Izinkan saya segera membuat reservasi bahwa artikel ini akan membahas pemuaian garis singgung di nol, yang disebut pemuaian Maclaurin di banyak buku teks.
Ya, semua fungsi akan dapat terdiferensiasi secara tak terhingga saat kita membutuhkannya.
Sedangkan sebagian besar protozoa lainnya fungsi dasar cukup mudah diperluas menjadi deret Taylor, dan hukum yang membentuk suku-suku pemuaian sering kali tidak rumit dan mudah ditebak; hal ini tidak berlaku untuk garis singgung. Meskipun tampaknya yang terakhir hanyalah rasio sinus terhadap kosinus, fungsinya tidak menimbulkan masalah selama ekspansi. Sementara itu, untuk menunjukkan jenis istilah umum garis singgung, kita harus memulainya dari jauh dan menggunakan teknik buatan. Namun, dalam praktiknya, seringkali tidak perlu mengetahui semua koefisien suatu deret; hanya beberapa suku pemuaian saja sudah cukup. Ini adalah rumusan masalah yang paling sering ditemui siswa. Jadi di situlah kita akan mulai. Agar tidak terlalu repot, kita akan mencari pemuaian hingga koefisien pangkat kelima.
Hal pertama yang terlintas dalam pikiran di sini adalah mencoba menggunakan rumus Taylor secara langsung. Seringkali orang tidak tahu tentang metode dekomposisi lain dalam suatu rangkaian. Omong-omong, seminaris kami di bidang matematika. Analisanya, di tahun kedua saya mencari dekomposisi persis seperti ini, walaupun saya tidak bisa mengatakan hal buruk tentang dia, dia orang yang pintar, mungkin dia hanya ingin memamerkan kemampuannya dalam mengambil derivatif. Meskipun demikian, mengambil turunan garis singgung tingkat tinggi masih merupakan suatu kesenangan, tugas yang sangat membosankan, hanya salah satu tugas yang lebih mudah untuk dipercayakan kepada mesin daripada kepada manusia. Namun, sebagai atlet sejati, kami tidak tertarik pada hasil, tetapi pada prosesnya, dan diharapkan prosesnya lebih sederhana. Turunannya adalah sebagai berikut (dihitung dalam sistem maxima): 
, 
, 
, 
, . Siapapun yang menganggap derivatif mudah diperoleh secara manual, biarkan dia melakukannya sesuka hatinya. Bagaimanapun, sekarang kita dapat menuliskan perluasannya: 
.
Inilah yang dapat kami sederhanakan di sini: kami mencatatnya 
jadi, turunan pertama dari garis singgung dinyatakan melalui garis singgung, sebagai tambahan, maka semua turunan garis singgung lainnya akan menjadi polinomial dari garis singgung tersebut, sehingga kita tidak perlu menderita dengan turunan hasil bagi dari sinus. dan cosinus:
,
,
,
.
Dekomposisinya tentu saja sama.
Saya belajar tentang metode perluasan deret lainnya secara langsung selama ujian matematika. analisis dan karena ketidaktahuan tentang metode ini saya kemudian menerima paduan suara. bukannya ex.-a. Arti dari metode ini adalah kita mengetahui pemuaian deret sinus dan kosinus, serta fungsinya, pemuaian terakhir memungkinkan kita mencari pemuaian kedua: . Dengan membuka tanda kurung, kita mendapatkan deret yang perlu dikalikan dengan perluasan sinus. Sekarang kita hanya perlu mengalikan kedua baris tersebut. Jika kita berbicara tentang kompleksitas, maka saya ragu metode ini kalah dengan metode pertama, terutama karena volume perhitungan berkembang pesat seiring dengan meningkatnya derajat suku perluasan yang perlu ditemukan.
Metode selanjutnya merupakan varian dari metode koefisien tak tentu. Pertama-tama mari kita ajukan pertanyaan: apa yang secara umum kita ketahui tentang garis singgung yang dapat membantu kita membangun suatu perluasan, bisa dikatakan secara apriori? Yang terpenting disini adalah fungsi singgungnya ganjil, oleh karena itu semua koefisien pada pangkat genap sama dengan nol, dengan kata lain tidak perlu mencari setengah dari koefisien tersebut. Kemudian kita dapat menulis , atau , memperluas sinus dan cosinus dalam suatu deret, kita peroleh . Dan dengan menyamakan koefisien pada derajat yang sama kita peroleh, 
, 
dan secara umum 
. Jadi, dengan menggunakan proses berulang, kita dapat menemukan sejumlah suku ekspansi.
