Perluasan deret Fourier dari fungsi genap dan ganjil perluasan suatu fungsi yang diberikan pada interval menjadi deret sinus atau cosinus Deret Fourier untuk fungsi dengan periode sembarang Representasi kompleks deret Fourier Deret Fourier dalam sistem fungsi ortogonal umum Deret Fourier dalam suatu sistem ortogonal Sifat minimal koefisien Fourier Pertidaksamaan Bessel Kesetaraan Parseval Sistem tertutup Kelengkapan dan ketertutupan sistem
Ekspansi deret Fourier fungsi genap dan ganjil Suatu fungsi f(x), terdefinisi pada interval \-1, dimana I > 0, disebut genap jika grafik fungsi genap simetris terhadap sumbu ordinat. Suatu fungsi f(x), yang didefinisikan pada ruas J), dengan I > 0, disebut ganjil jika grafik fungsi ganjil tersebut simetris terhadap titik asal. Contoh. a) Fungsinya genap pada interval |-jt, jt), karena untuk semua x e b) Fungsinya ganjil, karena pemuaian deret Fourier dari fungsi genap dan ganjil adalah perluasan suatu fungsi yang diberikan pada suatu interval menjadi deret sinus atau cosinus Deret Fourier untuk fungsi dengan periode sembarang Representasi kompleks deret Fourier Deret Fourier untuk sistem fungsi ortogonal umum Deret Fourier untuk sistem ortogonal Sifat minimal koefisien Fourier Pertidaksamaan Bessel Kesetaraan Parseval Sistem tertutup Kelengkapan dan ketertutupan sistem c) Fungsi f (x)=x2-x, dimana tidak termasuk dalam fungsi genap maupun ganjil, karena Misalkan fungsi f(x), yang memenuhi syarat Teorema 1, genap pada interval x|. Lalu untuk semua orang yaitu /(g) cos nx adalah bahkan berfungsi, dan f(x)sinnx ganjil. Oleh karena itu, koefisien Fourier suatu fungsi genap f(x) akan sama, sehingga deret Fourier suatu fungsi genap berbentuk 00 Jika f(x) - fungsi ganjil pada interval [-тр, ir|, maka hasil kali f(x)cosnx merupakan fungsi ganjil, dan hasil kali f(x) sinпх merupakan fungsi genap. Oleh karena itu, kita akan mendapatkan Jadi, deret Fourier dari suatu fungsi ganjil berbentuk Contoh 1. Perluas fungsi 4 menjadi deret Fourier pada interval -x ^ x ^ n Karena fungsi ini genap dan memenuhi syarat Teorema 1, maka deret Fouriernya berbentuk Temukan koefisien Fourier. Kita telah menerapkan integrasi per bagian dua kali, kita mendapatkan bahwa Jadi, deret Fourier dari fungsi ini terlihat seperti ini: atau, dalam bentuk diperluas, Persamaan ini berlaku untuk sembarang x €, karena pada titik x = ±ir jumlah dari deret tersebut berimpit dengan nilai fungsi f(x ) = x2, karena grafik fungsi f(x) = x dan jumlah deret yang dihasilkan diberikan pada Gambar. Komentar. Deret Fourier ini memungkinkan kita mencari jumlah salah satu deret numerik konvergen, yaitu untuk x = 0 kita peroleh Contoh 2. Perluas fungsi /(x) = x menjadi deret Fourier pada intervalnya. Fungsi /(x) memenuhi syarat Teorema 1, oleh karena itu dapat diperluas menjadi deret Fourier, yang karena keanehan fungsi tersebut akan berbentuk Integral per bagian, kita cari koefisien Fouriernya. Deret Fourier dari fungsi ini berbentuk Persamaan ini berlaku untuk semua x B di titik x - ±t jumlah deret Fourier tidak sesuai dengan nilai fungsi /(x) = x, karena sama dengan Di luar interval [-*, i-] jumlah deret tersebut merupakan kelanjutan periodik dari fungsi /(x) = x; grafiknya ditunjukkan pada Gambar. 6. § 6. Perluasan suatu fungsi yang diberikan pada suatu interval menjadi suatu deret dalam sinus atau kosinus Biarkan fungsi monotonik sepotong-sepotong berbatas / diberikan pada interval tersebut. Nilai fungsi ini pada interval 0| dapat didefinisikan lebih lanjut dengan berbagai cara. Misalnya, Anda dapat mendefinisikan suatu fungsi / pada segmen tc] sehingga /. Dalam hal ini mereka mengatakan bahwa) “diperluas ke segmen 0] secara genap”; deret Fouriernya hanya berisi kosinus. Jika fungsi /(x) terdefinisi pada interval [-l-,mc] sehingga /(, maka hasilnya adalah fungsi ganjil, lalu dikatakan / “diperluas ke interval [-*, 0] dengan cara yang ganjil"; dalam hal ini, deret Fourier hanya akan berisi sinus. Dengan demikian, setiap fungsi monotonik sepotong-sepotong yang dibatasi /(x) yang didefinisikan pada interval dapat diperluas menjadi deret Fourier dalam sinus dan kosinus. Contoh 1 .Perluas fungsinya menjadi deret Fourier: a) dengan cosinus; b) oleh sinus. M Fungsi ini, dengan kelanjutan genap dan ganjil pada segmen |-x,0) akan berbatas dan monotonik sedikit demi sedikit. a) Perluas /(z) pada ruas 0) a) Perluas j\x) pada ruas (-π,0| secara genap (Gbr. 7), maka deret Fourier i-nya akan berbentuk Π = 1 dimana koefisien Fourier masing-masing sama untuk Oleh karena itu, b) Perpanjang /(z) ke dalam segmen [-x,0] dengan cara ganjil (Gbr. 8). Kemudian deret Fouriernya §7. Deret Fourier untuk suatu fungsi dengan periode sembarang Misalkan fungsi tetap) periodik dengan periode 21,1 ^ 0. Untuk memperluasnya menjadi deret Fourier pada interval I > 0, kita melakukan perubahan variabel dengan menetapkan x = jt . Maka fungsi F(t) = / ^tj akan menjadi fungsi periodik dari argumen t dengan periode dan dapat diperluas pada segmen tersebut menjadi deret Fourier.Kembali ke variabel x, yaitu pengaturan, kita memperoleh Semua teorema valid untuk deret Fourier fungsi periodik dengan periode 2π , tetap berlaku untuk fungsi periodik dengan periode sembarang 21. Secara khusus, kriteria memadai untuk penguraian suatu fungsi dalam deret Fourier juga tetap valid. Contoh 1. Perluas ke dalam deret Fourier suatu fungsi periodik dengan periode 21, yang diberikan pada interval [-/,/] dengan rumus (Gbr. 9). Karena fungsi ini genap, maka deret Fouriernya berbentuk Mensubstitusi nilai koefisien Fourier yang ditemukan ke dalam deret Fourier, kita peroleh. Kita perhatikan satu hal properti penting fungsi periodik. Teorema 5. Jika suatu fungsi mempunyai periode T dan dapat diintegralkan, maka untuk sembarang bilangan a persamaan m berlaku. yaitu integral suatu ruas yang panjangnya sama dengan periode T mempunyai nilai yang sama tanpa memperhatikan kedudukan ruas tersebut pada sumbu bilangan. Faktanya, kami melakukan perubahan variabel pada integral kedua, dengan asumsi. Hal ini memberikan dan oleh karena itu, Secara geometris, sifat ini berarti bahwa dalam kasus area yang diarsir pada Gambar. 