Tingkat pertama

Persamaan kuadrat. Panduan komprehensif (2019)

Dalam istilah “persamaan kuadrat”, kata kuncinya adalah “kuadrat”. Artinya, persamaan tersebut harus memuat variabel (x yang sama) yang dikuadratkan, dan tidak boleh ada x pangkat ketiga (atau lebih besar).

Penyelesaian banyak persamaan direduksi menjadi penyelesaian eksak persamaan kuadrat.

Mari kita belajar menentukan bahwa ini adalah persamaan kuadrat dan bukan persamaan lainnya.

Contoh 1.

Mari kita hilangkan penyebutnya dan mengalikan setiap suku persamaan dengan

Mari kita pindahkan semuanya ke sisi kiri dan menyusun suku-sukunya dalam urutan pangkat X

Sekarang kita dapat mengatakan dengan yakin bahwa persamaan ini adalah persamaan kuadrat!

Contoh 2.

Kalikan ruas kiri dan kanan dengan:

Persamaan ini, meskipun aslinya ada di dalamnya, bukanlah persamaan kuadrat!

Contoh 3.

Mari kalikan semuanya dengan:

Menakutkan? Derajat keempat dan kedua... Namun, jika kita melakukan penggantian, kita akan melihat bahwa kita memiliki persamaan kuadrat sederhana:

Contoh 4.

Sepertinya memang ada, tapi mari kita lihat lebih dekat. Mari kita pindahkan semuanya ke sisi kiri:

Lihat, sudah tereduksi - dan sekarang menjadi persamaan linier sederhana!

Sekarang coba tentukan sendiri persamaan mana di bawah ini yang merupakan persamaan kuadrat dan mana yang bukan:

Contoh:

Jawaban:

1. persegi;
2. persegi;
3. tidak persegi;
4. tidak persegi;
5. tidak persegi;
6. persegi;
7. tidak persegi;
8. persegi.

Matematikawan secara konvensional membagi semua persamaan kuadrat menjadi beberapa jenis berikut:

• Selesaikan persamaan kuadrat- persamaan yang koefisiennya dan, serta suku bebas c, tidak sama dengan nol (seperti pada contoh). Selain itu, di antara persamaan kuadrat lengkap ada diberikan- ini adalah persamaan yang koefisiennya (persamaan dari contoh pertama tidak hanya lengkap, tetapi juga tereduksi!)

• Persamaan kuadrat tidak lengkap- persamaan yang koefisien dan atau suku bebas c sama dengan nol:

  Mereka tidak lengkap karena ada beberapa elemen yang hilang. Tapi persamaannya harus selalu mengandung x kuadrat!!! Jika tidak, persamaan tersebut bukan lagi persamaan kuadrat, melainkan persamaan lainnya.

Mengapa mereka membuat pembagian seperti itu? Tampaknya ada tanda X kotak, dan oke. Pembagian ini ditentukan oleh metode penyelesaiannya. Mari kita lihat masing-masing secara lebih rinci.

Memecahkan persamaan kuadrat tidak lengkap

Pertama, mari kita fokus pada penyelesaian persamaan kuadrat tidak lengkap - persamaan ini jauh lebih sederhana!

Ada beberapa jenis persamaan kuadrat tidak lengkap:

1. , dalam persamaan ini koefisiennya sama.
2. , dalam persamaan ini suku bebasnya sama dengan.
3. , dalam persamaan ini koefisien dan suku bebasnya sama.

1. saya. Karena kita tahu cara mengekstraknya Akar pangkat dua, lalu mari kita ekspresikan dari persamaan ini

Ekspresinya bisa negatif atau positif. Suatu bilangan yang dikuadratkan tidak boleh negatif, karena bila mengalikan dua bilangan negatif atau dua bilangan positif, hasilnya akan selalu sama nomor positif, jadi: jika, maka persamaan tersebut tidak mempunyai solusi.

Dan jika, maka kita mendapatkan dua akar. Tidak perlu menghafal rumus-rumus ini. Yang penting anda harus tahu dan selalu ingat bahwa itu tidak boleh kurang.

Mari kita coba memecahkan beberapa contoh.

Contoh 5:

Selesaikan persamaannya

Sekarang tinggal mengekstrak root dari sisi kiri dan kanan. Lagi pula, Anda ingat cara mengekstrak akarnya?

Menjawab:

Jangan pernah melupakan akar yang bertanda negatif!!!

Contoh 6:

Selesaikan persamaannya

Menjawab:

Contoh 7:

Selesaikan persamaannya

Oh! Kuadrat suatu bilangan tidak boleh negatif, yang berarti persamaannya

tidak ada akar!

Untuk persamaan yang tidak memiliki akar, ahli matematika membuat ikon khusus - (himpunan kosong). Dan jawabannya bisa ditulis seperti ini:

Menjawab:

Jadi, persamaan kuadrat ini mempunyai dua akar. Tidak ada batasan di sini, karena kami tidak mengekstrak root.
Contoh 8:

Selesaikan persamaannya

Mari kita keluarkan faktor persekutuannya dari tanda kurung:

Dengan demikian,

Persamaan ini memiliki dua akar.

Menjawab:

Jenis persamaan kuadrat tidak lengkap yang paling sederhana (meskipun semuanya sederhana, bukan?). Jelasnya, persamaan ini selalu hanya memiliki satu akar:

Kami akan membuang contoh di sini.

Memecahkan persamaan kuadrat lengkap

Kami ingatkan kembali bahwa persamaan kuadrat lengkap adalah persamaan yang bentuknya persamaan dimana

Menyelesaikan persamaan kuadrat lengkap sedikit lebih sulit (hanya sedikit) daripada persamaan berikut ini.

Ingat, Persamaan kuadrat apa pun dapat diselesaikan dengan menggunakan diskriminan! Bahkan tidak lengkap.

Metode lain akan membantu Anda melakukannya lebih cepat, tetapi jika Anda memiliki masalah dengan persamaan kuadrat, kuasai dulu penyelesaiannya menggunakan diskriminan.

1. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan menggunakan diskriminan.

Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan metode ini sangat sederhana, yang utama adalah mengingat urutan tindakan dan beberapa rumus.

Jika , maka persamaan tersebut mempunyai akar. Perhatian khusus mengambil langkah. Diskriminan () memberi tahu kita jumlah akar persamaan.

• Jika , maka rumus pada langkah tersebut akan direduksi menjadi. Jadi, persamaan tersebut hanya akan memiliki akar.
• Jika, maka kita tidak akan dapat mengekstraksi akar diskriminan pada langkah tersebut. Hal ini menunjukkan bahwa persamaan tersebut tidak mempunyai akar.

Mari kita kembali ke persamaan kita dan melihat beberapa contoh.

Contoh 9:

Selesaikan persamaannya

Langkah 1 kita lewati.

Langkah 2.

Kami menemukan diskriminannya:

Artinya persamaan tersebut mempunyai dua akar.

Langkah 3.

Menjawab:

Contoh 10:

Selesaikan persamaannya

Persamaan disajikan dalam bentuk standar, jadi Langkah 1 kita lewati.

Langkah 2.

Kami menemukan diskriminannya:

Artinya persamaan tersebut mempunyai satu akar.

Menjawab:

Contoh 11:

Selesaikan persamaannya

Persamaan disajikan dalam bentuk standar, jadi Langkah 1 kita lewati.

Langkah 2.

Kami menemukan diskriminannya:

Artinya kita tidak akan bisa mengekstrak akar diskriminannya. Tidak ada akar persamaan.

Sekarang kita tahu cara menuliskan jawaban tersebut dengan benar.

Menjawab: tidak ada akar

2. Menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan teorema Vieta.

Jika Anda ingat, ada jenis persamaan yang disebut tereduksi (bila koefisien a sama dengan):

Persamaan tersebut sangat mudah diselesaikan dengan menggunakan teorema Vieta:

Jumlah akar diberikan persamaan kuadratnya sama, dan hasil kali akar-akarnya juga sama.

Contoh 12:

Selesaikan persamaannya

Persamaan ini dapat diselesaikan dengan menggunakan teorema Vieta karena .

Jumlah akar-akar persamaannya sama, yaitu. kita mendapatkan persamaan pertama:

Dan produknya sama dengan:

Mari menyusun dan menyelesaikan sistem:

• Dan. Jumlahnya sama dengan;
• Dan. Jumlahnya sama dengan;
• Dan. Jumlahnya sama.

dan merupakan solusi dari sistem:

Menjawab: ; .

