T.Kosyakova,
Sekolah No.80, Krasnodar

Menyelesaikan persamaan rasional kuadrat dan pecahan yang mengandung parameter

Pelajaran 4

Topik pelajaran:

Tujuan pelajaran: mengembangkan kemampuan menyelesaikan persamaan rasional pecahan yang mengandung parameter.

Jenis pelajaran: pengenalan materi baru.

1. (Secara lisan) Selesaikan persamaan:

Contoh 1. Selesaikan persamaannya

Larutan.

Mari kita temukan nilai yang tidak valid A:

Menjawab. Jika Jika A = – 19 , maka tidak ada akar.

Contoh 2. Selesaikan persamaannya

Larutan.

Mari temukan nilai parameter yang tidak valid A :

10 – A = 5, A = 5;

10 – A = A, A = 5.

Menjawab. Jika A = 5 A № 5 , Itu x=10– A .

Contoh 3. Pada nilai parameter apa B persamaannya Memiliki:

a) dua akar; b) satu-satunya akar?

Larutan.

1) Temukan nilai parameter yang tidak valid B :

x = B, B 2 (B 2 – 1) – 2B 3 + B 2 = 0, B 4 – 2B 3 = 0,
B= 0 atau B = 2;
x = 2, 4( B 2 – 1) – 4B 2 + B 2 = 0, B 2 – 4 = 0, (B – 2)(B + 2) = 0,
B= 2 atau B = – 2.

2) Selesaikan persamaannya x 2 ( B 2 – 1) – 2B 2x+ B 2 = 0:

D=4 B 4 – 4B 2 (B 2 – 1), D = 4 B 2 .

A)

Tidak termasuk nilai parameter yang tidak valid B , kita menemukan bahwa persamaan tersebut memiliki dua akar jika B № – 2, B № – 1, B № 0, B № 1, B № 2 .

B) 4B 2 = 0, B = 0, tapi ini adalah nilai parameter yang tidak valid B ; Jika B 2 –1=0 , yaitu. B=1 atau.

Jawaban: a) jika B № –2 , B № –1, B № 0, B № 1, B № 2 , lalu dua akar; b) jika B=1 atau b=–1 , maka satu-satunya root.

Pekerjaan mandiri

Pilihan 1

Selesaikan persamaan:

pilihan 2

Selesaikan persamaan:

Jawaban

DALAM 1. dan jika A=3 , maka tidak ada akar; Jika b) jika jika A № 2 , maka tidak ada akar.

PADA 2. Jika A=2 , maka tidak ada akar; Jika A=0 , maka tidak ada akar; Jika
b) jika A=– 1 , maka persamaan tersebut menjadi tidak ada artinya; jika tidak ada akar;
Jika

Pekerjaan rumah.

Selesaikan persamaan:

Jawaban: a) Jika A № –2 , Itu x= A ; Jika A=–2 , maka tidak ada solusi; b) jika A № –2 , Itu x=2; Jika A=–2 , maka tidak ada solusi; c) jika A=–2 , Itu X– nomor apa pun kecuali 3 ; Jika A № –2 , Itu x=2; d) jika A=–8 , maka tidak ada akar; Jika A=2 , maka tidak ada akar; Jika

Pelajaran 5

Topik pelajaran:"Memecahkan persamaan rasional pecahan yang mengandung parameter."

Tujuan pelajaran:

pelatihan penyelesaian persamaan dengan kondisi nonstandar;
asimilasi sadar oleh siswa tentang konsep aljabar dan hubungan di antara mereka.

Jenis pelajaran: sistematisasi dan generalisasi.

Memeriksa pekerjaan rumah.

Contoh 1. Selesaikan persamaannya

a) relatif terhadap x; b) relatif terhadap y.

Larutan.

a) Temukan nilai yang tidak valid kamu: kamu=0, x=kamu, kamu 2 =kamu 2 –2kamu,

kamu=0– nilai parameter tidak valid kamu.

Jika kamu№ 0 , Itu x=y–2; Jika kamu=0, maka persamaan tersebut menjadi tidak ada artinya.

b) Temukan nilai parameter yang tidak valid X: kamu=x, 2x–x 2 +x 2 =0, x=0– nilai parameter tidak valid X; y(2+x–y)=0, y=0 atau kamu=2+x;

kamu=0 tidak memenuhi syarat kamu(kamu–x)№ 0 .

