Pangkat matriks identitas sama dengan. Temukan peringkat matriks: metode dan contoh

Suatu bilangan r disebut rank matriks A jika:
1) pada matriks A terdapat minor berorde r selain nol;
2) semua minor berorde (r+1) dan lebih tinggi, jika ada, sama dengan nol.
Jika tidak, pangkat suatu matriks adalah orde minor tertinggi selain nol.
Sebutan: rangA, r A atau r.
Dari definisi tersebut dapat disimpulkan bahwa r adalah bilangan bulat nomor positif. Untuk matriks nol, rangkingnya dianggap nol.

Tujuan layanan. Kalkulator online dirancang untuk menemukan peringkat matriks. Dalam hal ini, solusinya disimpan dalam format Word dan Excel. lihat contoh solusi.

instruksi. Pilih dimensi matriks, klik Berikutnya.

Definisi. Misalkan matriks dengan pangkat r diberikan. Setiap minor suatu matriks yang berbeda dari nol dan berorde r disebut matriks dasar, dan baris serta kolom komponen-komponennya disebut baris dan kolom dasar.
Menurut definisi ini, matriks A dapat memiliki beberapa basis minor.

Rank matriks identitas E adalah n (banyaknya baris).

Contoh 1. Diberikan dua matriks, dan anak di bawah umur mereka , . Manakah di antara mereka yang dapat dianggap sebagai dasar?
Larutan. Minor M 1 =0, sehingga tidak dapat menjadi basis matriks mana pun. Minor M 2 =-9≠0 dan berorde 2, artinya dapat dijadikan basis matriks A atau / dan B asalkan mempunyai rank sama dengan 2. Karena detB=0 (sebagai determinan dengan dua kolom proporsional), maka rangB=2 dan M 2 dapat diambil sebagai minor basis matriks B. Rank matriks A adalah 3, karena detA=-27≠ 0 dan oleh karena itu, orde basis minor matriks ini harus sama dengan 3, yaitu M 2 bukan basis matriks A. Perhatikan bahwa matriks A mempunyai basis minor tunggal yang sama dengan determinan matriks A.

Teorema (tentang basis minor). Setiap baris (kolom) suatu matriks merupakan kombinasi linier dari baris-baris (kolom) basisnya.
Akibat wajar dari teorema.

Setiap matriks (r+1) kolom (baris) dengan pangkat r bergantung linier.
Jika pangkat suatu matriks lebih kecil dari jumlah baris (kolomnya), maka baris (kolomnya) bergantung linier. Jika rangA sama dengan jumlah baris (kolomnya), maka baris (kolom) tersebut bebas linier.
Penentu matriks A sama dengan nol jika dan hanya jika baris (kolom)-nya bergantung linier.
Jika suatu baris (kolom) lain dijumlahkan pada suatu baris (kolom) suatu matriks, dikalikan dengan bilangan apa pun selain nol, maka pangkat matriks tersebut tidak akan berubah.
Jika suatu baris (kolom) dicoret pada suatu matriks yang merupakan kombinasi linier dari baris (kolom) yang lain, maka pangkat matriks tersebut tidak akan berubah.
Pangkat suatu matriks sama dengan jumlah maksimum baris (kolom) yang bebas linier.
Jumlah maksimum baris bebas linier sama dengan jumlah maksimum kolom bebas linier.

Contoh 2. Temukan pangkat suatu matriks .
Larutan. Berdasarkan definisi rank matriks, kita akan mencari minor yang berorde tertinggi, selain nol. Pertama kita ubah matriksnya menjadi lebih banyak tampilan sederhana. Caranya, kalikan baris pertama matriks dengan (-2) dan tambahkan ke baris kedua, lalu kalikan dengan (-1) dan tambahkan ke baris ketiga.

Untuk memahami konsep pangkat matriks, kita memerlukan informasi dari topik "Komplemen aljabar dan minor. Jenis minor dan komplemen aljabar". Pertama-tama, ini menyangkut istilah "matriks minor", karena kita akan menentukan pangkat matriks secara tepat melalui minornya.

Peringkat matriks adalah orde maksimum dari minor-minornya, di antaranya paling sedikit terdapat satu yang tidak sama dengan nol.

Matriks yang setara- matriks yang rangkingnya sama satu sama lain.

Mari kita jelaskan lebih detail. Misalkan di antara anak di bawah umur orde kedua setidaknya ada satu yang bukan nol. Dan semua anak di bawah umur yang ordenya lebih tinggi dari dua sama dengan nol. Kesimpulan: pangkat matriksnya adalah 2. Atau, misalnya, di antara anak di bawah umur orde kesepuluh paling sedikit ada satu yang tidak sama dengan nol. Dan semua anak di bawah umur yang ordenya lebih tinggi dari 10 sama dengan nol. Kesimpulan: rank matriks tersebut adalah 10.

Pangkat matriks $A$ dinotasikan sebagai berikut: $\rang A$ atau $r(A)$. Pangkat matriks nol $O$ diasumsikan nol, $\rang O=0$. Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa untuk membentuk matriks minor, Anda perlu mencoret baris dan kolom, tetapi tidak mungkin mencoret lebih banyak baris dan kolom daripada yang terdapat dalam matriks itu sendiri. Misalnya, jika matriks $F$ berukuran $5\times 4$ (yaitu berisi 5 baris dan 4 kolom), maka orde maksimum minornya adalah empat. Tidak mungkin lagi membentuk anak di bawah umur dari urutan kelima, karena mereka memerlukan 5 kolom (dan kami hanya memiliki 4). Artinya rank matriks $F$ tidak boleh lebih dari empat, yaitu $\rang F≤4$.

Dalam bentuk yang lebih umum, hal di atas berarti bahwa jika suatu matriks berisi $m$ baris dan $n$ kolom, maka peringkatnya tidak boleh melebihi nilai terkecil dari $m$ dan $n$, yaitu. $\rang A≤\min(m,n)$.

Pada prinsipnya, dari definisi pangkat itu sendiri mengikuti metode untuk menemukannya. Proses mencari rank suatu matriks menurut definisinya dapat direpresentasikan secara skematis sebagai berikut:

Izinkan saya menjelaskan diagram ini lebih detail. Mari kita mulai bernalar dari awal, yaitu. dari minor orde pertama dari beberapa matriks $A$.

Jika semua minor orde pertama (yaitu elemen matriks $A$) sama dengan nol, maka $\rang A=0$. Jika di antara minor orde pertama paling sedikit ada satu yang tidak sama dengan nol, maka $\rang A≥ 1$. Mari kita beralih ke memeriksa anak di bawah umur tingkat kedua.
Jika semua minor orde kedua sama dengan nol, maka $\rang A=1$. Jika di antara minor orde kedua paling sedikit ada satu yang tidak sama dengan nol, maka $\rang A≥ 2$. Mari kita beralih ke memeriksa anak di bawah umur tingkat ketiga.
Jika semua minor orde ketiga sama dengan nol, maka $\rang A=2$. Jika di antara minor orde ketiga paling sedikit ada satu yang tidak sama dengan nol, maka $\rang A≥ 3$. Mari kita beralih ke memeriksa anak di bawah umur tingkat keempat.
Jika semua minor orde keempat sama dengan nol, maka $\rang A=3$. Jika di antara minor orde keempat paling sedikit ada satu yang tidak sama dengan nol, maka $\rang A≥ 4$. Kami melanjutkan untuk memeriksa anak di bawah umur tingkat kelima dan seterusnya.

