Definisi 24.1.Angka acak sebutkan nilai yang mungkin R variabel acak kontinu R, terdistribusi merata pada interval (0; 1).
1. Memainkan variabel acak diskrit.
Misalkan kita ingin memainkan variabel acak diskrit X, yaitu memperoleh barisan nilai-nilai yang mungkin, mengetahui hukum distribusi X:
Xx 1 X 2 … xn
r r 1 R 2 … r hal .
Pertimbangkan variabel acak yang terdistribusi secara merata di (0, 1) R dan membagi interval (0, 1) dengan titik-titik yang memiliki koordinat R 1, R 1 + R 2 , …, R 1 + R 2 +… +r hal-1 aktif P interval parsial yang panjangnya sama dengan probabilitas dengan indeks yang sama.
Teorema 24.1. Jika setiap bilangan acak yang termasuk dalam interval diberi nilai yang mungkin, maka nilai yang dimainkan akan memiliki hukum distribusi tertentu:
Xx 1 X 2 … xn
r r 1 R 2 … r hal .
Bukti.
Nilai yang mungkin dari variabel acak yang dihasilkan bertepatan dengan himpunan X 1 , X 2 ,… xn, karena jumlah intervalnya sama P, dan saat dipukul r j dalam suatu interval, variabel acak hanya dapat mengambil salah satu nilai X 1 , X 2 ,… xn.
Karena R terdistribusi secara merata, maka peluangnya untuk masuk ke setiap interval sama dengan panjangnya, artinya setiap nilai sesuai dengan peluangnya. pi saya. Jadi, variabel acak yang dimainkan memiliki hukum distribusi tertentu.
Contoh. Mainkan 10 nilai variabel acak diskrit X, hukum distribusinya berbentuk: X 2 3 6 8
R 0,1 0,3 0,5 0,1
Larutan. Mari kita bagi interval (0, 1) menjadi interval parsial: D 1 - (0; 0.1), D 2 - (0.1; 0.4), D 3 - (0.4; 0.9), D 4 – (0.9; 1). Mari kita tuliskan 10 angka dari tabel bilangan acak: 0,09; 0,73; 0,25; 0,33; 0,76; 0,52; 0,01; 0,35; 0,86; 0,34. Angka pertama dan ketujuh terletak pada interval D 1, oleh karena itu, dalam kasus ini, variabel acak yang dimainkan mengambil nilainya X 1 = 2; angka ketiga, keempat, kedelapan dan kesepuluh berada pada interval D 2 yang bersesuaian X 2 = 3; angka kedua, kelima, keenam dan kesembilan berada pada interval D 3 - dalam hal ini x = x 3 = 6; Tidak ada angka di interval terakhir. Jadi, nilai-nilai yang mungkin dimainkan X adalah: 2, 6, 3, 3, 6, 6, 2, 3, 6, 3.
2. Memerankan kejadian yang berlawanan.
Biarkan diperlukan untuk memainkan tes, yang masing-masing berisi acara A muncul dengan probabilitas yang diketahui R. Pertimbangkan variabel acak diskrit X, mengambil nilai 1 (jika event A terjadi) dengan probabilitas R dan 0 (jika A tidak terjadi) dengan probabilitas Q = 1 – P. Kemudian kita akan memainkan variabel acak ini seperti yang disarankan di paragraf sebelumnya.
Contoh. Mainkan 10 tantangan, masing-masing dengan sebuah acara A muncul dengan probabilitas 0,3.
Larutan. Untuk variabel acak X dengan hukum distribusi X 1 0
R 0,3 0,7
kita memperoleh interval D 1 – (0; 0.3) dan D 2 – (0.3; 1). Kita menggunakan sampel bilangan acak yang sama seperti pada contoh sebelumnya, dimana bilangan No. 1, 3 dan 7 berada pada interval D 1, dan sisanya berada pada interval D 2. Oleh karena itu, kita dapat berasumsi bahwa peristiwa tersebut A terjadi pada uji coba pertama, ketiga, dan ketujuh, namun tidak terjadi pada uji coba selanjutnya.
3. Memainkan rangkaian acara secara lengkap.
Jika peristiwa A 1 , A 2 , …, hal, yang probabilitasnya sama R 1 , R 2 ,… r hal, bentuklah kelompok yang lengkap, kemudian untuk bermain (yaitu, memodelkan urutan kemunculan mereka dalam serangkaian tes), Anda dapat memainkan variabel acak diskrit X dengan hukum distribusi X 1 2 … P, setelah melakukan ini dengan cara yang sama seperti pada poin 1. Pada saat yang sama, kami yakin akan hal itu
r r 1 R 2 … r hal
Jika X mengambil nilainya x saya = saya, maka dalam pengujian ini peristiwa tersebut terjadi dan saya.