Contoh 13:

Selesaikan persamaannya

Menjawab:

Contoh 14:

Selesaikan persamaannya

Persamaan diberikan, yang berarti:

Menjawab:

PERSAMAAN KUADRATIS. LEVEL RATA-RATA

Apa itu persamaan kuadrat?

Dengan kata lain, persamaan kuadrat adalah persamaan yang bentuknya, dimana - tidak diketahui, - beberapa bilangan, dan.

Angka tersebut disebut tertinggi atau koefisien pertama persamaan kuadrat, - koefisien kedua, A - anggota bebas.

Mengapa? Karena jika persamaannya langsung menjadi linier, karena akan hilang.

Dalam hal ini, dan bisa sama dengan nol. Dalam persamaan kursi ini disebut tidak lengkap. Jika semua suku sudah ada, maka persamaannya lengkap.

Solusi berbagai jenis persamaan kuadrat

Cara menyelesaikan persamaan kuadrat tidak lengkap:

Pertama, mari kita lihat metode untuk menyelesaikan persamaan kuadrat tidak lengkap - metode ini lebih sederhana.

Kita dapat membedakan jenis persamaan berikut:

I., dalam persamaan ini koefisien dan suku bebasnya sama.

II. , dalam persamaan ini koefisiennya sama.

AKU AKU AKU. , dalam persamaan ini suku bebasnya sama dengan.

Sekarang mari kita lihat solusi untuk masing-masing subtipe ini.

Jelasnya, persamaan ini selalu hanya memiliki satu akar:

Suatu bilangan kuadrat tidak boleh negatif, karena jika dua bilangan negatif atau dua bilangan positif dikalikan, hasilnya akan selalu positif. Itu sebabnya:

jika, maka persamaan tersebut tidak memiliki solusi;

jika kita mempunyai dua akar

Tidak perlu menghafal rumus-rumus ini. Hal utama yang harus diingat adalah bahwa jumlahnya tidak boleh kurang.

Contoh:

Solusi:

Menjawab:

Jangan pernah melupakan akar yang bertanda negatif!

Kuadrat suatu bilangan tidak boleh negatif, yang berarti persamaannya

tidak ada akar.

Untuk menuliskan secara singkat bahwa suatu masalah tidak memiliki solusi, kami menggunakan ikon himpunan kosong.

Menjawab:

Jadi, persamaan ini memiliki dua akar: dan.

Menjawab:

Mari kita keluarkan faktor persekutuannya dari tanda kurung:

Hasil kali sama dengan nol jika setidaknya salah satu faktornya sama dengan nol. Artinya persamaan tersebut mempunyai solusi jika:

Jadi, persamaan kuadrat ini memiliki dua akar: dan.

Contoh:

Selesaikan persamaannya.

Larutan:

Mari kita faktorkan ruas kiri persamaan dan temukan akar-akarnya:

Menjawab:

Cara menyelesaikan persamaan kuadrat lengkap:

1. Diskriminan

Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cara ini mudah, yang utama adalah mengingat urutan tindakan dan beberapa rumus. Ingat, persamaan kuadrat apa pun dapat diselesaikan dengan menggunakan diskriminan! Bahkan tidak lengkap.

Pernahkah Anda memperhatikan akar dari diskriminan dalam rumus akar? Tapi diskriminannya bisa jadi negatif. Apa yang harus dilakukan? Kita perlu memberikan perhatian khusus pada langkah 2. Diskriminan memberi tahu kita jumlah akar persamaan.

• Jika , maka persamaan tersebut mempunyai akar:
• Jika, maka persamaan tersebut mempunyai akar-akar yang sama, dan sebenarnya mempunyai akar yang sama:

  Akar yang demikian disebut akar rangkap.

• Jika, maka akar diskriminan tidak terekstraksi. Hal ini menunjukkan bahwa persamaan tersebut tidak mempunyai akar.

Mengapa itu mungkin? jumlah yang berbeda akar? Mari kita beralih ke pengertian geometris persamaan kuadrat. Grafik fungsinya adalah parabola:

Dalam kasus khusus, yaitu persamaan kuadrat, . Artinya akar-akar persamaan kuadrat merupakan titik potong dengan sumbu absis (sumbu). Parabola tidak boleh memotong sumbunya sama sekali, atau dapat memotongnya di satu titik (jika titik puncak parabola terletak pada sumbu) atau dua titik.

Selain itu, koefisien juga bertanggung jawab atas arah cabang parabola. Jika , maka cabang-cabang parabola mengarah ke atas, dan jika , maka ke bawah.

Contoh:

Solusi:

Menjawab:

Menjawab: .

Menjawab:

Artinya tidak ada solusi.

Menjawab: .

2. Teorema Vieta

Sangat mudah untuk menggunakan teorema Vieta: Anda hanya perlu memilih sepasang bilangan yang hasil kali sama dengan suku bebas persamaan, dan jumlahnya sama dengan koefisien kedua yang diambil dengan tanda berlawanan.

Penting untuk diingat bahwa teorema Vieta hanya dapat diterapkan persamaan kuadrat tereduksi ().

Mari kita lihat beberapa contoh:

Contoh 1:

Selesaikan persamaannya.

Larutan:

Persamaan ini dapat diselesaikan dengan menggunakan teorema Vieta karena . Koefisien lainnya: ; .

Jumlah akar persamaannya adalah:

Dan produknya sama dengan:

Mari kita pilih pasangan bilangan yang hasil perkaliannya sama dan periksa apakah jumlahnya sama:

• Dan. Jumlahnya sama dengan;
• Dan. Jumlahnya sama dengan;
• Dan. Jumlahnya sama.

dan merupakan solusi dari sistem:

Jadi, dan merupakan akar persamaan kita.

Menjawab: ; .

Contoh #2:

Larutan:

Mari kita pilih pasangan bilangan yang menghasilkan hasil perkalian, lalu periksa apakah jumlahnya sama:

dan: mereka memberi secara total.

dan: mereka memberi secara total. Untuk memperolehnya, cukup dengan mengubah tanda-tanda dari akar yang seharusnya: dan, bagaimanapun juga, produknya.

Menjawab:

Contoh #3:

Larutan:

Suku bebas persamaan tersebut adalah negatif, sehingga hasil kali akar-akarnya adalah bilangan negatif. Hal ini hanya mungkin terjadi jika salah satu akarnya negatif dan akar lainnya positif. Jadi jumlah akar-akarnya sama dengan perbedaan modul mereka.

Mari kita pilih pasangan bilangan yang menghasilkan hasil kali, dan selisihnya sama dengan:

dan: perbedaannya sama - tidak cocok;

dan: - tidak cocok;

dan: - tidak cocok;

dan: - cocok. Yang tersisa hanyalah mengingat bahwa salah satu akarnya negatif. Karena jumlahnya harus sama, akar dengan modulus yang lebih kecil haruslah negatif: . Kami memeriksa:

Menjawab:

Contoh #4:

Selesaikan persamaannya.

Larutan:

Persamaan diberikan, yang berarti:

Suku bebasnya negatif, sehingga hasil kali akar-akarnya juga negatif. Dan ini hanya mungkin terjadi jika salah satu akar persamaannya negatif dan akar lainnya positif.

Mari kita pilih pasangan bilangan yang hasil perkaliannya sama, lalu tentukan akar mana yang bertanda negatif:

Jelas, hanya akarnya yang cocok untuk kondisi pertama:

Menjawab:

Contoh #5:

Selesaikan persamaannya.

Larutan:

Persamaan diberikan, yang berarti:

Jumlah akar-akarnya negatif, artinya paling sedikit salah satu akarnya negatif. Namun karena hasil perkaliannya positif, berarti kedua akarnya mempunyai tanda minus.

Mari kita pilih pasangan bilangan yang hasil perkaliannya sama dengan:

Jelas sekali, akarnya adalah bilangan dan.

Menjawab:

Setuju, sangat mudah untuk mengemukakan akarnya secara lisan, daripada menghitung diskriminan yang buruk ini. Cobalah untuk menggunakan teorema Vieta sesering mungkin.

Namun teorema Vieta diperlukan agar dapat memudahkan dan mempercepat pencarian akar. Agar Anda mendapat manfaat dari penggunaannya, Anda harus melakukan tindakan secara otomatis. Dan untuk ini, selesaikan lima contoh lagi. Tapi jangan curang: Anda tidak bisa menggunakan diskriminan! Hanya teorema Vieta:

Solusi tugas untuk pekerjaan mandiri:

Tugas 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Menurut teorema Vieta:

Seperti biasa, kami memulai seleksi dengan potongan:

Tidak cocok karena jumlahnya;

: jumlahnya sesuai dengan kebutuhan Anda.