Apa yang menanti kita di akhir prosedur ini? Ada kemungkinan bahwa di antara minor orde ke-k akan ada paling sedikit satu yang bukan nol, dan semua minor orde (k+1) akan sama dengan nol. Artinya k adalah orde maksimum dari minor yang paling sedikit ada satu yang tidak sama dengan nol, yaitu. peringkatnya akan sama dengan k. Mungkin ada situasi yang berbeda: di antara minor orde ke-k akan ada setidaknya satu yang tidak sama dengan nol, tetapi tidak mungkin lagi membentuk minor orde (k+1). Dalam hal ini pangkat matriksnya juga sama dengan k. Pendeknya, orde minor bukan nol yang tersusun terakhir akan sama dengan pangkat matriks.

Mari kita beralih ke contoh di mana proses mencari rank suatu matriks, menurut definisi, akan diilustrasikan dengan jelas. Izinkan saya menekankan sekali lagi bahwa dalam contoh topik ini kita akan mulai mencari pangkat matriks hanya dengan menggunakan definisi pangkat. Cara lainnya (menghitung rank suatu matriks dengan menggunakan metode border minor, menghitung rank suatu matriks dengan menggunakan metode transformasi elementer) dibahas pada topik berikut.

Ngomong-ngomong, sama sekali tidak perlu memulai prosedur mencari pangkat dengan anak di bawah umur dari urutan terkecil, seperti yang dilakukan pada contoh No. 1 dan No. 2. Anda dapat segera beralih ke anak di bawah umur dari tingkat yang lebih tinggi (lihat contoh No. 3).

Contoh No.1

Carilah pangkat matriks $A=\left(\begin(array)(ccccc) 5 & 0 & -3 & 0 & 2 \\ 7 & 0 & -4 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & -1 & 0 & 1 \end(array) \kanan)$.

Matriks ini memiliki ukuran $3\times 5$, yaitu. berisi tiga baris dan lima kolom. Dari bilangan 3 dan 5 paling sedikit adalah 3, maka pangkat matriks $A$ tidak lebih dari 3, yaitu $\rang A≤ 3$. Dan pertidaksamaan ini jelas, karena kita tidak dapat lagi membentuk minor orde keempat - mereka memerlukan 4 baris, dan kita hanya memiliki 3 baris. Mari kita langsung ke proses mencari rank suatu matriks tertentu.

Di antara minor orde pertama (yaitu di antara elemen matriks $A$) ada yang bukan nol. Misalnya 5, -3, 2, 7. Secara umum, kita tidak tertarik pada jumlah total elemen bukan nol. Setidaknya ada satu elemen bukan nol - dan itu sudah cukup. Karena di antara anak di bawah umur orde pertama setidaknya ada satu bukan nol, kami menyimpulkan bahwa $\rang A≥ 1$ dan melanjutkan untuk memeriksa anak di bawah umur orde kedua.

Mari kita mulai menjelajahi anak di bawah umur tingkat kedua. Misalnya, pada perpotongan baris No. 1, No. 2 dan kolom No. 1, No. 4 terdapat elemen minor berikut: $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \kanan| $. Untuk determinan ini, semua elemen kolom kedua sama dengan nol, oleh karena itu determinan itu sendiri sama dengan nol, yaitu. $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \right|=0$ (lihat properti No. 3 pada topik properti determinan). Atau Anda cukup menghitung determinan ini menggunakan rumus No. 1 dari bagian menghitung determinan orde kedua dan ketiga:

$$ \kiri|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \kanan|=5\cdot 0-0\cdot 7=0. $$

Minor orde kedua pertama yang kami uji ternyata sama dengan nol. Apa artinya ini? Tentang perlunya pemeriksaan lebih lanjut terhadap anak di bawah umur orde dua. Entah semuanya akan menjadi nol (dan peringkatnya akan sama dengan 1), atau di antara mereka akan ada setidaknya satu minor yang berbeda dari nol. Mari kita coba membuat pilihan yang lebih baik dengan menulis minor orde kedua, yang elemen-elemennya terletak di perpotongan baris No. 1, No. 2 dan kolom No. 1 dan No. 5: $\left|\begin( array)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(array) \kanan|$. Mari kita cari nilai minor orde kedua ini:

$$ \kiri|\begin(array)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(array) \kanan|=5\cdot 3-2\cdot 7=1. $$

Minor ini tidak sama dengan nol. Kesimpulan: di antara anak di bawah umur orde kedua setidaknya ada satu yang bukan nol. Oleh karena itu $\rang A≥ 2$. Kita perlu melanjutkan mempelajari anak di bawah umur tingkat ketiga.

Jika kita memilih kolom No. 2 atau kolom No. 4 untuk membentuk minor orde ketiga, maka minor tersebut akan sama dengan nol (karena akan berisi kolom nol). Yang tersisa hanyalah memeriksa satu minor orde ketiga, yang unsur-unsurnya terletak di perpotongan kolom No. 1, No. 3, No. 5 dan baris No. 1, No. 2, No. 3. Mari kita tuliskan minor ini dan temukan nilainya:

$$ \kiri|\begin(array)(ccc) 5 & -3 & 2 \\ 7 & -4 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \end(array) \kanan|=-20-18-14 +16+21+15=0. $$

Jadi, semua minor orde ketiga sama dengan nol. Minor bukan nol terakhir yang kami kompilasi adalah urutan kedua. Kesimpulan: urutan maksimum anak di bawah umur, yang paling sedikit ada satu yang bukan nol, adalah 2. Oleh karena itu, $\rang A=2$.

Menjawab: $\rang A=2$.

Contoh No.2

Carilah pangkat matriks $A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0 \\ 9 & 7 & 8 & -7 \end(array) \kanan)$.

Kita mempunyai matriks persegi orde keempat. Mari kita segera perhatikan bahwa pangkat matriks ini tidak melebihi 4, yaitu. $\rang A≤ 4$. Mari kita mulai mencari rank matriksnya.

Di antara minor orde pertama (yaitu, di antara elemen matriks $A$) setidaknya ada satu yang tidak sama dengan nol, oleh karena itu $\rang A≥ 1$. Mari kita beralih ke memeriksa anak di bawah umur tingkat kedua. Misalnya, pada perpotongan baris No. 2, No. 3 dan kolom No. 1 dan No. 2, kita memperoleh minor orde kedua berikut: $\left| \begin(array) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(array) \kanan|$. Mari kita hitung:

$$\kiri| \begin(array) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(array) \kanan|=0-10=-10. $$

Di antara minor orde kedua paling sedikit ada satu yang tidak sama dengan nol, jadi $\rang A≥ 2$.

Mari beralih ke anak di bawah umur tingkat ketiga. Mari kita cari, misalnya, minor yang elemen-elemennya terletak di persimpangan baris No. 1, No. 3, No. 4 dan kolom No. 1, No. 2, No. 4:

$$\kiri | \begin(array) (cccc) -1 & 3 & -3\\ -5 & 0 & 0\\ 9 & 7 & -7 \end(array) \kanan|=105-105=0. $$

Karena minor orde ketiga ini ternyata sama dengan nol, maka perlu diselidiki minor orde ketiga lainnya. Entah semuanya akan sama dengan nol (maka pangkatnya akan sama dengan 2), atau di antara mereka akan ada setidaknya satu yang tidak sama dengan nol (kemudian kita akan mulai mempelajari anak di bawah umur orde keempat). Mari kita perhatikan minor orde ketiga, yang unsur-unsurnya terletak pada perpotongan baris No. 2, No. 3, No. 4 dan kolom No. 2, No. 3, No. 4:

$$\kiri| \begin(array) (ccc) -2 & 5 & 1\\ 0 & -4 & 0\\ 7 & 8 & -7 \end(array) \kan|=-28. $$

Di antara anak di bawah umur urutan ketiga setidaknya ada satu bukan nol, jadi $\rang A≥ 3$. Mari kita beralih ke memeriksa anak di bawah umur tingkat keempat.

