Bentuknya persegi dan terdiri dari tiga suku (). Jadi ternyata - trinomial persegi.
Contoh Bukan trinomial persegi:
\(x^3-3x^2-5x+6\) - segi empat kubik
\(2x+1\) - binomial linier
Akar kuadrat dari trinomial:
Contoh:
Trinomial \(x^2-2x+1\) mempunyai akar \(1\), karena \(1^2-2 1+1=0\)
Trinomial \(x^2+2x-3\) mempunyai akar \(1\) dan \(-3\), karena \(1^2+2-3=0\) dan \((-3)^ 2-6-3=9-9=0\)
Misalnya: jika Anda perlu mencari akar-akar trinomial kuadrat \(x^2-2x+1\), kita samakan dengan nol dan selesaikan persamaan \(x^2-2x+1=0\).
\(D=4-4\cdot1=0\)
\(x=\frac(2-0)(2)=\frac(2)(2)=1\)
Siap. Akarnya adalah \(1\).
Penguraian trinomial kuadrat menjadi:
Trinomial persegi \(ax^2+bx+c\) dapat diperluas menjadi \(a(x-x_1)(x-x_2)\) jika persamaan \(ax^2+bx+c=0\) adalah lebih besar dari nol \ (x_1\) dan \(x_2\) adalah akar-akar persamaan yang sama).
Misalnya, pertimbangkan trinomial \(3x^2+13x-10\).
Persamaan kuadrat \(3x^2+13x-10=0\) memiliki diskriminan sama dengan 289 (lebih besar dari nol) dan akar sama dengan \(-5\) dan \(\frac(2)(3)\) . Oleh karena itu \(3x^2+13x-10=3(x+5)(x-\frac(2)(3))\). Sangat mudah untuk memverifikasi kebenaran pernyataan ini - jika kita , maka kita akan mendapatkan trinomial aslinya.
Trinomial persegi \(ax^2+bx+c\) dapat direpresentasikan sebagai \(a(x-x_1)^2\) jika diskriminan dari persamaan \(ax^2+bx+c=0\) adalah nol.
Misalnya, pertimbangkan trinomial \(x^2+6x+9\).Persamaan kuadrat \(x^2+6x+9=0\) memiliki diskriminan sama dengan \(0\) dan akar unik sama dengan \(-3\). Artinya \(x^2+6x+9=(x+3)^2\) (di sini koefisiennya adalah \(a=1\), jadi tidak ditulis sebelum tanda kurung - tidak perlu). Harap dicatat bahwa konversi yang sama dapat dilakukan dengan .
Trinomial kuadrat \(ax^2+bx+c\) tidak dapat difaktorkan jika diskriminan persamaan \(ax^2+bx+c=0\) kurang dari nol.
Misalnya, trinomial \(x^2+x+4\) dan \(-5x^2+2x-1\) memiliki diskriminan kurang dari nol. Oleh karena itu, mustahil untuk memfaktorkannya.
Contoh
. Faktorkan \(2x^2-11x+12\).
Larutan
:
Mari kita cari akar-akar persamaan kuadrat \(2x^2-11x+12=0\)
\(D=11^2-4 \cdot 2 \cdot 12=121-96=25>0\)
\(x_1=\frac(11-5)(4)=1,5;\) \(x_2=\frac(11+5)(4)=4.\)
Jadi, \(2x^2-11x+12=2(x-1.5)(x-4)\)
Menjawab
: \(2(x-1.5)(x-4)\)
Jawaban yang dihasilkan mungkin ditulis berbeda: \((2x-3)(x-4)\).
Contoh
. (Tugas dari OGE) Trinomial persegi difaktorkan \(5x^2+33x+40=5(x++ 5)(x-a)\). Menemukan sebuah\).
Larutan:
\(5x^2+33x+40=0\)
\(D=33^2-4 \cdot 5 \cdot 40=1089-800=289=17^2\)
\(x_1=\frac(-33-17)(10)=-5\)
\(x_2=\frac(-33+17)(10)=-1,6\)
\(5x^2+33x+40=5(x+5)(x+1,6)\)
Menjawab
: \(-1,6\)
Untuk memfaktorkan, kita perlu menyederhanakan persamaan-persamaan tersebut. Hal ini diperlukan agar bisa semakin dikurangi. Perluasan polinomial masuk akal jika derajatnya tidak lebih rendah dari dua. Polinomial dengan derajat pertama disebut linier.
Artikel ini akan membahas semua konsep dekomposisi, landasan teori, dan metode pemfaktoran polinomial.
Teori
Teorema 1Jika ada polinomial berderajat n, berbentuk P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0, direpresentasikan sebagai hasil kali faktor konstan dengan derajat tertinggi a n dan n faktor linier (x - x i), i = 1, 2, ..., n, lalu P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 1) , dimana x i, i = 1, 2, …, n adalah akar-akar polinomial.