Menjawab: ; .

Tugas 2.

Dan lagi teorema Vieta favorit kami: jumlahnya harus sama, dan hasil kali harus sama.

Tapi karena tidak harus, tapi, kita ubah tanda akarnya: dan (total).

Menjawab: ; .

Tugas 3.

Hmm... Dimana itu?

Anda perlu memindahkan semua istilah menjadi satu bagian:

Jumlah akar-akarnya sama dengan hasil kali.

Oke, berhenti! Persamaannya tidak diberikan. Namun teorema Vieta hanya berlaku pada persamaan yang diberikan. Jadi pertama-tama Anda perlu memberikan persamaan. Jika Anda tidak bisa memimpin, tinggalkan ide ini dan selesaikan dengan cara lain (misalnya melalui diskriminan). Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa memberikan persamaan kuadrat berarti menyamakan koefisien utamanya:

Besar. Maka jumlah akar-akarnya sama dengan dan hasil kali.

Di sini, memilihnya semudah mengupas buah pir: bagaimanapun juga, ini adalah bilangan prima (maaf atas tautologinya).

Menjawab: ; .

Tugas 4.

Anggota bebasnya negatif. Apa yang spesial dari ini? Dan faktanya akarnya akan memiliki tanda yang berbeda-beda. Dan sekarang, selama pemilihan, kami tidak memeriksa jumlah akar-akarnya, tetapi perbedaan modulnya: perbedaan ini sama, tetapi suatu produk.

Jadi, akar-akarnya sama dengan dan, tetapi salah satunya minus. Teorema Vieta menyatakan bahwa jumlah akar-akarnya sama dengan koefisien kedua yang bertanda berlawanan, yaitu. Artinya akar yang lebih kecil akan mempunyai tanda minus: dan, karena.

Menjawab: ; .

Tugas 5.

Apa yang harus Anda lakukan pertama kali? Benar, berikan persamaannya:

Sekali lagi: kita memilih faktor-faktor dari bilangan tersebut, dan selisihnya harus sama dengan:

Akar-akarnya sama dengan dan, tetapi salah satunya minus. Yang? Jumlahnya harus sama, artinya minusnya akan memiliki akar yang lebih besar.

Menjawab: ; .

Izinkan saya meringkas:

1. Teorema Vieta hanya digunakan dalam persamaan kuadrat yang diberikan.
2. Dengan menggunakan teorema Vieta, Anda dapat menemukan akarnya melalui seleksi, secara lisan.
3. Jika persamaan tidak diberikan atau tidak ditemukan persamaan pasangan yang cocok pengganda dari suku bebas, yang berarti tidak ada akar bilangan bulat, dan Anda perlu menyelesaikannya dengan cara lain (misalnya, melalui diskriminan).

3. Metode pemilihan persegi lengkap

Jika semua suku yang mengandung hal yang tidak diketahui direpresentasikan dalam bentuk suku dari rumus perkalian yang disingkat - kuadrat jumlah atau selisih - maka setelah mengganti variabel, persamaan tersebut dapat disajikan dalam bentuk persamaan kuadrat tidak lengkap yang bertipe.

Misalnya:

Contoh 1:

Selesaikan persamaan: .

Larutan:

Menjawab:

Contoh 2:

Selesaikan persamaan: .

Larutan:

Menjawab:

DI DALAM pandangan umum transformasinya akan terlihat seperti ini:

Ini menyiratkan: .

Tidak mengingatkanmu pada apa pun? Ini adalah hal yang diskriminatif! Persis seperti itulah kita mendapatkan rumus diskriminan.

PERSAMAAN KUADRATIS. SECARA SINGKAT TENTANG HAL-HAL UTAMA

Persamaan kuadrat- ini adalah persamaan bentuk, di mana - tidak diketahui, - koefisien persamaan kuadrat, - suku bebas.

Persamaan kuadrat lengkap- persamaan yang koefisiennya tidak sama dengan nol.

Persamaan kuadrat tereduksi- persamaan yang koefisiennya, yaitu: .

Persamaan kuadrat tidak lengkap- persamaan yang koefisien dan atau suku bebas c sama dengan nol:

• jika koefisiennya, persamaannya terlihat seperti: ,
• jika ada suku bebas, persamaannya berbentuk: ,
• jika dan, persamaannya terlihat seperti: .

1. Algoritma penyelesaian persamaan kuadrat tidak lengkap

1.1. Persamaan kuadrat tidak lengkap yang bentuknya, dimana, :

1) Mari kita ungkapkan hal yang tidak diketahui: ,

2) Periksa tanda ekspresi:

• jika, maka persamaan tersebut tidak memiliki solusi,
• jika, maka persamaan tersebut mempunyai dua akar.

1.2. Persamaan kuadrat tidak lengkap yang bentuknya, dimana, :

1) Mari kita keluarkan faktor persekutuannya dari dalam tanda kurung: ,

2) Hasil kali sama dengan nol jika paling sedikit salah satu faktornya sama dengan nol. Oleh karena itu, persamaan tersebut memiliki dua akar:

1.3. Bentuk persamaan kuadrat tidak lengkap, dimana:

Persamaan ini selalu hanya memiliki satu akar: .

2. Algoritma penyelesaian persamaan kuadrat lengkap berbentuk dimana

2.1. Penyelesaiannya menggunakan diskriminan

1) Mari kita kurangi persamaannya menjadi tampilan standar: ,

2) Mari kita hitung diskriminannya menggunakan rumus: , yang menunjukkan jumlah akar persamaan:

3) Temukan akar persamaan:

• jika, maka persamaan tersebut mempunyai akar-akar yang dicari dengan rumus:
• jika, maka persamaan tersebut mempunyai akar, yang dicari dengan rumus:
• jika, maka persamaan tersebut tidak mempunyai akar.

2.2. Solusi menggunakan teorema Vieta

Jumlah akar-akar persamaan kuadrat tereduksi (persamaan bentuk dimana) adalah sama, dan hasil kali akar-akarnya juga sama, yaitu , A.

2.3. Penyelesaiannya dengan metode pemilihan persegi lengkap

Sekolah menengah pedesaan Kopyevskaya

10 Cara Menyelesaikan Persamaan Kuadrat

Ketua: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

guru matematika

desa Kopevo, 2007

1. Sejarah perkembangan persamaan kuadrat

1.1 Persamaan kuadrat di Babilonia Kuno

1.2 Bagaimana Diophantus menyusun dan menyelesaikan persamaan kuadrat

1.3 Persamaan kuadrat di India

1.4 Persamaan kuadrat menurut al-Khorezmi

1.5 Persamaan kuadrat di Eropa abad XIII - XVII

1.6 Tentang teorema Vieta

2. Metode penyelesaian persamaan kuadrat

Kesimpulan

literatur

1. Sejarah perkembangan persamaan kuadrat

1.1 Persamaan kuadrat di Babilonia Kuno

Kebutuhan untuk menyelesaikan persamaan tidak hanya derajat pertama, tetapi juga derajat kedua, pada zaman dahulu disebabkan oleh kebutuhan untuk memecahkan masalah yang berkaitan dengan pencarian luas bidang tanah dan pekerjaan tanah bersifat militer, serta dengan perkembangan astronomi dan matematika itu sendiri. Persamaan kuadrat dapat diselesaikan sekitar tahun 2000 SM. e. Babilonia.

Dengan menggunakan notasi aljabar modern, kita dapat mengatakan bahwa dalam teks-teks runcingnya, selain teks-teks yang tidak lengkap, ada, misalnya, persamaan kuadrat lengkap:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Aturan untuk menyelesaikan persamaan ini, yang ditetapkan dalam teks Babilonia, pada dasarnya sama dengan teks modern, tetapi tidak diketahui bagaimana orang Babilonia sampai pada aturan ini. Hampir semua teks paku yang ditemukan sejauh ini hanya memberikan permasalahan dengan solusi yang dituangkan dalam bentuk resep, tanpa indikasi bagaimana ditemukannya.

Meskipun level tinggi perkembangan aljabar di Babilonia, teks-teks paku tidak memiliki konsep bilangan negatif dan metode umum menyelesaikan persamaan kuadrat.

