Salah satu topik yang paling sulit bagi siswa adalah menyelesaikan persamaan yang mengandung variabel di bawah tanda modulus. Mari kita cari tahu dulu apa hubungannya? Mengapa, misalnya, sebagian besar anak-anak memecahkan persamaan kuadrat seperti kacang, tetapi memiliki begitu banyak masalah dengan konsep yang jauh dari rumit seperti modul?
Menurut pendapat saya, semua kesulitan ini disebabkan oleh kurangnya aturan yang dirumuskan dengan jelas untuk menyelesaikan persamaan dengan modulus. Jadi, putuskan persamaan kuadrat, siswa mengetahui dengan pasti bahwa ia perlu menerapkan rumus diskriminan terlebih dahulu, baru kemudian rumus akar-akar persamaan kuadrat. Apa yang harus dilakukan jika modulus ditemukan dalam persamaan? Kami akan mencoba menjelaskannya dengan jelas rencana yang diperlukan tindakan jika persamaan mengandung sesuatu yang tidak diketahui di bawah tanda modulus. Kami akan memberikan beberapa contoh untuk setiap kasus.
Tapi pertama-tama, mari kita ingat definisi modul. Jadi, modulo nomornya A nomor ini sendiri disebut jika A non-negatif dan -A, jika nomor A kurang dari nol. Anda dapat menulisnya seperti ini:
|sebuah| = a jika a ≥ 0 dan |a| = -a jika a< 0
Membicarakan tentang pengertian geometris modul, harus diingat bahwa setiap bilangan real berhubungan dengan titik tertentu pada sumbu bilangan - ke 
koordinat. Jadi, modul atau nilai mutlak suatu bilangan adalah jarak dari titik tersebut ke titik asal sumbu bilangan. Jarak selalu ditentukan sebagai bilangan positif. Jadi, modulus bilangan negatif adalah bilangan positif. Ngomong-ngomong, bahkan pada tahap ini, banyak siswa yang mulai bingung. Modul bisa berisi bilangan apa saja, namun hasil penggunaan modul selalu berupa bilangan positif.
Sekarang mari kita langsung menyelesaikan persamaannya.
1. Perhatikan persamaan bentuk |x| = c, dimana c adalah bilangan real. Persamaan ini dapat diselesaikan dengan menggunakan definisi modulus.
Kami membagi semua bilangan real menjadi tiga kelompok: kelompok itu Diatas nol, yang kurang dari nol, dan golongan ketiga adalah bilangan 0. Mari kita tulis penyelesaiannya dalam bentuk diagram:
(±c, jika c > 0
Jika |x| = c, maka x = (0, jika c = 0
(tidak ada akar jika dengan< 0
1) |x| = 5, karena 5 > 0, maka x = ±5;
2) |x| = -5, karena -5< 0, то уравнение не имеет корней;
3) |x| = 0, maka x = 0.
2. Persamaan bentuk |f(x)| = b, dimana b > 0. Untuk menyelesaikan persamaan ini, modul harus dihilangkan. Kita melakukannya dengan cara ini: f(x) = b atau f(x) = -b. Sekarang Anda perlu menyelesaikan setiap persamaan yang dihasilkan secara terpisah. Jika pada persamaan awal b< 0, решений не будет.
1) |x+2| = 4, karena 4 > 0, lalu
x + 2 = 4 atau x + 2 = -4
2) |x 2 – 5| = 11, karena 11 > 0, lalu
x 2 – 5 = 11 atau x 2 – 5 = -11
x 2 = 16 x 2 = -6
x = ± 4 tanpa akar
3) |x 2 – 5x| = -8, karena -8< 0, то уравнение не имеет корней.
3. Persamaan berbentuk |f(x)| =g(x). Menurut pengertian modulnya, persamaan tersebut akan mempunyai solusi jika bagian kanan lebih besar dari atau sama dengan nol, yaitu g(x) ≥ 0. Maka kita akan mendapatkan:
f(x) = g(x) atau f(x) = -g(x).