Minor orde keempat terletak pada perpotongan empat baris dan empat kolom matriks $A$. Dengan kata lain, minor orde keempat adalah determinan matriks $A$, karena matriks ini memuat 4 baris dan 4 kolom. Penentu matriks ini dihitung pada contoh nomor 2 topik "Mengurangi orde determinan. Menguraikan determinan dalam satu baris (kolom)", jadi mari kita ambil hasil akhirnya:

$$\kiri| \begin(array) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0\\ 9 & 7 & 8 & -7 \end (array)\kanan|=86. $$

Jadi minor orde keempat tidak sama dengan nol. Kita tidak bisa lagi membentuk anak di bawah umur dari urutan kelima. Kesimpulan: urutan minor tertinggi yang paling sedikit ada satu bukan nol adalah 4. Hasil: $\rang A=4$.

Menjawab: $\rang A=4$.

Contoh No.3

Carilah pangkat matriks $A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 0 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ 7 & -4 & 0 & -5 \end( susunan) \kanan)$.

Mari kita segera perhatikan bahwa matriks ini berisi 3 baris dan 4 kolom, jadi $\rang A≤ 3$. Pada contoh sebelumnya, kita memulai proses mencari pangkat dengan mempertimbangkan anak di bawah umur dari orde terkecil (pertama). Disini kami akan mencoba untuk segera memeriksa anak di bawah umur dengan urutan setinggi mungkin. Untuk matriks $A$ ini adalah minor orde ketiga. Mari kita perhatikan minor orde ketiga, yang unsur-unsurnya terletak pada perpotongan baris No.1, No.2, No.3 dan kolom No.2, No.3, No.4:

$$\kiri| \begin(array) (ccc) 0 & 2 & -3\\ -2 & 5 & 1\\ -4 & 0 & -5 \end(array) \kan|=-8-60-20=-88. $$

Jadi, orde tertinggi dari minor yang paling sedikit ada satu yang tidak sama dengan nol adalah 3. Jadi, rank matriks tersebut adalah 3, yaitu. $\rang A=3$.

Menjawab: $\rang A=3$.

Secara umum, mencari peringkat suatu matriks berdasarkan definisi, secara umum, merupakan tugas yang memakan banyak tenaga. Misalnya, matriks yang relatif kecil berukuran $5\kali 4$ memiliki 60 minor orde kedua. Dan bahkan jika 59 di antaranya sama dengan nol, maka minor ke-60 mungkin bukan nol. Kemudian Anda harus mempelajari minor orde ketiga, yang matriksnya berjumlah 40 buah. Biasanya mereka mencoba menggunakan metode yang tidak terlalu rumit, seperti metode membatasi anak di bawah umur atau metode transformasi yang setara.

Definisi. Peringkat matriks adalah jumlah maksimum baris bebas linier yang dianggap sebagai vektor.

Teorema 1 tentang pangkat matriks. Peringkat matriks disebut orde maksimum minor bukan nol suatu matriks.

Konsep minor sudah kita bahas pada pelajaran determinan, dan sekarang kita akan menggeneralisasikannya. Mari kita ambil sejumlah baris dan sejumlah kolom tertentu dalam matriks, dan “berapa banyak” ini harus lebih kecil dari jumlah baris dan kolom matriks, dan untuk baris dan kolom “berapa banyak” ini seharusnya menjadi nomor yang sama. Kemudian pada perpotongan berapa baris dan berapa kolom akan terdapat matriks yang ordenya lebih rendah dari matriks asli kita. Penentunya adalah matriks dan akan menjadi minor orde ke-k jika “beberapa” (banyaknya baris dan kolom) tersebut dilambangkan dengan k.

Definisi. Minor ( R+1)urutan ke-1, di mana anak di bawah umur yang dipilih berada R Urutan -th disebut berbatasan dengan anak di bawah umur tertentu.

Dua metode yang paling umum digunakan adalah mencari rank matriks. Ini cara membatasi anak di bawah umur Dan metode transformasi dasar(Metode Gauss).

Saat menggunakan metode bordering minor, teorema berikut digunakan.

Teorema 2 tentang pangkat matriks. Jika minor dapat disusun dari unsur-unsur matriks R orde ke-th, tidak sama dengan nol, maka rank matriksnya sama dengan R.

Saat menggunakan metode transformasi dasar, properti berikut digunakan:

Jika melalui transformasi elementer diperoleh matriks trapesium yang ekuivalen dengan matriks aslinya, maka peringkat matriks ini adalah banyaknya garis di dalamnya selain garis yang seluruhnya terdiri dari angka nol.

Mencari rank suatu matriks menggunakan metode border minor

Anak di bawah umur yang berbatasan disebut anak di bawah umur tatanan yang lebih tinggi sehubungan dengan yang diberikan, jika minororm dari tingkat yang lebih tinggi ini berisi minor yang diberikan.

Misalnya, diberi matriks

Mari kita ambil yang di bawah umur

Anak di bawah umur yang berbatasan adalah:

Algoritma untuk mencari rank suatu matriks Berikutnya.

1. Temukan anak di bawah umur orde kedua yang tidak sama dengan nol. Jika semua minor orde kedua sama dengan nol, maka rank matriksnya adalah sama dengan satu (R =1 ).

2. Jika paling sedikit ada satu minor orde kedua yang tidak sama dengan nol, maka kita buat minor pembatas orde ketiga. Jika semua anak di bawah umur yang berbatasan dengan orde ketiga sama dengan nol, maka pangkat matriks tersebut sama dengan dua ( R =2 ).

3. Jika paling sedikit salah satu anak di bawah umur yang berbatasan dengan orde ketiga tidak sama dengan nol, maka kita buatlah anak di bawah umur yang berbatasan tersebut. Jika semua minor yang berbatasan dengan orde keempat sama dengan nol, maka pangkat matriks tersebut sama dengan tiga ( R =2 ).

4. Lanjutkan cara ini selama ukuran matriks memungkinkan.

Contoh 1. Temukan pangkat suatu matriks

Larutan. Kecil dari urutan kedua .

Mari kita batasi itu. Akan ada empat anak di bawah umur yang berbatasan:

Jadi, semua anak di bawah umur yang berbatasan dengan orde ketiga sama dengan nol, oleh karena itu, pangkat matriks ini sama dengan dua ( R =2 ).

Contoh 2. Temukan pangkat suatu matriks

Larutan. Pangkat matriks ini sama dengan 1, karena semua minor orde kedua dari matriks ini sama dengan nol (dalam hal ini, seperti dalam kasus minor yang berbatasan pada dua contoh berikut, siswa yang terhormat diundang untuk memverifikasi untuk sendiri, mungkin menggunakan aturan untuk menghitung determinan), dan di antara minor orde pertama , yaitu, di antara elemen-elemen matriks, ada yang bukan nol.

Contoh 3. Temukan pangkat suatu matriks

Larutan. Minor orde kedua matriks ini adalah, dan semua minor orde ketiga matriks ini sama dengan nol. Oleh karena itu, pangkat matriks ini adalah dua.

Contoh 4. Temukan pangkat suatu matriks

Larutan. Pangkat matriks ini adalah 3, karena satu-satunya minor orde ketiga dari matriks ini adalah 3.

Mencari rank suatu matriks menggunakan metode transformasi elementer (metode Gauss)

Sudah pada contoh 1 sudah jelas bahwa tugas menentukan rank suatu matriks dengan metode border minor memerlukan perhitungan jumlah besar determinan. Namun, ada cara untuk mengurangi jumlah komputasi seminimal mungkin. Metode ini didasarkan pada penggunaan transformasi matriks dasar dan disebut juga metode Gauss.