Teorema ini ditujukan untuk akar-akar bertipe kompleks x i, i = 1, 2, …, n dan untuk koefisien kompleks a k, k = 0, 1, 2, …, n. Ini adalah dasar dari setiap dekomposisi.
Jika koefisien berbentuk a k, k = 0, 1, 2, …, n adalah bilangan real, maka akar-akar kompleksnya akan muncul berpasangan konjugasi. Misalnya akar x 1 dan x 2 berhubungan dengan polinomial berbentuk P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 dianggap konjugat kompleks, maka akar-akar lainnya real, sehingga diperoleh polinomial tersebut berbentuk P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 3) x 2 + p x + q, dimana x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) .
Komentar
Akar suatu polinomial dapat diulang. Mari kita perhatikan pembuktian teorema aljabar, konsekuensi dari teorema Bezout.
Teorema dasar aljabar
Teorema 2Setiap polinomial dengan derajat n mempunyai paling sedikit satu akar.
teorema Bezout
Setelah membagi polinomial berbentuk P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 pada (x - s), maka kita peroleh sisanya yang sama dengan polinomial di titik s, maka kita peroleh
P n x = an x n + an - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) + P n (s) , dimana Q n - 1 (x) adalah polinomial dengan derajat n - 1.
Akibat wajar dari teorema Bezout
Jika akar polinomial P n (x) dianggap s, maka P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) . Akibat wajar ini cukup bila digunakan untuk menggambarkan solusi.
Memfaktorkan trinomial kuadrat
Suatu trinomial persegi berbentuk a x 2 + b x + c dapat difaktorkan menjadi faktor linier. maka kita mendapatkan bahwa a x 2 + b x + c = a (x - x 1) (x - x 2) , di mana x 1 dan x 2 adalah akar-akar (kompleks atau nyata).
Hal ini menunjukkan bahwa pemuaian itu sendiri direduksi menjadi penyelesaian persamaan kuadrat selanjutnya.
Contoh 1
Faktorkan trinomial kuadrat.
Larutan
Kita perlu mencari akar-akar persamaan 4 x 2 - 5 x + 1 = 0. Caranya, cari nilai diskriminan dengan menggunakan rumus, maka kita peroleh D = (- 5) 2 - 4 · 4 · 1 = 9. Dari sini kita memilikinya
x 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1
Dari sini kita peroleh bahwa 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1.
Untuk melakukan pemeriksaan, Anda perlu membuka tanda kurung. Kemudian kita mendapatkan ekspresi dalam bentuk:
4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1
Setelah memeriksa, kita sampai pada ekspresi aslinya. Artinya, kita dapat menyimpulkan bahwa dekomposisi telah dilakukan dengan benar.
Contoh 2
Faktorkan trinomial kuadrat berbentuk 3 x 2 - 7 x - 11 .
Larutan
Kami menemukan bahwa persamaan kuadrat yang dihasilkan dalam bentuk 3 x 2 - 7 x - 11 = 0 perlu dihitung.
Untuk mencari akarnya, Anda perlu menentukan nilai diskriminannya. Kami mengerti
3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 3 = 7 - 181 6
Dari sini kita peroleh bahwa 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6.
Contoh 3
Faktorkan polinomial 2 x 2 + 1.
Larutan
Sekarang kita perlu menyelesaikan persamaan kuadrat 2 x 2 + 1 = 0 dan mencari akar-akarnya. Kami mengerti
2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 i x 2 = - 1 2 = - 1 2 i
Akar-akar ini disebut konjugat kompleks, artinya pemuaian itu sendiri dapat digambarkan sebagai 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i.
Contoh 4
Menguraikan trinomial kuadrat x 2 + 1 3 x + 1 .
Larutan
Pertama, Anda perlu menyelesaikan persamaan kuadrat berbentuk x 2 + 1 3 x + 1 = 0 dan mencari akar-akarnya.
x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 1 = - 1 3 + 35 3 i 2 = - 1 + 35 · i 6 = - 1 6 + 35 6 · i x 2 = - 1 3 - D 2 · 1 = - 1 3 - 35 3 · i 2 = - 1 - 35 · i 6 = - 1 6 - 35 6 · i
Setelah mendapatkan akarnya, kami menulis
x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 i x - - 1 6 - 35 6 i = = x + 1 6 - 35 6 i x + 1 6 + 35 6 i
Komentar
Jika nilai diskriminannya negatif, maka polinomialnya akan tetap menjadi polinomial orde kedua. Oleh karena itu, kami tidak akan menguraikannya menjadi faktor linier.
