LANDASAN TEORITIS KERJA.
Terdapat hubungan integral dan diferensial antara tegangan listrik dan potensial listrik:
J 1 - J 2 = ∫ E dl (1)
E = -lulusan J (2)
Medan listrik dapat direpresentasikan secara grafis dalam dua cara, saling melengkapi: menggunakan permukaan ekuipotensial dan garis tegangan (garis medan).
Permukaan yang semua titiknya mempunyai potensial yang sama disebut permukaan ekuipotensial. Garis perpotongannya dengan bidang gambar disebut ekuipotensial. Garis medan adalah garis yang garis singgungnya pada setiap titik berimpit dengan arah vektor E . Pada Gambar 1, garis putus-putus menunjukkan ekuipotensial, garis padat menunjukkan garis medan Medan listrik.
Gambar.1
Beda potensial antara titik 1 dan 2 adalah 0 karena keduanya mempunyai ekuipotensial yang sama. Dalam hal ini dari (1):
∫E dl = 0 atau ∫E dlcos ( Edl ) = 0 (3)
Karena E Dan dl dalam ekspresi (3) tidak sama dengan 0, maka karena ( Edl ) = 0 . Oleh karena itu, sudut antara ekipotensial dan garis medan adalah p/2.
Dari hubungan diferensial (2) dapat disimpulkan bahwa garis-garis gaya selalu berarah ke arah penurunan potensial.
Besarnya kuat medan listrik ditentukan oleh “kerapatan” garis-garis medan. Semakin tebal saluran listrik, semakin kecil jarak antara ekuipotensial, sehingga garis medan dan ekuipotensial membentuk “persegi lengkung”. Berdasarkan prinsip-prinsip tersebut, dimungkinkan untuk membangun gambaran garis-garis medan, mempunyai gambaran ekuipotensial, dan sebaliknya.
Gambaran ekipotensial medan yang cukup lengkap memungkinkan untuk menghitung nilai proyeksi vektor intensitas pada titik yang berbeda E ke arah yang dipilih X , dirata-ratakan pada interval koordinat tertentu ∆х :
Rata-rata E. ∆x = - ∆ J /∆х,
Di mana ∆х - pertambahan koordinat ketika berpindah dari satu ekuipotensial ke ekuipotensial lainnya,
∆ J - potensi peningkatan yang sesuai,
Rata-rata E. ∆х - nilai rata-rata Mantan antara dua potensi.
DESKRIPSI TEKNIK INSTALASI DAN PENGUKURAN.
Untuk memodelkan medan listrik, akan lebih mudah untuk menggunakan analogi yang ada antara medan listrik yang diciptakan oleh benda bermuatan dan medan listrik. arus searah, mengalir melalui film konduktif dengan konduktivitas seragam. Dalam hal ini letak garis-garis medan listrik ternyata sama dengan letak garis-garis arus listrik.
Pernyataan yang sama juga berlaku untuk potensi. Distribusi potensial medan pada film penghantar sama dengan distribusi medan listrik dalam ruang hampa.
Kertas konduktif listrik dengan konduktivitas sama ke segala arah digunakan sebagai film konduktif.
Elektroda dipasang di atas kertas sehingga terjamin kontak yang baik antara masing-masing elektroda dan kertas konduktif.
Diagram kerja instalasi ditunjukkan pada Gambar 2. Instalasi terdiri dari modul II, elemen jarak jauh I, indikator III, catu daya IV. Modul ini digunakan untuk menghubungkan semua perangkat bekas. Elemen jarak jauh adalah panel dielektrik 1, yang di atasnya diletakkan selembar kertas putih 2, di atasnya ada selembar kertas fotokopi 3, kemudian selembar kertas penghantar listrik 4, yang di atasnya dipasang elektroda 5. Tegangannya adalah disuplai ke elektroda dari modul II menggunakan kabel penghubung. Indikator III dan probe 6 digunakan untuk mengetahui potensial titik-titik pada permukaan kertas penghantar listrik.
Kawat dengan steker di ujungnya digunakan sebagai probe. Potensi J probe sama dengan potensial titik pada permukaan kertas penghantar listrik yang disentuhnya. Himpunan titik-titik medan yang potensialnya sama merupakan gambaran ekipotensial medan. Catu daya TEC-42 digunakan sebagai sumber listrik IV, yang dihubungkan ke modul menggunakan konektor steker di dinding belakang modul. Voltmeter V7-38 digunakan sebagai indikator Ш.
 |
TATA CARA KINERJA PEKERJAAN.