10 area sama satu sama lain. Khususnya, untuk suatu fungsi f(x) dengan periode yang kita peroleh pada Ekspansi ke dalam deret Fourier dari fungsi genap dan ganjil, perluasan suatu fungsi yang diberikan pada suatu interval menjadi deret dalam sinus atau kosinus Deret Fourier untuk suatu fungsi dengan sembarang periode Notasi kompleks deret Fourier Deret Fourier pada sistem ortogonal umum fungsi Deret Fourier pada sistem ortogonal Sifat minimal koefisien Fourier Pertidaksamaan Bessel Persamaan Parseval Sistem tertutup Kelengkapan dan ketertutupan sistem Contoh 2. Fungsi x periodik dengan suatu periode Karena keanehan fungsi ini, tanpa menghitung integral, kita dapat menyatakan bahwa untuk setiap sifat terbukti, khususnya, menunjukkan , bahwa koefisien Fourier fungsi periodik f(x) dengan periode 21 dapat dihitung menggunakan rumus dimana a adalah bilangan real sembarang (perhatikan bahwa fungsi cos - dan sin memiliki periode 2/). Contoh 3. Perluas ke dalam deret Fourier suatu fungsi yang diberikan pada interval dengan periode 2x (Gbr. 11). 4 Mari kita cari koefisien Fourier dari fungsi ini. Dengan memasukkan rumus kita menemukan bahwa untuk Oleh karena itu, deret Fourier akan terlihat seperti ini: Pada titik x = jt (titik diskontinuitas jenis pertama) kita mempunyai §8. Representasi kompleks deret Fourier Bagian ini menggunakan beberapa elemen analisis yang komprehensif(lihat Bab XXX, di mana semua tindakan yang dilakukan di sini dengan ekspresi kompleks dibenarkan secara ketat). Biarkan fungsi f(x) memenuhi kondisi yang cukup untuk ekspansi menjadi deret Fourier. Kemudian pada ruas x] dapat direpresentasikan dengan suatu deret berbentuk Menggunakan rumus Euler Mensubstitusi ekspresi-ekspresi ini ke dalam deret (1) sebagai pengganti cos πx dan sin φx kita akan mempunyai Notasi berikut Mari kita perkenalkan notasi berikut Maka deret (2) akan diambil bentuk Jadi, deret Fourier (1) direpresentasikan dalam bentuk kompleks (3). Mari kita cari ekspresi koefisien melalui integral. Kami memiliki Demikian pula, kami menemukan Rumus akhir untuk с„, с_п dan с dapat ditulis sebagai berikut: . . Koefisien „ disebut koefisien Fourier kompleks dari fungsi tersebut. Untuk fungsi periodik dengan periode), bentuk kompleks deret Fourier akan berbentuk dimana koefisien Cn dihitung dengan menggunakan rumus Konvergensi deret (3 ) dan (4) dipahami sebagai berikut: deret (3) dan (4) disebut konvergen untuk nilai yang diberikan g, jika ada batasan Contoh. Perluas fungsi periode menjadi deret Fourier kompleks.Fungsi ini memenuhi kondisi yang cukup untuk perluasan menjadi deret Fourier. Mari kita cari koefisien Fourier kompleks dari fungsi ini. Kita punya ganjil untuk genap n, atau, singkatnya. Mengganti nilainya), akhirnya kita memperoleh Perhatikan bahwa deret ini juga dapat ditulis sebagai berikut: Deret Fourier untuk sistem fungsi ortogonal umum 9.1. Sistem fungsi ortogonal Mari kita nyatakan dengan himpunan semua fungsi (nyata) yang terdefinisi dan dapat diintegralkan pada interval [a, 6] dengan kuadrat, yaitu fungsi yang memiliki integral.Khususnya, semua fungsi f(x) kontinu pada interval [a , 6], milik 6], dan nilai integral Lebesgue-nya bertepatan dengan nilai integral Riemann. Definisi. Suatu sistem fungsi, dimana, disebut ortogonal pada interval [a, b\, jika Kondisi (1) mengasumsikan, khususnya, bahwa tidak ada fungsi yang identik dengan nol. Integral dipahami dalam pengertian Lebesgue. dan kita menyebut besaran sebagai norma fungsi.Jika dalam sistem ortogonal untuk sembarang n yang kita miliki, maka sistem fungsi tersebut disebut ortonormal. Jika sistem (y>„(x)) ortogonal, maka sistem Contoh 1. Sistem trigonometri adalah ortogonal pada suatu segmen. Sistem fungsi merupakan sistem fungsi ortonormal pada Contoh 2. Sistem kosinus dan sistem sinus bersifat ortonormal. Mari kita perkenalkan notasi bahwa polinomial tersebut ortogonal pada interval (0, f|, tetapi tidak ortonormal (untuk I - 2). Karena normanya adalah COS Contoh 3. Polinomial yang didefinisikan oleh persamaan disebut polinomial Legendre (polinomial). Untuk n = 0 kita mempunyai Dapat dibuktikan, bahwa fungsi-fungsi tersebut membentuk sistem fungsi ortonormal pada interval tersebut. Mari kita tunjukkan, misalnya, ortogonalitas polinomial Legendre. Misal m > n. Dalam kasus ini, integrasikan sebanyak n kali dengan bagian, kita temukan karena untuk fungsi t/m = (z2 - I)m semua turunan hingga orde m - I inklusif menghilang di ujung segmen [-1,1). Definisi. Suatu sistem fungsi (pn(x)) disebut ortogonal pada interval (a, b) dengan overhang p(x) jika: 1) untuk semua n = 1,2,... terdapat integral. diasumsikan bahwa fungsi bobot p(x) terdefinisi dan positif di mana pun pada interval (a, b) dengan kemungkinan pengecualian pada sejumlah titik berhingga di mana p(x) dapat hilang. Setelah melakukan diferensiasi pada rumus (3), kita temukan. Dapat ditunjukkan bahwa polinomial Chebyshev-Hermite adalah ortogonal pada interval Contoh 4. Sistem fungsi Bessel (jL(pix)^ adalah ortogonal pada interval nol dari fungsi Bessel Contoh 5. Mari kita perhatikan polinomial Chebyshev-Hermite , yang dapat didefinisikan menggunakan persamaan. Deret Fourier dalam sistem ortogonal Misalkan terdapat sistem fungsi ortogonal pada interval (a, 6) dan biarkan deret (cj = const) konvergen pada interval ini ke fungsi f(x): Mengalikan kedua ruas persamaan terakhir oleh - tetap) dan mengintegrasikan x dari a ke 6, karena ortogonalitas sistem, kita memperoleh bahwa operasi ini, secara umum, bersifat formal murni. Namun, dalam beberapa kasus, misalnya, ketika deret (4) konvergen secara seragam, semua fungsi kontinu dan interval (a, 6) berhingga, operasi ini sah. Namun bagi kami sekarang yang penting adalah penafsiran formal. Jadi, biarkan suatu fungsi diberikan. Mari kita bentuk bilangan c* sesuai rumus (5) dan tuliskan Deret di sebelah kanan disebut deret Fourier dari fungsi f(x) terhadap sistem (^n(i)). disebut koefisien Fourier dari fungsi f(x) terhadap sistem ini. Tanda ~ pada rumus (6) hanya berarti bilangan Cn berhubungan dengan fungsi f(x) dengan rumus (5) (tidak diasumsikan bahwa deret di sebelah kanan konvergen sama sekali, apalagi konvergen ke fungsi f (X)). Oleh karena itu, pertanyaan yang wajar muncul: apa sajakah sifat-sifat rangkaian ini? Dalam artian apa “mewakili” fungsi f(x)? 