Metode untuk memfaktorkan polinomial yang derajatnya lebih tinggi dari dua
Saat menguraikan, metode universal diasumsikan. Sebagian besar kasus didasarkan pada akibat wajar dari teorema Bezout. Untuk melakukan ini, Anda perlu memilih nilai akar x 1 dan mengurangi derajatnya dengan membagi polinomial dengan 1 dengan membaginya dengan (x - x 1). Polinomial yang dihasilkan perlu mencari akar x 2, dan proses pencarian bersifat siklis hingga kita mendapatkan perluasan yang lengkap.
Jika akar tidak ditemukan, maka metode faktorisasi lain digunakan: pengelompokan, suku tambahan. Topik ini melibatkan penyelesaian persamaan dengan pangkat lebih tinggi dan koefisien bilangan bulat.
Mengeluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung
Perhatikan kasus ketika suku bebasnya sama dengan nol, maka bentuk polinomialnya menjadi P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + 1 x .
Terlihat bahwa akar dari suatu polinomial tersebut akan sama dengan x 1 = 0, maka polinomial tersebut dapat direpresentasikan sebagai ekspresi P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + a 1 x = = x (a n x n - 1 + a n - 1 x n - 2 + . . . + a 1)
Cara ini dianggap menghilangkan faktor persekutuan.
Contoh 5
Faktorkan polinomial derajat ketiga 4 x 3 + 8 x 2 - x.
Larutan
Kita melihat bahwa x 1 = 0 adalah akar dari polinomial yang diberikan, maka kita dapat menghapus x dari tanda kurung seluruh ekspresi. Kita mendapatkan:
4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)
Mari kita lanjutkan mencari akar-akar trinomial kuadrat 4 x 2 + 8 x - 1. Mari kita cari diskriminan dan akarnya:
D = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + D 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - D 2 4 = - 1 - 5 2
Kemudian setelah itu
4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x x - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2
Untuk memulainya, mari kita pertimbangkan metode dekomposisi yang mengandung koefisien bilangan bulat dalam bentuk P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0, dimana koefisien derajat tertingginya adalah 1.
Jika suatu polinomial memiliki akar-akar bilangan bulat, maka polinomial tersebut dianggap sebagai pembagi suku bebasnya.
Contoh 6
Uraikan persamaan f(x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18.
Larutan
Mari kita pertimbangkan apakah ada akar yang lengkap. Penting untuk menuliskan pembagi angka - 18. Kita peroleh ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18. Oleh karena itu, polinomial ini memiliki akar bilangan bulat. Anda dapat memeriksanya menggunakan skema Horner. Ini sangat mudah dan memungkinkan Anda dengan cepat mendapatkan koefisien muai polinomial:
Oleh karena itu x = 2 dan x = - 3 adalah akar-akar polinomial asal, yang dapat direpresentasikan sebagai hasil kali bentuk:
f(x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)
Kita lanjutkan ke perluasan trinomial kuadrat berbentuk x 2 + 2 x + 3.
Karena diskriminannya negatif, berarti tidak ada akar real.
Menjawab: f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)
Komentar
Diperbolehkan menggunakan pemilihan akar dan pembagian polinomial dengan polinomial alih-alih skema Horner. Mari kita lanjutkan dengan mempertimbangkan perluasan polinomial yang mengandung koefisien bilangan bulat berbentuk P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , yang tertinggi sama dengan satu.
Kasus ini terjadi pada pecahan rasional.
Contoh 7
Faktorkan f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 .
Larutan
Untuk mengganti variabel y = 2 x, Anda harus beralih ke polinomial dengan koefisien sama dengan 1 pada derajat tertinggi. Anda harus memulai dengan mengalikan ekspresi dengan 4. Kami mengerti
4 f(x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)
Jika fungsi hasil bentuk g (y) = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 mempunyai akar bilangan bulat, maka letaknya berada di antara pembagi suku bebasnya. Entrinya akan terlihat seperti:
±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±10, ±12, ±15, ±20, ±30, ±60
Mari kita lanjutkan menghitung fungsi g (y) pada titik-titik ini untuk mendapatkan hasilnya nol. Kami mengerti
g (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 g (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 g (2 ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 g (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 g (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 g (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 g (4) = 4 3 + 19 · 4 2 + 82 · 4 + 60 = 756 g (- 4) = (- 4) 3 + 19 · (- 4) 2 + 82 · (- 4) + 60 = - 28 g (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1070 g (- 5) = (- 5) 3 + 19 (- 5) 2 + 82 (- 5) + 60
Diketahui y = - 5 adalah akar persamaan berbentuk y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60, artinya x = y 2 = - 5 2 adalah akar fungsi aslinya.
Contoh 8
Kolom 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 harus dibagi dengan x + 5 2.