1. Letakkan 1 lembar kertas putih 2 pada panel, letakkan kertas karbon 3 dan selembar kertas penghantar listrik 4 di atasnya (Gbr. 2).
2. Pasang elektroda 5 pada kertas konduktif listrik dan kencangkan dengan mur.
3. Hubungkan catu daya IV (TEC – 42) ke modul menggunakan konektor steker di dinding belakang modul.
4. Dengan menggunakan dua konduktor, sambungkan indikator III (voltmeter B7 – 38) ke soket “PV” di panel depan modul. Tekan tombol yang sesuai pada voltmeter untuk mengukur tegangan DC (Gbr. 2).
5. Dengan menggunakan dua konduktor, sambungkan elektroda 5 ke modul P.
6. Hubungkan probe (kabel dengan dua colokan) ke soket di panel depan modul.
7. Hubungkan dudukan ke jaringan 220 V. Nyalakan catu daya umum pada dudukan.
Untuk representasi grafik bidang yang lebih visual, selain garis tegangan, permukaan dengan potensial yang sama atau permukaan ekuipotensial digunakan. Seperti namanya, permukaan ekuipotensial adalah permukaan yang semua titiknya mempunyai potensial yang sama. Jika potensial diberikan sebagai fungsi dari x, y, z, maka persamaan permukaan ekuipotensial berbentuk:
Garis kuat medan tegak lurus terhadap permukaan ekuipotensial.
Mari kita buktikan pernyataan ini.
Biarkan garis dan garis gaya membentuk sudut tertentu (Gbr. 1.5).
Mari kita pindahkan muatan uji dari titik 1 ke titik 2 sepanjang garis. Dalam hal ini, gaya lapangan melakukan kerja:
. (1.5)
Artinya, usaha yang dilakukan dengan menggerakkan muatan uji sepanjang permukaan ekuipotensial adalah nol. Usaha yang sama dapat didefinisikan dengan cara lain - sebagai hasil kali muatan dengan modulus kuat medan yang bekerja pada muatan uji, dengan besar perpindahan dan kosinus sudut antara vektor dan vektor perpindahan, yaitu. kosinus sudut (lihat Gambar 1.5):
.
Besarnya usaha tidak bergantung pada cara perhitungannya, menurut (1.5) sama dengan nol. Oleh karena itu, hal itulah yang perlu dibuktikan.
Permukaan ekuipotensial dapat ditarik melalui titik mana pun pada bidang tersebut. Akibatnya, permukaan seperti itu dapat dibangun dalam jumlah tak terbatas. Namun disepakati untuk menggambar permukaan sedemikian rupa sehingga beda potensial untuk dua permukaan yang berdekatan akan sama di semua tempat. Kemudian, berdasarkan kepadatan permukaan ekuipotensial, besarnya kuat medan dapat dinilai. Memang, semakin padat permukaan ekuipotensial, semakin cepat potensial berubah ketika bergerak sepanjang garis normal ke permukaan.
Gambar 1.6a menunjukkan permukaan ekuipotensial (lebih tepatnya, perpotongannya dengan bidang gambar) untuk medan biaya poin. Sesuai dengan sifat perubahannya, permukaan ekuipotensial menjadi lebih padat ketika mendekati muatan. Gambar 1.6b menunjukkan permukaan ekuipotensial dan garis tegangan untuk medan dipol. Dari Gambar 1.6 jelas bahwa dengan penggunaan permukaan ekuipotensial dan garis tegangan secara simultan, gambaran lapangan menjadi sangat jelas.
Untuk lapangan seragam permukaan ekuipotensial jelas mewakili sistem bidang-bidang yang berjarak sama satu sama lain, tegak lurus terhadap arah kuat medan.
1.8. Hubungan antara kekuatan lapangan dan potensi
(gradien potensial)
Biarkan ada medan elektrostatis yang berubah-ubah. Dalam bidang ini kita menggambar dua permukaan ekuipotensial sedemikian rupa sehingga potensialnya berbeda satu sama lain berdasarkan besarnya dφ(Gbr. 1.7)
Vektor tegangan diarahkan tegak lurus terhadap permukaan. Arah normalnya sama dengan arah sumbu x. Sumbu X ditarik dari titik 1 memotong permukaan 
pada poin 2.
Segmen garis dx mewakili jarak terpendek antara titik 1 dan 2. Usaha yang dilakukan ketika memindahkan muatan sepanjang segmen ini:
Di sisi lain, karya yang sama dapat ditulis sebagai:
Menyamakan kedua ekspresi ini, kita mendapatkan:
dimana simbol turunan parsial menekankan bahwa diferensiasi dilakukan hanya terhadap X. Mengulangi alasan serupa untuk kapak kamu Dan z, kita dapat mencari vektornya:
, (1.7)
di mana adalah vektor satuan dari sumbu koordinat x, kamu, z.