9.3. Definisi Konvergensi rata-rata. Suatu barisan konvergen ke elemen ] rata-rata jika normanya berada pada ruang Teorema 6. Jika suatu barisan ) konvergen seragam, maka barisan tersebut konvergen rata-rata. M Biarkan barisan ()) konvergen seragam pada interval [a, b] ke fungsi /(x). Ini berarti bahwa untuk setiap orang, untuk semua n yang cukup besar, kita mempunyai Oleh karena itu, yang menjadi dasar pernyataan kita. Kebalikannya tidak benar: barisan () rata-rata konvergen ke /(x), tetapi tidak konvergen seragam. Contoh. Perhatikan barisan nx. Sangat mudah untuk melihat bahwa Tetapi konvergensi ini tidak seragam: terdapat e, misalnya, sedemikian rupa sehingga, tidak peduli seberapa besar n, pada interval kosinus Deret Fourier untuk suatu fungsi dengan periode sembarang Representasi kompleks dari deret Fourier Deret Fourier untuk sistem fungsi ortogonal umum Deret Fourier untuk sistem ortogonal Sifat minimal koefisien Fourier Pertidaksamaan Bessel Persamaan Parseval Sistem tertutup Kelengkapan dan ketertutupan sistem dan misalkan Koefisien Fourier dari fungsi tersebut dilambangkan dengan c* /(x ) oleh sistem ortonormal b Pertimbangkan kombinasi linier di mana n ^ 1 adalah bilangan bulat tetap, dan temukan nilai konstanta di mana integralnya mengambil nilai minimum. Mari kita tulis lebih detail. Mengintegrasikan suku demi suku, karena ortonormalitas sistem, kita memperoleh Dua suku pertama pada ruas kanan persamaan (7) saling bebas, dan suku ketiga non-negatif. Oleh karena itu, integral (*) mempunyai nilai minimum pada ak = sk. Integral tersebut disebut pendekatan kuadrat rata-rata fungsi /(x) dengan kombinasi linier Tn(x). Jadi, perkiraan akar rata-rata kuadrat dari fungsi /\ mengambil nilai minimum kapan. bila Tn(x) adalah jumlah parsial ke-71 deret Fourier fungsi /(x) pada sistem (. Setting ak = sk, dari (7) diperoleh Persamaan (9) disebut identitas Bessel. Karena kirinya sisi non-negatif, maka dari situ pertidaksamaan Bessel mengikuti. Karena saya di sini secara sembarang, pertidaksamaan Bessel dapat direpresentasikan dalam bentuk yang diperkuat, yaitu untuk sembarang fungsi / deret koefisien Fourier kuadrat dari fungsi ini dalam sistem ortonormal ) konvergen . Karena sistem tersebut ortonormal pada interval [-x, m], maka pertidaksamaan (10) yang diterjemahkan ke dalam notasi biasa deret Fourier trigonometri menghasilkan relasi do yang valid untuk sembarang fungsi /(x) dengan kuadrat integral. Jika f2(x) dapat diintegralkan, maka disebabkan oleh kondisi yang diperlukan konvergensi deret di sisi kiri pertidaksamaan (11), kita peroleh bahwa. Persamaan Parseval Untuk beberapa sistem (^„(x)), tanda pertidaksamaan pada rumus (10) dapat diganti (untuk semua fungsi f(x) 6 ×) dengan tanda sama dengan. Persamaan yang dihasilkan disebut persamaan Parseval-Steklov (kondisi kelengkapan). Identitas Bessel (9) memungkinkan kita untuk menulis kondisi (12) dalam bentuk ekuivalen, sehingga terpenuhinya kondisi kelengkapan berarti jumlah parsial Sn(x) dari deret Fourier fungsi /(x) konvergen ke fungsi tersebut /(x) rata-rata, mis. sesuai dengan norma ruang 6]. Definisi. Suatu sistem ortonormal ( disebut lengkap dalam b2[аy b] jika setiap fungsi dapat didekati dengan akurasi rata-rata dengan kombinasi linier dari bentuk dengan jumlah suku yang cukup banyak, yaitu jika untuk sembarang fungsi /(x) ∈ b2 [a, b\ dan untuk setiap e > 0 ada bilangan asli nq dan bilangan a\, a2y..., sehingga No Dari alasan di atas mengikuti Teorema 7. Jika dengan ortonormalisasi sistem ) lengkap dalam ruang, deret Fourier dari setiap fungsi / pada sistem ini konvergen ke f(x) pada rata-rata, yaitu menurut norma Dapat ditunjukkan bahwa sistem trigonometri lengkap dalam ruang, demikian implikasi dari pernyataan tersebut. Teorema 8. Jika suatu fungsi /o deret Fourier trigonometrinya konvergen ke fungsi tersebut secara rata-rata. 9.5. Sistem tertutup. Kelengkapan dan ketertutupan sistem Definisi. Suatu sistem fungsi ortonormal \ disebut tertutup jika pada ruang Li\a, b) tidak terdapat fungsi bukan nol yang ortogonal terhadap semua fungsi.Pada ruang L2\a, b\ konsep kelengkapan dan ketertutupan sistem ortonormal berhimpitan. Latihan 1. Perluas fungsi 2 menjadi deret Fourier pada interval (-i-, x) 2. Perluas fungsi tersebut menjadi deret Fourier pada interval (-tr, tr) 3. Perluas fungsi 4 menjadi deret Fourier pada interval (-tr, tr) menjadi deret Fourier pada interval (-jt, tr) fungsi 5. Perluas fungsi f(x) = x + x menjadi deret Fourier pada interval (-tr, tr). 6. Perluas fungsi n menjadi deret Fourier pada interval (-jt, tr) 7. Perluas fungsi /(x) = sin2 x menjadi deret Fourier pada interval (-tr, x). 8. Perluas fungsi f(x) = y menjadi deret Fourier pada interval (-tr, jt) 9. Perluas fungsi f(x) = | dosa x|. 10. Perluas fungsi f(x) = § menjadi deret Fourier pada interval (-π-, π). 11. Perluas fungsi f(x) = sin § menjadi deret Fourier pada interval (-tr, tr). 12. Perluas fungsi f(x) = n -2x, yang diberikan pada interval (0, x), menjadi deret Fourier, perluas hingga interval (-x, 0): a) secara genap; b) dengan cara yang aneh. 13. Perluas fungsi /(x) = x2, yang diberikan pada interval (0, x), menjadi deret Fourier dalam sinus. 14. Perluas fungsi /(x) = 3, yang diberikan pada interval (-2,2), menjadi deret Fourier. 15. Perluas fungsi f(x) = |x|, yang diberikan pada interval (-1,1), menjadi deret Fourier. 16. Perluas fungsi f(x) = 2x, yang ditentukan dalam interval (0,1), menjadi deret Fourier dalam sinus.
Jika fungsinya f(x) memiliki pada beberapa interval yang mengandung titik A, turunan dari semua orde, maka rumus Taylor dapat diterapkan padanya:
Di mana tidak– yang disebut sisa suku atau sisa deret, dapat diperkirakan dengan menggunakan rumus Lagrange:
, dimana bilangan x berada di antara keduanya X Dan A.
Jika untuk beberapa nilai xrn®0 pada N®¥, maka pada limit rumus Taylor berubah menjadi rumus konvergen untuk nilai tersebut Seri Taylor:
Jadi fungsinya f(x) dapat diperluas menjadi deret Taylor pada titik yang dimaksud X, Jika:
1) memiliki turunan dari semua pesanan;
2) deret yang dibangun konvergen pada titik ini.
Pada A=0 kita mendapatkan seri yang disebut dekat Maclaurin:
Contoh 1 f(x)= 2X.
Larutan. Mari kita cari nilai fungsi dan turunannya di X=0
f(x) = 2X, F( 0) = 2 0 =1;
f¢(x) = 2X ln2, f¢( 0) = 2 0 ln2= ln2;
f¢¢(x) = 2X dalam 2 2, f¢¢( 0) = 2 0 dalam 2 2= dalam 2 2;
f(n)(x) = 2X dalam N 2, f(n)( 0) = 2 0 dalam N 2=dalam N 2.
Mengganti nilai turunan yang diperoleh ke dalam rumus deret Taylor, kita memperoleh:
Jari-jari konvergensi deret ini sama dengan tak terhingga, oleh karena itu pemuaian ini berlaku untuk -¥<X<+¥.
Contoh 2 X+4) untuk fungsi f(x)= e X.
Larutan. Mencari turunan fungsi e X dan nilai-nilai mereka pada saat itu X=-4.
f(x)= e X, F(-4) = e -4 ;
f¢(x)= e X, f¢(-4) = e -4 ;
f¢¢(x)= e X, f¢¢(-4) = e -4 ;
f(n)(x)= e X, f(n)( -4) = e -4 .