4. Memainkan variabel acak kontinu.
a) Metode fungsi invers.
Misalkan kita ingin memainkan variabel acak kontinu X, yaitu, dapatkan urutan nilai yang mungkin x saya (Saya = 1, 2, …, N), mengetahui fungsi distribusi F(X).
Teorema 24.2. Jika r i adalah angka acak, maka nilai yang mungkin x saya memainkan variabel acak kontinu X dengan fungsi distribusi tertentu F(X), sesuai r i, adalah akar persamaan
F(x saya) = r i. (24.1)
Bukti.
Karena F(X) meningkat secara monoton dalam interval dari 0 ke 1, maka terdapat nilai argumen (dan unik). x saya, di mana fungsi distribusi mengambil nilai r i. Artinya persamaan (24.1) mempunyai solusi unik: x saya= F -1 (r i), Di mana F-1 - fungsi kebalikan dari F. Mari kita buktikan bahwa akar persamaan (24.1) adalah nilai yang mungkin dari variabel acak yang dipertimbangkan X. Mari kita asumsikan dulu x saya adalah nilai kemungkinan dari beberapa variabel acak x, dan kita buktikan bahwa peluang x masuk ke dalam interval ( s, d) adalah sama dengan F(D) – F(C). Memang karena monoton F(X) dan itu F(x saya) = r i. Kemudian
Oleh karena itu, Jadi, peluang x jatuh pada interval ( c, d) sama dengan kenaikan fungsi distribusi F(X) pada interval ini, oleh karena itu, x = X.
Mainkan 3 kemungkinan nilai dari variabel acak kontinu X, terdistribusi merata pada interval (5; 8).
F(X) = , artinya persamaan tersebut perlu diselesaikan Mari kita pilih 3 bilangan acak: 0,23; 0,09 dan 0,56 dan substitusikan keduanya ke dalam persamaan ini. Mari kita dapatkan nilai yang mungkin sesuai X:
b) Metode superposisi.
Jika fungsi distribusi dari variabel acak yang dimainkan dapat direpresentasikan sebagai kombinasi linier dari dua fungsi distribusi:
lalu, sejak kapan X®¥ F(X) ® 1.
Mari kita perkenalkan variabel acak diskrit tambahan Z dengan hukum distribusi
Z 12. Mari kita pilih 2 angka acak yang independen R 1 dan R 2 dan mainkan yang mungkin
pc 1 C 2
arti Z berdasarkan nomor R 1 (lihat poin 1). Jika Z= 1, lalu kita mencari kemungkinan nilai yang diinginkan X dari persamaan, dan jika Z= 2, maka kita selesaikan persamaannya.
Dapat dibuktikan bahwa dalam hal ini fungsi distribusi variabel acak yang dimainkan sama dengan fungsi distribusi yang diberikan.
c) Perkiraan permainan variabel acak normal.
Sejak R, terdistribusi merata di (0, 1), lalu untuk jumlahnya P variabel acak independen dan terdistribusi seragam dalam interval (0,1). Kemudian, berdasarkan teorema limit pusat, variabel acak yang dinormalisasi di P® ¥ akan memiliki distribusi mendekati normal, dengan parameternya A= 0 dan s =1. Secara khusus, perkiraan yang cukup baik diperoleh ketika P = 12:
Jadi, untuk memainkan nilai yang mungkin dari variabel acak normal yang dinormalisasi X, Anda perlu menambahkan 12 angka acak independen dan mengurangi 6 dari jumlahnya.
Inti dari metode Monte Carlo adalah sebagai berikut: Anda perlu mencari nilainya A beberapa kuantitas yang dipelajari. Untuk tujuan ini, pilihlah variabel acak X yang ekspektasi matematisnya sama dengan a: M(X) = a.
Dalam praktiknya, mereka melakukan ini: mereka menghitung (memainkan) N nilai yang mungkin x i dari variabel acak X, tentukan mean aritmatikanya
Dan mereka mengambil a* dari angka a yang diinginkan sebagai perkiraan (nilai perkiraan). Jadi, untuk menggunakan metode Monte Carlo, Anda harus bisa memainkan variabel acak.
Misalkan perlu memainkan variabel acak diskrit X, mis. hitung barisan nilai yang mungkin x i (i=1,2, ...), dengan mengetahui hukum distribusi X. Mari kita perkenalkan notasi: R adalah variabel acak kontinu yang terdistribusi merata pada interval (0,1 ); r i (j=1,2,...) – bilangan acak (kemungkinan nilai R).
Aturan: Untuk memainkan variabel acak diskrit X yang ditentukan oleh hukum distribusi
X x 1 x 2 ... xn
P hal 1 hal 2 … hal n
1. Bagilah interval (0,1) sumbu atau menjadi n interval parsial:
Δ 1 =(0;р 1), Δ 2 =(р 1; р 1+ р 2), …, Δ n = (р 1 +р 2 +…+р n -1; 1).
2. Pilih nomor acak r j . Jika r j berada pada interval parsial Δ i, maka nilai yang dimainkan mengambil nilai yang mungkin x i. .
Memainkan sekelompok acara yang lengkap
Diperlukan untuk memainkan tes, yang masing-masingnya terjadi salah satu kejadian dari kelompok penuh, yang probabilitasnya diketahui. Memainkan sekelompok peristiwa yang lengkap berarti memainkan variabel acak diskrit.
Aturan: Untuk melakukan tes yang masing-masing kejadiannya A 1, A 2, ..., A n dari grup lengkap terjadi, yang peluangnya diketahui p 1, p 2, ..., p n, cukup memainkan nilai diskrit X dengan hukum distribusi sebagai berikut :
P hal 1 hal 2 … hal n
Jika dalam pengujian nilai X mengambil kemungkinan nilai x i =i, maka kejadian A i terjadi.
Memainkan Variabel Acak Berkelanjutan
Fungsi distribusi F dari variabel acak kontinu X diketahui, diperlukan untuk memainkan X, yaitu hitung barisan nilai yang mungkin x i (i=1,2, ...).
A. Metode fungsi invers. Aturan 1. x i dari variabel acak kontinu X, mengetahui fungsi distribusinya F, Anda perlu memilih bilangan acak r i, menyamakan fungsi distribusinya dan menyelesaikan persamaan yang dihasilkan F(x i) = r i untuk x i.
Jika kepadatan probabilitas f(x) diketahui, maka aturan 2 digunakan.
Aturan 2. Untuk memainkan nilai yang mungkin x i dari variabel acak kontinu X, mengetahui kepadatan probabilitasnya f, Anda perlu memilih bilangan acak r i dan menyelesaikan persamaan untuk x i
atau persamaan
dimana a adalah nilai akhir terkecil dari X.
B. Metode superposisi. Aturan 3. Untuk memainkan nilai yang mungkin dari variabel acak X, yang fungsi distribusinya
F(x) = C 1 F 1 (x)+C 2 F 2 (x)+…+C n F n (x),
dimana F k (x) – fungsi distribusi (k=1, 2, …, n), С k >0, С i +С 2 +…+С n =1, Anda harus memilih dua bilangan acak independen r 1 dan r 2 dan menggunakan bilangan acak r 1, mainkan nilai yang mungkin dari variabel acak diskrit tambahan Z (menurut aturan 1):
p C 1 C 2 … C n
Jika ternyata Z=k, maka selesaikan persamaan F k (x) = r 2 untuk x.
Catatan 1. Jika kepadatan probabilitas suatu variabel acak kontinu X diberikan dalam bentuk
f(x)=C 1 f 1 (x)+C 2 f 2 (x)+…+C n f n (x),
di mana f k adalah kepadatan probabilitas, koefisien C k positif, jumlahnya sama dengan satu, dan jika ternyata Z=k, maka selesaikan (menurut aturan 2) terhadap x i terhadap atau persamaan
Perkiraan permainan variabel acak normal
Aturan. Untuk memperkirakan nilai yang mungkin x i dari variabel acak normal X dengan parameter a=0 dan σ=1, Anda perlu menambahkan 12 bilangan acak independen dan mengurangi 6 dari jumlah yang dihasilkan:
Komentar. Jika Anda ingin memainkan variabel acak normal Z dengan ekspektasi matematis A dan simpangan baku σ, kemudian setelah memainkan kemungkinan nilai x i menurut aturan di atas, carilah kemungkinan nilai yang diinginkan dengan menggunakan rumus: z i =σx i +a.
Mari kita nyatakan SV yang terdistribusi merata dalam interval (0, 1) dengan R, dan nilai yang mungkin (angka acak) dengan r j .
Mari kita bagi intervalnya .
Dari pertidaksamaan tersebut dapat disimpulkan bahwa jika suatu variabel acak ξ terkandung dalam interval tersebut
Dengan< ξ < D, ξ (**)
lalu variabel acak R terkandung dalam interval tersebut
F(Dengan)< R< F(D), (***)
dan kembali. Jadi, pertidaksamaan (**) dan (***) adalah ekuivalen dan oleh karena itu, mempunyai kemungkinan yang sama:
R(Dengan< ξ< D)=P[F(Dengan)< R< F(D)]. (****)
Sejak nilainya R berdistribusi merata pada interval (0,1), maka peluang terjadinya pukulan R ke dalam beberapa interval yang termasuk dalam interval (0,1) sama dengan panjangnya (lihat Bab XI, § 6, keterangan). Secara khusus,
R[F(Dengan)< R< F(D) ] = F(D) - F(Dengan).