Larutan
Mari kita tuliskan dan dapatkan:
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)
Memeriksa pembagi akan memakan banyak waktu, sehingga lebih menguntungkan jika memfaktorkan hasil trinomial kuadrat berbentuk x 2 + 7 x + 3. Dengan menyamakan dengan nol kita menemukan diskriminannya.
x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2
Oleh karena itu
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2
Teknik buatan untuk memfaktorkan polinomial
Akar rasional tidak melekat pada semua polinomial. Untuk melakukan ini, Anda perlu menggunakan metode khusus untuk mencari faktor. Namun tidak semua polinomial dapat diperluas atau direpresentasikan sebagai suatu produk.
Metode pengelompokan
Ada kalanya Anda dapat mengelompokkan suku-suku polinomial untuk mencari faktor persekutuan dan mengeluarkannya dari tanda kurung.
Contoh 9
Faktorkan polinomial x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2.
Larutan
Karena koefisiennya adalah bilangan bulat, maka akar-akarnya juga dapat berupa bilangan bulat. Untuk memeriksanya, ambil nilai 1, - 1, 2 dan - 2 untuk menghitung nilai polinomial pada titik-titik tersebut. Kami mengerti
1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0
Hal ini menunjukkan bahwa tidak ada akar, maka perlu menggunakan metode pemuaian dan penyelesaian yang lain.
Hal ini diperlukan untuk mengelompokkan:
x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)
Setelah mengelompokkan polinomial asli, Anda perlu merepresentasikannya sebagai hasil kali dua trinomial persegi. Untuk melakukan ini kita perlu memfaktorkan. kita mengerti itu
x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 1 1 = 12 x 1 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3
x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3
Komentar
Kesederhanaan pengelompokan tidak berarti pemilihan istilah cukup mudah. Tidak ada metode penyelesaian yang pasti, sehingga perlu menggunakan teorema dan aturan khusus.
Contoh 10
Faktorkan polinomialnya x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 .
Larutan
Polinomial yang diberikan tidak memiliki akar bilangan bulat. Istilah-istilahnya harus dikelompokkan. Kami mengerti
x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)
Setelah faktorisasi kita mendapatkan itu
x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 - 5 2
Menggunakan rumus perkalian yang disingkat dan binomial Newton untuk memfaktorkan polinomial
Penampilan seringkali tidak selalu memperjelas metode mana yang harus digunakan selama dekomposisi. Setelah transformasi dilakukan, Anda dapat membuat garis yang terdiri dari segitiga Pascal, jika tidak maka disebut binomial Newton.
Contoh 11
Faktorkan polinomial x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2.
Larutan
Penting untuk mengubah ekspresi ke bentuk
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3
Urutan koefisien penjumlahan dalam tanda kurung ditunjukkan dengan ekspresi x + 1 4 .
Artinya kita mempunyai x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3.
Setelah menerapkan selisih kuadrat, kita dapatkan
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3
Perhatikan ekspresi yang ada di braket kedua. Jelas tidak ada ksatria di sana, jadi kita harus menerapkan rumus selisih kuadrat lagi. Kami mendapatkan ekspresi bentuk
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3
Contoh 12
Faktorkan x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .
Larutan
Mari kita mulai mengubah ekspresinya. Kami mengerti
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2
Penting untuk menerapkan rumus perkalian singkat selisih kubus. Kita mendapatkan:
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3
Sebuah metode untuk mengganti variabel saat memfaktorkan polinomial
Saat mengganti variabel, derajatnya dikurangi dan polinomialnya difaktorkan.
Contoh 13
Faktorkan polinomial berbentuk x 6 + 5 x 3 + 6 .
Larutan
Berdasarkan kondisi tersebut jelas perlu dilakukan penggantian y = x 3. Kita mendapatkan:
x 6 + 5 x 3 + 6 = kamu = x 3 = kamu 2 + 5 kamu + 6
Akar persamaan kuadrat yang dihasilkan adalah y = - 2 dan y = - 3
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3
Penting untuk menerapkan rumus perkalian jumlah kubus yang disingkat. Kami mendapatkan ekspresi dalam bentuk:
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3
Artinya, kami memperoleh dekomposisi yang diinginkan.
Kasus-kasus yang dibahas di atas akan membantu dalam mempertimbangkan dan memfaktorkan polinomial dengan berbagai cara.
Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter
Polinomial perlu difaktorkan saat menyederhanakan ekspresi (sehingga reduksi dapat dilakukan), saat menyelesaikan persamaan, atau saat menguraikan fungsi rasional pecahan menjadi pecahan sederhana.
Masuk akal untuk membicarakan pemfaktoran suatu polinomial jika derajatnya tidak lebih rendah dari dua.
Polinomial derajat pertama disebut linier.
Mari kita bahas landasan teorinya terlebih dahulu, lalu langsung ke metode memfaktorkan polinomial.
Navigasi halaman.
Teori yang diperlukan.
Dalil.