Jawaban: a) jika kamu=0, maka persamaan tersebut menjadi tidak ada artinya; Jika kamu№ 0 , Itu x=y–2; b) jika x=0 X№ 0 , Itu kamu=2+x .

Contoh 2. Berapa nilai bilangan bulat dari parameter a yang merupakan akar persamaannya termasuk dalam interval

D = (3 A + 2) 2 – 4A(A+ 1) 2 = 9 A 2 + 12A + 4 – 8A 2 – 8A,

D = ( A + 2) 2 .

Jika A № 0 atau A № – 1 , Itu

Menjawab: 5 .

Contoh 3. Temukan secara relatif X solusi bilangan bulat dari persamaan tersebut

Menjawab. Jika kamu=0, maka persamaan tersebut tidak masuk akal; Jika kamu=–1, Itu X– bilangan bulat apa pun kecuali nol; Jika kamu№ 0, kamu№ – 1, maka tidak ada solusi.

Contoh 4. Selesaikan persamaannya dengan parameter A Dan B .

Jika A№ -B , Itu

Menjawab. Jika sebuah= 0 atau b= 0 , maka persamaan tersebut menjadi tidak ada artinya; Jika A№ 0,b№ 0, a=–b , Itu X– angka apa pun kecuali nol; Jika A№ 0,b№ 0, sebuah№ -B, Itu x=–sebuah, x=–b .

Contoh 5. Buktikan bahwa untuk setiap nilai parameter n selain nol, persamaannya memiliki akar tunggal yang sama dengan - N .

Larutan.

yaitu x=–n, itulah yang perlu dibuktikan.

Pekerjaan rumah.

1. Temukan solusi bilangan bulat dari persamaan tersebut

2. Berapa nilai parameternya C persamaannya Memiliki:
a) dua akar; b) satu-satunya akar?

3. Temukan semua akar bilangan bulat dari persamaan tersebut Jika A TENTANG N .

4. Selesaikan persamaannya 3xy – 5x + 5y = 7: a) relatif kamu; b) relatif X .

1. Persamaan dipenuhi oleh bilangan bulat apa pun yang bernilai sama dari x dan y selain nol.
2. a) Kapan
b) di atau
3. – 12; – 9; 0 .
4. a) Jika maka tidak ada akar; Jika
b) jika tidak ada akar; Jika

Tes

Pilihan 1

1. Tentukan jenis persamaannya 7c(c + 3)x 2 +(c–2)x–8=0 Ketika sebuah) c=–3; B) c=2 ; V) c=4 .

2. Selesaikan persamaan: a) x 2 –bx=0 ; B) cx 2 –6x+1=0; V)

3. Selesaikan persamaannya 3x–xy–2y=1:

a) relatif X ;
b) relatif kamu .

nx 2 – 26x + n = 0, mengetahui bahwa parameter n hanya menerima nilai integer.

5. Untuk nilai b berapakah persamaannya Memiliki:

a) dua akar;
b) satu-satunya akar?

pilihan 2

1. Tentukan jenis persamaannya 5c(c + 4)x 2 +(c–7)x+7=0 Ketika sebuah) c=–4 ; B) c=7 ; V) c=1 .

2. Selesaikan persamaan: a) kamu 2 +cy=0 ; B) ny 2 –8y+2=0 ; V)

3. Selesaikan persamaannya 6x–xy+2y=5:

a) relatif X ;
b) relatif kamu .

4. Temukan akar bilangan bulat dari persamaan tersebut nx 2 –22x+2n=0 , mengetahui bahwa parameter n hanya menerima nilai integer.

5. Untuk nilai parameter a berapa persamaannya Memiliki:

a) dua akar;
b) satu-satunya akar?

Jawaban

DALAM 1. 1. a) Persamaan linier;
b) tidak lengkap persamaan kuadrat; c) persamaan kuadrat.
2. a) Jika b=0, Itu x=0; Jika b№ 0, Itu x=0, x=b;
B) Jika cО (9;+Ґ ), maka tidak ada akar;
c) jika A=–4 , maka persamaan tersebut menjadi tidak ada artinya; Jika A№ –4 , Itu x=– A .
3. a) Jika kamu=3, maka tidak ada akar; Jika);
B) A=–3, A=1.