Vektor yang ditentukan oleh ekspresi (1.7) disebut gradien skalar φ . Untuk itu, selain sebutan, digunakan juga sebutan. ("nabla") berarti vektor simbolik yang disebut operator Hamiltonian
Representasi grafis dari medan dapat dibuat tidak hanya dengan garis tegangan, tetapi juga dengan bantuan beda potensial. Jika kita menggabungkan titik-titik yang mempunyai potensial yang sama dalam suatu medan listrik, kita akan memperoleh permukaan-permukaan yang potensialnya sama, atau disebut juga permukaan ekuipotensial. Pada perpotongan dengan bidang gambar, permukaan ekuipotensial menghasilkan garis ekuipotensial. Menggambar garis ekuipotensial yang bersesuaian dengan arti yang berbeda potensinya, kita memperoleh gambaran visual yang mencerminkan bagaimana potensi suatu bidang tertentu berubah. Bergerak sepanjang permukaan ekuipotensial suatu muatan tidak memerlukan usaha, karena semua titik medan di sepanjang permukaan tersebut mempunyai potensial yang sama dan gaya yang bekerja pada muatan selalu tegak lurus terhadap pergerakan.
Akibatnya, garis tegangan selalu tegak lurus terhadap permukaan yang potensialnya sama.
Gambaran medan yang paling jelas akan terlihat jika kita menggambarkan garis ekuipotensial dengan perubahan potensial yang sama, misalnya 10 V, 20 V, 30 V, dan seterusnya. Dalam hal ini, laju perubahan potensial akan berbanding terbalik dengan jarak antara garis ekuipotensial yang berdekatan. Artinya, kerapatan garis ekuipotensial sebanding dengan kuat medan (semakin tinggi kuat medan, semakin dekat garis yang ditarik). Mengetahui garis ekuipotensial, kita dapat membuat garis intensitas medan yang ditinjau dan sebaliknya.
Akibatnya, gambaran medan yang menggunakan garis ekuipotensial dan garis tegangan adalah ekuivalen.
Penomoran garis ekuipotensial pada gambar
Seringkali, garis ekuipotensial pada gambar diberi nomor. Untuk menunjukkan beda potensial pada gambar, garis sembarang ditandai dengan angka 0, di samping semua garis lainnya ditempatkan angka 1,2,3, dst. Angka-angka ini menunjukkan beda potensial volt antara garis ekuipotensial yang dipilih dan garis yang dipilih sebagai nol. Pada saat yang sama, kami mencatat bahwa pilihan garis nol tidak penting, karena arti fisik hanya mempunyai beda potensial untuk kedua permukaan, dan tidak bergantung pada pilihan angka nol.
Bidang muatan titik dengan muatan positif
Mari kita perhatikan sebagai contoh bidang muatan titik yang bermuatan positif. Garis-garis medan muatan titik adalah garis lurus radial, oleh karena itu permukaan ekuipotensial adalah sistem bola konsentris. Garis-garis medan tegak lurus terhadap permukaan bola di setiap titik medan. Lingkaran konsentris berfungsi sebagai garis ekuipotensial. Untuk muatan positif, Gambar 1 mewakili garis ekuipotensial. Untuk muatan negatif, Gambar 2 mewakili garis ekuipotensial.
Hal ini terlihat jelas dari rumus yang menentukan potensial medan suatu muatan titik ketika potensial tersebut dinormalisasi hingga tak terhingga ($\varphi \left(\infty \right)=0$):
\[\varphi =\frac(1)(4\pi \varepsilon (\varepsilon )_0)\frac(q)(r)\left(1\right).\]
Sistem bidang paralel, yang jaraknya sama satu sama lain, merupakan permukaan ekuipotensial yang mempunyai medan listrik seragam.
Contoh 1
Tugas: Potensi medan yang diciptakan oleh sistem muatan berbentuk:
\[\varphi =a\kiri(x^2+y^2\kanan)+bz^2,\]
dimana $a,b$ adalah konstanta Diatas nol. Apa bentuk permukaan ekuipotensial?