Oleh karena itu, deret Taylor dari fungsi tersebut memiliki bentuk:
Perluasan ini juga berlaku untuk -¥<X<+¥.
Contoh 3 . Perluas suatu fungsi f(x)=dalam X dalam rangkaian kekuatan ( X- 1),
(yaitu dalam deret Taylor di sekitar titik X=1).
Larutan. Temukan turunan dari fungsi ini.
Mengganti nilai-nilai ini ke dalam rumus, kita memperoleh deret Taylor yang diinginkan:
Dengan menggunakan uji d'Alembert, Anda dapat memverifikasi bahwa deret tersebut konvergen kapan
½ X- 1½<1. Действительно,
Deret tersebut konvergen jika ½ X- 1½<1, т.е. при 0<X<2. При X=2 kita memperoleh deret bolak-balik yang memenuhi kondisi kriteria Leibniz. Pada X=0 fungsi tidak ditentukan. Jadi, daerah konvergensi deret Taylor adalah interval setengah terbuka (0;2).
Mari kita sajikan perluasan yang diperoleh dengan cara ini ke dalam deret Maclaurin (yaitu di sekitar titik X=0) untuk beberapa fungsi dasar:
(2) 
,
(3) 
,
( dekomposisi terakhir disebut deret binomial)
Contoh 4 . Perluas fungsinya menjadi deret pangkat
Larutan. Dalam ekspansi (1) kita ganti X pada - X 2, kita mendapatkan:
Contoh 5
. Perluas fungsi dalam deret Maclaurin 
Larutan. Kita punya 
Dengan menggunakan rumus (4), kita dapat menulis:
menggantikannya X ke dalam rumus -X, kita mendapatkan:
Dari sini kita menemukan:
Membuka tanda kurung, menyusun ulang suku-suku deret tersebut dan membawa suku-suku serupa, kita peroleh
Deret ini konvergen pada interval tersebut
(-1;1), karena diperoleh dari dua deret yang masing-masing konvergen pada interval tertentu.
Komentar .
Rumus (1)-(5) juga dapat digunakan untuk memperluas fungsi-fungsi yang bersesuaian menjadi deret Taylor, yaitu. untuk memperluas fungsi dalam pangkat bilangan bulat positif ( Ha). Untuk melakukan ini, perlu melakukan transformasi identik pada fungsi tertentu untuk mendapatkan salah satu fungsi (1)-(5), yang sebaliknya X biaya k( Ha) m , dimana k adalah bilangan konstan, m adalah bilangan bulat positif. Seringkali lebih mudah untuk melakukan perubahan variabel T=Ha dan perluas fungsi yang dihasilkan terhadap t dalam deret Maclaurin.
Metode ini menggambarkan teorema keunikan perluasan deret pangkat suatu fungsi. Inti dari teorema ini adalah bahwa di lingkungan titik yang sama tidak dapat diperoleh dua deret pangkat berbeda yang konvergen pada fungsi yang sama, tidak peduli bagaimana pemuaiannya dilakukan.
Contoh 6 . Perluas fungsi deret Taylor di lingkungan suatu titik X=3.
Larutan. Masalah ini dapat diselesaikan, seperti sebelumnya, dengan menggunakan definisi deret Taylor, yang mana kita perlu mencari turunan fungsi dan nilainya di X=3. Namun, akan lebih mudah menggunakan ekspansi yang ada (5):
Deret yang dihasilkan konvergen di 
atau –3<X- 3<3, 0<X< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.
Contoh 7
. Tuliskan deret Taylor dalam pangkat ( X-1) fungsi 
.
Larutan.
Deret tersebut bertemu di 
, atau 2< X£5.
Itu sudah cukup membosankan. Dan saya merasa saatnya telah tiba ketika tiba waktunya untuk mengekstraksi makanan kaleng baru dari cadangan teori yang strategis. Apakah mungkin untuk memperluas fungsi menjadi rangkaian dengan cara lain? Misalnya, nyatakan ruas garis lurus dalam sinus dan cosinus? Tampaknya luar biasa, tetapi fungsi yang tampaknya jauh itu bisa saja terjadi
"penyatuan kembali". Selain derajat teori dan praktik yang sudah dikenal, ada pendekatan lain untuk memperluas suatu fungsi menjadi suatu deret.
Dalam pelajaran ini kita akan mengenal deret Fourier trigonometri, membahas masalah konvergensi dan penjumlahannya, dan tentu saja kita akan menganalisis banyak contoh perluasan fungsi dalam deret Fourier. Saya dengan tulus ingin menyebut artikel ini sebagai “Deret Fourier untuk Boneka,” tetapi ini tidak jujur, karena menyelesaikan masalah memerlukan pengetahuan tentang cabang analisis matematis lain dan beberapa pengalaman praktis. Oleh karena itu, pembukaannya akan menyerupai pelatihan astronot =)
Pertama, Anda harus mendekati studi materi halaman dengan sangat baik. Mengantuk, istirahat dan sadar. Tanpa emosi yang kuat tentang patah kaki hamster dan pikiran obsesif tentang sulitnya hidup ikan akuarium. Deret Fourier tidak sulit untuk dipahami, tetapi tugas-tugas praktis hanya memerlukan peningkatan konsentrasi perhatian - idealnya, Anda harus melepaskan diri sepenuhnya dari rangsangan eksternal. Situasi ini diperburuk oleh kenyataan bahwa tidak ada cara mudah untuk memeriksa solusi dan jawabannya. Oleh karena itu, jika kesehatan Anda di bawah rata-rata, lebih baik lakukan sesuatu yang lebih sederhana. Apakah itu benar?
Kedua, sebelum terbang ke luar angkasa, perlu mempelajari panel instrumen pesawat ruang angkasa. Mari kita mulai dengan nilai fungsi yang harus diklik pada mesin:
Untuk nilai alami apa pun:
1) . Memang, sinusoidal “menjahit” sumbu x melalui setiap “pi”:
. Dalam kasus nilai argumen negatif, hasilnya tentu saja akan sama: .
2) . Namun tidak semua orang mengetahui hal ini. Cosinus "pi" setara dengan "blinker":
Argumen negatif tidak mengubah keadaan: 
.
Mungkin itu cukup.
Dan ketiga, korps kosmonot yang terhormat, Anda harus mampu... mengintegrasikan.
Khususnya, dengan percaya diri masukkan fungsi tersebut ke dalam tanda diferensial, mengintegrasikan sedikit demi sedikit dan berdamai dengan Rumus Newton-Leibniz. Mari kita mulai latihan penting sebelum penerbangan. Saya sangat tidak menyarankan untuk melewatkannya, agar tidak terjepit dalam keadaan tanpa bobot nanti:
Contoh 1
Menghitung integral tertentu
dimana mengambil nilai-nilai alam.
Larutan: integrasi dilakukan pada variabel “x” dan pada tahap ini variabel diskrit “en” dianggap sebagai konstanta. Dalam semua integral letakkan fungsinya di bawah tanda diferensial:
Versi singkat dari solusi yang bagus untuk ditargetkan terlihat seperti ini:
Mari kita biasakan:
Empat poin tersisa ada pada Anda sendiri. Cobalah untuk mendekati tugas dengan hati-hati dan tuliskan integralnya secara singkat. Contoh solusi di akhir pelajaran.
Setelah melakukan latihan KUALITAS, kami mengenakan pakaian antariksa
dan bersiap untuk memulai!
Perluasan suatu fungsi menjadi deret Fourier pada interval
Perhatikan beberapa fungsi itu bertekad setidaknya untuk jangka waktu tertentu (dan mungkin untuk jangka waktu yang lebih lama). Jika fungsi ini dapat diintegralkan pada interval, maka dapat diperluas menjadi trigonometri Seri Fourier:
, di mana yang disebut Koefisien Fourier.
Dalam hal ini nomor tersebut dipanggil periode dekomposisi, dan nomornya adalah waktu paruh dekomposisi.