Polinomial derajat apa pun N tipe diwakili oleh produk dari faktor konstan pada pangkat tertinggi dan N pengganda linier, saya=1, 2, …, n, yaitu, dan, saya=1, 2, …, n adalah akar dari polinomial.
Teorema ini dirumuskan untuk akar kompleks, saya=1, 2, …, n dan koefisien kompleks, k=0, 1, 2, …, n. Ini adalah dasar untuk memfaktorkan polinomial apa pun.
Jika koefisien k=0, 1, 2, …, n adalah bilangan real, maka akar kompleks polinomial tersebut HARUS terdapat pada pasangan konjugasi kompleks.
Misalnya, jika akar-akar polinomial adalah konjugat kompleks, dan akar-akar sisanya real, maka polinomial tersebut akan direpresentasikan dalam bentuk , di mana
Komentar.
Di antara akar-akar polinomial mungkin ada akar-akar yang berulang.
Pembuktian teorema dilakukan dengan menggunakan teorema dasar aljabar Dan akibat wajar dari teorema Bezout.
Teorema dasar aljabar.
Polinomial derajat apa pun N memiliki setidaknya satu akar (kompleks atau nyata).
teorema Bezout.
Saat membagi polinomial dengan (x-s) sisanya sama dengan nilai polinomial di titik tersebut S, yaitu jika terdapat polinomial derajat n-1.
Akibat wajar dari teorema Bezout.
Jika S adalah akar polinomial, maka .
Kita akan sering menggunakan akibat wajar ini ketika menjelaskan solusi dengan contoh.
Memfaktorkan trinomial kuadrat.
Trinomial kuadrat didekomposisi menjadi dua faktor linier: , di mana dan merupakan akar-akar (kompleks atau nyata).
Jadi, memfaktorkan trinomial kuadrat direduksi menjadi penyelesaian persamaan kuadrat.
Contoh.
Faktorkan trinomial kuadrat.
Larutan.
Mari kita cari akar-akar persamaan kuadrat 
.
Diskriminan persamaan tersebut adalah sama, oleh karena itu, 
Dengan demikian, 
.
Untuk memeriksanya, Anda dapat memperluas tanda kurung: . Saat dicek, kami sampai pada trinomial aslinya, jadi penguraiannya benar.
Contoh.
Larutan.
Persamaan kuadrat yang sesuai adalah 
.
Mari kita temukan akarnya. 
Itu sebabnya, 
.
Contoh.
Faktorkan polinomialnya.
Larutan.
Mari kita cari akar-akar persamaan kuadrat. 
Kami memperoleh sepasang akar konjugasi kompleks.
Perluasan polinomial akan berbentuk 
.
Contoh.
Faktorkan trinomial kuadrat.
Larutan.
Mari kita selesaikan persamaan kuadrat 
.
Itu sebabnya, 
Komentar:
Berikut ini, dengan diskriminan negatif, kita akan membiarkan polinomial orde kedua dalam bentuk aslinya, yaitu kita tidak akan menguraikannya menjadi faktor linier dengan suku bebas kompleks.
Metode untuk memfaktorkan polinomial yang derajatnya lebih tinggi dari dua.
Secara umum, tugas ini memerlukan pendekatan kreatif, karena tidak ada metode universal untuk menyelesaikannya. Namun mari kita coba memberikan beberapa tips.
Dalam sebagian besar kasus, faktorisasi polinomial didasarkan pada akibat wajar dari teorema Bezout, yaitu akar ditemukan atau dipilih dan derajat polinomial dikurangi satu dengan membaginya dengan . Akar polinomial yang dihasilkan dicari dan proses diulangi hingga pemuaian sempurna.
Jika akarnya tidak dapat ditemukan, maka metode perluasan khusus digunakan: dari pengelompokan hingga pengenalan istilah tambahan yang saling eksklusif.
Pemaparan selanjutnya berdasarkan keterampilan dengan koefisien bilangan bulat.
Mengurung faktor persekutuan.
Mari kita mulai dengan kasus paling sederhana, ketika suku bebasnya sama dengan nol, yaitu polinomialnya berbentuk .
Jelasnya, akar dari polinomial tersebut adalah , yaitu, kita dapat menyatakan polinomial tersebut dalam bentuk .
Metode ini tidak lebih dari itu mengeluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung.
Contoh.
Faktorkan polinomial derajat ketiga.
Larutan.
Jelas sekali, apa itu akar polinomial X dapat dikeluarkan dari tanda kurung:
Mari kita cari akar-akar trinomial kuadrat 
Dengan demikian, 
Memfaktorkan polinomial dengan akar rasional.
Pertama, mari kita pertimbangkan metode memperluas polinomial dengan koefisien bilangan bulat berbentuk , koefisien derajat tertinggi sama dengan satu.
Dalam hal ini, jika suatu polinomial mempunyai akar-akar bilangan bulat, maka akar-akar tersebut adalah pembagi suku bebasnya.