1) |2x – 1| = 5x – 10. Persamaan ini akan berakar jika 5x – 10 ≥ 0. Di sinilah penyelesaian persamaan tersebut dimulai.
1. O.D.Z. 5x – 10 ≥ 0
2. Solusi:
2x – 1 = 5x – 10 atau 2x – 1 = -(5x – 10)
3. Kami menggabungkan O.D.Z. dan penyelesaiannya, kita peroleh:
Akar x = 11/7 tidak sesuai dengan O.D.Z., kurang dari 2, tetapi x = 3 memenuhi kondisi ini.
Jawaban: x = 3
2) |x – 1| = 1 – x 2 .
1. O.D.Z. 1 – x 2 ≥ 0. Selesaikan pertidaksamaan ini dengan menggunakan metode interval:
(1 – x)(1 + x) ≥ 0
2. Solusi:
x – 1 = 1 – x 2 atau x – 1 = -(1 – x 2)
x 2 + x – 2 = 0 x 2 – x = 0
x = -2 atau x = 1 x = 0 atau x = 1
3. Kami menggabungkan solusi dan O.D.Z.:
Hanya akar x = 1 dan x = 0 yang cocok.
Jawaban: x = 0, x = 1.
4. Persamaan bentuk |f(x)| = |g(x)|. Persamaan tersebut setara dengan dua persamaan berikut f(x) = g(x) atau f(x) = -g(x).
1) |x 2 – 5x + 7| = |2x – 5|. Persamaan ini setara dengan dua persamaan berikut:
x 2 – 5x + 7 = 2x – 5 atau x 2 – 5x +7 = -2x + 5
x 2 – 7x + 12 = 0 x 2 – 3x + 2 = 0
x = 3 atau x = 4 x = 2 atau x = 1
Jawaban: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.
5. Persamaan diselesaikan dengan metode substitusi (penggantian variabel). Metode solusi ini paling mudah dijelaskan di contoh spesifik. Jadi, diberikan persamaan kuadrat dengan modulus:
x 2 – 6|x| + 5 = 0. Berdasarkan sifat modulus x 2 = |x| 2, sehingga persamaannya dapat ditulis ulang sebagai berikut:
|x| 2 – 6|x| + 5 = 0. Mari kita lakukan penggantian |x| = t ≥ 0, maka diperoleh:
t 2 – 6t + 5 = 0. Dengan menyelesaikan persamaan ini, kita mendapatkan bahwa t = 1 atau t = 5. Mari kita kembali ke penggantian:
|x| = 1 atau |x| = 5
x = ±1 x = ±5
Jawaban: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.
Mari kita lihat contoh lainnya:
x 2 + |x| – 2 = 0. Berdasarkan sifat modulus x 2 = |x| 2, oleh karena itu
|x| 2 + |x| – 2 = 0. Mari kita lakukan penggantian |x| = t ≥ 0, maka:
t 2 + t – 2 = 0. Selesaikan persamaan ini, kita peroleh t = -2 atau t = 1. Mari kembali ke penggantian:
|x| = -2 atau |x| = 1
Tidak ada akar x = ± 1
Jawaban: x = -1, x = 1.
6. Jenis persamaan lainnya adalah persamaan dengan modulus “kompleks”. Persamaan tersebut mencakup persamaan yang memiliki “modul di dalam modul”. Persamaan jenis ini dapat diselesaikan dengan menggunakan properti modul.
1) |3 – |x|| = 4. Kita akan bertindak dengan cara yang sama seperti persamaan tipe kedua. Karena 4 > 0, maka kita mendapatkan dua persamaan:
3 – |x| = 4 atau 3 – |x| = -4.
Sekarang mari kita nyatakan modulus x pada setiap persamaan, lalu |x| = -1 atau |x| = 7.
