Jadi, panjang vektor dihitung sebagai akar kuadrat dari jumlah kuadrat koordinatnya
. Panjang vektor berdimensi n dihitung dengan cara yang sama
. Jika kita ingat bahwa setiap koordinat suatu vektor adalah selisih antara koordinat ujung dan titik awal, maka kita peroleh rumus panjang ruas tersebut, yaitu. Jarak euclidean antar titik.

Produk skalar dua vektor pada suatu bidang adalah hasil kali panjang kedua vektor tersebut dan kosinus sudut antara keduanya:
. Dapat dibuktikan hasil kali skalar dua buah vektor = (x 1, x 2) dan = (y 1 , y 2) sama dengan jumlah hasil kali koordinat-koordinat yang bersesuaian dari vektor-vektor ini:
= x 1 * kamu 1 + x 2 * kamu 2 .

Dalam ruang berdimensi n, hasil kali skalar vektor X= (x 1, x 2,...,x n) dan Y= (y 1, y 2,...,yn) didefinisikan sebagai jumlah dari hasil kali koordinatnya yang bersesuaian: X*Y = x 1 * y 1 + x 2 * y 2 + ... + x n * y n.

Operasi perkalian vektor satu sama lain mirip dengan perkalian matriks baris dengan matriks kolom. Kami tekankan bahwa hasilnya adalah angka, bukan vektor.

Produk skalar vektor memiliki sifat (aksioma) sebagai berikut:

1) Sifat komutatif: X*Y=Y*X.

2) Sifat distributif terhadap penjumlahan: X(Y+Z) =X*Y+X*Z.

3) Untuk sembarang bilangan real 
.

4)
, ifX bukan vektor nol;
ifX adalah vektor nol.

Ruang vektor linier di mana produk skalar dari vektor-vektor yang memenuhi empat aksioma yang bersesuaian diberikan disebut Vektor linier Euclideanruang angkasa.

Sangat mudah untuk melihat bahwa ketika kita mengalikan suatu vektor dengan vektor itu sendiri, kita mendapatkan kuadrat panjangnya. Jadi itu berbeda panjang sebuah vektor dapat didefinisikan sebagai akar kuadrat dari kuadrat skalarnya :.

Panjang vektor memiliki sifat-sifat berikut:

1) |X| = 0Х = 0;

2) |X| = ||*|X|, dimana adalah bilangan real;

3) |X*Y||X|*|Y| ( Ketimpangan Cauchy-Bunyakovsky);

4) |X+Y||X|+|Y| ( pertidaksamaan segitiga).

Sudut  antar vektor dalam ruang berdimensi n ditentukan berdasarkan konsep perkalian skalar. Faktanya, jika
, Itu
. Pecahan ini tidak lebih besar dari satu (menurut pertidaksamaan Cauchy-Bunyakovsky), jadi dari sini kita dapat mencari .

Kedua vektor tersebut disebut ortogonal atau tegak lurus, jika hasil kali skalarnya sama dengan nol. Dari definisi perkalian skalar dapat disimpulkan bahwa vektor nol adalah ortogonal terhadap sembarang vektor. Jika kedua vektor ortogonal bukan nol, maka cos= 0, yaitu=/2 = 90 o.

Mari kita lihat kembali Gambar 7.4. Terlihat dari gambar bahwa kosinus sudut kemiringan vektor terhadap sumbu horizontal dapat dihitung sebagai
, dan kosinus sudutkemiringan vektor terhadap sumbu vertikal adalah sebagai
. Nomor-nomor ini biasanya dipanggil cosinus arah. Sangat mudah untuk memverifikasi bahwa jumlah kuadrat cosinus arah selalu sama dengan satu: cos 2 +cos 2 = 1. Demikian pula, konsep cosinus arah dapat diperkenalkan untuk ruang berdimensi lebih tinggi.

Dasar ruang vektor

Untuk vektor, kita dapat mendefinisikan konsepnya kombinasi linear,ketergantungan linier Dan kemerdekaan mirip dengan bagaimana konsep ini diperkenalkan untuk baris matriks. Benar juga bahwa jika vektor-vektor tersebut bergantung linier, maka setidaknya salah satu vektor dapat dinyatakan secara linier dalam bentuk vektor-vektor lainnya (yaitu, merupakan kombinasi linier dari vektor-vektor tersebut). Kebalikannya juga benar: jika salah satu vektor merupakan kombinasi linier dari vektor lainnya, maka semua vektor tersebut bersama-sama bergantung linier.

Perhatikan bahwa jika di antara vektor-vektor a l , a 2 ,...am terdapat sebuah vektor nol, maka himpunan vektor-vektor tersebut tentu bergantung linier. Faktanya, kita mendapatkan l a l + 2 a 2 +...+ m a m = 0 jika, misalnya, kita menyamakan koefisien j pada vektor nol dengan satu, dan semua koefisien lainnya dengan nol. Dalam hal ini, tidak semua koefisien akan sama dengan nol ( j ≠ 0).