Permukaan ekuipotensial, seperti kita ketahui, adalah permukaan yang potensialnya sama di setiap titik. Mengetahui hal di atas, mari kita pelajari persamaan yang diajukan dalam kondisi masalah. Bagilah ruas kanan dan kiri persamaan $=a\left(x^2+y^2\right)+bz^2,$ dengan $\varphi $, kita peroleh:
\[(\frac(a)(\varphi )x)^2+(\frac(a)(\varphi )y)^2+\frac(b)(\varphi )z^2=1\ \kiri( 1.1\kanan).\]
Mari kita tulis persamaan (1.1) dalam bentuk kanonik:
\[\frac(x^2)((\left(\sqrt(\frac(\varphi )(a))\kanan))^2)+\frac(y^2)((\left(\sqrt( \frac(\varphi )(a))\kanan))^2)+\frac(z^2)((\kiri(\sqrt(\frac(\varphi )(b))\kanan))^2) =1\ (1.2)\]
Dari persamaan $(1.2)\ $ jelas bahwa gambar yang diberikan adalah ellipsoid revolusi. Poros porosnya
\[\sqrt(\frac(\varphi )(a)),\ \sqrt(\frac(\varphi)(a)),\ \sqrt(\frac(\varphi )(b)).\]
Jawaban: Permukaan ekuipotensial suatu bidang tertentu adalah ellipsoid revolusi dengan sumbu semi ($\sqrt(\frac(\varphi )(a)),\ \sqrt(\frac(\varphi )(a)),\ \sqrt(\frac( \varphi )(b))$).
Contoh 2
Tugas: Potensi lapangan berbentuk:
\[\varphi =a\kiri(x^2+y^2\kanan)-bz^2,\]
dimana $a,b$ -- $const$ lebih besar dari nol. Apa yang dimaksud dengan permukaan ekuipotensial?
Mari kita pertimbangkan kasus untuk $\varphi >0$. Mari kita bawa persamaan yang ditentukan dalam kondisi masalah ke bentuk kanonik; untuk melakukan ini, kita membagi kedua ruas persamaan dengan $\varphi , $ kita mendapatkan:
\[\frac(a)(\varphi )x^2+(\frac(a)(\varphi )y)^2-\frac(b)(\varphi )z^2=1\ \kiri(2.1\ Kanan).\]
\[\frac(x^2)(\frac(\varphi )(a))+\frac(y^2)(\frac(\varphi )(a))-\frac(z^2)(\frac (\varphi )(b))=1\ \kiri(2.2\kanan).\]
Di (2.2) kita dapatkan persamaan kanonik hiperboloid satu lembar. Sumbu semi-nya sama dengan ($\sqrt(\frac(\varphi )(a))\left(real\ semi-axis\right),\ \sqrt(\frac(\varphi )(a))\left (nyata\ semi-sumbu\kanan ),\ \sqrt(\frac(\varphi )(b))(imajiner\semi-sumbu)$).
Pertimbangkan kasus ketika $\varphi
Mari kita bayangkan $\varphi =-\left|\varphi \right|$ Mari kita bawa persamaan yang ditentukan dalam kondisi masalah ke bentuk kanonik, untuk melakukan ini kita membagi kedua sisi persamaan dengan minus modulus $\varphi ,$ kita mendapatkan:
\[-\frac(a)(\kiri|\varphi \kanan|)x^2-(\frac(a)(\kiri|\varphi \kanan|)y)^2+\frac(b)(\ kiri|\varphi \kanan|)z^2=1\ \kiri(2.3\kanan).\]
Mari kita tulis ulang persamaan (1.1) menjadi:
\[-\frac(x^2)(\frac(\left|\varphi \right|)(a))-\frac(y^2)(\frac(\left|\varphi \right|)(a ))+\frac(z^2)(\frac(\kiri|\varphi \kanan|)(b))=1\ \kiri(2,4\kanan).\]
Kami telah memperoleh persamaan kanonik hiperboloid dua lembar, sumbu semi-nya:
($\sqrt(\frac(\left|\varphi \right|)(a))\left(imajiner\semi-sumbu\kanan),\ \sqrt(\frac(\left|\varphi \right|)( a) )\kiri(imajiner\ semi-sumbu\kanan),\ \sqrt(\frac(\left|\varphi \right|)(b))(\nyata\ semi-sumbu)$).
Mari kita perhatikan kasus ketika $\varphi =0.$ Maka persamaan medannya berbentuk:
Mari kita tulis ulang persamaan (2.5) menjadi:
\[\frac(x^2)((\kiri(\frac(1)(\sqrt(a))\kanan))^2)+\frac(y^2)((\kiri(\frac(1 )(\sqrt(a))\kanan))^2)-\frac(z^2)((\kiri(\frac(1)(\sqrt(b))\kanan))^2)=0\ kiri(2.6\kanan).\]
Kita telah memperoleh persamaan kanonik kerucut lingkaran siku-siku, yang terletak pada elips dengan sumbu semi $(\frac(\sqrt(b))(\sqrt(a))$;$\ \frac(\sqrt(b ))(\sqrt(a ))$).
Jawaban: Sebagai permukaan ekuipotensial untuk persamaan potensial tertentu, kita memperoleh: untuk $\varphi >0$ - hiperboloid satu lembar, untuk $\varphi
Mari kita cari hubungan antara kuat medan elektrostatis yang dimilikinya karakteristik kekuatan, dan potensi - karakteristik energi medan. Memindahkan pekerjaan lajang titik muatan positif dari satu titik medan ke titik lainnya sepanjang sumbu X asalkan titik-titik tersebut terletak sangat dekat satu sama lain dan x 1 – x 2 = dx , sama dengan E x dx . Usaha yang sama sama dengan j 1 -j 2 = dj . Dengan menyamakan kedua ekspresi tersebut, kita dapat menulis
dimana simbol turunan parsial menekankan bahwa diferensiasi dilakukan hanya terhadap X. Mengulangi alasan serupa untuk sumbu y dan z , kita dapat menemukan vektor E:
dimana i, j, k adalah vektor satuan dari sumbu koordinat x, y, z.
Dari definisi gradien (12.4) dan (12.6). mengikuti itu
yaitu kuat medan E sama dengan gradien potensial dengan tanda minus. Tanda minus ditentukan oleh fakta bahwa vektor kuat medan E diarahkan sisi menurun potensi.
Untuk menggambarkan secara grafis distribusi potensial medan elektrostatis, seperti dalam kasus medan gravitasi (lihat § 25), digunakan permukaan ekuipotensial - permukaan di semua titik yang potensialnya memiliki nilai yang sama.
Jika medan diciptakan oleh muatan titik, maka potensinya, menurut (84.5),
Jadi, permukaan ekuipotensial di pada kasus ini - bola konsentris. Sebaliknya, garis tegangan pada muatan titik adalah garis lurus radial. Akibatnya, garis tegangan pada kasus muatan titik tegak lurus permukaan ekuipotensial.
Garis ketegangan selalu biasa saja ke permukaan ekipotensial. Memang, semua titik pada permukaan ekuipotensial mempunyai potensial yang sama, sehingga usaha yang dilakukan untuk memindahkan muatan sepanjang permukaan ini adalah nol, yaitu gaya elektrostatis yang bekerja pada muatan tersebut adalah Selalu diarahkan sepanjang normal ke permukaan ekuipotensial. Oleh karena itu, vektor E selalu normal terhadap permukaan ekuipotensial, dan oleh karena itu garis-garis vektor E ortogonal terhadap permukaan ini.
Permukaan ekuipotensial yang jumlahnya tak terhingga dapat ditarik mengelilingi setiap muatan dan setiap sistem muatan. Namun, hal ini biasanya dilakukan sedemikian rupa sehingga beda potensial antara dua permukaan ekuipotensial yang berdekatan adalah sama. Kemudian kepadatan permukaan ekuipotensial dengan jelas mencirikan kekuatan medan pada titik-titik yang berbeda. Jika permukaannya lebih padat, kekuatan medannya lebih besar.
Jadi, dengan mengetahui letak garis-garis kuat medan elektrostatis, maka dimungkinkan untuk membuat permukaan ekuipotensial dan sebaliknya, dari letak permukaan ekuipotensial yang diketahui, besaran dan arah kuat medan dapat ditentukan pada setiap titik di lapangan. Pada Gambar. Gambar 133 menunjukkan, misalnya, bentuk garis tegangan (garis putus-putus) dan permukaan ekuipotensial (garis padat) dari medan muatan titik positif (a) dan silinder logam bermuatan yang mempunyai tonjolan di salah satu ujungnya dan cekungan di ujungnya. lainnya (b).
Untuk lebih jelasnya, medan listrik sering digambarkan menggunakan garis medan dan permukaan ekuipotensial.
Saluran listrik – ini adalah garis kontinu, yang garis singgungnya pada setiap titik yang dilaluinya bertepatan dengan vektor kuat medan listrik (Gbr. 1.5). Kerapatan garis medan (jumlah garis medan yang melalui suatu satuan luas) sebanding dengan kuat medan listrik.
Permukaan ekuipotensial (ekipotensial) – permukaan yang potensialnya sama. Ini adalah permukaan (garis) yang potensialnya tidak berubah ketika bergerak. Jika tidak, beda potensial antara dua titik ekuipotensial adalah nol. Garis-garis gaya tegak lurus terhadap ekuipotensial dan diarahkan ke arah penurunan potensial. Ini mengikuti persamaan (1.10).