Kami menyelesaikan setiap persamaan yang dihasilkan. Tidak ada akar pada persamaan pertama, karena -1< 0, а во втором x = ±7.
Jawab x = -7, x = 7.
2) |3 + |x + 1|| = 5. Kita selesaikan persamaan ini dengan cara yang sama:
3 + |x + 1| = 5 atau 3 + |x + 1| = -5
|x + 1| = 2 |x + 1| = -8
x + 1 = 2 atau x + 1 = -2. Tidak ada akar.
Jawaban: x = -3, x = 1.
Ada juga metode universal menyelesaikan persamaan dengan modulus. Ini adalah metode interval. Tapi kita akan melihatnya nanti.
blog.site, apabila menyalin materi seluruhnya atau sebagian, diperlukan link ke sumber aslinya.
Kalkulator matematika online ini akan membantu Anda menyelesaikan persamaan atau pertidaksamaan dengan moduli. Program untuk menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan dengan moduli tidak hanya memberikan jawaban terhadap masalah, tetapi juga mengarahkan solusi terperinci dengan penjelasan, yaitu. menampilkan proses memperoleh hasil.
Program ini mungkin bermanfaat bagi siswa sekolah menengah sekolah menengah dalam persiapan untuk tes dan ujian, saat menguji pengetahuan sebelum Ujian Negara Bersatu, bagi orang tua untuk mengontrol penyelesaian banyak masalah dalam matematika dan aljabar. Atau mungkin terlalu mahal bagi Anda untuk menyewa seorang tutor atau membeli buku pelajaran baru? Atau apakah Anda hanya ingin menyelesaikannya secepat mungkin? pekerjaan rumah dalam matematika atau aljabar? Dalam hal ini, Anda juga dapat menggunakan program kami dengan solusi terperinci.
Dengan cara ini Anda dapat melakukan pelatihan Anda sendiri dan/atau pelatihan Anda sendiri. adik laki-laki atau saudara perempuan, sedangkan tingkat pendidikan di bidang masalah yang dipecahkan meningkat.
|x| atau abs(x) - modul xMasukkan persamaan atau pertidaksamaan dengan moduli
Ditemukan bahwa beberapa skrip yang diperlukan untuk mengatasi masalah ini tidak dimuat, dan program mungkin tidak berfungsi.
Anda mungkin mengaktifkan AdBlock.
Dalam hal ini, nonaktifkan dan segarkan halaman.
Agar solusinya muncul, Anda perlu mengaktifkan JavaScript.
Berikut adalah petunjuk tentang cara mengaktifkan JavaScript di browser Anda.
Karena Ada banyak orang yang bersedia menyelesaikan masalah, permintaan Anda telah diantri.
Dalam beberapa detik solusinya akan muncul di bawah.
Harap tunggu detik...
Jika kamu melihat kesalahan dalam solusi, lalu Anda dapat menulis tentang hal ini di Formulir Masukan.
Jangan lupa menunjukkan tugas yang mana Anda memutuskan apa masuk ke dalam kolom.
Game, teka-teki, emulator kami:
Sedikit teori.
Persamaan dan pertidaksamaan dengan moduli
Dalam kursus aljabar sekolah dasar, Anda mungkin menemukan persamaan dan pertidaksamaan paling sederhana dengan moduli. Untuk menyelesaikannya, Anda dapat menggunakan metode geometri berdasarkan fakta bahwa \(|x-a| \) adalah jarak garis bilangan antara titik x dan a: \(|x-a| = \rho (x;\; a) \). Misalnya, untuk menyelesaikan persamaan \(|x-3|=2\) Anda perlu mencari titik-titik pada garis bilangan yang berjarak 2 dari titik 3. Ada dua titik seperti itu: \(x_1=1 \) dan \(x_2=5\) .
