Matematika-Kalkulator-Online v.1.0

Kalkulator melakukan operasi berikut: penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, pengerjaan desimal, ekstraksi akar, eksponensial, penghitungan persentase, dan operasi lainnya.

Larutan:

Cara menggunakan kalkulator matematika

Kunci	Penamaan	Penjelasan
5	angka 0-9	Angka Arab. Memasukkan bilangan bulat alami, nol. Untuk mendapatkan bilangan bulat negatif, Anda harus menekan tombol +/-
.	titik koma)	Pemisah untuk menunjukkan pecahan desimal. Jika tidak ada angka sebelum titik (koma), kalkulator secara otomatis akan mengganti angka nol sebelum titik. Misalnya: .5 - 0.5 akan ditulis
+	tanda tambah	Menjumlahkan bilangan (bilangan bulat, desimal)
-	tanda kurang	Pengurangan bilangan (bilangan bulat, desimal)
÷	tanda pembagian	Membagi bilangan (bilangan bulat, desimal)
X	tanda perkalian	Mengalikan bilangan (bilangan bulat, desimal)
√	akar	Mengekstraksi akar suatu bilangan. Ketika Anda menekan tombol "root" lagi, akar dari hasilnya dihitung. Contoh: akar dari 16 = 4; akar dari 4 = 2
x 2	mengkuadratkan	Mengkuadratkan sebuah angka. Ketika Anda menekan kembali tombol "kuadrat", hasilnya adalah kuadrat, misalnya: kuadrat 2 = 4; kuadrat 4 = 16
1/x	pecahan	Output dalam pecahan desimal. Pembilangnya 1, penyebutnya adalah bilangan yang dimasukkan
%	persen	Mendapatkan persentase suatu angka. Untuk bekerja, Anda harus memasukkan: angka yang akan digunakan untuk menghitung persentase, tanda (plus, minus, bagi, kalikan), berapa persen dalam bentuk numerik, tombol "%"
(	tanda kurung terbuka	Tanda kurung terbuka untuk menentukan prioritas penghitungan. Tanda kurung tertutup diperlukan. Contoh: (2+3)*2=10
)	tanda kurung tertutup	Tanda kurung tertutup untuk menentukan prioritas penghitungan. Tanda kurung terbuka diperlukan
±	tambah kurang	Tanda terbalik
=	sama	Menampilkan hasil solusi. Juga di atas kalkulator, di bidang "Solusi", perhitungan antara dan hasilnya ditampilkan.
←	menghapus karakter	Menghapus karakter terakhir
DENGAN	mengatur ulang	Tombol Atur ulang. Menyetel ulang kalkulator sepenuhnya ke posisi "0"

Algoritma kalkulator online menggunakan contoh

Tambahan.

Penambahan bilangan bulat bilangan asli { 5 + 7 = 12 }

Penambahan seluruh alami dan angka negatif { 5 + (-2) = 3 }

Menjumlahkan pecahan desimal (0,3 + 5,2 = 5,5)

Pengurangan.

Pengurangan bilangan bulat alami ( 7 - 5 = 2 )

Pengurangan bilangan bulat natural dan negatif ( 5 - (-2) = 7 )

Pengurangan pecahan desimal ( 6.5 - 1.2 = 4.3 )

Perkalian.

Hasil kali bilangan bulat alami (3 * 7 = 21)

Hasil kali bilangan bulat natural dan negatif ( 5 * (-3) = -15 )

Hasil kali pecahan desimal ( 0,5 * 0,6 = 0,3 )

Divisi.

Pembagian bilangan bulat alami (27/3 = 9)

Pembagian bilangan bulat alami dan negatif (15 / (-3) = -5)

Pembagian pecahan desimal (6,2 / 2 = 3,1)

Mengekstraksi akar suatu bilangan.

Mengekstraksi akar bilangan bulat ( root(9) = 3)

Mengekstrak root dari desimal( akar(2.5) = 1.58 )

Mengekstraksi akar dari suatu penjumlahan bilangan ( root(56 + 25) = 9)

Menggali akar selisih bilangan (akar (32 – 7) = 5)

Mengkuadratkan sebuah angka.

Mengkuadratkan bilangan bulat ( (3) 2 = 9 )

Mengkuadratkan desimal ((2,2)2 = 4,84)

Konversi ke pecahan desimal.