Selain itu, jika beberapa bagian vektor dari himpunan vektor bergantung linier, maka semua vektor tersebut bergantung linier. Faktanya, jika beberapa vektor menghasilkan vektor nol dalam kombinasi liniernya dengan koefisien yang tidak keduanya nol, maka vektor-vektor yang tersisa dikalikan dengan koefisien nol dapat ditambahkan ke jumlah hasil kali ini, dan hasilnya akan tetap menjadi vektor nol.

Bagaimana cara menentukan apakah vektor bergantung linier?

Sebagai contoh, mari kita ambil tiga vektor: a 1 = (1, 0, 1, 5), a 2 = (2, 1, 3, -2) dan a 3 = (3, 1, 4, 3). Mari kita buat matriks darinya, yang di dalamnya akan menjadi kolom:

Kemudian pertanyaan tentang ketergantungan linier akan direduksi menjadi penentuan rank matriks ini. Jika ternyata sama dengan tiga, maka ketiga kolom tersebut bebas linier, dan jika ternyata lebih kecil, maka ini menunjukkan ketergantungan linier dari vektor-vektor tersebut.

Karena pangkatnya 2, vektor-vektornya bergantung linier.

Perhatikan bahwa solusi terhadap masalah ini juga dapat dimulai dengan penalaran yang didasarkan pada definisi independensi linier. Yaitu, buat persamaan vektor  l a l + 2 a 2 + 3 a 3 = 0, yang berbentuk l *(1, 0, 1, 5) + 2 *(2, 1, 3, - 2) + 3 *(3, 1, 4, 3) = (0, 0, 0, 0). Kemudian kita mendapatkan sistem persamaan:

Penyelesaian sistem ini dengan menggunakan metode Gaussian akan direduksi menjadi matriks langkah yang sama, hanya saja matriks tersebut akan memiliki satu kolom lagi - suku bebas. Semuanya akan menjadi nol, karena transformasi linier dari nol tidak dapat memberikan hasil yang berbeda. Sistem persamaan yang diubah akan berbentuk:

Solusi untuk sistem ini adalah (-с;-с; с), di mana с adalah bilangan sembarang; misalnya (-1;-1;1). Artinya jika kita ambil  l = -1; 2 =-1 dan 3 = 1, maka l a l + 2 a 2 + 3 a 3 = 0, yaitu vektor-vektornya sebenarnya bergantung linier.

Dari contoh yang diselesaikan menjadi jelas bahwa jika kita mengambil jumlah vektor yang lebih besar dari dimensi ruang, maka vektor-vektor tersebut pasti bergantung linier. Faktanya, jika kita mengambil lima vektor dalam contoh ini, kita akan mendapatkan matriks berukuran 4 x 5, yang pangkatnya tidak boleh lebih dari empat. Itu. jumlah maksimum kolom bebas linier tetap tidak lebih dari empat. Dua, tiga atau empat vektor empat dimensi dapat bebas linier, namun lima atau lebih tidak bisa. Akibatnya, tidak lebih dari dua vektor dapat bebas linier pada bidang tersebut. Tiga vektor apa pun dalam ruang dua dimensi bergantung linier. Dalam ruang tiga dimensi, empat (atau lebih) vektor selalu bergantung linier. Dan seterusnya.

Itu sebabnya dimensi ruang dapat didefinisikan sebagai jumlah maksimum vektor-vektor bebas linier yang dapat berada di dalamnya.

Himpunan n vektor bebas linier pada ruang berdimensi n R disebut dasar ruang ini.

Dalil. Setiap vektor ruang linier dapat direpresentasikan sebagai kombinasi linier dari vektor basis, dan dengan cara yang unik.

Bukti. Misalkan vektor-vektor e l , e 2 ,...en membentuk ruang berdimensi basis R. Mari kita buktikan bahwa sembarang vektor X merupakan kombinasi linier dari vektor-vektor tersebut. Karena bersama-sama dengan vektor X, banyaknya vektor akan menjadi (n +1), vektor-vektor (n +1) ini akan bergantung linier, yaitu. ada bilangan l , 2 ,..., n , yang tidak sekaligus sama dengan nol, sehingga

 l e l + 2 e 2 +...+ n e n +Х = 0

Dalam hal ini, 0, karena jika tidak, kita akan mendapatkan l e l + 2 e 2 +...+ n e n = 0, dimana tidak semua koefisien l , 2 ,..., n sama dengan nol. Ini berarti bahwa vektor-vektor basisnya akan bergantung linier. Oleh karena itu, kita dapat membagi kedua ruas persamaan pertama dengan:

( l /)e l + ( 2 /)e 2 +...+ ( n /)e n + X = 0

Х = -( l /)e l - ( 2 /)e 2 -...- ( n /)e n

Х = x l e l +x 2 e 2 +...+x n e n,

dimana x j = -( j /),
.