1.2 Bagaimana Diophantus menyusun dan menyelesaikan persamaan kuadrat.

Aritmatika Diophantus tidak memuat penyajian aljabar secara sistematis, tetapi memuat serangkaian soal yang sistematis, disertai penjelasan dan diselesaikan dengan membangun persamaan-persamaan dengan derajat yang berbeda-beda.

Saat menyusun persamaan, Diophantus dengan terampil memilih persamaan yang tidak diketahui untuk menyederhanakan solusinya.

Misalnya, ini adalah salah satu tugasnya.

Masalah 11.“Temukan dua bilangan, ketahuilah bahwa jumlah keduanya adalah 20 dan hasil kali keduanya adalah 96”

Alasan Diophantus sebagai berikut: dari kondisi soal maka bilangan-bilangan yang disyaratkan tidak sama, karena jika sama maka hasil kali bilangan-bilangan tersebut bukan sama dengan 96, melainkan 100. Jadi, salah satunya akan lebih dari setengah dari jumlah mereka, yaitu. 10+x, yang lainnya lebih kecil, mis. 10-an. Perbedaan di antara mereka 2x .

Oleh karena itu persamaannya:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Dari sini x = 2. Salah satu angka yang dibutuhkan sama dengan 12 , lainnya 8 . Larutan x = -2 karena Diophantus tidak ada, karena matematika Yunani hanya mengenal bilangan positif.

Jika kita menyelesaikan soal ini dengan memilih salah satu bilangan yang diperlukan sebagai bilangan yang tidak diketahui, maka kita akan sampai pada penyelesaian persamaan tersebut

kamu(20 - kamu) = 96,

kamu 2 - 20 tahun + 96 = 0. (2)

Jelas bahwa dengan memilih setengah selisih dari angka-angka yang diperlukan sebagai angka yang tidak diketahui, Diophantus menyederhanakan solusinya; ia berhasil mereduksi masalahnya menjadi menyelesaikan persamaan kuadrat tidak lengkap (1).

1.3 Persamaan Kuadrat di India

Permasalahan persamaan kuadrat sudah ditemukan dalam risalah astronomi “Aryabhattiam”, yang disusun pada tahun 499 oleh ahli matematika dan astronom India Aryabhatta. Ilmuwan India lainnya, Brahmagupta (abad ke-7), menguraikan peraturan umum solusi persamaan kuadrat direduksi menjadi bentuk kanonik tunggal:

ah 2+ B x = c, a > 0. (1)

Dalam persamaan (1), koefisien, kecuali A, bisa juga negatif. Aturan Brahmagupta pada dasarnya sama dengan aturan kita.

Di India kuno, kompetisi publik dalam memecahkan masalah sulit adalah hal biasa. Salah satu buku kuno India mengatakan hal berikut tentang kompetisi tersebut: “Seperti matahari menutupi bintang-bintang dengan kecemerlangannya, demikian pula orang terpelajar melampaui kejayaan pihak lain dalam majelis rakyat dengan mengusulkan dan memecahkan masalah aljabar.” Permasalahan seringkali disajikan dalam bentuk puisi.

Ini adalah salah satu permasalahan matematikawan India terkenal abad ke-12. Bhaskar.

Masalah 13.

“Sekawanan monyet yang lincah, dan dua belas monyet di sepanjang tanaman merambat...

Pihak berwenang, setelah makan, bersenang-senang. Mereka mulai melompat, bergelantungan...

Jumlahnya ada di alun-alun, bagian 8. Berapa jumlah monyet di sana?

Saya bersenang-senang di tempat terbuka. Katakan padaku, di paket ini?

Solusi Bhaskara menunjukkan bahwa dia mengetahui bahwa akar-akar persamaan kuadrat bernilai dua (Gbr. 3).

Persamaan yang sesuai dengan soal 13 adalah:

( X /8) 2 + 12 = X

Bhaskara menulis dengan kedok:

x 2 - 64x = -768

dan, untuk melengkapi ruas kiri persamaan ini menjadi persegi, tambahkan kedua ruasnya 32 2 , lalu dapatkan:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Persamaan kuadrat dalam al – Khorezmi

Dalam risalah aljabar al-Khorezmi diberikan klasifikasi persamaan linier dan kuadrat. Penulis menghitung 6 jenis persamaan, mengungkapkannya sebagai berikut:

1) “Kuadrat sama dengan akar”, yaitu. kapak 2 + c = B X.

2) “Kotak sama dengan angka”, yaitu. kapak 2 = c.

3) “Akar-akar sama dengan bilangan”, yaitu. ah = s.

4) “Kuadrat dan bilangan sama dengan akar”, yaitu. kapak 2 + c = B X.

5) “Kuadrat dan akar sama dengan angka”, yaitu. ah 2+ bx = s.

6) “Akar dan bilangan sama dengan kuadrat,” yaitu. bx + c = kapak 2 .

Bagi al-Khorezmi, yang menghindari penggunaan bilangan negatif, suku-suku dari setiap persamaan tersebut adalah penjumlahan dan bukan pengurangan. Dalam hal ini, persamaan yang tidak memiliki solusi positif jelas tidak diperhitungkan. Penulis memaparkan metode penyelesaian persamaan tersebut dengan menggunakan teknik al-jabr dan al-muqabala. Keputusannya, tentu saja, tidak sepenuhnya sejalan dengan keputusan kita. Belum lagi ini murni retoris, perlu dicatat, misalnya, bahwa ketika menyelesaikan persamaan kuadrat tidak lengkap tipe pertama

al-Khorezmi, seperti semua ahli matematika sebelum abad ke-17, tidak memperhitungkan solusi nol, mungkin karena dalam masalah praktis tertentu hal itu tidak menjadi masalah. Saat menyelesaikan persamaan kuadrat lengkap, al-Khorezmi menetapkan aturan untuk menyelesaikannya menggunakan contoh numerik tertentu, dan kemudian pembuktian geometri.

Masalah 14.“Kuadrat dan angka 21 sama dengan 10 akar. Temukan akarnya" (menyiratkan akar persamaan x 2 + 21 = 10x).

Solusi penulis kira-kira seperti ini: bagi jumlah akar menjadi dua, Anda mendapatkan 5, kalikan 5 dengan sendirinya, kurangi 21 dari hasil perkaliannya, yang tersisa adalah 4. Ambil akar dari 4, Anda mendapatkan 2. Kurangi 2 dari 5 , Anda mendapatkan 3, ini akan menjadi root yang diinginkan. Atau tambahkan 2 ke 5, sehingga menghasilkan 7, ini juga merupakan akar.

Risalah al-Khorezmi merupakan buku pertama yang sampai kepada kita, yang secara sistematis menguraikan klasifikasi persamaan kuadrat dan memberikan rumus-rumus penyelesaiannya.

1.5 Persamaan kuadrat di Eropa XIII - XVII bb

Rumus penyelesaian persamaan kuadrat menurut garis al-Khawarizmi di Eropa pertama kali dituangkan dalam Kitab Sempoa yang ditulis pada tahun 1202 oleh matematikawan Italia Leonardo Fibonacci. Karya yang sangat banyak ini, yang mencerminkan pengaruh matematika, baik di negara-negara Islam maupun di dunia Yunani kuno, dibedakan berdasarkan kelengkapan dan kejelasan penyajiannya. Penulis secara mandiri mengembangkan beberapa contoh aljabar baru untuk memecahkan masalah dan merupakan orang pertama di Eropa yang melakukan pendekatan terhadap pengenalan bilangan negatif. Bukunya berkontribusi terhadap penyebaran pengetahuan aljabar tidak hanya di Italia, tetapi juga di Jerman, Perancis dan negara-negara Eropa lainnya. Banyak soal dari Kitab Sempoa yang digunakan di hampir semua buku teks Eropa abad 16 - 17. dan sebagian XVIII.

Aturan umum untuk menyelesaikan persamaan kuadrat direduksi menjadi bentuk kanonik tunggal:

x 2 + bx = c,

untuk semua kemungkinan kombinasi tanda koefisien B , Dengan dirumuskan di Eropa hanya pada tahun 1544 oleh M. Stiefel.

Derivasi rumus penyelesaian persamaan kuadrat dalam bentuk umum tersedia dari Viète, tetapi Viète hanya mengenali akar-akar positif. Matematikawan Italia Tartaglia, Cardano, Bombelli termasuk yang pertama pada abad ke-16. Selain akar positif, akar negatif juga diperhitungkan. Baru pada abad ke-17. Berkat karya Girard, Descartes, Newton dan ilmuwan lainnya, metode penyelesaian persamaan kuadrat mengambil bentuk modern.

1.6 Tentang teorema Vieta

Teorema yang menyatakan hubungan antara koefisien persamaan kuadrat dan akar-akarnya, dinamai Vieta, dirumuskan pertama kali pada tahun 1591 sebagai berikut: “Jika B + D, dikalikan dengan A - A 2 , sama BD, Itu A sama DI DALAM dan setara D ».

Untuk memahami Vieta, kita harus mengingat hal itu A, seperti huruf vokal lainnya, berarti yang tidak diketahui (kita X), vokal DI DALAM, D- koefisien untuk hal yang tidak diketahui. Dalam bahasa aljabar modern, rumusan Vieta di atas mempunyai arti: jika ada

(sebuah + B )x - x 2 = ab ,

x 2 - (a + B )x + a B = 0,

x 1 = a, x 2 = B .

Menyatakan hubungan antara akar dan koefisien persamaan rumus umum ditulis menggunakan simbol, Viet menetapkan keseragaman dalam metode penyelesaian persamaan. Namun, simbolisme Viet masih jauh dari harapan tampilan modern. Dia tidak mengenal bilangan negatif dan oleh karena itu, ketika menyelesaikan persamaan, dia hanya mempertimbangkan kasus-kasus di mana semua akarnya positif.

2. Metode penyelesaian persamaan kuadrat

Persamaan kuadrat adalah fondasi yang menjadi landasan bangunan megah aljabar. Persamaan kuadrat banyak digunakan dalam menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan trigonometri, eksponensial, logaritma, irasional, dan transendental. Kita semua tahu cara menyelesaikan persamaan kuadrat dari sekolah (kelas 8) hingga lulus.

Dengan ini program matematika Kamu bisa menyelesaikan persamaan kuadrat.

Program ini tidak hanya memberikan jawaban atas permasalahan, tetapi juga menampilkan proses penyelesaian dalam dua cara:
- menggunakan diskriminan
- menggunakan teorema Vieta (jika memungkinkan).

Selain itu, jawabannya ditampilkan sebagai jawaban yang tepat, bukan perkiraan.
Misalnya untuk persamaan \(81x^2-16x-1=0\) jawabannya ditampilkan dalam bentuk berikut:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ dan tidak seperti ini: \(x_1 = 0,247; \kuad x_2 = -0,05\)

Program ini semoga bermanfaat bagi siswa SMA sekolah menengah dalam persiapan untuk tes dan ujian, saat menguji pengetahuan sebelum Ujian Negara Bersatu, bagi orang tua untuk mengontrol penyelesaian banyak masalah dalam matematika dan aljabar. Atau mungkin terlalu mahal bagi Anda untuk menyewa seorang tutor atau membeli buku pelajaran baru? Atau apakah Anda hanya ingin menyelesaikannya secepat mungkin? pekerjaan rumah dalam matematika atau aljabar? Dalam hal ini, Anda juga dapat menggunakan program kami dengan solusi terperinci.

Dengan cara ini Anda dapat melakukan pelatihan Anda sendiri dan/atau pelatihan Anda sendiri. adik laki-laki atau saudara perempuan, sedangkan tingkat pendidikan di bidang masalah yang dipecahkan meningkat.

Jika Anda belum memahami aturan memasukkan polinomial kuadrat, kami sarankan Anda membiasakan diri dengannya.

Aturan untuk memasukkan polinomial kuadrat

Huruf Latin apa pun dapat bertindak sebagai variabel.
Misalnya: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), dll.

Angka dapat dimasukkan sebagai bilangan bulat atau pecahan.
Selain itu, bilangan pecahan tidak hanya dapat dimasukkan dalam bentuk desimal, tetapi juga dalam bentuk pecahan biasa.

Aturan untuk memasukkan pecahan desimal.
Dalam pecahan desimal, bagian pecahan dapat dipisahkan dari bagian bilangan bulat dengan tanda titik atau koma.
Misalnya, Anda bisa masuk desimal seperti ini: 2,5x - 3,5x^2

Aturan memasukkan pecahan biasa.
Hanya bilangan bulat yang dapat bertindak sebagai pembilang, penyebut, dan bagian bilangan bulat suatu pecahan.

Penyebutnya tidak boleh negatif.

Saat masuk pecahan numerik Pembilangnya dipisahkan dari penyebutnya dengan tanda pembagian: /
Bagian bilangan bulat dipisahkan dari pecahan dengan tanda ampersand: &
Masukan: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Hasil: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)

Saat memasukkan ekspresi Anda dapat menggunakan tanda kurung. Dalam hal ini, ketika menyelesaikan persamaan kuadrat, ekspresi yang diperkenalkan disederhanakan terlebih dahulu.
Misalnya: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

Memutuskan

Ditemukan bahwa beberapa skrip yang diperlukan untuk mengatasi masalah ini tidak dimuat, dan program mungkin tidak berfungsi.
Anda mungkin mengaktifkan AdBlock.
Dalam hal ini, nonaktifkan dan segarkan halaman.

JavaScript dinonaktifkan di browser Anda.
Agar solusinya muncul, Anda perlu mengaktifkan JavaScript.
Berikut adalah petunjuk tentang cara mengaktifkan JavaScript di browser Anda.

Karena Ada banyak orang yang bersedia menyelesaikan masalah, permintaan Anda telah diantri.
Dalam beberapa detik solusinya akan muncul di bawah.
Harap tunggu detik...

Jika kamu melihat kesalahan dalam solusi, lalu Anda dapat menulis tentang hal ini di Formulir Masukan.
Jangan lupa menunjukkan tugas yang mana Anda memutuskan apa masuk ke dalam kolom.

Game, teka-teki, emulator kami:

Sedikit teori.

Persamaan kuadrat dan akar-akarnya. Persamaan kuadrat tidak lengkap

Masing-masing persamaan
\(-x^2+6x+1,4=0, \kuad 8x^2-7x=0, \kuad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
seperti
\(kapak^2+bx+c=0, \)
dimana x adalah variabel, a, b dan c adalah bilangan.
Pada persamaan pertama a = -1, b = 6 dan c = 1,4, pada persamaan kedua a = 8, b = -7 dan c = 0, pada persamaan ketiga a = 1, b = 0 dan c = 4/9. Persamaan seperti ini disebut persamaan kuadrat.

Definisi.
Persamaan kuadrat disebut persamaan berbentuk ax 2 +bx+c=0, dimana x adalah variabel, a, b dan c adalah beberapa bilangan, dan \(a \neq 0 \).

Angka a, b dan c merupakan koefisien persamaan kuadrat. Bilangan a disebut koefisien pertama, bilangan b disebut koefisien kedua, dan bilangan c disebut suku bebas.

Pada setiap persamaan berbentuk ax 2 +bx+c=0, dimana \(a\neq 0\), pangkat terbesar dari variabel x adalah kuadrat. Oleh karena itu namanya: persamaan kuadrat.

Perhatikan bahwa persamaan kuadrat juga disebut persamaan derajat kedua, karena ruas kirinya adalah polinomial derajat kedua.

Persamaan kuadrat yang koefisien x 2 sama dengan 1 disebut persamaan kuadrat yang diberikan. Misalnya persamaan kuadrat yang diberikan adalah persamaan
\(x^2-11x+30=0, \kuad x^2-6x=0, \kuad x^2-8=0 \)

Jika dalam persamaan kuadrat ax 2 +bx+c=0 paling sedikit salah satu koefisien b atau c sama dengan nol, maka persamaan tersebut disebut persamaan kuadrat tidak lengkap. Jadi, persamaan -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 merupakan persamaan kuadrat tidak lengkap. Yang pertama b=0, yang kedua c=0, yang ketiga b=0 dan c=0.

Ada tiga jenis persamaan kuadrat tidak lengkap:
1) kapak 2 +c=0, di mana \(c \neq 0 \);
2) kapak 2 +bx=0, dimana \(b \neq 0 \);
3) kapak 2 =0.

Mari kita pertimbangkan penyelesaian persamaan dari masing-masing jenis ini.

Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat tidak lengkap berbentuk ax 2 +c=0 untuk \(c \neq 0 \), pindahkan suku bebasnya ke ruas kanan dan bagi kedua ruas persamaan tersebut dengan a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Panah Kanan x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Karena \(c \neq 0 \), maka \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Jika \(-\frac(c)(a)>0\), maka persamaan tersebut mempunyai dua akar.

Jika \(-\frac(c)(a) Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat tidak lengkap berbentuk ax 2 +bx=0 dengan \(b \neq 0 \) faktorkan ruas kirinya dan peroleh persamaannya
\(x(ax+b)=0 \Panah Kanan \kiri\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \kanan. \Panah Kanan \kiri\( \mulai (array)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \kanan. \)

Artinya persamaan kuadrat tidak lengkap berbentuk ax 2 +bx=0 untuk \(b \neq 0 \) selalu mempunyai dua akar.

Persamaan kuadrat tidak lengkap berbentuk ax 2 =0 ekuivalen dengan persamaan x 2 =0 dan oleh karena itu mempunyai akar tunggal 0.

Rumus akar-akar persamaan kuadrat

Sekarang mari kita bahas cara menyelesaikan persamaan kuadrat yang koefisien variabel yang tidak diketahui dan suku bebasnya bukan nol.

Mari kita selesaikan persamaan kuadrat dalam bentuk umum dan sebagai hasilnya kita mendapatkan rumus akar-akarnya. Rumus ini kemudian dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat apa pun.

Selesaikan persamaan kuadrat ax 2 +bx+c=0

Membagi kedua ruas dengan a, kita memperoleh persamaan kuadrat tereduksi yang ekuivalen
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Mari kita ubah persamaan ini dengan memilih kuadrat binomial:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\kanan)^2- \kiri(\frac(b)(2a)\kanan)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Panah Kanan \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\kanan)^2 = \kiri(\frac(b)(2a)\kanan)^ 2 - \frac(c)(a) \Panah Kanan \) \(\kiri(x+\frac(b)(2a)\kanan)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Panah Kanan \kiri(x+\frac(b)(2a)\kanan)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Panah Kanan \) \(x+\frac(b )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Panah Kanan x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2 -4ac) )(2a) \Panah Kanan \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

Ekspresi radikal disebut diskriminan persamaan kuadrat kapak 2 +bx+c=0 (“diskriminan” dalam bahasa Latin - diskriminator). Dilambangkan dengan huruf D, yaitu.
\(D = b^2-4ac\)

Sekarang, dengan menggunakan notasi diskriminan, kita menulis ulang rumus akar-akar persamaan kuadrat:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), di mana \(D= b^2-4ac \)

Jelas bahwa:
1) Jika D>0, maka persamaan kuadrat tersebut mempunyai dua akar.
2) Jika D=0, maka persamaan kuadrat tersebut mempunyai satu akar \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Jika D Jadi, bergantung pada nilai diskriminannya, suatu persamaan kuadrat dapat mempunyai dua akar (untuk D > 0), satu akar (untuk D = 0) atau tidak mempunyai akar (untuk D Saat menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan ini rumusnya, disarankan untuk melakukan cara berikut:
1) menghitung diskriminan dan membandingkannya dengan nol;
2) jika diskriminan positif atau sama dengan nol, gunakan rumus akar, jika diskriminan negatif, tuliskan tidak ada akar.

teorema Vieta

Persamaan kuadrat yang diberikan ax 2 -7x+10=0 mempunyai akar-akar 2 dan 5. Jumlah akar-akarnya adalah 7, dan hasil kali adalah 10. Kita melihat bahwa jumlah akar-akarnya sama dengan koefisien kedua yang diambil dengan kebalikannya tanda, dan hasil kali akar-akarnya sama dengan suku bebasnya. Setiap persamaan kuadrat tereduksi yang mempunyai akar mempunyai sifat ini.

Jumlah akar-akar persamaan kuadrat di atas sama dengan koefisien kedua yang diambil dengan tanda berlawanan, dan hasil kali akar-akarnya sama dengan suku bebas.

Itu. Teorema Vieta menyatakan bahwa akar-akar x 1 dan x 2 persamaan kuadrat tereduksi x 2 +px+q=0 mempunyai sifat:
\(\kiri\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \kanan. \)

Persamaan kuadrat dipelajari di kelas 8, jadi tidak ada yang rumit disini. Kemampuan untuk menyelesaikannya mutlak diperlukan.

Persamaan kuadrat adalah persamaan yang berbentuk ax 2 + bx + c = 0, dengan koefisien a, b, dan c adalah bilangan sembarang, dan a ≠ 0.

Sebelum mempelajari metode penyelesaian spesifik, perhatikan bahwa semua persamaan kuadrat dapat dibagi menjadi tiga kelas:

1. Tidak mempunyai akar;
2. Memiliki tepat satu akar;
3. Mereka mempunyai dua akar yang berbeda.

Inilah perbedaan penting antara persamaan kuadrat dan persamaan linier, yang akarnya selalu ada dan unik. Bagaimana cara menentukan berapa banyak akar suatu persamaan? Ada hal yang luar biasa untuk ini - diskriminan.

Diskriminan

Misalkan diberikan persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0. Maka diskriminannya hanyalah bilangan D = b 2 − 4ac.

Anda perlu hafal rumus ini. Dari mana asalnya tidak penting sekarang. Hal lain yang penting: dengan tanda diskriminan Anda dapat menentukan berapa banyak akar yang dimiliki persamaan kuadrat. Yaitu:

1. Jika D< 0, корней нет;
2. Jika D = 0, terdapat tepat satu akar;
3. Jika D > 0 maka terdapat dua akar.

Harap dicatat: diskriminan menunjukkan jumlah akar, dan bukan tanda-tandanya sama sekali, seperti yang diyakini banyak orang karena alasan tertentu. Lihatlah contohnya dan Anda akan memahami semuanya sendiri:

Tugas. Berapa banyak akar yang dimiliki persamaan kuadrat:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Mari kita tuliskan koefisien persamaan pertama dan cari diskriminannya:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Jadi diskriminannya positif, jadi persamaannya mempunyai dua akar yang berbeda. Kami menganalisis persamaan kedua dengan cara yang sama:
sebuah = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Diskriminannya negatif, tidak ada akarnya. Persamaan terakhir yang tersisa adalah:
sebuah = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminannya nol - akarnya akan menjadi satu.

Harap dicatat bahwa koefisien telah ditulis untuk setiap persamaan. Ya, itu panjang, ya, itu membosankan, tetapi Anda tidak akan mencampuradukkan peluang dan membuat kesalahan bodoh. Pilih sendiri: kecepatan atau kualitas.

Ngomong-ngomong, jika Anda sudah menguasainya, setelah beberapa saat Anda tidak perlu menuliskan semua koefisiennya. Anda akan melakukan operasi seperti itu di kepala Anda. Kebanyakan orang mulai melakukan ini setelah 50-70 persamaan terselesaikan - secara umum, tidak sebanyak itu.

Akar persamaan kuadrat

Sekarang mari kita beralih ke solusi itu sendiri. Jika diskriminan D > 0, akar-akarnya dapat dicari dengan rumus:

Rumus dasar akar-akar persamaan kuadrat

Jika D = 0, Anda dapat menggunakan salah satu rumus berikut - Anda akan mendapatkan angka yang sama yang akan menjadi jawabannya. Akhirnya, jika D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Persamaan pertama:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ persamaan mempunyai dua akar. Mari kita temukan:

Persamaan kedua:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ persamaan tersebut kembali mempunyai dua akar. Ayo temukan mereka

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \kiri(-1 \kanan))=3. \\ \end(sejajarkan)\]

Terakhir, persamaan ketiga:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ persamaan mempunyai satu akar. Rumus apa pun bisa digunakan. Misalnya, yang pertama:

Seperti yang Anda lihat dari contoh, semuanya sangat sederhana. Jika Anda mengetahui rumusnya dan bisa berhitung, maka tidak akan ada masalah. Paling sering, kesalahan terjadi saat mengganti koefisien negatif ke dalam rumus. Sekali lagi, teknik yang dijelaskan di atas akan membantu: lihat rumusnya secara harfiah, tuliskan setiap langkah - dan Anda akan segera menghilangkan kesalahan.

Persamaan kuadrat tidak lengkap

Kebetulan persamaan kuadrat sedikit berbeda dari yang diberikan dalam definisi. Misalnya:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

Sangat mudah untuk melihat bahwa persamaan ini kehilangan salah satu sukunya. Persamaan kuadrat seperti itu bahkan lebih mudah diselesaikan daripada persamaan standar: persamaan tersebut bahkan tidak memerlukan penghitungan diskriminan. Jadi, mari kita perkenalkan konsep baru:

Persamaan ax 2 + bx + c = 0 disebut persamaan kuadrat tidak lengkap jika b = 0 atau c = 0, yaitu. koefisien variabel x atau unsur bebas sama dengan nol.

Tentu saja, kasus yang sangat sulit mungkin terjadi jika kedua koefisien ini sama dengan nol: b = c = 0. Dalam hal ini, persamaannya berbentuk ax 2 = 0. Jelasnya, persamaan tersebut memiliki akar tunggal: x = 0.

Mari kita pertimbangkan kasus lainnya. Misalkan b = 0, maka diperoleh persamaan kuadrat tidak lengkap berbentuk ax 2 + c = 0. Mari kita transformasikan sedikit:

Karena akar kuadrat aritmatika hanya ada pada bilangan non-negatif, persamaan terakhir hanya masuk akal untuk (−c /a) ≥ 0. Kesimpulan:

1. Jika dalam persamaan kuadrat tidak lengkap berbentuk ax 2 + c = 0 pertidaksamaan (−c /a) ≥ 0 terpenuhi, maka akan terdapat dua akar. Rumusnya diberikan di atas;
2. Jika (−c /a)< 0, корней нет.

Seperti yang Anda lihat, diskriminan tidak diperlukan—tidak ada perhitungan rumit sama sekali dalam persamaan kuadrat tidak lengkap. Bahkan, tidak perlu mengingat pertidaksamaan (−c /a) ≥ 0. Cukup dengan menyatakan nilai x 2 dan melihat sisi lain dari tanda sama dengan. Jika ada bilangan positif, maka akan ada dua akar. Jika negatif maka tidak akan ada akar sama sekali.

Sekarang mari kita lihat persamaan bentuk ax 2 + bx = 0, yang unsur bebasnya sama dengan nol. Semuanya sederhana di sini: akan selalu ada dua akar. Cukup dengan memfaktorkan polinomialnya:

Mengeluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung

Produknya nol jika setidaknya salah satu faktornya nol. Dari sinilah akarnya berasal. Sebagai kesimpulan, mari kita lihat beberapa persamaan berikut:

Tugas. Selesaikan persamaan kuadrat:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Tidak ada akar, karena persegi tidak bisa sama dengan bilangan negatif.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1.5.

DI DALAM masyarakat modern kemampuan untuk melakukan operasi dengan persamaan yang mengandung variabel kuadrat dapat berguna dalam banyak bidang kegiatan dan banyak digunakan dalam praktik dalam pengembangan ilmu pengetahuan dan teknis. Buktinya dapat ditemukan dalam desain kelautan dan perahu sungai, pesawat terbang dan rudal. Dengan menggunakan perhitungan seperti itu, lintasan pergerakan berbagai benda, termasuk benda luar angkasa, ditentukan. Contoh penyelesaian persamaan kuadrat digunakan tidak hanya di perkiraan ekonomi, selama perancangan dan konstruksi bangunan, tetapi juga dalam keadaan sehari-hari yang paling biasa. Mereka mungkin dibutuhkan di perjalanan hiking, di acara olahraga, di toko saat berbelanja, dan dalam situasi umum lainnya.

Mari kita pecahkan ekspresi tersebut menjadi faktor-faktor komponennya

Derajat suatu persamaan ditentukan oleh nilai maksimum derajat variabel yang dikandung ekspresi tersebut. Jika sama dengan 2, maka persamaan tersebut disebut persamaan kuadrat.

Jika kita berbicara dalam bahasa rumus, maka ekspresi yang ditunjukkan, bagaimana pun tampilannya, selalu dapat dibawa ke bentuk jika sisi kiri ekspresi terdiri dari tiga suku. Diantaranya: ax 2 (yaitu variabel yang dikuadratkan dengan koefisiennya), bx (yang tidak diketahui tanpa kuadrat dengan koefisiennya) dan c (komponen bebas, yaitu bilangan biasa). Semua ini di ruas kanan sama dengan 0. Jika polinomial tersebut tidak memiliki salah satu suku penyusunnya, kecuali sumbu 2, maka disebut persamaan kuadrat tidak lengkap. Contoh penyelesaian masalah seperti itu, yang nilai-nilai variabelnya mudah ditemukan, harus diperhatikan terlebih dahulu.

Jika persamaan terlihat memiliki dua suku di sisi kanannya, lebih tepatnya ax 2 dan bx, cara termudah untuk mencari x adalah dengan mengeluarkan variabel di dalam tanda kurung. Sekarang persamaan kita akan terlihat seperti ini: x(ax+b). Selanjutnya, menjadi jelas bahwa x=0, atau masalahnya adalah mencari variabel dari ekspresi berikut: ax+b=0. Hal ini ditentukan oleh salah satu sifat perkalian. Aturannya menyatakan bahwa hasil kali dua faktor menghasilkan 0 hanya jika salah satunya nol.

Contoh

x=0 atau 8x - 3 = 0

Hasilnya, kita mendapatkan dua akar persamaan: 0 dan 0,375.

Persamaan semacam ini dapat menggambarkan gerak benda di bawah pengaruh gravitasi, yang mulai bergerak dari suatu titik tertentu yang diambil sebagai titik asal koordinat. Di Sini notasi matematika mengambil bentuk berikut: y = v 0 t + gt 2 /2. Dengan mensubstitusi nilai-nilai yang diperlukan, menyamakan ruas kanan dengan 0 dan menemukan kemungkinan yang tidak diketahui, Anda dapat mengetahui waktu yang berlalu dari saat benda naik hingga jatuh, serta banyak besaran lainnya. Tapi kita akan membicarakannya nanti.

Memfaktorkan Ekspresi

Aturan yang dijelaskan di atas memungkinkan penyelesaian masalah ini secara lebih rinci kasus-kasus sulit. Mari kita lihat contoh penyelesaian persamaan kuadrat jenis ini.

X 2 - 33x + 200 = 0

Ini trinomial kuadrat selesai. Pertama, mari kita transformasikan ekspresi dan faktorkan. Ada dua diantaranya: (x-8) dan (x-25) = 0. Hasilnya, kita memiliki dua akar 8 dan 25.

Contoh penyelesaian persamaan kuadrat di kelas 9 memungkinkan metode ini menemukan variabel dalam ekspresi tidak hanya orde kedua, tetapi bahkan orde ketiga dan keempat.

Contoh: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Ketika memfaktorkan ruas kanan menjadi faktor-faktor yang mempunyai variabel ada tiga, yaitu (x+1), (x-3) dan (x+ 3).

Hasilnya, menjadi jelas bahwa persamaan ini memiliki tiga akar: -3; -1; 3.

Akar pangkat dua

Kasus lain dari persamaan orde kedua yang tidak lengkap adalah ekspresi yang direpresentasikan dalam bahasa huruf sedemikian rupa sehingga bagian kanan dibangun dari komponen ax 2 dan c. Di sini, untuk mendapatkan nilai variabel, suku bebas dipindahkan ke ruas kanan, dan setelah itu akar kuadrat diekstraksi dari kedua ruas persamaan. Perlu dicatat bahwa di pada kasus ini Biasanya ada dua akar persamaan. Satu-satunya pengecualian adalah persamaan yang tidak mengandung suku dengan sama sekali, yang variabelnya sama dengan nol, serta varian ekspresi ketika ruas kanannya ternyata negatif. Dalam kasus terakhir, tidak ada solusi sama sekali, karena tindakan di atas tidak dapat dilakukan dengan root. Contoh solusi persamaan kuadrat jenis ini harus diperhatikan.

Dalam hal ini, akar persamaannya adalah angka -4 dan 4.

Perhitungan luas lahan

Kebutuhan akan perhitungan semacam ini muncul pada zaman dahulu, karena perkembangan matematika sebagian besar terjadi pada masa tersebut waktu yang jauh Hal ini disebabkan oleh kebutuhan untuk menentukan dengan paling akurat luas dan keliling bidang tanah.

Kita juga harus mempertimbangkan contoh penyelesaian persamaan kuadrat berdasarkan masalah semacam ini.

Jadi, misalkan ada sebidang tanah berbentuk persegi panjang yang panjangnya 16 meter lebih besar dari lebarnya. Panjang, lebar, dan keliling situs tersebut harus dicari jika diketahui luasnya 612 m2.