Menghitung persentase suatu angka

Naikkan angka 230 sebesar 15% ( 230 + 230 * 0,15 = 264,5 )

Kurangi angka 510 sebesar 35% ( 510 – 510 * 0,35 = 331,5 )

18% dari angka 140 adalah (140 * 0,18 = 25,2)

Penggunaan persamaan tersebar luas dalam kehidupan kita. Mereka digunakan dalam banyak perhitungan, konstruksi struktur dan bahkan olahraga. Manusia menggunakan persamaan pada zaman kuno, dan sejak itu penggunaannya semakin meningkat. Polinomial adalah jumlah aljabar hasil kali bilangan, variabel, dan pangkatnya. Mengonversi polinomial biasanya melibatkan dua jenis soal. Ekspresinya perlu disederhanakan atau difaktorkan, mis. menyatakannya sebagai hasil kali dua atau lebih polinomial atau monomial dan polinomial.

Untuk menyederhanakan polinomial, berikan suku-suku serupa. Contoh. Sederhanakan ekspresi \ Temukan monomial dengan bagian huruf yang sama. Lipat. Tuliskan ekspresi yang dihasilkan: \ Anda telah menyederhanakan polinomialnya.

Untuk soal yang memerlukan pemfaktoran suatu polinomial, tentukan faktor persekutuan dari persamaan yang diberikan. Untuk melakukan ini, pertama-tama hapus variabel-variabel yang termasuk dalam semua anggota ekspresi dari tanda kurung. Selain itu, variabel-variabel tersebut harus memiliki indikator yang paling rendah. Kemudian hitung yang terbesar pembagi persekutuan masing-masing koefisien polinomial. Modulus bilangan yang dihasilkan akan menjadi koefisien pengali persekutuan.

Contoh. Faktorkan polinomialnya \ Keluarkan dari tanda kurung \ karena variabel m termasuk dalam setiap suku persamaan ini dan eksponen terkecilnya adalah dua. Hitung faktor pengali persekutuan. Itu sama dengan lima. Jadi, faktor persekutuan dari persamaan ini adalah \ Oleh karena itu: \

Di mana saya bisa menyelesaikan persamaan polinomial secara online?

Anda dapat menyelesaikan persamaan di situs web kami https://site. Pemecah online gratis ini memungkinkan Anda menyelesaikan persamaan online dengan kompleksitas apa pun dalam hitungan detik. Yang perlu Anda lakukan hanyalah memasukkan data Anda ke dalam pemecah. Anda juga dapat menonton instruksi video dan mempelajari cara menyelesaikan persamaan di situs web kami. Dan jika Anda masih memiliki pertanyaan, Anda dapat menanyakannya di grup VKontakte kami http://vk.com/pocketteacher. Bergabunglah dengan grup kami, kami selalu dengan senang hati membantu Anda.

Tingkat pertama

Mengonversi Ekspresi. Teori Terperinci (2019)

Mengonversi Ekspresi

Kita sering mendengar ungkapan tidak menyenangkan ini: “sederhanakan ungkapan”. Biasanya kita melihat monster seperti ini:

“Ini jauh lebih sederhana,” kata kami, namun jawaban seperti itu biasanya tidak berhasil.

Sekarang saya akan mengajari Anda untuk tidak takut dengan tugas seperti itu. Selain itu, di akhir pelajaran, Anda sendiri akan menyederhanakan contoh ini menjadi (hanya!) bilangan biasa (ya, persetan dengan huruf-huruf ini).

Namun sebelum memulai pelajaran ini, Anda harus mampu menangani pecahan dan polinomial faktor. Oleh karena itu, pertama-tama, jika Anda belum pernah melakukan ini sebelumnya, pastikan untuk menguasai topik “” dan “”.

Sudahkah Anda membacanya? Jika ya, maka Anda sekarang siap.

Operasi penyederhanaan dasar

Sekarang mari kita lihat teknik dasar yang digunakan untuk menyederhanakan ekspresi.

Yang paling sederhana adalah

1. Membawa serupa

Apa yang serupa? Anda mengambil ini di kelas 7, ketika huruf pertama kali muncul dalam matematika, bukan angka. Serupa adalah suku (monomial) yang bagian hurufnya sama. Misalnya, jika dijumlahkan, suku-suku serupa adalah dan.

Apakah kamu ingat?

Membawa serupa berarti menjumlahkan beberapa suku yang serupa satu sama lain dan mendapatkan satu suku.

Bagaimana kita bisa menyatukan surat-surat itu? - Anda bertanya.

Hal ini sangat mudah dipahami jika kita membayangkan bahwa huruf adalah suatu benda. Misalnya surat adalah kursi. Lalu apa persamaan ekspresi tersebut? Dua kursi ditambah tiga kursi, berapa jumlahnya? Benar, kursi: .

Sekarang coba ungkapan ini: .

Untuk menghindari kebingungan, biarkan huruf yang berbeda mewakili objek yang berbeda. Misalnya, - (seperti biasa) adalah kursi, dan - adalah meja. Kemudian:

kursi meja kursi meja kursi kursi meja

Angka-angka yang digunakan untuk mengalikan huruf-huruf dalam suku-suku tersebut disebut koefisien. Misalnya, dalam monomial koefisiennya sama. Dan di dalamnya setara.