Operasi berikut dipahami sebagai transformasi matriks dasar:

1) mengalikan setiap baris atau kolom suatu matriks dengan bilangan selain nol;

2) menambahkan elemen-elemen pada setiap baris atau kolom matriks dengan elemen-elemen yang bersesuaian dari baris atau kolom lain, dikalikan dengan angka yang sama;

3) menukar dua baris atau kolom matriks;

4) menghapus baris “null”, yaitu baris yang semua elemennya sama dengan nol;

5) menghapus semua garis proporsional kecuali satu.

Dalil. Selama transformasi dasar, pangkat matriks tidak berubah. Dengan kata lain, jika kita menggunakan transformasi elementer dari matriks A pergi ke matriks B, Itu .

Kami juga akan mempertimbangkan penerapan praktis yang penting dari topik ini: penelitian sistem persamaan linear untuk kebersamaan.

Berapakah rank suatu matriks?

Prasasti lucu dari artikel tersebut berisi bagian yang besar kebenaran. Kita biasanya mengasosiasikan kata “pangkat” dengan semacam hierarki, paling sering dengan jenjang karier. Semakin banyak pengetahuan, pengalaman, kemampuan, koneksi, dll yang dimiliki seseorang. – semakin tinggi posisinya dan jangkauan peluangnya. Dalam istilah pemuda, pangkat mengacu pada tingkat “kecuraman” secara umum.

Dan saudara-saudara matematika kita hidup dengan prinsip yang sama. Mari kita jalan-jalan beberapa yang acak matriks nol:

Mari kita pikirkan, jika dalam matriks semua nol, lalu kita bisa membicarakan peringkat apa? Semua orang akrab dengan ungkapan informal “total nol”. Dalam masyarakat matriks, semuanya persis sama:

Pangkat matriks nolukuran apa pun sama dengan nol.

Catatan : Matriks nol dilambangkan dengan huruf Yunani "theta"

Agar lebih memahami rank matriks, selanjutnya saya akan menggunakan bahan-bahan untuk membantu geometri analitik. Pertimbangkan nol vektor ruang tiga dimensi kita, yang tidak menentukan arah tertentu dan tidak berguna untuk bangunan dasar affine. Dari sudut pandang aljabar, koordinatnya vektor yang diberikan tercatat di matriks“satu per tiga” dan logis (dalam arti geometris yang ditunjukkan) asumsikan rank matriks ini adalah nol.

Sekarang mari kita lihat beberapa bukan nol vektor kolom Dan vektor baris:

Setiap instance memiliki setidaknya satu elemen bukan nol, dan itu adalah sesuatu!

Pangkat setiap vektor baris bukan nol (vektor kolom) sama dengan satu

Dan secara umum - jika dalam matriks ukuran sewenang-wenang paling sedikit ada satu elemen bukan nol, lalu peringkatnya tidak kurang unit.

Vektor baris aljabar dan vektor kolom sampai batas tertentu bersifat abstrak, jadi mari kita kembali ke asosiasi geometri. Bukan nol vektor menetapkan arah yang sangat pasti dalam ruang dan cocok untuk konstruksi dasar, oleh karena itu pangkat matriks dianggap sama dengan satu.

Informasi teoretis : dalam aljabar linier, vektor adalah elemen ruang vektor (didefinisikan melalui 8 aksioma), yang, khususnya, dapat mewakili baris (atau kolom) bilangan real yang terurut dengan operasi penjumlahan dan perkalian dengan bilangan real yang ditentukan untuk mereka. Dengan lebih banyak Informasi rinci tentang vektor dapat dilihat pada artikel Transformasi linier.

bergantung secara linear(dinyatakan melalui satu sama lain). Dari sudut pandang geometris, garis kedua berisi koordinat vektor collinear , yang sama sekali tidak memajukan masalah dalam pembangunan dasar tiga dimensi, dalam hal ini berlebihan. Jadi, rank matriks ini juga sama dengan satu.

Mari kita tulis ulang koordinat vektor ke dalam kolom ( mengubah urutan matriks):

Apa saja yang berubah dari segi peringkat? Tidak ada apa-apa. Kolomnya proporsional, artinya pangkatnya sama dengan satu. Ngomong-ngomong, perhatikan bahwa ketiga garis tersebut juga proporsional. Mereka dapat diidentifikasi dengan koordinatnya tiga vektor-vektor collinear pada bidang tersebut, yang mana hanya satu berguna untuk membangun dasar "datar". Dan ini sepenuhnya konsisten dengan kami pengertian geometris pangkat.

Pernyataan penting berikut dari contoh di atas:

Pangkat matriks pada baris sama dengan pangkat matriks pada kolom. Saya sudah menyebutkan ini sedikit dalam pelajaran tentang efektif metode untuk menghitung determinan.

Catatan : ketergantungan linier baris menyiratkan ketergantungan linier kolom (dan sebaliknya). Namun untuk menghemat waktu, dan karena kebiasaan, saya hampir selalu berbicara tentang ketergantungan linier dari string.

Ayo terus latih hewan kesayangan kita. Mari tambahkan koordinat vektor kolinear lainnya ke matriks pada baris ketiga :

Apakah dia membantu kita membangun basis tiga dimensi? Tentu saja tidak. Ketiga vektor berjalan bolak-balik sepanjang jalur yang sama, dan pangkat matriksnya sama dengan satu. Anda dapat mengambil vektor kolinear sebanyak yang Anda suka, katakanlah, 100, masukkan koordinatnya ke dalam matriks “seratus kali tiga”, dan peringkat gedung pencakar langit tersebut akan tetap satu.

Mari berkenalan dengan matriks yang baris-barisnya independen linier. Sepasang vektor non-kolinear cocok untuk membangun basis tiga dimensi. Pangkat matriks ini adalah dua.

Berapakah rank matriks tersebut? Garisnya sepertinya tidak proporsional... jadi, secara teori, ada tiga. Namun pangkat matriks ini juga dua. Saya menambahkan dua baris pertama dan menulis hasilnya di bagian bawah, yaitu. dinyatakan secara linear baris ketiga melalui dua baris pertama. Secara geometris, baris-baris matriks bersesuaian dengan koordinat tiga vektor koplanar, dan di antara ketiganya ada sepasang kawan non-collinear.

Seperti yang Anda lihat, ketergantungan linier dalam matriks yang dipertimbangkan tidak jelas, dan hari ini kita akan belajar bagaimana mengungkapkannya.

Saya rasa banyak orang dapat menebak apa pangkat suatu matriks!

Perhatikan matriks yang baris-barisnya independen linier. Bentuk vektor dasar affine, dan pangkat matriks ini adalah tiga.

Seperti yang Anda ketahui, setiap vektor keempat, kelima, kesepuluh dari ruang tiga dimensi akan dinyatakan secara linier dalam vektor basis. Oleh karena itu, jika Anda menambahkan sejumlah baris ke suatu matriks, maka pangkatnya akan tetap sama dengan tiga.

Alasan serupa dapat dilakukan untuk matriks dengan ukuran lebih besar (tentu saja, tanpa makna geometri apa pun).

Definisi : pangkat suatu matriks adalah jumlah maksimum baris bebas linier. Atau: Pangkat suatu matriks adalah jumlah maksimum kolom bebas linier. Ya, nomor mereka selalu sama.

Pedoman praktis yang penting juga mengikuti hal di atas: pangkat matriks tidak melebihi dimensi minimumnya. Misalnya pada matriks empat baris dan lima kolom. Dimensi minimalnya adalah empat, sehingga rank matriks ini dipastikan tidak akan melebihi 4.