Tugas tambahan

Selesaikan persamaan:

literatur

1. Golubev V.I., Goldman A.M., Dorofeev G.V. Tentang parameter dari awal. – Tutor, No. 2/1991, hal. 3–13.
2. Gronshtein P.I., Polonsky V.B., Yakir M.S. Kondisi yang diperlukan dalam masalah dengan parameter. – Kvant, No. 11/1991, hal. 44–49.
3. Dorofeev G.V., Zatakavay V.V. Penyelesaian masalah berisi parameter. Bagian 2. – M., Perspektif, 1990, hal. 2–38.
4. Tynyakin S.A. Lima ratus empat belas masalah dengan parameter. – Volgograd, 1991.
5. Yastrebinetsky G.A. Masalah dengan parameter. – M., Pendidikan, 1986.

Memecahkan persamaan rasional pecahan

Panduan Referensi

Persamaan rasional adalah persamaan yang ruas kiri dan ruas kanannya merupakan ekspresi rasional.

(Ingat: ekspresi rasional adalah ekspresi bilangan bulat dan pecahan tanpa radikal, termasuk operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian atau pembagian - misalnya: 6x; (m – n)2; x/3y, dll.)

Persamaan rasional pecahan biasanya direduksi menjadi bentuk:

Di mana P(X) Dan Q(X) adalah polinomial.

Untuk menyelesaikan persamaan tersebut, kalikan kedua ruas persamaan dengan Q(x), yang dapat menyebabkan munculnya akar-akar asing. Oleh karena itu, ketika menyelesaikan persamaan rasional pecahan, perlu dilakukan pengecekan akar-akar yang ditemukan.

Persamaan rasional disebut bilangan bulat, atau aljabar, jika tidak dibagi dengan ekspresi yang mengandung variabel.

Contoh persamaan rasional utuh:

5x – 10 = 3(10 – x)

3x
- = 2x – 10
4

Jika dalam suatu persamaan rasional terdapat pembagian dengan ekspresi yang mengandung variabel (x), maka persamaan tersebut disebut rasional pecahan.

Contoh persamaan rasional pecahan:

15
x + - = 5x – 17
X

Persamaan rasional pecahan biasanya diselesaikan sebagai berikut:

1) temukan penyebut pecahan yang sama dan kalikan kedua ruas persamaan dengan penyebut tersebut;

2) selesaikan seluruh persamaan yang dihasilkan;

3) mengecualikan dari akar-akarnya yang mengurangi penyebut pecahan menjadi nol.

Contoh penyelesaian persamaan rasional bilangan bulat dan pecahan.

Contoh 1. Mari selesaikan seluruh persamaan

x – 1 2x 5x
-- + -- = --.
2 3 6

Larutan:

Menemukan penyebut persekutuan terendah. Ini adalah 6. Bagilah 6 dengan penyebutnya dan kalikan hasilnya dengan pembilang setiap pecahan. Kami memperoleh persamaan yang setara dengan ini:

3(x – 1) + 4x 5x
------ = --
6 6

Karena di sisi kiri dan kanan penyebut yang sama, itu bisa dihilangkan. Kemudian kita mendapatkan persamaan yang lebih sederhana:

3(x – 1) + 4x = 5x.

Kami menyelesaikannya dengan membuka tanda kurung dan menggabungkan suku-suku serupa:

3x – 3 + 4x = 5x

3x + 4x – 5x = 3

Contohnya terpecahkan.

Contoh 2. Selesaikan persamaan rasional pecahan

x – 3 1 x + 5
-- + - = ---.
x – 5 x x(x – 5)

Menemukan penyebut yang sama. Ini adalah x(x – 5). Jadi:

x 2 – 3x x – 5 x + 5
--- + --- = ---
x(x – 5) x(x – 5) x(x – 5)

Sekarang kita hilangkan lagi penyebutnya, karena penyebutnya sama untuk semua ekspresi. Kita kurangi suku-suku serupa, samakan persamaannya dengan nol dan dapatkan persamaan kuadrat:

x 2 – 3x + x – 5 = x + 5

x 2 – 3x + x – 5 – x – 5 = 0

x 2 – 3x – 10 = 0.

Setelah menyelesaikan persamaan kuadrat, kita menemukan akar-akarnya: –2 dan 5.

Mari kita periksa apakah bilangan-bilangan ini merupakan akar-akar persamaan aslinya.

Pada x = –2, penyebutnya x(x – 5) tidak hilang. Artinya –2 adalah akar persamaan awal.

Pada x = 5, penyebutnya menjadi nol, dan dua dari tiga ekspresi menjadi tidak berarti. Artinya angka 5 bukanlah akar persamaan aslinya.

Jawaban: x = –2

Lebih banyak contoh

Contoh 1.

x 1 =6, x 2 = - 2.2.