Jelaslah bahwa secara umum deret Fourier terdiri dari sinus dan cosinus: 
Baiklah, mari kita tuliskan secara detail:
Suku nol suatu deret biasanya ditulis dalam bentuk .
Koefisien Fourier dihitung menggunakan rumus berikut: 
Saya memahami betul bahwa mereka yang mulai mempelajari topik ini masih belum memahami istilah-istilah baru: periode dekomposisi, setengah siklus, Koefisien Fourier dll. Jangan panik, ini tidak sebanding dengan keseruan sebelum pergi ke luar angkasa. Mari kita pahami semuanya dalam contoh berikut, sebelum menjalankannya adalah logis untuk mengajukan pertanyaan praktis yang mendesak:
Apa yang perlu Anda lakukan dalam tugas berikut?
Perluas fungsinya menjadi deret Fourier. Selain itu, sering kali kita perlu menggambarkan grafik suatu fungsi, grafik jumlah suatu deret, jumlah parsial, dan dalam kasus fantasi profesor yang canggih, lakukan hal lain.
Bagaimana cara memperluas suatu fungsi menjadi deret Fourier?
Intinya, Anda perlu menemukannya Koefisien Fourier, yaitu menyusun dan menghitung tiga integral tertentu.
Silakan salin bentuk umum deret Fourier dan ketiga rumus kerjanya ke dalam buku catatan Anda. Saya sangat senang beberapa pengunjung situs mewujudkan impian masa kecil mereka menjadi astronot tepat di depan mata saya =)
Contoh 2
Perluas fungsi tersebut menjadi deret Fourier pada interval tersebut. Buatlah grafik, grafik jumlah deret dan jumlah parsial.
Larutan: Bagian pertama dari tugas ini adalah memperluas fungsi menjadi deret Fourier.
Permulaannya standar, pastikan untuk menuliskannya:
Dalam soal ini, periode ekspansi adalah setengah periode.
Mari kita perluas fungsinya menjadi deret Fourier pada interval: 
Dengan menggunakan rumus yang sesuai, kami menemukannya Koefisien Fourier. Sekarang kita perlu menyusun dan menghitung tiga integral tertentu. Untuk kenyamanan, saya akan memberi nomor poinnya:
1) Integral pertama adalah yang paling sederhana, namun juga membutuhkan perhatian: 
2) Gunakan rumus kedua:
Integral ini terkenal dan dia mengambilnya sepotong demi sepotong: 
Digunakan saat ditemukan metode menjumlahkan suatu fungsi di bawah tanda diferensial.
Dalam tugas yang sedang dipertimbangkan, akan lebih mudah untuk segera menggunakannya rumus integrasi bagian-bagian dalam integral tertentu 
:
Beberapa catatan teknis. Pertama, setelah menerapkan formula seluruh ekspresi harus diapit tanda kurung besar, karena ada konstanta sebelum integral asal. Jangan sampai kita kehilangan dia! Tanda kurung dapat diperluas pada langkah selanjutnya; Saya melakukan ini sebagai upaya terakhir. Dalam "bagian" pertama 
Kami sangat berhati-hati dalam melakukan substitusi; seperti yang Anda lihat, konstanta tidak digunakan, dan limit integrasi disubstitusikan ke dalam hasil kali. Tindakan ini ditandai dalam tanda kurung siku. Nah, Anda sudah familiar dengan integral "bagian" kedua dari rumus dari tugas pelatihan ;-)
Dan yang paling penting - konsentrasi ekstrim!
3) Kami mencari koefisien Fourier ketiga:
Diperoleh kerabat dari integral sebelumnya, yang juga terintegrasi sedikit demi sedikit:
Contoh ini sedikit lebih rumit, saya akan mengomentari langkah selanjutnya langkah demi langkah: 
(1) Ekspresi tersebut diapit seluruhnya dalam tanda kurung besar. Saya tidak ingin terlihat membosankan, mereka terlalu sering kehilangan konstanta.
(2) Dalam hal ini, saya langsung membuka tanda kurung besar tersebut. Perhatian khusus Kami mengabdikan diri pada “bagian” pertama: terus-menerus merokok di sela-sela dan tidak berpartisipasi dalam substitusi batas integrasi ( dan ) ke dalam produk. Karena catatan yang berantakan, sekali lagi disarankan untuk menyorot tindakan ini dengan tanda kurung siku. Dengan "bagian" kedua 
semuanya lebih sederhana: di sini pecahan muncul setelah membuka tanda kurung besar, dan konstanta muncul sebagai hasil pengintegrasian integral yang sudah dikenal ;-)
(3) Dalam tanda kurung siku kita melakukan transformasi, dan pada integral kanan - substitusi limit integrasi.
(4) Kita hilangkan “lampu berkedip” dari tanda kurung siku: , lalu buka tanda kurung bagian dalam: .
(5) Kita hapus 1 dan –1 dalam tanda kurung dan lakukan penyederhanaan akhir.
Akhirnya, ketiga koefisien Fourier ditemukan: 
Mari kita substitusikan ke dalam rumus 
:
Pada saat yang sama, jangan lupa membaginya menjadi dua. Pada langkah terakhir, konstanta (“minus dua”), yang tidak bergantung pada “en”, dikeluarkan dari penjumlahan.
Jadi, kita memperoleh perluasan fungsi menjadi deret Fourier pada interval: 
Mari kita pelajari masalah konvergensi deret Fourier. Saya akan menjelaskan teorinya secara khusus Teorema Dirichlet, secara harfiah "di jari", jadi jika Anda memerlukan formulasi yang ketat, silakan merujuk ke buku teks tentang analisis matematika (misalnya Bohan jilid ke-2; atau Fichtenholtz jilid ke-3, tetapi lebih sulit).
Bagian kedua dari soal ini memerlukan penggambaran grafik, grafik jumlah suatu deret, dan grafik jumlah parsial.
Grafik fungsinya seperti biasa garis lurus pada suatu bidang, yang digambar dengan garis putus-putus hitam: 
Mari kita cari tahu jumlah deretnya. Seperti yang Anda ketahui, deret fungsi konvergen ke fungsi. Dalam kasus kami, deret Fourier yang dibangun 
untuk setiap nilai "x" akan konvergen ke fungsi, yang ditunjukkan dengan warna merah. Fungsi ini dapat ditoleransi pecahnya jenis pertama pada titik-titik, tetapi juga ditentukan pada titik-titik tersebut (titik-titik merah pada gambar)
Dengan demikian: 
. Sangat mudah untuk melihat bahwa ini sangat berbeda dari fungsi aslinya, itulah sebabnya ada dalam entri 
Tanda gelombang digunakan sebagai pengganti tanda sama dengan.
Mari kita pelajari algoritma yang cocok untuk menyusun jumlah suatu deret.
Pada interval pusat, deret Fourier menyatu dengan fungsi itu sendiri (segmen merah pusat bertepatan dengan garis putus-putus hitam dari fungsi linier).
Sekarang mari kita bicara sedikit tentang sifat pemuaian trigonometri yang sedang dibahas. Seri Fourier 
hanya mencakup fungsi periodik (konstanta, sinus, dan kosinus), jadi jumlah deretnya 
juga merupakan fungsi periodik.
Apa maksudnya dalam contoh spesifik kita? Dan ini berarti jumlah deretnya 
–tentu saja berkala dan segmen merah pada interval harus diulang tanpa henti di kiri dan kanan.
Saya rasa makna ungkapan “masa pembusukan” kini akhirnya menjadi jelas. Sederhananya, setiap kali situasinya berulang lagi dan lagi.
Dalam praktiknya, biasanya cukup menggambarkan tiga periode dekomposisi, seperti yang dilakukan pada gambar. Nah, dan juga “tunggul” periode yang berdekatan - sehingga jelas bahwa grafiknya terus berlanjut.