Sebutan: dalam teori dan praktik dunia tidak ada standar yang diterima secara umum untuk menentukan peringkat suatu matriks; paling sering Anda dapat menemukan: - seperti yang mereka katakan, orang Inggris menulis satu hal, orang Jerman menulis hal lain. Oleh karena itu, berdasarkan lelucon terkenal tentang neraka Amerika dan Rusia, mari kita nyatakan peringkat matriks dengan kata asli. Misalnya: . Dan jika matriksnya “tidak disebutkan namanya”, yang jumlahnya banyak, maka Anda cukup menulis .

Bagaimana cara mencari rank suatu matriks menggunakan minor?

Jika nenek saya memiliki kolom kelima dalam matriksnya, maka dia harus menghitung minor lain dari orde ke-4 (“biru”, “raspberry” + kolom ke-5).

Kesimpulan: maksimal orde anak di bawah umur bukan nol adalah tiga yang artinya .

Mungkin tidak semua orang telah sepenuhnya memahami frasa ini: anak di bawah umur dari urutan ke-4 sama dengan nol, tetapi di antara anak di bawah umur dari urutan ke-3 ada yang bukan nol - oleh karena itu urutan maksimum bukan nol kecil dan sama dengan tiga.

Timbul pertanyaan, mengapa tidak segera menghitung determinannya? Pertama, di sebagian besar tugas, matriksnya tidak persegi, dan kedua, meskipun Anda mendapatkan nilai bukan nol, tugas tersebut kemungkinan besar akan ditolak, karena biasanya melibatkan solusi standar "bottom-up". Dan dalam contoh yang dipertimbangkan, determinan nol orde ke-4 memungkinkan kita untuk menyatakan bahwa pangkat matriks hanya kurang dari empat.

Harus saya akui, saya mengemukakan masalah yang saya analisis sendiri untuk menjelaskan dengan lebih baik metode membatasi anak di bawah umur. Dalam praktik nyata, semuanya lebih sederhana:

Contoh 2

Mencari rank suatu matriks menggunakan metode edge minor

Solusi dan jawabannya ada di akhir pelajaran.

Kapan algoritma bekerja paling cepat? Mari kita kembali ke matriks empat kali empat yang sama. . Tentu saja, solusinya akan menjadi yang terpendek dalam kasus “baik” sudut anak di bawah umur:

Dan jika , maka , sebaliknya – .

Pemikirannya sama sekali tidak hipotetis - ada banyak contoh di mana seluruh materi terbatas hanya pada sudut minor.

Namun, dalam beberapa kasus, metode lain lebih efektif dan lebih disukai:

Bagaimana cara mencari rank suatu matriks menggunakan metode Gaussian?

Paragraf tersebut ditujukan bagi pembaca yang sudah familiar dengannya metode Gaussian dan kurang lebih berhasil menangkapnya.

Dari sudut pandang teknis, metode ini bukanlah hal baru:

1) menggunakan transformasi dasar, kita mereduksi matriks menjadi bentuk bertahap;

2) pangkat matriks sama dengan jumlah barisnya.

Hal ini sangat jelas penggunaan metode Gaussian tidak mengubah rank matriks, dan intinya di sini sangat sederhana: menurut algoritme, selama transformasi dasar, semua baris proporsional (bergantung linier) yang tidak perlu diidentifikasi dan dihilangkan, menghasilkan "residu kering" - jumlah maksimum baris bebas linier.

Mari kita transformasikan matriks lama yang sudah dikenal dengan koordinat tiga vektor kolinear:

(1) Baris pertama ditambahkan ke baris kedua, dikalikan –2. Baris pertama ditambahkan ke baris ketiga.

(2) Garis nol dihilangkan.

Jadi, masih ada satu baris tersisa. Tentu saja, ini jauh lebih cepat daripada menghitung sembilan nol minor orde ke-2 dan baru kemudian menarik kesimpulan.

Saya mengingatkan Anda hal itu sendiri matriks aljabar tidak ada yang bisa diubah, dan transformasi dilakukan hanya untuk tujuan menentukan peringkat! Ngomong-ngomong, mari kita bahas sekali lagi pertanyaannya, mengapa tidak? Matriks sumber membawa informasi yang secara fundamental berbeda dari informasi matriks dan baris. Dalam beberapa model matematika(tidak berlebihan) selisih satu angka bisa menjadi persoalan hidup dan mati. ... Teringat guru sekolah matematikawan kelas dasar dan menengah yang tanpa ampun memotong nilai sebesar 1-2 poin karena ketidakakuratan atau penyimpangan sekecil apa pun dari algoritma. Dan itu sangat mengecewakan ketika, alih-alih “A” yang tampaknya dijamin, ternyata “baik” atau bahkan lebih buruk. Pemahaman muncul kemudian - bagaimana lagi mempercayakan satelit, hulu ledak nuklir, dan pembangkit listrik kepada seseorang? Tapi jangan khawatir, saya tidak bekerja di bidang ini =)

Mari kita beralih ke tugas yang lebih bermakna, di mana, antara lain, kita akan mengenal teknik komputasi yang penting metode Gauss:

Contoh 3

Temukan peringkat matriks menggunakan transformasi dasar

Larutan: diberikan matriks “empat kali lima”, yang berarti pangkatnya tentu tidak lebih dari 4.

Pada kolom pertama tidak ada 1 atau –1, oleh karena itu diperlukan tindakan tambahan untuk mendapatkan minimal satu unit. Sepanjang keberadaan situs ini, saya telah berulang kali ditanyai pertanyaan: “Apakah mungkin untuk mengatur ulang kolom selama transformasi dasar?” Di sini, kami mengatur ulang kolom pertama dan kedua, dan semuanya baik-baik saja! Di sebagian besar tugas yang menggunakannya metode Gaussian, kolomnya memang bisa diatur ulang. TAPI TIDAK DIPERLUKAN. Dan intinya bukanlah kemungkinan kebingungan dengan variabel, intinya adalah dalam mata pelajaran klasik matematika yang lebih tinggi aksi ini tidak dianggap secara tradisional, jadi penghormatan seperti itu akan dianggap SANGAT tidak benar (atau bahkan dipaksa untuk mengulang semuanya).

Poin kedua menyangkut angka. Saat Anda membuat keputusan, ada gunanya menggunakan aturan praktis berikut: transformasi dasar harus, jika memungkinkan, mengurangi bilangan matriks. Lagi pula, bekerja dengan satu, dua, tiga jauh lebih mudah daripada, misalnya, dengan 23, 45, dan 97. Dan tindakan pertama ditujukan tidak hanya untuk mendapatkan satu di kolom pertama, tetapi juga untuk menghilangkan angka-angka tersebut. 7 dan 11.

Pertama solusi lengkapnya, lalu komentar:

(1) Baris pertama ditambahkan ke baris kedua, dikalikan –2. Baris pertama ditambahkan ke baris ketiga, dikalikan –3. Dan ke heap: baris ke-1 ditambahkan ke baris ke-4, dikalikan –1.

(2) Tiga garis terakhir proporsional. Baris ke-3 dan ke-4 dihilangkan, baris kedua dipindahkan ke tempat pertama.

(3) Baris pertama ditambahkan ke baris kedua, dikalikan –3.

Matriks yang direduksi menjadi bentuk eselon mempunyai dua baris.

Menjawab:

Sekarang giliran Anda untuk menyiksa matriks empat kali empat:

Contoh 4

Mencari rank suatu matriks menggunakan metode Gaussian

Saya mengingatkan Anda akan hal itu metode Gaussian tidak menyiratkan kekakuan yang jelas, dan keputusan Anda kemungkinan besar akan berbeda dengan keputusan saya. Contoh singkat tugas di akhir pelajaran.