Sekarang kita buktikan bahwa representasi dalam bentuk kombinasi linier tersebut adalah unik. Mari kita asumsikan sebaliknya, yaitu. bahwa ada representasi lain:

X = y l e l +y 2 e 2 +...+y n e n

Mari kita kurangi darinya suku demi suku ekspresi yang diperoleh sebelumnya:

0 = (y l – x 1)e l + (y 2 – x 2)e 2 +...+ (y n – x n)e n

Karena vektor-vektor basisnya bebas linier, kita memperoleh bahwa (y j - x j) = 0,
, yaitu y j ​​= x j . Jadi ekspresinya ternyata sama. Teorema tersebut telah terbukti.

Ekspresi X = x l e l +x 2 e 2 +...+x n e n disebut penguraian vektor X berdasarkan e l, e 2,...e n, dan bilangan x l, x 2,...x n - koordinat vektor x relatif terhadap basis ini, atau dalam basis ini.

Dapat dibuktikan bahwa jika n vektor-vektor tak nol pada ruang Euclidean berdimensi n ortogonal berpasangan, maka vektor-vektor tersebut membentuk basis. Faktanya, mari kalikan kedua ruas persamaan l e l + 2 e 2 +...+ n e n = 0 dengan sembarang vektor e i. Kita peroleh  l (e l *е i) +  2 (e 2 *е i) +...+  n (e n *е i) = 0   i (ei *е i) = 0   i = 0 untuk  i.

Vektor e l , e 2 ,...e n dari bentuk ruang Euclidean berdimensi n dasar ortonormal, jika vektor-vektor ini ortogonal berpasangan dan norma masing-masing vektor sama dengan satu, yaitu. jika e i *e j = 0 untuk i≠j и |е i | = 1 untuki.

Teorema (tidak ada bukti). Pada setiap ruang Euclidean berdimensi n terdapat basis ortonormal.

Contoh basis ortonormal adalah sistem yang terdiri dari n vektor satuan e i , yang komponen ke-i sama dengan satu dan komponen sisanya sama dengan nol. Setiap vektor tersebut disebut ort. Misalnya, vektor vektor (1, 0, 0), (0, 1, 0) dan (0, 0, 1) membentuk basis ruang tiga dimensi.

Produk skalar vektor (selanjutnya disebut SP). teman-teman! Ujian matematika mencakup sekelompok masalah penyelesaian vektor. Kami telah mempertimbangkan beberapa masalah. Anda dapat melihatnya di kategori “Vektor”. Secara umum teori vektor tidak rumit, yang utama adalah mempelajarinya secara konsisten. Perhitungan dan operasi vektor pada mata pelajaran matematika sekolah sederhana, rumusnya tidak rumit. Melihat. Pada artikel kali ini kita akan menganalisis soal-soal SP vektor (termasuk dalam Unified State Examination). Sekarang “perendaman” dalam teori:

H Untuk mencari koordinat suatu vektor, Anda perlu mengurangi koordinat ujungnyakoordinat asal yang sesuai

Dan selanjutnya:

*Panjang vektor (modulus) ditentukan sebagai berikut:

Rumus ini harus diingat!!!

Mari kita tunjukkan sudut antar vektor:

Jelas bahwa ini dapat bervariasi dari 0 hingga 180 0(atau dalam radian dari 0 hingga Pi).

Kita dapat menarik beberapa kesimpulan tentang tanda hasil kali skalar. Panjang vektornya adalah nilai positif, Sudah jelas. Artinya, tanda hasil kali skalar bergantung pada nilai kosinus sudut antar vektor.

Kemungkinan kasus:

1. Jika sudut antar vektor lancip (dari 0 0 sampai 90 0), maka kosinus sudut tersebut bernilai positif.

2. Jika sudut antar vektor tumpul (dari 90 0 sampai 180 0), maka kosinus sudut tersebut bernilai negatif.

*Pada nol derajat, yaitu ketika vektor-vektornya mempunyai arah yang sama, kosinus sama dengan satu dan karenanya hasilnya akan positif.

Pada 180 o, yaitu ketika vektor-vektornya berlawanan arah, kosinusnya sama dengan minus satu,dan karenanya hasilnya akan negatif.

Sekarang POIN PENTING!

Pada 90 o, yaitu ketika vektor-vektornya tegak lurus satu sama lain, kosinusnya sama dengan nol, dan oleh karena itu SP sama dengan nol. Fakta ini (konsekuensi, kesimpulan) digunakan dalam menyelesaikan banyak masalah yang sedang kita bicarakan posisi relatif vektor, termasuk dalam masalah yang termasuk dalam bank terbuka tugas matematika.

Mari kita rumuskan pernyataan: hasil kali skalar sama dengan nol jika dan hanya jika vektor-vektor tersebut terletak pada garis tegak lurus.