Jadi aturan membawa yang serupa adalah:

Contoh:

Berikan yang serupa:

Jawaban:

2. (dan serupa, karena istilah-istilah ini memiliki bagian huruf yang sama).

2. Faktorisasi

Ini biasanya merupakan bagian terpenting dalam menyederhanakan ekspresi. Setelah Anda memberikan persamaan serupa, paling sering ekspresi yang dihasilkan perlu difaktorkan, yaitu disajikan sebagai produk. Hal ini sangat penting terutama dalam pecahan: agar dapat mereduksi suatu pecahan, pembilang dan penyebutnya harus direpresentasikan sebagai suatu hasil kali.

Anda telah mempelajari metode memfaktorkan ekspresi secara rinci dalam topik "", jadi di sini Anda hanya perlu mengingat apa yang telah Anda pelajari. Untuk melakukan ini, putuskan beberapa contoh(perlu difaktorkan):

Solusi:

3. Mengurangi pecahan.

Nah, apa yang lebih menyenangkan daripada mencoret sebagian pembilang dan penyebutnya lalu membuangnya dari hidup Anda?

Itulah indahnya perampingan.

Itu mudah:

Jika pembilang dan penyebutnya mengandung faktor yang sama, maka keduanya dapat dikurangkan, yaitu dikeluarkan dari pecahan.

Aturan ini mengikuti sifat dasar pecahan:

Artinya, inti dari operasi reduksi adalah itu Kami membagi pembilang dan penyebut pecahan dengan angka yang sama (atau dengan ekspresi yang sama).

Untuk mengurangi pecahan yang Anda butuhkan:

1) pembilang dan penyebut menguraikan pd pengali

2) jika pembilang dan penyebutnya mengandung faktor umum, mereka dapat dicoret.

Prinsipnya menurut saya sudah jelas?

Saya ingin menarik perhatian Anda pada satu hal kesalahan tipikal saat berkontraksi. Meskipun topik ini sederhana, banyak orang melakukan kesalahan tanpa memahaminya mengurangi- ini berarti membagi pembilang dan penyebutnya sama.

Tidak ada singkatan jika pembilang atau penyebutnya merupakan penjumlahan.

Misalnya: kita perlu menyederhanakan.

Beberapa orang melakukan hal ini: itu sepenuhnya salah.

Contoh lain: kurangi.

Yang “paling pintar” akan melakukan ini: .

Katakan padaku ada apa disini? Tampaknya: - ini adalah pengganda, yang berarti dapat dikurangi.

Tapi tidak: - ini hanya merupakan faktor dari satu suku pada pembilangnya, tetapi pembilangnya sendiri secara keseluruhan tidak difaktorkan.

Berikut contoh lainnya: .

Ekspresi ini difaktorkan, artinya Anda dapat menguranginya, yaitu membagi pembilang dan penyebutnya dengan, lalu dengan:

Anda bisa langsung membaginya menjadi:

Untuk menghindari kesalahan seperti itu, ingatlah jalan mudah cara menentukan apakah suatu ekspresi difaktorkan:

Operasi aritmatika yang dilakukan terakhir saat menghitung nilai suatu ekspresi adalah operasi “master”. Artinya, jika Anda mengganti beberapa angka (apa saja) alih-alih huruf dan mencoba menghitung nilai ekspresi, maka jika tindakan terakhir adalah perkalian, maka kita memiliki hasil kali (ekspresinya difaktorkan). Jika tindakan terakhir adalah penjumlahan atau pengurangan, ini berarti ekspresi tersebut tidak difaktorkan (sehingga tidak dapat direduksi).

Untuk mengkonsolidasikan, selesaikan sendiri beberapa hal contoh:

Jawaban:

1. Saya harap Anda tidak langsung terburu-buru memotong dan? Masih belum cukup untuk “mengurangi” unit seperti ini:

Langkah pertama yang harus dilakukan adalah faktorisasi:

4. Penjumlahan dan pengurangan pecahan. Mengurangi pecahan menjadi penyebut yang sama.

Penjumlahan dan pengurangan pecahan biasa adalah operasi yang umum dilakukan: kita mencari penyebut yang sama, mengalikan setiap pecahan dengan faktor yang hilang, dan menambah/mengurangi pembilangnya. Mari kita ingat:

Jawaban:

1. Penyebut dan relatif prima, yaitu tidak mempunyai faktor persekutuan. Oleh karena itu, KPK dari bilangan-bilangan ini sama dengan hasil kali bilangan-bilangan tersebut. Ini akan menjadi penyebut yang sama:

2. Di sini penyebutnya adalah:

3. Hal pertama di sini pecahan campuran kami mengubahnya menjadi yang salah, lalu mengikuti pola yang biasa:

Lain halnya jika pecahan mengandung huruf, misalnya:

Mari kita mulai dengan sesuatu yang sederhana:

a) Penyebutnya tidak mengandung huruf

Semuanya di sini sama seperti biasanya pecahan numerik: mencari penyebut yang sama, mengalikan setiap pecahan dengan faktor yang hilang dan menambahkan/mengurangi pembilangnya:

Sekarang di pembilangnya Anda dapat memberikan bilangan serupa, jika ada, dan memfaktorkannya:

Cobalah sendiri:

b) Penyebutnya mengandung huruf

Mari kita ingat prinsip mencari penyebut yang sama tanpa huruf:

· pertama-tama, kita menentukan faktor persekutuannya;

· lalu kita tuliskan semua faktor persekutuannya satu per satu;

· dan mengalikannya dengan semua faktor bukan persekutuan lainnya.

Untuk menentukan faktor persekutuan penyebutnya, pertama-tama kita faktorkan menjadi faktor prima:

Mari kita tekankan faktor umum:

Sekarang mari kita tuliskan faktor-faktor persekutuannya satu per satu dan tambahkan ke dalamnya semua faktor-faktor yang tidak umum (tidak digarisbawahi):

Ini adalah penyebut yang umum.

Mari kita kembali ke surat-surat itu. Penyebutnya diberikan dengan cara yang persis sama:

· faktorkan penyebutnya;

· menentukan faktor-faktor yang umum (identik);

· tuliskan semua faktor persekutuan satu kali;

· kalikan dengan semua faktor bukan persekutuan lainnya.

Jadi, secara berurutan:

1) faktorkan penyebutnya:

2) menentukan faktor persekutuan (identik):

3) tuliskan semua faktor persekutuannya satu kali dan kalikan dengan semua faktor lainnya (yang tidak digarisbawahi):

Jadi ada kesamaan di sini. Pecahan pertama harus dikalikan dengan, pecahan kedua - dengan:

Omong-omong, ada satu trik:

Misalnya: .

Kita melihat faktor-faktor yang sama pada penyebutnya, hanya saja semuanya dengan indikator yang berbeda. Penyebut yang umum adalah:

sampai tingkat tertentu

sampai tingkat tertentu

sampai tingkat tertentu

sampai tingkat tertentu.

Mari kita memperumit tugas:

Bagaimana cara agar pecahan mempunyai penyebut yang sama?

Mari kita ingat sifat dasar pecahan:

Tidak ada tertulis bahwa bilangan yang sama dapat dikurangkan (atau dijumlahkan) dari pembilang dan penyebut suatu pecahan. Karena itu tidak benar!

Lihat sendiri: ambil pecahan apa saja, misalnya, dan tambahkan beberapa angka pada pembilang dan penyebutnya, misalnya, . Apa yang kamu pelajari?

Jadi, aturan lain yang tak tergoyahkan:

Saat Anda mereduksi pecahan menjadi penyebut yang sama, gunakan hanya operasi perkalian!

Tapi apa yang perlu Anda kalikan untuk mendapatkannya?

Jadi kalikan dengan. Dan kalikan dengan:

Kita akan menyebut ekspresi yang tidak dapat difaktorkan sebagai “faktor dasar”. Misalnya, ini adalah faktor dasar. - Sama. Tapi tidak: itu bisa difaktorkan.

Bagaimana dengan ekspresinya? Apakah itu dasar?

Tidak, karena dapat difaktorkan:

(Anda sudah membaca tentang faktorisasi di topik “”).

Jadi, faktor dasar yang menjadi tempat Anda menguraikan ekspresi dengan huruf adalah analog dari faktor sederhana yang menjadi tempat Anda menguraikan angka. Dan kami akan menanganinya dengan cara yang sama.

Kita melihat bahwa kedua penyebutnya memiliki pengali. Ini akan menuju ke penyebut yang sama sampai tingkat tertentu (ingat alasannya?).

Faktornya bersifat dasar, dan tidak memiliki faktor persekutuan, yang berarti pecahan pertama hanya perlu dikalikan dengan faktor tersebut:

Contoh lain:

Larutan:

Sebelum mengalikan penyebut-penyebut ini dengan panik, Anda perlu memikirkan bagaimana cara memfaktorkannya? Keduanya mewakili:

Besar! Kemudian:

Contoh lain:

Larutan:

Seperti biasa, mari kita faktorkan penyebutnya. Pada penyebut pertama kita cukup mengeluarkannya dari tanda kurung; di detik - perbedaan kotak:

Tampaknya tidak ada faktor yang sama. Tapi kalau dicermati, keduanya mirip... Dan memang benar:

Jadi mari kita menulis:

Artinya, ternyata seperti ini: di dalam tanda kurung kita menukar suku-sukunya, dan pada saat yang sama tanda di depan pecahan berubah menjadi sebaliknya. Perhatikan, Anda harus sering melakukan ini.