Untuk memulai, pertama-tama mari buat persamaan yang diperlukan. Misalkan lebar luas tersebut dilambangkan dengan x, maka panjangnya adalah (x+16). Dari apa yang telah ditulis maka luasnya ditentukan oleh ekspresi x(x+16), yang menurut kondisi soal kita adalah 612. Artinya x(x+16) = 612.

Menyelesaikan persamaan kuadrat lengkap, dan ungkapan ini persis seperti itu, tidak dapat dilakukan dengan cara yang sama. Mengapa? Meskipun ruas kiri masih memuat dua faktor, hasil kali keduanya tidak sama dengan 0, jadi metode yang berbeda digunakan di sini.

Diskriminan

Pertama-tama, mari kita lakukan transformasi yang diperlukan penampilan ekspresi ini akan terlihat seperti ini: x 2 + 16x - 612 = 0. Artinya kita telah menerima ekspresi dalam bentuk yang sesuai dengan standar yang ditentukan sebelumnya, di mana a=1, b=16, c=-612.

Ini bisa menjadi contoh penyelesaian persamaan kuadrat menggunakan diskriminan. Di Sini perhitungan yang diperlukan diproduksi sesuai skema: D = b 2 - 4ac. Besaran bantu ini tidak hanya memungkinkan untuk menemukan besaran-besaran yang diperlukan dalam persamaan orde kedua, tetapi juga menentukan besarannya pilihan yang memungkinkan. Jika D>0, ada dua; untuk D=0 ada satu akar. Dalam kasus D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Tentang akar dan rumusnya

Dalam kasus kita, diskriminannya sama dengan: 256 - 4(-612) = 2704. Hal ini menunjukkan bahwa masalah kita ada jawabannya. Jika diketahui k, penyelesaian persamaan kuadrat harus dilanjutkan menggunakan rumus di bawah ini. Ini memungkinkan Anda menghitung akarnya.

Artinya dalam kasus yang disajikan: x 1 =18, x 2 =-34. Pilihan kedua dalam dilema ini tidak dapat menjadi solusi, karena ukuran sebidang tanah tidak dapat diukur dalam besaran negatif, artinya x (yaitu lebar bidang tanah) adalah 18 m, dari sini kita hitung panjangnya: 18 +16=34, dan kelilingnya 2(34+ 18)=104(m2).

Contoh dan tugas

Kami melanjutkan studi kami tentang persamaan kuadrat. Contoh dan solusi rinci dari beberapa di antaranya akan diberikan di bawah ini.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

Mari kita pindahkan semuanya ke sisi kiri persamaan, lakukan transformasi, yaitu kita akan mendapatkan jenis persamaan yang biasa disebut standar, dan menyamakannya dengan nol.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Menjumlahkan yang serupa, kita menentukan diskriminannya: D = 49 - 48 = 1. Artinya persamaan kita akan mempunyai dua akar. Mari kita hitung menggunakan rumus di atas, artinya yang pertama sama dengan 4/3, dan yang kedua sama dengan 1.

2) Sekarang mari kita pecahkan misteri yang berbeda.

Mari kita cari tahu apakah ada akar x 2 - 4x + 5 = 1? Untuk mendapatkan jawaban yang komprehensif, mari kita kurangi polinomialnya ke bentuk biasa yang sesuai dan hitung diskriminannya. Pada contoh di atas, persamaan kuadrat tidak perlu diselesaikan, karena ini bukanlah inti permasalahan sama sekali. Dalam hal ini D = 16 - 20 = -4 yang berarti memang tidak ada akar-akarnya.

teorema Vieta

Lebih mudah untuk menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan rumus di atas dan diskriminan, ketika akar kuadrat diambil dari nilai diskriminan. Namun hal ini tidak selalu terjadi. Namun, ada banyak cara untuk mendapatkan nilai variabel dalam kasus ini. Contoh: menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan teorema Vieta. Namanya diambil dari nama seseorang yang tinggal di Prancis pada abad ke-16 dan membuat karier cemerlang berkat bakat matematika dan koneksinya di istana. Potretnya bisa dilihat di artikel.

Pola yang diperhatikan orang Prancis terkenal itu adalah sebagai berikut. Dia membuktikan bahwa akar-akar persamaan dijumlahkan secara numerik menjadi -p=b/a, dan produknya sesuai dengan q=c/a.

Sekarang mari kita lihat tugas spesifiknya.

3x 2 + 21x - 54 = 0

Untuk mempermudah, mari kita ubah ekspresi:

x 2 + 7x - 18 = 0

Mari kita gunakan teorema Vieta, sehingga diperoleh hasil sebagai berikut: jumlah akar-akarnya adalah -7, dan hasil kali akar-akarnya adalah -18. Dari sini kita mendapatkan bahwa akar persamaannya adalah angka -9 dan 2. Setelah diperiksa, kita akan memastikan bahwa nilai variabel tersebut benar-benar sesuai dengan ekspresi.

Grafik dan persamaan parabola

Konsep fungsi kuadrat dan persamaan kuadrat sangat erat kaitannya. Contohnya telah diberikan sebelumnya. Sekarang mari kita lihat beberapa teka-teki matematika dengan lebih detail. Persamaan apa pun dari tipe yang dijelaskan dapat direpresentasikan secara visual. Hubungan seperti itu, yang digambarkan sebagai grafik, disebut parabola. Berbagai jenisnya disajikan pada gambar di bawah ini.

Setiap parabola mempunyai titik sudut, yaitu titik asal cabang-cabangnya. Jika a>0, maka akan naik hingga tak terhingga, dan jika a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Representasi visual dari fungsi membantu menyelesaikan persamaan apa pun, termasuk persamaan kuadrat. Metode ini disebut grafis. Dan nilai variabel x merupakan koordinat absis pada titik-titik perpotongan garis grafik dengan 0x. Koordinat titik sudut dapat dicari dengan menggunakan rumus yang baru saja diberikan x 0 = -b/2a. Dan dengan mensubstitusikan nilai yang dihasilkan ke dalam persamaan fungsi aslinya, Anda dapat mengetahui y 0, yaitu koordinat kedua dari titik puncak parabola yang termasuk dalam sumbu ordinat.

Perpotongan cabang parabola dengan sumbu absis

Ada banyak contoh penyelesaian persamaan kuadrat, tetapi ada juga pola umum. Mari kita lihat mereka. Jelas bahwa perpotongan grafik dengan sumbu 0x untuk a>0 hanya mungkin terjadi jika 0 bernilai negatif. Dan untuk a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Jika tidak D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Dari grafik parabola juga dapat ditentukan akar-akarnya. Hal sebaliknya juga terjadi. Artinya, jika tidak mudah mendapatkan representasi visual dari fungsi kuadrat, Anda dapat menyamakan ruas kanan ekspresi dengan 0 dan menyelesaikan persamaan yang dihasilkan. Dan mengetahui titik potong dengan sumbu 0x, akan lebih mudah untuk membuat grafik.

Dari sejarah

Dengan menggunakan persamaan yang mengandung variabel kuadrat, pada zaman dahulu mereka tidak hanya melakukan perhitungan matematis dan menentukan luas bangun geometri. Orang-orang zaman dahulu membutuhkan perhitungan seperti itu untuk penemuan-penemuan besar di bidang fisika dan astronomi, serta untuk membuat ramalan astrologi.

Menurut para ilmuwan modern, penduduk Babilonia termasuk orang pertama yang memecahkan persamaan kuadrat. Ini terjadi empat abad sebelum zaman kita. Tentu saja, perhitungan mereka sangat berbeda dari perhitungan yang diterima saat ini dan ternyata jauh lebih primitif. Misalnya, matematikawan Mesopotamia tidak mengetahui keberadaan bilangan negatif. Mereka juga tidak terbiasa dengan seluk-beluk lain yang diketahui oleh setiap anak sekolah modern.

Mungkin bahkan lebih awal dari para ilmuwan Babilonia, orang bijak dari India Baudhayama mulai memecahkan persamaan kuadrat. Hal ini terjadi sekitar delapan abad sebelum zaman Masehi. Benar, persamaan orde kedua, metode penyelesaian yang dia berikan, adalah yang paling sederhana. Selain dia, matematikawan Tiongkok juga tertarik dengan pertanyaan serupa di masa lalu. Di Eropa, persamaan kuadrat mulai diselesaikan hanya pada awal abad ke-13, tetapi kemudian persamaan tersebut digunakan dalam karya mereka oleh ilmuwan besar seperti Newton, Descartes, dan banyak lainnya.

Kembali