Metode mana yang harus saya gunakan untuk mencari pangkat suatu matriks?

Dalam praktiknya, seringkali tidak disebutkan sama sekali metode mana yang harus digunakan untuk mencari peringkat tersebut. Dalam situasi seperti itu, kondisinya harus dianalisis - untuk beberapa matriks lebih rasional diselesaikan melalui minor, sementara untuk matriks lain jauh lebih menguntungkan untuk menerapkan transformasi elementer:

Contoh 5

Temukan pangkat suatu matriks

Larutan: cara pertama entah kenapa langsung hilang =)

Sedikit lebih tinggi, saya menyarankan untuk tidak menyentuh kolom-kolom matriks, tetapi bila ada kolom nol, atau kolom proporsional/bertepatan, maka masih layak diamputasi:

(1) Kolom kelima nol, keluarkan dari matriks. Jadi, pangkat matriksnya tidak lebih dari empat. Baris pertama dikalikan –1. Ini adalah fitur khas lain dari metode Gauss, yang mengubah tindakan berikut menjadi perjalanan yang menyenangkan:

(2) Untuk semua baris, mulai dari baris kedua, baris pertama ditambahkan.

(3) Baris pertama dikalikan –1, baris ketiga dibagi 2, baris keempat dibagi 3. Baris kedua ditambahkan pada baris kelima, dikalikan –1.

(4) Baris ketiga ditambahkan ke baris kelima, dikalikan –2.

(5) Dua baris terakhir proporsional, baris kelima dihapus.

Hasilnya adalah 4 baris.

Menjawab:

Bangunan standar lima lantai untuk belajar mandiri:

Contoh 6

Temukan pangkat suatu matriks

Solusi singkat dan jawaban di akhir pelajaran.

Perlu dicatat bahwa frasa "peringkat matriks" tidak begitu sering terlihat dalam praktik, dan dalam sebagian besar soal, Anda dapat melakukannya tanpa frasa tersebut sama sekali. Namun ada satu tugas dimana konsep yang dimaksud adalah yang utama aktor, dan sebagai penutup artikel kita akan melihat aplikasi praktis ini:

Bagaimana cara mempelajari sistem persamaan linear untuk konsistensi?

Seringkali, selain solusinya sistem persamaan linear sesuai dengan kondisinya, pertama-tama perlu diperiksa kompatibilitasnya, yaitu membuktikan bahwa ada solusi sama sekali. Peran penting dalam verifikasi tersebut dimainkan oleh Teorema Kronecker-Capelli, yang akan saya rumuskan formulir yang diperlukan:

Jika peringkat matriks sistem sama dengan peringkat sistem matriks yang diperluas, maka sistemnya konsisten, dan jika bilangan ini bertepatan dengan bilangan yang tidak diketahui, maka penyelesaiannya unik.

Jadi, untuk mempelajari kompatibilitas sistem, perlu dilakukan pemeriksaan kesetaraan , Di mana - matriks sistem(ingat terminologi dari pelajaran metode Gauss), A - matriks sistem yang diperluas(yaitu matriks dengan koefisien variabel + kolom suku bebas).

Misalkan A adalah matriks dengan ukuran m\kali n dan k bilangan asli, tidak melebihi m dan n: k\leqslant\min$m;n$. Pesanan ke-k kecil matriks A adalah determinan matriks orde ke-k yang dibentuk oleh elemen-elemen pada perpotongan k baris dan k kolom yang dipilih secara sembarang dari matriks A. Saat menunjukkan anak di bawah umur, kami akan menunjukkan jumlah baris yang dipilih sebagai indeks atas, dan jumlah kolom yang dipilih sebagai indeks bawah, menyusunnya dalam urutan menaik.

Contoh 3.4. Tulis anak di bawah umur dari orde matriks yang berbeda

A=\mulai(pmatrix)1&2&1&0\\ 0&2&2&3\\ 1&4&3&3\end(pmatrix)\!.

Larutan. Matriks A mempunyai dimensi 3\times4 . Ia mempunyai: 12 anak di bawah umur dari urutan pertama, misalnya anak di bawah umur M_(()_2)^(()_3)=\det(a_(32))=4; 18 anak di bawah umur urutan ke-2, misalnya, M_(()_(23))^(()^(12))=\begin(vmatrix)2&1\\2&2\end(vmatrix)=2; 4 anak di bawah umur urutan ke-3, misalnya,

M_(()_(134))^(()^(123))= \begin(vmatrix)1&1&0\\0&2&3\\ 1&3&3 \end(vmatrix)=0.

Dalam matriks A berdimensi m\kali n, minor orde ke-r disebut dasar, jika bukan nol dan semua minor berorde (r+1)-ro sama dengan nol atau tidak ada sama sekali.

Peringkat matriks disebut urutan basis minor. Tidak ada basis minor dalam matriks nol. Oleh karena itu, pangkat matriks nol, menurut definisi, sama dengan nol. Pangkat matriks A dilambangkan dengan \nama operator(rg)A.

Contoh 3.5. Temukan semua basis minor dan rank matriks

A=\mulai(pmatrix)1&2&2&0\\0&2&2&3\\0&0&0&0\end(pmatrix)\!.

Larutan. Semua minor orde ketiga dari matriks ini sama dengan nol, karena determinan ini memiliki baris ketiga nol. Oleh karena itu, hanya minor orde kedua yang terletak pada dua baris pertama matriks yang dapat menjadi basa. Melalui 6 kemungkinan anak di bawah umur, kami memilih bukan nol

M_(()_(12))^(()^(12))= M_(()_(13))^(()^(12))= \begin(vmatrix)1&2\\0&2 \end( vmatrix)\!,\quad M_(()_(24))^(()^(12))= M_(()_(34))^(()^(12))= \begin(vmatrix) 2&0\\2&3\end(vmatrix)\!,\quad M_(()_(14))^(()^(12))= \begin(vmatrix)1&0\\0&3\end(vmatrix)\!.

Masing-masing dari lima anak di bawah umur ini adalah anak di bawah umur dasar. Jadi, rank matriks tersebut adalah 2.

Catatan 3.2

1. Jika semua minor orde ke-k dalam suatu matriks sama dengan nol, maka minor orde tinggi juga sama dengan nol. Memang benar, dengan memperluas minor orde (k+1)-ro pada sembarang baris, kita memperoleh jumlah hasil kali elemen-elemen baris ini dengan minor orde ke-k, dan keduanya sama dengan nol.

2. Pangkat suatu matriks sama dengan orde tertinggi dari minor bukan nol matriks tersebut.

3. Jika matriks persegi tidak merosot, maka pangkatnya sama dengan ordonya. Jika suatu matriks persegi berbentuk tunggal, maka pangkatnya lebih kecil dari ordonya.

4. Sebutan juga digunakan untuk pangkat \namaoperator(Rg)A,~ \namaoperator(berdering)A,~ \namaoperator(peringkat)A.

5. Blokir peringkat matriks didefinisikan sebagai pangkat matriks biasa (numerik), mis. terlepas dari struktur bloknya. Dalam hal ini, pangkat suatu matriks blok tidak kurang dari pangkat blok-bloknya: \namaoperator(rg)(A\pertengahan B)\geqslant\namaoperator(rg)A Dan \namaoperator(rg)(A\pertengahan B)\geqslant\namaoperator(rg)B, karena semua minor matriks A (atau B ) juga merupakan minor matriks blok (A\mid B) .

Teorema tentang basis minor dan pangkat matriks

Mari kita perhatikan teorema utama yang menyatakan sifat-sifat ketergantungan linier dan independensi linier kolom (baris) suatu matriks.