Jadi, rumus vektor SP:

Jika koordinat vektor-vektor atau koordinat titik-titik awal dan akhir diketahui, maka kita selalu dapat mencari sudut antara vektor-vektor tersebut:

Mari kita pertimbangkan tugasnya:

27724 Tentukan hasil kali skalar vektor a dan b.

Kita dapat mencari hasil kali skalar vektor menggunakan salah satu dari dua rumus:

Sudut antar vektor tidak diketahui, tetapi kita dapat dengan mudah mencari koordinat vektor dan kemudian menggunakan rumus pertama. Karena titik asal kedua vektor berimpit dengan titik asal koordinat, maka koordinat vektor-vektor tersebut sama dengan koordinat ujung-ujungnya, yaitu

Cara mencari koordinat suatu vektor dijelaskan pada.

Kami menghitung:

Jawaban: 40

Mari kita cari koordinat vektornya dan gunakan rumus:

Untuk mencari koordinat suatu vektor, perlu dikurangi koordinat titik awalnya dari koordinat ujung vektor, yang artinya

Kami menghitung produk skalar:

Jawaban: 40

Tentukan sudut antara vektor a dan b. Berikan jawaban Anda dalam derajat.

Misalkan koordinat vektornya berbentuk:

Untuk mencari sudut antar vektor, kita menggunakan rumus hasil kali skalar vektor:

Kosinus sudut antar vektor:

Karena itu:

Koordinat vektor-vektor ini sama:

Mari kita substitusikan ke dalam rumus:

Sudut antar vektor adalah 45 derajat.

Jawaban: 45

Produk titik dari vektor

Kami terus menangani vektor. Pada pelajaran pertama Vektor untuk boneka Kami melihat konsep vektor, tindakan dengan vektor, koordinat vektor, dan masalah paling sederhana dengan vektor. Jika Anda pertama kali membuka halaman ini dari mesin pencari, saya sangat menyarankan untuk membaca artikel pengantar di atas, karena untuk menguasai materi Anda harus memahami istilah dan notasi yang saya gunakan, memiliki pengetahuan dasar tentang vektor dan mampu menyelesaikan permasalahan mendasar. Pelajaran ini merupakan kelanjutan logis dari topik tersebut, dan di dalamnya saya akan menganalisisnya secara mendetail tugas-tugas khas, yang menggunakan produk skalar vektor. Ini adalah kegiatan yang SANGAT PENTING.. Cobalah untuk tidak melewatkan contoh; contoh-contoh tersebut memberikan bonus yang berguna - latihan akan membantu Anda mengkonsolidasikan materi yang telah Anda bahas dan menjadi lebih baik dalam memecahkan masalah umum dalam geometri analitik.

Penjumlahan vektor, perkalian vektor dengan bilangan.... Naif jika berpikir bahwa ahli matematika belum menemukan hal lain. Selain tindakan yang telah dibahas, masih ada beberapa operasi lain dengan vektor, yaitu: perkalian titik dari vektor, produk vektor dari vektor Dan produk campuran vektor. Produk skalar vektor sudah kita kenal di sekolah, dua produk lainnya secara tradisional berhubungan dengan kursus matematika yang lebih tinggi. Topiknya sederhana, algoritma untuk memecahkan banyak masalah mudah dimengerti dan dimengerti. Satu-satunya. Ada cukup banyak informasi, jadi tidak diinginkan untuk mencoba menguasai dan menyelesaikan SEMUANYA SEKALI. Hal ini terutama berlaku untuk boneka, percayalah, penulis sama sekali tidak ingin merasa seperti Chikatilo dari matematika. Yah, tentu saja bukan dari matematika juga =) Siswa yang lebih siap dapat menggunakan materi secara selektif, dalam arti tertentu, "mendapatkan" pengetahuan yang hilang; bagi Anda saya akan menjadi Count Dracula yang tidak berbahaya =)

Mari kita akhirnya membuka pintu dan menyaksikan dengan antusias apa yang terjadi jika dua vektor bertemu satu sama lain...

Definisi produk skalar vektor.
Properti produk skalar. Tugas khas

Konsep produk titik

Tentang pertama sudut antar vektor. Saya rasa semua orang secara intuitif memahami apa itu sudut antar vektor, tetapi untuk berjaga-jaga, sedikit lebih detail. Mari kita pertimbangkan vektor bebas bukan nol dan . Jika Anda memplot vektor-vektor ini dari titik sembarang, Anda akan mendapatkan gambaran yang sudah banyak dibayangkan secara mental:

Saya akui, di sini saya menggambarkan situasinya hanya pada tingkat pemahaman. Jika Anda memerlukan definisi yang ketat tentang sudut antar vektor, silakan merujuk ke buku teks, untuk masalah praktis, pada prinsipnya, tidak ada gunanya bagi kami. Juga DI SINI DAN DI SINI saya akan mengabaikan vektor nol di beberapa tempat karena signifikansi praktisnya yang rendah. Saya membuat reservasi khusus untuk pengunjung situs tingkat lanjut yang mungkin mencela saya karena ketidaklengkapan teoretis dari beberapa pernyataan berikutnya.

dapat mengambil nilai dari 0 hingga 180 derajat (0 hingga radian), inklusif. Secara analitis, fakta ini ditulis dalam bentuk pertidaksamaan ganda: atau (dalam radian).