Metode keempat juga merupakan metode koefisien tak tentu, tetapi untuk itu kita tidak memerlukan perluasan fungsi lainnya. Kami akan mempertimbangkan persamaan diferensial untuk tangen. Kita telah melihat di atas bahwa turunan tangen dapat dinyatakan sebagai fungsi tangen. Dengan mensubstitusikan serangkaian koefisien yang belum ditentukan ke dalam persamaan ini, kita dapat menulis: Dengan mengkuadratkan dan dari sini, sekali lagi, melalui proses berulang, koefisien muai dapat dicari.
Metode ini jauh lebih sederhana daripada dua metode pertama, tetapi menemukan ekspresi suku umum deret dengan cara ini tidak akan berhasil, tetapi saya ingin melakukannya. Seperti yang saya katakan di awal, Anda harus memulai dari jauh (saya akan mengikuti buku teks Courant). Kita akan mulai dengan perluasan rangkaian fungsi. Hasilnya, kita mendapatkan rangkaian yang akan ditulis dalam bentuk 
, dimana bilangan tersebut adalah bilangan Bernoulli.
Awalnya, angka-angka ini ditemukan oleh Jacob Bernoulli ketika mencari jumlah pangkat mth bilangan asli 
. Tampaknya, apa hubungannya trigonometri dengan itu? Belakangan, Euler, ketika memecahkan masalah jumlah kuadrat terbalik dari serangkaian bilangan asli, menerima jawaban dari perluasan sinus menjadi hasil kali tak hingga. Ternyata pemuaian kotangen mengandung penjumlahan bentuk , untuk semua n alami. Dan berdasarkan ini, Euler memperoleh ekspresi untuk jumlah tersebut dalam bilangan Bernoulli. Jadi ada hubungan di sini, dan tidak mengherankan jika pemuaian tangen mengandung barisan ini.
Tapi mari kita kembali ke penguraian pecahan. Memperluas eksponen, mengurangi satu dan membaginya dengan "x", kita akhirnya mendapatkan . Dari sini sudah jelas bahwa bilangan Bernoulli pertama sama dengan satu, bilangan kedua dikurangi satu detik, dan seterusnya. Mari kita tuliskan ekspresi bilangan Bernoulli ke-k, dimulai dari kesatuan. Mengalikan ekspresi ini dengan , kita menulis ulang ekspresi tersebut bentuk berikut. Dan dari ungkapan ini kita dapat memperoleh bilangan Bernoulli secara bergantian, khususnya: , , 
Cara memasukkan rumus matematika ke situs web?
Jika Anda perlu menambahkan satu atau dua rumus matematika ke halaman web, maka cara termudah untuk melakukannya adalah seperti yang dijelaskan dalam artikel: rumus matematika dengan mudah dimasukkan ke situs dalam bentuk gambar yang dibuat secara otomatis oleh Wolfram Alpha . Selain kesederhanaannya, metode universal ini akan membantu meningkatkan visibilitas situs di mesin pencari. Ini telah berfungsi sejak lama (dan, menurut saya, akan berfungsi selamanya), tetapi secara moral sudah ketinggalan zaman.
Jika Anda sering menggunakan rumus matematika di situs Anda, saya sarankan Anda menggunakan MathJax - pustaka JavaScript khusus yang menampilkan notasi matematika di browser web menggunakan markup MathML, LaTeX, atau ASCIIMathML.
Ada dua cara untuk mulai menggunakan MathJax: (1) menggunakan kode sederhana, Anda dapat dengan cepat menghubungkan skrip MathJax ke situs web Anda, yang akan secara otomatis dimuat dari server jauh pada waktu yang tepat (daftar server); (2) unduh skrip MathJax dari server jauh ke server Anda dan sambungkan ke semua halaman situs Anda. Metode kedua - lebih rumit dan memakan waktu - akan mempercepat pemuatan halaman situs Anda, dan jika server induk MathJax untuk sementara tidak tersedia karena alasan tertentu, ini tidak akan memengaruhi situs Anda dengan cara apa pun. Terlepas dari kelebihan ini, saya memilih metode pertama karena lebih sederhana, lebih cepat dan tidak memerlukan keahlian teknis. Ikuti contoh saya, dan hanya dalam 5 menit Anda akan dapat menggunakan semua fitur MathJax di situs Anda.
