y0=f′(x0)(x−x0),
dimana (x0,y0) adalah koordinat titik singgung, f′(x0) adalah nilai turunan fungsi f(x) pada titik singgung tersebut.
y−y0=−1f′(x0)(x−x0),
Jika f′(x0)>0, maka fungsinya bertambah di titik x0. Pada gambar di bawah, fungsinya meningkat sebesar x
Jika f′(x0)<0, то функция убывает в точке x0 (интервал x1
Fungsi yang dimiliki f(x). maksimum lokal di titik x1, jika terdapat lingkungan di titik x1 sedemikian rupa sehingga untuk semua x dari lingkungan tersebut berlaku pertidaksamaan f(x1)≥f(x).
Demikian pula dengan fungsi yang dimiliki f(x). minimum lokal di titik x2, jika terdapat lingkungan di titik x2 sedemikian rupa sehingga untuk semua x dari lingkungan tersebut berlaku pertidaksamaan f(x2)≤f(x).
Poin x0 adalah titik kritis fungsi f(x), jika turunan f′(x0) di dalamnya sama dengan nol atau tidak ada.
Jika fungsi f(x) bertambah (f′(x)>0) untuk semua x dalam beberapa interval (a,x1] dan berkurang (f′(x)<0) для всех x в интервале и возрастает (f′(x)>0) untuk semua x dari interval )