Dalam literatur, simbol sudut sering kali dilewati dan ditulis begitu saja.

Definisi: Hasil kali skalar dua vektor adalah ANGKA yang sama dengan hasil kali panjang vektor-vektor tersebut dan kosinus sudut di antara keduanya:

Ini adalah definisi yang cukup ketat.

Kami fokus pada informasi penting:

Penamaan: produk skalar dilambangkan dengan atau secara sederhana.

Hasil operasinya adalah ANGKA: Vektor dikalikan dengan vektor, dan hasilnya berupa bilangan. Memang benar, jika panjang suatu vektor adalah bilangan, kosinus suatu sudut adalah bilangan, maka hasil kali vektor-vektor tersebut juga akan menjadi angka.

Hanya beberapa contoh pemanasan:

Contoh 1

Larutan: Kami menggunakan rumusnya . DI DALAM pada kasus ini:

Menjawab:

Nilai cosinus dapat ditemukan di tabel trigonometri. Saya sarankan untuk mencetaknya - ini akan dibutuhkan di hampir semua bagian menara dan akan dibutuhkan berkali-kali.

Dari sudut pandang matematis murni, perkalian skalar tidak berdimensi, artinya hasilnya dalam hal ini hanyalah bilangan dan hanya itu. Dari sudut pandang masalah fisika, produk skalar selalu memiliki nilai tertentu arti fisik, yaitu, setelah hasilnya, Anda perlu menunjukkan satu atau beberapa unit fisik lainnya. Contoh kanonik penghitungan kerja suatu gaya dapat ditemukan di buku teks mana pun (rumusnya persis merupakan produk skalar). Usaha suatu gaya diukur dalam Joule, oleh karena itu jawabannya akan ditulis secara spesifik, misalnya .

Contoh 2

Temukan jika , dan sudut antar vektor sama dengan .

Ini adalah contoh untuk keputusan independen, jawabannya ada di akhir pelajaran.

Sudut antara vektor dan nilai perkalian titik

Pada Contoh 1 hasil kali skalar ternyata positif, dan pada Contoh 2 hasilnya negatif. Mari kita cari tahu apa yang menentukan tanda hasil kali skalar. Mari kita lihat rumus kita: . Panjang vektor bukan nol selalu positif: , sehingga tandanya hanya bergantung pada nilai kosinus.

Catatan: Untuk lebih memahami informasi di bawah ini, ada baiknya mempelajari grafik kosinus di manual Grafik fungsi dan properti. Lihat bagaimana kosinus berperilaku pada segmen tersebut.

Seperti yang telah disebutkan, sudut antar vektor dapat bervariasi , dan kasus berikut mungkin terjadi:

1) Jika sudut antar vektor pedas: (dari 0 hingga 90 derajat), lalu , Dan produk titiknya akan positif diarahkan bersama, maka sudut antara keduanya dianggap nol, dan hasil kali skalarnya juga positif. Karena , rumusnya disederhanakan: .

2) Jika sudut antar vektor tumpul: (dari 90 hingga 180 derajat), lalu , dan dengan demikian, perkalian titik bernilai negatif: . Kasus khusus: jika vektor arah berlawanan, maka sudut antara keduanya dihitung diperluas: (180 derajat). Produk skalar juga negatif

Pernyataan sebaliknya juga benar:

1) Jika , maka sudut antara vektor-vektor tersebut lancip. Atau, vektor-vektornya searah.

2) Jika , maka sudut antara vektor-vektor tersebut tumpul. Atau, vektor-vektornya berada dalam arah yang berlawanan.

Namun kasus ketiga adalah hal yang menarik:

3) Jika sudut antar vektor lurus: (90 derajat), lalu produk skalar adalah nol: . Kebalikannya juga benar: jika, maka. Pernyataan tersebut dapat dirumuskan secara ringkas sebagai berikut: Hasil kali skalar dua vektor adalah nol jika dan hanya jika vektor-vektor tersebut ortogonal. Pendek notasi matematika:

! Catatan : Mari kita ulangi dasar-dasar logika matematika: Ikon konsekuensi logis dua sisi biasanya dibaca "jika dan hanya jika", "jika dan hanya jika". Seperti yang Anda lihat, panah diarahkan ke kedua arah - "dari ini mengikuti ini, dan sebaliknya - dari itu mengikuti ini". Ngomong-ngomong, apa bedanya dengan ikon ikuti satu arah? Ikon tersebut menyatakan hanya itu, bahwa “dari ini mengikuti ini”, dan bukanlah fakta bahwa yang terjadi adalah sebaliknya. Misalnya: , tetapi tidak semua hewan adalah macan kumbang, jadi dalam hal ini Anda tidak dapat menggunakan ikon tersebut. Pada saat yang sama, alih-alih ikon Bisa gunakan ikon satu sisi. Misalnya, saat menyelesaikan soal, kami menemukan bahwa kami menyimpulkan bahwa vektor-vektornya ortogonal: - entri seperti itu akan benar, dan bahkan lebih tepat daripada .