Teorema 3.1 pada basis minor. Dalam matriks sembarang A, setiap kolom (baris) merupakan kombinasi linier dari kolom-kolom (baris) yang basis minornya berada.

Memang, tanpa kehilangan keumumannya, kita asumsikan bahwa dalam matriks A berukuran m\kali n basis minor terletak pada r baris pertama dan r kolom pertama. Pertimbangkan determinannya

D=\begin(vmatrix)~ a_(11)&\cdots&a_(1r)\!\!&\vline\!\!&a_(1k)~\\ ~\vdots&\ddots &\vdots\!\!&\ vline\!\!&\vdots~\\ ~a_(r1)&\cdots&a_(rr)\!\!&\vline\!\!&a_(rk)~\\\hline ~a_(s1)&\cdots&a_ (sr)\!\!&\vline\!\!&a_(sk)~\end(vmatrix),

yang diperoleh dengan menugaskan basis minor dari matriks A yang bersesuaian elemen sth baris dan kolom ke-k. Perhatikan itu untuk apa pun 1\leqslant s\leqslant m dan determinan ini sama dengan nol. Jika s\leqslant r atau k\leqslant r , maka determinan D memuat dua baris identik atau dua kolom identik. Jika s>r dan k>r, maka determinan D sama dengan nol, karena merupakan minor berorde (r+l)-ro. Memperluas determinan sepanjang baris terakhir, kita peroleh

a_(s1)\cdot D_(r+11)+\ldots+ a_(sr)\cdot D_(r+1r)+a_(sk)\cdot D_(r+1\,r+1)=0,

dimana D_(r+1\,j) adalah komplemen aljabar dari elemen baris terakhir. Perhatikan bahwa D_(r+1\,r+1)\ne0 karena ini adalah basis minor. Itu sebabnya

a_(sk)=\lambda_1\cdot a_(s1)+\ldots+\lambda_r\cdot a_(sr), Di mana \lambda_j=-\frac(D_(r+1\,j))(D_(r+1\,r+1)),~j=1,2,\ldots,r.

Menulis persamaan terakhir untuk s=1,2,\ldots,m, kita peroleh

\begin(pmatrix)a_(1k)\\\vdots\\a_(mk)\end(pmatrix)= \lambda_1\cdot\! \begin(pmatrix)a_(11)\\\vdots\\a_(m1)\end(pmatrix)+\ldots \lambda_r\cdot\! \begin(pmatrix)a_(1r)\\\vdots\\a_(mr)\end(pmatrix)\!.

itu. kolom ke-k (untuk apa saja 1\leqslant k\leqslant n) adalah kombinasi linier dari kolom-kolom basis minor, yang perlu kita buktikan.

Teorema minor dasar berfungsi untuk membuktikan teorema penting berikut.

Syarat determinannya nol

Teorema 3.2 (kondisi perlu dan cukup agar determinan menjadi nol). Agar suatu determinan sama dengan nol, salah satu kolomnya (salah satu barisnya) perlu dan cukup merupakan kombinasi linier dari kolom (baris) yang tersisa.

Memang, keharusan mengikuti dasar teorema minor. Jika determinan matriks persegi berorde n sama dengan nol, maka ranknya lebih kecil dari n, yaitu setidaknya satu kolom tidak termasuk dalam basis minor. Maka kolom yang dipilih ini, berdasarkan Teorema 3.1, merupakan kombinasi linier dari kolom-kolom yang memuat basis minor. Dengan menambahkan, jika perlu, ke dalam kombinasi ini kolom-kolom lain dengan koefisien nol, kita memperoleh bahwa kolom yang dipilih adalah kombinasi linier dari kolom-kolom matriks yang tersisa. Kecukupan mengikuti sifat-sifat determinan. Jika, misalnya, kolom terakhir A_n dari determinan \det(A_1~A_2~\cdots~A_n) dinyatakan secara linear melalui sisanya

A_n=\lambda_1\cdot A_1+\lambda_2\cdot A_2+\ldots+\lambda_(n-1)\cdot A_(n-1),

lalu tambahkan ke A_n kolom A_1 dikalikan (-\lambda_1), lalu kolom A_2 dikalikan (-\lambda_2), dst. kolom A_(n-1) dikalikan dengan (-\lambda_(n-1)) kita mendapatkan determinannya \det(A_1~\cdots~A_(n-1)~o) dengan kolom nol yang sama dengan nol (properti 2 determinan).

Invariansi peringkat matriks dalam transformasi dasar

Teorema 3.3 (tentang invarian pangkat dalam transformasi dasar). Selama transformasi dasar kolom (baris) suatu matriks, peringkatnya tidak berubah.

Memang benar, biarkan saja. Mari kita asumsikan bahwa sebagai hasil dari satu transformasi dasar kolom-kolom matriks A kita memperoleh matriks A". Jika transformasi tipe I dilakukan (permutasi dua kolom), maka sembarang minor (r+l)-ro berorde dari matriks A" sama dengan minor yang bersesuaian (r+l )-ro dari orde matriks A, atau berbeda tandanya (properti 3 dari determinan). Jika transformasi tipe II dilakukan (mengalikan kolom dengan angka \lambda\ne0 ), maka setiap minor (r+l)-ro dari orde matriks A" sama dengan minor yang bersesuaian (r+l) -ro orde matriks A atau pengali yang berbeda darinya \lambda\ne0 (properti 6 determinan).Jika transformasi dilakukan tipe III(menambahkan ke satu kolom kolom lain dikalikan dengan angka \Lambda), maka setiap minor dari orde ke-(r+1) dari matriks A" sama dengan minor yang bersesuaian dari orde ke-(r+1) dari matriks A" matriks A (sifat determinan 9), atau sama dengan jumlah dua minor (r+l)-ro orde matriks A (sifat determinan 8). Oleh karena itu, dengan transformasi elementer jenis apa pun , semua minor (r+l)-ro orde matriks A" sama dengan nol, karena semua minor (r+l)-ro orde matriks A . Dengan demikian, terbukti bahwa dengan transformasi dasar kolom, pangkat matriks tidak dapat ditingkatkan. Karena transformasi invers ke transformasi elementer bersifat elementer, pangkat matriks tidak dapat berkurang selama transformasi elementer kolom, yaitu. tidak berubah. Demikian pula, terbukti bahwa pangkat matriks tidak berubah pada transformasi baris elementer.

Akibat wajar 1. Jika salah satu baris (kolom) suatu matriks merupakan kombinasi linier dari baris (kolom) lainnya, maka baris (kolom) tersebut dapat dihapus dari matriks tanpa mengubah pangkatnya.

Memang benar, string seperti itu dapat dijadikan nol dengan menggunakan transformasi dasar, dan string nol tidak dapat dimasukkan ke dalam basis minor.

Akibat wajar 2. Jika matriks direduksi menjadi bentuk paling sederhana (1.7), maka

\namaoperator(rg)A=\namaoperator(rg)\Lambda=r\,.

Memang, matriks bentuk paling sederhana (1.7) memiliki basis minor orde ke-r.

Akibat wajar 3. Setiap matriks persegi non-singular bersifat elementer, dengan kata lain, setiap matriks persegi non-singular ekuivalen dengan matriks identitas berorde sama.

Jika A adalah matriks persegi taksingular berorde ke-n, maka \nama operator(rg)A=n(lihat paragraf 3 komentar 3.2). Oleh karena itu, dengan membawa matriks A ke bentuk paling sederhana (1.7) melalui transformasi dasar, kita memperoleh matriks identitas \Lambda=E_n , karena \namaoperator(rg)A=\namaoperator(rg)\Lambda=n(lihat Akibat Akibat 2). Oleh karena itu, matriks A ekuivalen dengan matriks identitas E_n dan dapat diperoleh dari matriks tersebut sebagai hasil transformasi elementer dalam jumlah berhingga. Artinya matriks A bersifat elementer.