Sekarang mari kita bawa ke penyebut yang sama:

Mengerti? Mari kita periksa sekarang.

Tugas untuk solusi mandiri:

Jawaban:

Di sini kita perlu mengingat satu hal lagi - perbedaan kubus:

Perlu diperhatikan bahwa penyebut pecahan kedua tidak mengandung rumus “kuadrat jumlah”! Kuadrat dari jumlah tersebut akan terlihat seperti ini: .

A disebut kuadrat tak lengkap dari jumlah tersebut: suku kedua di dalamnya adalah hasil kali suku pertama dan suku terakhir, dan bukan hasil kali gandanya. Kuadrat parsial dari jumlah tersebut adalah salah satu faktor perluasan selisih pangkat tiga:

Apa yang harus dilakukan jika sudah ada tiga pecahan?

Ya, hal yang sama! Pertama-tama, mari kita pastikan itu jumlah maksimum faktor penyebutnya sama:

Harap diperhatikan: jika Anda mengubah tanda di dalam satu tanda kurung, tanda di depan pecahan akan berubah menjadi kebalikannya. Saat kita mengganti tanda pada kurung kedua, maka tanda di depan pecahan berubah lagi menjadi kebalikannya. Alhasil (tanda di depan pecahan) tidak berubah.

Kita tuliskan seluruh penyebut pertama ke dalam penyebut yang sama, lalu tambahkan semua faktor yang belum ditulis, dari faktor kedua, lalu dari faktor ketiga (dan seterusnya, jika ada lebih banyak pecahan). Artinya, ternyata seperti ini:

Hmm... Sudah jelas apa yang harus dilakukan dengan pecahan. Tapi bagaimana dengan keduanya?

Sederhana saja: Anda tahu cara menjumlahkan pecahan, bukan? Jadi, kita perlu membuat dua menjadi pecahan! Ingat: pecahan adalah operasi pembagian (pembilangnya dibagi penyebutnya, kalau-kalau Anda lupa). Dan tidak ada yang lebih mudah daripada membagi suatu angka. Dalam hal ini, bilangan itu sendiri tidak akan berubah, tetapi akan berubah menjadi pecahan:

Persis apa yang dibutuhkan!

5. Perkalian dan pembagian pecahan.

Nah, bagian tersulitnya sudah berakhir sekarang. Dan di depan kita adalah yang paling sederhana, tetapi sekaligus paling penting:

Prosedur

Bagaimana prosedur untuk menghitung ekspresi numerik? Ingat dengan menghitung arti ungkapan ini:

Apakah kamu menghitung?

Ini seharusnya berhasil.

Jadi, izinkan saya mengingatkan Anda.

Langkah pertama adalah menghitung derajatnya.

Yang kedua adalah perkalian dan pembagian. Jika terdapat beberapa perkalian dan pembagian sekaligus, maka dapat dilakukan secara sembarang.

Dan terakhir, kami melakukan penjumlahan dan pengurangan. Sekali lagi, dalam urutan apa pun.

Namun: ekspresi dalam tanda kurung dievaluasi secara bergantian!

Jika beberapa tanda kurung dikalikan atau dibagi satu sama lain, pertama-tama kita menghitung ekspresi di masing-masing tanda kurung, lalu mengalikan atau membaginya.

Bagaimana jika ada lebih banyak tanda kurung di dalam tanda kurung? Baiklah, mari kita pikirkan: ada ekspresi yang tertulis di dalam tanda kurung. Saat menghitung suatu ekspresi, apa yang harus Anda lakukan pertama kali? Benar, hitung dalam tanda kurung. Baiklah, kami menemukan jawabannya: pertama kami menghitung tanda kurung dalam, lalu yang lainnya.

Jadi, prosedur untuk ekspresi di atas adalah sebagai berikut (tindakan saat ini disorot dengan warna merah, yaitu tindakan yang saya lakukan saat ini):

Oke, semuanya sederhana.

Tapi ini tidak sama dengan ekspresi dengan huruf?

Tidak, itu sama saja! Hanya alih-alih operasi aritmatika, Anda perlu melakukan operasi aljabar, yaitu tindakan yang dijelaskan di bagian sebelumnya: membawa serupa, penjumlahan pecahan, pengurangan pecahan, dan sebagainya. Satu-satunya perbedaan adalah cara memfaktorkan polinomial (kita sering menggunakannya saat mengerjakan pecahan). Paling sering, untuk memfaktorkan, Anda perlu menggunakan I atau cukup memasukkan faktor persekutuan di luar tanda kurung.