Mari kita perhatikan sebagai contoh medan listrik yang tercipta dari jarak jauh 
dari biaya titik. Menurut (1.11,b) vektor intensitas berimpit dengan arah vektor 
, jika muatannya positif, dan berlawanan arah jika muatannya negatif. Akibatnya, garis-garis medan menyimpang secara radial dari muatan (Gbr. 1.6, a, b). Kerapatan garis-garis medan, seperti halnya tegangan, berbanding terbalik dengan kuadrat jarak ( 
) untuk mengisi daya. Ekuipotensial medan listrik suatu muatan titik adalah bola yang berpusat pada lokasi muatan tersebut.
1.6. Teorema Gauss untuk medan listrik dalam ruang hampa
Tugas utama elektrostatika adalah masalah mencari intensitas dan potensial medan listrik pada setiap titik dalam ruang. Pada bagian 1.4, kita memecahkan masalah medan muatan titik, dan juga mempertimbangkan medan sistem muatan titik. Pada bagian ini kita akan membahas teorema yang memungkinkan Anda menghitung medan listrik benda bermuatan lebih kompleks. Misalnya benang panjang bermuatan (lurus), bidang bermuatan, bola bermuatan dan lain-lain. Setelah menghitung kuat medan listrik pada setiap titik dalam ruang menggunakan persamaan (1.12) dan (1.13), kita dapat menghitung potensial pada setiap titik atau beda potensial antara dua titik mana pun, yaitu. memecahkan masalah dasar elektrostatika.
Untuk gambaran matematis, kami memperkenalkan konsep aliran vektor intensitas atau aliran medan listrik. vektor fluks (F). 
medan listrik melalui luas permukaan datar 
besarannya disebut:
,
(1.16)
– kuat medan listrik, yang diasumsikan konstan di dalam lokasi 
;
– sudut antara arah vektor 
dan satuan vektor normal 
ke situs 
(Gbr. 1.8). Rumus (1.16) dapat ditulis dengan menggunakan konsep perkalian skalar vektor:
. (1.15,a)
Dalam kasus ketika permukaan 
tidak rata, untuk menghitung alirannya harus dibagi menjadi bagian-bagian kecil 
, yang kira-kira dianggap datar, lalu tuliskan persamaan (1.16) atau (1.16,a) untuk setiap bagian permukaan dan jumlahkan. Dalam batas kapan permukaan S Saya sangat kecil ( 
), jumlah seperti itu disebut integral permukaan dan dilambangkan 
. Jadi, aliran vektor kuat medan listrik melalui permukaan sembarang 
ditentukan oleh ekspresi:
.
(1.17)
Sebagai contoh, perhatikan sebuah bola berjari-jari 
, yang pusatnya merupakan muatan titik positif 
, dan tentukan aliran medan listrik yang melalui permukaan bola tersebut. Garis-garis gaya (lihat, misalnya, Gambar 1.6, a) yang muncul dari muatan tegak lurus terhadap permukaan bola, dan pada setiap titik bola modulus kuat medannya sama
.
Luas suatu bola 
,
Kemudian 
.
Besarnya 
dan mewakili aliran medan listrik melalui permukaan bola. Jadi, kita dapatkan 
. Terlihat bahwa aliran medan listrik yang melalui permukaan bola tidak bergantung pada jari-jari bola, tetapi hanya bergantung pada muatan itu sendiri. 
. Oleh karena itu, jika Anda menggambar serangkaian bola konsentris, maka aliran medan listrik yang melalui semua bola tersebut akan sama. Jelasnya, jumlah garis medan yang melintasi bola-bola tersebut juga akan sama. Disepakati bahwa jumlah garis gaya yang muncul dari muatan harus sama dengan aliran medan listrik: 
.
Jika bola digantikan oleh permukaan tertutup lainnya, maka fluks medan listrik dan jumlah garis gaya yang melintasinya tidak akan berubah. Selain itu, fluks medan listrik melalui permukaan tertutup, dan karenanya jumlah garis medan yang menembus permukaan tersebut, sama dengan 
tidak hanya untuk medan muatan titik, tetapi juga untuk medan yang ditimbulkan oleh kumpulan muatan titik, khususnya oleh benda bermuatan. Lalu nilainya 
harus dianggap sebagai jumlah aljabar dari seluruh kumpulan muatan yang terletak di dalam permukaan tertutup. Inilah inti dari teorema Gauss yang dirumuskan sebagai berikut.