Kasus ketiga mempunyai arti praktis yang besar, karena ini memungkinkan Anda memeriksa apakah vektor ortogonal atau tidak. Kita akan memecahkan masalah ini di bagian kedua pelajaran.

Properti produk titik

Mari kita kembali ke situasi ketika dua vektor diarahkan bersama. Dalam hal ini, sudut di antara keduanya adalah nol, , dan rumus hasil kali skalar berbentuk: .

Apa jadinya jika suatu vektor dikalikan dengan dirinya sendiri? Jelas bahwa vektor sejajar dengan dirinya sendiri, jadi kita menggunakan rumus sederhana di atas:

Nomor tersebut dipanggil skalar persegi vektor, dan dilambangkan sebagai .

Dengan demikian, kuadrat skalar suatu vektor sama dengan kuadrat panjang vektor tersebut:

Dari persamaan tersebut kita dapat memperoleh rumus untuk menghitung panjang vektor:

Sejauh ini tampaknya masih belum jelas, namun tujuan pembelajaran akan menempatkan segalanya pada tempatnya. Untuk memecahkan masalah kita juga membutuhkannya sifat perkalian titik.

Untuk vektor sembarang dan bilangan apa pun, sifat-sifat berikut ini berlaku:

1) – komutatif atau komutatif hukum produk skalar.

2) – distribusi atau distributif hukum produk skalar. Sederhananya, Anda bisa membuka tanda kurung.

3) – asosiatif atau asosiatif hukum produk skalar. Konstanta dapat diturunkan dari produk skalar.

Seringkali segala macam sifat (yang juga perlu dibuktikan!) dirasakan oleh siswa sebagai sampah yang tidak perlu, yang hanya perlu Anda hafal dan lupakan dengan aman segera setelah ujian. Tampaknya yang penting di sini, semua orang sudah tahu sejak kelas satu bahwa menata ulang faktor-faktor tidak mengubah produk: . Saya harus memperingatkan Anda bahwa dalam matematika yang lebih tinggi, mudah untuk mengacaukan segalanya dengan pendekatan seperti itu. Jadi, misalnya, sifat komutatif tidak berlaku matriks aljabar. Hal ini juga tidak benar produk vektor dari vektor. Oleh karena itu, paling tidak, lebih baik mempelajari sifat-sifat apa pun yang Anda temui dalam kursus matematika tingkat tinggi untuk memahami apa yang dapat Anda lakukan dan apa yang tidak dapat Anda lakukan.

Contoh 3

.

Larutan: Pertama, mari kita perjelas situasinya dengan vektor. Apa ini sebenarnya? Jumlah vektor adalah vektor yang terdefinisi dengan baik, yang dilambangkan dengan . Interpretasi geometris dari tindakan dengan vektor dapat ditemukan di artikel Vektor untuk boneka. Peterseli yang sama dengan vektor adalah jumlah dari vektor dan .

Jadi sesuai dengan kondisi tersebut, perlu dicari hasil kali skalarnya. Secara teori, Anda perlu menerapkan rumus kerja , tetapi masalahnya adalah kita tidak mengetahui panjang vektor dan sudut di antara keduanya. Namun kondisi tersebut memberikan parameter serupa untuk vektor, jadi kita akan mengambil rute yang berbeda:

(1) Substitusikan ekspresi vektor-vektor tersebut.

(2) Kami membuka tanda kurung sesuai dengan aturan perkalian polinomial, twister lidah yang vulgar dapat ditemukan di artikel Bilangan kompleks atau Mengintegrasikan Fungsi Pecahan-Rasional. Saya tidak akan mengulanginya =) Omong-omong, properti distributif produk skalar memungkinkan kita membuka tanda kurung. Kami punya hak.

(3) Pada suku pertama dan terakhir kita tuliskan secara kompak kuadrat skalar dari vektor-vektor: . Pada suku kedua kita menggunakan komutabilitas produk skalar: .

(4) Kami menyajikan istilah serupa: .

(5) Pada suku pertama kita menggunakan rumus skalar kuadrat, yang telah disebutkan belum lama ini. Oleh karena itu, pada istilah terakhir, hal yang sama berlaku: . Kami memperluas suku kedua sesuai dengan rumus standar .

(6) Gantikan kondisi ini , dan HATI-HATI melakukan perhitungan akhir.

Menjawab:

Nilai negatif hasil kali skalar menyatakan fakta bahwa sudut antar vektor adalah tumpul.

Masalahnya biasa saja, berikut contoh penyelesaiannya sendiri:

Contoh 4

Temukan produk skalar vektor dan jika diketahui .

Sekarang tugas umum lainnya, hanya untuk rumus baru untuk panjang sebuah vektor. Notasi di sini akan sedikit tumpang tindih, jadi untuk lebih jelasnya saya akan menulis ulang dengan huruf yang berbeda:

Contoh 5

Tentukan panjang vektor jika .

Larutan akan menjadi sebagai berikut:

(1) Kami menyediakan ekspresi untuk vektor.