Menyelesaikan pertidaksamaan \(|2x+7| 
Namun cara utama untuk menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan dengan modulus dikaitkan dengan apa yang disebut “pengungkapan modulus menurut definisi”:
jika \(a \geq 0 \), maka \(|a|=a \);
jika \(a Biasanya, suatu persamaan (pertidaksamaan) dengan modulus direduksi menjadi himpunan persamaan (pertidaksamaan) yang tidak mengandung tanda modulus.
Selain definisi di atas, pernyataan berikut digunakan:
1) Jika \(c > 0\), maka persamaan \(|f(x)|=c \) ekuivalen dengan himpunan persamaan: \(\left[\begin(array)(l) f(x )=c \\ f(x)=-c \end(array)\kanan.\)
2) Jika \(c > 0 \), maka pertidaksamaan \(|f(x)| 3) Jika \(c \geq 0 \), maka pertidaksamaan \(|f(x)| > c \) adalah ekuivalen dengan himpunan pertidaksamaan : \(\left[\begin(array)(l) f(x) c \end(array)\right. \)
4) Jika kedua ruas pertidaksamaan \(f(x) CONTOH 1. Selesaikan persamaan \(x^2 +2|x-1| -6 = 0\).
Jika \(x-1 \geq 0\), maka \(|x-1| = x-1\) dan persamaan yang diberikan mengambil formulir
\(x^2 +2(x-1) -6 = 0 \Panah kanan x^2 +2x -8 = 0 \).
Jika \(x-1 \(x^2 -2(x-1) -6 = 0 \Panah kanan x^2 -2x -4 = 0 \).
Jadi, persamaan yang diberikan harus dipertimbangkan secara terpisah di masing-masing dari dua kasus ini.
1) Misalkan \(x-1 \geq 0 \), mis. \(x\geq 1\). Dari persamaan \(x^2 +2x -8 = 0\) kita menemukan \(x_1=2, \; x_2=-4\). Kondisi \(x \geq 1 \) hanya dipenuhi oleh nilai \(x_1=2\).
2) Misalkan \(x-1 Jawaban: \(2; \;\; 1-\sqrt(5) \)
CONTOH 2. Selesaikan persamaan \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3)\).
Cara pertama(perluasan modul menurut definisi).
Dengan alasan seperti pada contoh 1, kita sampai pada kesimpulan bahwa persamaan yang diberikan perlu dipertimbangkan secara terpisah jika dua kondisi terpenuhi: \(x^2-6x+7 \geq 0 \) atau \(x^2-6x+7
1) Jika \(x^2-6x+7 \geq 0 \), maka \(|x^2-6x+7| = x^2-6x+7 \) dan persamaannya berbentuk \(x ^2 -6x+7 = \frac(5x-9)(3) \Panah Kanan 3x^2-23x+30=0 \). Setelah menyelesaikan persamaan kuadrat ini, kita mendapatkan: \(x_1=6, \; x_2=\frac(5)(3) \).
Mari kita cari tahu apakah nilai \(x_1=6\) memenuhi kondisi \(x^2-6x+7 \geq 0\). Untuk melakukan ini, mari kita gantikan nilai yang ditentukan menjadi pertidaksamaan kuadrat. Kita mendapatkan: \(6^2-6 \cdot 6+7 \geq 0 \), yaitu \(7 \geq 0 \) adalah pertidaksamaan sejati. Artinya \(x_1=6\) adalah akar persamaan yang diberikan.
Mari kita cari tahu apakah nilai \(x_2=\frac(5)(3)\) memenuhi kondisi \(x^2-6x+7 \geq 0\). Untuk melakukan ini, substitusikan nilai yang ditunjukkan ke dalam pertidaksamaan kuadrat. Kita mendapatkan: \(\left(\frac(5)(3) \right)^2 -\frac(5)(3) \cdot 6 + 7 \geq 0 \), yakni \(\frac(25)(9) -3 \geq 0 \) adalah pertidaksamaan salah. Artinya \(x_2=\frac(5)(3)\) bukan akar persamaan yang diberikan.