Fluks vektor kuat medan listrik melalui permukaan tertutup sembarang, yang di dalamnya terdapat sistem muatan, sama dengan 
, Di mana 
adalah jumlah aljabar dari muatan-muatan ini.
Secara matematis, teorema tersebut dapat ditulis sebagai
.
(1.18)
Perhatikan jika pada permukaan tertentu S vektor 
konstan dan sejajar dengan vektor 
, lalu mengalir melalui permukaan tersebut. Mentransformasi integral pertama, pertama-tama kita memanfaatkan fakta bahwa vektor 
Dan 
paralel, yang artinya 
. Kemudian mereka mengambil nilainya 
untuk tanda integral karena konstan di setiap titik pada bola 
. Ketika menerapkan teorema Gauss untuk memecahkan masalah tertentu, mereka secara khusus mencoba memilih permukaan yang memenuhi kondisi yang dijelaskan di atas sebagai permukaan tertutup yang berubah-ubah.
Mari kita berikan beberapa contoh penerapan teorema Gauss.
Contoh 1.2. Hitung kuat medan listrik dari benang tak berujung yang bermuatan seragam. Tentukan beda potensial antara dua titik pada bidang tersebut.Larutan. Mari kita asumsikan dengan pasti bahwa benang tersebut bermuatan positif. Karena masalah simetri, dapat dikatakan bahwa garis-garis gaya adalah garis lurus yang memancar dari sumbu benang (Gbr. 1.9), yang kepadatannya berkurang menurut hukum tertentu ketika menjauh dari benang. . Menurut hukum yang sama, besarnya medan listrik juga akan berkurang 
. Permukaan ekuipotensial adalah permukaan silinder dengan sumbu yang bertepatan dengan ulir.
Misalkan muatan per satuan panjang benang sama dengan 
. Besaran ini disebut kerapatan muatan linier dan diukur dalam satuan SI [C/m]. Untuk menghitung kuat medan, kami menerapkan teorema Gauss. Untuk melakukan ini, sebagai permukaan tertutup yang sewenang-wenang 
pilih silinder berjari-jari 
dan panjang 
, yang sumbunya bertepatan dengan utas (Gbr. 1.9). Mari kita hitung fluks medan listrik yang melalui luas permukaan silinder. Aliran total adalah jumlah aliran yang melaluinya permukaan lateral silinder dan mengalir melalui pangkalan
Namun, 
, karena di titik mana pun di dasar silinder 
. Artinya 
pada titik-titik ini. Mengalir melalui permukaan samping 
. Menurut teorema Gauss, fluks total ini adalah 
. Jadi, kami mendapatkannya
.
Jumlah muatan yang terletak di dalam silinder dapat dinyatakan melalui kerapatan muatan linier 
:
. Mengingat bahwa 
, kita mendapatkan
,
,
(1.19)
itu. intensitas dan kerapatan garis-garis medan listrik dari benang tak berujung bermuatan seragam berkurang berbanding terbalik dengan jarak ( 
).
Mari kita cari beda potensial antara titik-titik yang terletak pada jarak 
Dan 
dari ulir (milik permukaan silinder ekuipotensial dengan jari-jari 
Dan 
). Untuk melakukannya, kita menggunakan hubungan antara kuat medan listrik dan potensial dalam bentuk (1.9, c): 
. Dengan memperhatikan ekspresi (1.19), kita memperoleh persamaan diferensial dengan variabel yang dapat dipisahkan:
.
Larutan. Medan listrik pada bidang bermuatan seragam ditunjukkan pada Gambar. 1.10. Karena simetri, garis-garis gaya harus tegak lurus terhadap bidang. Oleh karena itu, kita dapat segera menyimpulkan bahwa kerapatan garis, dan akibatnya, kuat medan listrik tidak akan berubah seiring dengan jarak dari bidang. Permukaan ekuipotensial adalah bidang yang sejajar dengan bidang bermuatan tertentu. Misalkan muatan per satuan luas bidang adalah 
. Besaran ini disebut densitas muatan permukaan dan diukur dalam satuan SI [C/m2].
Mari kita terapkan teorema Gauss. Untuk melakukan ini, sebagai permukaan tertutup yang sewenang-wenang 
pilih silinder yang panjangnya 
, yang sumbunya tegak lurus terhadap bidang, dan alasnya berjarak sama dari bidang tersebut (Gbr. 1.10). Fluks medan listrik total 
. Fluks yang melalui permukaan samping adalah nol. Fluks yang melalui masing-masing basa adalah 
, Itu sebabnya 
. Dengan teorema Gauss kita mendapatkan:
.