(2) Kita menggunakan rumus panjang: , dan seluruh ekspresi ve bertindak sebagai vektor “ve”.

(3) Kami menggunakan rumus sekolah untuk kuadrat jumlah tersebut. Perhatikan cara kerjanya di sini dengan cara yang aneh: – pada kenyataannya, ini adalah kuadrat selisihnya, dan, pada kenyataannya, begitulah adanya. Bagi yang berkeinginan dapat menyusun ulang vektor-vektornya: - Hal yang sama terjadi, hingga penataan ulang suku-sukunya.

(4) Yang berikut ini sudah familiar dari dua soal sebelumnya.

Menjawab:

Karena kita berbicara tentang panjang, jangan lupa untuk menunjukkan dimensi - “satuan”.

Contoh 6

Tentukan panjang vektor jika .

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri. Solusi lengkap dan jawabannya di akhir pelajaran.

Kami terus memeras hal-hal yang berguna dari perkalian titik. Mari kita lihat rumus kita lagi . Dengan menggunakan aturan proporsi, kita mengembalikan panjang vektor ke penyebut ruas kiri:

Mari kita tukar bagiannya:

Apa arti dari rumus ini? Jika panjang dua vektor dan hasil kali skalarnya diketahui, maka kosinus sudut antara vektor-vektor tersebut, dan akibatnya, sudut itu sendiri, dapat dihitung.

Apakah perkalian titik merupakan suatu bilangan? Nomor. Apakah panjang vektor merupakan bilangan? Angka. Artinya pecahan juga merupakan bilangan. Dan jika kosinus sudutnya diketahui: , lalu menggunakan fungsi terbalik Sangat mudah untuk menemukan sudutnya sendiri: .

Contoh 7

Tentukan sudut antara vektor-vektor tersebut dan jika diketahui .

Larutan: Kami menggunakan rumus:

Pada Babak final perhitungan, teknik teknis digunakan - menghilangkan irasionalitas dalam penyebut. Untuk menghilangkan irasionalitas, saya mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan .

Jadi jika , Itu:

Nilai terbalik fungsi trigonometri dapat ditemukan oleh tabel trigonometri. Meskipun hal ini jarang terjadi. Dalam soal-soal geometri analitik, lebih sering ada orang yang kikuk seperti , dan nilai sudut harus dicari kira-kira menggunakan kalkulator. Sebenarnya kita akan melihat gambaran seperti itu lebih dari sekali.

Menjawab:

Sekali lagi, jangan lupa untuk menunjukkan dimensinya - radian dan derajat. Secara pribadi, untuk “menyelesaikan semua pertanyaan” dengan jelas, saya lebih suka menunjukkan keduanya (kecuali, tentu saja, kondisinya mengharuskan penyajian jawaban hanya dalam radian atau hanya dalam derajat).

Sekarang Anda dapat secara mandiri mengatasi tugas yang lebih kompleks:

Contoh 7*

Diberikan panjang vektor-vektor dan sudut di antara vektor-vektor tersebut. Temukan sudut antara vektor , .

Tugasnya tidak terlalu sulit karena bersifat multi-langkah.
Mari kita lihat algoritma solusinya:

1) Sesuai dengan syaratnya, Anda perlu mencari sudut antara vektor dan , jadi Anda perlu menggunakan rumus .

2) Temukan produk skalar (lihat Contoh No. 3, 4).

3) Tentukan panjang vektor dan panjang vektor (lihat Contoh No. 5, 6).

4) Akhir penyelesaiannya bertepatan dengan Contoh No. 7 - kita mengetahui bilangannya , yang artinya mudah untuk mencari sudutnya sendiri:

Solusi singkat dan jawaban di akhir pelajaran.

Bagian kedua dari pelajaran ini dikhususkan untuk produk skalar yang sama. Koordinat. Ini akan lebih mudah daripada bagian pertama.

Produk titik dari vektor,
diberikan oleh koordinat dalam basis ortonormal

Menjawab:

Tentu saja, berurusan dengan koordinat jauh lebih menyenangkan.

Contoh 14

Temukan produk skalar dari vektor dan jika

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri. Di sini Anda dapat menggunakan asosiatif operasi, yaitu, jangan menghitung , tetapi segera keluarkan tripel dari produk skalar dan kalikan dengan itu dalam Resort terakhir. Solusi dan jawabannya ada di akhir pelajaran.

Di akhir bagian, contoh provokatif dalam menghitung panjang vektor:

Contoh 15

Temukan panjang vektor , Jika

Larutan: Metode pada bagian sebelumnya muncul lagi: tetapi ada cara lain:

Mari kita cari vektornya:

Dan panjangnya menurut rumus sepele :

Perkalian titik sama sekali tidak relevan di sini!

Ini juga tidak berguna saat menghitung panjang sebuah vektor:
Berhenti. Bukankah kita harus memanfaatkan sifat panjang vektor yang jelas? Apa yang dapat kamu katakan tentang panjang vektor? vektor ini 5 kali lebih lama dari vektor. Arahnya berlawanan, tapi ini tidak masalah, karena kita berbicara tentang panjang. Jelasnya, panjang vektor sama dengan hasil kali modul angka per panjang vektor:
– tanda modulus “memakan” kemungkinan minus dari bilangan tersebut.