Biasanya tujuan kita adalah merepresentasikan ekspresi sebagai hasil kali atau hasil bagi.

Misalnya:

Mari kita sederhanakan ekspresinya.

1) Pertama, kita sederhanakan ekspresi dalam tanda kurung. Di sana kita mempunyai selisih pecahan, dan tujuan kita adalah menyajikannya sebagai hasil kali atau hasil bagi. Jadi, kita membawa pecahan ke penyebut yang sama dan menambahkan:

Tidak mungkin untuk menyederhanakan ungkapan ini lebih jauh; semua faktor di sini bersifat dasar (apakah Anda masih ingat apa artinya ini?).

2) Kami mendapatkan:

Mengalikan pecahan: apa yang bisa lebih sederhana.

3) Sekarang Anda dapat mempersingkat:

Oke, semuanya sudah berakhir. Sekarang. Tidak ada yang rumit, bukan?

Contoh lain:

Sederhanakan ekspresi tersebut.

Pertama, coba selesaikan sendiri, baru kemudian lihat solusinya.

Pertama-tama, mari kita tentukan urutan tindakannya. Pertama, mari kita jumlahkan pecahan di dalam tanda kurung, sehingga kita mendapatkan satu daripada dua pecahan. Kemudian kita akan melakukan pembagian pecahan. Baiklah, mari kita jumlahkan hasilnya dengan pecahan terakhir. Saya akan memberi nomor langkah-langkahnya secara skematis:

Sekarang saya akan menunjukkan prosesnya, mewarnai tindakan saat ini dengan warna merah:

Terakhir, saya akan memberi Anda dua tips bermanfaat:

1. Bila ada yang serupa harus segera dibawa. Kapanpun hal serupa muncul di negara kita, disarankan untuk segera mengungkitnya.

2. Hal yang sama berlaku untuk mereduksi pecahan: begitu ada peluang untuk mereduksi, maka harus dimanfaatkan. Pengecualiannya adalah untuk pecahan yang Anda tambahkan atau kurangi: jika sekarang ada penyebut yang sama, maka pengurangannya harus dibiarkan untuk nanti.

Berikut beberapa tugas yang harus Anda selesaikan sendiri:

Dan apa yang dijanjikan di awal:

Solusi (singkat):

Jika Anda telah menguasai setidaknya tiga contoh pertama, maka Anda telah menguasai topik tersebut.

Sekarang untuk belajar!

MENGONVERSI EKSPRESI. RINGKASAN DAN FORMULA DASAR

Operasi penyederhanaan dasar:

• Membawa serupa: untuk menjumlahkan (mengurangi) suku-suku serupa, Anda perlu menjumlahkan koefisiennya dan menetapkan bagian hurufnya.
• Faktorisasi: mengeluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung, menerapkannya, dll.
• Mengurangi sebagian kecil: Pembilang dan penyebut suatu pecahan dapat dikalikan atau dibagi dengan bilangan bukan nol yang sama, tanpa mengubah nilai pecahan tersebut.
  1) pembilang dan penyebut menguraikan pd pengali
  2) jika pembilang dan penyebutnya mempunyai faktor persekutuan, maka keduanya dapat dicoret.

  PENTING: hanya pengganda yang dapat dikurangi!

• Penjumlahan dan pengurangan pecahan:
  ;
• Mengalikan dan membagi pecahan:
  ;

Dengan menggunakan bahasa apa pun, Anda dapat mengungkapkan informasi yang sama dalam kata dan frasa yang berbeda. Bahasa matematika tidak terkecuali. Tetapi ekspresi yang sama dapat ditulis secara setara dengan cara yang berbeda. Dan dalam beberapa situasi, salah satu entri lebih sederhana. Kita akan membahas tentang menyederhanakan ekspresi dalam pelajaran ini.

Orang-orang terus berkomunikasi bahasa berbeda. Bagi kami, perbandingan penting adalah pasangan “bahasa Rusia - bahasa matematika”. Informasi yang sama dapat dikomunikasikan dalam bahasa yang berbeda. Tapi, selain itu, bisa diucapkan dengan cara yang berbeda dalam satu bahasa.

Misalnya: “Petya berteman dengan Vasya”, “Vasya berteman dengan Petya”, “Petya dan Vasya berteman”. Dikatakan berbeda, tetapi hal yang sama. Dari salah satu frasa ini kita akan memahami apa yang sedang kita bicarakan.

Mari kita lihat ungkapan ini: “Anak laki-laki Petya dan anak laki-laki Vasya adalah teman.” Kami memahami apa yang kami bicarakan. Namun, kami tidak menyukai bunyi frasa ini. Tidak bisakah kita menyederhanakannya, mengatakan hal yang sama, namun lebih sederhana? “Laki-laki dan laki-laki” - Anda bisa mengatakan sekali: “Laki-laki Petya dan Vasya berteman.”

“Laki-laki”… Bukankah dari namanya sudah jelas kalau mereka bukan perempuan? Kami menghapus "anak laki-laki": "Petya dan Vasya berteman." Dan kata “teman” bisa diganti dengan “teman”: “Petya dan Vasya adalah teman.” Akibatnya, frasa pertama yang panjang dan jelek diganti dengan pernyataan padanan yang lebih mudah diucapkan dan dipahami. Kami telah menyederhanakan frasa ini. Menyederhanakan berarti mengatakannya dengan lebih sederhana, tetapi tidak menghilangkan atau memutarbalikkan maknanya.

Dalam bahasa matematika, hal yang kurang lebih sama terjadi. Hal yang sama dapat dikatakan, ditulis secara berbeda. Apa yang dimaksud dengan menyederhanakan suatu ekspresi? Artinya untuk ungkapan aslinya terdapat banyak ungkapan yang padanannya, yaitu ungkapan-ungkapan yang mempunyai arti yang sama. Dan dari semua keragaman ini kita harus memilih yang paling sederhana, menurut kita, atau paling cocok untuk keperluan kita selanjutnya.

Misalnya, pertimbangkan ekspresi numerik. Ini akan setara dengan.

Ini juga akan setara dengan dua yang pertama: .

Ternyata kita telah menyederhanakan ekspresi kita dan menemukan ekspresi padanan terpendek.

Untuk ekspresi numerik, Anda selalu perlu melakukan segalanya dan mendapatkan ekspresi yang setara sebagai angka tunggal.

Mari kita lihat contoh ekspresi literal . Tentu saja, ini akan lebih sederhana.

Saat menyederhanakan ekspresi literal, semua tindakan yang mungkin perlu dilakukan.

Apakah suatu ekspresi selalu perlu disederhanakan? Tidak, terkadang akan lebih mudah bagi kami untuk memiliki entri yang setara namun lebih panjang.

Contoh: Anda perlu mengurangi angka dari angka.

Perhitungan dapat dilakukan, namun jika bilangan pertama diwakili oleh notasi ekuivalennya: , maka perhitungannya akan dilakukan seketika: .

Artinya, ekspresi yang disederhanakan tidak selalu bermanfaat bagi kita untuk perhitungan lebih lanjut.

Namun demikian, sering kali kita dihadapkan pada tugas yang terdengar seperti “menyederhanakan ekspresi”.

Sederhanakan ekspresi: .

Larutan

1) Lakukan tindakan pada tanda kurung pertama dan kedua: .

2) Mari kita hitung produknya: .

Jelasnya, ekspresi terakhir memiliki bentuk yang lebih sederhana daripada ekspresi awal. Kami telah menyederhanakannya.

Untuk menyederhanakan ekspresi, maka harus diganti dengan yang setara (equal).

Untuk menentukan ekspresi setara yang Anda butuhkan:

1) melakukan semua tindakan yang mungkin,

2) menggunakan sifat-sifat penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian untuk menyederhanakan perhitungan.

Sifat-sifat penjumlahan dan pengurangan:

1. Sifat komutatif penjumlahan: penataan ulang suku-sukunya tidak mengubah jumlah.

2. Sifat gabungan penjumlahan: untuk menjumlahkan bilangan ketiga pada jumlah dua bilangan, Anda dapat menjumlahkan bilangan kedua dan ketiga pada bilangan pertama.

3. Sifat mengurangkan suatu jumlah dari suatu bilangan: untuk mengurangkan suatu jumlah dari suatu bilangan, Anda dapat mengurangkan setiap suku secara terpisah.

Sifat-sifat perkalian dan pembagian

1. Sifat komutatif perkalian: penataan ulang faktor-faktornya tidak mengubah hasil kali.

2. Sifat gabungan: untuk mengalikan suatu bilangan dengan hasil kali dua bilangan, Anda dapat mengalikannya terlebih dahulu dengan faktor pertama, lalu mengalikan hasil perkaliannya dengan faktor kedua.

3. Properti distributif perkalian: untuk mengalikan suatu bilangan dengan suatu jumlah, Anda perlu mengalikannya dengan setiap penjumlahan secara terpisah.

Mari kita lihat bagaimana sebenarnya kita melakukan perhitungan mental.

Menghitung:

Larutan

1) Mari kita bayangkan caranya

2) Bayangkan faktor pertama sebagai penjumlahan istilah sedikit dan lakukan perkalian:

3) Anda dapat membayangkan bagaimana dan melakukan perkalian:

4) Gantikan faktor pertama dengan jumlah ekuivalennya:

Hukum distributif juga dapat digunakan sisi sebaliknya: .