Teorema 3.4 (tentang pangkat matriks). Pangkat suatu matriks sama dengan jumlah maksimum baris bebas linier dari matriks tersebut.

Faktanya, biarkan \nama operator(rg)A=r. Maka matriks A mempunyai r baris bebas linier. Ini adalah garis di mana basis minor berada. Jika keduanya bergantung linier, maka minor ini akan sama dengan nol menurut Teorema 3.2, dan rank matriks A tidak akan sama dengan r. Mari kita tunjukkan bahwa r - jumlah maksimal baris bebas linier, mis. setiap p baris bergantung linier untuk p>r. Memang benar, kita membentuk matriks B dari baris p ini. Karena matriks B merupakan bagian dari matriks A, maka \namaoperator(rg)B\leqslant \namaoperator(rg)A=r

Artinya paling sedikit satu baris matriks B tidak termasuk dalam basis minor matriks tersebut. Kemudian, berdasarkan teorema basis minor, itu sama dengan kombinasi linier dari baris-baris di mana basis minor berada. Oleh karena itu, baris-baris matriks B bergantung linier. Jadi, matriks A mempunyai paling banyak r baris bebas linier.

Akibat wajar 1. Jumlah maksimum baris bebas linier dalam suatu matriks sama dengan jumlah maksimum kolom bebas linier:

\namaoperator(rg)A=\namaoperator(rg)A^T.

Pernyataan ini mengikuti Teorema 3.4 jika kita menerapkannya pada baris-baris matriks yang ditransposisi dan memperhitungkan bahwa minor tidak berubah selama transposisi (properti 1 determinan).

Akibat wajar 2. Selama transformasi dasar baris-baris suatu matriks, ketergantungan linier (atau independensi linier) dari sistem kolom apa pun dalam matriks ini dipertahankan.

Faktanya, mari kita pilih k kolom mana pun dari matriks A tertentu dan buat matriks B dari kolom tersebut. Misalkan matriks A" diperoleh sebagai hasil transformasi elementer dari baris-baris matriks A, dan matriks B" diperoleh dari hasil transformasi yang sama dari baris-baris matriks B. Menurut Teorema 3.3 \namaoperator(rg)B"=\namaoperator(rg)B. Oleh karena itu, jika kolom-kolom matriks B bebas linier, mis. k=\nama operator(rg)B(lihat Akibat wajar 1), maka kolom-kolom matriks B" juga bebas linier, karena k=\nama operator(rg)B". Jika kolom-kolom matriks B bergantung linier (k>\nama operator(rg)B), maka kolom-kolom matriks B" juga bergantung linier (k>\nama operator(rg)B"). Akibatnya, untuk setiap kolom matriks A, ketergantungan linier atau independensi linier dipertahankan pada transformasi baris dasar.

Catatan 3.3

1. Berdasarkan Akibat wajar 1 dari Teorema 3.4, sifat-sifat kolom yang ditunjukkan dalam Akibat Akibat wajar 2 juga berlaku untuk sistem baris matriks apa pun jika transformasi elementer hanya dilakukan pada kolomnya.

2. Akibat wajar 3 Teorema 3.3 dapat disempurnakan sebagai berikut: matriks persegi non-tunggal apa pun, yang menggunakan transformasi dasar hanya pada barisnya (atau kolomnya saja), dapat direduksi menjadi matriks identitas dengan orde yang sama.

Faktanya, hanya dengan menggunakan transformasi baris elementer, matriks A apa pun dapat direduksi menjadi bentuk sederhana \Lambda (Gbr. 1.5) (lihat Teorema 1.1). Karena matriks A non-singular (\det(A)\ne0), kolom-kolomnya bebas linier. Artinya kolom-kolom matriks \Lambda juga bebas linier (akibat wajar 2 dari Teorema 3.4). Oleh karena itu, bentuk sederhana \Lambda dari matriks non-tunggal A bertepatan dengan bentuk paling sederhananya (Gbr. 1.6) dan merupakan matriks identitas \Lambda=E (lihat Akibat wajar 3 dari Teorema 3.3). Jadi, dengan hanya mentransformasikan baris-baris matriks nonsingular saja, matriks tersebut dapat direduksi menjadi matriks identitas. Alasan serupa juga berlaku untuk transformasi dasar kolom-kolom matriks non-singular.

Pangkat produk dan jumlah matriks

Teorema 3.5 (tentang pangkat hasil kali matriks). Pangkat hasil kali matriks tidak melebihi pangkat faktor:

\namaoperator(rg)(A\cdot B)\leqslant \min$\namaoperator(rg)A,\namaoperator(rg)B$.

Memang benar, misalkan matriks A dan B mempunyai ukuran m\times p dan p\times n . Mari kita tetapkan matriks A ke matriks C=AB\titik dua\,(A\tengah C). Tentu saja itu \namaoperator(rg)C\leqslant\namaoperator(rg)(A\pertengahan C), karena C adalah bagian dari matriks (A\mid C) (lihat paragraf 5 dari keterangan 3.2). Perhatikan bahwa setiap kolom C_j, menurut operasi perkalian matriks, adalah kombinasi kolom linier A_1,A_2,\ltitik,A_p matriks A=(A_1~\cdots~A_p):

C_(j)=A_1\cdot b_(1j)+A_2\cdot b_(2j)+\ldots+A_(p)\cdot b_pj),\quad j=1,2,\ldots,n.

Kolom seperti itu dapat dihapus dari matriks (A\mid C) tanpa mengubah peringkatnya ( Akibat wajar 1 Teorema 3.3). Mencoret semua kolom matriks C, kita peroleh: \namaoperator(rg)(A\pertengahan C)=\namaoperator(rg)A. Dari sini, \namaoperator(rg)C\leqslant\namaoperator(rg)(A\pertengahan C)=\namaoperator(rg)A. Demikian pula, kita dapat membuktikan bahwa kondisi tersebut terpenuhi secara simultan \namaoperator(rg)C\leqslant\namaoperator(rg)B, dan menarik kesimpulan tentang validitas teorema tersebut.

Konsekuensi. Jika Maka, A adalah matriks persegi tak tunggal \namaoperator(rg)(AB)= \namaoperator(rg)B Dan \namaoperator(rg)(CA)=\namaoperator(rg)C, yaitu. pangkat suatu matriks tidak berubah jika matriks tersebut dikalikan dari kiri atau kanan dengan matriks persegi tak tunggal.

Teorema 3.6 Pangkat jumlah matriks. Pangkat jumlah matriks tidak melebihi jumlah pangkat suku-sukunya:

\namaoperator(rg)(A+B)\leqslant \namaoperator(rg)A+\namaoperator(rg)B.

Memang benar, mari kita buat matriks (A+B\pertengahan A\pertengahan B). Perhatikan bahwa setiap kolom matriks A+B merupakan kombinasi linier kolom-kolom matriks A dan B. Itu sebabnya \namaoperator(rg)(A+B\pertengahan A\pertengahan B)= \namaoperator(rg)(A\pertengahan B). Mengingat jumlah kolom bebas linier dalam matriks (A\mid B) tidak melebihi \namaoperator(rg)A+\namaoperator(rg)B, A \namaoperator(rg)(A+B)\leqslant \namaoperator(rg)(A+B\pertengahan A\pertengahan B)(lihat bagian 5 dari Keterangan 3.2), kita memperoleh bukti ketidaksetaraan.