Jawaban: -2,2;6.

Contoh 2.

Tujuan pelajaran:

Pendidikan:

• pembentukan konsep persamaan rasional pecahan;
• pertimbangkan berbagai cara untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan;
• pertimbangkan algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan, termasuk syarat pecahan sama dengan nol;
• mengajarkan penyelesaian persamaan rasional pecahan dengan menggunakan algoritma;
• memeriksa tingkat penguasaan topik dengan melakukan tes.

Pembangunan:

• mengembangkan kemampuan untuk mengoperasikan dengan benar pengetahuan yang diperoleh dan berpikir logis;
• pengembangan keterampilan intelektual dan operasi mental - analisis, sintesis, perbandingan dan generalisasi;
• pengembangan inisiatif, kemampuan mengambil keputusan, dan tidak berhenti di situ;
• pengembangan pemikiran kritis;
• pengembangan keterampilan penelitian.

Mendidik:

• menumbuhkan minat kognitif terhadap mata pelajaran;
• menumbuhkan kemandirian dalam memecahkan masalah pendidikan;
• memupuk kemauan dan ketekunan untuk mencapai hasil akhir.

Jenis pelajaran: pelajaran - penjelasan materi baru.

Selama kelas

1. Momen organisasi.

Hallo teman-teman! Ada persamaan yang tertulis di papan tulis, perhatikan baik-baik. Bisakah kamu menyelesaikan semua persamaan ini? Mana yang tidak dan mengapa?

Persamaan yang ruas kiri dan kanannya merupakan ekspresi rasional pecahan disebut persamaan rasional pecahan. Menurut Anda apa yang akan kita pelajari di kelas hari ini? Merumuskan topik pelajaran. Jadi, bukalah buku catatanmu dan tuliskan topik pelajaran “Menyelesaikan persamaan rasional pecahan”.

2. Memperbarui pengetahuan. Survei frontal, pekerjaan lisan dengan kelas.

Dan sekarang kita akan mengulangi materi teori utama yang perlu kita pelajari topik baru. Silakan jawab pertanyaan-pertanyaan berikut:

1. Apa itu persamaan? ( Kesetaraan dengan variabel atau variabel.)
2. Apa nama persamaan nomor 1? ( Linier.) Solusi persamaan linear. (Pindahkan semua bilangan yang tidak diketahui ke ruas kiri persamaan, semua bilangan ke kanan. Berikan istilah serupa. Temukan faktor yang tidak diketahui).
3. Apa nama persamaan nomor 3? ( Persegi.) Metode penyelesaian persamaan kuadrat. ( Mengisolasi persegi lengkap menggunakan rumus menggunakan teorema Vieta dan akibat wajarnya.)
4. Apa itu proporsi? ( Kesetaraan dua rasio.) Sifat utama proporsi. ( Jika proporsinya benar, maka hasil kali suku ekstrimnya sama dengan hasil kali suku tengahnya.)
5. Properti apa yang digunakan saat menyelesaikan persamaan? ( 1. Jika Anda memindahkan suatu suku dalam suatu persamaan dari satu bagian ke bagian lain, mengubah tandanya, Anda akan mendapatkan persamaan yang setara dengan persamaan yang diberikan. 2. Jika kedua ruas persamaan dikalikan atau dibagi dengan bilangan bukan nol yang sama, maka diperoleh persamaan yang ekuivalen dengan bilangan yang diberikan.)
6. Kapan pecahan sama dengan nol? ( Pecahan sama dengan nol jika pembilangnya nol dan penyebutnya bukan nol..)

3. Penjelasan materi baru.

Selesaikan persamaan No. 2 di buku catatan Anda dan di papan tulis.

Menjawab: 10.

Persamaan rasional pecahan apa yang dapat kamu coba selesaikan dengan menggunakan sifat dasar proporsi? (Nomor 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x+8 = x 2 +3x+2x+6

x 2 -6x-x 2 -5x = 6-8

Selesaikan persamaan No. 4 di buku catatan Anda dan di papan tulis.

Menjawab: 1,5.

Persamaan rasional pecahan apa yang dapat kamu selesaikan dengan mengalikan kedua ruas persamaan tersebut dengan penyebutnya? (No.6).

x 2 -7x+12 = 0

D=1›0, x 1 =3, x 2 =4.

Menjawab: 3;4.

Sekarang coba selesaikan persamaan nomor 7 dengan menggunakan salah satu cara berikut.

(x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x 2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0			x 2 -2x-5=x+5
x(x-5)(x 2 -2x-5-(x+5))=0			x 2 -2x-5-x-5=0
x(x-5)(x 2 -3x-10)=0
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0
x 1 =0 x 2 =5 D=49
x 3 =5 x 4 =-2			x 3 =5 x 4 =-2
Menjawab: 0;5;-2.			Menjawab: 5;-2.

Jelaskan mengapa ini terjadi? Mengapa ada tiga akar dalam satu kasus dan dua akar dalam kasus lainnya? Berapakah akar-akar persamaan rasional pecahan tersebut?

Sampai saat ini siswa belum menemukan konsep akar asing, bahkan sangat sulit bagi mereka untuk memahami mengapa hal tersebut terjadi. Jika tidak ada seorang pun di kelas yang dapat memberikan penjelasan yang jelas tentang situasi ini, maka guru akan mengajukan pertanyaan-pertanyaan yang mengarahkan.

• Apa perbedaan persamaan no 2 dan 4 dengan persamaan no 5,6,7? ( Pada persamaan no 2 dan 4 ada bilangan penyebutnya, no 5-7 adalah ekspresi dengan variabel.)
• Apa akar persamaan? ( Nilai variabel yang persamaannya menjadi benar.)
• Bagaimana cara mengetahui apakah suatu bilangan merupakan akar persamaan? ( Lakukan pemeriksaan.)

Saat pengujian, beberapa siswa memperhatikan bahwa mereka harus membagi dengan nol. Mereka menyimpulkan bahwa angka 0 dan 5 bukanlah akar persamaan tersebut. Timbul pertanyaan: apakah ada cara untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan yang memungkinkan kita menghilangkan kesalahan ini? Ya, cara ini didasarkan pada syarat pecahan sama dengan nol.

x 2 -3x-10=0, D=49, x 1 =5, x 2 =-2.

Jika x=5, maka x(x-5)=0, artinya 5 adalah akar asing.

Jika x=-2, maka x(x-5)≠0.

Menjawab: -2.

Mari kita coba merumuskan algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan dengan cara ini. Anak-anak merumuskan sendiri algoritmanya.

Algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan:

1. Pindahkan semuanya ke sisi kiri.
2. Kurangi pecahan menjadi penyebut yang sama.
3. Buatlah sistem: pecahan sama dengan nol jika pembilangnya sama dengan nol dan penyebutnya tidak sama dengan nol.
4. Selesaikan persamaannya.
5. Periksa pertidaksamaan untuk mengecualikan akar-akar asing.
6. Tuliskan jawabannya.

Pembahasan: cara memformalkan penyelesaian jika menggunakan sifat dasar proporsi dan mengalikan kedua ruas persamaan dengan penyebut yang sama. (Tambahkan ke solusinya: kecualikan dari akar-akarnya hal-hal yang membuat penyebut yang sama hilang).

4. Pemahaman awal materi baru.

Bekerja berpasangan. Siswa memilih sendiri cara menyelesaikan persamaan tergantung pada jenis persamaannya. Tugas dari buku teks “Aljabar 8”, Yu.N. Makarychev, 2007: No.600(b,c,i); No.601(a,e,g). Guru memantau penyelesaian tugas, menjawab setiap pertanyaan yang muncul, dan memberikan bantuan kepada siswa yang berprestasi rendah. Tes mandiri: jawaban ditulis di papan tulis.

b) 2 – akar asing. Jawaban: 3.

c) 2 – akar asing. Jawaban: 1.5.

a) Jawaban: -12.5.

g) Jawaban: 1;1.5.

5. Menetapkan pekerjaan rumah.

1. Baca paragraf 25 dari buku teks, analisis contoh 1-3.
2. Pelajari algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan.
3. Selesaikan dalam buku catatan No. 600 (a, d, e); No.601(g,h).
4. Cobalah untuk menyelesaikan No. 696(a) (opsional).

6. Menyelesaikan tugas kontrol pada topik yang dipelajari.

Pekerjaan itu dilakukan pada selembar kertas.

Contoh tugas:

A) Persamaan manakah yang rasional pecahan?

B) Suatu pecahan sama dengan nol jika pembilangnya __________ dan penyebutnya _______________________.

Q) Apakah angka -3 merupakan akar persamaan nomor 6?

D) Selesaikan persamaan no.7.

Kriteria penilaian tugas:

• “5” diberikan jika siswa menyelesaikan lebih dari 90% tugas dengan benar.
• "4" - 75%-89%
• "3" - 50%-74%
• “2” diberikan kepada siswa yang menyelesaikan kurang dari 50% tugas.
• Peringkat 2 tidak diberikan dalam jurnal, 3 bersifat opsional.

7. Refleksi.

Pada lembar kerja mandiri, tulislah:

• 1 – jika pelajarannya menarik dan dapat Anda pahami;
• 2 – menarik, tetapi tidak jelas;
• 3 – tidak menarik, tapi bisa dimengerti;
• 4 – tidak menarik, tidak jelas.

8. Menyimpulkan pelajaran.

Jadi, hari ini dalam pelajaran kita berkenalan dengan persamaan rasional pecahan, belajar bagaimana menyelesaikan persamaan tersebut cara yang berbeda, menguji pengetahuan mereka dengan bantuan pelatihan pekerjaan mandiri. Anda akan mempelajari hasil kerja mandiri Anda pada pelajaran berikutnya, dan di rumah Anda akan memiliki kesempatan untuk mengkonsolidasikan pengetahuan Anda.

Menurut Anda, metode penyelesaian persamaan rasional pecahan manakah yang lebih mudah, mudah diakses, dan rasional? Terlepas dari metode penyelesaian persamaan rasional pecahan, apa yang harus Anda ingat? Apa yang dimaksud dengan “liciknya” persamaan rasional pecahan?

Terima kasih semuanya, pelajaran sudah selesai.

Menyelesaikan persamaan dengan pecahan Mari kita lihat contohnya. Contohnya sederhana dan ilustratif. Dengan bantuan mereka, Anda akan dapat memahami dengan cara yang paling mudah dipahami.
Misalnya, Anda perlu menyelesaikan persamaan sederhana x/b + c = d.

Persamaan jenis ini disebut linier karena Penyebutnya hanya berisi angka.

Penyelesaiannya dilakukan dengan mengalikan kedua ruas persamaan dengan b, maka persamaan tersebut berbentuk x = b*(d – c), yaitu. penyebut pecahan di ruas kiri dibatalkan.

Misalnya saja bagaimana cara mengatasinya persamaan pecahan:
x/5+4=9
Kita mengalikan kedua ruas dengan 5. Kita mendapatkan:
x+20=45
x=45-20=25

Contoh lain ketika yang tidak diketahui ada di penyebutnya:

Persamaan jenis ini disebut pecahan-rasional atau pecahan saja.

Kita akan menyelesaikan persamaan pecahan dengan menghilangkan pecahan, setelah itu persamaan ini, paling sering, berubah menjadi persamaan linier atau kuadrat, yang dapat diselesaikan dengan cara biasa. Anda hanya perlu memperhatikan beberapa hal berikut ini:

• nilai variabel yang mengubah penyebutnya menjadi 0 tidak boleh menjadi akar;
• Anda tidak dapat membagi atau mengalikan persamaan dengan ekspresi =0.

Di sinilah konsep kawasan berperan. nilai-nilai yang dapat diterima(ODZ) adalah nilai akar-akar persamaan yang membuat persamaan tersebut masuk akal.

Jadi, ketika menyelesaikan persamaan, perlu untuk menemukan akar-akarnya, dan kemudian memeriksa kesesuaiannya dengan ODZ. Akar-akar yang tidak sesuai dengan ODZ kami dikecualikan dari jawabannya.

Misalnya, Anda perlu menyelesaikan persamaan pecahan:

Berdasarkan aturan di atas, x tidak boleh = 0, yaitu ODZ masuk pada kasus ini: x – nilai apa pun selain nol.

Kita menghilangkan penyebutnya dengan mengalikan semua suku persamaan dengan x

Dan kami menyelesaikan persamaan biasa

5x – 2x = 1
3x = 1
x = 1/3

Jawaban: x = 1/3

Mari selesaikan persamaan yang lebih rumit:

ODZ juga hadir di sini: x -2.

Saat menyelesaikan persamaan ini, kita tidak akan memindahkan semuanya ke satu sisi dan membawa pecahan ke penyebut yang sama. Kita akan segera mengalikan kedua ruas persamaan dengan ekspresi yang akan menghilangkan semua penyebutnya sekaligus.

Untuk mengurangi penyebutnya, Anda perlu mengalikan ruas kiri dengan x+2, dan ruas kanan dengan 2. Artinya, kedua ruas persamaan harus dikalikan dengan 2(x+2):

Ini adalah perkalian pecahan yang paling umum, yang telah kita bahas di atas.

Mari kita tuliskan persamaan yang sama, tetapi sedikit berbeda

Ruas kiri dikurangi (x+2), dan ruas kanan dikurangi 2. Setelah direduksi, diperoleh persamaan linier biasa:

x = 4 – 2 = 2, yang sesuai dengan ODZ kita

Jawaban: x = 2.

Menyelesaikan persamaan dengan pecahan tidak sesulit kelihatannya. Pada artikel ini kami telah menunjukkannya dengan contoh. Jika Anda mengalami kesulitan dengan cara menyelesaikan persamaan dengan pecahan, lalu berhenti berlangganan di komentar.

§ 1 Persamaan rasional bilangan bulat dan pecahan

Dalam pelajaran ini kita akan melihat konsep-konsep seperti persamaan rasional, ekspresi rasional, ekspresi bilangan bulat, ekspresi pecahan. Mari kita pertimbangkan penyelesaian persamaan rasional.

Persamaan rasional adalah persamaan yang ruas kiri dan ruas kanannya merupakan ekspresi rasional.

Ekspresi rasional adalah:

Pecahan.

Ekspresi bilangan bulat terdiri dari bilangan, variabel, pangkat bilangan bulat menggunakan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian dengan bilangan selain nol.

Misalnya:

DI DALAM ekspresi pecahan ada pembagian dengan variabel atau ekspresi dengan variabel. Misalnya:

Ekspresi pecahan tidak masuk akal untuk semua nilai variabel yang termasuk di dalamnya. Misalnya saja ungkapan

pada x = -9 tidak masuk akal, karena pada x = -9 penyebutnya menjadi nol.

Artinya persamaan rasional bisa berupa bilangan bulat atau pecahan.

Persamaan rasional utuh adalah persamaan rasional yang ruas kiri dan ruas kanannya merupakan ekspresi bilangan bulat.

Misalnya:

Persamaan rasional pecahan adalah persamaan rasional yang ruas kiri atau ruas kanannya merupakan ekspresi pecahan.

Misalnya:

§ 2 Solusi dari seluruh persamaan rasional

Mari kita pertimbangkan solusi seluruh persamaan rasional.

Misalnya:

Mari kita kalikan kedua ruas persamaan dengan penyebut terkecil dari penyebut pecahan yang termasuk di dalamnya.

Untuk ini:

1. carilah penyebut yang sama untuk penyebut 2, 3, 6. Sama dengan 6;

2. temukan faktor tambahan untuk setiap pecahan. Caranya, bagilah penyebut yang sama 6 dengan masing-masing penyebutnya

faktor tambahan untuk pecahan

faktor tambahan untuk pecahan

3. mengalikan pembilang pecahan dengan faktor tambahan yang bersesuaian. Jadi, kita memperoleh persamaannya

yang setara dengan persamaan yang diberikan

Di sebelah kiri kita akan membuka tanda kurung, sisi kanan Mari kita pindahkan ke kiri, mengubah tanda sukunya saat memindahkannya ke kebalikannya.

Mari kita bawa suku-suku polinomial yang serupa dan dapatkan

Kita melihat bahwa persamaannya linier.

Setelah menyelesaikannya, kita menemukan bahwa x = 0,5.

§ 3 Solusi persamaan rasional pecahan

Mari kita pertimbangkan untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan.

Misalnya:

1. Kalikan kedua ruas persamaan dengan penyebut terkecil dari penyebut pecahan rasional yang termasuk di dalamnya.

Mari kita cari penyebut yang sama untuk penyebut x + 7 dan x - 1.

Itu sama dengan hasil kali mereka (x + 7)(x - 1).

2. Mari kita cari faktor tambahan untuk setiap pecahan rasional.

Caranya, bagilah penyebut yang sama (x + 7)(x - 1) dengan masing-masing penyebutnya. Faktor tambahan untuk pecahan

sama dengan x - 1,

faktor tambahan untuk pecahan

sama dengan x+7.

3. Kalikan pembilang pecahan dengan faktor tambahannya yang bersesuaian.

Kita peroleh persamaan (2x - 1)(x - 1) = (3x + 4)(x + 7), yang ekuivalen dengan persamaan ini

4. Kalikan binomial dengan binomial kiri dan kanan dan dapatkan persamaan berikut

5. Kita pindahkan ruas kanan ke kiri, ubah tanda tiap suku saat berpindah ke kebalikannya:

6. Mari kita sajikan suku-suku polinomial yang serupa:

7. Kedua ruas dapat dibagi -1. Kami mendapatkan persamaan kuadrat:

8. Setelah diselesaikan, kita akan menemukan akarnya

Karena dalam Persamaan.

ruas kiri dan kanan adalah ekspresi pecahan, dan pada ekspresi pecahan, untuk beberapa nilai variabel, penyebutnya bisa menjadi nol, maka perlu diperiksa apakah penyebutnya tidak menjadi nol ketika x1 dan x2 ditemukan .

Pada x = -27, penyebutnya (x + 7)(x - 1) tidak hilang; pada x = -1, penyebutnya juga tidak nol.

Oleh karena itu, akar -27 dan -1 merupakan akar persamaan.

Saat menyelesaikan persamaan rasional pecahan, lebih baik segera menunjukkan kisaran nilai yang dapat diterima. Hilangkan nilai-nilai yang penyebutnya menjadi nol.

Mari kita perhatikan contoh lain penyelesaian persamaan rasional pecahan.

Misalnya, mari kita selesaikan persamaannya

Kita memfaktorkan penyebut pecahan di ruas kanan persamaan

Kami mendapatkan persamaannya

Mari kita cari penyebut yang sama untuk penyebut (x - 5), x, x(x - 5).

Ini akan menjadi ekspresi x(x - 5).

Sekarang mari kita cari kisaran nilai persamaan yang dapat diterima

Untuk melakukan ini, kita menyamakan penyebutnya dengan nol x(x - 5) = 0.

Kita memperoleh persamaan, penyelesaiannya kita temukan bahwa pada x = 0 atau pada x = 5 penyebutnya menjadi nol.

Artinya x = 0 atau x = 5 tidak bisa menjadi akar-akar persamaan kita.

Pengganda tambahan sekarang dapat ditemukan.

Faktor tambahan untuk pecahan rasional

faktor tambahan untuk pecahan tersebut

akan menjadi (x - 5),

dan faktor tambahan pecahan

Kami mengalikan pembilangnya dengan faktor tambahan yang sesuai.

Kita mendapatkan persamaan x(x - 3) + 1(x - 5) = 1(x + 5).

Mari kita buka tanda kurung di kiri dan kanan, x2 - 3x + x - 5 = x + 5.

Mari kita pindahkan suku dari kanan ke kiri, mengubah tanda suku yang ditransfer:

X2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0

Dan setelah membawa anggota serupa kita memperoleh persamaan kuadrat x2 - 3x - 10 = 0. Setelah menyelesaikannya, kita mencari akar-akar x1 = -2; x2 = 5.

Namun kita telah mengetahui bahwa pada x = 5 penyebutnya x(x - 5) menjadi nol. Oleh karena itu, akar persamaan kita

akan menjadi x = -2.

§ 4 Ringkasan singkat pelajaran

Penting untuk diingat:

Saat menyelesaikan persamaan rasional pecahan, lakukan sebagai berikut:

1. Temukan penyebut pecahan yang termasuk dalam persamaan tersebut. Selain itu, jika penyebut pecahan dapat difaktorkan, faktorkanlah pecahan tersebut lalu cari penyebutnya.

2. Kalikan kedua ruas persamaan dengan penyebut yang sama: cari faktor tambahan, kalikan pembilangnya dengan faktor tambahan.

3. Selesaikan seluruh persamaan yang dihasilkan.

4. Hilangkan dari akarnya hal-hal yang membuat penyebut yang sama hilang.

Daftar literatur bekas:

1. Makarychev Yu.N., N.G. Mindyuk, Neshkov K.I., Suvorova S.B. / Diedit oleh Telyakovsky S.A. Aljabar: buku teks. untuk kelas 8. pendidikan umum institusi. - M.: Pendidikan, 2013.
2. Mordkovich A.G. Aljabar. kelas 8: Dalam dua bagian. Bagian 1: Buku Teks. untuk pendidikan umum institusi. - M.: Mnemosin.
3. Rurukin A.N. Perkembangan pembelajaran aljabar : kelas 8. - M.: VAKO, 2010.
4. Aljabar kelas 8: RPP berdasarkan buku teks karya Yu.N. Makarycheva, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkova, S.B. Suvorova / Auth.-comp. T.L. Afanasyeva, L.A. Tapilina. -Volgograd: Guru, 2005.

Kembali