Ikuti langkah ini:

1) 2)

Larutan

1) Untuk kenyamanan, Anda dapat menggunakan hukum distributif, tetapi gunakan dalam arah yang berlawanan - keluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung.

2) Mari kita keluarkan faktor persekutuannya dari tanda kurung

Penting untuk membeli linoleum untuk dapur dan lorong. Area dapur - , lorong - . Ada tiga jenis linoleum: untuk, dan rubel untuk. Berapa biaya masing-masingnya? tiga jenis linolium? (Gbr. 1)

Beras. 1. Ilustrasi rumusan masalah

Larutan

Metode 1. Anda dapat mengetahui secara terpisah berapa banyak uang yang diperlukan untuk membeli linoleum untuk dapur, dan kemudian meletakkannya di lorong dan menjumlahkan produk yang dihasilkan.

Kalkulator teknik online

Kami dengan senang hati mempersembahkan kalkulator teknik gratis kepada semua orang. Dengan bantuannya, setiap siswa dapat dengan cepat dan, yang terpenting, dengan mudah melakukan berbagai jenis perhitungan matematis secara online.

Kalkulator diambil dari situs - kalkulator ilmiah web 2.0

Kalkulator teknik yang sederhana dan mudah digunakan dengan antarmuka yang tidak mengganggu dan intuitif akan sangat berguna bagi banyak pengguna Internet. Sekarang, kapan pun Anda membutuhkan kalkulator, kunjungi situs web kami dan gunakan kalkulator teknik gratis.

Kalkulator teknik dapat bekerja dengan cara yang sederhana operasi aritmatika, dan perhitungan matematis yang cukup rumit.

Web20calc adalah kalkulator teknik yang memiliki banyak sekali fungsi, misalnya cara menghitung semua fungsi dasar. Kalkulator juga mendukung fungsi trigonometri, matriks, logaritma dan bahkan plotting.

Tidak diragukan lagi, Web20calc akan menarik bagi kelompok orang yang mencari solusi sederhana mengetikkan kueri di mesin pencari: matematika kalkulator daring. Aplikasi web gratis akan membantu Anda menghitung secara instan hasil dari beberapa ekspresi matematika, misalnya, mengurangi, menambah, membagi, mengekstrak akar, menaikkan pangkat, dll.

Dalam ekspresi, Anda dapat menggunakan operasi eksponensial, penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, persentase, dan konstanta PI. Untuk perhitungan yang rumit, tanda kurung harus disertakan.

Fitur kalkulator teknik:

1. operasi aritmatika dasar;
2. bekerja dengan angka dalam bentuk standar;
3. perhitungan akar trigonometri, fungsi, logaritma, eksponensial;
4. perhitungan statistik: penjumlahan, mean aritmatika atau deviasi standar;
5. penggunaan sel memori dan fungsi khusus dari 2 variabel;
6. bekerja dengan sudut dalam satuan radian dan derajat.

Kalkulator teknik memungkinkan penggunaan berbagai fungsi matematika:

Mengekstraksi akar (akar kuadrat, kubik, dan n);
ex (e pangkat x), eksponensial;
fungsi trigonometri: sinus - sin, cosinus - cos, tangen - tan;
fungsi trigonometri terbalik: arcsinus - sin-1, arccosine - cos-1, arctangent - tan-1;
fungsi hiperbolik: sinus - sinh, cosinus - cosh, tangen - tanh;
logaritma: logaritma biner ke basis dua - log2x, logaritma desimal ke basis sepuluh - log, logaritma natural - ln.

Kalkulator teknik ini juga menyertakan kalkulator kuantitas dengan kemampuan untuk mengubah besaran fisis berbagai sistem pengukuran - unit komputer, jarak, berat, waktu, dll. Dengan menggunakan fungsi ini, Anda dapat langsung mengubah mil menjadi kilometer, pound menjadi kilogram, detik menjadi jam, dll.

Untuk melakukan perhitungan matematis, pertama-tama masukkan urutan ekspresi matematika pada kolom yang sesuai, lalu klik tanda sama dengan dan lihat hasilnya. Anda dapat memasukkan nilai langsung dari keyboard (untuk ini, area kalkulator harus aktif, oleh karena itu, akan berguna untuk menempatkan kursor di kolom input). Data dapat dimasukkan antara lain menggunakan tombol kalkulator itu sendiri.

Untuk membuat grafik, Anda harus menulis fungsi di kolom input seperti yang ditunjukkan di kolom dengan contoh atau menggunakan toolbar yang dirancang khusus untuk ini (untuk membukanya, klik tombol dengan ikon grafik). Untuk mengonversi nilai, klik Satuan; untuk bekerja dengan matriks, klik Matriks.

Kembali