Anda dapat menghubungkan skrip perpustakaan MathJax dari server jauh menggunakan dua opsi kode yang diambil dari situs web utama MathJax atau di halaman dokumentasi:
Salah satu opsi kode ini perlu disalin dan ditempelkan ke dalam kode laman web Anda, sebaiknya di antara tag dan atau tepat setelah tag. Menurut opsi pertama, MathJax memuat lebih cepat dan memperlambat halaman. Namun opsi kedua secara otomatis memantau dan memuat MathJax versi terbaru. Jika Anda memasukkan kode pertama, kode tersebut perlu diperbarui secara berkala. Jika Anda memasukkan kode kedua, halaman akan dimuat lebih lambat, tetapi Anda tidak perlu terus-menerus memantau pembaruan MathJax.
Cara termudah untuk menghubungkan MathJax adalah di Blogger atau WordPress: di panel kontrol situs, tambahkan widget yang dirancang untuk memasukkan kode JavaScript pihak ketiga, salin versi pertama atau kedua dari kode unduhan yang disajikan di atas ke dalamnya, dan letakkan widget lebih dekat ke awal template (omong-omong, ini sama sekali tidak diperlukan, karena skrip MathJax dimuat secara asinkron). Itu saja. Sekarang pelajari sintaks markup MathML, LaTeX, dan ASCIIMathML, dan Anda siap memasukkan rumus matematika ke halaman web situs Anda.
Fraktal apa pun dibangun menurut aturan tertentu, yang diterapkan secara berurutan dalam jumlah yang tidak terbatas. Setiap waktu tersebut disebut iterasi.
Algoritme berulang untuk membuat spons Menger cukup sederhana: kubus asli dengan sisi 1 dibagi dengan bidang yang sejajar dengan permukaannya menjadi 27 kubus yang sama besar. Satu kubus pusat dan 6 kubus yang berdekatan di sepanjang sisinya dikeluarkan darinya. Hasilnya adalah satu set yang terdiri dari sisa 20 kubus kecil. Melakukan hal yang sama dengan masing-masing kubus ini, kita mendapatkan satu set yang terdiri dari 400 kubus yang lebih kecil. Melanjutkan proses ini tanpa henti, kita mendapatkan spons Menger.
16.1. Perluasan fungsi dasar deret Taylor dan MaclaurinMari kita tunjukkan bahwa jika suatu fungsi sembarang didefinisikan pada suatu himpunan 
, di sekitar titik tersebut 
memiliki banyak turunan dan merupakan jumlah dari deret pangkat:
maka Anda dapat mencari koefisien deret ini.
Mari kita gantikan dengan deret pangkat 
. Kemudian 
.
Mari kita cari turunan pertama dari fungsi tersebut 
:
Pada 
:
.
Untuk turunan kedua kita peroleh:
Pada 
:
.
Melanjutkan prosedur ini N setelah kita mendapatkan: 
.
Jadi, kami memperoleh deret pangkat dalam bentuk:
,
yang disebut di sebelah Taylor untuk fungsi 
di sekitar titik tersebut 
.
Kasus khusus dari deret Taylor adalah Seri Maclaurin pada 
:
Sisa deret Taylor (Maclaurin) diperoleh dengan membuang deret utama N anggota pertama dan dilambangkan sebagai 
. Lalu fungsinya 
dapat ditulis sebagai jumlah N anggota pertama dari seri ini 
dan sisanya 
:,
.
Biasanya sisanya 
dinyatakan dalam rumus yang berbeda.
Salah satunya dalam bentuk Lagrange:
, Di mana 
.
.