Dengan demikian:

Menjawab:

Rumus kosinus sudut antar vektor yang ditentukan oleh koordinat

sekarang kita punya informasi lengkap, sehingga rumus kosinus sudut antar vektor telah diturunkan sebelumnya nyatakan melalui koordinat vektor:

Kosinus sudut antar vektor bidang dan , ditentukan dalam dasar ortonormal, dinyatakan dengan rumus:
.

Kosinus sudut antar vektor ruang, ditentukan dalam dasar ortonormal, dinyatakan dengan rumus:

Contoh 16

Diberikan tiga titik sudut pada suatu segitiga. Temukan (sudut titik).

Larutan: Menurut ketentuan, gambar tidak diperlukan, tetapi tetap:

Sudut yang diperlukan ditandai dengan busur hijau. Mari kita segera mengingat sebutan sekolah untuk suatu sudut: – Perhatian khusus pada rata-rata huruf - ini adalah titik sudut yang kita butuhkan. Untuk singkatnya, Anda juga dapat menulis secara sederhana .

Dari gambar tersebut terlihat jelas bahwa sudut segitiga berimpit dengan sudut antar vektor dan dengan kata lain: .

Dianjurkan untuk mempelajari cara melakukan analisis secara mental.

Mari kita cari vektornya:

Mari kita hitung produk skalar:

Dan panjang vektornya:

Kosinus sudut:

Inilah urutan menyelesaikan tugas yang saya rekomendasikan untuk boneka. Pembaca yang lebih mahir dapat menulis perhitungan “dalam satu baris”:

Berikut adalah contoh nilai kosinus yang “buruk”. Nilai yang dihasilkan belum final, jadi tidak ada gunanya menghilangkan irasionalitas pada penyebutnya.

Mari kita cari sudutnya sendiri:

Jika dilihat dari gambarnya, hasilnya cukup masuk akal. Untuk memeriksanya, sudut juga bisa diukur dengan busur derajat. Jangan merusak penutup monitor =)

Menjawab:

Dalam jawabannya kita tidak melupakan itu bertanya tentang sudut suatu segitiga(dan bukan tentang sudut antar vektor), jangan lupa untuk menunjukkan jawaban pastinya: dan perkiraan nilai sudut: , ditemukan menggunakan kalkulator.

Mereka yang telah menikmati prosesnya dapat menghitung sudut dan memverifikasi validitas persamaan kanonik

Contoh 17

Sebuah segitiga didefinisikan dalam ruang berdasarkan koordinat titik-titik sudutnya. Temukan sudut antara sisi dan

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri. Solusi lengkap dan jawabannya di akhir pelajaran

Bagian akhir yang singkat akan dikhususkan untuk proyeksi, yang juga melibatkan produk skalar:

Proyeksi suatu vektor ke suatu vektor. Proyeksi vektor ke sumbu koordinat.
Kosinus arah suatu vektor

Perhatikan vektor dan :

Mari kita proyeksikan vektor ke vektor; untuk melakukan ini, dari awal dan akhir vektor kita hilangkan tegak lurus ke vektor (garis putus-putus hijau). Bayangkan sinar cahaya jatuh tegak lurus pada vektor. Maka ruas tersebut (garis merah) akan menjadi “bayangan” vektor tersebut. Dalam hal ini, proyeksi vektor ke vektor adalah PANJANG ruas tersebut. Artinya, PROYEKSI ADALAH ANGKA.

NOMOR ini dilambangkan sebagai berikut: , “vektor besar” menunjukkan vektor YANG proyek, "vektor subskrip kecil" menunjukkan vektor PADA yang diproyeksikan.

Entrinya sendiri berbunyi seperti ini: “proyeksi vektor “a” ke vektor “menjadi”.”

Apa yang terjadi jika vektor "menjadi" "terlalu pendek"? Kita menggambar garis lurus yang memuat vektor “menjadi”. Dan vektor “a” sudah diproyeksikan ke arah vektor "menjadi", cukup - ke garis lurus yang memuat vektor "menjadi". Hal yang sama akan terjadi jika vektor “a” diendapkan pada kingdom ketiga puluh - vektor tersebut masih dapat dengan mudah diproyeksikan ke garis lurus yang memuat vektor “menjadi”.

Jika sudutnya antar vektor pedas(seperti pada gambar), lalu

Jika vektor ortogonal, maka (proyeksinya adalah suatu titik yang dimensinya dianggap nol).

Jika sudutnya antar vektor tumpul(pada gambar, atur ulang panah vektor secara mental), lalu (panjangnya sama, tetapi diambil dengan tanda minus).

Mari kita gambarkan vektor-vektor ini dari satu titik:

Jelasnya, ketika sebuah vektor bergerak, proyeksinya tidak berubah

Kembali