Yang menarik adalah titik diskontinuitas jenis pertama. Pada titik-titik tersebut, deret Fourier menyatu menjadi nilai-nilai terisolasi, yang terletak tepat di tengah “lompatan” diskontinuitas (titik merah pada gambar). Bagaimana cara mengetahui ordinat titik-titik tersebut? Pertama, mari kita cari ordinat “lantai atas”: untuk melakukan ini, kita menghitung nilai fungsi di titik paling kanan dari periode pusat pemuaian: . Untuk menghitung ordinat “lantai bawah”, cara termudah adalah dengan mengambil nilai paling kiri pada periode yang sama: 
. Ordinat nilai rata-rata adalah rata-rata aritmatika dari jumlah “atas dan bawah”: . Fakta yang menyenangkan adalah ketika membuat gambar, Anda akan segera melihat apakah bagian tengahnya dihitung dengan benar atau salah.
Mari kita buat penjumlahan sebagian dari deret tersebut dan pada saat yang sama mengulangi arti istilah “konvergensi”. Motifnya juga diketahui dari pembelajaran tentang jumlah deret angka. Mari kita uraikan kekayaan kita secara detail:
Untuk membuat penjumlahan sebagian, Anda perlu menulis nol + dua suku lagi dari deret tersebut. Itu adalah,
Pada gambar, grafik fungsi ditampilkan dalam warna hijau, dan, seperti yang Anda lihat, grafik tersebut “membungkus” jumlah penuh dengan cukup erat. Jika kita mempertimbangkan penjumlahan sebagian dari lima suku deret tersebut, maka grafik fungsi ini akan mendekati garis merah dengan lebih akurat; jika ada seratus suku, maka “ular hijau” akan benar-benar menyatu dengan ruas merah, dll. Jadi, deret Fourier konvergen ke jumlahnya.
Menarik untuk dicatat bahwa jumlah parsial apa pun adalah fungsi berkelanjutan, namun, jumlah total seri tersebut masih terputus-putus.
Dalam praktiknya, tidak jarang membuat grafik jumlah parsial. Bagaimana cara melakukannya? Dalam kasus kami, perlu untuk mempertimbangkan fungsi pada segmen, menghitung nilainya di ujung segmen dan pada titik tengah (semakin banyak titik yang Anda pertimbangkan, semakin akurat grafiknya). Kemudian Anda harus menandai titik-titik ini pada gambar dan dengan hati-hati menggambar grafik pada periode tersebut, dan kemudian “mereplikasinya” ke dalam interval yang berdekatan. Bagaimana lagi? Bagaimanapun juga, perkiraan juga merupakan fungsi periodik... ...dalam beberapa hal grafiknya mengingatkan saya pada ritme jantung yang merata pada tampilan perangkat medis.
Melakukan konstruksi tentu saja sangat tidak nyaman, karena Anda harus sangat berhati-hati, menjaga akurasi tidak kurang dari setengah milimeter. Namun, saya akan menyenangkan pembaca yang tidak nyaman dengan menggambar - dalam masalah "nyata" tidak selalu perlu menggambar; di sekitar 50% kasus, perlu untuk memperluas fungsi menjadi deret Fourier dan hanya itu .
Setelah menyelesaikan gambar, kami menyelesaikan tugas:
Menjawab: 
Dalam banyak tugas, fungsinya terganggu pecahnya jenis pertama tepat selama periode dekomposisi:
Contoh 3
Perluas fungsi yang diberikan pada interval menjadi deret Fourier. Gambarlah grafik fungsi dan jumlah deret tersebut.
Fungsi yang diusulkan ditentukan secara sepotong-sepotong (dan, perhatikan, hanya pada segmen tersebut) dan bertahan pecahnya jenis pertama pada titik. Apakah mungkin menghitung koefisien Fourier? Tidak masalah. Ruas kiri dan kanan fungsi tersebut dapat diintegralkan pada intervalnya, oleh karena itu integral pada masing-masing rumus harus direpresentasikan sebagai jumlah dari dua integral. Mari kita lihat, misalnya, bagaimana hal ini dilakukan untuk koefisien nol:
Integral kedua ternyata sama dengan nol, yang mengurangi usaha, tetapi hal ini tidak selalu terjadi.
Dua koefisien Fourier lainnya dijelaskan dengan cara yang sama.
Bagaimana cara menunjukkan jumlah suatu deret? Pada interval kiri kita menggambar segmen garis lurus, dan pada interval - segmen garis lurus (kita menyorot bagian sumbu dalam huruf tebal dan tebal). Artinya, pada interval ekspansi, jumlah deret tersebut bertepatan dengan fungsi di semua tempat kecuali tiga titik “buruk”. Pada titik diskontinuitas fungsi, deret Fourier akan konvergen ke suatu nilai terisolasi, yang terletak tepat di tengah “lompatan” diskontinuitas. Tidak sulit untuk melihatnya secara lisan: batas sisi kiri: , batas sisi kanan: 
dan, tentu saja, ordinat titik tengahnya adalah 0,5.
Karena periodisitas penjumlahannya, gambar tersebut harus “dikalikan” ke dalam periode-periode yang berdekatan, khususnya hal yang sama harus digambarkan pada interval dan . Pada saat yang sama, pada titik-titik deret Fourier akan menyatu ke nilai median.
Sebenarnya tidak ada hal baru di sini.
Cobalah untuk mengatasi tugas ini sendiri. Contoh perkiraan desain akhir dan gambar di akhir pelajaran.
Perluasan suatu fungsi menjadi deret Fourier dalam periode sembarang
Untuk periode ekspansi sembarang, di mana “el” adalah bilangan positif apa pun, rumus deret Fourier dan koefisien Fourier dibedakan dengan argumen yang sedikit lebih rumit untuk sinus dan kosinus:
Jika , maka kita mendapatkan rumus interval yang kita gunakan untuk memulai.
Algoritme dan prinsip untuk memecahkan masalah dipertahankan sepenuhnya, tetapi kompleksitas teknis perhitungannya meningkat:
Contoh 4
Perluas fungsinya menjadi deret Fourier dan plot jumlahnya. 
Larutan: sebenarnya analog dari Contoh No. 3 dengan Diskontinuitas jenis pertama pada titik. Dalam soal ini, periode ekspansi adalah setengah periode. Fungsi ini didefinisikan hanya pada setengah interval, tetapi hal ini tidak mengubah keadaan - yang penting kedua bagian fungsi tersebut dapat diintegrasikan.
Mari kita perluas fungsinya menjadi deret Fourier:
Karena fungsinya diskontinu di titik asal, setiap koefisien Fourier jelas harus ditulis sebagai jumlah dari dua integral:
1) Saya akan menulis integral pertama sedetail mungkin:
2) Kita mengamati permukaan Bulan dengan cermat:
Integral kedua ambil sepotong demi sepotong:
Apa yang harus kita perhatikan setelah kita membuka kelanjutan solusinya dengan tanda bintang?
Pertama, kita tidak kehilangan integral pertama 
, dimana kita segera mengeksekusi berlangganan tanda diferensial. Kedua, jangan lupakan konstanta naas sebelum tanda kurung besar dan jangan bingung dengan tanda-tandanya saat menggunakan rumus 
. Kurung besar masih lebih nyaman untuk segera dibuka pada langkah berikutnya.
Selebihnya adalah masalah teknik; kesulitan hanya dapat disebabkan oleh kurangnya pengalaman dalam menyelesaikan integral.
Ya, bukan tanpa alasan rekan-rekan terkemuka matematikawan Prancis Fourier marah - bagaimana dia berani menyusun fungsi menjadi deret trigonometri?! =) Omong-omong, semua orang mungkin tertarik dengan arti praktis dari tugas yang dimaksud. Fourier sendiri mengerjakan model matematika konduktivitas termal, dan selanjutnya rangkaian yang dinamai menurut namanya mulai digunakan untuk mempelajari banyak proses periodik, yang terlihat dan tidak terlihat di dunia sekitarnya. Sekarang, omong-omong, saya mendapati diri saya berpikir bahwa bukan kebetulan saya membandingkan grafik contoh kedua dengan ritme periodik jantung. Mereka yang tertarik dapat membiasakan diri dengan aplikasi praktisnya Transformasi Fourier di sumber pihak ketiga. ...Meskipun lebih baik tidak melakukannya - itu akan diingat sebagai Cinta Pertama =)
3) Dengan mempertimbangkan tautan lemah yang berulang kali disebutkan, mari kita lihat koefisien ketiga:
Mari kita integrasikan berdasarkan bagian: 
Mari kita substitusikan koefisien Fourier yang ditemukan ke dalam rumus 
, jangan lupa membagi koefisien nol menjadi dua:
Mari kita plot jumlah deretnya. Mari kita ulangi prosedurnya secara singkat: kita membuat garis lurus pada suatu interval, dan garis lurus pada suatu interval. Jika nilai “x” adalah nol, kita letakkan sebuah titik di tengah “lompatan” celah dan “replikasi” grafik untuk periode yang berdekatan: 
Pada “persimpangan” periode, jumlahnya juga akan sama dengan titik tengah “lompatan” kesenjangan.
Siap. Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa fungsi itu sendiri menurut kondisinya hanya ditentukan pada setengah interval dan, tentu saja, bertepatan dengan jumlah deret pada interval tersebut.
Menjawab:
Kadang-kadang suatu fungsi tertentu bersifat kontinu selama periode ekspansi. Contoh paling sederhana: 
. Larutan (lihat Bohan jilid 2) sama seperti pada dua contoh sebelumnya: meskipun kelangsungan fungsi pada titik , setiap koefisien Fourier dinyatakan sebagai jumlah dari dua integral.
Pada interval dekomposisi titik diskontinuitas jenis pertama dan/atau mungkin terdapat lebih banyak titik “persimpangan” pada grafik (dua, tiga, dan umumnya titik mana saja terakhir kuantitas). Jika suatu fungsi dapat diintegralkan pada setiap bagian, maka fungsi tersebut juga dapat diperluas dalam deret Fourier. Tapi dari pengalaman praktis saya tidak ingat hal kejam seperti itu. Namun, ada tugas yang lebih sulit daripada yang baru saja dipertimbangkan, dan di akhir artikel terdapat tautan ke rangkaian Fourier yang semakin kompleks untuk semua orang.
Sementara itu, mari bersantai, bersandar di kursi dan merenungkan hamparan bintang yang tak berujung:
Contoh 5
Perluas fungsinya menjadi deret Fourier pada interval dan plot jumlah deret tersebut.
Dalam masalah ini fungsinya kontinu pada setengah interval ekspansi, yang menyederhanakan solusi. Semuanya sangat mirip dengan Contoh No.2. Tidak ada jalan keluar dari pesawat luar angkasa - Anda harus memutuskan =) Contoh desain perkiraan di akhir pelajaran, jadwal terlampir.
Perluasan deret Fourier fungsi genap dan ganjil
Dengan fungsi genap dan ganjil, proses penyelesaian masalah menjadi lebih sederhana. Dan itulah kenapa. Mari kita kembali ke perluasan suatu fungsi dalam deret Fourier dengan periode “dua pi” 
dan periode sewenang-wenang “dua el” 
.
Anggaplah fungsi kita genap. Suku umum deret tersebut, seperti yang Anda lihat, berisi cosinus genap dan sinus ganjil. Dan jika kita memperluas fungsi GENAP, mengapa kita membutuhkan sinus ganjil?! Mari kita atur ulang koefisien yang tidak perlu: .
Dengan demikian, fungsi genap dapat diperluas dalam deret Fourier hanya dalam kosinus:
Karena integral dari fungsi genap sepanjang segmen integrasi yang simetris terhadap nol dapat digandakan, kemudian koefisien Fourier yang tersisa disederhanakan.
Untuk kesenjangannya: 
Untuk interval sembarang: 
Contoh buku teks yang dapat ditemukan di hampir semua buku teks analisis matematika mencakup perluasan fungsi genap 
. Selain itu, mereka telah ditemui beberapa kali dalam praktik pribadi saya:
Contoh 6
Fungsinya diberikan. Diperlukan:
1) memperluas fungsi menjadi deret Fourier dengan titik , di mana merupakan bilangan positif sembarang;
2) tuliskan perluasan interval, buatlah suatu fungsi dan buat grafik jumlah total deret tersebut.
Larutan: di paragraf pertama diusulkan untuk menyelesaikan masalah dalam bentuk umum, dan ini sangat mudah! Jika perlu, gantikan saja nilai Anda.
1) Dalam soal ini, periode pemuaian adalah setengah periode. Selama tindakan lebih lanjut, khususnya selama integrasi, “el” dianggap konstan
Fungsinya genap, artinya dapat diperluas menjadi deret Fourier hanya dalam kosinus: 
.
Kami mencari koefisien Fourier menggunakan rumus 
. Perhatikan keuntungan tanpa syarat mereka. Pertama, integrasi dilakukan pada segmen ekspansi positif, yang berarti kita membuang modul dengan aman 
, hanya mempertimbangkan “X” dari dua bagian. Dan kedua, integrasi menjadi lebih sederhana.
Dua: 
Mari kita integrasikan berdasarkan bagian:
Dengan demikian:
, sedangkan konstanta , yang tidak bergantung pada “en”, dikeluarkan dari penjumlahan.
Menjawab: 
2) Mari kita tuliskan perluasan interval, untuk melakukan ini, kita substitusikan nilai setengah periode yang diperlukan ke dalam rumus umum:
Jika fungsi f(x) mempunyai turunan semua orde pada interval tertentu yang mengandung titik a, maka rumus Taylor dapat diterapkan padanya:
,
Di mana tidak– yang disebut sisa suku atau sisa deret, dapat diperkirakan dengan menggunakan rumus Lagrange: 
, dimana bilangan x berada di antara x dan a.
Aturan untuk memasukkan fungsi:
Jika untuk beberapa nilai X tidak→0 jam N→∞, maka pada limit rumus Taylor menjadi konvergen untuk nilai ini Seri Taylor:
,
Jadi, fungsi f(x) dapat diperluas menjadi deret Taylor di titik x yang ditinjau jika:
1) memiliki turunan dari semua pesanan;
2) deret yang dibangun konvergen pada titik ini.
Ketika a = 0 kita mendapat suatu deret yang disebut dekat Maclaurin:
,
Perluasan fungsi (dasar) paling sederhana dalam deret Maclaurin:
Fungsi eksponensial
, R=∞
Fungsi trigonometri 
, R=∞ 
, R=∞
, (-π/2< x < π/2), R=π/2
Fungsi actgx tidak meluas dalam pangkat x, karena ctg0=∞
Fungsi hiperbolik
Fungsi logaritma
, -1
Seri binomial
.
Contoh No.1. Perluas fungsinya menjadi deret pangkat f(x)= 2X.
Larutan. Mari kita cari nilai fungsi dan turunannya di X=0
f(x) = 2X, F( 0)
= 2 0
=1;
f"(x) = 2X ln2, F"( 0)
= 2 0
ln2= ln2;
f""(x) = 2X dalam 2 2, F""( 0)
= 2 0
dalam 2 2= dalam 2 2;
…
f(n)(x) = 2X dalam N 2, f(n)( 0)
= 2 0
dalam N 2=dalam N 2.
Mengganti nilai turunan yang diperoleh ke dalam rumus deret Taylor, kita memperoleh:
Jari-jari konvergensi deret ini sama dengan tak terhingga, oleh karena itu pemuaian ini berlaku untuk -∞<X<+∞.
Contoh No.2. Tuliskan deret Taylor dalam pangkat ( X+4) untuk fungsi f(x)= e X.
Larutan. Mencari turunan fungsi e X dan nilai-nilai mereka pada saat itu X=-4.
f(x)= e X, F(-4)
= e -4
;
f"(x)= e X, F"(-4)
= e -4
;
f""(x)= e X, F""(-4)
= e -4
;
…
f(n)(x)= e X, f(n)( -4)
= e -4
.
Oleh karena itu, deret Taylor dari fungsi tersebut memiliki bentuk:
Perluasan ini juga berlaku untuk -∞<X<+∞.
Contoh No.3. Perluas suatu fungsi f(x)=dalam X dalam rangkaian kekuatan ( X- 1),
(yaitu dalam deret Taylor di sekitar titik X=1).
Larutan. Temukan turunan dari fungsi ini.
f(x)=lnx , , , , 
f(1)=ln1=0, f"(1)=1, f""(1)=-1, f"""(1)=1*2,..., f (n) =(- 1) n-1 (n-1)!
Mengganti nilai-nilai ini ke dalam rumus, kita memperoleh deret Taylor yang diinginkan:
Dengan menggunakan uji d'Alembert, Anda dapat memverifikasi bahwa deret tersebut konvergen di ½x-1½<1 . Действительно,
Deret tersebut konvergen jika ½ X- 1½<1, т.е. при 0<X<2. При X=2 kita memperoleh deret bolak-balik yang memenuhi kondisi kriteria Leibniz. Ketika x=0 fungsinya tidak terdefinisi. Jadi, daerah konvergensi deret Taylor adalah interval setengah terbuka (0;2).
Contoh No.4. Perluas fungsinya menjadi deret pangkat. Contoh No.5. Perluas fungsi dalam deret Maclaurin Komentar
.
Metode ini didasarkan pada teorema keunikan perluasan suatu fungsi dalam deret pangkat. Inti dari teorema ini adalah bahwa di lingkungan titik yang sama tidak dapat diperoleh dua deret pangkat berbeda yang konvergen pada fungsi yang sama, tidak peduli bagaimana pemuaiannya dilakukan. Contoh No.5a. Perluas fungsi dalam deret Maclaurin dan tunjukkan daerah konvergensinya. Pecahan 3/(1-3x) dapat dianggap sebagai jumlah barisan geometri yang menurun tak hingga dan berpenyebut 3x, jika |3x|< 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд
Contoh No.6. Perluas fungsi tersebut menjadi deret Taylor di sekitar titik x = 3. Contoh No.7. Tuliskan deret Taylor dalam pangkat (x -1) dari fungsi ln(x+2) . Contoh No.8. Perluas fungsi f(x)=sin(πx/4) menjadi deret Taylor di sekitar titik x =2. Contoh No.1. Hitung ln(3) hingga 0,01 terdekat. Contoh No.2. Hitung hingga 0,0001 terdekat. Contoh No.3. Hitung integral ∫ 0 1 4 sin (x) x hingga 10 -5 . Contoh No.4. Hitung integral ∫ 0 1 4 e x 2 dengan ketelitian 0,001.
Larutan. Pada ekspansi (1) kita ganti x dengan -x 2, kita peroleh:
, -∞
.
Larutan. Kita punya
Dengan menggunakan rumus (4), kita dapat menulis:
dengan mengganti –x dan bukan x ke dalam rumus, kita mendapatkan:
Dari sini kita menemukan: ln(1+x)-ln(1-x) = -
Membuka tanda kurung, menyusun ulang suku-suku deret tersebut dan membawa suku-suku serupa, kita peroleh
. Deret ini konvergen pada interval (-1;1), karena diperoleh dari dua deret yang masing-masing konvergen pada interval tersebut.
Rumus (1)-(5) juga dapat digunakan untuk memperluas fungsi-fungsi yang bersesuaian menjadi deret Taylor, yaitu. untuk memperluas fungsi dalam pangkat bilangan bulat positif ( Ha). Untuk melakukan ini, perlu melakukan transformasi identik pada fungsi tertentu untuk mendapatkan salah satu fungsi (1)-(5), yang sebaliknya X biaya k( Ha) m , dimana k adalah bilangan konstan, m adalah bilangan bulat positif. Seringkali lebih mudah untuk melakukan perubahan variabel T=Ha dan perluas fungsi yang dihasilkan terhadap t dalam deret Maclaurin.
Larutan. Pertama kita cari 1-x-6x 2 =(1-3x)(1+2x) , . 
ke dasar:
dengan daerah konvergensi |x|< 1/3.
Larutan. Masalah ini dapat diselesaikan, seperti sebelumnya, dengan menggunakan definisi deret Taylor, yang mana kita perlu mencari turunan fungsi dan nilainya di X=3. Namun, akan lebih mudah menggunakan ekspansi yang ada (5):
=
Deret yang dihasilkan konvergen pada atau –3
Larutan.
Deret tersebut konvergen di , atau -2< x < 5.
Larutan. Mari kita lakukan penggantian t=x-2:
Dengan menggunakan ekspansi (3), yang mana kita substitusikan π / 4 t sebagai pengganti x, kita peroleh:
Deret yang dihasilkan konvergen ke fungsi tertentu di -∞< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞
, (-∞Perkiraan perhitungan menggunakan deret pangkat
Deret pangkat banyak digunakan dalam perhitungan perkiraan. Dengan bantuan mereka, Anda dapat menghitung nilai akar, fungsi trigonometri, logaritma bilangan, dan integral tertentu dengan akurasi tertentu. Seri juga digunakan saat mengintegrasikan persamaan diferensial.
Perhatikan perluasan suatu fungsi dalam deret pangkat:
Untuk menghitung perkiraan nilai suatu fungsi pada suatu titik tertentu X, yang termasuk dalam wilayah konvergensi deret yang ditunjukkan, deret pertama tertinggal dalam perluasannya N anggota ( N– bilangan berhingga), dan suku-suku sisanya dibuang:
Untuk memperkirakan kesalahan dari nilai perkiraan yang diperoleh, perlu untuk memperkirakan sisa yang dibuang rn (x) . Untuk melakukannya, gunakan teknik berikut:
Larutan. Mari kita gunakan perluasan di mana x=1/2 (lihat contoh 5 di topik sebelumnya):
Mari kita periksa apakah kita dapat membuang sisa setelah tiga suku pertama pemuaian; untuk melakukan ini, kita akan mengevaluasinya menggunakan jumlah barisan geometri yang menurun tak terhingga:
Jadi kita bisa membuang sisa ini dan mendapatkannya
Larutan. Mari kita gunakan deret binomial. Karena 5 3 adalah pangkat tiga dari bilangan bulat yang paling mendekati 130, disarankan untuk menyatakan bilangan 130 sebagai 130 = 5 3 +5. 
karena suku keempat dari deret bolak-balik yang dihasilkan yang memenuhi kriteria Leibniz kurang dari ketelitian yang disyaratkan:
, jadi itu dan istilah-istilah yang mengikutinya dapat dibuang.
Banyak integral pasti atau integral tak wajar yang diperlukan secara praktis tidak dapat dihitung menggunakan rumus Newton-Leibniz, karena penerapannya dikaitkan dengan pencarian antiturunan, yang seringkali tidak memiliki ekspresi dalam fungsi dasar. Menemukan antiturunan juga mungkin dilakukan, tetapi hal itu membutuhkan banyak tenaga kerja. Namun, jika fungsi integran diperluas menjadi deret pangkat, dan batas integrasi termasuk dalam interval konvergensi deret tersebut, maka perhitungan perkiraan integral dengan akurasi yang telah ditentukan dapat dilakukan.
Larutan. Integral tak tentu yang bersesuaian tidak dapat dinyatakan dalam fungsi dasar, yaitu. mewakili “integral tidak permanen”. Rumus Newton-Leibniz tidak dapat diterapkan di sini. Mari kita hitung kira-kira integralnya.
Membagi suku demi suku deret dosa X pada X, kita mendapatkan: 
Mengintegrasikan deret ini suku demi suku (hal ini dimungkinkan, karena batas integrasi termasuk dalam interval konvergensi deret ini), kita memperoleh:
Karena deret yang dihasilkan memenuhi kondisi Leibniz dan cukup dengan menjumlahkan dua suku pertama untuk mendapatkan nilai yang diinginkan dengan akurasi tertentu.
Jadi, kami menemukan 
.
Larutan.
. Mari kita periksa apakah kita dapat membuang sisanya setelah suku kedua dari deret yang dihasilkan.
0,0001<0.001. Следовательно, 
.