2) Jika \(x^2-6x+7 Nilai \(x_3=3\) memenuhi kondisi \(x^2-6x+7 Nilai \(x_4=\frac(4)(3) \) tidak memenuhi kondisi \ (x^2-6x+7 Jadi, persamaan di atas mempunyai dua akar: \(x=6, \; x=3 \).
Cara kedua. Jika persamaan \(|f(x)| = h(x) \) diberikan, maka dengan \(h(x) \(\left[\begin(array)(l) x^2-6x+7 = \frac (5x-9)(3) \\ x^2-6x+7 = -\frac(5x-9)(3) \end(array)\kanan. \)
Kedua persamaan ini diselesaikan di atas (menggunakan metode pertama untuk menyelesaikan persamaan yang diberikan), akar-akarnya adalah sebagai berikut: \(6,\; \frac(5)(3),\; 3,\; \frac(4 )(3)\). Kondisi \(\frac(5x-9)(3) \geq 0 \) dari keempat nilai ini hanya dipenuhi oleh dua: 6 dan 3. Artinya persamaan yang diberikan mempunyai dua akar: \(x=6 , \; x=3 \ ).
Cara ketiga(grafis).
1) Mari kita buat grafik fungsi \(y = |x^2-6x+7| \). Pertama, mari kita buat parabola \(y = x^2-6x+7\). Kita punya \(x^2-6x+7 = (x-3)^2-2 \). Grafik fungsi \(y = (x-3)^2-2\) dapat diperoleh dari grafik fungsi \(y = x^2\) dengan cara menggesernya 3 satuan skala ke kanan (sepanjang garis sumbu x) dan 2 satuan skala ke bawah (sepanjang sumbu y). Garis lurus x=3 adalah sumbu parabola yang kita minati. Sebagai titik kontrol untuk pembuatan plot yang lebih akurat, akan lebih mudah untuk mengambil titik (3; -2) - titik puncak parabola, titik (0; 7) dan titik (6; 7) simetris terhadap sumbu parabola .
Untuk sekarang membuat grafik fungsi \(y = |x^2-6x+7| \), Anda tidak perlu mengubah bagian parabola yang dibuat yang terletak tidak di bawah sumbu x, dan mencerminkan bagian tersebut parabola yang terletak di bawah sumbu x relatif terhadap sumbu x.
2) Mari kita membuat grafik fungsi linear\(y = \frac(5x-9)(3)\). Lebih mudah untuk mengambil titik (0; –3) dan (3; 2) sebagai titik kontrol.
Yang penting titik x = 1,8 perpotongan garis lurus dengan sumbu absis terletak di sebelah kanan kiri titik perpotongan parabola dengan sumbu absis - inilah titik \(x=3-\ sqrt(2) \) (karena \(3-\sqrt(2 ) 3) Dilihat dari gambarnya, grafiknya berpotongan di dua titik - A(3; 2) dan B(6; 7). poin x = 3 dan x = 6 ke dalam persamaan yang diberikan, kami yakin bahwa keduanya Dalam nilai lain, persamaan numerik yang benar diperoleh. Ini berarti hipotesis kami dikonfirmasi - persamaan memiliki dua akar: x = 3 dan x = 6 Jawaban: 3;6.
Komentar. Metode grafis, meskipun elegan, tidak terlalu dapat diandalkan. Dalam contoh yang dibahas, ini berhasil hanya karena akar persamaannya adalah bilangan bulat.
CONTOH 3. Selesaikan persamaan \(|2x-4|+|x+3| = 8\)
Cara pertama
Ekspresi 2x–4 menjadi 0 di titik x = 2, dan ekspresi x + 3 menjadi 0 di titik x = –3. Kedua titik ini membagi garis bilangan menjadi tiga interval: \(x
Pertimbangkan interval pertama: \((-\infty; \; -3) \).
Jika x Perhatikan interval kedua: \([-3; \; 2) \).
Jika \(-3 \leq x Pertimbangkan interval ketiga: \()