Contoh.
Larutan.
Mari kita periksa apakah ada akar yang utuh. Untuk melakukan ini, tuliskan pembagi bilangan tersebut -18
: . Artinya, jika suatu polinomial memiliki akar bilangan bulat, maka polinomial tersebut termasuk bilangan yang tertulis. Mari kita periksa angka-angka ini secara berurutan menggunakan skema Horner. Kenyamanannya juga terletak pada kenyataan bahwa pada akhirnya kita memperoleh koefisien muai polinomial: 
Itu adalah, x=2 Dan x=-3 adalah akar dari polinomial asli dan kita dapat menyatakannya sebagai produk:
Masih memperluas trinomial kuadrat.
Diskriminan trinomial ini negatif, sehingga tidak mempunyai akar real.
Menjawab:
Komentar:
alih-alih skema Horner, seseorang dapat menggunakan pemilihan akar dan pembagian polinomial selanjutnya dengan polinomial.
Sekarang perhatikan perluasan polinomial dengan koefisien bilangan bulat berbentuk , dan koefisien derajat tertinggi tidak sama dengan satu.
Dalam hal ini, polinomial dapat memiliki akar-akar rasional pecahan.
Contoh.
Faktorkan ekspresi tersebut.
Larutan.
Dengan melakukan perubahan variabel kamu=2x, mari kita beralih ke polinomial dengan koefisien sama dengan satu pada derajat tertinggi. Untuk melakukan ini, kalikan dulu ekspresi tersebut dengan 4
.
Jika fungsi yang dihasilkan mempunyai akar-akar bilangan bulat, maka akar-akar tersebut termasuk dalam pembagi suku bebasnya. Mari kita tuliskan:
Mari kita hitung nilai fungsinya secara berurutan g(kamu) pada titik-titik ini sampai nol tercapai. 
Itu adalah, kamu=-5 adalah akarnya 
, oleh karena itu, adalah akar dari fungsi aslinya. Mari kita bagi polinomial dengan kolom (sudut) menjadi binomial. 
Dengan demikian, 
Tidak disarankan untuk terus memeriksa pembagi yang tersisa, karena lebih mudah untuk memfaktorkan trinomial kuadrat yang dihasilkan 
Karena itu, 
Teknik buatan untuk memfaktorkan polinomial.
Polinomial tidak selalu mempunyai akar rasional. Dalam hal ini, ketika memfaktorkan, Anda harus mencari metode khusus. Namun, seberapa pun kita menginginkannya, beberapa polinomial (atau lebih tepatnya sebagian besar) tidak dapat direpresentasikan sebagai suatu produk.
Metode pengelompokan.
Kadang-kadang ternyata mengelompokkan suku-suku polinomial, yang memungkinkan Anda menemukan faktor persekutuan dan mengeluarkannya dari tanda kurung.
Contoh.
Perluas polinomial 
oleh pengganda.
Larutan.
Karena koefisiennya adalah bilangan bulat, maka terdapat akar bilangan bulat di antara pembagi suku bebasnya. Mari kita periksa nilainya 1
, -1
, 2
Dan -2
, menghitung nilai polinomial pada titik-titik ini. 
Artinya, tidak ada akar yang utuh. Mari kita cari cara dekomposisi lain.
Mari berkelompok: 
Setelah pengelompokan, polinomial asli direpresentasikan sebagai produk dari dua trinomial persegi. Mari kita faktorkan. 
Pertama-tama, mari kita tunjukkan beberapa nama umum. Mari kita perhatikan polinomial yang hanya berisi satu huruf, misalnya huruf x. Maka yang paling sederhana adalah polinomial yang mempunyai dua suku, salah satunya mengandung huruf x sampai derajat pertama, dan yang lainnya tidak mengandung huruf x sama sekali, misalnya 3x – 5 atau 15 – 7x atau 8z + 7 (di sini alih-alih huruf x diambil huruf z), dst. Polinomial seperti itu disebut binomial linier .
3x² – 5x + 7 atau x² + 2x – 1
atau 5y² + 7y + 8 atau z² – 5z – 2, dst.
Polinomial seperti ini disebut trinomial persegi.
Kemudian kita dapat membentuk segiempat kubik, misalnya:
x³ + 2x² – x + 1 atau 3x³ – 5x² – 2x – 3 dst.,
polinomial derajat keempat, misalnya:
x 4 – 2x³ – 3x² + 4x – 5, dst.
Koefisien di x, di x², di x³, dst juga dapat dilambangkan dengan huruf, misalnya dengan huruf a, b, c, dst.
1) bentuk umum binomial ax + b, linier terhadap x,
2) bentuk umum trinomial kuadrat (relatif terhadap x): ax² + bx + c,
3) bentuk umum trinomial kubik (relatif terhadap x): ax³ + bx² + cx + d, dst.