Oleh karena itu, relasi (****) dapat dituliskan dalam bentuk
R(Dengan< ξ< D)= F(D) - F(Dengan).
Jadi, kemungkinan terkena ξ dalam interval ( Dengan,D) sama dengan kenaikan fungsi distribusi F(X) pada interval ini, yang berarti itu =X. Dengan kata lain, angkanya X Saya, ditentukan oleh rumus (*), adalah nilai kuantitas yang mungkin X s fungsi distribusi tertentu F(X), Q.E.D.
Aturan 1.X Saya , variabel acak kontinu X, mengetahui fungsi distribusinya F(X), Anda harus memilih nomor acak R Saya menyamakan fungsi distribusinya dan menyelesaikannya X Saya , persamaan yang dihasilkan
F(X Saya)= R Saya .
Catatan 1. Jika persamaan ini tidak dapat diselesaikan secara eksplisit, gunakan metode grafis atau numerik.
Contoh I Mainkan 3 kemungkinan nilai dari variabel acak kontinu X, didistribusikan secara merata pada interval (2, 10).
Larutan. Mari kita tuliskan fungsi distribusi besaran X, didistribusikan secara merata pada interval ( A,B) (lihat Bab XI, § 3, contoh):
F(X)= (Ha)/ (B-A).
Dengan syarat, sebuah = 2, B=10, oleh karena itu,
F(X)= (X- 2)/ 8.
Dengan menggunakan aturan paragraf ini, kita akan menulis persamaan untuk mencari nilai yang mungkin X Saya , yang mana kita menyamakan fungsi distribusi dengan bilangan acak:
(X Saya -2 )/8= R Saya .
Dari sini X Saya =8 R Saya + 2.
Mari kita pilih 3 angka acak, misalnya, R Saya =0,11, R Saya =0,17, R Saya=0,66. Mari kita substitusikan angka-angka ini ke dalam persamaan yang diselesaikan X Saya , Hasilnya, kami mendapatkan nilai yang mungkin sesuai X: X 1 =8·0,11+2==2,88; X 2 =1.36; X 3 = 7,28.
Contoh 2. Variabel acak kontinu X didistribusikan menurut hukum eksponensial yang ditentukan oleh fungsi distribusi (parameter λ > 0 diketahui)
F(X)= 1 - e - λ X (x>0).
Kita perlu menemukan formula eksplisit untuk menampilkan nilai-nilai yang mungkin X.
Larutan. Dengan menggunakan aturan paragraf ini, kami menulis persamaannya
1 - e - λ X Saya
Mari kita selesaikan persamaan ini X Saya :
e - λ X Saya = 1 - R Saya, atau - λ X Saya = dalam(1 - R Saya).
X Saya =1p(1– R Saya)/λ .
Angka acak R Saya diapit oleh interval (0,1); oleh karena itu angka 1 adalah R Saya, juga acak dan termasuk dalam interval (0,1). Dengan kata lain, kuantitasnya R dan 1 - R didistribusikan secara merata. Oleh karena itu, untuk menemukan X Saya Anda dapat menggunakan rumus yang lebih sederhana:
X Saya =- dalam R Saya /λ.
Catatan 2. Diketahui bahwa (lihat Bab XI, §3)
Secara khusus,
Oleh karena itu jika kepadatan probabilitas diketahui F(X), lalu untuk bermain X itu mungkin, bukan persamaan F(X Saya)=R Saya memutuskan mengenai X Saya persamaannya
Aturan 2. Untuk menemukan nilai yang mungkin X Saya (variabel acak kontinu X, mengetahui kepadatan probabilitasnya F(X) Anda harus memilih nomor acak R Saya dan memutuskan mengenai X Saya , persamaannya
atau persamaan
Di mana A- nilai akhir terkecil yang mungkin X.
Contoh 3. Kepadatan probabilitas dari variabel acak kontinu diberikan XF(X)=λ (1-λх/2) pada interval (0; 2/λ); di luar interval ini F(X)= 0. Kita perlu menemukan formula eksplisit untuk menampilkan nilai-nilai yang mungkin X.
Larutan. Sesuai dengan aturan 2, mari kita tuliskan persamaannya
Setelah melakukan integrasi dan menyelesaikan persamaan kuadrat yang dihasilkan X Saya, akhirnya kita dapatkan