Jumlah muatan di dalam silinder 
, kita temukan melalui kerapatan muatan permukaan 
:
. Lalu dari mana:
.
(1.20)
Dari rumus yang dihasilkan jelas bahwa kuat medan suatu bidang bermuatan seragam tidak bergantung pada jarak ke bidang bermuatan tersebut, yaitu. di setiap titik dalam ruang (dalam satu setengah bidang) besar dan arahnya sama. Bidang ini disebut homogen. Garis-garis gaya medan seragam sejajar, kerapatannya tidak berubah.
Mari kita cari beda potensial antara dua titik pada suatu medan seragam (yang termasuk dalam bidang ekuipotensial 
Dan 
, terletak pada setengah bidang yang sama relatif terhadap bidang bermuatan (Gbr. 1.10)). Mari kita arahkan porosnya 
vertikal ke atas, maka proyeksi vektor tegangan pada sumbu tersebut sama dengan modulus vektor tegangan 
. Mari kita gunakan persamaan (1.9):
.
Nilai konstan 
(bidangnya homogen) dapat dikeluarkan dari bawah tanda integral: 
. Mengintegrasikan, kita mendapatkan: . Jadi, potensial suatu medan seragam bergantung secara linier pada koordinatnya.
Beda potensial antara dua titik medan listrik adalah tegangan antara titik-titik tersebut ( 
). Mari kita nyatakan jarak antara bidang ekuipotensial 
. Maka kita dapat menuliskannya dalam medan listrik seragam:
.
(1.21)
Mari kita tekankan sekali lagi bahwa ketika menggunakan rumus (1.21), kita harus ingat bahwa kuantitas 
- bukan jarak antara titik 1 dan 2, tetapi jarak antara bidang ekuipotensial di mana titik-titik tersebut berada.
Contoh 1.4. Hitung kuat medan listrik dua bidang sejajar yang bermuatan seragam dengan kerapatan muatan permukaan 
Dan 
.
Larutan. Mari kita gunakan hasil Contoh 1.3 dan prinsip superposisi. Menurut prinsip ini, medan listrik dihasilkan pada setiap titik dalam ruang 
, Di mana 
Dan 
- kuat medan listrik bidang pertama dan kedua. Di ruang antara bidang vektor 
Dan 
diarahkan ke satu arah, sehingga modulus kuat medan yang dihasilkan. Di dalam ruang eksternal vektor 
Dan 
Oleh karena itu, diarahkan ke arah yang berbeda (Gbr. 1.11). Jadi, medan listrik hanya ada di ruang antar bidang. Ini homogen karena merupakan jumlah dari dua bidang homogen.
, dan jari-jari bola adalah 
.Larutan. Karena simetri distribusi muatan, garis-garis medan harus diarahkan sepanjang jari-jari bola.
Misalkan suatu area di dalam bola. Sebagai permukaan yang berubah-ubah 
pilih bola berjari-jari 
, yang pusatnya bertepatan dengan pusat bola bermuatan. Kemudian medan listrik mengalir melalui bola S:
. Jumlah muatan di dalam bola 
radius 
sama dengan nol, karena semua muatan terletak pada permukaan bola berjari-jari 
. Kemudian, dengan teorema Gauss: 
. Karena 
, Itu 
. Jadi, tidak ada medan di dalam bola bermuatan seragam.
Mari kita pertimbangkan wilayah di luar bola. Sebagai permukaan yang sewenang-wenang 
pilih bola berjari-jari 
, yang pusatnya bertepatan dengan pusat bola bermuatan. Medan listrik mengalir melalui bola 
:
. Jumlah muatan di dalam bola sama dengan muatan total 
radius bola bermuatan 
. Kemudian, dengan teorema Gauss: 
. Mengingat bahwa 
, kita mendapatkan:
.
Mari kita hitung potensial medan listrik. Lebih mudah memulai dari area luar 
, karena kita tahu bahwa pada jarak tak terhingga dari pusat bola, potensialnya dianggap nol. Dengan menggunakan persamaan (1.11,a) kita memperoleh persamaan diferensial dengan variabel yang dapat dipisahkan:
.
Konstan 
, karena 
pada 
. Jadi, di ruang luar ( 
):
.
Titik-titik pada permukaan bola bermuatan ( 
) akan mempunyai potensi 
.
Pertimbangkan areanya 
. Di area ini 
, oleh karena itu dari persamaan (1.11,a) kita peroleh: 
. Karena kesinambungan fungsinya 
konstan 
harus sama dengan nilai potensial pada permukaan bola bermuatan: 
. Jadi, potensial di semua titik di dalam bola adalah: 
.