Dengan mengganti huruf a, b, c, d... dalam rumus ini dengan bilangan yang berbeda, kita mendapatkan semua jenis binomial linier, trinomial persegi, dll. Misalnya, dalam rumus ax² + bx + c, yang menyatakan persamaan umum bentuk trinomial kuadrat, kita ganti huruf a dengan angka + 3, huruf b dengan angka –2 dan huruf dengan angka –1, kita peroleh trinomial persegi 3x² – 2x – 1. Dalam kasus tertentu, binomial juga dapat diperoleh dengan mengganti salah satu huruf dengan nol, misalnya jika a = +1, b = 0 dan c = –3, maka kita mendapatkan binomial kuadrat x² – 3.
Anda dapat belajar memfaktorkan beberapa trinomial kuadrat dengan cukup cepat menjadi faktor linier. Namun, kami akan membatasi diri untuk hanya mempertimbangkan trinomial kuadrat yang memenuhi kondisi berikut:
1) koefisien suku terdepan (untuk x²) adalah +1,
2) Anda dapat menemukan dua bilangan bulat (dengan tanda, atau dua bilangan bulat relatif) sedemikian rupa sehingga jumlahnya sama dengan koefisien x pangkat pertama dan hasil kali keduanya sama dengan suku bebas x (jika tidak ada huruf x di semua).
Contoh. 1.x² + 5x + 6; Sangat mudah untuk secara mental mencari dua bilangan (yang mempunyai tanda) sehingga jumlahnya sama dengan +5 (koefisien x) dan hasil kali keduanya = +6 (suku bebas dari x) - bilangan-bilangan ini adalah: +2 dan + 3 [sebenarnya +2 + 3 = +5 dan (+2) ∙ (+3) = +6]. Dengan menggunakan kedua bilangan tersebut, kita ganti suku +5x dengan dua suku, yaitu: +2x + 3x (tentunya +2x + 3x = +5x); maka suku teknis kita akan diubah secara artifisial menjadi suku empat x² + 2x + 3x + 6. Sekarang mari kita terapkan teknik pengelompokan padanya, dengan memasukkan dua suku pertama ke dalam satu kelompok dan dua suku terakhir ke kelompok lain:
x² + 5x + 6 = x² + 2x + 3x + 6 = x (x + 2) + 3 (x + 2) = (x + 2) (x + 3).
Pada kelompok pertama kita mengeluarkan x dari kurung dan pada kelompok kedua +3, kita mendapatkan dua suku yang memiliki faktor persekutuan (x + 2), yang juga kita keluarkan dari kurung, dan trinomial kita x² + 5x + 6 didekomposisi menjadi 2 faktor linier: x + 2 dan x + 3.
2. x² – x – 12. Di sini Anda perlu mencari dua bilangan (relatif) yang jumlahnya sama dengan –1 dan hasil kali keduanya sama dengan –12. Angka-angka ini adalah: –4 dan +3.
Periksa: –4 + 3 = –1; (–4) (+3) = –12. Dengan menggunakan bilangan-bilangan ini, kita ganti suku –x dengan dua suku: –x = –4x + 3x, – kita peroleh:
x² – x – 12 = x² – 4x + 3x – 12 = x (x – 4) + 3 (x – 4) = (x – 4) (x + 3).
3.x² – 7x + 6; di sini angka yang dibutuhkan adalah: –6 dan –1. [Periksa: –6 + (–1) = –7; (–6) (–1) = +6].
x² – 7x + 6 = x² – 6x – x + 6 = x (x – 6) – (x – 6) = (x – 6) (x – 1).
Di sini anggota kelompok kedua –x + 6 harus diapit tanda kurung, dengan tanda minus di depannya.
4. x² + 8x – 48. Di sini Anda perlu mencari dua bilangan sehingga jumlahnya +8 dan hasil kali –48. Karena hasil perkaliannya harus bertanda minus, maka bilangan-bilangan yang disyaratkan harus mempunyai tanda yang berbeda-beda, karena jumlah bilangan-bilangan kita mempunyai tanda +, maka nilai mutlak bilangan positif tersebut harus lebih besar. Memperluas bilangan aritmatika 48 menjadi dua faktor (dan ini dapat dilakukan dengan cara yang berbeda), kita mendapatkan: 48 = 1 ∙ 48 = 2 ∙ 24 = 3 ∙ 16 = 4 ∙ 12 = 6 ∙ 8. Dari pemuaian tersebut mudah dilakukan untuk memilih yang sesuai dengan kebutuhan kita yaitu: 48 = 4 ∙ 12. Maka bilangan kita adalah: +12 dan –4. Selebihnya sederhana:
x² + 8x – 48 = x² + 12x – 4x – 48 = x (x + 12) – 4 (x + 12) = (x + 12) (x – 4).