Perhatikan bahwa dalam praktiknya deret Maclaurin lebih sering digunakan. Jadi, untuk menulis fungsinya 
dalam bentuk penjumlahan deret pangkat diperlukan:
1) temukan koefisien deret Maclaurin (Taylor);
2) mencari daerah konvergensi deret pangkat yang dihasilkan;
3) buktikan bahwa deret ini konvergen ke fungsi tersebut 
.
Teorema 1 (kondisi perlu dan cukup untuk konvergensi deret Maclaurin). Biarkan jari-jari konvergensi deret tersebut 
. Agar deret ini konvergen pada interval tersebut 
berfungsi 
,perlu dan cukup agar kondisi terpenuhi: 
dalam interval yang ditentukan.
Teorema 2. Jika turunan dari sembarang orde suatu fungsi 
dalam beberapa interval 
dibatasi nilai absolutnya pada bilangan yang sama M, itu adalah 
, maka dalam interval ini fungsinya 
dapat diperluas menjadi deret Maclaurin.
Contoh 1. Perluas deret Taylor di sekitar titik tersebut 
fungsi.
Larutan.
.
,;
,
;
,
;
,
.......................................................................................................................................
,
;
Wilayah konvergensi 
.
Contoh 2. Perluas suatu fungsi 
dalam deret Taylor di sekitar suatu titik 
.
Larutan:
Tentukan nilai fungsi dan turunannya di 
.
,
;
,
;
...........……………………………
,
.
Mari kita letakkan nilai-nilai ini secara berurutan. Kita mendapatkan:
atau 
.
Mari kita cari daerah konvergensi deret ini. Berdasarkan uji d'Alembert, suatu deret konvergen jika
.
Oleh karena itu, untuk siapa pun 
batas ini kurang dari 1, sehingga rentang konvergensi deret tersebut adalah: 
.
Mari kita perhatikan beberapa contoh perluasan fungsi dasar dasar deret Maclaurin. Ingatlah bahwa deret Maclaurin:
.
menyatu pada interval tersebut 
berfungsi 
.
Perhatikan bahwa untuk memperluas suatu fungsi menjadi suatu rangkaian, perlu:
a) temukan koefisien deret Maclaurin untuk fungsi ini;
b) menghitung jari-jari konvergensi deret yang dihasilkan;
c) buktikan bahwa deret yang dihasilkan konvergen ke fungsi tersebut 
.
Contoh 3. Perhatikan fungsinya 
.
Larutan.
Mari kita hitung nilai fungsi dan turunannya di 
.
Maka koefisien numerik deret tersebut berbentuk:
untuk siapa pun N. Mari kita substitusikan koefisien yang ditemukan ke dalam deret Maclaurin dan dapatkan: 
Mari kita cari jari-jari konvergensi deret yang dihasilkan, yaitu:
.
Oleh karena itu, deret tersebut konvergen pada interval tersebut 
.
Deret ini konvergen ke fungsinya 
untuk nilai apa pun 
, karena pada interval apa pun 
fungsi 
dan turunan nilai absolutnya terbatas jumlahnya 
.
Contoh 4. Pertimbangkan fungsinya 
.
Larutan.
:
Sangat mudah untuk melihat bahwa turunan berorde genap 
, dan turunannya berorde ganjil. Mari kita substitusikan koefisien yang ditemukan ke dalam deret Maclaurin dan dapatkan ekspansi:
Mari kita cari interval konvergensi deret ini. Menurut tanda d'Alembert:
untuk siapa pun 
. Oleh karena itu, deret tersebut konvergen pada interval tersebut 
.
Deret ini konvergen ke fungsinya 
, karena semua turunannya terbatas pada kesatuan.
Contoh 5. 
.
Larutan.
Mari kita cari nilai fungsi dan turunannya di 
:
Jadi, koefisien deret ini: 
Dan 
, karena itu:
Mirip dengan baris sebelumnya, luas konvergensi 
. Deret tersebut konvergen ke fungsinya 
, karena semua turunannya terbatas pada kesatuan.
Harap dicatat bahwa fungsinya 
perluasan ganjil dan deret pangkat ganjil, fungsi 
– genap dan perluasan menjadi rangkaian dalam pangkat genap.
Contoh 6. Deret binomial: 
.
Larutan.
Mari kita cari nilai fungsi dan turunannya di 
:
Dari sini terlihat bahwa:
Mari kita substitusikan nilai koefisien ini ke dalam deret Maclaurin dan peroleh perluasan fungsi ini menjadi deret pangkat:
Mari kita cari jari-jari konvergensi deret ini:
Oleh karena itu, deret tersebut konvergen pada interval tersebut 
. Pada titik batas di 
Dan 
suatu deret mungkin konvergen atau tidak tergantung pada eksponennya 
.
Deret yang dipelajari konvergen pada interval tersebut 
berfungsi 
, yaitu jumlah deretnya 
pada 
.
Contoh 7. Mari kita perluas fungsi pada deret Maclaurin 
.
Larutan.
Untuk memperluas fungsi ini menjadi suatu deret, kita menggunakan deret binomial di 
. Kita mendapatkan: 
Berdasarkan sifat deret pangkat (deret pangkat dapat diintegrasikan pada daerah konvergensinya), kita mencari integral kiri dan bagian yang tepat dari seri ini:
Mari kita cari luas konvergensi deret ini: 
,
artinya, luas konvergensi deret ini adalah intervalnya 
. Mari kita tentukan kekonvergenan deret pada ujung-ujung interval. Pada 
. Deret ini merupakan deret harmonis, yaitu divergen. Pada 
kita mendapatkan deret bilangan dengan suku yang sama 
.
Deret tersebut konvergen menurut uji Leibniz. Jadi, daerah konvergensi deret tersebut adalah intervalnya 
.
Dalam perhitungan perkiraan, deret pangkat memainkan peran yang sangat penting. Dengan bantuan mereka, tabel fungsi trigonometri, tabel logaritma, tabel nilai fungsi lain telah disusun, yang digunakan dalam berbagai bidang pengetahuan, misalnya dalam teori probabilitas dan statistik matematika. Selain itu, perluasan fungsi menjadi deret pangkat berguna untuk kajian teoritisnya. Masalah utama saat menggunakan deret pangkat dalam perhitungan perkiraan adalah pertanyaan memperkirakan kesalahan saat mengganti jumlah deret dengan jumlah deret pertama. N anggota.
Mari kita pertimbangkan dua kasus:
fungsinya diperluas menjadi rangkaian pergantian tanda;
fungsinya diperluas menjadi serangkaian tanda konstan.
Perhitungan menggunakan deret bolak-balikBiarkan fungsinya 
diperluas menjadi rangkaian daya bolak-balik. Kemudian saat menghitung fungsi ini untuk nilai tertentu 
kita memperoleh deret bilangan yang dapat kita terapkan kriteria Leibniz. Sesuai dengan kriteria ini, jika jumlah suatu deret diganti dengan jumlah deret pertamanya N suku, maka kesalahan mutlaknya tidak melebihi suku pertama sisa deret tersebut, yaitu: 
.
Contoh 8. Menghitung 
dengan akurasi 0,0001.
Larutan.
Kami akan menggunakan deret Maclaurin untuk 
, dengan mengganti nilai sudut dalam radian:
Jika kita membandingkan suku pertama dan suku kedua deret tersebut dengan ketelitian tertentu, maka: .
Periode ekspansi ketiga:
kurang dari keakuratan perhitungan yang ditentukan. Oleh karena itu, untuk menghitung 
cukup menyisakan dua suku pada deret tersebut, yaitu
.
Dengan demikian 
.
Contoh 9. Menghitung 
dengan akurasi 0,001.
Larutan.
Kita akan menggunakan rumus deret binomial. Untuk melakukan ini, mari menulis 
sebagai: 
.
Dalam ungkapan ini 
,
Mari kita bandingkan setiap suku deret tersebut dengan ketelitian yang ditentukan. Sudah jelas itu 
. Oleh karena itu, untuk menghitung 
cukup menyisakan tiga suku dari deret tersebut.
atau 
.
Contoh 10. Hitung angka 
dengan akurasi 0,001.
Larutan.
Berturut-turut untuk suatu fungsi 
mari kita gantikan 
. Kita mendapatkan:
Mari kita perkirakan kesalahan yang timbul ketika mengganti jumlah suatu deret dengan jumlah deret pertama 
anggota. Mari kita tuliskan ketidaksetaraan yang jelas:
itu adalah 2