5. x² + 7x – 12. Di sini Anda perlu mencari 2 bilangan sehingga jumlahnya +7 dan hasil kali = –12; 12 = 1 ∙ 12 = 2 ∙ 6 = 3 ∙ 4. Rupanya, 3 dan 4 adalah bilangan yang cocok, tetapi keduanya harus diambil dengan tanda yang berbeda sehingga hasil kali keduanya sama dengan –12, dan jumlah keduanya tidak boleh menjadi +7 [–3 + (+4) = +1, +3 + (–4) = –1]. Faktorisasi lain juga tidak memberikan angka yang dibutuhkan; Oleh karena itu, kami sampai pada kesimpulan bahwa kami belum dapat menguraikan trinomial kuadrat ini menjadi faktor linier, karena teknik kami tidak dapat diterapkan padanya (tidak memenuhi kondisi kedua yang ditetapkan di awal).
TIGA KOTAK III
§ 54. Penguraian trinomial kuadrat menjadi faktor linier
Pada bagian ini kita akan membahas pertanyaan berikut: dalam hal apa trinomial kuadrat itu kapak 2 + bx+c dapat direpresentasikan sebagai sebuah produk
(A 1 x+b 1) (A 2 x+b 2)
dua relatif linier X pengganda dengan koefisien nyata A 1 , B 1 , A 2 , B 2 (A 1 =/=0, A 2 =/=0) ?
1. Misalkan trinomial kuadrat diberikan kapak 2 + bx+c mari kita nyatakan dalam bentuk
kapak 2 + bx+c = (A 1 x+b 1) (A 2 x+b 2). (1)
Ruas kanan rumus (1) hilang ketika X = - B 1 / A 1 dan X = - B 2 / A 2 (A 1 dan A 2 tidak sama dengan nol dengan syarat). Namun dalam hal ini jumlahnya adalah B 1 / A 1 dan - B 2 / A 2 adalah akar persamaan
kapak 2 + bx+c = 0.
Oleh karena itu, diskriminan dari trinomial kuadrat kapak 2 + bx+c harus non-negatif.
2. Sebaliknya, anggaplah diskriminan D = B 2 - 4ac trinomial kuadrat kapak 2 + bx+c non-negatif. Maka trinomial ini mempunyai akar real X 1 dan X 2. Dengan menggunakan teorema Vieta, kita memperoleh:
kapak 2 + bx+c =A (X 2 + B / A X + C / A ) = A [X 2 - (X 1 + X 2) X + X 1 X 2 ] =
= A [(X 2 - X 1 X ) - (X 2 X - X 1 X 2)] = A [X (X - X 1) - X 2 (X - X 1) =
=A (X - X 1)(X - X 2).
kapak 2 + bx+c = A (X - X 1)(X - X 2), (2)
Di mana X 1 dan X 2 - akar trinomial kapak 2 + bx+c . Koefisien A dapat dikaitkan dengan salah satu dari dua faktor linier, misalnya,
A (X - X 1)(X - X 2) = (ah - kapak 1)(X - X 2).
Tetapi ini berarti bahwa dalam kasus ini adalah trinomial persegi kapak 2 + bx+c menyatakannya sebagai produk dari dua faktor linier dengan koefisien nyata.
Menggabungkan hasil yang diperoleh pada paragraf 1 dan 2, kita sampai pada teorema berikut.
Dalil. Trinomial persegi kapak 2 + bx+c kemudian dan hanya kemudian dapat direpresentasikan sebagai produk dari dua faktor linier dengan koefisien nyata,
kapak 2 + bx+c = (ah - kapak 1)(X - X 2),
ketika diskriminan dari trinomial kuadrat ini adalah non-negatif (yaitu, ketika trinomial ini mempunyai akar real).
Contoh 1. Faktorisasi linier 6 X 2 - X -1.
Akar-akar trinomial kuadrat ini adalah sama X 1 = 1/2 dan X 2 = - 1 / 3 .
Oleh karena itu, menurut rumus (2)
6X 2 - X -1 = 6 (X - 1 / 2)(X + 1 / 3) = (2X - 1) (3X + 1).
Contoh 2. Faktorisasi linier X 2 + X + 1. Diskriminan trinomial kuadrat ini negatif:
D = 1 2 - 4 1 1 = - 3< 0.
Oleh karena itu, trinomial kuadrat ini tidak dapat diperluas menjadi faktor linier dengan koefisien riil.
Latihan
Faktorkan persamaan berikut menjadi faktor linier (No. 403 - 406):
403. 6X 2 - 7X + 2. 405. X 2 - X + 1.
404. 2X 2 - 7Oh + 6A 2 . 406. X 2 - 3Oh + 2A 2 - ab - B 2 .
Pengurangan pecahan (No. 407, 408):
Selesaikan persamaan:
